Metode Numerik & Lab. Muhtadin, ST. MT. Metode Numerik & Komputasi. By : Muhtadin

Transkripsi

1 Metode Numerik & Lab Muhtadin, ST. MT.

2 Agenda Intro Rencana Pembelajaran Ketentuan Penilaian Deret Taylor & McLaurin Analisis Galat

3 Metode Numerik & Lab - Intro 3

4 Tujuan Pembelajaran Mahasiswa memiliki pengetahuan dan mampu menggunakan pendekatan numerik dan berbagai algoritma untuk menyelesaikan mengenai berbagai macam persoalan dalam bidang rekayasa. Kompetensi : Mahasiswa mampu menjelaskan dan menggunakan metode-metode numerik untuk menyelesaikan persoalan yang sulit diselesaikan dengan cara analitik. 4

5 Pokok Bahasan Deret Taylor, algoritma rekursi, analisis galat dan kompleksitas komputasi. Mencari solusi untuk persamaan linier dan non linier. Pencocokan kurva dengan metode regresi dan interpolasi. Turunan dan integrasi numerik. Penyelesaian persamaan dierensial biasa dan persamaan dierensial parsial. Optimasi numerik. 5

6 Pustaka Utama : 1. Munir R., Metode Numerik, Inormatika Bandung, 5. Cormen T., Leiserson C., Rivest R., Stein C., Introduction to Algorithms, nd Edition, Mc Graw Hill international Edition, 4. Prasyarat : Pemrograman Komputer dan Kalkulus I. 6

7 Perlu belajar metode numerik? Persoalan / permasalahan dalam bidang science hampir selalu melibatkan MODEL MATEMATIKA Kebanyakan dari Model tersebut sangat kompleks Sulit untuk dipecahkan Sangat sulit atau bahkan tidak mungkin menggunakan metode analitis untuk menghasilkan Hasil Eact. Metode Analitis adalah metode untuk memecahkan model matematis menggunakan aljabar umum 7

8 Contoh ! 3!! e g e d c b a g e d c b a g e d c b a g e d c b a g e d c b a g e d c b a g e d c b

9 Metode Numerik menggunakan Komputer Metode numerik: operasi aritmatis, mudah namun memerlukan proses panjang Menyebabkan perhitungan yang lambat dan rawan terhadap human errors. Perlu menggunakan Mesin Komputer. Bahasa pemrograman tingkat tinggi : PASCAL, C, Python,etc. Aplikasi komersial : MATLAB, MAPLE, etc. 9

10 Teorema Pendekatan Pada umumnya ungsi-ungsi yang bentuknya kompleks dapat disederhanakan menjadi ungsi hampiran / pendekatan Biasanya dalam bentuk polinomial Perhitungan dengan menggunakan ungsi yang sesungguhnya akan didapatkan hasil solusi eksak solusi sejati Perhitungan dengan menggunakan ungsi hampiran / pendekatan akan didapatkan hasil solusi hampiran solusi pendekatan Hubungan antara nilai eksak dengan nilai hampiran dapat diberikan dalam bentuk kesalahan absolut dan kesalahan relati Kesalahan Absolut : Ee = p p* Kesalahan Relati : ε = Ea / p 1%

11 Contoh Soal Pengukuran panjang jembatan dan pensil memberikan hasil 9999 cm dan 9 cm. Apabila panjang yang benar eksak berturut-turut adalah 1. cm dan 1 cm, hitung kesalahan absolut dan relati : Jawab : Kesalahan absolut : Jembatan = 1 cm. Pensil = 1 cm. Kesalahan relati : Jembatan =.1 % Pensil = 1 % 11

12 Deret Taylor & McLaurin 1

13 Overview Polynomial Deret Taylor Deret MacLaurin 13

14 Deret Taylor Metode Numerik: Pendekatan menggunakan polynomial error. Deinisi : Jika dan semua ungsi turunannya,,, kontinyu pada interval [a, b], maka dapat diperluas dalam deret Taylor : m m ' ''... 1!! m!... Jika = Deret MacLaurin. 14

15 Pendekatan = sin menggunakan deret taylor disekitar = 1. Dengan asumsi 1 = h; sin sin1 hcos 1 h sin1 h 6 3 cos 1... Pendekatan sin, e, cos menggunakan Deret McLaurin. sin 3 3! 5 5!... e 1! 3 3! 4 4!... cos 1! 4 4! 6 6!... 15

16 Contoh Deret Taylor Cari Deret Taylor dari ungsi = sin dengan titik pusat pada =! 16

17 Deret Taylornya Polinomial Taylor 17

18 Contoh Deret Taylor Contoh soal Hitung sin 5 menggunakan deret taylor Jawab : Sin = Karena 36 = rad, maka 1 rad = 18/ = 57,95 Jadi 5= 5 / 57,95 =,8766 Masukkan kedalam deret tailor sinus. 18

19 Contoh Deret Taylor 19

20 Contoh Deret Taylor Deret Taylornya : Polinomial Taylor

21 Contoh Deret Taylor 1

22 Deret Taylor yang Terpotong Kita tidak dapat menentukan semua deret Taylor Tak berhingga! Kita bisa memutuskan untuk membuat perkiraan dari sebuah ungsi hingga n derajat tertentu yang tidak tak terhingga; Kita sebut sebagai Truncated Taylor Series.

23 Deret Taylor yang Terpotong Untuk menemukan suku ke n order perpotongan deret Taylor 3!! n n n

24 Contoh - Deret Taylor yang Terpotong Temukan deret taylor hingga order 3 dari ungsi berikut ini : cos Dengan titik pusat pada 4 4

25 Contoh - Deret Taylor yang Terpotong Untuk pendekatan hingga order 3 : Oleh karena itu kita perlu untuk menentukan turunan ungsi hingga turunan ketiga dari titik pusat. 5 3!! 3

26 Contoh - Deret Taylor yang Terpotong cos 4 cos sin 4 sin 4cos 4 4cos 8sin 4 8sin 8 6

27 Contoh - Deret Taylor yang Terpotong 7 3! 4 8! 4 4 3!!

28 Quiz Diketahui suatu ungsi = , Dengan menggunakan deret taylor order nol, satu, dua dan tiga; perkirakan ungsi tersebut pada titik i+1 = 5 berdasarkan ungsi pada titik i =. Bandingkan dengan nilai eksak untuk = 5 Berapakah nilai relative true error dari nilai hasil perkiraan dengan nilai eksaknya? 8

29 TERIMA KASIH 9