PENYELESAIAN PERSAMAAN GELOMBANG DENGAN METODE D ALEMBERT

Transkripsi

1 Buleti Ilmiah Math. Stat. da Terapaya (Bimaster) Volume 02, No. 1(2013), hal 1-6. PENYELESAIAN PERSAMAAN GELOMBANG DENGAN METODE D ALEMBERT Demag, Helmi, Evi Noviai INTISARI Permasalaha di bidag tekik da fisika dapat dimodelka ke dalam betuk persamaa diferesial parsial, seperti masalah fluida, trasfer paas, teori elektromagetik, da perambata gelombag. Peelitia ii megkaji terbetukya persamaa gelombag da mecari peyelesaia persamaa gelombag dega metode D alembert. Betuk umum persamaa gelombag yaitu: Peyelesaia persamaa gelombag dega metode D alembert dilakuka dega cara megealka variabel bebas baru, kemudia variabel bebas tersebut dituruka sehigga terbetuk peyelesaia persamaa gelombag. Dega mesubstitusika ilai awal diperoleh persamaa khusus dari persamaa gelombag yag disebut sebagai peyelesaia D alembert yaitu:. Kata Kuci : Metode D alembert, Persamaa Diferesial Parsial, Persamaa Gelombag. PENDAHULUAN Persamaa diferesial merupaka ilmu matematika yag dapat diguaka utuk mejelaska masalah-masalah fisis. Masalah fisis merupaka masalah yag berkaita dega hukum alam, yag dibahas dalam ilmu fisika. Masalah fisis tersebut dapat dipahami sebab akibatya apabila dibetuk dalam model persamaa diferesial. Namu haya sistem fisis sederhaa saja yag bisa dimodelka dalam persamaa diferesial biasa. Berbagai bidag fisis laiya yag harus dimodelka dalam persamaa diferesial parsial seperti masalah fluida, trasfer paas, teori elektromagetik, maupu perambata gelombag dapat dilihat pada [1]. Salah satu masalah fisis yag serig dijumpai dalam kehidupa sehari-hari yaitu masalah gelombag. Ada berbagai macam masalah gelombag diataraya masalah gelombag pada sear, serta masalah gelombag pada membra. Peyelesaia permasalaha tersebut dapat dilakuka dega berbagai metode. Permasalaha gelombag pada sear misalya dapat diselesaika dega metode yag berbeda seperti: Trasformasi Fourier, Trasformasi Laplace maupu Pemisaha Variabel. Namu ada sebuah metode yag dikealka oleh Jea Le Rod D alembert seorag matematikawa dari Pracis, dimaa metode tersebut lebih dikeal dega Metode D alembert. Dalam metodeya diguaka variabel bebas baru yag merupaka karakteristik dari persamaa diferesial parsial. Sehigga dega adaya variabel bebas baru ii mempermudah mecari peyelesaia persamaa diferesial parsial. Adapu tujua dari peulisa ii adalah megkaji terbetukya persamaa gelombag da selajutya diselesaika dega metode D alembert. Pada peelitia ii masalah dibatasi pada peyelesaia persamaa gelombag pada sear homoge yag kedua ujugya terikat. Adapu lagkah-lagkah peelitia ii yaitu: pertama meetuka asumsi-asumsi yag berlaku dalam gelombag pada sear, kemudia dega megguaka asumsi-asumsi tersebut dibetuk model persamaa gelombag. Sebelum masuk dalam proses pegerjaa dega metode D alembert, terlebih dahulu mecari ilai karakteristik. Selajutya dega megguaka metode D alembert dikealka variabel bebas baru, dimaa variabel tersebut merupaka karakteristik dari persamaa gelombag. 1

2 2 DEMANG, HELMI, E.NOVIANI Selajutya dicari persamaa gelombag dalam betuk variabel bebas baru tersebut dega meuruka variabel tersebut megguaka atura ratai, dilajutka dega itegrasi diperoleh peyelesaia umum persamaa gelombag. Setelah diperoleh peyelesaia umum disubstitusika ilai awal sehigga diperoleh peyelesaia khusus yag disebut sebagai peyelesaia D alembert. PERSAMAAN GELOMBANG DENGAN METODE D ALEMBERT Metode D alembert merupaka metode yag diguaka oleh Jea Le Rod D alembert ( ) dalam meyelesaika persamaa gelombag. Dalam metodeya, diguaka variabel bebas baru yag diperoleh dari karakteristik persamaa diferesial parsial. Sebelum diperoleh variabel bebas baru, terlebih dahulu ilai/akar-akar peyelesaia pada Persamaa Diferesial Parsial (PDP) ditrasformasika. Hasil traformasi PDP dalam, disebut betuk kaoik (stadar) dari PDP. Berikut atura yag diguaka pada trasformasi PDP kedalam betuk kaoik [2]: 1. Jika akar-akar peyelesaia dari PDP adalah dua akar real maka diguaka da sebagai dua koordiat pada bidag, ilai da diperoleh dari itegrasi dari dua peyelesaia real tersebut. 2. Jika akar-akar peyelesaiaya adalah akar pasaga kompleks maka diguaka da yag diperoleh dari bagia real da imajier pada pasaga kompleks tersebut. 3. Jika akar-akar peyelesaiaya merupaka satu akar real kembar diguaka, sedagka utuk dipilih utuk ilai yag lai. Pemiliha ilai diusahaka mempermudah pekerjaa. Sebagai cotoh, jika selajutya dipilih. Dalam megkaji terbetukya persamaa gelombag, pegamata dilakuka pada sebuah sear yag pajagya dimisalka, kedua ujug sear diikat da dipasag dega tegaga. Sebelum meyelesaika persamaa gelombag, terlebih dahulu diasumsika bahwa [3]: 1. Sear homoge sehigga massa sear setiap titik sepajag sear adalah sama/kosta. Sear yag homoge diharapka defleksi sear yag sempura da mulus. 2. Tegaga pada sear lebih besar dibadigka gaya gravitasi bumi, sehigga gaya grafitasi dapat diabaika. Jika gaya gravitasi bumi lebih besar dari tegaga sear, maka sear tidak dapat bergetar karea kedur, sehigga tidak dapat bergetar dega baik. 3. Peampag sear sagat kecil sehigga volume sear sebadig dega pajag sear itu sediri. Dega adaya asumsi ii mempermudah perhituga. 4. Geraka gelombag sear haya pada arah vertikal. Asumsi ii meegaska bahwa tidak ada geraka pada arah horizotal, ii disebabka kedua ujug sear yag terikat. Berikut pegamata pada sebuah partisi sear pada waktu tertetu, seperti yag terlihat pada Gambar 1 yag dijabarka gaya-gaya yag bekerja pada bagia sear tersebut. Gambar 1 Gaya-gaya yag bekerja pada bagia Sear [3]

3 Peyelesaia Persamaa Gelombag dega Metode D alembert 3 Misalka meyataka besarya simpaga dari posisi setimbag pada titik da pada waktu serta da adalah tegaga di kedua titik ujug dari bagia kecil tersebut. Karea tidak ada gerak dalam arah horisotal, berarti kompoe horisotal tegaga ii kosta atau dapat ditulis sebagai: co co Pada arah vertikal terdapat dua gaya, yaitu kompoe vertikal dari da dari, tada mius disii berarti bahwa kompoe tersebut megarah ke bawah. Berdasarka asumsi ketiga ) maka besarya massa sear adalah hasil kali atara massa jeis sear dega pajag peampag sear ( atau dirumuska mejadi. Meurut Hukum II Newto, resulta gaya sama dega massa ( dihitug pada suatu titik di daerah da. dikali percepataya, yag dari Persamaa (2) da Persamaa (1) diperoleh co co ta Nilai ta merupaka kemiriga kurva sear di titik di titik, dapat ditulis dega: da ta merupaka kemiriga kurva sear ta Pembagia Persamaa (3) dega meghasilka: ta jika medekati ol, diperoleh l m Sehigga dapat dituliska karea meyataka tegaga yag selalu berilai positif da meyataka massa jeis yag berilai positif, maka diambil utuk meujukka bahwa ilai tersebut selalu berilai positif, sehigga dapat ditulis sebagai Persamaa (4) adalah persamaa gelombag yag berbetuk persamaa diferesial parsial orde dua [3]. PENYELESAIAN PERSAMAAN GELOMBANG DENGAN METODE D ALEMBERT Dari hasil pemodela persamaa gelombag dapat ditulis sebagai: utuk memperoleh ilai awal, ada dua kodisi yag berlaku yaitu simpaga awal da kecepata awal sear bervibrasi. Dega memisalka sebagai simpaga awal da sebagai kecepata awal,

4 4 DEMANG, HELMI, E.NOVIANI maka kodisi awal pada persamaa gelombag dapat ditulis sebagai: Sebelum pegerjaa dega metode D alembert, terlebih dahulu dicari ilai karakteristik utuk persamaa gelombag, ilai karakteristik ii dalam metode D alembert diguaka sebagai variabel baru. Selajutya Persamaa (5) dibetuk ke dalam persamaa umum PDP orde dua, dega memisalka, maka dega megguaka atura ratai maka: Substitusika ilai ke Persamaa (5) diperoleh: atau dapat ditulis mejadi dari Persamaa, maka pada Persamaa (7) ilai dari da, selajutya ilai tersebut disubstitusika ke persamaa [2] diperoleh dega demikia Persamaa (7) memiliki dua akar real yaitu atau, ii berarti atau. Dega megitegralka kedua ilai akar-akar peyelesaia tersebut, maka diperoleh dua ilai karakteristik yaitu: da karakteristik iilah yag selajutya diguaka dalam metode D alembert sebagai variabel bebas baru [3]. Dari Persamaa (8) dapat dituliska variabel bebas baru yaitu [3]: Persamaa (9) da Persamaa (10) dituruka terhadap diperoleh: dega megguaka atura ratai, karea suatu fugsi dari da, maka diperoleh: Turua dari Persamaa (9) da Persamaa (10) terhadap t adalah [4]

5 Peyelesaia Persamaa Gelombag dega Metode D alembert 5 Selajutya dega megguaka atura ratai, diperoleh: Substitusika Persamaa (11) da Persamaa (12) ke Persamaa (5), diperoleh: berdasarka asumsi kedua bahwa maka, dega demikia dapat diambil lalu megitegralka Persamaa (13) terhadap η, ruas kiri diperoleh da ruas kaa diperoleh suatu fugsi yag tidak memuat misalka fugsi tersebut, maka hasil itegrasi persama (13) terhadap diperoleh: dega adalah suatu fugsi dari. Selajutya megitegralka persamaa (14) terhadap, diperoleh: dega adalah fugsi dari. Jika hasil itegrasi terhadap dimisalka maka Persama (15) dapat ditulis mejadi: Substitusika ilai pada Persamaa (9) da ilai pada Persamaa (10) ke Persamaa (16) diperoleh persamaa umum sebagai berikut: Persamaa (17) dituruka terhadap maka diperoleh: utuk memperoleh peyelesaia khusus, maka harus megikuti kodisi awal pada Persamaa (6), yaitu dega memasukka ilai mejadi: Selajutya Persamaa (20) diitegralka terhadap x diperoleh dega K sebarag kostata.

6 6 DEMANG, HELMI, E.NOVIANI Dega megelimiasika Persamaa (19) dega Persamaa (21) diperoleh: Selajutya dicari ilai, diperoleh: kemudia, substitusika ilai da ke dalam Persamaa (17), sebagai berikut: diperoleh: Persamaa (22) merupaka peyelesaia khusus dari persamaa gelombag, biasa disebut sebagai peyelesaia D alembert. PENUTUP Metode D alembert merupaka metode yag tepat utuk meyelesaika persamaa gelombag, karea peetua karakteristik dari persamaa gelombag mudah diperoleh, walaupu demikia metode ii jarag diguaka dalam meyelesaika persamaa diferesial parsial yag lai. Oleh karea itu diperluka peelitia lebih lajut megeai metode D alembert, sehigga dapat diguaka dalam peyelesaia persamaa diferesial secara umum. DAFTAR PUSTAKA [1] Waluya B. Persamaa Diferesial. Semarag: Uiversitas Negeri Semarag; [2] Kreyszig, E. Advaced Egieerig Mathematics. Sigapore: 9 th ed. Joh Wiley & Sos, Ic; [3] Gibbo J.D. 1 st ad 2 d order PDEs. Uited Kigdom: Dep of Mathematics; [4] Tug, K.K. Partial Differetial Equatios ad Fourier Aalysis-A Short Itroductio. Washigto. Demag : Jurusa Matematika FMIPA UNTAN, Potiaak, esas_gayamu_46@yahoo.com Helmi : Jurusa Matematika FMIPA UNTAN, Potiaak, helmi132205@yahoo.co.id Evi Noviai : Jurusa Matematika FMIPA UNTAN, Potiaak, oai84@yahoo.com