Estimasi Parameter Model Logit pada Respons Biner Multivariat Menggunakan Metode Mle dan Gee

Transkripsi

1 Jural ILMU DASAR Vol. 0 No : Esmas Parameer Model Log pada Respos Ber Mulvara Megguaka Meode Mle da Gee Esmag Parameers of Log Model o Mulvarae Bary Respose Usg Mle ad Gee Jaka Nugraha, Suryo Guro, Sr Haryam Jurusa Saska UII, Jurusa Maemaka UGM ABSTRACT I hs paper, we dscuss bary mulvarae respose modelg based o exreme value dsrbuo. Idepede varables used hese models are some arbues of he alerave (labeled j ad some arbues of he decso maker (labeled. We assumed ha he decso maker observed wh T respose. Y s d respose varables from decso maker ad value Y s bary. Respose of decso maker ca be expressed as Y (Y,...,Y T. I each of he decso maker, we have daa (Y,,. Models are derved by he assumpo ha maxmum radom uly whch he decso maker choose oe of he aleraves havg greaes uly. Mehods of parameer esmao are Maxmum Lkelhood Esmaor (MLE mehod ad Geeralzed Esmag Equao (GEE. Frs dscusso hs sudy s he esmao by MLE wh depede assumpo amog respose ad he he MLE esmao usg jo dsrbuo by Bahadur s represeao. By MLE ad GEE, esmag equaos are obaed ad solved by umercal (lke s Newho-Rahpso mehod he codo ha o all of he parameers of dvdual arbues ca be esmaed (defed. Based o esg smulao daa wh R..5.0, we recommed (a low correlao, GEE s beer ha MLE (b moderae correlao, MLE s mos effce bu o sable (c hgh or moderae correlao, MLE ad GEE should be used (d correlao esmaors cao expla he real correlao because of s bas. Keywords : Radom uly models, log models, dscree choce models PENDAHULUAN Model pemlha dskr meggambarka pembua kepuusa memlh daara aleraf yag erseda. Model pemlha dskr duruka dega asums bahwa pembua kepuusa memlh aleraf yag mempuya ul erbesar (Tra 003. Model regres yag duruka dar dsrbus la ekreme merupaka baga dar pemodela Plha Dskre (DCM, Dscree Choce Model. Model rccccegres pada respo omal yag dperoleh dcega megguaka dsrbus la ekreme c sama dega model logsk (Nugraha e al Lag & eger (986 meyampaka bahwa aalss logsk maupu prob pada daa pael dega megguaka pedekaa uvara, yak megabaka adaya korelas aka meghaslka esmaor parameer yag mash kose eap jka erdapa korelas yag besar maka peaksr ersebu mejad dak efse. Prece (988 meyampaka sraeg pemodela megguaka pedekaa GEE uuk medapaka esmaor koefse regres yag kosse da asmos ormal. Pedekaa GEE dak megguaka perhuga egral ragkap. Cooyas e al. (00 meyaaka bahwa pada model efccek eap jka erdapa korelas aara efcccek dvdu erhadap varabel depede maka esmaor yag dperoleh mejad dak efse. Dega megasumska model efek radom, esmaor yag ddapaka mejad lebh efse. Harrs e al. (000 elah melakuka peguja sfa-sfa esmaor model prob pada daa pael. Dsmpulka bahwa meskpu jumlah sampel erbaas, esmas megguaka MLE mash meghaslka esmaor yag bak. MLE mempuya sfa-sfa yag bak uuk sampel besar, khususya asympocally effce (Horrowz e al. 00. Dalam makalah aka dbahas esmas parameer model log pada respo ber mulvara. Varabel depede yag

2 86 Esmas... (Jaka Nugraha e al. dpermbagka dalam model varabel karakersk dvdu da varabel karakersk plha. Meode esmas parameer megguaka MLE da meode GEE. Pembahasa esmas MLE dawal dega asums depede aar respo da kemuda dlajuka pembahasa esmas MLE megguaka dsrbus gabuga dar Bahadur s represeao. Beberapa meode esmas ersebu dmpleaska pada daa smulas. Daa dbagkka pada la parameer yag sudah deuka. Hasl esmas dbadgka dega la parameer sesugguhya. Model ulas Dasumska bahwa dvdu masg-masg dobservas sebayak T respo. Y respo ke- pada dvdu/subjek ke- da seap respoya ber. Sehgga respo pada dvdu ke-, dapa dsajka dalam beuk Y (Y,...,Y T sebaga vekor xt, Seap dvdu mempuya kovarae sebaga karakersk dvdu da kovarae j sebaga karakersk aleraf/plha j pada dvdu. Uuk meyederhaaka peulsa, dambl sau varabel karakersk dvdu da sau varabel karakersk plha. Ulas subjek memlh aleraf j pada perode U j V j + ε j uuk,,...,t ;,,..., ; j0, ( V j α j +β j + γ j U j ulas yag merupaka varabel lae da V j damaka represeaf ulas. Dega megasumska bahwa pembua kepuusa (subjek meeuka plha berdasarka la ulas yag maksmum, maka model dapa dsajka dalam beuk selsh ulas, U U - U 0 (V V 0 + (ε - ε 0 V +ε ( Selajuya dapa dsusu hubuga aara Y da varabel lae U, yau y <> U > U 0 <> U > 0 <> -V < ε Probablas subjek memlh (y,..., y T P(y,..., y T P(0 < U,..., 0 < U T P(-V < ε,..., -V T < ε T ε LL ' I( V < ε. f ( ε ' dε T { y ( V V + V l[exp( ( V0 + exp( V] } 0 0 (3 dega ε (ε,..., ε T. Nla probablas merupaka huga egral ragkap T da ergaug pada parameer α, β da γ maupu dsrbus ε. MLE pada model log Model Log dapa duruka dar asums bahwa ε j berdsrbus la eksrm (exreme value yag salg depede uuk semua,j da. Fugs desas la eksrem (Gumbel f ε ε j j ε ( ε ε ε (4 j Teorema Jka ε j varabel radom yag mempuya desas exreme value maka berdasarka asums bahwa pembua kepuusa (subjek meeuka plha berdasarka la ulas yag maksmum, probablas subjek memlh j uuk respo ke- (probablas margal P( y exp( V [exp( V + exp( V 0 dega V j α j +β j + γ j uuk,,...,t ;,,..., ; j0,. Jka varabel radom ε j salg depede uuk semua,j da maka fugs loglkelhooya (5 Proposs. Dervarf perama fugs loglkelhood (5 α α 0 β ( y ( y ; ; ( y ]

3 Jural ILMU DASAR Vol. 0 No : β γ ( uuk,,..,t. ( y 0 ( y da Pada kods dervaf perama sama dega ul maka agar MLE uuk parameer α da β erdefkas/eresmas maka perlu dsyaraka α 0 da β 0. Sehgga parameer yag harus desmas θ (α, β, γ dega α α da β β. Fugs log-lkehood (5 mejad da peaksr MLE parameer θ mempuya sfa ˆ a θ N[ θ,{ H } ( k ( k dega g ( y da H ( k 0 ( 0 ( 0 ( 0 ( 0 ( ] 0 ( ( θ ( 0 ( y (6 MLE megguaka Bahadur s Represeao Peyaja dsrbus bersama uuk T respo ber, Y,...,Y T dapa dulska sebaga P(Y y,...,y T y T Proposs. Dervarf ke-dua fugs loglkelhood (5 pada α 0 da β 0 θ 0 LL ( 0 ( ' θ ( 0 ( 0 ( 0 ( dega θ (α, β, γ da merupaka mark defe egaf. Teorema. MLE uuk parameer θ (α, β, γ dega asums depede aar respo Y peyelesaa dar persamaa ( 0 ( y 0 yag berlaku uuk seap,..,t dega α 0 da β 0 Lemma. Peyelesaa persamaa peaksr pada Teorema uuk parameer θ (α, β, γ da ereu dega megguaka meode Newo-Raphso pada eras ke-(k+ θ ( k + ( k θ ( H ( k g ( k ( ρ T y y + ρkeek + ρkleekel < k < k< l ( Y [ ( ]... T e e... et P(Y y,...,y T y T T y y Y Y ( ( k k ( + ρ k < k [ ( k( k] (7 dega e da ρ / k E(e e k,..., ρ...t E(e e...e T. Peulsa dsrbus pada persamaa (7 dsebu Bahadur s represeao (Fzmaurce e al. 993 yag memua parameer korelas ρ (ρ, ρ 3,..., ρ 3...T. Jka dasumska bahwa korelas ga respo aau lebh berla ul, maka persamaa (7 dapa dsederhaaka mejad / (8 dega parameer korelas ρ (ρ, ρ 3,..., ρ (T- T. Parameer ρ merepreseaska ukura assosas aar respo. Asosas (hubuga aara Y da Y k dapa berupa ukura koefse korelas, raso odd (odds rao aaupu rsko relaf (relave rsk. Koefse korelas ρ k

4 88 Esmas... (Jaka Nugraha e al. ρ k Cov( var( Y / Y,Y k var( Y dega k P(Y,Y k. Selajuya parameer ρ k aka desmas dar dsrbus bersama (Y y ;Y k y k. Dar persamaa (9 dperoleh P(Y,Y k P(Y,Y k 0 P(Y 0,Y k / k k k k ] Dar (a, (b, (c da (d, fugs probablas bvara P(Y,Y k dapa dulska sebaga P ( Y k k y, Y y Esmaor ak bas dar ρ k k k k / / (9 k (0 Proposs 3. Parameer ρ k yag merupaka korelas aara Y da Y k mempuya la ( ( k, (- k (- k m ( k / ρk / k k + ρk[ (- k (- k ] / ( k ρk[ (- k (- k ] / k ( ρk[ (- k (- k ] (- ( k ; k k m (- ( k k k (8 / [ (- k (- k ] P(Y 0,Y k 0 ( ( ρ [ (- (- y y yk yk y + yk / ( k ( k + ( ρk[ (- k (- k ] (Y - ˆ (Yk - ˆ k ˆ ρ [ ˆ (- ˆ ˆ (- ˆ ] / Proposs 4. Berdasarka Bahadur s represeao da megabaka korelas ga respo aau lebh, maka fugs log-lkelhood uuk parameer θ (β ;γ LL(θ T T y y ( l ( + l + ρ k < k ( Y ( Y [ ( ( ] k k / k k ( 0 LL ( 0 θ' θ ( 0 ( 0 ( 0 B k ( ( + ( CC ( Y ( Yk k [ ( ( ] y + + ρkbk θ ( 0 < k Yk ( ( Yk k ρ k / / < k [ ( ] [ k ( k ] dega k / C + ρkbk ρk ( ( Yk k < k < k Yk + [ ( ] 4 Proposs 5. Persamaa peaksr uuk parameer θ ( y + Ψ 0 uuk ( 0,...,T GEE uuk model log Lag & eger (986 da Prece (988 elah megembagka GEE. Pedekaa GEE meghaslka esmaor kosse uuk parameer regres, d bawah spesfkas yag bear uuk fugs mea, yag merupaka vekor respos uuk masg-masg dvdu. GEE megguaka pedekaa dsrbus margal. GEE uuk θ dapa dulska dalam beuk k

5 Jural ILMU DASAR Vol. 0 No : W dag ( da G(θ W Δ S (Y' ' 0 ( Δ dag ( T T (... (,..., ( 0 T 0T Y (Y,...,Y T ; (,..., T ; S / / A R A ; A / dag ( Var( Y... Var( Y R mark workg korelas Y da W dsebu mark observas. Uuk megesmas R, ddefska vekor korelas emprk r yag berukura T(T-/ dega eleme-eleme ( Ys s( Y rs ( / [ ( ( ] s s Korelas emprk r s merupaka esmaor ak bas parameer ρ s uuk,,.. da s,r,, T. Jka dasumska ρ s ρ s uuk semua maka peaksrya ˆρ (3 s r s Persamaa ( da (4 dselesaka secara bersamaa uuk medapaka peaksr parameer θ da ρ. Prosedur medapaka peaksr θ da ρ memberka la peduga awal uuk R uuk meghug parameer θ secara eras Newo-Raphso. Nla θ yag dperoleh pada lagkah ( dguaka uuk meghug ρ (rumus pada persamaa (3 da (4, la ρ dar lagkah ( uuk meghug paramaer θ megguaka eras Newo-Raphso. Lagkah ( da (3 dulag sampa mecapa k koverge. Persamaa eras Newo-Raphso ke (k+ uuk parameer θ θ (k+ θ (k - - ' (k W Δ S Δ W WΔ S (Y' ' (4 T Lag & eger (986 merekomedaska esmaor yag kosse uuk Var(θ, Vˆ ar( ˆ θ M M M (5 M M 0 0 ˆ S θ ˆ S θ ( y' ˆ' ( y' ˆ' ' S - ' 0 ˆ θ ˆ Var( θg WΔ S Δ W (k (k WΔ S (Y' ' (Y' ' 'S ΔW - ' WΔ S ΔW ˆ θ da Teorema 3. θˆ merupaka esmaor GEE, maka G lm mulvara, lm dega ( ˆ θ θ berdsrbus ormal G ( ˆ θ θ ~ NM 0; Var. ( ˆ θ G ( G Peguja daa smulas Selajuya aka dlakuka peguja pada sampel erbaas berdasarka daa smulas uuk megama sfa esmaor yag dperoleh dar meode MLE da meode GEE, sera pegaruh besarya sampel da besarya korelas. Peela dlakuka uuk sampel berukura 50, 00, 500, 000 da Dambl kasus T3. Model ulas subjek memlh aleraf j pada perode U j V j + ε j. uuk,,3 ;,,..., ; j0,; V j β j + γ j, β 0 (6 Daa dbagkka pada β β 0.3; β β 0.6; β 3 β 3 0.9, γ 3 ; γ 3.5 ; γ 3. Nla varabel observas da j dambl dar dsrbus ormal, yau ~ N(0, ; 0 ~N(0, ; ~N(, Persamaa (4 draformas ke dalam selsh ulas

6 90 Esmas... (Jaka Nugraha e al. U U 0 U (β - + γ ( - 0 β + γ ( - 0 (7 dega β -0.7; β -0.4 ;β 3-0.; γ 3 ; γ 3.5 ; γ 3. Tga srukur korelas, yau depede (ρ 0, korelas sedag (ρ, korelas kua (ρ ρ 0 0 0, ρ, ρ Aalss megguaka sofware R khususya lbrary (morm, lbrary(sysemf, lbrary(mceco, lbrary(geepack yag dapa dakses pada sus HASIL DAN PEMBAHASAN Hasl esmas dar perulaga sebayak 50 kal dsajka dalam Tabel. Seap sel pada abel memua raa-raa da devas sadar uuk masg-masg parameer. Pada ukura sampel lebh dar 500, esmaor yag dhaslka sudah cukup bak (varas da bas kecl. Semak besar sampelya, esmaor yag dperoleh semak medeka la parameer yag sesugguhya. Pada 5000, besarya fakor pegal dar dsrbus ormal ke dsrbus la eksrm ±,83. Nugraha (008 elah meyampaka bahwa esmaor model log besarya sekar,6 kal esmaor pada model prob. Pada smulas berkuya aka dlakuka pada 500. Smulas dlakuka uuk melha pegaruh gka korelas erhadap esmaor. Meode esmas yag dguaka meode MLE da meode GEE. Pada meode MLE dguaka dua jes asums yau asums korelas ul/depede (θ MLE. da asums korelas dak dkeahu (θ MLE.. Pada meode GEE megguaka dua asums, yau asums depede (θ GEE., da asums korelas dak dkeahu (θ GEE.. Esmaor parameer korelas dapa dlha pada θ MLE. da θ GEE.. Korelas redah (depede. Dar Tabel, esmaor θ MLE. meghaslka bas yag lebh besar dbadg dega θ MLE.. Walaupu esmaor θ MLE. dak sabl, eap lebh efse dbadgka esmaor yag la. Esmaor θ GEE. da θ GEE. pada umumya berbeda, eap perbedaaya dak sgfka, demka juga la efses relafya relaf sama. Jad dapa dsmpulka bahwa pada srukur korelas redah, esmaor θ MLE., θ GEE. da θ GEE. sama. Esmas parameer pada srukur korelas depede (korelas redah, dsaraka dak megguaka esmaor θ MLE.. Korelas sedag (ρ Dar Tabel 3, esmaor θ MLE. berbeda secara sgfka erhadap esmaor yag la. Varas esmaor θ MLE. dar 50 perulaga cukup besar, yag meggdkaska esmaor dak sabl. Namu demka esmaor θ MLE. yag palg efse. Esmaor θ GEE. lebh efse dbadgka esmaor θ MLE. da θ GEE.. Pada gka korelas meegah dsaraka uuk megguaka esmaor θ MLE. da θ GEE.. Tabel. Esmaor pada srukur depede dega 50, 00, 500, 000, θ β β β γ γ γ

7 Jural ILMU DASAR Vol. 0 No : Tabel. Raa-raa selsh esmaor dar 50 ulaga korelas ul megguaka meode MLE da GEE. Parameer θ MLE. θ MLE. -θ MLE. + θ θ GEE. θ GEE. -θ GEE. + θ θ mea sd mea sd mea sd mea sd β β β γ γ γ Tabel 3. Raa-raa da sadard devas esmaor pada srukur korelas ρ meode MLE da GEE dar 50 kal perulaga Parameer θ MLE. θ MLE. θ GEE. θ GEE. θ mea sd mea sd mea sd mea sd β β β γ γ γ ρ ρ ρ Tabel 4. Raa-raa da sadar devas esmaor pada srukur korelas ρ meode MLE dar replkas sebayak 50 kal Parameer θ MLE. θ MLE. θ GEE. θ GEE. θ mea sd mea sd mea sd mea sd β β β γ γ γ ρ ρ ρ Korelas kua (ρ Dar Tabel 4, pada srukur korelas ρ esmaor θ MLE. berbeda secara sgfka erhadap esmaor la. Esmaor θ GEE. lebh efse dbadgka dega esmaor θ GEE., θ MLE. Sehgga dapa dsmpulka, jka erdapa korelas kua aar respo sebakya dguaka esmaor θ GEE. da θ MLE.. Daara esmaor θ GEE. da θ MLE., keuggula masg-masg esmaor saga ergaug pada daa yag daalss, sehgga dak dapa dgeeralka.

8 9 Esmas... (Jaka Nugraha e al. KESIMPULAN Pemodela pada respo ber mulvara dega varabel depede berupa karakersk dvdu da karakersk plha dapa dlakuka megguaka model dsrbus la eksrm. Meode MLE da meode GEE dapa dguaka uuk megesmas parameer. Kedua meode meghaslka persamaa peaksr yag harus dselesaka secara eras. Peguja esmaor dapa dlakuka megguaka pedekaa eor sampel besar. Pada gka korelas redah, dsaraka dak megguaka esmaor θ MLE.. Pada gka korelas sedag maupu korelas gg, sebakya dguaka esmaor θ MLE. da θ GEE.. Esmaor parameer korelas pada meode θ MLE. da θ GEE.3 dak dapa dguaka uuk meggambarka gka korelas yag sesugguhya. DAFTAR PUSTAKA Cooyas P, Adrew MJ, Gozales RL. 00. Usg Smulao-Based Iferece Wh Pael Daa I Healh Ecoomcs. Workg Paper Deparme of Ecoomcs ad Relaed Sudes, Uversy of York. Fzmaurce GM, Lard NM, Razky AG Regresso Models for DscreeLogudal Resposes. Sascal Scece Vol. 8 No. 3 : Harrs MN, Macquare LR, Soucls AJ. 000, Comparso of alerave Esmaors for Bary Pael Prob Models, Melboure Isue Workg Paper o 3/00 Horowz JL & Sav NE. 00. Bary Respose Models : Logs, Probs ad Semparamercs, Joural of Ecoomc Perspecves, Volume 5(4: Nugraha J, Haryam S, Guro S Model Dscree Choce da Regres Logsk, Prosedg Semar Nasoal MIPA, UNY. Nugraha J.008. Model Prob da Model Log pada Respo Ber. Eksaka, Jural Ilmu-lmu MIPA Vol 0(: 9-7 Lag KY & eger SL Logudal Daa Aalyss Usg Geeralsed Lear Models, Bomerka 73: 3-. Prece.988. Correlaed Bary Regresso wh Covaraes Specfc o Each Bary Observao. Bomercs 44 : R Developme Core Team (008. R: A laguage ad Evrome for Sascal Compug. R Foudao for Sascal Compug, Vea, Ausra. ISBN , URL hp:// [ , :3] Tra K.003. Dscree Choce Mehods wh Smulao, UK Press, Cambrdge.