~ Getaran Mekanis ~ GETARAN MEKANIS

Transkripsi

1 GETARAN MEKANIS 19 Siste ekais ugki egalai getara bebas atau bisa juga ejadi subyek dari getara paksa. Suatu getara dikataka tereda jika gaya gesek terjadi da tidak tereda jika hal sebalikya terjadi. Siste suspesi truk secara esesial terdiri atas pegas-pegas da shock absorber yag eyebabka bodi truk egalai getara paksa tereda pada saat roda-rodaya dikeai gaya-gaya periodik pada siste uji diais kedaraa sebagaiaa tapak pada gabar.

2 ~ Getara Mekais ~ GETARAN MEKANIS Pedahulua Getara Tapa Redaa 19.. Getara Bebas Partikel Gerak Harois Sederhaa Pedulu Sederhaa (Peyelesaia Pedekata) Pedulu Sederhaa (Peyelesaia Eksak) Getara Bebas Beda Kaku Peerapa Prisip Koservasi Eergi Getara Paksa Getara Tereda Getara Bebas Tereda Getara Paksa Tereda Aalogi Elektrik PENDAHULUAN Getara ekais adalah gerak partikel atau bodi yag berosilasi di sekitar posisi keseibaga. Pada uuya getara pada esi da struktur tidak diigika terjadi karea adaya peigkata tegaga da hilagya eergi sebagai akibatya. Itulah sebabya aka getara harus dihilagka atau dikuragi sejauh ugki elalui desai yag tersedia. Aalisa getara ejadi seaki petig pada tahu-tahu terakhir sejala dega tre asa kii yag egarah pada esi berkecepata tiggi da struktur yag seaki riga. Terdapat beberapa alasa utuk dapat berharap bahwa tre tersebut aka berlajut da bahwa kebutuha aka aalisa getara seaki besar di asa yag aka datag. Aalisa getara adalah subyek kajia yag sagat luas yag aka dibahas dala seluruh bab. Pebahasa awal kita aka dibatasi pada tipe-tipe getara yag lebih sederhaa, yaitu getara dari bodi atau siste bodi dega satu derajat kebebasa. Getara ekais uuya terjadi pada saat suatu siste dilepas dari posisi keseibaga stabil. Siste ii cederug kebali pada posisi dibawah pebebaa gaya-gaya potesial (bisa berupa gaya elastik atau gaya gravitasi utuk pedulu). Nau uuya siste tersebut ecapai posisi orisiilya dega kecepata tertetu yag terjadi pada saat dilepas dari posisi dibawah keseibaga. Selaa proses tersebut berlagsug terus tapa batas, siste tersebut terus bergerak bolak-balik Diterjeahka oleh : Nurida F.

3 ~ Getara Mekais ~ elalui posisi keseibaga. Iterval waktu yag dibutuhka siste utuk eyelesaika satu siklus gerak diaaka rekuesi, da pergesera aksiu siste dari posisi keseibaga diaaka aplitudo getara. Jika geraka yag terjadi haya diakibatka oleh gaya-gaya potesial saja, getara yag terjadi disebut getara bebas (subbab ). Jika satu gaya periodik dikeaka pada siste, geraka yag terjadi disebut getara paksa (subbab 19.7). Jika eek geseka dapat diabaika, getara dikataka tidak tereda. Bagaiaapu sebearya seua getara adalah tereda dala beberapa derajat. Jika getara bebas tereda sagat tipis, aplitudoya aka berkurag perlaha-laha higga, setelah beberapa waktu tertetu, gerakaya berheti. Tetapi jika redaaya cukup besar utuk eaha getara sesugguhya, siste tersebut keudia secara perlaha dapat ecapai posisi orisiilya (subbab 19.8). Getara paksa tereda terus berlagsug selaa gaya periodik yag eghasilka getara tersebut terus dikeaka. Aplitudo getara, bagaiaapu, dipegaruhi oleh kekuata gaya redaa (subbab 19.9). GETARAN TANPA REDAMAN 19.. GETARAN BEBAS DARI PARTIKEL, GERAK HARMONIS SEDERHANA Bayagka satu bodi dega assa terpasag pada pegas dega kostata k (Gabar 19.1a). Selaa kita haya egacu pada geraka pusat assa, kita berasusi bodi ii adalah partikel. Jika suatu partikel berada pada keseibaga statis, gaya-gaya yag bekerja padaya adalah berat W da gaya T yag ditibulka oleh pegas, yag besarya T = k. st, diaa st eyataka regaga pegas. Jadi diperoleh W = k. st. -x T k st Tidak teregag st Keseibaga W Keseibaga O x T k ( st x) P +x W a x (a) (b) Gabar Diterjeahka oleh : Nurida F. 3

4 ~ Getara Mekais ~ Jika sekarag partikel ditarik sejauh x dari posisi keseibaga da dilepaska tapa kecepata awal dega aggapa bahwa x dipilih lebih kecil dari st, partikel aka bergerak aju da udur elalui titik keseibaga; getara dega aplitudo x telah terjadi. Catat bahwa getara juga dapat dibuat dega eberika kecepata awal tertetu pada partikel saat berada pada posisi keseibaga x = 0, atau secara uu eulai gerak partikel dari sebarag posisi yag ditetuka x = x o dega kecepata awal v o. Utuk egaalisa getara, diasusika partikel berada pada posisi P di sebarag waktu t (Gabar 19.1b).Diyataka dega x, pergesera OP diukur dari posisi keseibaga O (arah ke bawah positi), tapak bahwa gaya-gaya yag bekerja pada partikel adalah berat W da gaya T yag dihasilka pegas diaa, pada posisi ii, eiliki besar T = k. ( st + x). Karea W = k. st dapat dilihat bahwa besar gaya resulta F dari kedua gaya tersebut (ke bawah positi) adalah : F = W - k. ( st + x) = - k x 19-1) Jadi resulta gaya yag bekerja pada partikel sebadig dega jarak OP yag diukur dari posisi keseibaga. Megacu pada kovesi tada, F selalu egarah pada posisi keseibaga O. Substitusika F ke dala persaaa udaetal F =. a da egacu bahwa a erupaka turua kedua x dari x terhadap waktu t, aka diperoleh : x + k x = 0 19-) Catat bahwa kovesi tada yag saa harus diberlakuka pada percepata x da pergeraka x, yaitu ke bawah positi. Gerak yag diyataka dega persaaa 19-) diaaka Gerak Harois Sederhaa. Gerak ii dicirika oleh akta bahwa percepata sebadig dega pergesera da berarah berlawaa. Kita aka buktika bahwa ugsi x 1 si k / t da x cos k / t eeuhi persaaa 19-). Fugsi-ugsi ii, atiya, eyusu peyelesaia partikular dega kostata sebarag da dijulahka. Jadi peyelesaia uu diyataka dega : x = C 1 x 1 + C x = C 1 si k / t + C k / t cos 19-3) Di sii tapak bahwa x adalah ugsi periodik dari waktu da juga eyataka getara dari partikel P. Koeisie t yag kita peroleh dari ruusa di atas egacu pada rekuesi putar atural yag diyataka dega. Didapat, Frekuesi putar atural = = k / 19-4) Substitusi k / pada persaaa 19-3) diperoleh : x = C 1 si t + C cos t 19-5) Diterjeahka oleh : Nurida F. 4

5 ~ Getara Mekais ~ Ii adalah peyelesaia uu utuk persaaa dieresial x x ) Yag dapat diperoleh dari persaaa 19-) dega ebagi asig-asig sisi dega da euliska k. Dieresiasi dua kali persaaa 19-5) terhadap t aka diperoleh ruusa utuk kecepata da percepata pada waktu t : v = x = C 1 cos t - C si t 19-7) a = x = - C 1 si t - C cos t 19-8) Nilai dari kostata C 1 da C tergatug pada kodisi awal geraka. Sebagai cotoh, diperoleh C 1 = 0 jika partikel digerakka dari posisi keseibaga da dilepas pada t = 0 tapa kecepata awal, da diperoleh C = 0 jika partikel bergerak dari O pada t = 0 dega kecepata awal tertetu. Secara uu, asukka ilai t = 0 da ilai awal x o da v o dari pergeraka da kecepata ke dala persaaa 19-5) da 19-7) aka diperoleh C 1 = v o / da C = x o. Ruusa-ruusa utuk posisi, kecepata da percepata dari sebuah partikel sebagaiaa tertulis di atas dapat dituliska dala betuk yag lebih rigkas jika persaaa 19-5) ditijau lebih lajut yaitu bahwa posisi x = OP adalah julah dari kopoe-kopoe vektor C 1 da C dari x, asig-asig dega besara C 1 da C yag berarah sebagaiaa tapak pada gabar 19.a. -x C O x t C 1 t x t P Q +x (a) (b) Gabar 19.. Diterjeahka oleh : Nurida F. 5

6 ~ Getara Mekais ~ Dega t yag bervariasi, kedua vektor tersebut berputar berlawaa arah jaru ja, dapat dicatat juga bahwa pajag resulta vektor OQ saa dega pergesera aksiu x. Gerak harois sederhaa dari P sepajag subu x dapat ditujukka dega eproyeksika pergeraka titik Q pada subu tersebut yag erupaka sebuah ligkara berjari-jari x dega kecepata putar kosta (yag ejelaska istilah dari rekuesi putar atural ). Dega eujuk sebagai sudut yag dibetuk oleh vektor O Q da C 1 dapat dituliska : OP = OQ si ( t + ) 19-9) Yag egarah pada ruus baru utuk posisi, kecepata da percepata dari P sebagai berikut : x = x si ( t + ) 19-10) v = x = x cos ( t + ) 19-11) a = x = - x si ( t + ) 19-1) Graik posisi waktu tapak sebagai kurva sius (gabar 19.b); harga aksiu x dari pergesera disebut aplitudo getara, da sudut yag eyataka posisi awal Q pada ligkara disebut sudut ase. Dapat dilihat dari gabar 19. bahwa siklus utuh tercapai jika sudut t aik higga radia. Nilai t satu siklus diyataka dega disebut perioda getara bebas da diukur dala detik. Diperoleh : Perioda = = / 19-13) Julah siklus per satua waktu diyataka dega, dikeal sebagai rekuesi atural getara. Ditulis : Frekuesi atural = = 1/ = / 19-14) Uit rekuesi adalah rekuesi 1 siklus per detik, sesuai dega perioda 1 s. Dala istilah satua dasar, satua rekuesi adalah 1/s atau s -1. Ii disebut Hertz (Hz) dala siste satua SI. Hal ii juga sesuai dega ruus 19-14) bahwa rekuesi 1 s -1 atau 1 Hz sesuai dega rekuesi putar rad/s. Dala perasalaha yag elibatka kecepata putar yag diyataka dala revolusi per eit (rp), didapat bahwa 1 rp = s = Hz atau 1 rp = ( / 60) rad/s Kebali kepada yag dideiisika ruus 19-4) dala variabel kostata pegas k da assa dari partikel, dapat dilihat bahwa perioda da rekuesi tidak tergatug pada posisi awal da aplitudo getara. Catat bahwa da lebih dipegaruhi oleh assa da buka berat partikel sehigga tidak tergatug pada ilai g. Diterjeahka oleh : Nurida F. 6

7 ~ Getara Mekais ~ Graik waktu kecepata da waktu percepata dapat diyataka sebagai kurva sius dega perioda yag saa dega graik waktu posisi, tapi dega sudut ase yag berbeda. Dari persaaa 19-11) da 19-1) dapat dicatat bahwa ilai aksiu dari harga kecepata da percepata adalah : v = x a = x 19-15) Selaa titik Q egikuti pola ligkara berjari-jari x dega kecepata putar kosta, kecepata da percepataya sebagaiaa teruuska dala persaaa 19-15). Kebali pada persaaa 19-11) da 19-1) diperoleh bahwa kecepata da percepata titik P dapat dihitug utuk setiap saat dega eproyeksika vektor dega besara v = x da a = x pada subu x, yag eyataka kecepata da percepata titik Q pada saat yag saa (gabar 19.3) x Gabar O x a t a P v x v x Q Q o t x Hasil yag diperoleh tidak terbatas haya utuk peyelesaia perasalaha assa pegas saja. Juga dapat diguaka utuk egaalisa gerak lurus partikel diaa resulta F dari gaya-gaya yag bekerja pada partikel sebadig dega pergeraka x da egarah ke O. Persaaa gerak udaetal F = a dapat dituliska dala betuk persaaa 19-6) yag eujukka karakteristik gerak harois sederhaa. Megacu bahwa koeisie x harus saa dega, aka dega udah dapat ditetuka rekuesi putar atural dari gerak ( ). Substitusika ilai dala persaaa 19-13) da 19-14) utuk eetuka perioda da rekuesi atural dari gerak. Diterjeahka oleh : Nurida F. 7

8 ~ Getara Mekais ~ PENDULUM SEDERHANA (PENYELESAIAN PENDEKATAN) Pada uuya getara yag terjadi pada aplikasi tekis dapat diyataka sebagai gerak harois sederhaa. Kasus-kasus yag lai, eskipu berbeda tipe, dapat didekati sebagai gerak harois sederhaa selaa aplitudo yag terjadi tetap kecil. Misalya, sebagai cotoh sebuah pedulu sederhaa, terdiri atas bola dega assa tergatug pada tali dega pajag yag dapat berosilasi pada bidag vertikal (gabar 19.4a). T a at (a) W (b) Gabar Pada sebarag waktu t, tali ebetuk sudut terhadap vertikal. Gaya-gaya yag bekerja pada bola adalah berat W da gaya T yag dihasilka tali (gabar 19.4b). Dega eguraika vektor a ejadi kopoe-kopoe tagesial da oral, diaa a t egarah ke kaa yaitu pada arah yag sesuai dega pertabaha ilai da elihat bahwa a t = =, dapat ditulis : F. ; W si. t a t Karea W = g da ebagi persaaa dega aka diperoleh : g si 0 Utuk osilasi aplitudo kecil, si da diyataka dala radia aka : g ) 19-17) Jika dibadigka dega persaaa 19-16) dapat dilihat bahwa persaaa dieresial 19-17) adalah gerak harois sederhaa dega rekuesi putar atural = (g/ ) 1/. Peyelesaia uu dari persaaa 19-17) dapat diyataka sebagai : = si ( t + ) Diaa adalah aplitudo getara da adalah sudut ase. Substitusika ilai pada persaaa 19-13) aka diperoleh ruus perioda getara pedulu dega pajag : 19-18) g Diterjeahka oleh : Nurida F. 8

9 ~ Getara Mekais ~ *19.4. PENDULUM SEDERHANA (PENYELESAIAN EKSAK) Persaaa 19-18) hayalah pedekata. Utuk edapatka persaaa eksak dari perioda osilasi pedulu sederhaa, kita harus kebali pada persaaa 19-16). Kalika kedua buah suku dega deleksi aksiu, yaitu da, didapatka Gatilah d dt g l cos cos da diitegrasi dari posisi awal sesuai dega cos dega 1 si / da cos dega suku yag sesuai, selesaika utuk dt da itegrasika utuk seperepat periode dari t = 0, 0 ke t / 4, aka diperoleh 1 g 0 si / si / d Itegral pada suku sebelah kaa dikeal dega itegral eliptik; yag tidak dapat diyataka dala aljabar atau trigooetri biasa. Nau dega ebuat si / si / si Kita dapat euliska 4 1 g / 0 1 si d / si 19-19) Diaa itegral yag diperoleh, uuya diotasika dega K, dapat dihitug egguaka itegrasi etode uerik. Nilaiya juga dapat diteuka pada tabel itegral eliptik utuk berbagai variasi ilai /. Utuk ebadigka hasil yag baru saja diperoleh dega subbab sebeluya, kita tuliska persaaa 19-19) dala betuk K l g 19-0) Persaaa 19-0) eujukka bahwa ilai aktual dari perioda pedulu sederhaa dapat diperoleh dega egalika ilai pedekata yag diberika oleh persaaa 19-18) dega aktor koreksi K/. Nilai aktor koreksi diberika pada tabel 19.1 utuk berbagai ilai aplitudo. Dapat dicatat bahwa utuk perhituga tekik sehari-hari aktor koreksi dapat diguaka sepajag aplitudo tidak elebihi 10 o. Diterjeahka oleh : Nurida F. 9

10 ~ Getara Mekais ~ Tabel Faktor koreksi utuk perioda pedulu sederhaa 0 o 10 o 0 o 30 o 60 o 90 o 10 o 150 o 180 o K K/ Lihat, sebagai cotoh, Tabel Mateatika Stadar, Cheical Rubber Publishig Copay, Clevelad, Ohio CONTOH SOAL 19-1 k 1 = 4 kn/ k = 6 kn/ (a) (b) Sebuah balok 50 kg bergerak diatara pegarah vertikal sebagaiaa tapak pada gabar. Balok tersebut ditarik 40 ke bawah dari posisi keseibaga da dilepas. Utuk setiap odel pegatura pegas, tetuka perioda dari getara, kecepata aksiu dari balok da percepata aksiuya. PENYELESAIAN : a. Pegas terpasag paralel k1 P k Pertaa tetuka dulu kostata pegas tuggal yag ekuivale dega pegas tersebut dega eetuka besar gaya P yag dibutuhka utuk eghasilka deleksi. Jika deleksi dihasilka oleh gaya-gaya pegas k 1 da k, aka : Kostata k dari pegas ekuivale tuggal adalah : P = k 1 + k = (k 1 + k ) k = P / = k 1 + k = 4 kn/ + 6 kn/ = 10 kn/ = 10 4 N/ Perioda getara : Selaa = 50 kg, persaaa 19-4) eghasilka, k 10 4 N 50 kg 14,14 rad/s Kecepata aksiu : v = x = (0,04 ) (14,14 rad/s) = 0,444 s v = 0,566 /s Percepata aksiu : a = x = (0,04 ) (14,14 rad/s) a = 8 /s Diterjeahka oleh : Nurida F. 10

11 ~ Getara Mekais ~ b. Pegas terpasag seri l 1 l P l1 1 l Pertaa tetuka dulu kostata pegas tuggal yag ekuivale dega pegas tersebut dega eetuka perpajaga pegas total di bawah beba statis P. Utuk eudahka perhituga diguaka P = 1 kn aka : P P 1 kn 1 kn = 1 + = 5 k k 4 kn 6 kn 1 k = P / = 1 kn / 5 =,4 kn/ = 400 N/ k 400 N Perioda getara : 6, 93 rad/s 50 kg Kecepata aksiu : v = x = (0,04 ) (6,93 rad/s) Percepata aksiu : a = x = (0,04 ) (6,93 rad/s) = 0,907 s v = 0,77 /s a = 1,90 /s Diterjeahka oleh : Nurida F. 11

12 ~ Getara Mekais ~ RINGKASAN UNTUK BELAJAR MANDIRI Bab ii epelajari getara ekais, yaitu gerak bolak-balik partikel atau beda terhadap posisi keseibaga. Pada pelajara pertaa, kita elihat bahwa getara bebas suatu partikel ucul jika partikel tersebut dikeai gaya yag sebadig dega perpidahaya da berlawaa arah, seperti isalya gaya yag ditibulka oleh pegas (gabar 19.1). Gerak yag dihasilka disebut gerak harois sederhaa, yag dicirika oleh persaaa dieresial x kx 0 19-) Diaa x adalah perpidaha partikel, x adalah percepataya, adalah assaya da k adalah kostata pegas. Peyelesaia persaaa dieresial ii diperoleh sebagai berikut x x si t 19-10) Diaa x = aplitudo getara = k / = rekuesi putar atural (rad/s) = sudut ase (rad) Kita juga edeiisika perioda getara sebagai waktu / yag diperluka partikel utuk eyelesaika satu siklus, da rekuesi atural sebagai julah siklus per detik, 1 / /, yag diyataka dala Hertz atau s -1. Medieresiasi persaaa 19-10) dua kali eghasilka kecepata da percepata partikel setiap saat. Nilai kecepata da percepata aksiu diperoleh sebagai berikut v x a x 19-15) Utuk eetuka paraeter-paraeter pada persaaa 19-10) dapat diikuti lagkahlagkah berikut. 1. Gabarka diagra beda bebas yag eujukka gaya-gaya yag bekerja pada partikel jika partikel itu terletak pada jarak x dari posisi keseibagaya. Resulta gaya-gaya aka sebadig dega x da arahya aka berlawaa dega arah positi x [persaaa 19-1)].. Tuliska persaaa dieresial dari gerak partikel dega eyaaka gaya resulta yag diperoleh pada lagkah 1 dega x. Igat bahwa sekali arah positi x telah ditetuka, kovesi tada yag saa harus diberlakuka utuk percepata x. Setelah pegatura posisi suku-suku persaaa aka diperoleh betuk persaaa 19-) Diterjeahka oleh : Nurida F. 1

13 ~ Getara Mekais ~ 3. Tetuka rekuesi putar atural dega ebagi koeisie x dega koeisie x pada persaaa tadi lalu hituglah ilai akar kuadrat hasilya. Pastika bahwa diyataka dala rad/s 4. Tetuka aplitudo x da sudut ase dega esubstitusika ilai yag diperoleh da ilai awal x da x dala persaaa 19-10) da persaaa yag diperoleh dari diresiasi 19-10) terhadap waktu t. Persaaa 19-10) da persaaa lai yag diperoleh dari dieresiasi dua kali terhadap waktu t, dapat diguaka utuk eetuka perpidaha, kecepata da percepata partikel setiap saat. Persaaa 19-15) eghasilka kecepata aksiu v da percepata aksiu 5. Dapat dilihat juga bahwa utuk osilasi kecil dari pedulu sederhaa, sudut yag a. dibetuk oleh tali pedulu terhadap subu vertikal eeuhi persaaa dieresial g ) l diaa l adalah pajag tali da diyataka dala radia (subbab 19.3). Persaaa ii eujukka kebali betuk gerak harois sederhaa da peyelesaiaya saa dega persaaa 19-10), si diaa rekuesi putar atural t g l diyataka dala rad/s. Peetua / beberapa kostata pada persaaa ii diperoleh dega cara yag saa seperti diuraika di atas. Igat bahwa kecepata dari bola pedulu sejajar garis siggug jalur da besarya adalah kopoe tagesial a t, dega besar egarah pada pusat ligkara dega besar v l, sedagka percepata pedulu eiliki a l t, da kopoe oral a yag a l. Diterjeahka oleh : Nurida F. 13

14 ~ Getara Mekais ~ SOAL SOAL Tetuka kecepata da percepata aksiu sebuah partikel yag bergerak egikuti gerak harois sederhaa dega aplitudo 400 da perioda 1,4 s Tetuka aplitudo da kecepata aksiu partikel yag bergerak dala gerak harois sederhaa dega percepata aksiu 6,5 /s da rekuesi 8 Hz Sebuah partikel bergerak dala gerak harois sederhaa. Jika diketahui bahwa aplitudoya 375 da percepata aksiuya 4,5 /s, tetuka kecepata aksiu partikel tersebut da rekuesi gerakya Sebuah pedulu sederhaa terdiri atas bola yag terpasag pada tali, berosilasi pada bidag vertikal dega perioda 1,3 s. Jika diasusika bergerak dala gerak harois sederhaa da diketahui bahwa kecepata aksiu bola adalah 0,4 /s, tetuka (a) aplitudo gerak dala derajat, (b) percepata tagesial aksiu bola Sebuah pedulu sederhaa terdiri atas bola yag terpasag pada tali dega pajag l = 1 berosilasi pada bidag vertikal. Jika diasusika bergerak dala gerak harois sederhaa da diketahui bahwa bola dilepaska dari posisi = 6 o, tetuka (a) rekuesi getara, (b) kecepata aksiu bola Sebuah balok 10 kg ula-ula disagga sehigga pegas yag terpasag sebagaiaa tapak pada gabar tidak terdeorasi. Jika balok tiba-tiba dilepaska, tetuka (a) aplitudo da rekuesi gerak yag terjadi, (b) kecepata da percepata aksiu balok. 3 kg l 16 kn/ 135 kn/ 10 kg Gabar P19.4. da P19.5. Gabar P19.6. Gabar P Balok 3 kg dipasag pada pegas da dapat bergerak tapa geseka dala slot sebagaiaa tapak pada gabar. Balok berada pada posisi keseibaga higga sebuah palu eukulya da eberika kecepata awal 3 /s. Tetuka (a) perioda da rekuesi gerak yag terjadi, (b) aplitudo gerak da percepata aksiu balok. Diterjeahka oleh : Nurida F. 14

15 ~ Getara Mekais ~ Sebuah kotak peralata A dibaut pada eja getar sebagaiaa tapak pada gabar. Meja bergerak vertikal dala gerak harois sederhaa dega rekuesi yag saa dega variasi kecepata otor peggerakya. Kotak tersebut aka diuji pada percepata peuh 50 /s. Jika diketahui bahwa aplitudo eja getar 58, tetuka (a) kecepata otor yag diperluka dala rp, (b) kecepata aksiu eja. B A k 3 kg 135 kn/ Gabar P19.8. Gabar P19.9. Gabar P Balok A seberat 5 kg diletakka pada plat B seberat 0 kg yag dipasag pada pegas tidak teregag dega kostata k = 900 N/. Plat B bergerak 60 ke kiri da dilepas. Jika diasusika balok A tidak egalai slip pada plat, tetuka (a) aplitudo da rekuesi gerak yag terjadi, (b) ilai koeisie gesek statis terkecil yag diijika Gerak sebuah partikel diyataka oleh persaaa x = 10 si t + 8 cos t, diaa x diyataka dala t da t dala detik. Tetuka (a) perioda gerak yag terjadi, (b) aplitudoya, (c) sudut aseya Gerak sebuah partikel diyataka oleh persaaa x = 0, cos 10t + 0,15 si (10t - ), diaa x diyataka dala t da t dala detik. Tetuka (a) perioda gerak yag terjadi, (b) aplitudoya, (c) sudut aseya Balok 3 kg dipasag pada pegas dega kostata 135 kn/, dapat bergerak tapa geseka pada slot sebagaiaa tapak pada gabar. Balok diberi posisi awal 375 dari posisi keseibaga da dilepas. Tetuka 1,5 s setelah dilepas (a) total jarak yag ditepuh balok, (b) percepataya Balok 1,4 kg ditopag pegas dega kostata k = 400 N/ yag dapat bersiat tarika ataupu tekaa sebagaiaa tapak pada gabar. Balok aka berada pada posisi keseibaga jika dipukul palu yag eberika kecepata ke atas sebesar,5 /det. Tetuka (a) waktu yag diperluka balok utuk bergerak 60 ke atas, (b) kecepata da percepata balok pada saat itu. Diterjeahka oleh : Nurida F. 15

16 ~ Getara Mekais ~ k l A C 0,5 A k k Gabar P Gabar P Gabar P Gabar P Megacu pada soal , tetuka posisi, kecepata da percepata balok 0,9 det setelah dipukul palu Bola pedulu sederhaa dega pajag l = 1 dilepaska dari posisi dia pada sudut = +5 o. Jika diasusika bergerak harois sederhaa, tetuka kodisi setelah dilepas 1,6 detik (a) sudut, (b) kecepata da percepata bola Sebuah silider diletakka, tapa terikat, di atas pegas sebagaiaa tapak pada gabar. Diketahui bahwa jika silder diteka turu sejauh 5 atau lebih da dilepaska, silider tersebut aka kehilaga kotak dega pegas. Tetuka (a) kostata pegas, (b) posisi, kecepata da percepata silider 0,16 detik setelah dilepaska Silider C seberat 5 kg sebagaiaa tapak pada gabar, dilepaska dari posisi dia da elucur tapa geseka pada tiag vertikal higga egeai da eaka pegas dega kostata k = 70 N/. Kecepata silider berkurag higga ol da silider bergerak kebali ke posisi seula. Siklus selajutya berulag. Tetuka (a) perioda gerak silider, (b) kecepata silider 0,4 detik setelah dilepaska (Igat, ii erupaka gerak periodik, tetapi buka gerak harois sederhaa). 13,6 kg 4 kn/ 4 kn/ 3,5 kn/ 50 kg 1 kn/ 1 kn/ 4 kn/,1 kn/,8 kn/ 50 kg Gabar P Gabar P Gabar P19.0. Diterjeahka oleh : Nurida F. 16

17 ~ Getara Mekais ~ da Sebuah balok 50 kg dipasag pada susua pegas sebagaiaa tapak pada gabar. Balok digerakka ke bawah dari posisi keseibagaya da dilepas. Jika diketahui aplitudo geraka 60, tetuka (a) perioda da rekuesi geraka, (b) kecepata da percepata aksiu balok Balok dega berat 13,6 kg dipasag pada susua pegas sebagaiaa tapak pada gabar. Jika balok digerakka 44 dari posisi keseibagaya ke bawah da dilepaska, tetuka (a) perioda da rekuesi geraka yag terjadi, (b) kecepata da percepata aksiu dari balok Sebuah balok 4,5 kg dipasag pada sisi bawah pegas yag sisi atasya diikat, bergetar dega perioda 6,8 detik. Jika diketahui kostata k pegas berbadig terbalik dega pajagya, tetuka perioda balok,7 kg yag dipasag ditegah-tegah pegas yag saa yag diikat pada kedua ujugya. A B C k 1 k k k1 1 k A A k k k 13,5 kn/ 4,5 kg A Gabar P19.. Gabar P19.3. Gabar P Balok 4,8 kg dipasag pada 3 buah pegas dega susua sebagaiaa tapak pada gabar. Kostata asig-asig pegas adalah k. Pada posisi keseibaga gaya tarik pegas A, B da C asig-asig adalah 1,5; 1,8 da 1,5 kg. Balok bergerak ke bawah sejauh 1,5 dari posisi keseibaga da dilepaska. Jika diketahui bahwa dala pergeraka tersebut tarika iiu pada pegas B adalah ol, tetuka (a) kostata pegas k, (b) rekuesi geraka, (c) tekaa aksiu pada pegas A Dua buah pegas dega kostata k 1 da k disusu seri pada balok A yag bergetar dala gerak harois sederhaa dega perioda 5 detik. Jika pegas yag saa disusu secara paralel pada balok yag saa, balok bergetar dega perioda detik. Tetuka rasio k 1 / k dari kostata pegas tersebut. Diterjeahka oleh : Nurida F. 17

18 ~ Getara Mekais ~ Perioda getara siste sebagaiaa tapak pada gabar adalah 0,7 detik. Setelah pegas dega kostata k = 13,5 kn/ dilepaska dari siste, perioda getara ejadi 0,9 detik. Tetuka (a) kostata k 1, (b) berat balok A Perioda osilasi kecil siste yag tapak pada gabar adalah 1,6 detik. Setelah silider seberat 6,3 kg diletakka pada pucak silider A, perioda getara ejadi,1 detik. Tetuka (a) berat silider A, (b) kostata pegas k Perioda getara siste sebagaiaa tapak pada gabar adalah 0, detik. Setelah pegas dega kostata k = 3,5 kn/ dilepaska da balok A disabugka pada pegas dega kostata k 1, perioda getara ejadi 0,1 detik. Tetuka (a) kostata pegas k 1 yag tersisa, (b) assa balok A Balok D 50 kg dipasag pada pegas dega susua sebagaiaa tapak pada gabar. Kostata pegas seuaya k. Perioda getara vertikal tidak berubah eskipu balok D digatika dega balok lai seberat 60 kg, pegas A digati dega pegas yag kostataya k A da pegas laiya tidak diubah. Jika perioda getara 0,4 detik, tetuka ilai k da k A Dari ekaika aterial diketahui bahwa jika beba statik P diaplikasika di ujug B batag loga hooge dega ujug A terikat, pajag batag aka eigkat sebesar = PL / AE, diaa L adalah pajag batag ula-ula, A adalah luas peapag litag batag da E adalah odulus elastisitas aterial. Jika diketahui L = 450, E = 00 GPa da diaeter batag 8, dega egabaika berat batag, tetuka (a) kostata pegas ekuivale dari batag, (b) rekuesi getara vertikal balok dega berat W = 7 kg yag terpasag pada ujug B batag yag saa Dari ekaika aterial diketahui bahwa jika pada batag hooge, dega luas peapag seraga ditupu sederhaa di kedua ujugya, dikeai beba statik P ditegah-tegah pajagya, deleksi A = PL 3 / 48EI aka terjadi, diaa L adalah pajag batag, E adalah odulus elastisitas da I adalah oe iersia peapag litag batag. Jika diketahui bahwa L = 5, E = 00 GPa da I = 0 x , tetuka (a) kostata pegas ekuivale dari batag, (b) rekuesi getara balok 750 kg yag diletakka di tegah batag. Abaika assa batag da asusika beba tetap terjadi pada batag secara kosta. Diterjeahka oleh : Nurida F. 18

19 ~ Getara Mekais ~ deleksi terukur secara lagsug pada latai gedug setelah peasaga esi seberat 6000 kg yag berputar akibat ketidakseibaga rotor. Jika diasusika deleksi yag terjadi sebadig dega beba yag ditupu, tetuka (a) kostata pegas ekuivale dari latai siste tersebut, (b) kecepata putara esi dala rp yag harus dihidari agar tidak selaras dega rekuesi atural latai. * Persaaa deleksi-gaya utuk pegas o-liier yag satu ujugya terpasag tetap adalah F = 4x 1/ diaa F adalah gaya dega satua N yag bekerja di ujug laiya da x adalah deleksi dega satua. (a) Tetuka deleksi x o jika 100 gra balok dipasag pada pegas da tercapai keseibaga. (b) Jika diasusika bahwa slope kurva gaya-deleksi pada titik pebebaa tersebut dapat diguaka sebagai kostata pegas ekuivale, tetuka rekuesi getara balok jika ditarik sedikit dari titik keseibaga da dilepaska Batag AB dipasag pada gatuga A dega buah pegas sebagaiaa tapak pada gabar. Kostata pegas asig-asig adalah k. (a) Tetuka assa balok C yag egakibatka getara dega perioda 4 detik. (b) Jika ujug B diteka sejauh 60 da dilepaska, tetuka kecepata aksiu balok C. Abaika assa batag da asusika bahwa tiap pegas dapat berugsi tarik ataupu teka Jika deleksi statis batag yag dikeai beba diotasika sebagai st, tujukka bahwa rekuesi getara beba aka saa dega 1 g st Abaika assa batag da asusika bahwa beba batag kosta. * Jika itegra pada persaaa 19-19) sub bab diekspasika pada deret pagkat geap dari si da diitegrasi, tujukka bahwa perioda pedulu sederhaa dega pajag l dapat didekati dega ruusa l 1 1 si g 4 Diaa adalah aplitudo osilasi. * Megguaka ruus yag diberika pada soal 19.34, tetuka aplitudo yag eyebabka perioda pedulu sederhaa lebih pajag ¾ perse dari perioda berosilasi kecil pedulu yag saa. Diterjeahka oleh : Nurida F. 19

20 ~ Getara Mekais ~ * Megguaka data pada tabel 19.1., tetuka perioda pedulu sederhaa dega pajag l = 600 (a) utuk osilasi kecil, (b) utuk osilasi dega aplitudo = 30 o, (c) utuk osilasi dega aplitudo = 10 o. * Megguaka data pada tabel 19.1., tetuka pajag pedulu sederhaa dala ichi, yag bergetar dega perioda 3 detik da aplitudo = 60 o. Diterjeahka oleh : Nurida F. 0

21 ~ Getara Mekais ~ GETARAN BEBAS BENDA KAKU Aalisa dari getara beda kaku atau suatu siste beda kaku yag eiliki satu derajat kebebasa irip dega aalisa getara partikel. Beberapa variabel, seperti jarak x atau sudut, dipilih utuk eetuka posisi dari beda atau siste beda da persaaa yag eghubugka variabel tersebut dega turua kedua terhadap waktu t, dituliska. Jika persaaa yag diperoleh eiliki betuk yag saa dega persaaa 19-6), yaitu jika diperoleh x x 0 atau ) Getara yag terjadi adalah gerak harois sederhaa. Perioda da rekuesi atural getara tersebut dapat diperoleh dega eetuka da esubstitusika ilaiya pada persaaa 19-13) da 19-14). Secara uu, cara sederhaa utuk eperoleh persaaa 19-1) adalah dega eyataka bahwa siste gaya-gaya eksteral adalah sebadig dega siste gaya-gaya eekti dega eggabarka persaaa diagra beda bebas utuk sebarag ilai variabel da euliska persaaa gerak yag bersesuaia. Proses ii disebut sebagai Peetua koeisie variabel x atau, buka peetua variabel itu sediri atau turua x atau. Dega eyaaka koeisie ii dega aka diperoleh rekuesi putar atural, diaa da dapat ditetuka. Metode di atas dapat diguaka utuk egaalisa getara-getara yag bearbear eujukka karakter gerak harois sederhaa, atau getara-getara beraplitudo kecil yag dapat didekati sebagai gerak harois sederhaa. Sebagai cotoh, jika ditetuka perioda osilasi kecil sebuah plat segiepat bersisi b yag ditaha di titik tegah O pada salah satu sisiya (Gb. 19.5a). Dipadag satu kodisi bahwa posisi plat ditetuka dega sudut yag dibetuk garis OG terhadap subu vertikal da digabarka persaaa diagra beda bebas utuk eyataka bahwa berat W dari plat da kopoe-kopoe R x da R y dari reaksi pada titik O adalah ekuivale dega vektor-vektor a t da a juga ekuivale dega kopel I (Gb. 19.5b). Selaa kecepata da percepata putar plat saa, yaitu da, ilai kedua vektor tersebut adalah b da b, sedagka oe kopelya adalah I. Pada peerapa etode ii sebeluya (bab 16) telah dicoba keugkia utuk egasusika arah yag bear dari percepata. Dala hal ii, bagaiaapu, kita harus egasusika arah positi yag saa utuk da agar diperoleh persaaa 19-1). Kosekuesiya, percepata putar diasusika positi jika berlawaa arah jaru ja eskipu asusi ii biasaya tidak realistis. Diterjeahka oleh : Nurida F. 1

22 ~ Getara Mekais ~ R y b O G 5b 3 O G R x O a G a t b A I b W (a) (b) Gabar Dega eyaaka oe-oe terhadap O aka diperoleh Megigat + W( b si ) ( b ) b I I 1 ] 1 [( b) (b) 3 b da W = g, diperoleh 3 g si 0 19-) 5 b Utuk osilasi-osilasi aplitudo kecil, si dapat digati dega, diyataka dala radia, sehigga 3 g ) 5 b Dibadigka dega persaaa 19-1) tapak bahwa persaaa yag diperoleh adalah gerak harois sederhaa da rekuesi putar atural ( 3g / 5b) 1 osilasi ii adalah. Substitusi pada persaaa 19-13) aka eghasilka perioda osilasi 5b 19-4) 3g Hasil yag diperoleh adalah valid haya utuk osilasi-osilasi aplitudo kecil. Pejabara yag lebih akurat dari gerak plat diperoleh dega ebadigka persaaa 19-16) da 19-). Catat bahwa kedua persaaa tersebut idetik jika dipilih l saa dega 5b/3. Ii berarti bahwa plat aka berosilasi sebagai pedulu sederhaa dega pajag l = 5b/3 da hasil dari subbab 19.4 dapat diguaka utuk egkoreksi ilai perioda yag diperoleh dari persaaa 19-4). Titik A pada plat yag terletak pada garis OG dega jarak l = 5b/3 dari titik O diaaka Pusat Osilasi terhadap O (Gb. 19.5a). Diterjeahka oleh : Nurida F.

23 ~ Getara Mekais ~ CONTOH SOAL 19- Sebuah silider dega berat W da jari-jari r dipasag pada tali sebagaiaa tapak pada gabar. Salah satu ujug tali dipasag pada sabuga kaku seetara ujug laiya dihubugka B dega pegas yag eiliki kostata pegas k. Tetuka perioda r da rekuesi atural getara silider. PENYELESAIAN : Kieatika gerak. Pergesera liier da percepata silider diyataka dala pergesera putar. Dipilih putara searah jaru ja sebagai arah positi da pergesera diukur dari posisi keseibaga. Maka didapat x r x r a r r (1) r B T 1 T x B A G W A I a a Persaaa Gerak. Siste gaya-gaya eksteral yag bekerja pada silider terdiri atas gaya berat W, gaya tarik tali T 1 da T. Siste ii ekuivale dega siste gaya eekti yag diwakili oleh vektor a pada G da kopel I. M A ( M A ) e Wr T (r) ar I () Pada saat silider berada pada posisi keseibaga, gaya tarik tali : T o = ½ W. Jika diyataka dala variabel pergesera putar, ilai T adalah : 1 1 T To k W k W k(r ) (3) Substitusi persaaa 1) da 3) dala ) dega egigat bahwa 1 Wr ( 1 W kr )(r) ( r ) r r I 1 r diperoleh 8 k 0 yag erupaka ciri persaaa gerak harois sederhaa, aka 3 8k 3 8k 3 3 8k 1 8k 3 Diterjeahka oleh : Nurida F. 3

24 ~ Getara Mekais ~ CONTOH SOAL 19-3 Sebuah piriga bulat PENYELESAIAN : Diterjeahka oleh : Nurida F. 4

25 ~ Getara Mekais ~ RINGKASAN UNTUK BELAJAR MANDIRI Dala subbab ii dapat dilihat bahwa sebuah beda kaku, atau suatu siste beda kaku, diaa posisiya ditetuka oleh koordiat tuggal x atau, aka eghasilka gerak harois sederhaa jika persaaa dieresial yag diperoleh dari aplikasi Huku Newto II berbetuk x x 0 atau ) Tujua yag harus dicapai adalah eetuka, utuk eetuka perioda da rekuesi atural dapat ditulis dala betuk. Dega eberika ilai utuk kodisi awal, persaaa gerak x x si t 19-10) Dala hal ii x dapat digatika dega jika elibatka gerak putar. Utuk eyelesaika perasalaha pada subbab ii dapat diikuti lagkah-lagkah berikut. 1. Tetuka siste koordiat yag diguaka utuk egukur pergesera beda dari titik keseibagaya. Dala subbab ii aka diteui bayak sekali perasalaha yag elibatka gerak putar beda terhadap satu subu tetap da bahwa sudut yag eujukka pergeraka beda dari posisi keseibaga erupaka koordiat yag palig eudahka utuk diguaka. Pada perasalaha yag elibatka gerak datar suatu beda secara uu, diaa koordiat x (da ugki juga koordiat y) diguaka utuk eetuka posisi pusat assa G dari beda, da koordiat diguaka utuk egukur putara terhadap G, teuka hubuga kieatis yag eugkika utuk eyataka x (da y) dala variabel [cotoh soal 19.].. Tuliska persaaa diagra beda bebas utuk eyataka bahwa siste gayagaya eksteral ekuivale dega siste gaya-gaya eekti yag terdiri atas vektor a da kopel I, diaa a x da. Pastika bahwa setiap gaya atau kopel yag bekerja digabarka pada arah yag kosiste dega pergeraka yag diasusika da bahwa tada utuk a da, secara berturut-turut, adalah pada arah diaa koordiat x da ebesar. 3. Tuliska persaaa dieresial gerak dega eyaaka julah kopoe gayagaya eksteral da gaya-gaya eekti pada arah x da y, da julah oe-oe gaya tersebut terhadap titik yag ditetuka. Jika diperluka, guaka hubuga kieatika yag diperoleh pada lagkah 1 utuk edapatka persaaa yag haya egguaka variabel. Jika erupaka sudut kecil, gatilah si dega da cos dega 1, jika ugsi ii ucul pada persaaa. Dega egeliiasi Diterjeahka oleh : Nurida F. 5

26 ~ Getara Mekais ~ setiap reaksi yag tidak diketahui, aka diperoleh persaaa yag setipe dega persaaa 19.1). Catat bahwa dala perasalaha yag elibatka pergeraka beda terhadap subu tetap, aka diperoleh persaaa dega cepat elalui peyaaa oe-oe gaya eksteral da gaya eekti terhadap subu tersebut. 4. Badigka persaaa yag diperoleh dega persaaa 19.1), sehigga dapat diidetiikasi da, sekaligus, dapat ditetuka rekuesi putar atural. Igat bahwa obyek yag diaalisis tidak dapat diselesaika dega persaaa dieresial tersebut, au dala hal ii persaaa yag diperoleh diguaka utuk egidetiikasi. 5. Tetuka aplitudo da sudut ase, dega esubstitusika ilai yag diperoleh, ilai awal koordiat da turua pertaaya pada persaaa 19.10) da persaaa yag diperoleh dari dieresiasi persaaa 19.10) terhadap t. Dari persaaa 19.10) da dua persaaa hasil dieresiasi dua kali terhadap t, serta egguaka hubuga kieatik yag didapatka pada lagkah 1, dapat ditetuka posisi, kecepata da percepata setiap titik pada beda di setiap waktu yag ditetuka. 6. Pada perasalaha yag elibatka getara torsioal, kostata pegas torsioal K diyataka dala N./rad atau lb.t/rad. Perkalia K dega sudut putir, yag diyataka dala radia, eghasilka oe kopel restorasi, yag harus disaaka dega julah oe gaya-gaya eekti, atau kopel terhadap subu rotasi [cotoh soal 19.3] Diterjeahka oleh : Nurida F. 6

27 ~ Getara Mekais ~ SOAL SOAL Batag hooge AC seberat 4,5 kg dipasag pada pegas yag eiliki kostata k = 750 N/ pada B da k = 900 N/ pada C yag dapat bekerja pada kodisi tarik atau teka. Jika ujug C diteka sedikit keudia dilepaska, tetuka (a) rekuesi getara, (b) aplitudo gerak di titik C, jika kecepata aksiu pada titik tersebut 0,8 /s Batag hooge AB seberat 9 kg dipasag pada pegas di titik A da B yag asig-asig eiliki kostata 850 N/ da dapat bekerja pada kodisi tarik atau teka. Jika ujug A diteka sedikit keudia dilepaska, tetuka (a) rekuesi getara, (b) aplitudo gerak putar, jika kecepata aksiu pada titik A 1,1 /s. A B C A C B 1,7 0, Gabar P Gabar P Diterjeahka oleh : Nurida F. 7

28 ~ Getara Mekais ~ PENERAPAN PRINSIP KONSERVASI ENERGI Tapak pada subbab 19. bahwa jika sebuah partikel berassa berada dala gerak harois sederhaa, resultat F dari gaya-gaya yag bekerja pada partikel eiliki ilai yag sebadig dega perpidaha x diukur dari posisi keseibaga O da egarah ke O; dituliska F = - k x. Megacu pada subbab 13.6, kita tulis F sebagai Gaya Koservati da eergi potesial yag bersesuaia degaya adalah V 1 kx diaa V diasusika saa dega ol pada posisi keseibaga x = 0. Jika kecepata 1 partikel adalah x, eergi kietikya adalah T x da total eergi partikel yag diiliki dapat dituliska sebagai T + V = kosta 1 1 x kx kosta Persaaa dibagi dega / da egacu pada subbab 19. bahwa k /, diaa adalah rekuesi putar atural dari getara, didapat x x kosta 19-5) Persaaa 19-5) adalah karakteristik dari gerak harois sederhaa, dapat diperoleh dari persaaa 19-16) dega egalika kedua sisi dega x da diitegrasi. Prisip koservasi eergi eghasilka cara yag lebih udah utuk eetuka perioda getara beda kaku atau siste beda kaku dega satu derajat kebebasa, pada saat gerak siste diidetiikasi sebagai gerak harois sederhaa atau dapat didekati sebagai gerak harois sederhaa. Dega eilih variabel, isalya jarak x atau sudut, dapat diabil posisi sesaat siste : a. Pergesera siste ecapai aksiu : Didapat T 1 = 0 da V 1 dapat diyataka dala x atau (dipilih V = 0 pada posisi keseibaga) b. Siste elalui posisi keseibaga : Didapat V = 0 da T dapat diyataka dala kecepata aksiu x atau kecepata sudut aksiu Selajutya dapat ditetuka total eergi yag dihasilka da ditulis T 1 + V 1 = T + V. Megacu dari persaaa 19-15) bahwa utuk gerak harois sederhaa, kecepata aksiu saa dega perkalia aplitudo da rekuesi putar atural, persaaa ii dapat diselesaika utuk eperoleh. Sebagai cotoh, sekali lagi ari kita lihat plat segiepat pada subbab Pada posisi pergesera aksiu (Gb. 19.6a) didapat T 1 = 0 V W( b b cos ) Wb (1 cos ) 1 Atau utuk 1 cos si ( / ) / utuk osilasi aplitudo kecil, T 1 = 0 V Wb 19-6) 1 1 Diterjeahka oleh : Nurida F. 8

29 ~ Getara Mekais ~ Pada saat plat elewati posisi keseibaga (Gb. 19.6b) kecepataya aksiu da didapat T v I b I V = Megacu subbab 19.5 bahwa T 1 5 ( 3 b ) I b 3 V = ) Substitusi persaaa 19-6) da 19-7) ke dala T 1 + V 1 = T + V, da egigat kecepata aksiu adalah saa dega hasilkali didapat Wb ( 3 b ) 19-8) Yag eghasilka 3g / b da 5 5b 19-9) 3g Sebagaiaa telah diperoleh. 0 O G 1 b cos b O b datu G datu W W (a) (b) Gabar Diterjeahka oleh : Nurida F. 9

30 ~ Getara Mekais ~ CONTOH SOAL 19-4 R r Tetuka perioda osilasi kecil sebuah silider dega radius r yag bergulig tapa selip dala perukaa legkug dega radius R. PENYELESAIAN : O O R R r ( R r) cos Posisi 1 r G G W Posisi h datu G r v W Posisi C Sudut yag dibetuk oleh garis OG terhadap vertikal diotasika dega. Selaa silider bergulig tapa selip, prisip koservasi eergi dapat diterapka pada posisi 1, diaa = da pada posisi diaa = 0. Posisi 1 : Eergi kietik T 1 = 0 selaa kecepata silider ol Eergi potesial. Dipilih datu sebagaiaa tapak pada gabar. Jika W eyataka Posisi : berat silider, aka V Wh W ( R r)(1 cos ). Megacu pada 1 kodisi osilasi kecil diaa (1 cos ) si ( / ) / aka diperoleh V 1 W ( R r) Kecepata sudut yag dibetuk garis OG pada saat silider berada pada posisi diyataka dega, diaa pusat rotasi sesaatya berada pada titik C, aka dapat dituliska bahwa v ( R r) v r R r r Diterjeahka oleh : Nurida F. 30

31 ~ Getara Mekais ~ Diterjeahka oleh : Nurida F. 31 Eergi kietik 1 1 v I T ) )( ( ) ( r r R r r R 4 3 ) ( r R Eergi potesial V = 0 Jadi Koservasi Eergiya dapat ditulis : T 1 + V 1 = T + V 0 ) ( ) ( r R r R W Diketahui bahwa da W = g, didapat : 4 3 ) ( ) ( ) ( r R r R g jadi r R g 3 karea aka g r R 3

32 ~ Getara Mekais ~ RINGKASAN UNTUK BELAJAR MANDIRI Diterjeahka oleh : Nurida F. 3

33 ~ Getara Mekais ~ GETARAN PAKSA Satu betuk getara yag sagat petig jika dipadag dari sisi peerapa di bidag tekik adalah Getara Paksa dari suatu siste. Getara ii terjadi jika suatu siste dikeai gaya periodik atau jika siste tersebut dihubugka secara elastis dega peyagga yag eiliki geraka bolak-balik. Foto Sebuah seisogra yag bekerja dega cara egukur besara eergi listrik yag diperluka utuk ejaga posisi assa agar tetap di tegah kotak pada saat terjadi getara taah yag kuat. Perhatika satu kasus diaa sebuah beda dega assa digatug pada sebuah pegas da dikeai gaya periodik P yag besarya P = P si t, diaa adalah rekuesi putar dari P da disebut dega rekuesi putar paksa dari geraka tersebut (Gabar 19.7). Gaya ii ugki berupa gaya luar aktual yag diaplikasika terhadap beda, atau ugki berupa gaya setriugal yag diakibatka oleh gerak rotasi dari bagia beda yag tidak seibag (lihat cotoh soal 19.5). Kesetibaga x T k st x P W P P si t a x Gabar Diterjeahka oleh : Nurida F. 33

34 ~ Getara Mekais ~ Dega eotasika x sebagai perpidaha beda yag diukur dari posisi seibag, aka persaaa gerakya dapat dituliska sebagai berkut : +F = a; P si t + W k( st + x) = x Dega egigat bahwa W = k st, aka : x + k x = P si t (19.30) Selajutya kita perhatika satu kasus diaa sebuah beda dega assa digatug pada sebuah pegas yag diletakka disebuah ragka yag bergerak diaa perpidaha saa dega si t (Gabar 19.8). Pegukura perpidaha x beda tersebut dari posisi keseibaga statis diaa t = 0, didapat perpajaga total pegas pada waktu t adalah sebesar st + x - si t. Persaaa gerakya ejadi : +F = a; W k( st + x - si t) = x Dega egigat bahwa W = k st, aka didapat : x + k x = k si t (19.31) si t t 0 t T k x si t st Kesetibaga x W Gabar a x Perlu dicatat bahwa persaaa (19.30) da (19.31) eilki betuk yag saa da peyelesaia persaaa pertaa aka juga eyelesaika persaaa kedua jika P = k. Persaaa dieresial seperti persaaa (19.30) da (19.31) eiliki suku sisi kaa buka ol, da disebut dega o-hooge. Peyelesaia uuya didapat Diterjeahka oleh : Nurida F. 34

35 ~ Getara Mekais ~ dega eabahka peyelesaia khusus dari persaaa tersebut ke dala peyelesaia uu dari persaaa hooge yag bersesuaia (diaa suku sisi kaa saa dega ol). Peyelesaia khusus (partikular) dari persaaa (19.30) da (19.31) dapat diperoleh dega ecoba peyelesaia berbetuk : x part = x si t (19.3) Substitusika x part utuk x ke persaaa (19.30) akadiperoleh : - x si t + k x si t = P si t Yag dapat diselesaika, utuk aplitudo : x P k Dari persaaa (19.4) diaa k/ =, diaa adalah rekuesi putar atural siste, aka : x P / k (19.33) 1 / Substitusi persaaa (19.3) ke dala persaaa (19.31) aka didapat peyelesaia yag sejeis : x (19.33 ) 1 / Persaaa hooge yag bersesuaia dega persaaa (19.30) atau (19.31) adalah persaaa (19.) yag edeiisika getara bebas suatu beda. Peyelesaia uuya disebut dega ugsi kopleeter, dapat diteuka pada sub bab 19. : x cop = C 1 si t + C cos t (19.34) Dega eabahka peyelesaia khusus (19.3) ke persaaa kopleeter (19.34), kita aka eperoleh peyelesaia uu dari persaaa (19.30) da (19.31) : x = C 1 si t + C cos t + x si t (19.35) Perlu diigat bahwa getara yag terjadi terdiri dari buah getara superposisi. Dua suku pertaa dala persaaa (19.35) eggabarka getara bebas siste. Frekuesi getara ii adalah rekuesi atural siste yag haya tergatug pada kostata pegas k da assa beda, sedagka kostata C 1 da C dapat dituruka dari kodisi awalya (kodisi iisial). Getara bebas ii juga disebut dega getara trasie, karea dala aplikasiya getara ii aka segera direda oleh gaya gesek (sub bab 19.9). Suku terakhir pada persaaa (19.35) eggabarka kodisi stedi getara yag dihasilka yag disebabka da dijaga oleh gaya luar atau geraka peyagga. Frekuesiya adalah rekuesi paksa yag dihasilka oleh gaya luar atau geraka Diterjeahka oleh : Nurida F. 35

36 ~ Getara Mekais ~ peyagga tersebut da aplitudo x dideiisika oleh persaaa (19.33) atau (19.33 ), tergatug pada rasio rekuesi /. Rasio dari aplitudo x getara kodisi stedi terhadap deleksi statis P /k yag disebabka oleh gaya P, atau terhadap aplitudo dari geraka peyagga disebut aktor pebesara. Dari persaaa (19.33) da (19.33 ) didapat : x x 1 Faktor pebesara = (19.36) P / 1 / k Faktor pebesara digabarka dala betuk graik pada Gabar 19.9 terhadap subu rasio rekuesi / sebagai berikut. x P / k atau x Gabar Terlihat bahwa jika = aka aplitudo getara paksa ejadi tak terhigga. Gaya luar atau geraka peyagga berada pada kodisi resoasi dala siste getara tersebut. Secara aktual, aplitudo getara tetap terhigga karea gaya redaa / dapig orce (sub bab 19.9), bagaiaapu situasi tersebut harus dihidari da rekuesi paksa tidak boleh dipilih terlalu dekat dega rekuesi aturalya. Terlihat pula utuk < aka koeisie si t pada persaaa (19.35) berharga positi, sedagka utuk > aka koeisie si t berharga egati. Pada kodisi pertaa, getara paksa disebut i phase (se-phase) dega gaya luar atau geraka peyaga, sedagka pada kodisi kedua, hal ii 180 o out o phase (berbeda phase 180 o ). Pada akhirya kita dapat egaati bahwa kecepata da percepata getara kodisi stedi dapat diperoleh dega edeeresika suku terakhir persaaa (19.35) sebayak kali terhadap t. Harga aksiuya tapil dala betuk yag serupa dega persaaa (19.15) di sub bab 19. kecuali bahwa ruusa tersebut elibatka aplitudo da rekuesi putar getara paksa, yaitu : v = x a = x (19.37) Diterjeahka oleh : Nurida F. 36

37 ~ Getara Mekais ~ CONTOH SOAL Sebuah otor dega assa 150 kg disagga oleh 4 pegas yag asig-asig eiliki kostata 135 kn/. Ketidak seibaga rotor adalah ekuivale terhadap assa 30 gra yag diletakka sejauh 150 dari subu rotasi. Jika diketahui bahwa otor cederug bergerak vertikal, tetuka : a. kecepata dala rp diaa resoasi terjadi b. aplitudo getara otor pada kecepata 100 rp. PENYELESAIAN : a. Kecepata resoasi. Kecepata resoasi saa dega rekuesi putar atural (dala rp) dari getara bebas otor. Massa otor da kostata pegas adalah : = 150 kg k = 4 (135 kn/) = 540 kn/ k N / = 60 rad/det = 573 rp 150 kg Kecepata resoasi = 573 rp b. Aplitudo getara pada 100 rp. Kecepata sudut otor da assa yag tidak seibag adalah : = 100 rp = 15,7 rp = 30 gra = 0,030 kg Besar gaya setriugal terhadap ketidak seibaga rotor adalah : P = a = r = (0,030 kg)(0,150 )(15,7 rad/det) = 71,1 N Deleksi statis yag disebabka beba kosta P : P 71,1 N = 13 k 540 kn / Frekuesi gaya putar dari geraka adalah kecepata sudut otor : = = 15,7 rad/det Substitusi ilai P /k, da ke persaaa (4) didapat : x P 1 / k 13 / 1 15,7 / 60 = -39 x = 39 (elebihi ase) Diterjeahka oleh : Nurida F. 37

38 ~ Getara Mekais ~ Catata : Selaa > aka getaraya 180 o out o phase dega gaya setriugal akibat ketidakseibaga rotor. Cotoh, jika assa yag tidak seibag secara lagsug berada di bawah subu rotasi aka posisi otor adalah x = 39 di atas posisi seibag. P si t t P Diterjeahka oleh : Nurida F. 38

39 ~ Getara Mekais ~ RINGKASAN UNTUK BELAJAR MANDIRI Diterjeahka oleh : Nurida F. 39

40 ~ Getara Mekais ~ SOAL SOAL PP si t 30 kg 15 kn/ Balok 30 kg dipasag pada pegas dega kostata k = 15 kn/ yag dapat bergerak tapa geseka dala slot vertikal sebagaiaa tapak pada gabar di bawah ii. Siste ii bekerja akibat gaya periodik P P si t diaa = 10 rad/s. Jika diketahui aplitudo gerak adalah 18, tetuka ilai P Sebuah slot 4 kg dapat bergeser tapa geseka pada batag horisotal da dipasag pada pegas dega kostata 450 N/. Siste ii digerakka oleh gaya periodik P P si t dega P = 13 N. Tetuka aplitudo geraka slot jika (a) diketahui = 5 rad/s, (b) = 10 rad/s. Diterjeahka oleh : Nurida F. 40

41 ~ Getara Mekais ~ GETARAN TEREDAM *19.8. GETARAN BEBAS TEREDAM Siste getara yag dipelajari pada bagia pertaa bab ii diasusika tapa redaa. Sebearya seua getara egalai beberapa derajat redaa akibat gayagaya gesek. Gaya-gaya ii dapat disebabka oleh geseka kerig, atau geseka Coulob, atara beda-beda kaku; oleh geseka luida jika beda kaku bergerak di dala luida, atau oleh geseka iteral atara olekul-olekul beda elastis. Satu tipe redaa khusus adalah viscous dapig yag disebabka oleh geseka luida pada kecepata redah da ediu. Redaa viskos dicirika oleh keyataa bahwa gaya gesek berbadig lurus da berlawaa arah dega kecepata gerak beda. Sebagai cotoh, perhatika sebuah beda berassa tergatug pada pegas dega kostata k, diasusika bahwa beda terpasag pada pluyer dashpot (gabar 19.10). Besar gaya gesek yag bekerja pada pluyer akibat luida yag eligkupiya saa dega c x, diaa kostata c diyataka dala N.s/ atau lb.s/t da disebut koeisie viscous dapig, yag ilaiya dipegaruhi oleh siat-siat isik luida da kostruksi dashpot. Kesetibaga x T k st x W c x a x Gabar Persaaa gerakya adalah : a W st F k x cx x x cx kx ) Substitusika x = e t dala persaaa 19-38) keudia bagilah dega e t aka aka diperoleh persaaa karakteristik : + c + k = ) da diperoleh akar-akar persaaa : Diterjeahka oleh : Nurida F. 41

42 ~ Getara Mekais ~ c c k 19-40) Dideiisika koeisie redaa kritis c c sebagai ilai yag eyebabka suku di bawah akar pada persaaa 19-40) saa dega ol, yaitu : c c k 0 c c k 19-41) diaa adalah rekuesi putar atural dari siste tapa redaa. Kita dapat eilah 3 jeis kasus redaa berdasarka ilai koeisie c yaitu : 1. Heavy dapig : c > c c ; Akar persaaa karakteristik 19-39) 1 da adalah yata da berbeda. Peyelesaia uu dari persaaa dieresial 19-38) adalah : x 1 t t C1e Ce 19-4) Peyelesaia ii berhubuga dega geraka tapa getara. Pada saat 1 da berilai egati kedua-duaya, x edekati ol pada saat t eigkat tak terhigga. Bagaiaapu pada keyataaya siste aka ecapai posisi keseibagaya setelah beberapa waktu tertetu.. Critical dapig : c = c c ; Persaaa karakteristik 19-39) eiliki akar gada berilai = - c c /. Peyelesaia uu utuk persaaa dieresial 19-38) adalah : x C C t) e ( t ) Geraka yag terjadi juga tapa getara. Siste tereda kritis erupaka satu bahasa khusus dala rekayasa tekik utuk edapatka kodisi diaa siste dapat ecapai posisi keseibagaya dala waktu sesigkat ugki tapa egalai osilasi. 3. Light dapig : c < c c ; Akar-akar persaaa 19-39) erupaka bilaga kopleks sekawa (cojugate coplex). Peyelesaia uu utuk persaaa dieresial 19-38) berbetuk : ( c / ) t x e C si t C cos t) 19-44) ( 1 d diaa d diruuska sebagai : Substitusika d k k c / da erujuk persaaa 19-41), diperoleh : d c 1 d 19-45) cc Diterjeahka oleh : Nurida F. 4

43 ~ Getara Mekais ~ Dala hal ii kostata c/c c diaaka aktor dapig. Meskipu geraka yag terjadi pada keyataaya tidak bolak-balik sediri, kostata d uuya diaggap sebagai rekuesi putar getara tereda. Dega egguaka etode substitusi yag saa dega sub bab 19. aka diperoleh peyelesaia uu persaaa 19-38) dala betuk : ( c / ) t x xo e si( dt ) 19-46) Geraka yag dideiisika oleh persaaa 19-46) adalah getara dega aplitudo yag eleah (gabar 19.11) da iterval waktu d = / d eisahka dua titik yag beruruta diaa kurva yag dideiisika oleh persaaa 19-46) eyiggug satu dari kurva pebatas sebagaiaa tapak pada gabar 19.11, biasaya disebut sebagai periode getara tereda. Megacu pada persaaa 19-45) terlihat bahwa d < sehigga d lebih besar dari periode getara dari siste getara tapa redaa yag bersesuaia. x x 0 d x 1 x c x e t 0 x 3 x 4 0 t 1 t t 3 t 4 t -x 0 Gabar Diterjeahka oleh : Nurida F. 43

44 ~ Getara Mekais ~ *19.9. GETARAN PAKSA TEREDAM Foto 19.. Suspesi obil sebagaiaa tapak pada gabar secara esesial terdiri atas sebuah pegas da sebuah shock absorber yag aka eyebabka bodi obil egalai getara paksa tereda saat obil dijalaka elalui jalaa tidak rata. Jika siste yag ditijau pada sub bab sebeluya dikeai gaya periodik P dega ilai P = P si t, persaaa gerak ejadi x cx kx P si t 19-47) Peyelesaia uu persaaa 19-47) diperoleh dega eabahka peyelesaia partikular pada ugsi koplee (peyelesaia uu) dari persaaa hooge 19-38). Fugsi koplee yag diberika pada persaaa 19-4), 19-43) atau 19-44) tergatug pada tipe daper yag diguaka. Persaaa tersebut ewakili gerak trasie yag selajutya tereda. Perhatia utaa pada sub bab ii adalah getara steady state yag diwakili oleh peyelesaia partikular persaaa 19-47) dala betuk x part x si( t ) 19-48) Substitusi x part sebagai x pada persaaa 19-47), aka dihasilka x si( t ) c x cos( t ) kx si( t ) P si t Dega eyaaka t berturut-turut dega 0 da /, diperoleh c x P si 19-49) ( k ) x P cos 19-50) Kuadratka kedua sisi persaaa 19-49) da 19-50) keudia dijulah, diperoleh [( k ) ( c ) ] x P 19-51) Dega eyelesaika persaaa 19-51) utuk x da ebagi persaaa 19-49) da 19-50) persuku aka diperoleh berturut-turut, x P ta ( k ) ( c ) k c 19-5) Diterjeahka oleh : Nurida F. 44

45 ~ Getara Mekais ~ Megacu pada persaaa 19-4) bahwa k, diaa adalah rekuesi putar getara bebas tidak tereda, da dari persaaa 19-41) bahwa = c c, diaa c c adalah koeisie dapig kritis dari siste, diperoleh P x x ) k [1 ( / ) ] [( c / c )( / )] c ( c / c c )( / ) ta 19-54) 1 ( / ) Persaaa 19-53) eyataka aktor pebesara dala suku perbadiga rekuesi (requecy ratio) / da aktor dapig c/c c. Ii dapat diguaka utuk eetuka aplitudo getara steady state yag dihasilka oleh gaya dega besara P = P si t atau akibat pergeraka ladasa = si t. Persaaa 19-54) edeiisika sudut beda ase atara gaya paksa atau pergeraka ladasa dega getara steady state siste tereda yag dihasilka. Faktor pebesara digabarka dala graik 19.1 utuk berbagai variasi ilai koeisie dapig. Dapat dilihat bahwa aplitudo getara paksa dapat dijaga tetap kecil dega eilih koeisie daper viskos yag besar atau dega eberika perbedaa ilai yag besar utuk rekuesi atural da rekuesi getara paksa. Gabar Diterjeahka oleh : Nurida F. 45