ESTIMASI PARAMETER MODEL SURVIVAL DISTRIBUSI EKSPONENSIAL DATA TERSENSOR DENGAN METODE MAKSIMUM LIKELIHOOD DAN BAYESIAN SELF

Transkripsi

1 Bule Ilmah Mah. Sa. da Terapaya Bmaser Volume 5, No. 3 26, hal ESTIMASI PARAMETER MODEL SURVIVAL DISTRIBUSI EKSPONENSIAL DATA TERSENSOR DENGAN METODE MAKSIMUM LIKELIHOOD DAN BAYESIAN SELF Syarah Fra, Helm, Seyo Wra Rzk INTISARI Daa survval adalah daa yag meujukka waku suau dvdu aau objek dapa beraha hdup hgga erjadya suau kegagala aau kejada ereu. Daa survval dkaaka ersesor apabla objek pada peela hlag aau sampa akhr peela objek ersebu belum megalam kejada ereu. Pada peela dbahas megea esmas parameer model survval dsrbus Ekspoesal pada daa ersesor dega meode Maksmum Lkelhood da meode Bayesa SELF. Seelah dperoleh esmaor dar kedua meode ersebu, selajuya aka derapka pada daa pase pedera kaker paru-paru berdsrbus Ekspoesal yag dambl dar program R vers 3.3. uuk megeahu peluag dvdu dapa beraha hdup. Nla MSE yag dperoleh uuk ugs survval da ugs hazard dar meode Maksmum Lkelhood alah,3 da 2,9728E-7, dar meode Bayesa SELF alah,244 da 2,355E-7. Berdasarka la MSE dar esmaor dperoleh meode Bayesa SELF lebh bak dar pada meode Maksmum Lkelhood. Hasl olah daa dar meode Bayesa SELF dperoleh peluag hdup pase pada kasus yag megdap peyak kaker paru-paru selama 3 har adalah,7927, selama har adalah,46, selama 2 har adalah,226, selama 553 har adalah,38 da 999 har adalah,4. Berdasarka hasl ersebu dapa dkaaka bahwa semak lama seorag pase megdap peyak kaker paru-paru maka peluag hdup pase aka semak kecl medeka ol, hgga akhrya megalam kemaa. Kaa Kuc: Dsrbus Ekspoesal, MLE, Meode Bayesa SELF PENDAHULUAN Aalss survval adalah sekumpula prosedur saska uuk megaalss daa dega varabel yag dperhaka waku sampa erjadya suau eve []. Aalss survval dapa dguaka uuk memodelka daa survval. Pada aalss survval erdapa kosep peyesora yau pegamaa ersesor da pegamaa dak ersesor pegamaa legkap. Pegamaa dkaaka ersesor apabla daa dak dapa dama secara legkap karea subjek peela hlag aau megudurka dr aau sampa akhr peela subjek ersebu belum megalam kejada ereu sedagka pegamaa dkaaka dak ersesor apabla semua subjek peela aau u daa yag del ma aau gagal. Terdapa dua model yag dguaka uuk megaalss daa survval yau model paramerk da model oparamerk. Model paramerk adalah suau model survval dega daa survval yag megku asums dsrbus ereu. Beberapa model paramerk erdr dar dsrbus Ekspoesal, dsrbus Webull, dsrbus Log-Normal, dsrbus Log-Logsk, da dsrbus Gamma. Jka dsrbus yag medasar daa survval dak dkeahu, arya daa dak megku suau dsrbus ereu yag sudah ada maka dguaka model oparamerk. Adapu dalam peela dguaka model survval berdsrbus Ekspoesal. Dalam bdag kesehaa, dsrbus Ekspoesal dapa dguaka uuk meel daa survval pase. Adaya dsrbus Ekspoesal uuk meel daa survval, dapa dkeahu keahaa hdup dar obyek yag dama dega cara megesmas parameer dar dsrbusya. Saa dkeal dua meode uuk megesmas parameer yau meode klask da meode Bayesa. Salah sau meode esmas parameer dega meode klask adalah meode Maxmum Lkelhood Esmao MLE. 23

2 24 S. FITRIA, HELMI, S. W. RIZKI Meode MLE merupaka suau meode esmas parameer yag memaksmumka ugs lkelhood. Meode Bayesa merupaka meode esmas yag meggabugka dsrbus pror da ugs lkelhood. Dsrbus pror adalah dsrbus awal yag member ormas eag suau parameer. Fugs lkelhood yag dgabug dega dsrbus pror aka meghaslka suau dsrbus baru yau dsrbus poseror yag meyaaka gka keyaka megea suau parameer seelah sampel dama [2]. Terdapa beberapa pedekaa dar meode Bayesa yag dapa dguaka uuk megesmas parameer dsrbus yau Geeralsed No-ormave Pror, Lear Expoeal Loss Fuco, Ldley Approxmao, Geeral Eropy Loss Fuco GELF, da Squared Error Loss Fuco SELF. Peela berujua uuk meeuka meode esmas erbak uuk model survval dsrbus Ekspoesal daa ersesor pada kasus pedera kaker paru-paru dega megguaka meode MLE da meode Bayesa SELF. Adapu pada meode Bayesa dsrbus pror yag dguaka alah dsrbus Gamma yag merupaka pror sekawa uuk dsrbus Ekspoesal sera pedekaa loss uco yag palg umum dguaka uuk meode Bayesa adalah Squared Error Loss Fuco SELF juga dsebu sebaga Quadrac Loss Fuco [2]. Daa yag dguaka dalam peela berupa daa kaker paru-paru yag dambl dar program R vers 3.3. dega melakuka uj Kolmogorov-Smrov sehgga dkeahu daa berdsrbus Ekspoesal. Lagkah perama adalah meeuka ugs dsrbus kumula, ugs survval da ugs hazard dar dsrbus Ekspoesal. Lagkah kedua adalah meeuka ugs lkelhood yag dguaka pada meode MLE da meode Bayesa SELF. Lagkah kega meeuka esmas parameer dar meode MLE da Meode Bayesa SELF. Selajuya, pada lagkah keempa dlakuka proses perhuga ugs survval da ugs hazard dar hasl esmas uuk meode MLE da meode Bayesa SELF. Lagkah erakhr alah meghug la MSE uuk ugs survval da ugs hazard dar hasl esmas kedua meode. Seelah dperoleh la MSE maka dapa membadga dar kedua meode esmas berdasarka la MSE erkecl. DISTRIBUSI WAKTU SURVIVAL Dsrbus waku survval dapa dyaaka dega ga ugs yau, ugs kepadaa peluag, ugs survval, da ugs hazard. Waku survval T merupaka varabel radom o-ega yag mewalk waku survval dar dvdu-dvdu dalam populas yag merupaka varabel radom kou dalam erval [, aau waku survval pada waku dega > [3].. Fugs Kepadaa Peluag Fugs kepadaa peluag adalah peluag suau dvdu ma aau megalam kejada sesaa dalam erval waku sampa + yag drumuska sebaga berku: Jka T merupaka varabel radom o-ega pada erval [,, maka dsrbus kumula kou dar T yau: + P < T < + F F lm lm F P T d F merupaka ugs 2. Fugs Survval Fugs survval S ddeska sebaga peluag suau dvdu dapa beraha hdup dega waku survval sampa dega waku dega > yau: S P T F

3 Esmas Parameer Model Survval Daa Tersesor Dsrbus Ekspoesal Fugs Hazard Fugs hazard ddeska sebaga kelajua suau dvdu ma dalam erval waku dar sampa +, jka dkeahu dvdu ersebu mash dapa beraha hdup sampa dega waku. ugs hazard dyaaka sebaga berku: h S DISTRIBUSI EKSPONENSIAL Jka adalah waku survval dar varabel radom kou T yag megku dsrbus Ekspoesal dega parameer θ, maka ugs kepadaa peluag dsrbus Ekspoesal alah [4]: e θ, >, θ > θ Fugs dsrbus kumula uuk dsrbus Ekspoesal alah: θ F ; e θ Fugs survval dar dsrbus Ekspoesal sebaga berku: Sehgga ugs hazard alah: ; θ S e θ h ; θ θ METODE MAXIMUM LIKELIHOOD ESTIMATION Fugs lkelhood pada daa ersesor dar daa pegamaa, δ,, 2,..., alah [3]: δ δ θ L S dega δ adalah dkaor peyesora, berla jka daa dak ersesor da berla jka daa ersesor. Nla dperoleh dar m T, C,, 2,3,...,, dega T adalah waku hdup dvdu ke dega,..., da C adalah waku peyesora dvdu ke dega,...,. Sehgga ugs lkelhood dar dsrbus Ekpoesal uuk daa ersesor memlk beuk sebaga berku: Kemuda membeuk logarma aural l dar Persamaa, sehgga dperoleh log-lkelhood sebaga berku: θ δ θ θ L ;, θ e e δ θ θ e δ δ δ θ l L ; θ, δ lθ e l L ; θ, δ δ lθ θ 2 Uuk memperoleh la esmas, Persamaa 2 duruka parsal erhadap θ da meyamaka uruaya dega ol, sehgga:

4 26 S. FITRIA, HELMI, S. W. RIZKI maka ddapa, δlθ θ θ θ θ ML δ Esmas parameer ugs survval da ugs hazard dega meode MLE dar dsrbus Ekspoesal pada daa ersesor dperoleh: METODE BAYESIAN Pada meode Bayesa, keka suau populas megku dsrbus ereu dega suau parameer d dalamya msalka dalam hal θ, maka kemugka parameer θ megku suau dsrbus peluag ereu yag dsebu sebaga dsrbus pror. Dalam kasus, dsrbus Gamma deapka sebaga dsrbus pror sekawa uuk dsrbus Ekspoesal, sehgga dsrbus pror uuk θ alah: dega α da β. θ Dsrbus pror kemuda dgabugka dega ormas sampel yag dyaaka dega ugs lkelhood uuk membeuk dsrbus poseror [5]. Dsrbus poseror dperoleh dega cara membag ugs kepadaa peluag bersama dega ugs margal. Dsrbus poseror dyaaka sebaga berku: θ θ θ θ dθ Fugs kepadaa peluag θ da dsrbus pror, sedagka θ meujukka ugs lkelhood. θ masg-masg meujukka dsrbus poseror da Jka T ~ Ekspoesal θ da ugs kepadaa peluag dsrbus pror θ ~ Gamma α, β, maka dsrbus poseror dapa dyaaka sebaga ugs bersyara dar θ dega dkeahu, sehgga dapa dyaaka dega, Karea ; θ S e ML ML θ α β α βθ θ e α >, β >, θ > Γ α δ θ θ, θ, dapa dyaaka sebaga ; θ θ θ, dmaa 3 θ merupaka ugs lkelhood da θ merupaka dsrbus pror, maka berdasarka Persamaa da 3 maka h ML ML δ

5 Esmas Parameer Model Survval Daa Tersesor Dsrbus Ekspoesal. 27 θ, dapa dyaaka sebaga berku: θ, θ θ θ, θ e θ β β α δ α + + Γ α 4 Selajuya ugs margal dar yau: θ θ dθ Maka dega Persamaa 4 da 5 dsrbus poseror dapa dyaaka sebaga berku: θ α β Γ δ + α α Γ + β θ α δ α θ β β + + θ e Γ α α β Γ δ + α α Γ + β + β Γ δ + α θ e Berdasarka Persamaa 6, maka dkeahu bahwa dsrbus poseror dar dsrbus Ekspoesal alah berdsrbus Gamma δ + α, + β. METODE BAYESIAN SELF Esmas parameer uuk meode Bayesa yag dguaka dalam kasus alah Symmerc Loss Fuco yag dkeal sebaga Squared Error Loss Fuco SELF ddeska sebaga berku: θ, θ L θ θ < θ< 2 dega θ merupaka esmaor Bayesa SELF uuk parameer θ. Esmas Bayesa SELF dar θ pada dsrbus Ekspoesal uuk daa ersesor dperoleh dega memmumka ekspekas loss uco yag dperoleh sebaga berku: δ + α E L θ, θ θ δ + α δ + α δ + α θ + β 5 6

6 28 S. FITRIA, HELMI, S. W. RIZKI Sehgga dperoleh: 2 E θ θ θ 2 2 E θ 2θθ + θ θ E 2θ 2θ E θ θ ` θ θ 7 Berdasarka Persamaa 7 maka esmas parameer dega meode Bayesa SELF alah: maka ddapa, E Esmas parameer ugs survval da ugs hazard dega meode Bayesa SELF dar dsrbus Ekspoesal pada daa ersesor dperoleh: ; θ S e δ+ α β + δ+ α θ + β e Γ δ + α θ θ θ dθ θ E θ θ θ θ δ + α + β h ; θ δ + α + β STUDI KASUS Esmas parameer yag dperoleh dar meode MLE da meode Bayesa SELF dbadgka megguaka la Mea Square Error MSE dega daa yag dguaka alah daa waku survval 37 pase pedera kaker paru-paru yag dambl dar program R vers MSE dar sebuah esmaor uuk ugs survval da ugs hazard ddeska sebaga: MSE S E S S MSE h E h h δ + α + β Dar daa pedera kaker paruparu dkeahu bahwa E T 2.627, δ 28, 6663,

7 Esmas Parameer Model Survval Daa Tersesor Dsrbus Ekspoesal. 29 da β, 822 maka uuk esmas parameer dega meode MLE da meode Bayesa SELF dperoleh: , S ; θ e ; + S θ e h θ ML ML ML ML 28 ; h θ , 822 ;.7742 Sehgga dperoleh ugs survval da ugs hazard dar meode MLE da meode Bayesa SELF pada pedera kaker paru-paru dalam beuk grak sebaga berku: Grak perbadga meode MLE da meode Bayesa SELF Grak perbadga meode MLE da meode Bayesa SELF..8 Varable FS FS MLE FS Bayesa SELF.95 Varable HZ HZ MLE HZ Bayesa SELF ugs survval.6.4 ugs hazard waku survval waku survval 8 Gambar Grak perbadga ugs survval da ugs hazard Dar Gambar dapa dlha bahwa uuk ugs survval, jka semak lama dvdu medera peyak kaker paru-paru maka semak kecl peluag uuk dvdu dapa beraha hdup aau meuju kemaa. Fugs hazard dsrbus Ekspoesal berupa hazard kosa yag berar poes dvdu uuk mejad seha seap saa, selama perode pegamaa eap kosa. Selajuya, la MSE yag dhug megguaka Persamaa 8 da Persamaa 9 damplka pada Tabel sebaga berku: Tabel Hasl perbadga meode MLE da Meode Bayesa SELF Mea Square Error MSE Meode Esmas Dar Tabel erlha bahwa uuk ugs survval da ugs hazard meode Bayesa SELF memlk la MSE lebh kecl dar pada meode MLE. Berdasarka la MSE hasl esmas uuk parameer θ dperoleh meode Bayesa SELF lebh bak dar pada meode MLE yag dguaka uuk megesmas model survval berdsrbus Ekspoesal dega daa ersesor. Dar hasl esmas dega meode Bayesa SELF, jka dambl sebarag la pada daa pedera kaker paru-paru dega 3, 2, 3 2, 4 553, da maka dapa dkeahu peluag dvdu dapa beraha hdup sebaga berku: ,822 S ; θ e, ,822 S ; e, 46 2 θ ,822 S ; e, θ S h MLE,3 2,9728E-7 Bayesa SELF,244 2,355E-7

8 22 S. FITRIA, HELMI, S. W. RIZKI ,822 S ; e, 38 4 θ ,822 S ; e, 4 5 θ Sehgga dkeahu peluag seorag pase pada kasus uuk beraha hdup jka megdap peyak kaker paru-paru selama 3 har adalah,7927, selama har adalah,46, selama 2 har adalah,226, selama 553 har adalah,38 da 999 har adalah,4. Dar hasl perhuga ersebu dapa dlha bahwa semak lama seorag pase megdap peyak kaker paru-paru maka peluag hdup pase aka semak kecl medeka ol, hgga akhrya megalam kemaa. PENUTUP Esmas parameer model survval dsrbus Ekspoesal daa ersesor dega megguaka meode MLE da meode Bayesa SELF dlakuka dega daa waku survval 37 pase pedera kaker paru-paru yag dambl dar program R vers Nla MSE yag dperoleh dar meode Bayesa SELF uuk ugs survval da ugs hazard alah,244 da 2,355E-7, sedagka la MSE yag dperoleh dar meode MLE uuk ugs survval da ugs hazard alah,3 da 2,9728E-7. Berdasarka la MSE dperoleh meode Bayesa SELF lebh bak dar pada meode MLE karea memlk la MSE lebh kecl. Hasl esmas meode Bayesa SELF uuk sud kasus pedera kaker paru-paru dapa dkeahu peluag seorag pase uuk beraha hdup pada kasus jka megdap peyak kaker paru-paru selama 3 har adalah,7927, selama har adalah,46, selama 2 har adalah,226, selama 553 har adalah,38 da 999 har adalah,4. DAFTAR PUSTAKA []. Klebaum, D.G. ad Kle, M. Survval Aalyss : A Sel-Learg Tex. New York: Sprger Scece Busess Meda, Ic; 25. [2]. Berger, James O. Sascal Decso Theory ad Bayesa Aalyss. New York: Sprger- Verlag; 985. [3]. Lawless, J.F. Sascal Models ad Mehod or Leme Daa. New York: Joh Wley ad Sos; 982. [4]. Lee, E.T. ad Wag, J.W. Sascal Mehods or Survval Daa Aalyss. Caada: Joh Wley & Sos Ic; 23. [5]. Soejoe, Z. da Soebaar. Ieres Bayesa. Jakara: Karuka Uversas Terbuka;988. SYARIFAH FITRIA : Fakulas MIPA Uversas Tajugpura, Poaak, syarahra77@gmal.com HELMI : Fakulas MIPA Uversas Tajugpura, Poaak, Helm3225@yahoo.co.d SETYO WIRA RIZKI : Fakulas MIPA Uversas Tajugpura, Poaak, seyo.wrarzk@mah.ua.ac.d