TURUNAN FUNGSI. Definisi. 3.1 Pengertian Turunan Fungsi. Turunan fungsi f adalah fungsi f yang nilainya di c adalah. asalkan limit ini ada.

Transkripsi

1 3 TURUNAN FUNGSI 3. Pegertia Turua Fugsi Defiisi Turua fugsi f adala fugsi f yag ilaiya di c adala f c f c f c 0 asalka it ii ada. Coto Jika f , maka turua f di adala f f f Jika f mempuyai turua di setiap aggota domai maka f f f 0 Jika y f turua y atau turua f diotasika dega y, atau, atau f, atau d df d Turua Fugsi 36

2 Turua Fugsi 37 Coto Jika f , maka turua f di sembarag adala f f f Turua Fugsi Kosta da Fugsi Pagkat. Jika f k dega k kosta utuk setiap f fugsi kosta, maka f 0. Bukti: f f f 0 k k 0 0. Jika f utuk setiap f fugsi idetitas, maka f. Bukti: f f f Jika f dega bilaga bulat positif, utuk setiap, maka f. Bukti: f f f 0 0

3 Coto 3 Jika f 5, maka turua f adala f Sifat-sifat Turua Jika k suatu kostata, f da g fugsi-fugsi yag terdiferesialka, u da v fugsifugsi dalam seigga u f da v g maka berlaku:. Jika y ku maka y ku. Jika y u + v maka y u + v 3. Jika y u v maka y u v 4. Jika y u v maka y u v + u v 5. Jika y v u u ' v uv ' maka y v Coto 4. Jika f 3 5, maka f Jika f 3 5 +, maka f Jika f 3 5, maka f Jika f , maka f Jika f , maka f Turua Fugsi 38

4 6. Jika f p dega p bilaga bulat egatif maka f dega p, seigga f 0.. f p p u. Dega megguaka turua y diperole v 3.4 Atura Ratai utuk Turua Fugsi Komposisi Utuk meetuka turua y dega cara megalika bersama kesembila faktor kemudia mecari turua poliom berderajat 36 tetula sagat melelaka. Cara yag muda utuk meetuka turua y adala dega megguaka atura ratai. Atura Ratai Misalka y fu da u g meetuka fugsi komposisi yag dirumuska dega y fg f o g. Jika g terdiferesialka di da f terdiferesialka di u g maka y f o g terdiferesialka di da atau y f o g f g g d du du d Fugsí komposisi dapat diperluas mejadi komposisi 3 fugsi, 4 fugsi da seterusya. Jika y fu u gv v yaki y f o g o maka d du du dv dv d Turua Fugsi 39

5 Coto 5 Tetuka turua y Peyelesaia: Misalka u 3 4 du d y u 9 9u 8. du du 9u d du d Turua Fugsi Ivers Misalka y f da f mempuyai ivers f seigga f y. Dega megguaka atura ratai pada f y diperole d df y d d d d d d 3.6 Turua Fugsi Implisit Fugsí implisit secara umum dapat ditulis sebagai f, y 0 dega y sebagai fugsí dalam. Coto fugsi implisit: y y 7y + 0 Coto 6. Tetuka dari fugsí yag dirumuska dega y d Peyelesaia: Apabila kedua ruas y dituruka teradap, maka diperole: Turua Fugsi 40

6 6 0 d 6 d. Tetuka dari fugsí yag dirumuska dega 3 y 7y + 0 d Peyelesaia: Apabila kedua ruas 3 y 7y + 0 dituruka teradap, maka diperole: 6 y d d y d 6 y d Turua Tigkat Tiggi Jika fugsi dituruka maka turuaya, yaitu f juga berupa fugsi seigga bole jadi f mempuyai turua tersediri yag diyataka ole f f. Fugsi yag f baru ii disebut turua kedua dari f karea dia merupaka turua dari turua f. Dega otasi Leibiz kita tuliska turua kedua dari y f sebagai Notasi lai adala f D f d d d y d d Coto 7 Jika f , tetuka f. Peyelesaia: f utuk mecari f kita turuka f : d f 3 7 d 36 Coto 8 Jika f , tetuka f. Turua Fugsi 4

7 Peyelesaia: f d d d d d f [ ] d d [5 4 d ] + [ ] d d d 4 4 d d d d d d d Turua Fugsi Aljabar da Fugsi Trasede Fugsi Fugsi Aljabar Fugsi Rasioal Fugsi Irrasioal Fugsi Trigoometri Fugsi Siklometri Fugsi Trasede Fugsi Logaritma Fugsi Ekspoesial Fugsi Hiperbolik 3.8. Turua Fugsi Rasioal Coto-coto tetag turua yag diuraika sebelumya coto 3 adala coto-coto turua fugsi rasioal. Jadi turua fugsi rasioal ii tidak perlu dibaas kembali Turua Fugsi Irrasioal Fugsi Irrasioal adala akar dari fugsi-fugsi rasioal Turua Fugsi 4

8 Coto 9 Tetuka turua y dega bilaga bulat positif Peyelesaia: y y d seigga y Coto 0 d Tetuka turua y Peyelesaia: y d y y Dega atura ratai diperole: y Turua Fugsi Trigoometri Aka dicari turua fugsi kosius sebagai berikut. Igat: cos a + b cos a cos b si a si b. Jika f cos, maka f f f 0 cos cos 0 cos cos si si cos 0 cos cos si si 0 cos cos si si 0 0 cos si cos si cos. 0 si. si Turua Fugsi 43

9 Jadi, jika f cos, maka f si Aalog: jika f si, maka f cos jika f tg, maka f sec jika f ctg, maka f cosec jika f sec, maka f sec tg jika f cosec, maka f cosec ctg Turua Fugsi Siklometri Fugsi siklometri adala ivers fugsi trigoometri. Aka dicari turua ivers fugsi sius arcus sius berikut. y arc si si y y d cos y d cos y cos y Jadi, jika y arc si, maka y Turua Fugsi 44

10 Aalog: jika y arc cos, maka y jika y arc tg, maka y jika y arc ctg, maka y jika y arc sec, maka y jika y arc cosec, maka y Turua Fugsi Logaritma Aka dicari turua f l berikut. f f 0 f l l 0 l 0 l 0 l 0. 0 l Turua Fugsi 45

11 0 l l 0 0 Megigat l f 0 Seigga diperole: l f 0 da 0 e f l 0 0 l 0 0 l e Jadi, jika f l, maka f Selajutya jika y a log maka turuaya dapat dicari sebagai berikut. y a log y l l a Seigga y l a l a l l a Turua Fugsi 46

12 Jadi, jika y a log, maka y l a Turua Fugsi Ekspoesial Aka dicari turua y a sebagai berikut. y a l y l a l y l a d Seigga l y l a l y l a l a y Diperole y l a. d a l a Jadi, jika y a, maka y a l a Kususya utuk a e, jika y e, maka y e e l e Jadi, jika y e, maka y e Turua Fugsi 47

13 3.8.7 Turua Fugsi Hiperbolik Defiisi si e e cot ta e e e e cos e e sec cos e e ta si cos e e e e csc si e e Jika f si, maka dega megguaka turua fugsi ekspoesial diperole f ' d e e d e e e e cos. Jadi, jika f si, maka f cos 3.9 Turua Fugsi Parameter Apabila disajika persamaa berbetuk: ft y gt maka persamaa ii disebut persamaa parameter dari da y, da t disebut parameter. Dari betuk parameter ii dapat dicari dega cara sebagai d berikut. Dari ft dibetuk t dega fugsi ivers dari f. Nampak bawa y gt merupaka betuk fugsi komposisi y gt g Turua Fugsi 48

14 Diperole d dt seigga d dt d atau d dt dt d dt d dt SOAL Carila utuk yag berikut d. y y. y y 3. y 4. y 7. y Dega atura ratai tetuka utuk yag berikut d 8. y y y si 5 0. y y cos 4. y si y arcsi 3 4. y cos y arctg y si 3 9. y l y 4 0. y e 9 Tetuka turua fugsí implisit berikut. + y y y y y + 3y 0 3. y 4 8. y + si y 4. y cos y y y+ 9y y + y 3 y Turua Fugsi 49

15 Tetuka utuk fugís parameter berikut d 3. y 9t 34. l t 9 si t y t y 9t t e arc si t y cosec t 33. l 9t 36. y sec t y si t tg t Turua Fugsi 50

16 3.9 Pegguaa Turua Ruag 305 LCD frequecy out of rage Turua Fugsi 5