LUAS DAERAH, TITIK BERAT DAN MOMEN INERSIA POLAR KARDIODA DENGAN INTEGRAL NUMERIK METODE TRAPESIUM & METODE SIMPSON

Transkripsi

1 LUAS DAERAH, TITIK BERAT DAN MOMEN INERSIA POLAR KARDIODA DENGAN INTEGRAL NUMERIK METODE TRAPESIUM & METODE SIMPSON Tomi Tristiono 1 1 adala Dosen Fakultas Teknik Universitas Merdeka Madiun Abstract Te matematical formulation of tis paper using numerical metods tecnique to solve integral problems. Trapesium metods applied trapezium function but Simpson metods used parabolic function to solve integral problems f(x) in te interval a x b. Te aim of tis paper will find area of te region bounded by te curve sape cardioid, center of mass wit constant density and moment of inertia about te origin of plate sape cardioid. Metods of tis researc will apply Trapesium & Simpson numerical integration formula to find area under te appropriate curve accompanied by integral te problems. Exact solution of problems were solved by double integrals in polar coordinates and te matematic problems were looked very difficult, but if its solved by Trapesium or Simpson numerical integration formula te problems will give us same result and we can see te comparision tat applying of te numerical metod will simplify and make easier to find solutions. Key word : numerical integration, Exact solution PENDAHULUAN. Persoalan yang melibatkan model matematika banyak muncul dalam berbagai disiplin ilmu pengetauan. Seringkali model matematika tersebut muncul dalam bentuk yang tidak ideal alias rumit. Model matematika yang rumit ini adakalanya tidak dapat diselesaikan dengan metode analitik yang suda umum untuk mendapatkan solusi sejatinya (exact solution), yang dimaksud dengan metode analitik adala metode penyelesaian model matematika dengan rumus-rumus aljabar yang suda baku (lazim) (Zuair, 008). Metode analitik disebut juga metode sejati karena ia memberi kita solusi sejati (exact solution) atau solusi yang sesunggunya, yaitu solusi yang memiliki galat (error) sama dengan nol! Sayangnya, metode analitik anya unggul untuk sejumla persoalan yang terbatas, yaitu persoalan yang memiliki tafsiran geometri sederana serta bermatra renda. Padaal persoalan yang muncul dalam dunia nyata seringkali nirlanjar serta melibatkan bentuk dan proses yang rumit. Akibatnya nilai praktis penyelesaian metode analitik menjadi terbatas. Perbedaan utama antara metode numerik dengan metode analitik terletak pada dua al. Pertama, solusi dengan menggunakan metode numerik selalu berbentuk angka. Metode analitik yang biasanya mengasilkan solusi dalam bentuk fungsi matematik yang selanjutnya fungsi matematik tersebut dapat dievaluasi untuk mengasilkan nilai dalam bentuk angka. Kedua, dengan metode numerik, kita anya memperole solusi yang mengampiri atau mendekati solusi sejati seingga solusi numerik dinamakan juga solusi ampiran (approximation) atau solusi pendekatan. Solusi ampiran jelas tidak tepat sama dengan solusi sejati, seingga ada selisi antara keduanya. Selisi inila yang disebut dengan galat (error). Integral Numerik Metode Trapesium & Metode Simpson. Integral Numerik adala suatu metode yang dipergunakan untuk menyelesaikan Agri-tek Volume 1 Nomor 1 September 011 LUAS DAERAH,. TITIK BERAT... 44

2 persamaan integral secara pendekatan. Adapun metode pendekatan yang paling dasar dalam memecakan masala integral secara numerik adala metode Trapesium dengan rumus (Supriyanto, 007): b f ( x) dx= [ f ( x0) + f ( x1 )] f "( ξ) (1) 1 a dimana x 0 = a, x 1 = b dan = b a. Karena bagian error pada trapesium adala f, maka pendekatan trapesium bekerja efektif pada fungsi-fungsi yang turunan kedua-nya bernilai nol (f = 0). Aturan Integral pendekatan trapesium adala metode dengan konsep mencari pendekatan luas daera yang terletak fungsi f(x) sebagai daera yang berbentuk trapesium pada selang interval a x b dan berada di atas sumbu x (wikipedia, 007). Gambar 1. Pendekatan luas daera dengan sebua trapesium Secara umum rumus integral trapesium dengan lebar pias pias yang uniform dapat dinyatakan dengan formula sebagai berikut : b f ( xdx ) ( f( x0 ) + f( x1 ) + f( x ) f( xn 1) + f( xn ) n a () dengan x k = a + k untuk nilai k = 0,1,,..., n. n Error pada pengintegralan trapesium dapat dinyatakan dengan : err = f "( ξ ) () 1n Gambar. Pendekatan luas daera dengan aturan Simpson From wikipedia, free Ecyclopedia Adapun metode pendekatan yang lebi baik dalam memecakan masala integral secara numerik adala metode Simpson dengan rumus (Supriyanto, 008): b f ( x) dx ( f ( x0) + 4 f ( x1) + f ( x) ) (4) a dengan x 0 = a, x = b dan x 1 = a + dimana = (b a)/. Error pada pengintegralan Simpson dapat dinyatakan dengan 5 4 err = f ( ξ ) (5) 90 Agri-tek Volume 1 Nomor 1 September 011 LUAS DAERAH,. TITIK BERAT... 45

3 1. Kardioda Gambar kurva sebua kardioda dapat disajikan dalam bentuk fungsi sebua persaman dalam sistem koordinat kutub. Sebua kardioda r = (1 +cos θ) kurvanya seperti tampak pada Gambar yang dilukis Gambar. Sebua kardioda r = (1 +cos θ) METODE PENELITIAN. Taapan yang dilakukan pada penelitian ini adala : a. Analisa permasalaan integral lipat dua kardioda pada koordinat kutub. function [F] = trap(f,a,b,n) %f=name of function, a=start value,b=end value, n=number of iterations =(b-a)./n; S=f(a); i=1:1:n-1; x=a+.*i; y=f(x); S=S+.*sum(y); S=S+f(b); F=.*S./; F; End dengan bantuan software matematika Matlab 6.5. Variabel dependent r menyatakan jari-jari sedangkan variabel independent θ menyatakan sudut yang bergerak pada selang interval 0 θ π (Soeardjo, 1995). b. Formulasi dan menyusun algoritma untuk meyelesaikan permasalaan dengan integrasi numerik. c. Pemrograman algoritma ke dalam program komputer dengan menggunakan baasa pemrograman matematika Matlab. d. Program komputer dijalankan untuk uji coba. e. Evaluasi bila program suda selesai dijalankan, maka asil yang diperole diinterpretasi. Interpretasi meliputi analisis asil run dan membandingkannya dengan nilai eksak untuk menaksir kualitas solusi numerik PEMBAHASAN. Secara umum integral trapesium dengan lebar pias pias yang uniform dapat dinyatakan dengan program aplikasi matematika Matlab yaitu : function [F] = simpson(f,a,b,n) %f=name of function, a=start value, b=end value, n=number of iterations =(b-a)/n; S=f(a); i=1::n-1; x=a+.*i; y=f(x); S=S+4*sum(y); y=f(x); S=S+*sum(y); S=S+f(b); P=*S/; end Agri-tek Volume 1 Nomor 1 September 011 LUAS DAERAH,. TITIK BERAT... 46

4 Gambar 4. Gambar area kurva y = cos (θ) Pada proses untuk mendapatkan luas daera kardioda dengan fungsi r = (1 +cos θ) maka arus diselesaikan integral persamaan 6, berikut : Gambar 5. Gambar area kurva y = 1 + cos (θ) π L = 1 ( (1 + cosθ )) dθ (6) θ = 0 Gambar 5. Area di bawa fungsi f(θ )= ½ * ((1 +cos θ))^ Gambar 6. Area pada fungsi f(θ )= 1/ *cos θ * ((1 +cos θ))^ pada 0 θ ½ π Gambar 7 Area pada fungsi f(θ )= 1/ *cos θ * ((1 +cos θ))^ pada ½ π θ (/) π Gambar 8 Area pada fungsi f(θ )= 1/ *cos θ * ((1 +cos θ))^ pada (/) π θ π Agri-tek Volume 1 Nomor 1 September 011 LUAS DAERAH,. TITIK BERAT... 47

5 Sedangkan untuk mendapatkan titik berat bidang datar omogen berbentuk kardioda maka perlu dicari nilai M y yaitu momen statis teradap sumbu y. Momen statis teradap sumbu x tidak perlu dicari karena koordinat titik berat y = 0, dan perlu diselesaikan integral pada Persamaan 7, yaitu: M y dan = π θ = 0 1 cosθ ((1 + cosθ )) dθ M y x = (7) L Untuk mendapatkan momen inersia polar maka perlu diselesaikan integral Persamaan 8 : π 4 I = 1 ( (1 + cosθ )) dθ (8) 4 θ = 0 Gambar 9. Area di bawa fungsi f(θ )= 1/4 * ((1 +cos θ))^4 Permasalaan pengintegralan pada Persamaan 6, Persamaan 7, dan Persamaan 8 diselesaikan secara pengintegralan numerik dengan metode trapesium, seingga diperole asilnya adala sebagai berikut: a. Luas kardioda L = b. Momen statis teradap sumbu y pada 0 θ ½ π maka M y = Momen statis teradap sumbu y pada ½ π θ π maka M y = Momen statis teradap sumbu y pada π θ π maka M y = Momen statis total teradap sumbu y pada 0 θ π maka M y = M y Dan x = =1.6667, seingga L koordinat titik berat Z ( x, y) = Z(1.6667; 0) c. Momen inersia polar I = Agri-tek Volume 1 Nomor 1 September 011 LUAS DAERAH,. TITIK BERAT... 48

6 Tabel 1. Perbandingan Hasil Numerik dan Hasil Eksak Permasalaan Matematis Luas kardioda Momen statis teradap sumbu y Momen inersia polar I Hasil Eksak 6 π = π = π = Hasil Numerik Metoda Trapesium n = Hasil Numerik Metoda Simpson n= KESIMPULAN. Luas daera, titik berat dan momen inersia polar kardioda dapat diselesaikan secara numerik dengan metode trapesium dan metode simpson serta dapat memberikan asil relative sama pada empat digit di belakang desimal, namun prosesnya menjadi sangat muda bila dibandingkan penyelesaian secara eksak pengintegralan untuk mencari luas daera, titik berat dan momen inersia polar yang memerlukan langka-langka yang sangat panjang dan rumit. Ucapan terima kasi disampaikan kepada LPPM Universitas Merdeka Madiun. DAFTAR PUSTAKA Apostol, Tom IN, 1968, Calculus, Volume II, second edition, Jon Wiley & son, New York. Jerome, K, 000. Elementary Calculus, An Infinitesimal Approac, Second edition, University of Wisconsin. Soeardjo, Diktat Matematika III, Soeardjo Press, Surabaya. Suparno, Supriyanto, 008, Komputasi untuk Sains dan Teknik, UI Press, Jakarta. Tomas, 000, Calculus & Analytic Geometry, Jon Wiley & son, New York. wikipedia, 007. Zuair, 008, Metode Numerik, Jurusan Teknik Informatika Universitas Mercu Buana, Jakarta Agri-tek Volume 1 Nomor 1 September 011 LUAS DAERAH,. TITIK BERAT... 49