Matematika Lanjut 2 SISTIM INFORMASI FENI ANDRIANI

Transkripsi

1 Matematika Lanjut SISTIM INFORMASI FENI ANDRIANI

2 . SOLUSI PERSAMAAN NON LINIER

3 Metode Biseksi Fungsi kontinu pada [a,b] Akarnya = p & p [a,b] Untuk setiap iterasi akan membagi interval yang memuat = p dan berenti bila mencapai suatu bilangan yang berada dalam toleransi ditetapkan Hanya ada akar dalam [X,X ] maka X *X Titik tenga interval X =½X + X 3

4 Metode Biseksi lanjutan Bila X *X maka akar p [X,X ] Ulangi iterasi pada interval [X,X ] yang baru dalam al ini [X,X ] Pada kasus lainnya, yakni bila X *X >, maka akar p [X,X ] Ulangi iterasi pada interval [X,X ] yang baru dalam al ini [X,X ] 4

5 Metode Biseksi lanjutan Setela dilakukan n kali iterasi biseksi, akan diperole interval yang lebarnya ½ n X X Bila ½ n X X <t maka akarnya berselisi kurang dari t teradap kedua titik ujung interval kecil terakir tsb. 5

6 Metode Biseksi lanjutan Bila diinginkan toleransi kesalaan lebi kecil dari t, maka diperlukan paling sedikit logx X iterasi biseksi, kecuali bila akarnya tepat pada ujung interval. 6

7 Algoritma Biseksi INPUT X,X,FX,T WHILE [X X T OR FX *FX ] DO X = X + X / IF FX *FX > THEN X = X ELSE X = X ENDIF ENDWHILE 7

8 Algoritma Biseksi IF FX = THEN OUTPUT X ELSE IF FX = THEN OUTPUT X ELSE OUTPUT X ENDIF 8

9 KEUNTUNGAN BISEKSI Selalu berasil menemukan akar solusi yang dicari, atau dengan kata lain selalu konvergen. 9

10 KELEMAHAN BISEKSI Bekerja sangat lambat. Tidak memandang bawa sebenarnya akar atau solusi yang dicari tela berada dekat sekali dengan X ataupun X.

11 METODE REGULA FALSI Sala satu alternati untuk mempercepat peritungan akar solusi. Tetapkan interval awal [X,X ] yang memuat akar solusi. Hitung X yang merupakan titik ujung interval baru : titik potong garis lurus dari titik [X,X ] ke titik [X,X ] dengan sumbu X.

12 METODE REGULA FALSI Persamaan garis lurus melalui titik [X,X ] dan [X,X ], yaitu : y

13 3 METODE REGULA FALSI Garis tersebut berpotongan dengan sumbu X Y = dengan titik absisnya yaitu X, seingga diperole :

14 METODE REGULA FALSI Penetapan interval baru: bila FX *FX < maka intervalnya menjadi [X, X ] bila FX *FX > maka intervalnya menjadi [X, X ] 4

15 Metode Regula Falsi Pengulangan/iterasi mencari X dan interval baru dilakukan berdasarkan nilai toleransi atau bila akarnya belum ditemukan Sebaiknya nilai toleransi secara relati mengacu pada : error aproksimasi 5

16 ALGORITMA REGULA FALSI INPUT X,X,T,FX, MAX I=; FOUND = alse REPEAT I=I+ X = X -X - X *FX /FX -FX IF FX *FX < THEN X = X 6

17 ALGORITMA REGULA FALSI ELSE X = X ENDIF IF X - X / X T OR I=MAX THEN FOUND=true ENDIF UNTIL FOUND=true OUTPUT X 7

18 KELEMAHAN REGULA FALSI Hanya sala satu titik ujung interval X atau X yang bergerak menuju akar dan yang lainnya selalu tetap untuk setiap iterasi. Seingga mungkin [X, X ] masi cukup besar jaraknya bila menggunakan batas X - X T padaal X X atau X X 8

19 KELEMAHAN Regula alsi al tersebut dikenal dengan pendekatan error mutlak. diperbaiki dengan pendekatan Error relati : T atau T 9

20 Metode Sekan Disebut juga Metode Interpolasi Linear Dalam prosesnya tidak dilakukan penjepitan akar atau dpl. [X, X ] tidak arus mengandung akar yang akan dicari. Seingga dan bisa bertanda sama Untuk mencari X, sama dengan metode REGULA FALSI

21 Metode Sekan lanjutan Untuk iterasi berikutnya akan diperole interval baru [X, X ] dengan cara pergeseran: X X, X X Iterasi berlangsung sampai batas maksimum Ma. atau sampai dipenuinya batas Toleransi T: X - X / X T \/ Nilai kesalaan relati

22 Metode Sekan lanjutan Proses Pencapaian Akar Mtd. SEKAN Tamba gambar! alaman akir

23 Algoritma Sekan INPUT X, X, T, Ma, F i = Found = alse REPEAT i = i + X = X X X *FX /FX FX X = X X = X 3

24 Algoritma Sekan lanjutan IF X - X / X T i = Ma Found = true ENDIF UNTIL Found = true OUTPUT X OR THEN 4

25 5

26 METODE ITERASI TITIK TETAP Syaratnya: = dapat diuba menjadi bentuk: = g yang tidak unik Cari akar dgn pertidaksamaan rekurens: X k+ = gx k ; untuk k =,,, 3, dgn X asumsi awalnya, seingga diperole barisan X, X, X, X 3, yang diarapkan konvergen ke akarnya. Jika g ε *a, b+ dan g k dgn k< Utk setiap ε [a, b], maka titik tetap tersebut tunggal dan iterasinya akan konvergen menuju akar 6

27 METODE ITERASI TITIK TETAP cont d Dari bentuk = g, berarti akar dari tak lain adala perpotongan antara garis lurus y = dan kurva y = g. 7

28 8

29 CONTOH KASUS CONTOH: = e / ; bentuk = g, yaitu: = e / dapat ditulis: = e / = sg didapat = g, antara lain: a. = e / b. = e / ln = / ln e = /ln c. = e / = + e / = / + e / 9

30 CONTOH KASUS lanjutan ambil =.5 periksa kekonvergenan iterasi: a. g = - / e / g = - /.5 e /.5 =.? 3

31 METODE NEWTON-RAPHSON Waktu pencarian akarnya relati lebi cepat dibandingkan metode lainnya. Memanaatkan turunan ungsi pada suatu titik P [, ] Membuat garis singgung pada titik P tsb yg memotong sumbu didapat i+ Sampai ditemukan akarnya sesuai batas toleransi/error yg diberikan 3

32 Gambar Graik 3

33 METODE NEWTON-RAPHSON lanjutan Persamaan garis singgung melalui P [X, X ] adala: y X = X. X X dgn X : gradien garis singgung Persamaan tsb memotong sumbun di titik X, maka akan diperole: - X = X. X X X. X - X. X = - X X = X - X / X 33

34 METODE NEWTON-RAPHSON lanjutan Secara Rekurens, persamaan tsb dinyatakan menjadi: X i+ = X i - X / X Utk i =,, 3, X i : turunan pertama X pada = i. 34

35 . SOLUSI SISTEM PERSAMAAN LINIER SPL

36 SISTEM PERSAMAAN LINIER SPL Bentuk umum : dimana,,..., n variabel tak diketaui, a ij, b i, i =,,..., m; j =,,..., n bil. diketaui. Ini adala SPL dengan m persamaan dan n variabel. SPL Mempunyai penyelesaian disebut KONSISTEN Tidak mempunyai penyelesaian disebut TIDAK KONSISTEN TUNGGAL BANYAK

37 ILUSTRASI GRAFIK SPL persamaan variabel: Masing-masing pers berupa garis lurus. Penyelesaiannya adala titik potong kedua garis ini. kedua garis sejajar kedua garis berpotongan kedua garis berimpitan

38 PENYAJIAN SPL DALAM MATRIKS SPL BENTUK MATRIKS STRATEGI MENYELESAIKAN SPL: mengganti SPL lama menjadi SPL baru yang mempunyai penyelesaian sama ekuivalen tetapi dalam bentuk yang lebi sederana.

39 TIGA OPERASI YANG MEMPERTAHANKAN PENYELESAIAN SPL SPL. Mengalikan suatu persamaan dengan konstanta tak nol.. Menukar posisi dua persamaan sebarang. 3. Menambakan kelipatan suatu persamaan ke persamaan lainnya. MATRIKS. Mengalikan suatu baris dengan konstanta tak nol.. Menukar posisi dua baris sebarang. 3. Menambakan kelipatan suatu baris ke baris lainnya. Ketiga operasi ini disebut OPERASI BARIS ELEMENTER OBE SPL atau bentuk matriksnya diola menjadi bentuk sederana seingga tercapai elemen tak nol pada suatu baris

40 CONTOH DIKETAHUI i ii iii kalikan pers i dengan -, kemudian tambakan ke pers ii. kalikan baris i dengan -, lalu tambakan ke baris ii. kalikan pers i dengan -3, kemudian tambakan ke pers iii. kalikan baris i dengan -3, lalu tambakan ke baris iii. kalikan pers ii dengan /. kalikan baris ii dengan /.

41 LANJUTAN CONTOH kalikan pers ii dengan /. kalikan baris ii dengan /. kalikan pers ii dengan -3, lalu tambakan ke pers iii. kalikan brs ii dengan -3, lalu tambakan ke brs iii. kalikan pers iii dengan -. kalikan brs iii dengan -. kalikan pers ii dengan -, lalu tambakan ke pers i. kalikan brs ii dengan -, lalu tambakan ke brs i.

42 Lanjutan CONTOH kalikan pers ii dengan -, lalu tambakan ke pers i. kalikan brs ii dengan -, lalu tambakan ke brs i. kalikan pers iii dengan -/, lalu tambakan ke pers i dan kalikan pers ii dg 7/, lalu tambakan ke pers ii kalikan brs iii dengan -/, lalu tambakan ke brs i dan kalikan brs ii dg 7/, lalu tambakan ke brs ii Diperole penyelesaian =, y =, z = 3. Terdapat kaitan menarik antara bentuk SPL dan representasi matriksnya. Metoda ini berikutnya disebut dengan METODA ELIMINASI GAUSS. KERJAKAN EXERCISE SET.

43 BENTUK ECHELON-BARIS Misalkan SPL disajikan dalam bentuk matriks berikut: maka SPL ini mempunyai penyelesaian =, y =, z = 3. Matriks ini disebut bentuk ecelon-baris tereduksi. Untuk dapat mencapai bentuk ini maka syaratnya adala sbb:. Jika suatu brs matriks tidak nol semua maka elemen tak nol pertama adala. Brs ini disebut mempunyai leading.. Semua brs yg terdiri dari nol semua dikumpulkan di bagian bawa. 3. Leading pada baris lebi atas posisinya lebi kiri daripada leading baris berikut. 4. Setiap kolom yang memuat leading, elemen lain semuanya.

44 Bentuk ecelon-baris dan ecelon-baris tereduksi Matriks yang memenui kondisi,, 3 disebut bentuk ecelon-baris. CONTOH bentuk ecelon-baris tereduksi: CONTOH bentuk ecelon-baris:

45 Bentuk umum ecelon-baris dimana lambang dapat diisi bilananga real sebarang.

46 Bentuk umum ecelon-baris tereduksi dimana lambang dapat diisi bilananga real sebarang.

47 Penyelesaian SPL melalui bentuk ecelon-baris Misal diberikan bentuk matriks SPL sbb: Tentukan penyelesaian masing-masing SPL di atas.

48 METODA GAUSS-JORDAN Ide pada metoda eliminasi Gauss adala menguba matriks ke dalam bentuk ecelon-baris tereduksi. CONTOH: Diberikan SPL berikut. Bentuk matriks SPL ini adala:

49 -B + B B 5B +B 3 B 3 B 4 B 4 +4B B 3 B 4 B 3 B 3 /3-3B 3 +B B B +B B

50 Akirnya diperole: Akirnya, dengan mengambil := r, 4 := s dan 5 := t maka diperole penyelesaian: dimana r, s dan t bilangan real sebarang. Jadi SPL ini mempunyai tak beringga banyak penyelesaian.

51 METODA SUBSTITUSI MUNDUR Misalkan kita mempunyai SPL dalam matriks berikut: Bentuk ini ekuivalen dengan: LANGKAH : selesaikan variabel leading, yaitu 6. Diperole: LANGKAH : mulai dari baris paling bawa subtitusi ke atas, diperole

52 LANJUTAN SUBSTITUSI MUNDUR LANGKAH 3: subtitusi baris ke dalam baris, diperole: LANGKAH 4: Karena semua persamaan suda tersubstitusi maka peker-jaan substitusi selesai. Akirnya dengan mengikuti langka pada metoda Gauss-Jordan sebelumnya diperole:

53 Eliminasi Gaussian Menguba menjadi bentuk ecelon-baris tidak perlu direduksi, kemudian menggunakan substitusi mundur. CONTOH: Selesaikan dengan metoda eliminasi Gaussian PENYELESAIAN: Diperatikan bentuk matriks SPL berikut: Dengan menggunakan OBE diperole bentuk ecelon-baris berikut:

54 SISTEM PERSAMAAN LINIER SPL Bila diketaui SPL dengan n persamaan dan n variabel, sebagai berikut : a + a + + a n n = a n+.. a + a + + a n n = a n+.. : a n + a n + + a nn n = a nn+.. n Maka solusinya dapat diperole dengan cara : 54

55 Algoritma pseudo code IGS - Langka ke- : Tebak sebarang nilai awal untuk variabel, 3,..., n. Namakan nilai awal tersebut, 3,, n. Langka ke- : Substitusikan, 3,, n ke SPL untuk memperole nilai lalu namakan dengan. 55

56 Algoritma pseudo code IGS - Langka ke-3 : Substitusikan, 3, 4,, n ke SPL untuk memperole nilai lalu namakan dengan. Langka ke-4 : Substitusikan,, 4, 5,, n ke SPL 3 untuk memperole nilai 3 lalu namakan dengan 3. 56

57 Algoritma pseudo code IGS - 3 Langka ke-5 : dan seterusnya, sampai diperole,, 3,, n-, selanjutnya substitusika ke SPL n untuk memperole nilai n lalu namakan dengan n. Iterasi ke- selesai dengan diperolenya nilai :,, 3,, n-, n. 57

58 Algoritma pseudo code IGS - 4 Langka ke-6 : Ulangi langka ke- s/d ke-5 substitusikan, 3,, n ke SPL untuk memperole nilai lalu namakan dengan. Sampai nanti diperole nilai,, 3,, n-, n. 58

59 Algoritma pseudo code IGS - 5 Langka ke-7 : Iterasi berakir pada iterasi ke-k, bila : j k j k+ < T dengan T nilai toleransi kesalaan yang suda ditetapkan sebelumnya. 59

60 Tingkat Konvergensinya Algoritma tersebut BELUM TENTU KONVERGEN!!! Syarat Konvergensi : Matriks koeisiennya A arus bersiat DIAGONALLY DOMINANT 6

61 Matriks Diagonally Dominant dan i a ii dengan n j ; ji a ij n a a ii ij j; i ji 6

62 Conto Soal : Diketaui SPL sebagai berikut : 3 = 3 + = Carila nilai dan dengan menggunakan metode iterasi Gauss-Seidel dengan Toleransinya,5! 6

63 Jawab Conto Soal : Periksa tingkat konvergensinya. Diperole bawa : a =3 ; a = ; a = ; a = a a untuk i j j; j 3 a a untuk i j j; j 63

64 Jawab Conto Soal : Jadi SPL tersebut TIDAK DIAGONALLY DOMINANT. Seingga tidak akan konvergen bila dipecakan dengan metode Iterasi Gauss- Seidel. Untuk itu, uba penyajian SPL nya menjadi : + = 3 = 3 Periksa tingkat konvergensinya!! 64

65 Jawab Conto Soal : 3 Periksa tingkat konvergensinya. Diperole bawa : a = ; a = ; a = 3 ; a = a a untuk i j j; j a a untuk i j j; j 3 65

66 Jawab Conto Soal : 4 Jadi SPL asil perubaannya bersiat DIAGONALLY DOMINANT konvergen Selanjutnya jalankan algoritmanya teradap SPL :! + = 3 = 3 66

67 Jawab Conto Soal : 5 Iterasi ke- :. Tebak nilai awal =. Substitusikan = ke SPL : + = + = = didapat = 3. Substitusikan = ke SPL : 3 = 3 3. = 3 6 = 3 =,3 didapat =,3 67

68 Jawab Conto Soal : 6 Iterasi ke- :. Substitusikan =,3 ke SPL : + = +,3 = =,7 didapat =,7 3. Substitusikan =,7 ke SPL : 3 = 3 3.,7 = 3 5, = 3 =, didapat =, 68

69 Jawab Conto Soal : 7 Iterasi ke-3 :. Substitusikan =, ke SPL : + = +, = =,79 didapat 3 =,79 3. Substitusikan =,79 ke SPL : 3 = 3 3.,79 = 3 5,37 = 3 =,37 didapat 3 =,37 Dan seterusnya.. 69

70 Jawab Conto Soal : 8 Iterasi ke-4, ke-5 dst Lanjutkan sendiri, sebagai latian!! Ingat, proses iterasi akan berenti bila kondisi j k j k+ <,5 Terpenui!! 7

71 Jawab Conto Soal : 9 Rangkuman Proses Iterasinya : Iterasi ke-,,3,7, 3,79,37 4,763,9 5,77,3 7 6,769,3

72 ALGORITMA IGS INPUT An,n+, e, mait INPUT i nilai awal k ; big WHILE k mait and big e DO big FOR i = TO n sum FOR j = TO n IF j i THEN NEXT j temp a i n+ sum / a ii relerror abs i temp / temp IF relerror big THEN big relerror i temp NEXT I k k + ENDWHILE IF k > mait THEN OUTPUT TDK KONVERGEN ELSE OUTPUT KONVERGEN ENDIF OUTPUT i sum sum + aij 7

73 3. INTERPOLASI

74 INTERPOLASI Para rekayasawan dan ali ilmu alam sering bekerja dengan sejumla data diskrit yang umumnya disajikan dalam bentuk tabel. Data didalam tabel mungkin diperole dari asil pengamatan dilapangan, asil pengukuran dilaboratorium, atau tabel yang diambil dari buku-buku acuan.

75 Conto : Sebua pengukuran isika untuk menentukan ubungan antara tegangan yang diberikan kepada baja taan karat dan waktu yang diperlukan ingga baja tsb pata y = Tegangan yang diterapkan, kg/mm y = waktu pata, jam

76 Interpolasi adala teknik mencari arga suatu ungsi pada suatu titik diantara titik yang nilai ungsi pada ke- titik tersebut suda diketaui dpl. : cara menentukan arga ungsi dititik * ε [, n ] dengan menggunakan inormasi dari seluru atau sebagian titik-titik yang diketaui,,., n. n. n 76

77 Perbedaan Interpolasi dan Ekstrapolasi

78 Teknik Umum yang digunakan : i Membentuk polinomial berderajat n yg mempunyai arga ungsi di titik-titik yang diketaui Polinomial Interpolasi ii Masukkan titik yang ingin dicari arga ungsinya ke dalam polinomial interpolasi 78

79 Jenis Interpolasi Interpolasi Linier Interpolasi Kuadrat Interpolasi Lagrange Interpolasi Newton 79

80 Interpolasi Linier L

81 Interpolasi Kudrat L

82 Interpolasi Qubic L 3

83 INTERPOLASI LINIER Misalkan ada m bilangan :,,., m dan bilangan lain yang berkaitan : y, y,., y m maka masalanya : berapa arga y* pada * ε [ k, k+ ]? y y k+? y* y k 83 k * k+

84 84 Ambil ruas garis yang mengubungkan titik k,y k dan k+,y k+ Diperole persamaan garisnya : * * k k k k k k y y y y * * k k k k k k y y y y k k k k k k y y y y * * INTERPOLASI LINIER

85 INTERPOLASI LINIER 3 Jadi persamaan garisnya adala : * k y* yk yk k k y y k y k+? y* y k 85 k * k+

86 Conto : Diketaui data sebagai berikut : y Tentukan arga y pada = 6,5! Jawab : = 6,5 terletak antara =6 & =7 y y y k k k k yk 6, ,5 7 6 y k Hasilnya 86

87 Conto : Alternati : = 6,5 terletak antara = & =7 y y k k k k yk y k y 6,5 5, Hasilnya

88 Conto : y Bandingkan asil kedua jawaban tersebut!! Mana yang mendekati jawaban yang sesunggunya..?? Karena ub. & y adala y = maka untuk arga = 6,5 didapat y = 6,5 = 4,5 => Kesalaan mutlak E : 4,5 4,5 =,5 88

89 Conto : 4 Kesalaan mutlak E, untuk : y = 4,5 4,5 4,5 =,5 = 5 % Sedangkan untuk y = ,5 = 3,5 = 35 % 89

90 Conto- : Diketaui tabel akar bilangan sbb : N.,4,5,6. N /.,4687,4669, Tentukan akar dari,55,55 / =,4669 +,5/,,46969,4669 =,4669 +,7,55 / =,46799 Kesalaan mutlaknya, ,46799 =,8 Tentukan akar dari,53 dan Kesalaan mutlaknya! 9

91 Conto 3: Jarak yang dibutukan sebua kendaraan untuk berenti adala ungsi kecepatan. Data percobaan berikut ini menunjukkan ubungan antara kecepatan dan jarak yang dibutukan untuk mengentikan kendaraan. Perkirakan jarak enti yang dibutukan bagi sebua kenderaan yang melaju dengan kecepatan 45 mil/jam.

92 Conto 3: maka untuk mencari nilai =45 maka,

93 INTERPOLASI KUADRAT Banyak kasus, penggunaan interpolasi linier tidak memuaskan karena ungsi yang diinterpolasi berbeda cukup besar dari ungsi linier Untuk itu digunakan polinomial lain yg berderajat dua interpolasi kuadrat atau lebi mendekati ungsinya Caranya : - Pili 3 titik & buat polinomial berderajat dua melalui ke - 3 titik tsb., sg dpt dicari arga gs. pada = * - Pemilian ke-3 ttk tsb., dapat : - k- < k < k+ atau - k- < * < k < k+ 93

94 Persamaan umum Polinomial kuadrat : P = a + a + a..* 3 titik k-,y k-, k,y k & k+,y k+ dilalui gs. P berarti: y k- = a + a k- + a k- y k = a + a k + a k. ** y k+ = a + a k+ + a k+ => Akan diperole dari 3 pers. yaitu a, a dan a kemudian subst. ke * & diperole pers. kuadrat, sg dapat dicari nilai gs. untuk = * yaitu P* = a + a * + a * => Sistim pers. non omogen ** memp. solusi dan solusinya unik tunggal 94

95 Conto : Diberikan titik ln8 =.794, ln9 =.97, ln9.5 =.53. Tentukan nilai ln9. dengan interpolasi kuadrat Sistem Pers Linier yang terbentuk. 64 a + 8 b + c = a + 9 b + c = a b + c =.53 Penyelesaian a= -.64 b =.66 c =.676 Seingga p9. =.9

96 INTERPOLASI LAGRANGE Interpolasi Lagrange adala sala satu ormula untuk interpolasi berselang tidak sama selain ormula interpolasi Newton umum & metoda Aitken. Walaupun demikian dapat digunakan pula untuk interpolasi berselang sama. Misalkan gs. y kontinu & dierensiabel sampai turunan n+ dalam interval buka a,b. Diberikan n+ titik,y,,y,, n,y n dengan nilai tidak perlu berjarak sama dengan yang lainnya, dan akan dicari suatu polinom berderajat n. Untuk pemakaian praktis, ormula interpolasi Lagrange dapat dinyatakan sbb. : 96

97 97 Formula Interpolasi Lagrange Jika y : nilai yang diinterpolasi; : nilai yg berkorespondensi dg y,,., n : nilai dan y, y,., y n : nilai y y y n n y n n n n n n n n y

98 Conto : Nilai yg. berkorespondensi dengan y = log adala : X log,477,489,4843,487 Carila log 3? Untuk mengitung y = log 3 dimana = 3, maka nilai diatas menjadi = 3 = 34 = 35 3 = 37 y =,477 y =,489 y =,4843 y 3 =,487 98

99 99 Dengan menggunakan interpolasi lagrange 477, y, , , ,76 4,477 4,9658,739,4786 y

100 Polinom Newton Polinom Lagrange kurang disukai dalam praktek karena : Jumla komputasi yang dibutukan untuk satu kali interpolasi adala besar. Interpolasi untuk nilai yang lain memerlukan jumla komputasi yang sama karena tidak ada bagian komputasi sebelumnya yang dapat digunakan. Bila jumla titik data meningkat atau menurun, asil komputasi sebelumnya tidak dapat digunakan. Karena tidak ada ubungannya antara p n- dan p n pada polinom Lagrange Polinom yang dibentuk sebelumnya dapat digunakan untuk membentuk polinom derajat yang lebi tinggi.

101 Polinom Newton Persamaan Polinom Linier Bentuk pers ini dapat ditulis : Yang dalam al ini Dan Pers ini mrpk bentuk selis terbagi divided-dierence y y y p a a p y a y y a ], [ a

102 Polinom Newton Polinom kuadratik Atau Dari pers ini menunjukkan bawa p dapat dibentuk dari pers sebelumnya p. Nilai a dapat ditemukan dengan mengganti = untuk mendapatkan 3 Nilai a dan a pada pers dan dimasukkan pada pers 3 a a a p a p p a a a a

103 Polinom Newton Dengan melakukan utak-atik aljabar, pers ini lebi disukai ], [ ], [ a

104 Polinom Newton Jadi taapan pembentukan polinom Newton : a p p a a p a a a p a p p 3 3 a p p 3 3 a a a a p

105 Polinom Newton Nilai konstanta a, a, a,, a n, merupakan nilai selisi terbagi, dg nilai Yang dalam al ini ],,...,, [ ],, [ ], [ a a a a n n n,,...,, [ ],...,, [ ],,...,, [ ], [ ], [ ],, [ ], [ n n n n n n n k i k j j i k j i j i j i j i

106 Karena a, a,a, an, merupakan nilai selisi terbagi, maka polinom Newton dinamakan polinom interpolasi selisi terbagi Newton. Nilai selisi terbagi dapat diitung dengan menggunakan tabel yng disebut tabel selisi terbagi. 6

107 Polinom Newton Dengan demikian polinom Newton dapat ditulis dalam ub rekursi sebagai : Rekurens basis Atau dalam bentuk polinom yang lengkap sbb : ],,...,, [... p p n n n n n p ],,...,, [... ],, [ ], [ p n n n n

108 Conto Soal : Bentukla polinom Newton derajat satu, dua, tiga dan empat yang mengampiri =cos dalam range[., 4] dan jarak antar titik adala.. Lalu taksirla dengan =.5 dengan Polinom Newton derajat 3. i y i ST- ST- ST-3 ST

109 Conto Soal : Conto cara mengitung nilai selisi terbagi pada tabel : ], [ ], [ ],, [ ], [ ], [

110 Conto Soal : Maka polinom Newton derajat, dan 3 dengan = sebagai titik pertama : cos cos cos cos p p p p Nilai sejati.5 adala F.5 = cos.5=-.8 3.

111 4. INTEGRASI NUMERIK

112 Pengantar Pengintegralan numerik merupakan alat atau cara yang digunakan ole ilmuwan untuk memperole jawaban ampiran aproksimasi dari pengintegralan yang tidak dapat diselesaikan secara analitik. Misalnya dalam termodinamik, model Debye untuk mengitung kapasitas panas dari benda padat.

113 INTEGRASI NUMERIK Peritungan integral adala peritungan dasar yang digunakan dalam kalkulus, dalam banyak keperluan. digunakan untuk mengitung luas daera yang dibatasi ole ungsi y = dan sumbu. Penerapan integral : mengitung luas dan volume-volume benda putar

114 Dasar Pengintegralan Numerik Melakukan penginteralan pada bagian-bagian kecil, seperti saat awal belajar integral penjumlaan bagian-bagian. Metode Numerik anya mencoba untuk lebi cepat dan lebi mendekati jawaban eksak

115 Dasar Pengintegralan Numerik Penjumlaan berbobot dari nilai ungsi... n n i n i i b a c c c c d n n-

116 Formula Newton-Cotes - Berdasarkan pada d d I b a n b a Nilai ampiran dengan polinomial n n n n n a a a a Dasar Pengintegralan Numerik

117 n bisa ungsi linear n bisa ungsi kuadrat

118 n bisa juga ungsi kubik atau polinomial yang lebi tinggi

119 Polinomial dapat didasarkan pada data

120 INTEGRASI NUMERIK Luas daera yang diarsir L dapat diitung dengan : L = b a d

121 Metode Integral Reimann.5.45 *cos3**ep-*+.35 *cos3**ep-*

122 Metode Integral Reimann Luasan yang dibatasi y = dan sumbu Luasan dibagi menjadi N bagian pada range = [a,b] Kemudian diitung Li : luas setiap persegi panjang dimana Li=i. i

123 Metode Integral Reimann Luas keseluruan adala jumla Li dan dituliskan : Dimana Didapat i n i i n n L L L L L n i i b a d n...

124 Conto L = d Hitung luas yang dibatasi y = dan sumbu untuk range = [,] **

125 Conto Dengan mengambil =. maka diperole tabel : L. i i ,85, 385 Secara kalkulus : Terdapat kesalaan e =,385-,333 =,5 L d 3 3,

126 Algoritma Metode Integral Reimann: Deinisikan ungsi Tentukan batas bawa dan batas ata integrasi Tentukan jumla pembagi area N Hitung =b-a/n Hitung L. N i i

127 Metode Integrasi Trapezoida Aproksimasi garis lurus linier i i i b a c c c d L

128 Conto: Aturan Trapesium Hitung integral dari Solusi eksak 4 e d 4 e d Aturan trapesium 4 e e 4 e I 4 e 4 8 d 4 4e %

129 Aturan Komposisi Trapesium n n i n n b a d d d d n n 3 4 n a b

130 Metode Integrasi Trapezoida n n i i L i i i i i i i i L atau L.. i L i L n n n i i i L...

131 Algoritma Metode Integrasi Trapezoida Deinisikan y= Tentukan batas bawa a dan batas atas integrasi b Tentukan jumla pembagi n Hitung =b-a/n Hitung L n i i n

132 Hitung integral dari d e I 4 % , % , %.., %.., %.., I 5 6 n I 5 8 n I 4 n I n I 4 n Aturan Komposisi Trapesium

133 Aturan Simpson /3 Aproksimasi dengan ungsi parabola i i i b a 4 3 c c c c d L

134 d d a b b a b a let L,,,, L Aturan Simpson /3

135 L ξ ξ ξ ξ ξ ξ dξ ξ ξ dξ ξ dξ ξ ξ dξ L d b a b a 4 3 d Aturan Simpson /3

136 Aturan Komposisi Simpson b n a n- n- n

137 Metode Integrasi Simpson Dengan menggunakan aturan simpson, luas dari daera yang dibatasi ungsi y= dan sumbu X dapat diitung sebagai berikut: atau dapat dituliskan dengan: n n n n L n genap i i ganjil i i L 4 3 N = n L = L + L3 + L Ln

138 Cara II Buku Rinaldi Munir Polinom interpolasi Newton-Gregory derajat yang melalui ketiga titik tsb!! p

139 Cara II Buku Rinaldi Munir Integrasikan p pd selang [,] ! L L L L d L d p d L

140 Cara II Buku Rinaldi Munir Mengingat Maka selanjutnya L L L L

141 Aturan Simpson 3/8 Aproksimasi dengan ungsi kubik i 3 i i b a c c c c c d L 3

142 L 3 b a b a a b ; Ld d Error Pemenggalan 3 a b ; 648 a b 8 3 E t Aturan Simpson 3/8

143 Metode Integrasi Gauss Metode Newton Code Trapezoida, Simpson berdasarkan titik data diskrit. Dengan batasan : H sama Luas diitung dari a sampai b Mengakibatkan error yang diasilkan cukup besar.

144 Metode Integrasi Gauss Misal mengitung Luas dengan metode trapezoida dengan selang [-,] I d Persamaan ini dapat ditulis disebut pers Kuadratur Gauss I Misal =-, = dan c =c = menjadi m. trapezoida Karena,,,c dan c sembarang maka kita arus memili nilai tersebut seingga error integrasinya min d c c

145 Metode Integrasi Gauss Bagaimana mencari,,,c dan c Persamaan dibawa ini dianggap memenui secara tepat bila empat polinom berikut dijadikan ungsi integral pada interval integrasi [-, ] = ; = ; = ; = 3 c c d I d c c d c c d c c d c c Didapat 3 3 c c

146 Metode Integrasi Gauss Persamaan dibawa ini dinamakan metode Gauss Legendre titik d 3 3

147 Transormasi b L i d L i a Range [a,b] [-,] X u gu d du g u du

148 Transormasi du a b d u a b b a au bu b a a a b u a b u a u a b a a b - u

149 Transormasi du u a b b a a b du u g a b u a b a b u g du u g L i

150 Analisa Dibandingkan dengan metode Newton-Cotes Trapezoida, Simpson /3, 3/8 metode Gauss- Legendre titik lebi sederana dan eisien dalam operasi aritmatika, karena anya membutukan dua bua evaluasi ungsi. Lebi teliti dibandingkan dengan metode Newton- Cotes. Namun kaida ini arus mentransormasi terlebi daulu menjadi g u du

151 Algoritma Integrasi Kuadratur Gauss dengan Pendekatan titik Deinisikan ungsi Tentukan batas bawa a dan batas atas integrasi b Hitung nilai konversi variabel : Tentukan ungsi gu dengan: Hitung a b u a b a b u a b a b u g 3 3 g g L

152 Conto Soal

153 Metode Gauss Legendre 3 Titik Parameter,, 3,c,c dan c 3 dapat dicari dengan membuat penalaran bawa kuadratur Gauss bernilai tepat untuk 6 bua ungsi berikut : Dengan cara yang sama didapat 3 3 c c c d I ; ; ; ; 5 3 ; 5; ; 9 8 ; c c c

154 Metode Gauss Legendre 3 Titik g g g du u g

155 Algoritma Metode Integrasi Gauss Dengan Pendekatan 3 Titik

156 Metode Gauss n-titik

157 Beberapa Penerapan Integrasi Numerik Mengitung Luas Daera Berdasarkan Gambar Mengitung Luas dan Volume Benda Putar

158 Mengitung Luas Daera Berdasarkan Gambar Skala : Untuk mengitung luas integral di peta di atas, yang perlu dilakukan adala menandai atau membuat garis grid pada setiap step satuan yang dinyatakan dalam satu kotak. Bila satu kotak mewakili mm, dengan skala yang tertera maka berarti panjangnya adala. mm atau m. Pada gambar di atas, mulai sisi kiri dengan grid ke dan sisi kanan grid ke n dalam al ini n=. Tinggi pada setiap grid adala sebagai berikut: 5

159 Mengitung Luas Daera Berdasarkan Gambar Dari tabel di atas, luas area dapat diitung dengan menggunakan 3 macam metode: Dengan menggunakan metode integrasi Reimann L 73.5 Dengan menggunakan metode integrasi trapezoida 6 i y i L y y Dengan menggunakan metode integrasi y i Simpson 5 i L y y y i yi iganjil igenap 74

160 Mengitung Luas dan Volume Benda Putar Luas benda putar: Volume benda putar: b L d p a V p b a d

161 Conto : 5 cm 7 cm I II III IV 4 cm 6 cm cm 7 cm satuan dalam cm Ruang benda putar dapat dibedakan menjadi 4 bagian bagian I dan III merupakan bentuk silinder yang tidak perlu diitung dengan membagi-bagi kembali ruangnya, bagian II dan IV perlu diperitungkan kembali. Bagian I: L I Bagian III: V I L III V III

162 Conto : Sedangkan untuk mengitung bagian II dan IV diperlukan pembagian area, misalkan dengan mengambil = diperole: Pada bagian II dan IV: LIIdan L IV VII VIV Dengan menggunakan integrasi trapezoida dapat diperole: V L II II L IV y y yi i VIV y y5 yi i

163 Conto : Luas permukaan dari botol adala: Luas = cm Volume botol adala: Volume = cm 3 L V L I L II L III V I V II V III L IV 88 8 V IV