U J I A N A K H I R S E M E S T E R M A T E M A T I K A T E K N I K

Transkripsi

1 U J I A N A K H I R S E M E S T E R M A T E M A T I K A T E K N I K SE NIN, 9 JANUAR I OPEN BOO K W AKT U MENIT KLAS B D AN KL AS C PETUNJUK ) Saudara bole menggunaan omputer untu mengerjaan soal-soal ujian ini. Tabel itungan dan urva Saudara salin e lembar jawab. ) Tulisan urutan/cara /ormula ang Saudara paai untu mendapatan jawaban (buan ana anga jawaban ang eluar di tabel spreadseet). 3) Setiap butir soal memilii bobot nilai ang ampir sama sesuai tingat esulitanna. SOAL NUMERICAL INTERPOLATION a) Paaila spreadseet untu menggambaran 3 urva polinomial Lagrange derajat ang melewati titi-titi =.,.7, dan.3. / Use spreadseet application program to draw 3 curves o te Lagrange Polnomial o degree tat pass troug =.,.7, and.3. b) Gambaran urva interpolasi Lagrange derajat untu menginterpolasian pasangan titititi pada tabel di bawa ini. / Draw te Lagrange Interpolating Polnomial or te ollowing data. No Kurva polinomial Lagrange: L i n j j i j i j Ketiga urva polinomial Lagrange ang melewati etiga titi tersebut adala: L. L L UAS Metoda Numeri lm. dari 9

2 L() Untu menggambaran etiga urva dengan bantuan spreadseet, diitung titi-titi oordinat [,L. ()],..3 dengan interval =.. Hitungan dilauan dengan cara tabulasi seperti disajian pada Tabel. Kurva disajian pada Gambar. TABEL. HITUNGAN KOORDINAT KURVA POLI NOMIAL LAGRANGE L. () L.7 () L.3 () L.7 ().6.4 L. () L.3 () GAMBAR. TIGA KURVA POLINOMIAL LAGRANGE YANG MELEWATI X =.,.7, DAN.3 Kurva interpolasi polinomial Lagrange ang melewati etiga pasang titi data dinataan dengan persamaan: L. L.7 L Hitungan dilauan dengan bantuan tabulasi spreadseet seperti disajian pada Tabel dan urva interpolasi ang melewati etiga titi disajian pada Gambar. UAS Metoda Numeri lm. dari 9

3 () TABEL. HITUNGAN KURVA INTERPOLASI LAGRANGE MELEWATI TITIK-TITIK (.,.56), (.7,.5), DAN (.3,.33) L. () L.7 () L.3 () () GAMBAR. KURVA INTERPOLASI LAGRANGE MELEWATI TIGA TITIK (.,.56), (.7,.5), DAN (.3,.33) SOAL a) Bandingan pendeatan nilai derivati ungsi di bawa ini pada titi =.3 dengan sema dierensi mundur, dierensi maju, dan dierensi tenga. Paaila = =. / Compare te approimation values o te derivative o te ollowing unction on =.3 using te bacward-dierence ormula, te orward-dierence ormula, and te central-dierence ormula. Use () o.. ( ).9.sin. UAS Metoda Numeri lm. 3 dari 9

4 b) Paaila polinomial interpolasi Lagrange derajat untu mendeati nilai derivati ungsi tersebut seperti pada soal butir a. Buatla titi-titi bantu ang diperluan dengan jara. dari titi ang bersangutan. / Use te Lagrange Interpolating Polnomial o degree to approimate te derivative o te above problem (a). Tae some necessar points to do so. Fungsi dan derivati ungsi sema dierensi maju, dierensi mundur, dan dierensi tenga: ( ).9.sin d d d d d d Derivati ungsi:.9. sin cos.8.4 sin cos ( ) Fungsi polinomial Lagrange untu mendeati ungsi di atas adala: L.3 L.3 L Untu nilai =.3: sin.3 cos SOAL 3 a) Deati integral ungsi pada soal a di antara titi =. dan titi =.4 dengan metoda trapesium. / Approimate te integral o te unction in Problem a, between two values o. and.4 using te trapezoidal rule. b) Hitung soal pada butir a di atas dengan metoda Kuadratur Gauss derajat. / Approimate te solution o Problem a using te Gauss Quadrature o degree. Integral ungsi: sin ( ) d d. UAS Metoda Numeri lm. 4 dari 9

5 ang diitung dengan metoda trapesium adala:.4. ( ) d sin sin Nilai integral ungsi tersebut dapat pula diitung dengan metoda Kuadratur Gauss. Di sini dipaai Kuadratur Gauss TIti atau dienal pula sebagai Gauss-Legendre. Dalam metoda ini, variabel diuba menjadi: a a d d a dd. b a a dan a b a a dan b masing-masing adala batas bawa dan batas atas integrasi. Jadi a =. dan b =.4, seingga: a =.5 dan a =.5, serta d =.5 d d. Integral ungsi dapat diitung dengan persamaan beriut:.4. d d 3 3 d d d d 3 3 d SOAL 4 INITIAL VALUE PROBLEM OF ODE d Paaila metoda Euler dan Runge-Kutta orde untu mendeati solusi soal beriut pada t =.8. Bandingan asilna dan tulisan omentar Saudara. / Use te Euler and te nd Order Runge-Kutta Metods to approimate te solutions o te ollowing initial value problems at t =.8. Compare te results obtained b te two metods (give our comment). d 4.t t, dt t.8, t, t.. Penelesaian persamaan dierensial ordiner (ordinar dierential equations, ODE) dengan sarat awal ang dietaui seperti pada Soal 4 ini dilauan dengan beda ingga ang diespresian dalam bentu: i i UAS Metoda Numeri lm. 5 dari 9

6 Dalam persamaan tersebut i+ dan i berturut-turut adala nilai pada watu t i+ dan t i, adala selang t, t = t i+ t i, dan adala slope atau gradien penggal urva antara i dan i+. Gradien merupaan ungsi t dan, = d/dt = (t,). Metoda Euler dan Runge-Kutta berbeda dalam menetapan gradien : a) pada metoda Euler, ditetapan sebagai gradien di titi t i, (t i, i ), b) pada metoda Runge-Kutta orde, ditetapan sebagai increment unction ang dapat dibaca sebagai gradien ungsi pada selang antara t i dan t i+. Metoda penelesaian ang muda dipaai dan cepat memberian asil adala metoda Euler: i d dt i t i, i Hitungan disajian pada Tabel 3. TABEL 3. ODE SECARA NUMERIS MEMAKAI METODA EULER t = (t,) Metoda Runge-Kutta (RK) orde : i i d t,, a a dt t, t p, q Ada beberapa metoda untu mengitung, antara lain metoda Heun, metoda improved polgon, atau metoda Ralston. Di sini dipaai metoda Heun: t, t, Hitungan lengap disajian pada Tabel 4. TABEL 4. ODE SECARA NUMERIS MEMAKAI ND-ORDER RUNGE-KUTTA t t UAS Metoda Numeri lm. 6 dari 9

7 Proil pada nilai t = s.d..8 ang diperole dengan metoda Euler dan Runge-Kutta disajian pada gambar di bawa ini Runge-Kutta.. Euler.9.8 sarat awal t GAMBAR 3. PROFIL Y PADA NILAI T = S.D..8 YANG DIPEROLEH DENGAN METODA EULER DAN METODA RUNGE-KUTTA SOAL 5 BOUNDARY VALUE PROBLEM OF ODE Paaila metoda beda ingga untu mendeati solusi soal aliran air tana tida tertean beriut ini. Paaila sub-interval m pada rentang antara Sta. m dan Sta. m, serta nilai =.. / Use te inite dierence metod to approimate te solution o te ollowing boundar value problem o unconined groundwater dept at all m sub-interval nodes witin te Sta. m to Sta. m. Use te value o =...,, () 8, () 4. Persamaan aliran air tana pada soal di atas dapat ditulisan dalam bentu sbb... Bentu persamaan beda ingga persamaan aliran air tana tersebut di suatu loasi (posisi) i adala:. i i i i. i i i i UAS Metoda Numeri lm. 7 dari 9

8 UAS Metoda Numeri lm. 8 dari 9 Istiarto Peratian setsa di bawa ini. Persamaan beda ingga aliran air tana berlau di setiap titi pada selang Sta. m s.d. Sta. m. Di antara Sta. m dan Sta. m ini, terdapat 9 titi, i =,,, 9 ang berada pada posisi i =,,, 9. Di setiap titi i ini ada 3 variabel ta dietaui, aitu ( ) i dan di iri dan ananna, ( ) i- dan ( ) i+. Di edua ujung berlau sarat batas, aitu di = berlau sarat batas = 8 dan di = berlau sarat batas = 4. Apabila esembilan persamaan disusun berurut, diperole bentu sbb.: [A].{H} = {C} [A] adala matris 9 9 ang elemen-elemenna merupaan oeisien pada persamaan, {H} adala vetor 9 ang elemenna adala di setiap i dan {C} adala vetor 9 ang elemenna adala onstanta Ada beberapa cara untu menelesaian persamaan-persamaan di atas. Cara-cara penelesaian ini tela dibaas pada ulia periode sebelum UTS. Dengan memaai spreadseet, misal MSEcel, cara penelesaian langsung dengan matris inversi sangat muda untu dilauan. Vetor {H} diperole dengan peralian matris sbb.: C A H Dengan MSEcel, persamaan di atas diselesaian dengan perinta: =MMULT(MINVERSE(matria),matric) matria adala sel-sel ang berisi elemen [A] dan matric adala sel-sel ang berisi elemen vetor {C}. Penulisan perinta ini diawali dengan memili satu olom ang terdiri dari 9 sel, menulisan perinta di atas, dan diairi dengan menean tombol control+sit+enter. Kesembilan sel aan berisi elemen-elemen vetor {H}. i = i = i = 8 9

9 Gambar 4 menunjuan ilustrasi proil ang diperole dari penelesaian persamaan aliran air tana pada soal ini sarat batas sarat batas GAMBAR 4. PROFIL TEKANAN PIEZOMETRIK ALIRAN TANAH -oo- UAS Metoda Numeri lm. 9 dari 9