Partikel Dirac dalam Sumur Potensial Dinamis

Transkripsi

1 Jural EduMatSais, 1 (1) Juli 016, 9-38 Partikel Dirac dala Suur Potesial Diais Yuat Tiadho * Fakultas Rekayasa Idustri, Uiversitas Telko Jl. Telekouikasi No. 1, Terusa Buah Batu, Badug, Idoesia *e-ail: yuattiadho@gail.co Abstract Ifiite square well potetial is oe of the ost eleetary quatu echaical syste. The calculatio of this case is ot too coplicated, however, it ca show the differeces betwee quatu world ad classical world with clearly. I this letter, we expad the discussio about the ifiite square well potetial for dyaic potetial well by ivolvig relativistic correctios. The dyaic potetial is defied as potetial wall that deped o tie because the potetial ca ovig with costat velocity. The Dirac equatio is used to describe coditio i the potetial well. By this cosideratio, we hope the result will be useful i the developet of aoelectroic devices. To obtai solutio of probability desity of Dirac particles that deped o space ad tie, we trasfor the Dirac equatio ito hyperbolic coordiates ad the differetial equatios ca be solved by separatio variables ethod. Keywords: quatu relativistic, Dirac equatio, tie depedet potetial PENDAHULUAN Kajia tetag partikel dala suur potesial tak higga (o-relativistik) erupaka perasalaha yag uu dipelajari utuk eahai persaaa Schrodiger. Pebahasa ii cukup sederhaa da dapat eberika aproksiasi yag cukup baik dari beberapa perasalaha utuk siste kuatu (Zettili, 009). Tetapi apabila pebahasa diperluas utuk potesial yag bergerak atau potesial yag bergatug waktu aka hal ii ejadi jauh lebih kopleks da lebih sulit. Kasus ii pertaa kali diusulka oleh Feri utuk epelajari siar kosik yag dipercepat (Feri, 1949). Beberapa etode yag telah dilakuka utuk eyelesaika kasus potesial yag bergatug pada waktu diataraya adalah: path itegral (Chetouai & Guechi, 1989), secod quatizatio (Oh, et al., 1989), represetasi Heiseberg (Ji, et al., 1995), etode ivaria (Lewis Jr. & Riesefeld, 1969), da trasforasi Loretz (Hail & Chetouai, 016). Adapu utuk perasalaha suur potesial diais yag elibatka koreksi relativistik saat ii belu begitu bayak dipelajari. Padahal tijaua tersebut kelak aka sagat berafaat dala berbagai aplikasi, khususya dala divais aoelektroik seperti graphee. Pebawa uata dala graphee egikuti diaika pseudorelativistik dari partikel Dirac (Savel'ev, et al., 01). Sehigga beberapa kosekuesi dari hal ii isalka adalah terjadiya feoea Klei tuelig yag awalya haya dikeal dala teori ekaika kuatu relativistik (Katselso, et al., 9

2 Yuat Tiadho Jural EduMatSais, Juli 016 Vol. 1 No ). Berdasarka hal tersebut, aka dega epelajari kasus suur potesial diais utuk partikel Dirac (relativistik) diharapka dapat eabah referesi utuk proses rekayasa aterial graphee atau berbagai divais aotekologi selajutya. Di dala akalah ii, suur potesial diais dideskripsika sebagai suatu suur potesial tak berhigga yag salah satu didigya dapat bergerak da partikel Dirac diasusika berada didalaya. Kai egguaka trasforasi ke dala koordiat hiperbolik agar persaaa Dirac dapat diselesaika secara aalitis egguaka etode separasi variabel. Solusi yag diperoleh dari kajia ii adalah gabara rapat probabilitas partikel Dirac dala suur potesial sebagai fugsi ruag da waktu. Di dala pebahasa selajutya akalah ii egguaka siste satua atural uit diaa ħ = c = 1. PARTIKEL DIRAC DALAM SUMUR POTENSIAL STATIS Suur potesial digabarka sebagai suatu daerah yag dibatasi oleh suatu didig potesial tak berhigga dega bagia dalaya tidak terdapat potesial eksteral. Di dala suur, kodisi partikel Dirac dapat dipadag berada pada keadaa bebas (free particle). Karea didig potesial eiliki ilai yag sagat besar aka efek tuelig tidak aka ucul. Adapu skea dari suur potesial ditujukka oleh Gabar 1. Gabar 1. Skea suur potesial statis Utuk eijau kodisi partikel Dirac tak berassa di dala suur potesial diguaka persaaa Dirac sebagai berikut, diaa 0 (1) adalah atriks gaa yag eeuhi hubuga dega, I adalah ivers etrik Mikowskia da I adalah atriks idetitas. Terdapat bayak variasi atriks gaa da di sii kai eilih atriks gaa sebagai, ; () Utuk eperoleh solusi dari persaaa tersebut, aka dapat dilakuka sedikit odifikasi persaaa, 30

3 Partikel Dirac dala Suur Potesial 0 (3) 0 (4) Pada ruag-waktu Mikowskia perkalia atara atriks gaa dega ivers-ya aka eghasilka ilai 1 jika da aka berilai 0 jika. Selai itu, perkalia atara turua kovaria da kotravariaya eeuhi sifat operator d Alebert,. 0 (5) 0 (6) Operator d Alebert erupaka geeralisasi dari operator Laplacia yag berlaku tidak haya utuk koordiat 3D, elaika juga utuk koordiat ruag-waktu. Secara eksplisit operator d Alebert didefiisika sebagai,. Betuk persaaa t x Dirac utuk partikel bebas dala pers. (6) eiliki betuk yag idetik dega persaaa Klei-Gordo yag berlaku utuk partikel tak berspi. Utuk tijaua orelativistik tapak bahwa solusi persaaa Dirac aka kebali pada betuk persaaa Schrodiger. Secara asatz, fugsi gelobag dapat diyataka sebagai. Tetapi karea kopoe da aka eghasilka solusi yag aalogi aka haya aka dikaji solusi utuk kopoe saja. Secara uu fugsi gelobag partikel Dirac dapat diuraika dala kopoe waktu da ruagya, x T t X (7) Defiisi ii dipilih agar persaaa Dirac pada pers. (6) dapat diselesaika secara sederhaa dega egguaka etode separasi variabel. Melalui substitusi pers. (7) dala pers. (6) da ebagiya dega TX aka aka diperoleh, 1 T 1 X T t X x Keudia dega eyataka, 1 T 1 X T t X x 0 (8) (9) Maka dapat diperoleh solusi dari persaaa diferesial utuk fugsi gelobag kopoe waktu secara uu adalah, exp exp T t C it C it (10) 1 Kedua suku pada solusi di atas (ekspoesial positif da egatif) berkaita dega partikel (ekspoesial egatif) da ati-partikel (ekspoesial positif). Adapu solusi utuk kopoe ruag dapat diyataka sebagai, cos si X x D x D x (11) 1 Dega eerapka syarat batas yaitu pada didig potesial x 0 da x L tidak terdapat partikel Dirac, aka solusi kopoe ruag di atas dapat direduksi sebagai, 31

4 Yuat Tiadho Jural EduMatSais, Juli 016 Vol. 1 No. 1 da diperoleh X x D si x (1) diaa 1,,3,.... L Dega deikia, secara legkap fugsi gelobag dari partikel da ati-partikel Dirac adalah, si si C exp it x C exp it x (13) Di dala persaaa Dirac persaaa kotiuitas didefiisika sebagai,. J 0 t (14) Tidak seperti persaaa Schrodiger, diaa, dala persaaa Dirac rapat i J t i t (15) Sehigga dega asusi rapat arus J=0 aka rapat probabilitas partikel da atipartikel, C si x (16) Dega elakuka oralisasi rapat probabilitas fugsi gelobag di atas aka kai dapat eyipulka bahwa kostata C adalah, C (17) L probabilitas da rapat arus didefiisika oleh, (a) (b) (c) Gabar. Rapat probabilitas partikel potesial( L 1). (d) pada epat keadaa teredah dala suur 3

5 Partikel Dirac dala Suur Potesial Sehigga secara eksplisit fugsi gelobag dala pers. (13) dapat dituliska sebagai, i t x exp si L L (18) Apabila rapat probabilitas yag telah diperoleh dala persaaa (16) diplot dala grafik sebagai fugsi ruag aka tapak seperti pada Gabar. Jika diperhatika hasil yag telah diperoleh ii eiliki betuk grafik yag aalogi dega solusi dari rapat probabilitas utuk persaaa Schrodiger. PARTIKEL DIRAC DALAM SUMUR POTENSIAL DINAMIS Suur potesial tak berhigga diais yag ditijau dala akalah ii adalah suur potesial dega salah satu didigya bergerak secara kosta dega kecepata v. Secara sederhaa skea dari kodisi tersebut tapak pada Gabar 3. Gabar 3. Skea suur potesial tak berhigga o-statis dega kecepata v. Agar persaaa Dirac dapat diselesaika dega etode separasi variabel aka dibutuhka trasforasi koordiat (t, x) ejadi koordiat hiperbolik (α, β) yag didefiisika sebagai, t x d d dt dx d d (19) t x dt dx Sehigga dega egalika kedua persaaa di atas aka dapat diperoleh, d d dt dx (0) da iterval garis dapat dituliska sebagai, ds d d (1) Berdasarka defiisi iterval garis di atas aka dapat disipulka etrik tesor da ivers etrik tesorya adalah, g ; g () Karea telah dilakuka trasforasi ke dala koordiat hiperbolik aka utuk eghitug solusi partikel Dirac (tak berassa) dala suur potesial tak berhigga o-statis diguaka persaaa 33

6 Yuat Tiadho Jural EduMatSais, Juli 016 Vol. 1 No. 1 Dirac yag berlaku utuk sebarag koordiat yaitu, diaa D 0 (3) a e a dega a e adalah tetrad yag eeuhi hubuga atara etrik g dega etrik Mikowski, g e a e bab. Adapu turua kovaria didefiisika oleh i ab ab dega 4 D koeksi spi da, ab a b ab adalah. Berdasarka defiisi etrik tesor pada pers. () aka tetrad da iversya dapat dituliska sebagai, a e ; e 0 a (4) 0 da atriks gaa diberika oleh, ; (5) diaa atriks gaa tersebut eeuhi syarat, g I Seperti pada kasus suur potesial statis, persaaa Dirac pada pers. (3) juga dapat dituliska sebagai, D D 0 0 (6) sehigga D D dapat didefiisika sebagai operator Laplace-Beltrai yag erupaka geeralisasi dari operator Laplace da didefiisika oleh, dega f gg f g 1 (7) g det. Dega deikia g operator Laplace-Beltrai koordiat (α, β) adalah, 1 (8) Secara asatz fugsi gelobag dapat didefiisika eiliki dua kopoe sehigga persaaa Dirac di atas secara eksplisit dapat dituliska sebagai, Tetapi (9) dala akalah ii kai haya egkaji kopoe saja karea kopoe eiliki solusi yag aalogi. Dega egurai fugsi gelobag sebagai, dikalika dega B A (30) (9) dapat diyataka sebagai, da 1/ AB aka pers. a A bb 0 (31) A B Dega deikia pers. (31) dapat diperoleh solusiya elalui etode separasi variabel, A B k (3) A B yag eiliki solusi berupa, 34

7 Partikel Dirac dala Suur Potesial 1 exp l exp l exp l exp l A C ik C ik B C ik C ik 3 4 (33) Adapu pada syarat batas didig suur potesial aka fugsi gelobag aka leyap. Dega egalika kedua pers. (19) t x aka diperoleh. Utuk didig t x sebelah kiri yag statis pada t t0 da x 0 aka 1 sehigga dipeuhi kodisi C 3 4 L C da solusi fugsi gelobag bagia koordiat adalah, si l B Y k (34) Sedagka dega egguaka syarat batas pada didig sebelah kaa yag eeuhi x L t L v t t aka, v R (35) 1 v da dapat disipulka, k (36) l Dari persaaa di atas tapak bahwa kecepata aksiu dari didig potesial adalah 1. Hal ii berkaita dega pegguaa siste satua atural uit c = 1. Sehigga pada pegguaa praktis perlu dilakuka peskalaa ilai kecepata didig potesial v terhadap ilai c. Dega defiisi t x aka secara eksplisit fugsi gelobag pada pers. (30) dapat dituliska sebagai, R R X exp ik l si l Y exp ik l si l (37) Apabila dala kotak potesial yag bergerak tidak terdapat arus probabilitas J 0 aka dapat dilakuka oralisasi, 3 d x 1 (38) diaa rapat probabilitas yag berlaku dala koordiat, adalah, i R d (39) L da fugsi eigeya adalah, X exp ik l si k l (40) Melalui substitusi pers. (40) dega eyesuaika kojugatya aka utuk partikel aka diperoleh, R d k X si k l 1 (41) L da dapat disipulka, X 1 (4) Sedagka dega cara yag saa fugsi gelobag ati-partikel diperoleh, 1 (43) X 35

8 Yuat Tiadho Jural EduMatSais, Juli 016 Vol. 1 No. 1 Secara eksplisit, rapat probabilitas dari fugsi gelobag partikel didefiisika sebagai, k pada pers. (40) dapat si k l (44) Sehigga apabila diplot dala grafik rapat probabilitasya tapak seperti pada Gabar 4. Melalui skea tersebut tapak bahwa grafik rapat probabilitas aka eiliki jarak yag aki rapat pada area yag aki dekat dega didig yag bergerak. Adapu utuk ilai rapat probabilitasya lebih redah dibadigka dega area yag berdekata dega dega didig yag dia. (a) (b) (c) (d) Gabar 4. Rapat probabilitas fugsi gelobag partikel pada epat keadaa teredah terhadap fugsi ruag da waktu ( v 0.5). KESIMPULAN Di dala akalah ii kai telah eujukka bahwa tijaua suur potesial diais utuk persaaa Dirac dapat diselesaika secara sederhaa elalui trasforasi ke dala koordiat hiperbolik. Iplikasi dari pegguaa didig potesial yag bergatug waktu adalah eyebabka rapat probabilitas partikel Dirac yag diperoleh juga turut bergatug pada waktu (selai bergatug pada ruag). Perubaha rapat probabilitas terhadap waktu ucul akibat adaya perubaha lebar suur potesial. Seaki laa didig potesial 36

9 Partikel Dirac dala Suur Potesial bergerak aka seaki lebar pula celah suur potesial sehigga eyebabka rapat probabilitasya pu aka seaki ladai. Di dekat didig yag dapat bergerak rapat probabilitas partikel Dirac lebih fluktuatif dibadigka di area didig yag dia. Melalui kesipula ii aka earik utuk eafaatka hasil perhituga teoritis ii dala aplikasi aotekologi. DAFTAR PUSTAKA Chetouai, L. & Guechi, L Geeralized caoical trasforatios ad path itegrals. Physical Review A 40(3): Feri, E O the origi of the cosic radiatio. Physical Review 75(8): Hail, B & Chetouai, L Movig potetial for Dirac ad Klei-Gordo equatios. Praaa Joural of Physics 86(4): Ji, J. Ki, J. & Ki, S Heisebergpicture approach to the exact quatu otio of a tie-depedet haroic oscillator. Physical Review A 51(5): Katselso, M., Novoselov, K. & Gei, A Chiral tuelig ad the Klei paradox i graphee. Nature Physics (9): Lewis Jr., H. & Riesefeld, W A exact quatu theory of the tiedepedet haroic oscillator of a charged particle i a tie-depedet electroagetic field. Joural of Matheatical Physics 10(8)L Oh, H. G., Lee, H. R., George, T. F. & U, C. I Exact wave fuctios ad coheret states of a daped drive haroic oscillator. Physical Review A 39(11): Savel ev, S., Hausler, W. & Haggi, P. 01. Curret resoaces i graphee with tie-depedet potetial barriers. Physical Review Letters 109: 60(1)- 660(5). Zettili, N Quatu echaics: cocepts ad applicatios (d editio). Uited Kigdo: Joh Wiley & Sos, Ltd. 37

10 Yuat Tiadho Jural EduMatSais, Juli 016 Vol. 1 No. 1 38