Penelitian ini bertujuan untuk mengetahui efisiensi dan akurasi penyelesaian

Transkripsi

1 GABUGA METODE BEDA HIGGA DA EKSTRAPOLASI RICHARDSO UTUK MEYELESAIKA MASALAH SYARAT BATAS DIMESI SATU THE MULTIGRID METHOD BETWEE FIITE DIFFERECE AD RICHARDSO EXTRAPOLATIO TO SOLVE THE D LIEAR BOUDARY VALUE PROBLEMS Masduki Jurusan Pend. Matematika Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan Universitas Muammadiya Surakarta Jln. A. Yani, Tromol Pos I, Pabelan Kartasura, Surakarta 57 ABSTRAK Penelitian ini bertujuan untuk mengetaui efisiensi dan akurasi penyelesaian masala syarat batas dimensi satu apabila diselesaikan dengan metode multigrid dengan operator antar gridnya diterapkan ide ekstrapolasi Ricardson. Di sini untuk melakukan diskritisasi masala syarat batasnya digunakan metode beda ingga. Hasil diskritisasi dengan metode beda ingga adala sistem persamaan linier (SPL. Untuk menyelesaikan SPL yang diperole dari diskritisasi dengan metode beda ingga digunakan algoritma multigrid. Pada penelitian ini metode yang digunakan adala studi pustaka yang didukung ole implementasi program komputasi. Studi pustaka digunakan untuk mendapatkan informasi tentang masala syarat batas, algoritma multigrid, dan ekstrapolasi Ricardson. Sedangkan program komputasi digunakan untuk mengetaui efisiensi dan akurasi algoritma baru yang dikembangkan. Dari eksperimen numerik untuk empat kasus masala syarat batas linear dimensi satu diperole bawa penyelesaian masala syarat batas dengan gabungan metode beda ingga dan ide ekstrapolasi Ricardson, lebi akurat dan efisien dibandingkan dengan penyelesaian dengan metode Jacobi. Kata Kunci: metode beda ingga, multigrid, ekstrapolasi Ricardson. Gabungan Metode Beda Hingga dan Ekstrapolasi Ricardson... (Masduki 55

2 ABSTRACT Tis researc aims at finding out te accurate and efficient algoritm, solv ing te D linear boundary value problem wen it is solved by using multigrid metod wen te inter grid transfer is applied by Ricardson Etrapolation. To solve te D linear boundary value problem numerically, it is discretized te equation by using finite difference metod. Tis metod gives te linear equation system and it is solved by using multigrid metod. Tis researc applies literature study and computation program implementation. Te literature study is used to collect information about boundary value problem, multigrid algoritm, and Ricardson etrapolation. Te computation program is used to find out te efficiency and accuracy of te new algoritm. Te finding says tat numerical eperiments for four cases sow te applied of finite difference metod wit multigrid Ricardson etrapolation tat improves te accuracy and efficiency of solution D boundary value problem. Keywords: finite difference metod, multigrid, Ricardson Etrapolation PEDAHULUA Persamaan diferensial merupakan formulasi dari model matematika dari suatu fenomena alam. Fenomena aliran panas pada pelat besi, aliran air pada suatu pipa, perkembangan bakteri, bergetarnya senar pada gitar dan lain sebagainya merupakan fenomena-fenomena yang dapat diformulasikan secara matematika dalam bentuk persamaan diferensial. Penyelesaian MSB dapat dilakukan baik secara analitik maupun numerik. Secara analitik, MSB dapat diselesaikan dengan metode pemisaan variable, Sturm Liouville, D Alembert, deret Fourier maupun transformasi Laplace. Tetapi tidak semua MSB dapat dengan muda diselesaikan dengan cara analitis. Untuk itu diperlukan penyelesaian numeric yang diantaranya adala dengan metode beda ingga. Penyelesaian masala syarat batas dengan metode beda ingga mengasilkan sistem persamaan linier (maupun nonlinier. Pada penelitian ini masala syarat batas akan diselesaikan dengan metode beda ingga order dua. Sistem persamaan yang diperole selanjutnya diselesaikan dengan metode multigrid dengan iterasi matriknya digunakan metode Jacobi. Pada metode multigrid, operator prolongasi yang biasa digunakan adala interpolasi linear. Pada penelitian ini, untuk meningkatkan efisiensi dan akurasi penyelesaian akan diterapkan ide ekstrapolasi Ricardson pada operator prolongasi. Selanjutnya penyelesaian dengan pendekatan multigrid tersebut 56 Jurnal Penelitian Sains & Teknologi, Vol. 8, o., 7: 55-65

3 dibandingkan dengan iterasi Jacobi untuk mengetaui keefektifan metode multigrid yang digunakan. Keefektifan metode yang digunakan ditentukan dengan banyaknya unit work yang diperlukan untuk mencapai error toleransi tertentu. Metode beda ingga tela digunakan luas sebagai sala satu metode standar untuk menyelesaikan masala syarat batas (liat akamura, 99; Bota & Pinder, 983; Smit, 978 disamping metode lain seperti metode elemen ingga. Blyt et. al (997 menggunakan ide ekstrapolasi Ricardson sebagai skema multigrid untuk meningkatkan efisiensi penyelesaian persamaan integral Volterra dengan metode fungsi Wals. Masduki (, 5 menggunakan metode fungsi Wals dan ide ekstrapolasi Ricardson untuk menyelesaikan persamaan integral Volterra nonlinear dan persamaan integral Hammerstein. Eksperimen numerik menunjukkan bawa penerapan ide ekstrapolasi Ricardson mampu meningkatkan efisiensi penyelesaian persamaan integral. Bota & Pinder (983 memberikan bentuk MSB dimensi satu sebagai berikut: u ''( + qu( = f (, (, dengan syarat batas a α < b u v( a < i+ + v β iu '( va i = γ + qv, α u ( b + βu'( b = γ. i = f i Untuk mendapatkan pendekatan turunan kedua, dengan menggunakan deret Taylor diperole pendekatan terpusat yaitu u( u'' ( = u( + u( i+ i i i + O(. ( Untuk menyelesaikan persamaan ( dengan metode beda ingga diasumsikan MSB berbentuk: u ''( + qu( = f (,, (3 dengan syarat batas u ( = u( =. Misalkan v i u( i dan f i f ( i untuk i =,,, Κ,. Dengan menerapkan persamaan ( teradap persamaan (3 diperole. ( Gabungan Metode Beda Hingga dan Ekstrapolasi Ricardson... (Masduki 57

4 Karena v = v = maka persamaan ( anya berlaku untuk i =,, Κ,. Dengan demikian persamaan ( dapat dipandang sebagai sistem persamaan linier Av = f (5 dimana v v v = Μ, dan v v f f f = Μ. (6 f f Dengan demikian menyelesaikan persamaan MSB ( dengan metode beda ingga identik dengan menyelesaikan sistem persamaan (6. Skema ekstrapolasi Ricardson digunakan untuk memperbaiki akurasi penyelesaian pada grid fine (Smit, 97. Misalkan vi,, vi, /, dan vi, / masing-masing adala penyelesaian persamaan (6 apabila jarak antar grid pada domainnya adala, /, dan / (dinotasikan dengan Ω,, dan Ω / Ω /. Dengan ekstrapolasi Ricardson diperole penyelesaian pendekatan yang akurat pada Ω adala sebagai berikut: vi = ( vi, vi, / 3 atau v ( v v i (7 = i, / i, /. (8 3 Persamaan (7 dan (8 disebut skema ekstrapolasi Ricardson satu langka. Dengan menggabungkan persamaan (7 dan (8 diperole penyelesaian pendekatan yang lebi akurat yaitu 58 Jurnal Penelitian Sains & Teknologi, Vol. 8, o., 7: 55-65

5 v i = ( 5v v i, / i, / yang selanjutnya disebut skema ekstrapolasi Ricardson dua langka. Pada metode skema ekstrapolasi Ricardson, untuk melakukan sekali sweep dengan masing-masing level dilakukan sekali iterasi adala ( UW. 3 METODE PEELITIA Metode penelitian yang digunakan dalam penelitian ini adalala studi pustaka dengan dukungan implementasi program komputasi. Dengan studi pustaka diarapkan diperole berbagai informasi yang berubungan dengan masala syarat batas, penyelesaian sistem persamaan linier, dan multigrid. Penggunaan program komputasi dimaksudkan untuk mengetaui akurasi dan efisiensi metode yang dikembangkan. Pada penelitian ini digunakan untuk implementasi numerik digunakan software Matlab 5.3. HASIL DA PEMBAHASA < < Sebagai tes keakuratan kedua metode yang digunakan, akan diterapkan eksperimen numerik pada empat kasus yaitu dari akamura (99 dan Power (987. Kasus. Diberikan MSB dimensi satu dari akamura (99 pada conto. al. 357 sebagai berikut: u' '( + u( = ep(.,, ( dengan syarat batas tipe Diriclet yaitu u ( = u( =. Penyelesaian MSB ( dengan metode beda ingga ( diperole sistem persamaan linier Av = f ( Gabungan Metode Beda Hingga dan Ekstrapolasi Ricardson... (Masduki 59

6 Jurnal Penelitian Sains & Teknologi, Vol. 8, o., 7: dengan = A Λ Ο Μ Ο Μ Ο Λ, = v v v v v Μ dan =. ep(. ep(. ep(. ep( f Μ Dalam penelitian ini digunakan = 8 dan 56. Selanjutnya persamaan ( diselesaikan dengan metode Jacobi dan pendekatan multigrid dengan operator transfer antar gridnya diterapkan ekstrapolasi Ricardson. Keakuratan masing-masing metode pendekatan dalam menyelesaikan persamaan ( dibandingkan dengan meliat error yang diperole. Besar error, iterasi, dan unit work yang diperlukan pada tiap level disajikan pada tabel. Tabel. Error, Iterasi, dan UW Tiap Level Penyelesaian Persamaan ( Berdasarkan Tabel tampak bawa untuk =8 penyelesaian dengan metode Jacobi memerlukan 5 iterasi (5 UW untuk mendapatkan error sebesar Sedangkan setela diterapkan ide ekstrapolasi Ricardson anya diperlukan iterasi (8/3 UW untuk mendapatkan error sebesar Selanjutnya untuk =56 penyelesaian dengan metode Jacobi memerlukan 5 iterasi (5 UW untuk mendapatkan error sebesar Sedangkan setela diterapkan ide ekstrapolasi Ricardson anya diperlukan iterasi (8/3 Metode Iterasi Jacobi Ekstrapolasi Ricardson Error Iterasi (UW Error Iterasi (UW ( (8/ ( (8/3

7 UW untuk mendapatkan error sebesar Dari eksperimen numerik untuk =8 dan =56 tampak bawa penyelesaian masala syarat batas ( dengan metode multigrid ekstrapolasi Ricardson lebi akurat dan efisien dibandingkan dengan penyelesaian dengan metode standar, dalam al ini adala metode iterasi Jacobi. Kasus. Diberikan MSB dimensi satu dari Power (987 pada latian.b al. 7 sebagai berikut: u ''( + u( =, < <, ( dengan syarat batas tipe Diriclet yaitu Penyelesaian MSB ( dengan metode beda ingga ( diperole sistem persamaan linier Av = f (3 Besar error, iterasi, dan unit work yang diperlukan pada tiap level disajikan u ( pada = u tabel ( =.. Tabel. Error, Iterasi, dan UW Tiap Level Penyelesaian Persamaan (3 Metode Iterasi Jacobi Ekstrapolasi Ricardson Error Iterasi (UW Error Iterasi (UW ( (/ ( (/3 Berdasarkan Tabel tampak bawa untuk =56 penyelesaian dengan metode Jacobi memerlukan 5 iterasi (5 UW untuk mendapatkan error sebesar.7-3. Sedangkan setela diterapkan ide ekstrapolasi Ricardson anya diperlukan iterasi (/3 UW untuk mendapatkan error sebesar Selanjutnya untuk =8 penyelesaian dengan metode Jacobi memerlukan 5 iterasi (5 UW untuk mendapatkan error sebesar Sedangkan setela diterapkan ide ekstrapolasi Ricardson anya diperlukan iterasi (/3 UW untuk Gabungan Metode Beda Hingga dan Ekstrapolasi Ricardson... (Masduki 6

8 mendapatkan error sebesar Dari eksperimen numerik untuk =8 dan =56 tampak bawa penyelesaian masala syarat batas ( dengan metode multigrid ekstrapolasi Ricardson lebi akurat dan efisien dibandingkan dengan penyelesaian dengan metode standar, dalam al ini adala metode iterasi Jacobi. Kasus 3. Diberikan MSB dimensi satu dari akamura (99 pada latian. al. 399 sebagai berikut: y ''( = w( / T, < <, 5 dengan w ( = ( + e / T = 5 ( dan syarat batas tipe Diriclet yaitu u ( = u( =. Penyelesaian MSB (7 dengan metode beda ingga ( diperole sistem persamaan linier Av = f (5 Besar error, iterasi, dan unit work yang diperlukan pada tiap level disajikan pada tabel 3. Tabel 3. Error, Iterasi, dan UW Tiap Level Penyelesaian Persamaan (5 Metode Iterasi Jacobi Ekstrapolasi Ricardson Error Iterasi (UW Error Iterasi (UW (5.5-6 (/ ( (/3 Berdasarkan Tabel 3. tampak bawa untuk =8 penyelesaian dengan metode Jacobi memerlukan 5 iterasi (5 UW untuk mendapatkan error sebesar Sedangkan setela diterapkan ide ekstrapolasi Ricardson anya diperlukan iterasi (/3 UW untuk mendapatkan error sebesar.5-6. Selanjutnya untuk =56 penyelesaian dengan metode Jacobi memerlukan 5 iterasi (5 UW untuk mendapatkan error sebesar Sedangkan setela 6 Jurnal Penelitian Sains & Teknologi, Vol. 8, o., 7: 55-65

9 diterapkan ide ekstrapolasi Ricardson anya diperlukan iterasi (/3 UW untuk mendapatkan error sebesar Dari eksperimen numerik untuk =8 dan =56 tampak bawa penyelesaian masala syarat batas ( dengan metode multigrid ekstrapolasi Ricardson lebi akurat dan efisien dibandingkan dengan penyelesaian dengan metode standar, dalam al ini adala metode iterasi Jacobi. Kasus. Diberikan MSB dimensi satu dari akamura (99 pada latian. al. sebagai berikut: T ''( = q( / k, < <, dengan q( = e k=3 dan syarat batas tipe Diriclet yaitu T ( = T ( =. Penyelesaian MSB (6 dengan metode beda ingga ( diperole sistem persamaan linier Av = f (7 Besar error, iterasi, dan unit work yang diperlukan pada tiap level disajikan pada tabel. Tabel. Error, Iterasi, dan UW Tiap Level Penyelesaian Persamaan (7 Metode Iterasi Jacobi (6 Ekstrapolasi Ricardson Error Iterasi (UW Error Iterasi (UW ( (/ ( (/3 Berdasarkan Tabel. tampak bawa untuk =8 penyelesaian dengan metode Jacobi memerlukan 5 iterasi (5 UW untuk mendapatkan error sebesar Sedangkan setela diterapkan ide ekstrapolasi Ricardson anya diperlukan iterasi (/3 UW untuk mendapatkan error sebesar Selanjutnya untuk =56 penyelesaian dengan metode Jacobi memerlukan 5 iterasi (5 UW untuk mendapatkan error sebesar Sedangkan setela diterapkan ide ekstrapolasi Ricardson anya diperlukan iterasi (/3 UW untuk mendapatkan error sebesar Dari eksperimen numerik Gabungan Metode Beda Hingga dan Ekstrapolasi Ricardson... (Masduki 63

10 untuk =8 dan =56 tampak bawa penyelesaian masala syarat batas (7 dengan metode multigrid ekstrapolasi Ricardson lebi akurat dan efisien dibandingkan dengan penyelesaian dengan metode standar, dalam al ini adala metode iterasi Jacobi. SIMPULA DA SARA Dari asil eksperimen numerik untuk keempat kasus yang diselesaikan maka dapat disimpulkan bawa penyelesaian masala syarat batas dimensi satu dengan gabungan metode beda ingga dan ekstrapolasi Ricardson lebi efisien dan akurat dibandingkan dengan metode Jacobi. Selanjutnya, penelitian tentang penyelesaian masala syarat batas secara numerik, kususnya dengan metode multigrid masi terbuka luas. Teknik-teknik operator antar grid yang lebi efisien dan akurat masi perlu dikembangkan. Selain itu penelitian untuk menyelesaikan masala syarat batas nonlinear juga merupakan bidang yang masi luas untuk diteliti. PERSATUA Ucapan terima kasi saya ucapkan kepada lembaga penelitian UMS yang tela membantu mendanai penelitian ini. Juga kepada teman-teman sejawat di Jurusan Pendidikan Matematika FKIP UMS yang tela memberikan saran-saran perbaikan pada penelitian ini. DAFTAR PUSTAKA Blyt, W. F., May, R. L., and Widyaningsi, P., 997, Te Solution of Integral Equations using Wals Function and A Multigrid Approac, Computational Tecniques and Applications: CTAC97 Proceedings of Eigt Biennial Conference, editor J. oye, M. Tuebner, and A. Gill, Computational Matematics Group, World Scientific Publising Co, Hal: Briggs, B. L., 988, A Multigrid Tutorial, Second ed., Society for Industrial and Applied Matematics, Piladelpia. Bota, J. F., and Pinder, G. F., 983, Fundamental Concepts in te umerical Solution of Differential Equations, Jon Wiley & Sons, ew York. Burden, R. L., Faires, J. D., Reynolds, A. C., 98, umerical Analysis, second eds. Prindle, Weber & Scmidt, Massacusets. 6 Jurnal Penelitian Sains & Teknologi, Vol. 8, o., 7: 55-65

11 Masduki,, Penerapan Metode Fungsi Wals dan Ekstrapolasi Ricardson untuk Menyelesaikan Persamaan Integral Volterra onlinear, Jurnal MIPA, Vol. no., Juli, 5, Penyelesaian umerik dari Persamaan Integral Hammerstein Menggunakan Fungsi Wals dan Multigrid, Prosiding Seminar asional Matematika, 7 Agustus 5 di UDIP Semarang, al. 7- akamura, S., 99, Applied umerical Metods wit Software, Prentice Hall International Editions, ew Jersey. Power, L. D., 987, Boundary Value Problem, tird edition, Harcourt Brace Jovanovic, Florida. Smit, G. D., 97, umerical Solution of Partial Differential Equations, Oford University Press, London. Gabungan Metode Beda Hingga dan Ekstrapolasi Ricardson... (Masduki 65