PEMBENTUKAN MODEL PROBIT BIVARIAT

Transkripsi

1 PEMBENTUKAN MODEL PROBIT BIVARIAT SKRIPSI Dsusu Oleh : Yudh Cadra JE PROGRAM STUDI STATISTIKA JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS DIPONEGORO SEMARANG 009

2 PEMBENTUKAN MODEL PROBIT BIVARIAT Dsusu Oleh : Yudh Cadra JE Skrps Sebaga salah satu syarat utuk memperoleh gelar Sarjaa Sas pada Program Stud Statstka PROGRAM STUDI STATISTIKA JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS DIPONEGORO SEMARANG 009

3 BAB I PENDAHULUAN.. LATAR BELAKANG Model regres merupaka kompoe petg dalam beberapa aalss data dega meggambarka hubuga atara varabel respo da satu atau beberapa varabel bebas. Pada umumya aalss regres dguaka utuk megaalss data dega varabel respo berupa data kuattat. Aka tetap dalam kehdupa sehar-har serg dtemu kasus dega varabel respoya bersat kualtat, sepert keputusa memlh ya atau tdak. Utuk meyelesaka kasus dapat dguaka model probt. Model probt merupaka model o ler yag dguaka utuk megaalss hubuga atara satu varabel respo da beberapa varabel bebas, dega varabel respoya berupa data kualtat dkotom yatu berla utuk meyataka keberadaa sebuah karakterstk da berla 0 utuk meyataka ketdakberadaaa sebuah karakterstk. Model probt dega satu varabel respo dapat dkembagka mejad model probt dega megguaka dua varabel respo, model dsebut model probt bvarat. Model probt bvarat megguaka dua varabel dkotom sebaga varabel respoya, sedagka varabel bebasya dapat berupa varabel yag bersat dskrt maupu varabel yag bersat kotu da juga dapat berupa varabel kualtat yatu varabel omal atau ordal. Salah satu cotoh kasus probt bvarat adalah peelta yag dlakuka oleh Pdyck da Rubeld pada

4 4 tahu 973 d kota Troy, Mchga, Amerka Serkat tetag keputusa suatu keluarga apakah aka membelajaka uagya utuk membaya salah seorag aakya ke sekolah eger atau aka membelajaka uagya utuk membayar pajak propert. Varabel yag damat adalah pedapata, pajak kekayaa, da lama meetap dalam lgkuga tersebut. Aka dseldk apakah varabel pedapata, pajak kekayaa, da lama meetap dalam lgkuga tersebut mempegaruh keputusa seseorag lebh memlh membelajaka uagya utuk membaya salah seorag aakya ke sekolah eger atau memlh membelajaka uagya utuk membayar pajak propert (Greee,984). Karea dalam kasus tersebut data yag dsajka berupa data kualtat, da varabel respoya terdr dar dua varabel maka utuk megaalss hubuga atar varabelya megguaka pedekata model probt bvarat. Dalam peulsa tugas akhr aka dbahas megea betuk model probt bvarat da peaksra parameterya meguaka metode maksmum lkelhood. Selajutya aka dbahas megea model probt bvarat utuk peerapa pada cotoh kasus tetag aktor-aktor yag berpegaruh terhadap peroleha beasswa asoal (Natoal Scece Scholar) da peghargaa matematka tgkat uverstas (Moobery Math Award) pada 300 orag mahasswa UCLA, Amerka Serkat. Dalam pegolaha dataya aka dguaka alat batu sotware Stata 0.

5 5.. RUMUSAN MASALAH Berdasarka latar belakag tersebut aka dbahas megea pembetuka model probt bvarat da peerapaya dalam suatu cotoh kasus tetag aktoraktor yag berpegaruh terhadap peroleha beasswa asoal (Natoal Scece Scholar) da peghargaa matematka tgkat uverstas (Moobery Math Award) pada 300 orag mahasswa UCLA, Amerka Serkat. Dar cotoh kasus tu aka dperoleh suatu model yag meggambarka pola hubuga atara dua varabel respoya dega beberapa varabel bebasya..3. PEMBATASAN MASALAH Pembatasa masalah pada Tugas Akhr adalah pembetuka model probt bvarat da peetua estmas parameterya dega metode teras Newto-Raphso..4. TUJUAN PENULISAN Tujua dar peulsa Tugas Akhr adalah :. Meetuka estmas parameter da membetuk model probt bvarat.. Meguj korelas masg-masg varabel respo da meguj sgkas parameter model secara keseluruha maupu secara dvdu. 3. Megaplkaska model probt bvarat dalam suatu cotoh kasus tetag aktor-aktor yag berpegaruh terhadap peroleha beasswa asoal (Natoal Scece Scholar) da peghargaa matematka

6 6 tgkat uverstas (Moobery Math Award) pada 300 orag mahasswa UCLA, Amerka Serkat, sehgga dapat dketahu hubuga atar varabelya yag mampu meggambarka da mejelaska permasalaha tersebut..5. SISTEMATIKA PENULISAN Sstematka peulsa tugas akhr adalah Bab I merupaka Pedahulua yag bers latar belakag, rumusa masalah, pembatasa masalah, da sstematka peulsa. Bab II merupaka Teor Peujag yag bers kosep dasar peulsa, melput : probablta, ugs dstrbus kumulat, data kualtat, dstrbus ormal bvarat, varabel dummy, metode maksmum lkelhood, matrks Hessa, da metode Newto Raphso. Bab III bers pembahasa tetag Model Probt Bvarat yag berupa model umum, peaksra parameter, uj sgkas model, da cotoh peerapa. Bab IV merupaka kesmpula dar bab-bab sebelumya.

7 BAB II TEORI PENUNJANG.. Probablta Jka sebuah percobaa E mempuya ruag sampel S da sebuah kejada A ddeska pada S, maka P A adalah suatu agka rl yag dsebut probablta dar perstwa A atau probablta A da ugs P. mempuya syaratsyarat sebaga berkut :. 0 A. P(Ø) = 0 3. P S P utuk tap kejada A dar S Bla suatu percobaa yag dapat meghaslka macam hasl yag berkemugka sama da bla terdapat sebayak A dar hasl yag berkata dega kejada A, maka probablta A adalah : Teorema. A PA (..) Bla A da P A' PA A ' kejada yag salg berkompleme, maka : Bukt : S A A' A A' PS

8 6 sehgga P PA A' P A' PA A PA' (Walpole, 995).. Fugs Dstrbus Kumulat Des. Fugs dstrbus kumulat atau probabltas kumulat serg dsebut ugs dstrbus saja. Fugs dstrbus varabel radom kotu X yag dotaska PX dega : F F = t Sat-sat ugs dstrbus :. Lm F. Lm F 0 utuk semua blaga rl, ddeska dt (..) 3. Fugs tersebut tdak turu, yatu jka a b maka Fb Fa 4. Fugs tersebut kotu dar kaa, yatu utuk seluruh da 0 Lm 0 = F F 0 5. PX F atau PX PX (Hes da Motgomery, 990)

9 7.3. Data Kualtat Data kualtat adalah data yag buka merupaka agka yag skala pegukuraya terdr dar seperagkat kategor. Data kualtat terbag mejad dua yatu data omal da ordal. a. Data Nomal Data omal adalah data yag berasal dar pegelompokka perstwa berdasarka kategor tertetu yag perbedaaya hayalah meujukka perbedaa kualtat. Data tdak meggambarka keduduka objek atau kategor tersebut terhadap objek atau kategor laya tetap haya sekedar label atau kode saja. Data haya megelompokka objek atau kategor ke dalam kelompok tertetu. Data memlk dua cr yatu : Kategor data bersat salg lepas (satu objek haya masuk pada satu kelompok saja). Kategor data tdak dsusu secara logs. Cotoh dar data omal atara la jes kelam ( utuk pra, 0 utuk wata), agama ( utuk Islam, utuk Krste, 3 utuk Katolk, 4 utuk Budha, da 5 utuk Hdu). b. Data Ordal Data ordal adalah data yag berasal dar objek atau kategor yag dsusu meurut besarya, dar tgkat teredah ke tgkat tertgg atau sebalkya, dega jarak atau retag yag tdak harus sama.

10 8 Data memlk cr sepert pada data omal dtambah satu cr lag, yatu kategor data dapat dsusu berdasarka uruta logs da sesua dega besarya karakterstk yag dmlk. Cotoh dar data ordal atara la jejag kepagkata pada mlter (jedral, koloel, kapte, sersa), kelas sosal masyarakat (atas, meegah, kebawah). (Hasa, 004).4. Dstrbus Normal Bvarat Msalka sebuah ugs dtujukka oleh : q /, y e,, y (.4.) Dega σ > 0, σ > 0, da - < ρ <, y y q (.4.) Dalam ugs tersebut dtujukka : a. y, adalah ugs destas bersama ormal bvarat. b. X ~ N da Y ~, N,. c. ρ adalah koese korelas dar X da Y. d. Varabel radom X da Y dkataka memlk dstrbus ormal bvarat. Fugs (,y) yag merupaka ugs destas bersama dapat dlhat sebaga berkut.

11 9 Ddeska dy y, Dar (.4.) dperoleh : y q b y dmaa / b. Sehgga : dy b y / ep / ep (.4.3) Dar tegral yag terdapat pada () tegraya merupaka ugs dstrbus kumulat ormal dega rata-rata b da varas, sehgga tegral tersebut sama dega da () mejad : ep, (.4.4) Fugs (,y) merupaka ugs destas bersama dar dua varabel radom kotu X da Y. Maka ugs () adalah ugs dstrrbus margal utuk X, da X berdstrbus, N. Sehgga dapat daalogka Y berdstrbus, N. Dar hal tu, dapat dkembagka bahwa : ep, b y y (.4.5) dmaa / b.

12 0 Sehgga ugs destas utuk Y dberka oleh dega rata-rata / X adalah ormal b da varas. Maka dega dstrbus ormal bvarat, rata-rata dar Y yag dberka oleh X adalah lear d da : E (.4.6) Y Sehgga dapat dtujukka dar dstrbus oleh X, yag dberka oleh Y y adalah dstrbus ormal N y,. Cotoh. Dasumska bahwa populas dar pasaga perkaha yag memuat tgg bada suam (X ) da tgg bada str (X ) megkut dstrbus ormal bvarat dega parameter µ =5,8 kak, µ =5,3 kak, σ =σ =0, kak, da ρ=0,6. ugs dstrbus kumulat X dberka oleh =6,3 adalah ormal dega mea 5,3+(0,6)(6,3-5,8)=5,6 da stadar devas (0,) 0,36 =0,6. Berdasarka bahwa tgg bada suam adalah 6,3 kak, probabltas bahwa seorag str memlk tgg bada datara 5,8 da 5,9 kak adalah : P,8 X 5,9 6,3 N N 0, Teorema. Msalka X da Y megkut dstrbus ormal bvarat dega rata-rata µ da µ, varas yag post da, da koese korelas ρ. Maka X da Y secara stokastk depede jka da haya jka 0. (Hogg da Crag, 995)

13 .5. Varabel Dummy Varabel dummy dsebut juga varabel boeka, varabel dkator, varabel ber ( agka), varabel bersat kategor, da varabel kualtat. Pada umumya varabel dummy utuk dua kategor dber kode 0 da. Cr model regres dega varabel dummy adalah sebaga berkut :. Jka suatu varabel kualtat mempuya J kategor, maka ada J varabel dummy.. Peetapa la 0 da utuk dua kategor, sepert pra da wata adalah tapa suatu dasar atau buka merupaka hal yag mutlak dalam varabel dummy megambl la 0 da sebaga kode dar kategor tersebut. 3. Kelompok, kategor, atau klaskas yag dber ol sergkal dsebut sebaga kategor dasar, kategor kotrol, atau kategor perbadga. Dega kata la marupaka perbadga yag dbuat dalam kategor tersebut. (Gujarat da Za, 99).6. Metode Maksmum Lkelhood Metode maksmum lkelhood merupaka salah satu cara utuk megestmas parameter yag tdak dketahu. Prosedur estmas maksmum lkelhood meguj apakah estmas maksmum yag tdak dketahu dar ugs lkelhood suatu sampel laya sudah memaksmumka ugs lkelhood.

14 Msalka X,, X, X N adalah varabel radom dar populas dega dstrbus ugs, ugs lkelhood sampel tersebut adalah : L, dega adalah parameter yag tdak dketahu. Maka,, ;,.,,, N N (.6.) Bla ugs lkelhood terdeeresalka ke-, maka estmas maksmum lkelhood dapat dperoleh melalu persamaa berkut : ˆ ˆ ˆ L,,, N ;,,, N 0 (.6.) =,,, N Dalam bayak kasus, pegguaa deeresas aka lebh mudah bekerja pada logartma atural dar,,, ; K L, yatu : N,, ; l L,,, ;, N N (.6.3) Lagkah-lagkah utuk meetuka estmas maksmum lkelhood dar adalah :. Meetuka ugs lkelhood L,, ;,.,,, N. Membetuk logartma atural lkelhood : K,, ; l L,,, ;, N 3. Membetuk persamaa lkelhood da meyelesaka : N N K,,..., ; ) ( N = 0 4. Ddapat estmas maksmum lkelhood dar, yatu ˆ.

15 3 5. Membuktka bahwa ˆ bear-bear memaksmumka N L ;,,, dega L ˆ ˆ < 0 dmaa =,,, N..7. Matrks Hessa Matrks Hessa adalah matrks bujur sagkar dar turua parsal orde kedua. Msal ddeska ugs real sebaga berkut :,,. Jka turua parsal orde kedua utuk semua terdes, maka matrks Hessa dar ugs adalah : H dega,,,. (Mtal, K.V., 987).8. Metode Newto-Raphso Metode Newto-Raphso adalah suatu metode utuk meyelesaka sstem persamaa yag tdak ler (Agrest, 990). Metode Newto-Raphso dapat dkembagka dar perluasa deret Taylor, yag dapat dyataka sebaga :

16 4 " ' (.8.) Utuk = 0,,,... Suku-suku orde kedua dar perluasa deret Taylor d sektar adalah : " ' (.8.) Jka terdr dar m,,, da m,,, dapat dtuls, m T ' serta " H m m m m m maka persamaa (.8.) dapat dtuls dega : T H (.8.3) Turua dar persamaa (.8.3) terhadap adalah : T T H (.8.4) Jka 0 T, maka aka dperoleh : T H 0 (.8.5) Aproksmas yag bak dar adalah, maka persamaa (.8.5) dapat dtuls : T H 0 (.8.6)

17 5 Dega meyelesaka persamaa (.8.6), dperoleh suatu teras berkut : T H = 0 H = T = H T = T H (.8.7) (Atkso, 989)