Pemodelan Fraktal: Study Kasus pada Nilai Tukar Dolar Amerika terhadap Rupiah

Transkripsi

1 J. Mat. and Its Appl. ISSN: X Vol. 2, No., May. 2005, Pemodelan Fraktal: Study Kasus pada Nilai Tukar Dolar Amerika teradap Rupia I Gst Ngr Rai Usada, Erika Eka Santi Jurusan Matematika Institut Teknologi Sepulu Nopember, Surabaya ngura@matematika.its.ac.id Abstrak Dalam paper ini diaplikasikan teori praktal pada suatu data runtun waktu nilai tukar Dollar Amerika teradap Rupia. Dengan metode R/S dapat diperole parameter Hurst yang merupakan indeks keserupaan diri yang merupakan sala satu ciri fraktal. Dari model umum distribusi fraktal yang diperole, data return menunjukkan berdistribusi NonGauss. Kata kunci: sifat keserupaan diri, parameter Hurst, metode R/S. Pendauluan Banyak fenomena ekonomi dan keuangan dimodelkan dengan asumsi distribusi yang berbentuk Gaussian. Seperti penelitian yang dilakukan Louis Bacelier, matematikawan Perancis, yang mengajukan model matematika untuk proses penyusunan data ekonomi keuangan dengan menggunakan metoda stokastik dari keuntungan (return). Model Bacelier tersebut menggunakan teori Gerak Brown dan memperliatkan distribusi keuntungan yang berbentuk Gaussian. Dari penelitian Bacelier tersebut kemudian dijadikan dasar pengambilan asumsi pemodelan data ekonomi keuangan berdistribusi Gaussian. Namun penelitianpenelitian dewasa ini memperliatkan penyimpangan teradap model tersebut, 27

2 28 Pemodelan Fraktal: Study Kasus pada Nilai Tukar Dolar Amerika teradap Rupia seingga data riil dari data ekonomi keuangan tidak selalu akurat jika dimodelkan dengan distribusi Normal,[5]. Maka dari itu, diperlukan pengembangan modelmodel ekonomi untuk mendapatkan model yang lebi realistis. Benoit Mandelbrot, seorang ali geometri fraktal, melakukan penelitian teradap arga katun yang diperjualbelikan dan menemukan fakta menarik yaitu distribusi keuntungan untuk skala waktu yang berbeda memperliatkan kemiripan atau bentuk yang universal. Dengan kata lain bawa distribusi keuntungan tersebut memperliatkan sifat keserupaan diri (self-similarity). Sejak saat itu banyak diyakini bawa data return akan memiliki sifat fraktal yang dapat memperliatkan pola keserupaan diri (self-similarity),[2]. Bertitik tolak dari al tersebut, dalam paper ini dianalisa nilai tukar mata uang Dollar Amerika teradap Rupia (USD/IRD) menggunakan teori fraktal, yang lebi jau dapat digunakan untuk mencari model distribusi data yang lebi realistis. Data yang diola adala nilai tukar arian mata uang Dollar Amerika teradap Rupia(USD/IDR) untuk periode waktu Januari 994 sampai dengan 20 Maret 2005 dengan sumber data adala Oanda Corporation, ( 2. Teori Dasar Pada bagian ini dibicarakan beberapa pengertian dasar yang akan dipakai sebagai dalam pembicaraan selanjutnya. 2.. Proses Keserupaan Diri Proses kesebangunan diri (self-similarity) adala keidentikan (invariant) dalam distribusi pada skala waktu. Beberapa aspek dari sifat keserupaan diri tampak dalam geofisika, idrologi, ekonomi, komunikasi. Definisi 2. [2] Proses {X(t), t T }, T = {t, t 0} adala proses keserupaan diri dengan indeks H > 0 (dinotasikan dengan H ss) bila untuk semua nilai a > 0 distribusi dari {X(at), t T } identik dengan distribusi dari {a H X(t), t T }, yaitu untuk setiap d, t, t 2,, t d T dan untuk setiap a > 0, (X(at ), X(at 2 ),, X(at d ) i.d (a H X(t ), a H X(t 2 ),, a H X(t d )) () dapat ditulis (X(at), t T } i.d {a H X(t), t T } (2)

3 I Gst Ngr Rai Usada, Erika Eka Santi Proses H-sssi, Proses Levy Motion dan Parameter Hurst (Hurst Exponent) Jika proses pembangkitan yang mendasari suatu data runtun waktu didasarkan pada nilai tenga dan varians konstan, maka runtun waktu stationer. Data runtun waktu adala stationer jika sifat statistiknya bebas dari periode waktu selama pengamatan. Definisi 2.2 [2] Proses X(t) adala H sssi (stabil-simetri-self similar) bila X(t) self similar dengan index H dan mempuyai increman yang stationer. Proses X(t), t T dikatakan mempunyai increman yang stationer bila,untuk semua T, X(t + ) X(t) i.d X(t) X(0) (3) Teorema 2.3 [2] SαS Levy Motion, (Gerak stabil-simetri Levy), adala H sssi dengan indeks H = /α, α < 2. Proses {X(t), t 0} dikatakan α Levy Motion bila. X(0) = 0; 2. X memiliki increman yang independen yaitu untuk semua a > 0 dan t, s T maka X(at) X(as) i.d a /α (X(t) X(s)) (4) Ukuran kekasaran (smotness) dari grafik data runtun waktu tergantung pada pendekatan perilaku dari proses rescaled range. Definisi 2.4 [5] Parameter Hurst, H, didefinisikan sebagai H = log(r/s) log(t ) dimana T adala durasi dari conto data, dan R/S adala nilai yang bersesuaian dari rescaled range. H bernilai diantara satu dan nol (0 < H < ). Parameter Hurst, H, mempunyai ubungan dengan dimensi fraktal D, yaitu H = E + D, dimana E adala dimensi Euclid (E = 0 untuk titik, E = untuk garis, E = 2 untuk permukaan). Untuk sinyal satu dimensi H = 2 D Dimensi Fraktal Suatu impunan X dikatakan memiliki sifat keserupaan diri jika X dapat dibagi menjadi k subset (banyaknya pecaan data) yang sebangun yang masing-masing dapat digandakan dengan faktor konstan M (banyaknya penggandaan) untuk mengasilkan impunan semula.

4 30 Pemodelan Fraktal: Study Kasus pada Nilai Tukar Dolar Amerika teradap Rupia Definisi 2.5 [4] Dimensi fraktal D dari X didefinisikan sebagai D = ln(k) ln(m) Dimensi fraktal D =.5 memberi arti bawa perilaku data runtun waktu sama dengan jalan acak yang berarti proses independen. Dimensi fraktal.5 < H < 2, menunjukkan perilaku yang kuat (persistent beavior) yang dicirikan dengan efek memori panjang (long memory effect). (conto dari persistent beavior adala autokorelasi positif). Bila dimensi fraktal < H <.5, maka menunjukkan antipersistent beavior (mempunyai autokorelasi negatif)[] Analisa Rescaled Range (Analisa R/S) Hurst, (965), mengembangkan analisa R/S (rescaled range analysis), metode statistik untuk menganalisa catatan panjang (long record) dari fenomena alam. Terdapat dua faktor yang digunakan dalam analisa ini, yaitu :. Range (R) yaitu beda (selisi) antara maksimum dan minimum nilai akumulasi atau jumla kumulatif dari X(t, n) dari fenomena alam dari data waktu diskrit t pada kutipan n data. 2. Simpangan baku (standart deviation),(s), diestimasi dari data amatan X. Jika diberikan data runtun waktu x t, maka. dengan n n = n n i= x i X(t, n) = t (x i x ) (5) i= X(t, n) adala jumla selisi data runtun waktu y t dengan rata-rata n data pertama. 2. R(n), self-adjusted range didefinisikan R(n) = max X(t, n) min X(t, n) 3. Simpangan baku (standart deviation) S(n) = [ n ] 2 t (x i x ) 2 i= (6) 4. R/S, self-rescaled range (R/S) = R(n) S(n) (R/S) n = n H (7)

5 I Gst Ngr Rai Usada, Erika Eka Santi 3 Jika pada Persamaan 5 dikenakan operasi logaritma maka dapat dinyatakan sebagai berikut Dari Persamaan 6 diperole parameter H yaitu log((r/s) n ) = H log(n) (8) H = log((r/s) n log(n) Dengan demikian untuk beberapa nilai n diperole kemiringan garis regresi pada plot log(r/s(n)) teradap log(n) yang merupakan estimator dari konstanta H sebagai long range proses dari proses Y.[] 3. Baasan dan Hasil Dalam analisa data ekonomi keuangan, yang menjadi pusat peratian adala fluktuasi arga yang terjadi. Fluktuasi arga merupakan variabel yang menunjukkan naik turunnya arga. Pendekatan untuk fluktuasi arga adala perubaan relatif atau return k-arian yang didefinisikan sebagai y t = ln p t ln p t k (9) dengan k adala selang waktu, dan p t, p t k adala nilai tukar pada saat t dan t k. Gambar menunjukkan grafik fluktuasi nilai tukar arian USD-IDR pada kurun waktu Januari 994 sampai dengan 20 Maret Gambar : USD-IDR Fluktuasi Nilai Tukar Gambar 2: Nilai Return Harian

6 32 Pemodelan Fraktal: Study Kasus pada Nilai Tukar Dolar Amerika teradap Rupia 3.. Parameter Hurst dan Dimensi Fraktal Data Return - Harian Hal yang terpenting dalam menguji keberadaan sifat keserupaan diri pada data runtun waktu adala ditemukannya parameter Hurst (H) pada data return (Gambar 2) yang dianalisa sebagai parameter keserupaan diri. Sala satu metode untuk mendapatkan parameter Hurst adala dengan menggunakan analisa R/S. Pada analisa R/S data dipeca seingga masing-masing kelompok data sebanyak data, untuk i =, 2,, 326. Pada masing masing kelompok data dicari rata-rata kelompok, yaitu x n = n x t. Hal ini digunakan untuk mengindari asumsi bawa keseluruan data mempunyai rata-rata yang sama. Kemudi- n t= an dengan Persamaan 5, tiap kelompok data diitung jumlaan dari simpangan (selisi) tiap data dengan rata-ratanya. Dicari range X(t, n) yaitu dengan mencari selisi maksimum dan minimum dari yang kemudian dibagi dengan simpangan baku dari keseluruan data seingga diperole nilai R/S. Keseluruan prosedur diselesaikan dengan program Matlab. Parameter Hurst (H) diestimasi sebagai kemiringan garis regresi dari plot log nilai R/S dengan log n Gambar 3: Plot Log-log nilai R/S data return -arian Hasil regresi terliat pada Gambar3 dengan kemiringan sebesar , seingga parameter H = Dari persamaan ubungan antara parameter Hurst dengan dimensi fraktal, dapat diketaui besar dimensi fraktal dari data return -arian yaitu. Nilai D berada diantara < D <.5, berarti data return - arian menunjukkan persistent beavior. Hal ini menyatakan bawa data return satu arian memiliki kecenderungan untuk bertaan pada suatu tren dalam jangka waktu yang lebi lama, artinya kenaikan tren pada saat ini memiliki peluang yang besar untuk diikuti kenaikan tren pada saat yang akan datang. Dengan prosedur

7 I Gst Ngr Rai Usada, Erika Eka Santi 33 yang sama seperti pada data return k-arian, dengan k = 5, 0, 5, 20, diperole nilai-nilai parameter seperti pada Tabel. Tabel : Nilai parameter H dan dimensi D Return k- arian Parameter Hurst, H Dimensi Fraktal, D Return 5-arian 0,6532,3468 Return 0-arian 0,7008,2992 Return 5-arian ,2992 Return 20-arian ,2676 Nilai D berada diantara < D <.5, berarti data return k-arian, k = 5, 0, 5, 20 menunjukkan persistent beavior. Hal ini menyatakan bawa data return tersebut memiliki kecenderungan untuk bertaan pada suatu tren dalam jangka waktu yang lebi lama, artinya kenaikan tren pada saat ini memiliki peluang yang besar untuk diikuti kenaikan tren pada saat yang akan datang Sifat Distribusi Scaling Pada bagian ini akan diuji apaka data return memenui sifat scaling. Pada Persamaan 2 disebutkan bawa data runtun waktu memenui keserupaan diri bila X(t) i.d k H X( t k ) (0) dengan H adala parameter Hurst. X(t) merupakan variabel acak dan dalam Persamaan 9 berarti bawa kedua sisi dari persamaan tersebut mempunyai distribusi yang identik, seingga persamaan diatas dapat dinyatakan bawa atau P (X(t)) P (k H X( t )), untuk k > 0 () k P (X(kt)) P (k H X(t), untuk k > 0 (2) Jika Y (t) = k H X(t) didefinisikan sebagai variabel acak baru maka sesuai dengan Persamaan 4 dimana a = k H didapatkan P (k H X(t)) = k H f( k H kh X(t)) = f(x(t)) (3) kh Dari pengamatan plot data return pada Gambar 2 dapat diasumsikan bawa proses X(t) stationer seingga berdasarkan Persamaan 3 maka data runtun waktu X(t) maka X(t) X(0) i.d X(t + s) X(t), untuk semua s > 0 (4) Dengan mengambil X(0) = 0 maka fungsi dari Persamaan4 adala, f(x(t)) = f(x(t + s) X(t)), untuk s > 0 (5)

8 34 Pemodelan Fraktal: Study Kasus pada Nilai Tukar Dolar Amerika teradap Rupia Dari Persamaan 3 dan 4 dapat dinyatakan sebagai berikut k H f(x(t)) = f(x(t + s) X(t)) (6) kh jika diambil s = k untuk mengekspresi data return maka k H f(x(t)) = f(x(t + k) X(t)) (7) kh diambil k =, maka f(x(t + ) X(t)) = H H f(x(t + ) X(t)) (8) sesuai denagn Persamaan 4 maka Persamaan 8 dapat dinyatakan sebagai berikut: f( H (X(t + ) X(t))) = f( H (X(t + ) X(t))) (9) Jika fungsi f pada Persamaan 9 diinterpretasikan sebagai distribusi peluang maka H (X(t + ) X(t)) H (X(t + ) X(t)) (20) H+ X(t + ) X(t) ( ) H+ ( X(t + ) X(t) ) (2) ( ) X(t + ) X(t) H+ ( X(t + ) X(t) ) (22) X(t + ) X(t) Jika ρ = adala sebagai variabel acak dan fungsi distribusi peluang/kepadatan P k (ρ), seingga Persamaan 22 dapat dinyatakan sebagai P k (ρ)k (H+) = Q(k H ρ) (23) Q adala fungsi umum untuk menggambarkan distribusi peluang pada skala yang berbeda. Plot P k (ρ)k (H+) dengan k H ρ pada data return akan membentuk disrribusi dasar untuk menentukan distribusi kesebangunan diri data return tersebut. Berikut adala asil plot pada data return nilai tukar mata uang USD-IDR dengan mengambil skala k = 0, 5, 20. Fungsi kepadatan peluang P k (ρ) dapat diitung dengan membagi nilai frekwensi pada istogram dengan total jumla data return. Dari Gambar 3 menunjukkan bawa variabel acak k H ρ memenui sifat scaling pada skala dengan k berbeda dan mempunyai kepadatan peluang Q(k H ρ). Dengan ukum pangkat, fungsi Q dapat didekati dengan Q(k H ρ) Ce k H ρ Persamaan 24 merupakan persamaan umum distribusi fraktal dari data nilai tukar mata uang Dollar Amerika teradap Rupia. Selanjutnya dengan metode fitting kurva diperole Gambar 4 yang menunjukkan bawa data return berdistribusi NonGauss dengan data adala ρ(k = 0), data2 adala ρ(k = 5), data3 adala ρ(k = 20) (24)

9 I Gst Ngr Rai Usada, Erika Eka Santi data data2 data3 data4 data5 data Gambar 4: Distribusi Data Return 4. Kesimpulan Dari pembaasan pada bagian sebelumnya, dapat disimpulkan sebagai berikut:. Model dasar distribusi fraktal untuk data tukar mata uang Dollar Amerika teradap Rupia adala sebagai berikut Q(k H ρ) Ce k H ρ yang berarti distribusi dari data tukar mata uang Dollar Amerika teradap Rupia menunjukkan distribusi NonGauss. 2. Data return nilai tukar mata uang Dollar Amerika teradap Rupia (USD- IDR) mempunyai kecenderungan perilaku untuk bertaan pada suatu tren dalam jangka waktu yang lebi lama ( persistent beavior ). Pustaka [] Kaplan, I. (2003), Estimating te Hurst Exponent, Wavelat and Hurst,pp.- 5. [2] Taqqu, M.S, dan G. Samorodnitsky (994), Stable Non-Gaussian Random Processes, Capman and Hall, London. [3] Papoulis, A. (992), Probabilitas, Variabel Random, dan Proses Stokastik, Gadjamada Universtas Press, Yogyakarta. [4] Falconer, K. (990), Fractal Geometry, Jon&Sons, New York.

10 36 Pemodelan Fraktal: Study Kasus pada Nilai Tukar Dolar Amerika teradap Rupia [5] Bassingwaigte, J.B. (994), Evaluating Rescaled Range analysis for time series, Ann Biomed Eng, New York. [6] Foreign Excange Services & Trading.