BAB II PEMBAHASAN. Dalam statistik Maxwell- Boltzman, ada dua ciri- ciri yang digunakan:

Transkripsi

1 BAB II PEMBAHASAN A. Keadaa Makro da Keadaa Mikro Masalah utama yag dihadapi dalam mekaika statistik adalah meetuka sebara yag mugki dari partikel- partikel kedalam tigkat- tigkat eergi da keadaa- keadaa atau status eergi. Ricia sebara partikel ii sagat tergatug pada apakah partikelpartikel itu terbedaka atau tidak terbedaka. Spesifikasi jumlah partikel kedalam tigkattigkat eergy dega tidak meghirauka apakah partikel- partikel itu terbedaka atau tidak, disebut keadaa makro ( macrostate ) dari suatu sistem. Setiap keadaa makro dapat dirici lagi mejadi keadaa- keadaa mikro, tergatug kepada apakah partikel- partikel tersebut terbedaka atau tidak, da apakah masig- masig tigkat eergy tergeerasi atau tidak. Keadaa mikro dapat dipadag sebagai satu hasil pemotreta dimaa data legkap posisi da kecepata setiap molekul diketahui. Jika pada berbagai titik waktu dilakuka pemoterta, maka setiap hasil pemotreta ii adalah satu keadaa mikro. Jumlah keadaa mikro utuk setiap keadaa makro k, disebut peluag termodiamika, yag disimbolka dega W k, sedagka peluag termodiamika system adalah jumlah semua peluag termodiamika tiap- tiap keadaa makro, yag biasa dirumuska sebagai berikut Ω = k W k Dalam statistik Maxwell- Boltzma, ada dua ciri- ciri yag diguaka: 1. Partikel- partikel dalam sistem dibedaka 2. Setiap keadaa eergi dapat diisi oleh lebih dari satu partikel Cotoh: 1. Suatu system terdiri dari tiga partikel berbeda, misalya a, b da c, yag tersebar kedalam dua tigkat eergi, ε 1 da ε 2. Jika system tidak tergeerasi, atau jumlah keadaa utuk tiap tigkat eergy adalah satu, maka: a. Tujuka keadaa makro yag mugki b. Tujuka keadaa mikro utuk setiap keadaa makro 1

2 c. Tetuka peluag termodiamika utuk setiap keadaa makro d. Tetuka peluag termodiamik system Jawab : Dega misalka N 1 da N 2 adalah jumlah partikel utuk masig- masig tigkat eergi, maka masalah ii dapat diselesaika dega cara berikut: a. Keadaa- keadaa makro yag mugki N N Terlihat bahwa terdapat empat keadaa makro b. Keadaa- keadaa mikro utuk setiap keadaa makro Keadaa makro N 1 3 keadaa- keadaa mikro abc N 2 2 N 2 2 bc Ac ab N 1 1 a B C N 2 1 N 1 2 a bc.b ac A ab N 2 0 N 1 3 abc c. Peluag termodiamika dapat kita lihat utuk setiap keadaa makro, sehigga diperoleh : W 1 = 1, W 2 = 3, W 3 = 3, da W 4 = 1 d. Peluag termodiamika system adalah : 2

3 Ω = W 1 + W 2 + W 3 + W 4 = = 8 Berdasarka cotoh diatas, secara umum peluag termodiamika utuk setiap keadaa makro, dapat dirumuska sebagai berikut: W = N1+N2 N1!N2! = B. Distribusi Maxwell Boltzma N! N1!N2!.Na! Turua fugsi distribusi Maxwell Boltzma W = N! N1!N2!...N q 1 N1 q 2 N2.. q N W = N! π i = 1 q1n1 N1! Hubuga etropi S terhadap peluag termodiamika W S = K l W L W = L [N! π i = 1 q1n1 N1! ] = L N! + L q i Ni - L Ni! = L N! + Ni Lq i - L Ni! Dega megguaka pedekata stirlig: L N! = N l N N L W = l N! + Ni l q i - l Ni + Ni N = = N l N N + Ni l q i - l Ni + N = N l N + Ni l q i + Ni l Ni i=1 Ni d = i=1 dni Utuk memperoleh L W maksimum, turua pertama L W terhadap Ni haruslah 0. dn L W dni = d [ N L N+ Ni L qi Ni L Ni ] dni = l q i - l Ni = d L W [l q i - l Ni] dni eegi dalam u : u = i=1 Ni εi ~> du = i=1 εi dni= 0 3

4 Metode lagrage : d l W + α d + β du = 0 [ l q i - l Ni ]dni + α i=1 dni + β i=1 Ni εi dni = 0 [ l q i l Ni ] dni = - [α + β εi ] = 0 L qi Ni = - ( α + β εi ) qi ( α + β εi ) = e- Ni Ni = q i / e - ( α + β εi ) Ni = q i exp ( α + β εi ) Ni = q i exp ( α + β εi ) N = e α q i exp β εi N = e α. z ~ > e α q i exp β εi = z N = N z Ni = q i exp β εi = e α q i exp β εi Ni = N z q i exp β εi Ni Ni = q i exp β εi z Subtitusika kepersamaa l W L W = N l N + Ni l q i + Ni l Ni Ni l Ni = N l N + Ni l q i + l W = N l N + Ni l q i - N l N - Ni l q i + Ni l Ni = Ni l Ni Ni l Ni = Ni l [ N z q i exp β εi ] = Ni l Ni + Ni l Ni + Ni l exp β εi - Ni l z = Ni l Ni + Ni l q i + Ni εi l exp β - Ni l z = N l N + Ni l q i + uβ - N l z Subtitusika lagi ke persamaa l W L W = N l N + Ni l q i - Ni l q i = N l N + Ni l q i - N l N - Ni l q i - uβ + N l z 4

5 = N l z βu Dalam termodiamika hubuga u, T, P, S yaitu du = T. ds- Pdv maka : [ ds du ] v = 1 T S = k l w = k [N l z βu ] = k N l z- k βu ds du = d [k N l z - k βu ] du = - k β ds du = - k β - k β = 1 T jadi, β = - 1 kt Ni = N z q i exp β εi = N z q i exp - εi kt C. Ruag Fasa Pada umumya sistem dalam mekaika statistic tersusu dari partikel- partikel tuggal yag tidak salig beriteraksi. Sebetulya, keadaa sistem setiap saat ditetuka oleh posisi da mometum atau kecepata masig masig partikel. Jadi keadaa sebuah partikel didefiisika dega tepat oleh eam koordiat, yaitu x, y, z da p x, p y, p z yag disebut ruag fasa. Pada ruag fasa, utuk partikel yag mempuyai posisi da mometumya atara x da x + dx; y da y + dy ; z da z + dz serta p x da p x +dp x ; p y da p y + dp y ; p z da p z + dp z, adalah : dt = dx dy dz p x p y p z eergi kietik sebuah partikel yag terletak dalam eleme dt adalah: ε = px2 + py2 + pz2 2m ~> eergi dalam ruag fasa 5

6 ε = eergi kietik Ek = ½ mv 2 = ½ m ( p/m ) 2 = ½ m p 2 ~> p 2 = p x 2 + p y 2 + p z 2 = px2 + py2 + pz2 2m dt = eleme volume dt = vp dx dy dz dx dy dz = v v v 4πp 2 = vp P da p + dp dt = vp v = vp. v dt = 4πp 2 dp v dx dy dz hubuga atara ε da p ε = ½ p 2 p 2 = 2m p = ε 2m dp = (ε 2m ) -½ dp = 1 2 ε 2m ε dp = ½ ( 2 ) -1/2 m -1/2 ε -1/2 = ½ 2m -2/2 ε -1/2 dt ( j ) = 4πp 2 dpv = 4π ε2m. ½ ( 2m ) -1 ε -1/2 ( dt ) j qj = B ( dt ). j = B 4π ε 2m. ½ ( 2m ) -1 ε -1/2 6

7 Sehigga, qj = B ( dt ) D. Peerapa Statistik Maxwell Boltzma Satu hal yag masih meggajal kita dalam usaha meghububugka termodiamika dega fisika statistik adalah besara k, yaki: S= k l W Fugsi partisi partikel ii adalah i=l Z= exp x y 2( ε i kt ) Dega ε i: ε( x y z )= h 2 1/2 ( 2 + 2mV 2/3 x 2 2 y + z ) Jadi pejumlaha dilakuka terhadap tiga variabel, masig masig -~ da ~, utuk volume yag cukup besar maka: h 2 1/2 2mV2/3 Mejadi sagat kecil, sehigga pejumlaha terhadap x, misalya bisa digati dega itegral: agar lebih mudah maka misalka : q x = h 2 2mV 2/3 1/2 x da dega meerapka cara yag sama terhadap x da z diperoleh fugsi Z yaitu: Z=A ~ ~ dq ~ x dq ~ y dq ~ ~ z exp q x 2+ q 2 y + q z. kt 2 Dimaa A= 2mV2/3 h 2 3/2 Setelah dilakuka peghituga secara itegral maka: Z=V 2πmkT h 2 3/2 7

8 Jika F adalah fugsi eergi bebas helmholtz, maka: df=du tds- SdT Tds=dU+PdV Diperoleh: Df=-PdV-SdT df dv T = - p, df dt T = - S Jika disubtitusika persamaa : F=NkT l Z,KK Dega demikia diperoleh: -P = { f } T = - NkT v v Pv = NKT 8