Regression Logistic Model for Multivariate biner Response by Generalized Estimating Equation

Transkripsi

1 Model Regres Logstk utuk Resos Ber Multvarate dega Geeralzed Estmatg Euato Oleh : Jaka Nugraha, Suryo Gurto & Sr Haryatm Kartko. Jurusa Statstka, FMIPA UII. Emal: ugraha@fma.u.ac.d.jurusa Matematka FMIPA UGM Abstrak Dalam makalah aka dbahas model regres utuk data kategork multvarate, khususya reso ber (dkotoms. Utuk megestmas arameter ada model margal, aka dguaka edekata Ideedet Estmatg Euato (IEE da edekata Geeralzed Estmatg Euatos (GEE. Proses teras megguaka metode scorg utuk meyelesaka ersamaa eaksr dega rogram R. Dar hasl smulas, deroleh bahwa edekata GEE meghaslka eaksr arameter dega varas yag lebh kecl dbadgka dega edekata IEE. Kata kuc : model margal, fugs lk,iee, GEE Regresso Logstc Model for Multvarate ber Resose by Geeralzed Estmatg Euato Abstract hs aer wll dscuss about regresso model for multvarate categorcal resose, esecally for ber resose (dchotomus. o estmate aramters margal model, t wll used aromato Ideedet Estmatg Euato (IEE ad Geeralzed Estmatg Euatos (GEE. Iterato rocess erformade by scorg methods to solve estmatg euato usg R rograme. Results show that GEE aroach gve lower varace estmatg arameter tha that of IEE aroach Key words : margal model, lk fuctos, IEE, GEE. Pegatar Aalss ada reso data kotu da dasumska berdstrbus Gausa, basaya dguaka aalss model lear. Dalam reso ber, yag basaya dlh model o lear utuk mea, model aka membuat kesulta terretas model margalya. Model efek radom, seauh sagat sedkt yag dkembagka utuk reso ber dbadgka dega reso kotu. GEE meruaka edekata yag meark utuk reso ber multvarate, yag maa tdak memerluka sesfkas legka ada dstrbus gabuga. Dasumska bahwa N dvdu masg-masg dobservas sebayak J reso. Y adalah reso ke ada dvdu/subek ke da seta resoya adalah ber. Sehgga reso ada dvdu ke, daat dsaka dalam betuk Y (Y,.,Y J sebaga vektor J, dmaa varabel radom ber Y ka subek memuya la (sukses ada reso da 0 utuk yag la. Seta dvdu memuya vektor covarate berukura P utuk seta reso da (,, J t meruaka matrk kovarate JP utuk dvdu. Sehgga data utuk dvdu ke- bers observas (Y,. Dresetaska dalam Semar Nasoal MIPA 006 dega tema "Peelta, Peddka, da Peeraa MIPA serta Peraaya dalam Pegkata Kerofesoala Peddk da eaga Keeddka" yag dseleggaraka oleh Fakultas MIPA UNY, Yogyakarta ada taggal Agustus 006

2 Jaka Nugraha, Suryo Gurto & Sr Haryatm Kartko Dstrbus margal Y adalah Beroul da model margalya adalah [6] f(y / e[y θ -log{+e(θ }], ( dmaa dasumska bahwa θ log[π /(-π ] t β da π π (β E(Y r(y, β yag meruaka robabltas sukses utuk reso da β adalah vektor arameter berukura P. Dalam hal kta haya membuat asums ada dstrbus margal Y. Model margal daat dtulska sebaga e( β π r(y, β utuk,, J + e( β ( da (,.., adalah matrk. Model damaka model margal regres logstk. Selautya π (β daat dkelomokka bersama-sama ke betuk vektor π (β yag memuat robabltas margal sukses, π (β E(Y (π,., π J t. Pada reso ber, fugs lk logt adalah yag basa dlh, ada rsya sebarag fugs lk daat dguaka. Dalam makalah aka dbahas dua edekata estmas arameter, yatu IEE da GEE dar data smulas dega rogram R. Dambl kasus utuk data ber bvarate da tr varate. Sebaga embadg hasl, data uga destmas secara arsal dega geeralzed lear model.. Model Observas Ideede Jka datara J reso dasumska salg deede, maka dstrbus bersama resos ber tersebut adalah f(y e (3 J y θ J log[ + e( θ ] Peaksra arameter regres logstk dega edekata IEE megasumska bahwa vektor Y-,.,Y sebaga ulaga observas adalah deede da asaga observas margal Y,.Y J uga salg deedet deede. eorema. Peaksr utuk IEE dar β katakalah βˆ I adalah suatu eyelesaa dar ersamaa Bukt: π (Y 0 dega (,. da π (π,,π, Y adalah vektor observas. M - 40 Semar Nasoal MIPA 006

3 Jaka Nugraha, Suryo Gurto & Sr Haryatm Kartko Y dega,,..j da,., meruaka keada Beroul, sehgga destas margal Y daat dyataka sebaga θ f(y e[ y θ l{ + e(θ }] θ θ θ Karea Y,.,Y sebaga ulaga observas adalah deede, demka uga asaga observas margal Y,.Y deede maka fugs log-kemugka utuk dvdu ke- adalah f(y e[ y θ L l f(y y θ l[+ e(θ ] l[ + e(θ ] Kemuda fugs d atas ddervatfka terhada β utuk dvdu ke- adalah L selautya. L y - L y E(y y - π e(θ + e(θ L L L. L y y Y - π.. y. M - 4 Semar Nasoal MIPA 006

4 Jaka Nugraha, Suryo Gurto & Sr Haryatm Kartko. t e(θ [+ e(θ ] 0 π ( π Var(Y ka t ka t ad Var(Y Var(Y 0 Dag{ Cov(Y} Var(Y 3.. Karea π e( β, maka + e( β e( β. [+ e( β ] Var(Y Sehgga [ Var Y Var( Y. Var( Y ] ( Var(Y Var(Y Var(Y dega Dag{Cov(Y } Dar (, ( da (3 deroleh L 0 (Y - π Var(Y Var(Y Var(Y. Var(Y Var(Y. Var(Y L Dag{Cov(Y }[Dag{ Cov(Y }] - (Y - π M - 4 Semar Nasoal MIPA 006

5 Jaka Nugraha, Suryo Gurto & Sr Haryatm Kartko Kemuda eaksr kemugka maksmum utuk arameter β adalah eyelesaa dar L L Derevatf ke dua dar fugs lkelhood adalah L ( (y (y - ( π [ dag( Cov( Y ] I(β basa dsebut dega matrk formas. Lemma. Peyelesaa ersamaa eaksr IEE dega megguaka metode Newto-Rahso ada teras ke-t+ adalah β (t+ β (t + Dag{π (t ( π (t } (t (Y (4 Bukt: Rumus dar metode ewto ramso adalah β (t+ β (t (H (t - (t dasumska H (t osgular. L(β L(β β da H L(β.. L(β L(β L(β (t da H (t meruaka suku taksra ada β (t, yatu eduga ke-t dar β (t 0,,,. D atas telah dhtug bahwa M - 43 Semar Nasoal MIPA 006

6 Jaka Nugraha, Suryo Gurto & Sr Haryatm Kartko da (t L (y H I (β - Dag[ π ( ] H (t Dag{π Sehgga terbukt bahwa (t ( π (t } β (t+ β (t (t (t (t + Dag{π ( π } (Y Sela metode Newto Raso, metode la yag kadag-kadag lebh sederhaa adalah metode scorg []. Metode scorg deroleh dega meggat matrk H, yatu derevatf kedua dar ersamaa, dgat dega matrk E(H. L(β E(H E ab -Dag[ πˆ (- πˆ ] Sehgga ersamaa teras dega metode scorg adalah β (t+ β (t + (5 Matrk kovarasya adalah Dag{πˆ (t ( πˆ (t } (t (Y Cov( βˆ Dag{πˆ ( πˆ } Cov(Y (6 Dag{πˆ ( πˆ } Peaksr kemugka maksmum dega edekata IEE d atas meghaslka eaksr yag selaras da Normal asmtots []. M - 44 Semar Nasoal MIPA 006

7 Jaka Nugraha, Suryo Gurto & Sr Haryatm Kartko eorema. βˆ I adalah eaksr utuk β yag selaras da / (βˆ I-β berdstrbus asmtots Multvarate Normal (Gausa ada dega mea ol da matrk kovaraya lm Bukt: Cov(Y Adaka b sebaga eaksr dar β berdasarka edekata deret aylor orde ertama, vektor skore U (β utuk la β b adalah U (β U(b + H(b( β - b dega H(b I(b, yatu matrk dervatf ke-dua dar fugs log-kemugka ada βb da UU -H. Dketahu bahwa γ E(-H Cov(Y Selautya utuk samel besar U (β U(b - γ( β - b Karea U(b 0 maka (b -β γ - U (β Dasumska γ kostata da o sgular, da karea E{U (β } 0 maka E(b -β γ - E{U (β } 0 sehgga b adalah eaksr tak bas asmtots utuk β. Matrk kovaras utuk b adalah E[(b -β(b -β ] γ - E(UU γ - γ - sebab γ E(UU da γ - matrk smetrs. Utuk samel besar (b -β ~ N(0, γ - / (b -β ~ N(0, γ - Pada umumya, erulaga ada dvdu yag sama megakbatka adaya korelas, hal berakbat vers dar matrk formas tdak selaras [3]. Dega adaya asums deede atar reso, MLE ada regre logstk meghaslka estmas yag kosste da Asymtots ormal []. Namu secara umum, ka terdaat korelas atar reso ber, megakbatka vers dar estmator matrk formas mead tdak kosste. Lag da Zeger [3] megusulka egguaa estmator robust utuk meaksr varas yag kosste terhada korelas atar reso. Ketka korelas atar M - 45 Semar Nasoal MIPA 006

8 Jaka Nugraha, Suryo Gurto & Sr Haryatm Kartko reso tdak terlalu besar, Lstz, S.R., Lard, N.M., da Harrgto, D.P. [5] megusulka estmator MLE d atas mash cuku efse. 3. Pedekata GEE Utuk megkatka efses eaksra arameter model margal, Lag da Zeger [3,4] da Pretce [7] telah megembagka GEE. Pedekata GEE meghaslka estmator kosste utuk arameter regres, d bawah secfkas yag bear utuk fugs mea, π yag meruaka vektor resos utuk masg-masg dvdu. GEE utuk β ddefska sebaga U(β D (7 dega D dtulska sebaga V / V (Y π 0 da V adalah edekata utuk matrk kovaras. V daat R ( α / / dega Dag{Cov(Y } da ddefska Dag{ var(y var(y } R (α Corr(Y meruaka matrk JJ. α meuukka vektor arameter yag berkata dega model tertetu utuk Corr(Y. Koefse korelas berasaga dasumska ρ sr (α corr(y s,y r utuk,,.. da s,r,, J. Utuk megestmas R, ddefska J(J-/ vektor korelas emrk, r dega eleme-eleme r st (8 ( Ys s ( Yt t [ π ( π ( ] s s t t / Catata bahwa E(r rs ρ rs corr(y s,y t. GEE utuk regres logstk dega megguaka matrk korelas R (α adalah U(β V (9 (Y π 0 Persamaa daat dselesaka dega metode Newto-Rahso atauu dega metode Scorg. Persamaa terasya adalah M - 46 Semar Nasoal MIPA 006

9 Jaka Nugraha, Suryo Gurto & Sr Haryatm Kartko β (t+ β (t + V - V (Y (t (0 Lag da Zeger (989[4], meuukka asmtots dega matrk kovara βˆgee adalah selaras da berdstrbus ormal secara cov( βˆgee lm ( D V - D - ( ( atau daat dtulska sebaga D V - Cov(Y V - D ( D V - D - Cov( βˆ ( V - V Cov(Y V V - Peaksra cov( βˆgee daat deroleh dega meggat Cov(Y dega (Y - ˆ (Y- ˆ da meggat arameter ρ dega ρˆ. Peaksr cov( βˆgee "robust" karea selaras mesku V Cov(Y. Jka emlha R(α teat, dalam art R(α meyataka korelas sesugguhya dar Y maka V Cov(Y. βˆ ot adalah eaksr "otmal" utuk β yag meruaka eyelesaa dar GEE ada V Cov(Y, sehgga [3] cov( βˆ ot lm ( D V - D - ( D V - V V - D ( D V - D - lm ( D V - D - (3 Msal utuk reso bvarate (J, da korelas berasaga dtaksr dega [5] ρ r ( Y ( Y [ π ( π ( ] (4 adalah korelas dvdu ke-. da V ρ (5 Utuk reso trvarate (J 3, ρ / M - 47 Semar Nasoal MIPA 006

10 Jaka Nugraha, Suryo Gurto & Sr Haryatm Kartko V ρ ρ ρ ρ ρ ρ (6 4. Smulas Estmas arameter dega IEE da GEE Dalam bab aka dlakuka estmas arameter megguaka GEE da IEE berdasarka data yag dbagktka dega varabel deede da robabltas sukses dketahu. Dalam hal dambl kasus utuk data bvarat da trvarate dega satu varabel deee. Fugs learya adalah f( a + b dega a da b-. Probabltas sukses (π adalah π e{f( }/[+ e{f( }] Proses erhtuga megguaka rogram R.30. dega komuter RAM 56 Prosesor Itel Petum,76 Gga. Smulas dlakuka utuk beberaa, yatu 00, 500, 000 da 000. Lagkah-lagkah smulas adalah sbb:. bagktka data utuk varable deedet ~ N(µ,σ da z ~ UNIF(0,, z ~ UNIF(0, + z da 3 + z. htug robabltas π, π, π 3 berdasarka varabel deede tersebut 3. Dar la robabltas yag terbetuk, bagktka data Y bomal (π.,,3 da,, 4. Car eaksr arameter dega metode Newto Rahso da scorg utuk cara IIE da GEE. Sebaga embadg, dlakuka estmas arameter dega GLM secara arsal 5. Htug efses atara IEE da GEE utuk masg-masg eaksr robust da eaksr otmal. Dar roses smulas yag telah dlakuka, daat dcatat beberaa hal yatu. dar rumus korelas r, berart harus dsyaratka bahwa π 0 atauu π.. utuk GEE dsyaratka bahwa matrk formas harus o sgular atau matrk V adalah o sgular. Hasl smulas adalah. Secara umum GEE meghaslka eaksr yag memuya varas lebh kecl dbadgka dega IEE, bak utuk easr robust mauu eaksr otmal M - 48 Semar Nasoal MIPA 006

11 Jaka Nugraha, Suryo Gurto & Sr Haryatm Kartko. Peaksr utuk IEE laya lebh dekat dega la arameter yag sesugguhya (a da b - dbadg eaksr GEE. 3. Peaksr otmal utuk IEE sama dega eaksr GLM yag dlakuka secara arsal (masg masg Y secara tersah. 5. Smula. Pedekata GEE meark, yag daat drgkas sebaga berkut. memberka eaksr yag kosste utuk βˆ, da haya memerluka sesfkas utuk π(β da meghaslka eaksr dega varas yag lebh kecl dbadg eaksr IEE.. Jka emlha korelas dlakuka secara teat, maka aka deroleh eaksr yag kosste. 3. walauu emlha corelato tdak deroleh secara teat, eaksr yag kosste mash daat deroleh dega eaksr robust. 4. kelemaha utama edekata GEE adalah dalam roses teras deroleh matrkv yag sgular. Daftar Pustaka [] Agrest A. (990, Categorcal Data Aalyss, Joh Wley & So [] Ftzmaurce, G.M., Lard N.M., Rattzky, A.G. (993 Regresso Models for Dscrete Logtudal Resoses. Statstcal Scece Vol. 8 No [3] Lag, K.Y., da Zeger,S.L (986. Logtudal data aalyss usg geeralsed lear models, Bometrka 73, 3-. [4] Lag, K.Y., da Zeger, S.L., (989. A class of logstc regresso models for multvarate bary tme seres. Joural of the Amerca Statstcal Assosato 84, [5] Lstz, S.R., Lard, N.M., da Harrgto, D.P. (990. Mamum lkelhood regresso models for ared bary data. Statstcs Medce 9, [6] McDoald B.W. (993 Estmatg Logstc Regrsso Parameters for Bvarate Bary Data. Joural of he Royal Statstcal Socety, Seres B 55, [7] Pretce, R.L. (988 Correlated bary regresso wth covarates secfc to each bary observato. Bometrcs 44, M - 49 Semar Nasoal MIPA 006

12 Jaka Nugraha, Suryo Gurto & Sr Haryatm Kartko LAMPIRAN abel. Outut rogram estmas arameter data bvarate ada N00 GLM BEA SE Z Value A B A B IEE,R[]0 BEA Cov Z Value Cov Z value A B A B GEE,R[] BEA Cov Z Value Cov Z value A B A B abel. Outut rogram estmas arameter data bvarate ada N500 GLM BEA SE Z Value A B A B IEE,R[]0 BEA Cov Z Value Cov Z value A B A B GEE,R[] BEA Cov Z Value Cov Z value A B A B abel 3. Outut rogram estmas arameter data bvarate ada N000 GLM BEA SE Z Value A B A B IEE,R[]0 BEA Cov Z Value Cov Z value A B A B GEE,R[] BEA Cov Z Value Cov Z value A B A B M - 50 Semar Nasoal MIPA 006

13 Jaka Nugraha, Suryo Gurto & Sr Haryatm Kartko abel 4. Outut rogram estmas arameter data rvarate ada N00 GLM BEA SE Z Value A B A B A B IEE,R[]0 BEA Cov Z Value Cov Z value A B A B A B GEE,R[] BEA Cov Z Value Cov Z value A B A B A B abel 5.Outut rogram estmas arameter data rvarate ada N500 GLM BEA SE Z Value A B A B A B IEE,R[]0 BEA Cov Z Value Cov Z value A B A B A B GEE,R[] BEA Cov Z Value Cov Z value A B A B A B M - 5 Semar Nasoal MIPA 006

14 Jaka Nugraha, Suryo Gurto & Sr Haryatm Kartko abel 6. Outut rogram estmas arameter data rvarate ada N000 GLM BEA SE Z Value A B A B A B IEE,R[]0 BEA Cov Z Value Cov Z value A B A B A B GEE,R[] BEA Cov Z Value Cov Z value A B A B A B abel 7. Outut rogram estmas arameter data rvarate ada N000 GLM BEA SE Z Value A B A B A B IEE,R[]0 BEA Cov Z Value Cov Z value A B A B A B GEE,R[] BEA Cov Z Value Cov Z value A B A B A B M - 5 Semar Nasoal MIPA 006