- Persoalan nilai perbatasan (PNP/PNB)

Transkripsi

1 PENYELESAIAN NUMERIK PERSAMAAN DIFERENSIAL Persamaan diferensial biasanya digunaan untu pemodelan matematia dalam sains dan reayasa. Seringali tida terdapat selesaian analiti seingga diperluan ampiran numeri. Persamaan diferensial yang aan diselesaian adala persamaan diferensial orde satu. Untu orde lebi tinggi aan dibuat sistem dari persamaan orde satu. Ringasan Persamaan Diferensial Biasa: - Persoalan nilai awal (PNA) Misal: (i) y' f ( t, y) pada [ a, b] y (a) (ii) y" f ( t, y, y' ) pada [a, b] y (a) y'( a) - Persoalan nilai perbatasan (PNP/PNB) Misal: y' f ( t, y) pada [a, b] y (a) y (b) Persamaan Diferensial Parsial: - Persoalan nilai awal (PNA) Sistem Persoalan Nilai Awal : y`=f(t,y), f(a)=α

2 Selesaian buan berupa suatu fungsi yang memenui PNA, tetapi impunan titi t, y yang digunaan sebagai ampiran (yani y t ) y ). ( Metode Langa-Tunggal: y( t 1) y 1 y fungsi Rumus umum: nilai selanjutnya = nilai searang + slope * lebar step Metode Euler : y 1 y f t, y Slope: f t, y Metode Heun : y 1 y f t, y f t 1, p 1 1 slope: f t, y f t1, p 1 dengan p 1 y f ( t, y ) Metode Deret Taylor : N 1 y t ) y( t ) T ( t, y( t )) + O ( ) ( N N ( j) y ( t T N ( t, y( t )) j1 j! slope: Metode Runge-Kutta : y y w ) j w w33 w44

3 slope: 1 f t, y f t a1, y b1 1 Peritungan Galat 3 f t a, y b1 b3 4 f t a3, y b41 b5 b63 Metode Langa-Banya(multistep): y F, y, y,..., y M ( M 1 M M n Metode Penduga-Pengoresi: Metode Adam-Basfort-Moulton Metode Milne-Simpson Metode Hamming Sistem Dua PNA : x' = f(t,x), f ( a1) 1 y`= g(t,y), f ( a) )

4 Metode Euler Uraian y (t) atas deret Taylor diseitar t t0 ( t t ) y( t) y( t ) '( )( ) "( ) 0 0 y t0 t t0 y c1 dengan c 1 diantara t 0 dan t. (anggapan: y (t), y '( t), y (t) ontinu) substitusian: y' t f t y y t 1 t 0 0 0, " t yt f t, y y c cuup ecil yt y y f t , y0 1 ampiran Euler Proses diulang dan membangitan barisan titi yang mengampiri urva selesaian y y t Langa umum: t1 t y y f t, y 1 dijalanan untu 0,1,,M -1

5 Conto: Kestabilan Suatu metode numeri disebut stabil jia galat yang terjadi pada suatu langa dalam suatu proses tida cenderung membesar pada langa-langa beriutnya. Conto: Dietaui persamaan diferensial: ( ), diselesaian menggunaan metode dua langa: ( ).

6 Ole arena itu perlu memili metode numeri yang stabil. Kestabilan metode dapat dianalisis menggunaan estabilan persamaan beda pada bab mengenai persamaan beda dalam ampiran turunan. Penerapan persamaan beda pada persamaan diferensial : Misal dietaui persamaan diferensial sebagai beriut:

7 . (*) Misal digunaan persamaan beda maju untu disritisasi seperti pada asus 1 dan 3 di atas, di titi e-n ( ), aan diperole seingga menjadi ( ) ( ) yang merupaan persamaan beda untu persamaan diferensial (*). Pada bab beriutnya aan diterangan mengenai penyelesaian persamaan beda yang ditulis dalam rumus reursif (nilai searang bergantung pada nilai pada titi/watu sebelumnya) menjadi persamaan dalam indes n.

8

9

10

11 Analisis Galat: Metode langa tunggal elementer berbentu y 1 y t, y untu suatu fungsi yang disebut fungsi pertambaan atau slope

12 Definisi: y y(t) selesaian tunggal PNA t, y M 0 impunan ampiran disrit - galat pendisritan global e : e y( t ) y untu 1,,, M - galat pendisritan loal 1: 1 y( t1) y ( t, y ) untu 0,1, M 1 terjadi pada satu langa dari t e t 1 - galat global air: E( y( b), ) y( b) y M Pada metode Euler, suu yang diabaian untu tiap () y ( c ) /. langa Setela M langa, galat teraumulasi menjadi M 1 y () ( c ) My () ( c) b a y () ( c)

13 b a y () ( c) O Metode Runge - Kutta Dapat dibangun untu sebarang order N; yang paling popular orde N 4 Ciri metode Runge-Kutta: - stabil - cuup aurat - muda diprogram Metode Runge-Kutta orde N 4 Bentu yang paling populer: y dengan 6 1 y f1 f f 1 f t, y f f t, y f1 f 3 f 4

14 f3 f t, y f f4 f t, y f 3 Dienal sebagai metode Rung-Kutta orde 4 lasi. Metode Langa Banya Metode Adams-Basfort-Moulton Diturunan berdasaran teorema dasar alulus Dalam mendapatan penyelesaian PD, terdapat tingat yaitu penduga dan pengoresi. Rumus penduga untu menduga/meneba nilai titi yang aan dicari slopenya pada rumus pengoresinya. Penduga:

15 Pengoresi: Tasiran dan perbaian galat Galat pemotongan loal untu rumus penduga: Galat pemotongan loal untu rumus pengoresi: Misal cuup ecil dan ( ) ( ) dapat diabaian maa Conto: Dietaui: t3y PNA. y ' pada 0,3 a. Cari nilai y(0,5) menggunaan metode RK-4 dengan y(0)=1 dan =0,5. b. Cari nilai y(1) menggunaan Metode Adams-Basfort- Moulton dengan y(0)=y(0,5)=y(0,5)=y(0,75)=1. Sistem Persamaan Diferensial Biasa Orde Satu Misal diberian sistem PDB:

16 dengan nilai x pada interval (0,1) dan nilai awal ( ( ) ( )) ( ). Sistem di atas dapat ditulis ( ) ( ) ( ( ) ) ( ) Gunaan metode Heun untu mencari solusinya. Heun: ( ( ) ( )) ( ). Karena ada dua variabel maa buat dua rumus Heun. Hitung daulu predisi baru itung. Lauan secara simultan untu edua variabel, jangan satu-satu. ( ) ( ) ( ( ) ( )) ( ( ) ( )) Persamaan Diferensial Biasa Orde Tinggi Penyelesaiannya dapat menggunaan metode yang suda ada (untu orde satu), namun terlebi daulu diuba menjadi sistem persamaan diferensial orde satu. Conto: y"(t) + 4y'(t) + 5y(t) = cost y(0) = 3, y'(0) = 5 Uba menjadi sistem PD orde satu: definisian terlebi daulu dua variabel baru dan (jumla variabel baru sesuai dengan orde). Ingat.

17 Buat persamaan diferensial orde satu dengan variabel yang baru yang berbentu: ( ) ( ( ) ( ) ) ( ) Lalu sistem PD di atas diselesaian menggunaan cara sebelumnya. Misal dengan metode Euler: ( ) ( )