SIFAT-SIFAT GENERALISASI DISTRIBUSI BINOMIAL YANG BERTIPE COM-POISSON

Transkripsi

1 J. Math. ad Its Appl. ISSN: X Vol. 2, No., Mei 205, 3-22 SIFAT-SIFAT GENERALISASI DISTRIBUSI BINOMIAL YANG BERTIPE COM-POISSON Farida Agustii Widjajati, Marselly Dia Saputri 2, Nur Asiyah 3,2,3 Jurusa Mateatika, Fakultas MIPA, Istitut Tekologi Sepuluh Nopeber (ITS Jl. Arief Raha Haki, Surabaya 60 Abstrak Distribusi Bioial da Poisso diguaka utuk egaalisis data diskrit. Karea distribusi Poisso berlaku equidispersi, sehigga dilakuka geeralisasi terhadap distribusi Poisso ejadi distribusi COM-Poisso utuk egaalisis data diskrit yag equidispersi, oerdispersi da uderdispersi. Geeralisasi dari distribusi Bioial yag dapat egaalisis data dega kejadia oerdispersi da uderdispersi adalah distribusi COM- Poisso-Bioial. Pdf ya diperoleh dari distribusi COM-Poisso bersyarat dari pejulaha dua distribusi COM-Poisso. Selai itu, dala kajia ii juga dilakuka estiasi terhadap paraeter-paraeter dari COM-Poisso- Bioial dega egguaka Maiu Likelihood Estiatio (MLE. Selajutya hasil estiasi ii dicoba pada data asosiasi sekuder dari krooso di Brassika. M L E eghasilka persaaa o-liier yag hasilya diguaka utuk ecari ilai estiasi paraeter θ da paraeter, persaaa o-liier tersebut diselesaika dega egguaka etode Newto-Raphso. Dari proses tersebut didapatka ilai estiasi paraeter θ =.742 da ilai estiasi paraeter =.0328 Kata Kuci: Distribusi Bioial; Distribusi COM-Poisso; Oerdispersi, Uderdispersi; Maiu Likelihood Estiatio. Pedahulua Distribusi Bioial da Poisso diguaka utuk egaalisis data diskrit. Nau, pada distribusi Poisso berlaku equidispersi (ariasi da ea berilai saa. Sehigga distribusi Poisso tidak tepat diguaka utuk egaalisis data diskrit dega kejadia oerdispersi (ilai ariasi lebih besar dari ea atau kejadia uderdispersi (ilai ariasi lebih kecil dari ea. Utuk data diskrit dega kejadia oerdispersi dapat diodelka dega distribusi Bioial Negatif yag erupaka gabuga distribusi Poisso da Gaa, disapig itu utuk kasus oerdispersi atau uderdispersi yag disebabka frekuesi ol terlalu bayak pada data dapat 3

2 4 Sifat-Sifat Geeralisasi Distribusi Bioial Yag Bertipe COM-Poisso diodelka dega Zero Iflated Poisso (ZIP []. Distribusi utuk egaalisis data diskrit dega kejadia oerdispersi atau uderdispersi adalah distribusi COM-Poisso (Coway-Mawell-Poisso []. Distribusi COM-Poisso erupaka geeralisasi dari distribusi Poisso yag dikebagka oleh Coway da Mawell pada tahu 962. Distribusi Bioial digeeralisasika dega berbagai cara. Dari segala geeralisasiya ada beberapa geeralisasi berbetuk perkalia da pertabaha dari distribusi Bioial. Probability desity fuctio (pdf dari distribusi perkalia Bioial adalah perkalia dari pdf da faktorya. Itu ebuat perbedaa ariasiya lebih besar atau kurag dari ariasi Bioial yag sesuai, hal itu bergatug pada ilai-ilai faktorya. Disisi lai distribusi Bioial yag bersifat pertabaha itu adalah capura dari tiga odel Bioial yag uu da odel korelasi Bioial yag ecakup ariabel Beroulli yag depedet [2]. Bayak literatur yag eperkealka geeralisasi distribusi Bioial atara lai, literatur yag ebahas tetag distribusi Bioial yag epuyai 3 paraeter yag erupaka geeralisasi dari Bioial yaitu Beta-Bioial, da korelasi distribusi Bioial [3]. Adapu literatur yag ejelaska geeralisasi laiya dari distribusi Bioial yaitu distribusi COM-Poisso-Bioial [], tetapi dala literatur tersebut tidak ebahas sifat-sifat dari distribusi COM-Poisso-Bioial. Pada kajia ii ebahas tetag sifat-sifat geeralisasi dari distribusi Bioial yag bertype COM-Poisso 2. Tijaua Pustaka 2.. Mea da Variasi Mea atau ilai harapa dari peubah acak diskrit X dega pdf f( dapat didefiisika sebagai [5] μ = E(X = f( Mea diotasika dega μ atau E(X. Variasi dari peubah acak X yag diotasika dega σ 2 atau Var(X dapat didefiisika sebagai [5] σ 2 = Var(X = E[(X μ 2 ] (2 da stadar deiasi dari X adalah σ = σ Distribusi COM-Poisso Distribusi COM-Poisso erupaka pegebaga dari distribusi Poisso yag diteuka oleh Coway da Mawell. Distribusi COM- Poisso apu eodelka data yag egalai equidispersi, uderdispersi da oerdispersi. Peubah acak X yag berdistribusi COM-Poisso dega paraeter λ > 0 da > 0 epuyai pdf (

3 Farida Agustii Widjajati, Marselly Dia Saputri, Nur Asiyah 5 diaa, λ Z(λ, = (! e λ λ 2 (2π 2 dega, e : λ : paraeter lokasi : paraeter dispersi Z(λ, : kostata oralisasi f(; λ, = λ (!, = 0,,2, (3 Z(λ, [] Subtitusi Z(λ,, Sehigga persaaa (3 ejadi f(; λ, = λ (! e λ/ λ 2 (2π 2 = λ λ 2 (2π 2 (! e λ/ = λ + 2 (2π 2 (! e λ Beberapa sifat distribusi COM-Poisso adalah sebagai berikut Mea : μ = E(X = λ / 2 Variasi : σ 2 = Var(X = λ/ ( Maiu Likelihood Estiatio Salah Salah satu etode yag dapat diguaka dala egestiasi paraeter pada distribusi adalah MLE. Maksiu likelihood erupaka suatu cara yag egarah pada sifat-sifat estiator yag diigika, terutaa utuk sapel besar, yaitu dega egguaka ilai dala paraeter yag berhubuga dega keugkia terbesar utuk data pegaata sebagai perkiraa dari paraeter yag tidak diketahui. Utuk distribusi bersaa dari ariabel X,, X dega ilai,, da f(,, ; θ adalah fugsi likelihood. Utuk,, yag tetap, fugsi likelihood ya adalah sebuah fugsi dari θ, ditulis dega L(θ. Jika X,, X adalah sapel acak dari f(; θ, aka L(θ = f( ; θ f( ; θ (5 Dala peerapa fugsi likelihood, L(θ epresetasika distribusi bersaa dari sapel acak, walaupu aiu likelihood juga dapat dipakai dala kasus lai seperti dala order statistik. Nilai θ yag eaksialka L(θ juga aka eaksialka l likelihood atau ditulis l L(θ, utuk edapatka persaaa aiu likelihood yaitu [6] d l L(θ = 0 (6 dθ 2.4. Metode Newto-Raphso Metode Newtho-Raphso adalah etode pedekata utuk eyelesaika persaaa oliear atau diguaka utuk eetuka titik saat fugsi aksiu. Titik pedekata ke t + dituliska sebagai [7] β t+ = β t [H t ] G t (7

4 6 Sifat-Sifat Geeralisasi Distribusi Bioial Yag Bertipe COM-Poisso dega β t+ : ektor estiasi paraeter pada iterasi ke t + β t : ektor estiasi paraeter pada iterasi ke t [H t ] : iers dari atriks Hessia yag isi dari atriks erupaka turua kedua dari l L(β. : ektor yag berisi turua pertaa dari l L(β. G t Lagkah-lagkah etode Newto-Raphso:. Tetuka ilai awal β 2. Lakuka iterasi β t+ = β t [H t ] G t diaa t = 0,,2,3,. 3. Iterasi berheti jika salah satu kriteria dibawah ii terpeuhi: a. β t+ β t ε s b. Bayakya iterasi terlapaui 3. Hasil Peelitia da Pebahasa 3..Kajia Distribusi COM-Poisso Distribusi Distribusi COM-Poisso erupaka geeralisasi dari distribusi Poisso. Dala hal ii jika =, aka pdf distribusi COM-Poisso erupaka pdf dari distribusi Poisso. Utuk =, subtitusi ke persaaa (4 diperoleh distribusi Poisso sebagai berikut: f(; λ, = λ+ f(; λ, = λ+ 2 (2π (! e λ 2 2 (2π (! e λ 2 = λ+0 (2π 0. (!e λ = λ (!e λ Sehigga diperoleh pdf distribusi Poisso (; λ = λ! e λ 3.2.Pdf Distribusi COM-Poisso-Bioial Distribusi Distribusi COM-Poisso Bioial dapat erepresetasika oerdispersio da uderdispersio relatif kepada distribusi Bioial pada uuya. Ketika > egalai uderdispersio da ketika < eujukka terjadiya oerdispersio yag berhubuga dega distribusi Bioial. Hal ii dikareaka distribusi COM-Poisso-Bioial di defiisika dari distribusi COM-Poisso bersyarat yag erupaka pejulaha dari dua ariabel COM-Poisso yag idepede. Megguaka defiisi distribusi probabilitas bioial, diisalka S = X + Y erupaka julah pegaata. Sehigga utuk eperoleh X = da S = s, aka perlu X = da Y = s, aka diperoleh distribusi bersaa dari X da S f X,S (, s = P[X =, S = s] = P[X =, Y = s ] = f X,Y (, s Karea ariabel X da Y erupaka ariabel idepede distribusi bersaa dapat ditulis

5 Farida Agustii Widjajati, Marselly Dia Saputri, Nur Asiyah 7 f X,Y (, y = f(f(s λ λ y s = (! Z(λ, ((s! Z(λ y, (λ + λ y s = (s! Z(λ, Z(λ y, (s ( λ ( λ s y λ + λ y λ + λ y dega distribusi argial s f(s = f(, s = (λ + λ y s (s! Z(λ, Z(λ y, (s ( λ ( λ s y λ + λ y λ + λ y s s (λ + λ y s = (s! Z(λ, Z(λ y, (s ( λ ( λ s y λ + λ y λ + λ y (8 (9 Sehigga didapatka distribusi bersyarat dari X diketahui S = s dari distribusi bersaa pada Persaaa (8 da distribusi argial pada Persaaa (9 dega p = λ ( s ( λ + λ ( y λ + λ y f( s = ( s λ ( λ s y ( λ + λ y λ + λ y λ λ +λ y Persaaa (0 ejadi λ y f( s = (s (p ( p s ( s (p ( p s s dari Persaaa ( didapatka pdf dari distribusi COM-Poisso-Bioial s s (0 ( P(;, p, = ( p ( p (, = 0,,., (2 p ( p dega : julah pegaata p : peluag sukses Distribusi COM-Poisso-Bioial erupaka geeralisasi dari distribusi bioial. Hal ii diperoleh jika = utuk Z +, p (0, da R, pdf distribusi COM-Poisso-Bioial adalah pdf dari distribusi bioial. f(;, p, = ( p ( p ( p ( p ( = p ( p ( p + ( p( p + + p = ( p ( p = f(;, p Teorea 2 [] Misal X adalah ariabel COM-Poisso-Bioial dega paraeter,, da p. Jika da p 0 dega λ = p kosta, utuk 0 aka ( li p ( p ( p ( p = λ (! λ k (! (3

6 8 Sifat-Sifat Geeralisasi Distribusi Bioial Yag Bertipe COM-Poisso Bukti ( li P[X =, p, ] = li p ( p ( k p ( p λ (( + (! = li ( λ λ (( + (! ( λ λ (! = li ( λ λ (! li ( λ = λ (! λ (! Utuk edapatka struktur tipe COM-Poisso utuk pdf distribusi COM-Poisso-Bioial, Persaaa (2 dibagi pebilag da peyebutya dega ( p (!. P[X = ;, p, ] = ( p ( p (! (! ( = p ( p p ( p (! (! p ( p Selajutya, θ = p p (4 Disubtitusika ke Persaaa (4 sehigga diperoleh pdf dari distribusi COM-Poisso-Bioial, yag diotasika sebagai X~CMPB(, θ, ejadi dega Z(θ, = θ P[X = ;, θ, ] =, = 0,,, (5 Z(θ, (! (! θ (!(! : julah pegaata θ : paraeter lokasi : paraeter dispersi Z(θ, : kostata oralisasi 3.3.Mea da Varias distribusi COM-Poisso-Bioial Pada bagia ii aka diuraika cara eperoleh ea da arias dari peubah acak X yag berdistribusi COM-Poisso-Bioial. Dega egguaka Persaaa ( didapatka ea dari distribusi COM-Poisso-Bioial E[] = f( = Z(θ, (! (! θ = Z(θ, (! (! θ = θ Z(θ, (! (! θ

7 Farida Agustii Widjajati, Marselly Dia Saputri, Nur Asiyah 9 l(z(θ, = θ. Selajutya, dega egguaka Persaaa (2 didapatka arias dari distribusi COM-Poisso-Bioial Var( = E[(X μ 2 ] = 2 Z(θ, (! (! = θ ( ( 2 θ (! (! ( θ ( ( θ θ 2 ( (! (! θ θ (! (! (! (! ( ( ( Z(θ, (! (! θ 2 (! (! θ (! (! θ 2 = θ E[X] 3.4.Estiasi Paraeter dari Distribusi COM-Poisso-Bioial Estiasi dari paraeter distribusi COM-Poisso-Bioial bertujua utuk edapatka estiator dari COM-Poisso-Bioial. Pada bagia ii aka dibahas egeai bagaiaa ecari estiator distribusi COM- Poisso-Bioial dega egguaka Maiu Likelihood Estiatio. Diisalka, 2,, adalah sapel acak berukura yag berdistribusi COM-Poisso-Bioial. Sehigga, fugsi likelihood dari distribusi COM- Poisso-Bioial didefiisika oleh θ L(,., ; θ, = ( ( i! ( i!. Z(θ,.. ( θ ( i! ( i!. Z(θ, = ( Z(θ,. i= θ i= i ( i! ( i! Oleh karea itu, diperoleh fugsi log likelihood sebagai berikut: l L(,., ; θ, = l (( Z(θ,. i= θ i= i ( i! ( i! (6 = l θ. i. l ( i! ( i!. l Z(θ, (7 i= i= Selajutya dicari turua fugsi log likelihood terhadap asig-asig paraeterya. Utuk edapatka turua pertaa dari fugsi log likelihood terhadap θ dilakuka proses sebagai berikut : l L(θ, = (l θ. i. l ( i! ( i!. l Z(θ, i= i= θ = ( (. i= i (! (! ( θ θ (8 (! (!

8 20 Sifat-Sifat Geeralisasi Distribusi Bioial Yag Bertipe COM-Poisso Turua pertaa log likelihood terhadap, dilakuka proses sebagai berikut : l L(θ, = (l θ. i. l( i! ( i!. l Z(θ, i= i= ( = ( l( i! ( i! + i= θ l(! (! (! (! θ (! (! (9 Persaaa (8 da (9 selajutya diguaka utuk ecari ilai estiasi dari paraeter θ da. Karea persaaa yag diperoleh adalah persaaa o liier Sehigga, utuk eyelesaikaya harus egguaka etode uerik. Metode uerik yag diguaka adalah etode Newto Raphso. Pegguaa etode Newto Raphso dapat dilakuka elalui persaaa (7. Adapu elee-elee yag terdapat dala atriks hessia erupaka turua kedua fugsi log likelihood adalah 2 l L(θ, H = 2 2 l L(θ, [ 2 l L(θ, 2 l L(θ, 2 ] Da G adalah ektor yag eleeya berisi turua pertaa fugsi log likelihood l L(θ, G = [ ] l L(θ, 3.5.Peerapa Estiasi Paraeter Distribusi COM-Poisso- Bioial Data dala cotoh ii erujuk pada 337 pegaata pada asosiasi sekuder dari krooso di Brassika [8] yag disajika di dala Tabel, erupaka kejadia uderdispersi dega ea lebih besar daripada ariasya. Karea data dala Tabel uderdispersi da julah pasag bialeya erupaka data cacah, sehigga diodelka dega distribusi COM-Poisso-Bioial. Tabel. Data asosiasi sekuder dari krooso di Brassika Julah pasag biale ( Julah data yag diaati Peluag ( Peluag ( berdistribusi CMPB (3,.742, Total

9 Farida Agustii Widjajati, Marselly Dia Saputri, Nur Asiyah 2 Dega egguaka Persaaa (8, dega ilai awal θ 0 =, 0 = da ε = hasilya, didapatka ilai estiasi paraeter pada iterasi ke yaitu θ =.742 da =.0328, sehigga data julah pasag biale ( dala Tabel berdistribusi CMPB(, θ, atau dapat ditulis CMPB (3,.742,.0328 dega pdf θ f(;, θ, = (! (! θ (! (!.742 f(; 3,.742,.0328 = (! (3! (! (3!.0328 = 0,,2,3 eyataka julah pasag biale. Dari pdf tersebut didapatka probabilitas utuk asig-asig ilai seperti pada Tabel kolo ke 4. Dari Tabel didapatka 2 pasag biale eiliki probabilitas tertiggi, sehigga odus data julah pasag biale tersebut saa dega odus data berdistribusi CMPB (3,.742, Sedagka ea dari data berdistribusi CMPB (3,.742,.0328 adalah l(z(θ, E(X = θ. θ (! (! E(X = θ θ (! (! (! (3! = ( (! (3!.0328 = ( =.8992 Mea tersebut hapir saa dega ea dari data julah pasag biale ( yaitu.748. karea odus da ea dari data julah pasag biale ( hapir saa dega odus da ea data berdistribusi CMPB (3,.742,.0328 aka ilai estiasi paraeter yag diperoleh cocok dega data. 4. Kesipula Berdasarka keseluruha hasil peelitia da pebahasa diperoleh kesipula sebagai berikut:. Betuk geeralisasi distribusi Bioial yag bertipe distribusi COM- Poisso ejadi COM-Poisso-Bioial dega ejulahka dua distribusi COM-Poisso yag idepede eghasilka pdf distribusi COM-Poisso-Bioial f(;, p, = ( p ( p, = 0,,.,. Sehigga pdf COM-Poisso- ( p ( p Bioial yag bertipe COM-Poisso ejadi X~CMPB(, θ, = θ Z(θ, (!(! l(z(θ, θ., = 0,,.,. Diperoleh juga sifat-sifatya yaitu E[] = da Var( = θ E[X] Dari hasil estiasi paraeter dari distribusi COM-Poisso-Bioial dega egguaka Maiu Likelihood Estiatio didapatka

10 22 Sifat-Sifat Geeralisasi Distribusi Bioial Yag Bertipe COM-Poisso paraeter-paraeter dari distribusi COM-Poisso-Bioial yag berupa persaaa-persaaa o liier sebagai berikut: a. Utuk ilai paraeter θ didapatka persaaa o liier sebagai berikut: θ ( (. i= i (! (! ( θ θ = 0 (! (! b. Utuk ilai paraeter didapatka persaaa o liier sebagai berikut: ( ( l( i! ( i! + i= θ l(! (! (! (! θ (! (! Utuk eyelesaika persaaa o liier tersebut diguaka etode Newto-Raphso. Peerapa data asosiasi sekuder dari krooso di Brassika pada Maiu Likelihood Estiatio COM-Poisso-Bioial didapatka ilai estiasi paraeter θ =.742 da = Daftar Pustaka [] Shueli, G., T. P. Mika, J. B. Kadae, Borle, ad P. Boatwright A Useful Ditributio for Fittig Discrete Data: Reial of The Coway- Mawell-Poisso Distributio. Applied Statistics, Joural of Royal Statistical Society 54 o., hal [2] Altha, P.M.E Two geeralizatios of the bioial distributio. J. Roy. Statist. Soc. Ser. C 27, hal [3] Kupper, L.L., Hasea, J.K The use of a correlated bioial odel for the aalysis of certai toicological eperiets. Bioetrics 34, hal [4] Borges, P., Rodrigues, J., Balakrisha, N., ad B. Jorge A COM-Poisso Type Geeralizatio of the Bioial Distributio ad its Properties ad Applicatios. Statistics ad Probability Letters 87, hal [5] Walpole, R.E. Pegatar Statistika Edisi ke-3. Jakarta: PT. Graedia Pustaka Utaa. [6] Bai, L.J., ad Egelhardt, Ma. 99. Itroductio to Probability ad Matheatical Statistics 2d editio. Belot, Califoria: Dubury Press. [7] Agresti, A Categorical Data Aalysis 2d editio. Joh Wiley ad Sos, New York. [8] Skella, J.G A probablility distributio deried fro the bioial distributio by regardig the probability of success as ariable betwee the sets of trials. J.Roy. Statist.Soc.Ser. B 0, hal = 0