Energi Derajat Maksimal pada Graf Terhubung

Transkripsi

1 Eergi Derajat Maksimal pada Graf Terhubug Destika Dwi Setyowidi, Lucia Ratasari S.Si, M.Si Program Studi Matematika Jurusa Matematika Uiversitas Dipoegoro Semarag ABSTRAK Graf G adalah pasaga himpua (V, E), dega V(G) adalah himpua titik G da E(G) adalah himpua sisi G. Graf G dapat direpresetasika ke dalam matriks derajat maksimal. Dari matriks derajat maksimal diperoleh poliomial karakteristik μ + c 1 μ 1 + c μ + + c dega koefisie c 1 merupaka tracem(g), c merupaka pejumlaha dari determia submatriks order, c 3 merupaka pejumlaha dari determia submatriks order 3. Eergi derajat maksimal graf G adalah pejumlaha dari harga mutlak ilai eige derajat maksimal. Eergi derajat maksimal graf star (S +1 ), graf sikel (C ), graf path P, da graf regular r berilai kurag dari eergi derajat maksimal graf komplit (K ). Eergi derajat maksimal E M G berupa bilaga rasioal dega bilaga rasioal tersebut adalah bilaga bulat geap. Kata kuci: Matriks derajat maksimal, ilai eige, eergi suatu graf. Pedahulua Graf merupaka diagram yag terdiri dari oktah- oktah yag disebut titik, pegaita titik- titik pada graf membetuk sisi da dapat direpresetasika pada gambar sehigga membetuk pola graf tertetu. Pola- pola yag terbetuk didefiisika da dikelompokka mejadi kelas- kelas graf. Beberapa kelas graf yag popular atara lai graf komplit K, graf ligkara (sikel) C, graf litasa (path) P, graf bipartit K m,,. Perkembaga teori graf didukug dega berkembagya salah satu cabag ilmu matematika yaitu aljabar liier. Kedua cabag ilmu ii dapat dihubugka dega merepresetasika graf dalam suatu matriks yaitu matriks adjacecy. Dari matriks adjacecy aka diperoleh poliomial karakteristik da ilai eige, yag dapat diguaka utuk mecari eergi suatu graf. Eergi suatu graf didefiisika pada tahu 1978 oleh Gutma sebagai pejumlaha harga mutlak dari ilai- ilai eige. Pada tugas akhir ii aka dibahas megeai eergi derajat maksimal graf yag didasarka pada ilai eige derajat maksimal. Teori Peujag Defiisi.1 [5] Sebuah matriks adalah suatu himpua agka, variabel atau parameter dalam betuk suatu persegi pajag, yag tersusu didalam baris da kolom. Ukura matriks dijelaska dega meyataka bayakya baris da bayakya kolom. Dalam peulisa, huruf besar diguaka utuk meyataka matriksmatriks. Jika A adalah sebuah matriks, maka utuk meyataka etri pada baris i da kolom j dari A adalah megguaka a ij. Betuk umum matriks adalah a a 11 a 1 a 1 a A = 1 a a m1 a m a m 46

2 Defiisi. [3] Suatu matriks A dega barisda kolomdisebut matriks persegiberorde (square matrix of order )da etri-etri a 11, a,, a merupaka diagoal utama (mai diagoal) matriks A. a 11 a 1 a 1 a 1 a a A = a 1 a Defiisi.3 [3] Jika A adalah matriks m, maka traspose dari A diyataka dega A T, didefiisika sebagai matris m yag didapat dega mempertukarka baris- baris da kolom- kolom dari A. Jadi kolom pertama dari A T adalah baris pertama dari A, kolom kedua dari A T adalah baris kedua dari A. Defiisi.4 [10] Suatu matriks persegi Aadalah simetris jika memeuhi A = A T dega a ij = a ji. Defiisi.5 [5] Matriks Diagoal adalah suatu matriks persegi yag semua etri diluar etri diagoal utama sama dega ol, da palig tidak satu etri pada diagoal utamaya tidak sama dega ol. Defiisi.6 [10] Matriks idetitas adalah matriks diagoal dega semua etri pada diagoal utamaya adalah 1 da 0 pada etri laiya yag diotasika degai. Defiisi.7 [5] Determia adalah suatu skalar (agka) yag dituruka dari suatu matriks persegi melalui operasi khusus. Disebut operasi khusus karea dalam proses peurua determia dilakuka perkaliaperkalia sesuai dega aljabar matriks. Defiisi.8 [3] Diketahui Aadalah matriks, sebuah vektor tak ol xpada R disebut vektor eige (eigevector) dari Ajika Axadalah kelipata skalar dari x, yaituax = λxutuk suatu skalar λ. Skalar λ diamaka ilai eige (eigevalue) dari A, da xadalah vektor eige dari Ayag bersesuaia dega λ. Defiisi.9 [3] Diketahui A adalah sebuah matriks persegi, trace dari A yag diyataka sebagai tr(a), didefiisika sebagai jumlah etri- etri pada diagoal utama A. Trace dari A tidak dapat didefiisika jika A buka matriks persegi, karea matriks yag mempuyai diagoal utama haya matriks persegi. Defiisi.10 [6] Graf Gdidefiisika sebagai pasaga himpua (V, E), dega V(G) adalah himpua dari titik-titik Gda E(G)adalah himpua sisi Gyag meghubugka sepasag titik. Graf Defiisi.10 [6] Graf Gdidefiisika sebagai pasaga himpua (V, E), dega V(G) adalah himpua dari titik-titik Gda E(G) adalah himpua sisi Gyag meghubugka sepasag titik. Defiisi graf meyataka bahwa V(G) tidak boleh kosog, sedagka E(G)boleh kosog, jadi sebuah graf dimugkika sama sekali tidak mempuyai sisi, tetapi titikya harus ada miimal satu. Himpua titik diotasika dega V G = v 1, v,, v. Sedagka eadalah sisi yag meghubugka titik v i dega 47

3 titik v j, maka e dapat ditulis sebagai e = v i v j. Defiisi.11 [6] Dua buah titik pada graf G dikataka adjacet bila keduaya terhubug lagsug dega sebuah sisi. Dega kata lai, v i adjacet dega v j jika (v i, v j ) adalah sebuah sisi pada graf G. Defiisi.1 [6] Utuk sembarag sisi e = v i v j, dikataka icidet dega titik v i da titik v j. Defiisi.13 [6] Titik terpecil (isolated vertex) adalah titik yag tidak mempuyai sisi yag icidet degaya atau dapat juga diyataka bahwa titik terpecil adalah titik yag tidak satupu adjacet dega titiktitik laiya. Defiisi.14 [6] Derajat suatu titik pada graf takberarah adalah jumlah sisi yag icidet dega titik tersebut. Derajat dari titik vdiotasika dega d(v). Sedagka derajat graf G adalah jumlah derajat semua titik graf G. Defiisi.15 [6] Litasa yag pajagya dari titik awal v 0 ke titik tujua v di dalam graf G ialah barisa berselag selig titik- titik da sisi- sisi yag berbetuk v 0, e 1, v 1, e, v,, v 1, e, v, sedemikia sehigga e 1 = v 0, v 1, e 1 = v 1, v,, e = v 1, v adalah sisi- sisi dari graf G. Defiisi.16 [6] Litasa yag berawal da berakhir pada titik yag sama disebut siklus (cycle). Defiisi.17 [6] Graf yag himpua sisiya merupaka himpua kosog disebut sebagai graf kosog da ditulis sebagai N. Defiisi.18 [9] Dua sisi atau lebih yag meghubugka pasaga titik yag sama disebut sisi gada, da sebuah sisi yag meghubugka sebuah titik ke diriya sediri disebut loop. Graf yag tidak megadug loop da sisi gada disebut graf sederhaa, sedagka graf yag mempuyai loop da sisi gada disebut graf tidak sederhaa. Graf Sederhaa Khusus Defiisi.15 [6] Litasa yag pajagya dari titik awal v 0 ke titik tujua v di dalam graf G ialah barisa berselag selig titik- titik da sisi- sisi yag berbetuk v 0, e 1, v 1, e, v,, v 1, e, v, sedemikia sehigga e 1 = v 0, v 1, e 1 = v 1, v,, e = v 1, v adalah sisi- sisi dari graf G. Defiisi.16 [6] Litasa yag berawal da berakhir pada titik yag sama disebut siklus (cycle). Defiisi.17 [6] Graf yag himpua sisiya merupaka himpua kosog disebut sebagai graf kosog da ditulis sebagai N. Defiisi.18 [9] Dua sisi atau lebih yag meghubugka pasaga titik yag sama disebut sisi gada, da sebuah sisi yag meghubugka sebuah titik ke diriya sediri disebut loop. Graf yag tidak megadug loop da sisi gada disebut graf sederhaa, sedagka graf yag mempuyai loop da sisi gada disebut graf tidak sederhaa. 48

4 Matriks Adjacecy Defiisi.6 [8] Misalka G = (V, E) adalah suatu graf degav = { v 1,, v }, titik-titik v i da v j adalah adjacet dari suatu graf dega matriks dega etri pada barisa i da kolom jadalah bayakya sisi yag meghubugka titik v i da v j. Misal A = a ij adalah matriks adjacecy dari suatu graf sederhaa Gmaka, a ij = 1, jikav idav j adjacet 0, laiya Matriks adjacecy utuk graf sederhaa da tidak berarah selalu simetris, da diagoal utama matriks selalu berilai 0, karea tidak megadug loop. Pembahasa Eergi Derajat Maksimal Graf G Defiisi 3.1 [1] Eergi pada graf G didefiisika sebagai E G = λ i dega λ i adalah ilai eige dari matriks adjacecya G. Defiisi 3. [1] G adalah graf dega himpua titik V G = v 1, v,, v, d i adalah derajat titik v i da d j adalah derajat titik v j. Matriks M G = d ij disebut sebagai matriks derajat maksimal dari G dega d ij = max d i,d j, jikav i dav j adjacet 0, laiya Defiisi 3.3 [1] Poliomial karakteristik pada matriks derajat maksimal M G adalah G; μ = det μi M G = μ + c 1 μ 1 + c μ + + c, dega I merupaka matriks idetitas da akar- akar μ 1, μ,, μ merupaka ilai eige derajat maksimal dari G. Defiisi 3.4 [1] Jika terdapat matriks derajat maksimal M G, maka eergi derajat maksimal graf G didefiisika sebagai E M G = μ i dega μ i adalah ilai eige dari matriks derajat maksimal M G. Defiisi 3.5 [1] Utuk setiap graf sederhaa G tracem G = μ i = 0 Teorema 3.1 [1] Utuk setiap graf terhubug G, E M G = E(G) dega derajat maksimal = da > E G = λ i da E M G = μ i. Nilai eige dari matriks derajat maksimal M(G) selalu lebih besar dari ilai eige dari matriks adjacecy A(G). a. Graf dega derajat maksimal = q dega q 3, E G qe M G. b. Graf dega derajat maksimal = 1 maka =, sehigga E M G = E G. c. Graf dega derajat maksimal = da > derajat maksimal setiap titik pasti berilai, sehigga E M G = E(G). Koefisie poliomial karakteristik utuk matriks derajat maksimal M(G) Teorema 3. [1] Poliomial karakteristik matriks derajat maksimal M(G)diotasika sebagai G; μ = μ + c 1 μ 1 + c μ + + c dega 49

5 i. c 1 = 0 ii. c = d ij 1 i<j iii. c 3 = 1 i<j <k 0 d ij d ik d ji 0 d jk d ki d kj 0 i. c 1 = 0kareatraceM G = 0 ii. Diambil submatriks M G orde yaitu: 0 d ij dega v i da v j adjacet d ji 0 sehigga diperoleh determia submatriks M(G) orde adalah (d ij ). Jadi c = (d ij ) 1 i<j dega bayakya pricipal mior M G samadega bayakya sisi pada G. iii. Diambil submatriks M G orde 3 dega etri diagoal utama sama dega ol, da etri selai diagoal utama tidak boleh ol,maka 0 d ij d ik c 3 = d ji 0 d jk 1 i<j <k d ki d kj 0 Remarks 3.1 [1] Jika G adalah graf sederhaa yag tidak mempuyai segitiga, maka c 3 = 0 Diketahui bahwa c 3 = 1 i<j <k 0 d ij d ik d ji 0 d jk d ki d kj 0, dega bayakya pricipal mior samadega bayakya segitiga pada graf G, karea graf G tidak mempuyai segitiga maka etri selai diagoal utama ada yag berilai ol. Jadi c 3 = 0. Teorema 3.3 [1] Jika μ 1, μ,, μ adalah ilai eige derajat maksimal graf G, maka μ i = c μ i = tracem G = d ii = 0 μ i = trace (M G ) utuk i = 1,,3,,, dimaa (i, i) adalah etri (M(G)) d ii = j =1 d ij d ji = d ij 1 i<j Remarks 3. [1] Utuk G = K μ i = 1 3 = c μ i = c = d ij 1 i<j dega bayakya pricipal mior dari ( 1) M G = utuk (d ij ) = 1, sehigga μ i = d ij 1 i<j = 1 3 Teorema 3.4 [1] Jika G graf orde, dega d v 1 = d v = d da N v 1 v = N v v 1, maka β adalah ilai eige derajat maksimal graf G, dega β = d, jikav 1dav adjacet 0, laiya 50

6 Diberika graf G orde dega matriks derajat maksimal a 11 a 1 a 13 a 1 a 1 a a 3 a M G = a 31 a 3 a 33 a 3, a m a m a m maka (G; μ) = μ d a 13 d μ a 3 a 31 a 3 μ a m a 1 a a 3 a m a m a m μ Jika R i adalah baris ke-i pada μi M(G), maka R 1 = μ, β, a 13,, a 1 R = β, μ, a 3,, a sehigga (G; μ) = dega μ β a 13 β μ a 3 a 31 a 3 μ a m a m a m μ a 1 a a 3 a k = max d 1, d k, jika adjacet, k = 3,4,, 0, laiya maka μ β a 3 a β μ a 3 a (G; μ) = a 31 a 3 μ a 3 a m a m a m μ R 1 dikuragi dega R, sehigga diperoleh R 1 R = (μ β, β μ, 0,,0). Kemudia R 1 digati dega hasil peguragaya sehigga diperoleh μ β β μ a 1 μ a 3 a G; μ = a 31 a 3 μ a 3 a m a m a m μ = (μ β) μ a 3 a 3 μ a m a m μ a a 3 + a 1 a 3 a 31 μ a m a m μ a a 3 Jadi β adalah ilai eige derajat maksimal M(G). Eergi Derajat Maksimal utuk Beberapa Kelas Graf Teorema 3.5 [1] Jika G adalah graf komplit K, maka ( 1) da 1 adalah ilai eige derajat maksimal graf G dega multiplisitas berturut- turut ( 1) da 1, serta E M K = 1. R, R 3,, R dikuragi dega R 1, sehigga μi M K : = μ μ = μ μ 1 dega ilai eige μ 1 = 1, μ = 1, μ 3 = 1,,μ 1 = 1, μ = 1 Jadi E M K = 1 Teorema 3.6 [1] Jika G adalah graf regular r, r merupaka ilai eige derajat maksimal graf G, da E M G E M K dega r 4( 1)

7 r μi M G = μ r 1 r 13 r 1 μ r 3 r 31 r 3 μ 1 r r 3 r m r m r m μ Pada kolom pertama digati dega jumlaha dari semua kolom, sehigga μi M G mejadi μ rx r 1 r 13 r 1 μ rx μ r 3 μ rx r 3 μ r r 3 μ rx r m r m μ Dari hasil μi M G dapat dilihat bahwa (μ rx) adalah faktor dari μi M G, dega r adalah derajat maksimal setiap titik da x adalah bayakya titik yag adjacet, sehigga μ rx = μ r dega r adalah ilai eige derajat maksimal graf G da trace(m C ) = r 3 dega megguaka pertidaksamaa Cauchy- Schwartz a i b i μ i a i E M G r 3 μ i b i E M G E M K jika r 3 ( 1 ) r r r Jadi E M G E M K Teorema 3.7 [1] Jika G adalah graf star S +1 dega 1 orde + 1, maka S +1 ; μ = μ (μ 3 )da E M S +1 E M K Graf star S +1 Jika graf star direpresetasika ke dalam matriks derajat maksimal, maka M S +1 = S +1 ; μ = dari matriks derajat maksimal diperoleh = μ +1 ( μ 1 ) = μ 1 μ ( μ 3 μ ) = μ 1 (μ 3 ) dega ilai eige sebagai berikut μ 1 = 3, μ = 0,, μ = 0, μ +1 = 3 Jadi, E M S +1 = = 3 i.. Graf komplit K +1 Jika graf komplit direpresetasika ke dalam matriks derajat maksimal, maka M K +1 = K +1 ; μ = dari matriks derajat maksimal diperoleh μ μ μ, μ μ KuragiR, R 3, R 4,, R +1 dega R 1 Gati R, R 3, R 4,, R +1 dega hasil peguraga, sehigga K +1 ; μ = μ + μ 5

8 dega ilai eige sebagai berikut μ 1 =, μ =, μ 3 =,, μ =, μ +1 = Jadi E M K +1 = sehigga dapat disimpulka bahwa E M S +1 E M K +1 Teorema 3.8 [1] Jika G adalah graf sikel C dega orde, utuk 3, maka trace(m C ) = 8 da E M C E M K. Graf sikel adalah graf yag setiap titikya mempuyai derajat da megadug satu sikel. Graf sikel dapat dibetuk utuk 3. trace M C = 8, karea derajat maksimal graf sikel kurag dari sama dega derajat maksimal graf komplit/ C K, sehigga μ i pada C μ i pada K. Jadi E M G E M K. Teorema 3.9 [1] Jika G adalah graf path (P ) orde, utuk 3, maka trace M P = 8( 1) da E M P E M K Graf Path adalah graf yag terdiri dari litasa tuggal dega titik da 1 sisi. trace M P = 8( 1). Derajat maksimal graf path kurag dari sama dega derajat maksimal graf komplit/ P K da μ i pada P μ i pada K, sehigga E M P E M K. Teorema 3.10 [1] Jika G adalah graf bipartit da μ adalah ilai eige derajat maksimal G dega multiplisitas m maka μ juga merupaka ilai eige dega multiplisitas m. Tambahka titik- titik terpecil pada graf utuk medapatka himpua partisi yag berukura sama da tambahka setiap baris da kolom dega ol utuk matriks derajat maksimal, dega rak tidak berubah. Oleh karea itu diasumsika bahwa himpua partisi mempuyai ukura yag sama. Karea G adalah graf bipartit, maka uruta baris da kolom dapat ditukar sehigga mejadi 0 B B t 0, dega B adalah matriks persegi. Jika μ adalah ilai eige yag bersesuaia dega vektor eige v = x y, maka μv = M G v = 0 B x B t 0 y = By B t x Sehiggga By = μx da B t x = μy Jika v = x y, maka M G v = 0 B x B t 0 y = By B t x = μx μy = μ x y = μv Oleh karea itu v adalah vektor eige M G yag bebas liier utuk ilai eige μ dega multiplisitas m da v adalah vektor eige M G yag bebas liier utuk ilai eige μ dega multiplisitas m. Jadi μ adalah ilai eige M G dega multiplisitas sama dega μ. Teorema 3.11 [1] Jika eergi derajat maksimal E M G berupa bilaga rasioal, maka bilaga rasioal tersebut adalah bilaga bulat geap. Jika μ 1, μ, μ 3,, μ merupaka ilai eige derajat maksimal graf G dega titik, maka μ i = 0 dega μ 1, μ, μ 3,, μ r adalah positif da μ r+1, μ r+, μ r +3,, μ buka bilaga positif. Sehigga 53

9 E M G = μ i = μ 1 + μ + μ μ r 1 μ r+1 + μ r+ + μ r μ = μ 1 + μ + μ μ r Karea μ 1, μ, μ 3,, μ r adalah ilai eige dari M(G), maka pejumlaha dari ilai eige derajat maksimal berupa bilaga bulat positif. Eergi derajat maksimal E M G sama dega dua kali pejumlaha ilai eige derajat maksimal, maka E M G berupa bilaga bulat positif geap. μ i + derajat maksimal graf reguler r lebih kecil dari eergi derajat maksimal graf komplit. Nilai eergi derajat maksimal graf G (E M G ) berilai bilaga bulat positif geap. Kesimpula Berdasarka pembahasa dari bab sebelumya megeai eergi derajat maksimal suatu graf, dapat diambil kesimpula sebagai berikut: 1. Koefisie Poliomial karakteristik G; μ = μ + c 1 μ 1 + c μ + + c pada matriks derajat maksimal M(G) adalah sebagai berikut: i. c 1 = 0 ii. c = d ij 1 i<j iii. c 3 = 1 i<j <k 0 d ij d ik d ji 0 d jk d ki d kj 0 setelah mecari poliomial karakteristik aka diperoleh ilai eige derajat maksimal graf G, da eergi derajat maksimal E M G dapat diperoleh dari pejumlaha harga mutlak dari ilai eige derajat maksimal.. Eergi derajat maksimal graf sikel lebih kecil dari eergi derajat maksimal graf komplit (E M C E M K ), eergi derajat maksimal graf litasa (path) lebih kecil dari eergi derajat maksimal graf komplit (E M P E M K ), eergi derajat maksimal star lebih kecil dari eergi derajat maksimal graf komplit (E M S +1 E M K +1 ), da eergi 54

10 DAFTAR PUSTAKA 1. Adika, Chadrashekar. ad M. Smita O Maximum Degree Eergy of a Graph, It. J. Cotemp. Math. Sciece, vol.4, o.8, hal: Ato, Howard Aljabar Liear Elemeter. Edisi kelima. Jakarta: Erlagga. 3. Ato, Howard. ad Chris Rorres Aljabar Liear Elemeter Versi Aplikasi. ed. Jakarta: Erlagga. 4. Beezer, Rob A Itroductio to Algebraic Graph Theory, [pdf], ( diakses taggal 11 Maret 01). 5. Pudjiastuti,BSW Matriks Teori da Aplikasi: edisi ke-1. Yogyakarta: Graha Ilmu. 6. Muir, Rialdi Matematika Diskrit: edisi ke-3. Badug: Iformatika. 7. Ngo, Hug Q Itroductio to Algebraic Graph Theory, [pdf], ( diakses taggal 14 Maret 01). 8. Rose, Keeth H Discrete Mathematics ad Its Applicatio. edisi ke-8. New York: McGraw. Hill. 9. Wilso, Robi J. ad Joh J. Watkis Graf Pegatar I, terj. Theresia M. H Tirta. Surabaya: IKIP. 10. SolichiZaki Aljabar Liear Elemeter. Semarag: uiversitas Dipoegoro. 55