Galat dan Perambatannya

Transkripsi

1 Modul 1 Galat da Perambataya Prof. Dr. Bambag Soedijoo P PENDHULUN ada Modul 1 ii dibahas masalah galat atau derajat kesalaha da perambataya, dega demikia para peggua modul ii diharapka telah memahami da meguasai berbagai masalah yag berkaita dega operasi hituga bilaga real yag pada umumya dibahas pada modul Matematika, da modul Persamaa Diferesial. Setelah umum setelah mempelajari modul ii da diharapka mampu memahami pegertia galat da memahami perbedaa atara ilai sebearya secara eksak da ilai pedekata yag pada umumya diperoleh dega maipulasi hituga. Secara khusus setelah mempelajari modul ii da diharapka mampu: a. mejelaska pegertia galat atau derajat kesalaha; b. meetuka ilai galat yag ditimbulka oleh pembulata; c. meetuka ilai galat yag ditimbulka oleh suatu ragkaia operasialjabar/operasi-hituga.

2 1. alisis Numerik Kegiata Belajar Galat da Perambataya alisis Numerik merupaka cabag matematika yag mempelajari berbagai macam cara atau metode utuk meyelesaika suatu permasalaha secara umeris sehigga dalam peyelesaia permasalaha tersebut seatiasa memperguaka seragkaia operasi hituga matematik. Masalah yag terkait dalam proses ii, atara lai adalah galat (kesalaha, eror) yag timbul setiap kali dilakuka operasi hituga. Maki pajag ragkaia operasi hituga dilakuka berarti maki besar pula galat yag timbul. Dega demikia peyelesaia masalah yag diperoleh buka merupaka peyelesaia eksak, tetapi merupaka peyelesaia pedekata da galat yag timbul sagat ditetuka oleh metode yag diperguaka da juga pajagya ragkaia operasi hituga yag dilakuka. Pada kegiata belajar ii dibahas pegertia galat da juga perambataya sejala dega ragkaia operasi hituga yag dikerjaka.. POLINOMIL YLOR DN GL YNG ERKI Pada bagia ii dibahas salah satu metode pedekata sederhaa utuk meetuka ilai suatu fugsi kotiu da galat yag timbul, lagkah ii perlu diambil megigat hambata yag terjadi dalam meetuka ilai suatu fugsi. Sebagai cotoh utuk meetuka ilai fugsi f, f e, di suatu tertetu tapa batua kalkulator ataupu komputer aka dijumpai suatu kesulita. Utuk megatasi kesulita ii ditempuh metode pedekata, yaitu terlebih dahulu ditetuka suatu poliomial yag merupaka pedekata fugsi f tersebut di suatu sekitara (eighborhood) titik di atas, da selajutya ditetuka pedekata ilai fugsi di atas. Poliomial tersebut selajutya dikeal sebagai poliomial aylor. Misalka diberika fugsi f da harus ditetuka ilai fugsi f di titik maka poliomium aylor dikostruksika pada suatu sekitara titik sehigga ilaiya di merupaka ilai pedekata utuk f. Jika poliomium aylor yag diambil merupaka suatu poliomium pagkat, amaka p, dega

3 M433/MODUL p a a a a maka haruslah dipeuhi p f 1... (1.1) p f p f p f (1.). p f Selajutya dari persaraa (1.1) da (1.) diperoleh:... p f f f f!! k k f (1.3) k1 k! da persamaa (1.3) disebut poliomium aylor derajat utuk fugsi f di sekitar titik. Cotoh 1.1 f, f etuka poliomium aylor derajat utuk fugsi sekitar. e di Peyelesaia: Utuk meetuka p e f e f e 4 f e f f e f e terlebih dahulu ditetuka da secara umum p e p e

4 1.4 alisis Numerik Selajutya berdasarka persamaa (1.3) utuk = da = diperoleh f... p f f f f!! ! k1 k k k! Pada abel 1.1 terlihat ilai-ilai p1, p, p3, p4 e utuk berbagai ilai pada selag,5,5 da, da dari tabel tersebut dapat dibadigka ilai fugsi f da berbagai ilai poliomium aylor sebagai ilai pedekataya. abel ,5 -,1,1,5 p1 p p3,5,9 1, 1,1 1,5,65,95 1, 1,15 1,65,6417,9483 1, 1,1577 1,64583 e,6653,9484 1, 1,1577 1,64583 Pada aplikasi poliomium aylor sebagai pedekata fugsi f pada sekitara suatu titik (tertetu) ditutut adaya ketelitia, da hal ii diyataka dega suku sisa yag merupaka selisih atara ilai poliomium aylor dega ilai fugsi f di suatu titik tertetu pada sekitara titik sebagaimaa diugkapka dega teorema berikut ii. eorema 1. 1 (eorema Suku-sisa aylor) Misalka fugsi f terdiferesial higga order 1 dega masigmasig derivatifya kotiu pada selag, da misalka titik berada pada selag tersebut. pabila. fugsi f didekati dega poliomium

5 M433/MODUL aylor p pada sekitara, maka suku sisa R f p ditetuka dega 1 R f 1! dega,,. 1 Bukti teorema di atas dapat dilihat pada buku Kalkulus/Matematika. Nilai suku sisa R f p (1.4), sebagaimaa dimaksud pada teorema di atas sagat bergatug pada derajat poliomium aylor da merupaka galat ilai pedekata fugsi f di,. p y ,,4,6,8 1 Gambar 1.1. Gambar 1.1 di atas meujukka hubuga atara kurva fugsi f, f e p,, dega kurva-kurva poliomium aylor, p1, p3, da p4. Dari gambar tersebut juga dapat diperbadigka

6 1.6 alisis Numerik besarya galat atau suku sisa R f p, pada pegguaa masig-masig poliomium aylor tersebut, yaitu jika diambil 1,, 3 da 4, utuk suatu ilai tertetu pada sekitara titik =. Mudah dipahami utuk berbagai fugsi betuk poliomial aylor berserta suku sisa dapat diugkapka sebagai: dega 3 1 e 1... e! 3!! 1! c (1.5) 1 R e 1! c < c < < si cos c 3! 5! 7! 1 1! dega (1.6) 1 R 1 cosc 1! < c < < cos cos c! 4! 6!!! (1.7) dega 1 R 1 cosc! < c < < c dega 1 (1.8) R c < c < < 1

7 M433/MODUL Pada persamaa di atas k disebut koefisie biomial da didefiisika dega 1... k 1 k = 1,, 3, (1.9) k k! 6 11! 11, e 11 diperoleh poliomium aylor (dega derajat terkecil, yaitu derajat 5) yag merupaka pedekata fugsi f, f pada sekitara titik dega galat tidak lebih besar dari si 3! 5! 7! 9! si 1 1 adalah: Cotoh 1. Perguaka poliomium aylor utuk meetuka ilai limit 1cos lim, sehigga galat yag timbul tidak lebih besar dari 1 1. Peyelesaia: Lagkah pertama yag harus dikerjaka adalah meetuka poliomium aylor sebagai pedekata fugsi f, f pada sekitara titik, cos 1 sehigga galat yag timbul tidak lebih besar dari 1. Dalam hal ii dapat diambil sekitara dega radius,5 yag berarti kita bekerja pada, selag -,3 < <,7. Dari persamaa (1.7) diperoleh poliomium aylor sebagai pedekata fugsi f, f pada sekitara titik, betuk ii dapat cos

8 1.8 alisis Numerik diperguaka karea titik berada dalam sekitara titik, yag diambil. dega 4 6 cos ! 4! 6!! 1 R 1 cosc! < c < < 1 da karea disyaratka bahwa galat tidak boleh lebih besar dari f p R 1 cosc 1! 1 1 Karea cos c 1 da,3,7 berarti harus dipeuhi 1 1 berarti,7 1! 1 da dega megigat,7 1! 1,7 1! 1 7, e 9, e11 diperoleh poliomium aylor (dega derajat terkecil, yaitu derajat 5) yag merupaka pedekata fugsi f, f pada sekitara titik dega galat tidak lebih besar dari cos 1 1 adalah: cos 1! 4! 6! 8! 1!

9 M433/MODUL Dega demikia diperoleh: cos lim lim lim, ,, ,,,,, , 6, e58, e8 6, e11, e13, B. PENGERIN GL Galat pada suatu kalkulasi hituga didefiisika sebagai: Galat = ilai sebearya ilai pedekata da galat relatif didefiisika sebagai Galat relatif = = Galat ilai sebearya ilai sebearya ilai pedekata ilai sebearya galat relatif selajutya disimbolka dega Rel. pabila ilai sebearya disimbolka dega da ilai pedekata disimbolka dega, maka galat da galat relatif ditulis sebagai: da Galat = (1.11) Rel (1.1)

10 1.1 alisis Numerik Sebagai cotoh bilaga = 3, serig didekati dega ilai 7, berarti: Galat 7 = 7 = 3, =,16 da Galat 7 = 7 3, = 7 3, =,4 Pada uraia di atas galat ditetuka terhadap ilai sebearya, amu pada keyataaya ilai sebearya haya aka diperoleh apabila permasalaha berkaita dega fugsi-fugsi yag dapat diselesaika secara aalisis, sebalikya dalam aplikasi pada umumya sagat sulit utuk megetahui ilai sebearya. Utuk kasus ilai sebearya tidak diketahui secara pasti galat ditetuka terhadap ilai pedekata yag diaggap terbaik da ilai ii, atara lai dapat diperoleh dega cara iterasi. Dega demikia galat diyataka sebagai selisih atara ilai pedekata sekarag dega ilai pedekata sebelumya sehigga persamaa (1.11) da (1.1) mejadi: da 1 Galat S (1.13) S Rel1 (1.14) dega Galat 1 da Rel 1 masig-masig meyataka galat da galat relatif yag diperoleh karea iterasi, meyataka ilai pedekata sekarag da meyataka ilai pedekata yag diperoleh sebelumya. S

11 M433/MODUL Cotoh 1.3 etuka ilai,3 e dega galat relatif tidak lebih dari,5. Peyelesaia:,3 Karea ilai sebearya tidak diketahui maka e ditetuka dega memperde-retka fugsi f, f e dalam betuk poliomium aylor di sekitar e ! dega megambil = diperoleh ilai,3,3 e 1,3 1,3,45 1,345 da utuk = 3 diperoleh 3,3,3,3 e 1,3 6 1,3, 45, 45 1,3495 Dari hasil di atas diperoleh da Galat 1,3495 1,3495 1,345 1, 45 1,3495 1,345 Rel1 1,3495 1,3495 3, e3 Rel 1,3495 3, e3,5 maka harus ditetuka Karea 1 ilai pedekata utuk = 4,

12 1.1 alisis Numerik 3 4,3,3,3,3 e 1, ,3, 45, 45, , dari hasil di atas diperoleh da Galat 1, , ,3495 1, , ,3495 Rel1 1, , ,53961 e4 Rel 1, ,53961 e4,5 maka harus Karea 1 ditetuka ilai pedekata utuk = ,3,3,3,3,3 e 1, ,3, 45, 45, 3375, 5 1, dari hasil di atas diperoleh da Galat 1, , , ,5 1, , Rel1 1, , , e5 Rel 1, , e4,5 berarti ilai Karea 1 pedekata yag harus ditetuka adalah:,3 e 1,

13 M433/MODUL Pada setiap peyelesaia permasalaha seatiasa timbul galat atau kesalaha yag, atara lai disebabka oleh: el. peyusua model matematika dalam meyelesaika suatu permasalaha real. Suatu cotoh dalam hal ii model matematika utuk laju pertumbuha populasi serig disajika dalam betuk ekspoesial dega N t N e kt Nt meyataka besar populasi pada saat t, N da k masigmasig kostata real. Kesalaha yag timbul dalam hal ii dapat dikareaka model matematika di atas buka model yag cukup baik utuk permasalaha yag harus diselesaika. Kesalaha yag lai, misalya besar populasi selalu diyataka dega bilaga asli. Namu, ilai N t di atas dimugkika buka bilaga asli utuk suatu ilai t tertetu. e. pembulata yag dilakuka pada waktu melakuka operasi hituga. e3. kesalaha yag terjadi pada saat pegumpula data. Sebagai cotoh dalam melakuka pegumpula data pada waktu praktikum fisika serig terjadi kesalaha baca dalam pegukura. e4. kesalaha karea aalisis matematik Sebagai cotoh dalam hal ii, utuk meetuka itegral terbatas 1 e d tidak dapat dilakuka secara lagsug. Salah satu cara dega memperguaka perdereta aylor fugsi ekspoesial e, e ! sehigga diperoleh

14 1.14 alisis Numerik e d d 6! utuk suatu ilai tertetu, maki kecil ilai berakibat galat/kesalaha mejadi maki besar. Kesalaha di atas dikeal sebagai kesalaha pedekata matematik (mathematical approimatio error atau trucatio error atau discretizatio error). Pada suatu operasi hituga dimugkika terjadi hilagya pegertia galat, diambil sebagai cotoh dalam meetuka ilai fugsi f 1 utuk berbagai ilai dega derajat ketelitia tertetu. Daftar di bawah ii merupaka hasil perhituga memperguaka kalkulator dega bayak digit eam agka di belakag tada desimal. abel 1.. Nilai f (Nilai Hasil Hituga),4141 1,5434 4,99 15,8 5, 1, f (Nilai Sebearya), , , ,874 49, ,113 Utuk ilai fugsi f di atas dapat pula disajika sebagai:

15 M433/MODUL f Berdasarka rumus fugsi di atas utuk 1 dega memperguaka kalkulator yag sama diperoleh ilai: f(1) = 4,98756 yag merupaka ilai sebearya. Pada cotoh di atas terlihat bahwa galat yag timbul karea operasi aljabar dapat dihilagka (diperkecil) dega memaipulasi operasi aljabar tersebut. Pada cotoh di atas operasi perkalia dimaipulasi mejadi operasi pembagia dega jala memaipulasi rumus fugsi. C. PERMBN GL Suatu ratai operasi aljabar dari besara-besara yag memuat galat aka memberika suatu hasil yag juga memuat galat. Galat pada hasil operasi tersebut merupaka hasil perambata galat. Sebagai cotoh sebuah besara dega galat berarti ilai sebearya dari besara tersebut adalah ditambahka pada besara ilai sebearya y. Dega demikia, y dega galat y yag mempuyai y y y y dega y. y y y y erlihat bahwa hasil pejumlaha tersebut juga mempuyai galat yag besarya merupaka hasil jumlaha galat masig-masig usur yag dikeai

16 1.16 alisis Numerik operasi aljabar tersebut, galat y y perambata galat da y. dikeal sebagai hasil Perambata galat tidak haya akibat operasi jumlaha saja, tetapi merupaka akibat semua jeis operasi aljabar yaitu operasi jumlaha "+", operasi peguraga " " operasi pergadaa "" operasi pembagia "". Cotoh 1.4 Misalka diberika 5, 437 dega ilai mutlak galat tidak lebih,4 da y 4,534 dega ilai mutlak galat tidak lebih,5. atau pabila masig-masig ilai sebearya da y, berarti,4,4 berarti,4 5,437,4 da atau 5,433 5,441,5 y y,5 berarti,5 4,534,5 y 4,59 y 4,539 pabila dilakuka operasi pejumlaha diperoleh: da y 5, 437 4,534 9,971 5, 433 4,59 y 5, 441 4,539 9,96 y 9,98 y y y y 9,96 9,971 9,98 9,971,9,9 erlihat bahwa ilai mutlak galat hasil jumlaha tersebut tidak lebih,9.

17 M433/MODUL pabila dilakuka operasi perkalia aka diperoleh: da y 5, 4374,534 4, , 4334,59 y 5, 441 4,539 4, 6657 y 4, y y y 4, , , , , 4531, erlihat bahwa galat hasil pergadaa tersebut berkisar atara,4531 da, pabila dilakuka operasi pembagia aka diperoleh: 5,437 1, y 4,534 dega megigat 5, 433 5, 441 da 4,59 y 4,539 maka diperoleh 5,433 5,441 4,539 y 4,59 1, , y 1, , y y 1, , ,581, y y erlihat bahwa galat hasil pembagia tersebut berkisar atara,581 da, Dari cotoh di atas terlihat bahwa perambata galat sagat bergatug pada operasi aljabar yag diperguaka da terlihat bahwa pada operasi

18 1.18 alisis Numerik pergadaa perambata galat megakibatka galat lebih besar jika dibadigka dega perambata galat sebagai akibat operasi pembagia. Perambata galat pada evaluasi ilai suatu fugsi dapat dijelaska sebagai maa diuraika berikut ii. Misalka diberika sebuah fugsi terdiferesial f pada suatu selag ab,, da ditetuka besar galat ilai fugsi pabila f utuk suatu a, b. merupaka ilai pedekata dari dega ilai sebearya maka galat ilai fugsi f adalah: Galat f f f Karea f terdiferesial pada selag ab,, da a, b berdasarka eorema Nilai Rata-rata diperoleh hubuga maka f f f (1.15) dega terletak atara da. Karea dapat diaggap sagat kecil maka persamaa (1.15) dapat disajika sebagai: f f f f f Dega demikia diperoleh: atau f f f f f Galat da f f f Galat Galat Galat (1.16) Rel f f f Rel f f (1.17)

19 M433/MODUL Cotoh 1.5 Misalka diberika 5, 437 dega ilai mutlak galat tidak lebih dari,5. etuka perkiraa ilai sebearya fugsi f, f 3 e utuk tersebut. Peyelesaia: Dari persamaa (1.16) diketahui bahwa Galat f f f f Galat Dega demikia, diperoleh: Galat f f f f Galat f Galat, 5 f Diketahui f 3 e berarti 6. Dega demikia, f e da 5,437 5, ,437 f f e 88,6897 9, , ,437 5,437 65,437 f f e 3,69, , f f f f Galat, 5, 5 6, , 56, ,

20 1. alisis Numerik Dega demikia, diperoleh: f f 1, f f 1, , , , , , f 319, LIHN Utuk memperdalam pemahama da megeai materi di atas, kerjakalah latiha berikut! 1) etuka poliomium aylor higga derajat 5 utuk fugsi f, si f e di sekitar titik =. ) etuka poliomium aylor higga derajat 8 utuk fugsi f, f di sekitar titik = 3. si cos 3) etuka poliomium aylor higga derajat 1 utuk fugsi f, f e si di sekitar titik =. 4) etuka poliomium aylor higga derajat 6 utuk fugsi f di sekitar titik =, apabila e f 1 5) etuka poliomium aylor higga derajat 6 utuk fugsi f di sekitar titik =, apabila cos e f si 6) etuka poliomium aylor utuk fugsi f, sehigga ilai pedekata f,3 mempuyai galat tidak lebih dari,35 apabila diberika f e si.

21 M433/MODUL ) etuka poliomium aylor utuk fugsi f sehigga ilai pedekata f,3 mempuyai galat tidak lebih dari,5 apabila diberika f e si. 8) etuka poliomium aylor utuk fugsi f, sehigga ilai pedekata f 3 mempuyai galat tidak lebih dari,35 apabila diberika f e 1 9) etuka poliomium aylor utuk fugsi f, sehigga ilai pedekata f mempuyai galat tidak lebih dari,5 apabila diberika f cos e si 1) etuka ilai Galat da Rel a) 37,658 da 37,663 b) 54,93 da 54,8984 c),9873 da, ) etuka galat terkecil dari ilai y, apabila 3 a) y 3 1 b) y3 1 apabila diberika utuk ketiga ilai pada soal omor 1 di atas. 1) pabila diberika 7,58 dega galat tidak lebih dari,3 tetuka: Galat f apabila diberika f e si. 13) pabila diberika 5,78 dega galat tidak lebih dari,5 tetuka: Galat f apabila diberika si f e si. 14) pabila diberika 7,58 dega galat tidak lebih dari,5 tetuka: cos e Galat f apabila diberika f si 15) pabila diberika 7,58 dega galat tidak lebih dari,3 tetuka:

22 1. alisis Numerik Rel f apabila diberika f cos e si 16) pabila diberika 5,78 dega galat tidak leih dari,5 tetuka: Rel f apabila diberika si si f e. 17) pabila diberika 7,58 dega galat tidak lebih dari,5 tetuka: e Rel f apabila diberika f 1 Petujuk Jawaba Latiha 1) Utuk soal o. 1,, 3, 4, da 5 perhatika cotoh soal o ) Utuk soal o. 6, 7, 8, 9, da 1 perhatika cotoh soal o ) Utuk soal o. 11, 1, 13, 14, da 15 perhatika cotoh soal o ) Utuk soal o. 14, 16, da 17 perhatika cotoh soal o RNGKUMN Utuk meetuka ilai pedekata f( ) dikostruksika poliomium aylor pada suatu sekitara titik,. Jika poliomium aylor yag diambil merupaka suatu poliomium pagkat, amaka p (), dega p a a a a 1 maka haruslah dipeuhi p f p f p f p f. p f

23 M433/MODUL Selajutya diperoleh (... p f f f f!! = k k f k1 k! da persamaa di atas disebut poliomium aylor derajat utuk fugsi f di sekitar titik. Pada aplikasi poliomium aylor sebagai pedekata fugsi f pada sekitara suatu titik (tertetu) ditutut adaya ketelitia yag merupaka selisih atara ilai poliomium aylor dega ilai fugsi f di suatu titik tertetu pada sekitara titik. Misalka fugsi f terdiferesial higga order 1 dega masigmasig derivatifya kotiu pada selag, da misalka titik berada pada selag tersebut. pabila fugsi f didekati dega poliomium aylor R f p ditetuka dega 1 R f 1! p pada sekitara maka suku sisa 1 dega,, merupaka derajat ketelitia, atau dega kata lai merupaka galat dari ilai pedekata Galat pada suatu kalkulasi hituga didefiisika sebagai Galat relatif = = atau disajika sebagai Galat ilai sebearya ilai sebearya ilai pedeka ta ilai sebearya f.

24 1.4 alisis Numerik Rel dega : ilai sebearya : ilai pedekata Utuk kasus ilai sebearya tidak diketahui secara pasti galat ditetuka terhadap ilai pedekata yag diaggap terbaik, da ilai ii atara lai dapat diperoleh dega cara iterasi. Dega demikia, galat diyataka sebagai da 1 Galat S S Rel1 dega meyataka ilai pedekata sekarag da S meyataka ilai pedekata yag diperoleh sebelumya. Pada setiap peyelesaia permasalaha seatiasa timbul galat atau kesalaha, atara lai disebabka oleh: el. peyusua model matematika dalam meyelesaika suatu permasalaha real; e. pembulata yag dilakuka pada waktu melakuka operasi hituga; e3. kesalaha yag terjadi pada saat pegumpula data; e4. kesalaha karea aalisis matematik. Pada suatu operasi hituga dimugkika terjadi hilagya pegertia galat da galat yag timbul karea operasi aljabar dapat dihilagka (diperkecil) dega memaipulasi operasi aljabar tersebut. Suatu ratai operasi aljabar dari besara-besara yag memuat galat aka memberika suatu hasil yag juga memuat galat, galat pada. hasil operasi tersebut merupaka hasil perambata galat. Perambata galat merupaka akibat semua jeis operasi aljabar, yaitu operasi jumlaha "+", operasi peguraga " ", operasi pergadaa " " operasi pembagia " ".

25 M433/MODUL Misalka diberika sebuah fugsi terdiferesial f pada suatu selag a, b. pabila merupaka ilai pedekata dari ab,, da dega ilai sebearya maka galat ilai fugsi atau f f f Galat f adalah: f f f f f Galat atau dapat pula disajika sebagai da f f f Galat Galat Galat Rel f f f Rel f f ES FORMIF Pilihlah satu jawaba yag palig tepat! f 1) Betuk poliomial aylor utuk p. 1 1 p 1 B. p3 1 3 C. 3 p D. 3 4 ) Betuk poliomial aylor utuk f. p B. p p C. p D. e adalah. di sekitar a =1 adalah.

26 1.6 alisis Numerik 3) Pada poliomial aylor orde utuk fugsi f besar galat diyataka dega.... a R f a atau a! B. a R f a atau a! C. 1 a R f 1! D. 1 1 a 1 R f 1! a atau a a atau a 4) pabila p merupaka poliomium aylor utuk fugsi f si utuk dari,1, berapakah ilai terkecil?. = 1 B. = C. = 3 D. = 4, agar galat yag timbul tidak lebih 5) Peryataa berikut ii merupaka faktor peyebab terjadiya galat, kecuali.... peyusua model matematika dalam meyelesaika suatu masalah real B. pembulata yag dilakuka pada waktu melakuka operasi hituga C. pegguaa rumus matematika yag memuat itegral fugsi D. kesalaha yag terjadi pada saat pegumpula data Cocokkalah jawaba da dega Kuci Jawaba es Formatif yag terdapat di bagia akhir modul ii. Hituglah jawaba yag bear. Kemudia, guaka rumus berikut utuk megetahui tigkat peguasaa da terhadap materi Kegiata Belajar. igkat peguasaa = Jumlah Jawaba yag Bear 1% Jumlah Soal

27 M433/MODUL rti tigkat peguasaa: 9-1% = baik sekali 8-89% = baik 7-79% = cukup < 7% = kurag pabila mecapai tigkat peguasaa 8% atau lebih, da dapat meeruska dega modul selajutya. Bagus! Jika masih di bawah 8%, da harus megulagi materi Kegiata Belajar, terutama bagia yag belum dikuasai.

28 1.8 alisis Numerik Kuci Jawaba es Formatif es Formatif 1) ) C 3) C 4) D 5) C

29 M433/MODUL Daftar Pustaka Buchaa J. L ad urer P. R. (199). Numerical Methods ad alysis. New York: McGraw-Hill Ic. Fracis Scheid. (1968). heory ad Problems of Numerical alysis. Schaum's Outlie Series. New York: McGraw-Hill Book Compay. Kedal tkiso. (1994). Elemetary Numerical alysis. New York: Joh Wiley & Sos. Nakamura, S. (1993). pplied Numerical Methods i C. New Jersey: Pretice Hall Iteratioal Ic. Steve, C. C ad Raymod, P. C. (1985). Numerical Methods for Egiieers. New York: McGraw-Hill Book Compay.