Peramalan Deret Waktu Multivariat Seasonal pada Data Pariwisata dengan Model Var-Gstar

Transkripsi

1 Jural ILMU DASAR Vol. No., uar 2 : 9 Peramala Dere Waku Mulvara Seasoal pada Daa Parwsaa dega Model Var-Gsar Seasoal Mulvara Tme Seres Forecasg O Toursm Daa by Usg Var-Gsar Model Dhorva Urwaul Wusqa ) & Suharoo 2) ) Jurusa Maemaka, Uversas Neger Yogyakara, Yogyakara 2) Jurusa Saska, Isu Tekolog Sepuluh Nopember, Surabaya ABSTRACT Ths research eds o sudy a ew approach VAR-GSTAR (Vecor Auoregressve-Geeral Space-Tme Auoregressve) model for forecasg seasoal mulvarae me seres. The parameers of he model are esmaed by Leas Squares mehod. I hs research, we also derve he asympoc properes of he parameer esmaor, whch yeld he cossecy ad mulvarae ormal asympoes dsrbuo. Based o hose properes, we buld he procedure for fdg he bes model seasoal mulvarae me seres, ad he apply o he umber of foreg ourss Yogyakara ad Bal daa. The resul from VAR-GSTAR model s compared wh he resul from he sadard mulvarae me seres. The comparso resul demosraes ha he procedure of VARMA model ca o carry ou he seasoal lags o he order of he model. Ths problem ca be hadled by he VAR-GSTAR model. The erpreao of VAR-GSTAR model s more realsc ha ha of VARMA model,.e. he umber of foreg ourss Yogyakara depeds o ha Bal, bu o he oppose, whereas VARMA model yelds he oppose resul. Addoally, he resul of forecas accuracy comparso o oursm daa Yogyakara ad Bal shows ha VAR-GSTAR model gve beer forecas ha VARMA model. Keywords: VAR-GSTAR model, VARMA model, seasoal, oursm daa PENDAHULUAN Daa dere waku dalam beberapa sud emprk sergkal erdr dar pegamaa dar beberapa varabel, aau dkeal dega daa dere waku mulvara. Sebaga cooh, dalam sud eag suau pejuala, varabel-varabel yag mugk erlba adalah volume pejuala, harga, da baya kla. Uuk memodelka masalah yag melbaka daa dere waku mulvara dguaka model VARMA (Vecor Auoregressve Movg Average), yag merupaka perluasa dar model ARMA. Model mejelaska keerkaa aar pegamaa pada varabel ereu pada suau waku dega pegamaa pada varabel u sedr pada waku-waku sebelumya, da juga keerkaaya dega pegamaa pada varabel la pada wakuwaku sebelumya. Suau seres = [,,..., ], =, 2, m,,,2,3,... merupaka proses VARMA(p,q) jka sasoer da jka uuk seap, Φ ( B) = Θ ( B) a () p q dega {a } adalah barsa vekor yag whe ose dega mea ol da varas kosa. Φ ( B) da Θ ( B) beruru-uru p q adalah suau marks auoregressve da movg average polomal orde p da q. Model yag haya memua parameer auoregressve dsebu model Vecor Auoregressve order p aau VAR (p) da model dega parameer movg average dsebu model Vecor Movg Average order q aau VMA (q). Dalam aalss dere waku basa djumpa daa-daa yag dak sasoer. Model VARMA yag osasoer dapa dyaaka dalam beuk Φ ( BDB ) ( ) = Θ ( B )a p q (2) dega operaor dfferecg d d d 2 DB ( ) = dag(( B), ( B),..., ( B) m ) Secara umum prosedur uuk medapaka model erbak pada proses mulvara (model VARMA) megacu pada meode Box-Jeks (994). Kaja erapa pada daa fasal elah dlakuka oleh Tsay (25).

2 2 Peramala Dere Waku (Dhorva U. W. & Suharoo) Suau beuk khusus dar model VARMA adalah model yag meggabugka erdepedes waku da lokas yag dkeal dega model space-me auoregressve (STAR). Model dperkealka oleh Pfefer, & Deusch (98a & 98b). Peerapa model elah dlakuka oleh Gacom & Grager (24) d bdag ekoom, Kamaraaks & Prasacos (25) pada masalah rasporas da Kyryakds & Jourel (999) pada daa Geosask. Model yag lebh fleksbel sebaga geeralsas dar model STAR adalah model geeral space-me auoregressve (GSTAR). Berbeda dega model STAR, model GSTAR dak mesyaraka bahwa la-la parameer sama uuk semua lokas. Oleh karea u model GSTAR lebh realss, karea pada keyaaya lebh bayak demu model dega parameer model berbeda uuk lokas yag berbeda. Kaja eors berkaa dega sfa asmos dar parameer model GSTAR da peeua bobo aar lokas dberka oleh Lopuhaa & Borovkova (25) da Suharoo da Subaar (26 & 27). Nura (22) meerapka model GSTAR pada daa produks myak bum. Hasl perbadga model VARMA da GSTAR yag dlakuka oleh Suharoo (25) meujukka bahwa peramala dega model GSTAR lebh akura. Teap, pada proses pembeuka model dar seg eor maupu mplemeas dega pake program sask dperoleh bahwa model VARMA lebh fleksbel da sempura. Dar beberapa kaja yag elah dlakuka mash erbaas pada daa dere waku mulvara yag sasoer, eap belum melbaka pola musma aau seasoal. Beberapa cooh daa dere waku yag mempuya pola seasoal daaraya daa parwsaa (bayak wsaawa), daa hdrolog seper curah huja da deb ar, da daa peumpag pesawa. Uuk meaga daadaa yag megadug pola seasoal pada kasus dere waku mulvara dalam peela dkembagka suau prosedur uuk medapaka model dere waku mulvara dega pola seasoal. Model yag dkaj dalam peela adalah model yag dbagu dega pedekaa VAR-GSTAR (Vecor Auoregressve-Geeral Space-Tme Auoregressve). Model VAR-GSTAR merupaka model VAR dega skema respo predkor yag drepreseaska dalam skema pada model GSTAR. Dalam peela juga dbahas kaja erapa erhadap model VAR-GSTAR uuk medapaka suau model sask yag epa yag dapa mejelaska keerkaa aara bayak wsaawa macaegara yag daag ke Yogyakara da Bal. Hal megga bahwa Bal da Yogyakara merupaka dua koa d Idoesa yag sergkal mejad ujua uama para wsaawa aau urs macaegara, sehgga dmugkka ada keerkaa aara bayak wsaawa macaegara kedua koa ersebu. Model sask yag sesua uuk megeahu hubuga aara kods parwsaa kedua koa ersebu adalah model me seres mulvara. Karea daa parwsaa khususya jumlah wsaawa macaegara yag daag ke Yogyakara da Bal cederug mempuya pola seasoal, maka daa ersebu saga epa djadka sebaga sud kasus uuk aplkas model me seres mulvara yag megadug pola seasoal. METODE Peela erdr dar dua macam kegaa, yau kaja laju secara eors berkaa dega pembeuka model pada daa dere waku seasoal da kaja erapa berupa peerapa model yag dperoleh uuk medapaka suau model sask yag epa yag dapa mejelaska keerkaa aara jumlah wsaawa macaegara yag daag ke Yogyakara da Bal. Peela megguaka daa sekuder yau daa jumlah kujuga wsaawa macaegara yag daag ke Yogyakara da Bal, yag dapa daggap sebaga dkaor bak dakya kods keparwsaaa d kedua koa ersebu. Daa ersebu derbka oleh Bada Pusa Sask (BPS) Props Daerah Ismewa Yogyakara da Props Bal (BPS 26). Koa Yogyakara da Bal dplh sebaga subyek peela, dkareaka dua koa ersebu merupaka dua koa parwsaa erpeg d Idoesa sera dmugkka erjad erdepedes aara jumlah wsaawa kedua koa ersebu. Kaja eors berkaa dega model dere waku mulvara VAR-GSTAR yag mecakup esmas parameer model da sfa asmos dar peduga parameer. Prosedur uuk medapaka model dere waku mulvara yag megadug pola seasoal dbeuk melalu pedekaa model VAR-GSTAR dega baua pake program MINITAB, melalu ahapa-ahapa defkas, esmas parameer, dagosc check, sampa dega perhuga peramala. Hal dlakuka karea program yag erseda uuk model VARMA, yau PROC STATESPACE dak dapa meagkap pola seasoal. Hasl yag dperoleh dar model VAR-GSTAR dbadgka dega

3 Jural ILMU DASAR Vol. No., uar 2 : 9 3 hasl peramala yag dperoleh dar model baku uuk me seres mulvara HASIL DAN PEMBAHASAN Ada dua macam kaja uama yag elah dlakuka dalam peela. Kaja perama adalah kaja eors eag dsrbus asmos dar esmaor model VAR-GSTAR, da pembeuka prosedur baru uuk pemodela VAR-GSTAR pada daa dere waku mulvara yag seasoal. Kaja kedua adalah kaja emprs berkaa dega mplemeas prosedur yag dperkealka pada suau daa real, yau daa wsaawa macaegara yag daag ke Yogyakara da Bal. Pada baga, dlakuka pula perbadga keepaa ramala aara model VAR-GSTAR dega model VARMA. Model Var-Gsar uuk daa dere waku mulvara yag megadug pola Seasoal Model VAR-GSTAR merupaka model VAR dega represeas model GSSTAR. Model VAR(p) dberka oleh rumus berku, = Φ + L + Φ + a. (3) p p dega Φ adalah marks koefse berukura m x m da dega { a } IIDN(, Ω ) Uuk membawa model ersebu dalam represeas model GSTAR dperluka beberapa oas berku. Perama-ama dasumska erdapa sejumlah pegamaa. Beuk vekor respo Y = ( Y, Y,..., Y ) Y = ( Y 2 m, Y 2..., Y m), marks X = dag(x, X 2,, X m ), vekor parameer β = ( φ, φ..., φ ) da vekor 2 m resdual (error) a = ( a, a 2,..., a ), dega m ( ) ( ) ( ) ( ) φ = ( φ, K, φ,..., φ, K, φ m ), Y = X =,, m p, p,, p+, p+ 2 M,, L L L, p m, p, m, M O M O M O M L L L m, p m,,, p, a, p+ a, p+ 2 da a =. M a, Dega demka model VAR(p) dapa dyaaka dalam beuk model Y = Xβ + a (4) yag dalam peela dsebu sebaga model VAR-GSTAR. Esmas erhadap parameer model dlakuka dega meode Leas Squares, yau dega memmumka fugs E = Y βx ˆ Y βx) ˆ, ( ) ( yag meghaslka esmaor uuk β adalah ( ) ( ˆ ) β = XX XY (5) Khususya uuk vekor ( ) ( ) ( ) ( ) parameer φ = ( φ, K, φ,..., φ, K, φ ),,, m p, p, m =,,m ( ) ( ) ˆ φ = XX XY ι (6) Esmaor uuk Ω dberka oleh ˆ Ω = E[( aˆ E( aˆ)) ( aˆ E( aˆ))] = E( aa ˆˆ ) = aa ˆˆ. (7) Sfa asmos peduga parameer uuk β (5) da uuk Ω (7) dberka oleh Proposs. yag merupaka modfkas Teorema dar Hamlo (994). Buk Proposs. berku secara legkap dsajka oleh Dhorva da Suharoo (27) Proposs. Msalka { } adalah proses VAR(p) seper pada persamaa (4), yag sasoer dega { } d dega mea da a varas Ω, E(a a a a ) uuk seap, j, l, r. j l r Jka βˆ da ˆΩ meyaaka LSE dar parameer β da Ω yag dperoleh pada (5) da (7) dar sampel dega pegamaa, maka berlaku sfa-sfa berku: (a). ( / ) XX Q dega Q = E( XX ); P (b). β ˆ β; P P (c). Ω ˆ Ω ;

4 4 Peramala Dere Waku (Dhorva U. W. & Suharoo) d (d). ( ˆ β β) N(, Ω Q ), dega meyaaka hasl kal Kroecker. Model VAR-GSTAR yag megadug pola seasoal mempuya beuk umum sama dega model (4), dega memasukka lag seasoal kedalam pu model sesua represeas GSTAR. Secara umum prosedur uuk medapaka model erbak pada proses mulvara megacu pada meode Box-Jeks, yag dsajka dalam Gambar. Karakersk dar prosedur yag dbeuk erleak pada ahap esmas parameer, yag dlakuka dega megguaka hasl (5) da Proposs. uuk uj sgfkas parameer. Uuk ahap-ahap yag la megguaka eor-eor yag basa dguaka pada daa dere waku. Posulaska Kelas Umum Model Tahap IDENTIFIKASI model dugaa semeara (Megguaka ACF da PACF) Proses Sasoer? TIDAK Adakah pola seasoal? TIDAK YA YA Lakuka Dfferecg Tahap ESTIMASI (Esmaska parameer model) Lakuka Dfferecg da masukka lag seasoal ke dalam model TIDAK Tahap DIAGNOSTIC CHECK (Verfkas apakah model sesua?) YA Tahap FORECASTING (Guaka model uuk peramala) Gambar. Prosedur pembeuka model dere waku mulvara Seasoal dega pedekaa GSTAR.

5 Jural ILMU DASAR Vol. No., uar 2 : 9 5 Deskrps daa parwsaa Daa dalam peela dperoleh dar BPS Yogyakara da Das Parwsaa Bal. Daa ersebu merupaka daa jumlah wsaawa macaegara dar Yogyakara da Bal, yag merupaka daa bulaa selama perode bula uar 998 sampa dega Desember 25. Deskrps dar daa ersebu dega megguaka plo dere waku dapa dlha pada Gambar 2. Plo d bawah meujukka bahwa dere waku ersebu dak sasoer da cederug berpola seasoal dega peak pada umumya erjad pada bula Agusus (lag 8). Hasl emprs pada daa parwsaa Perama-ama aka dberka hasl perhuga dega program MINITAB dar model VAR- GSTAR. Tahap defkas pada proses pembeuka model VARMA seasoal dega pedekaa GSTAR dlakuka melalu defkas plo dere waku, ACF (Auocorrelao Fuco), PACF (Paral Auocorrelao Fuco). Plo ACF da PACF dberka dalam Gambar 3 da Gambar 4. Gambar-gambar ersebu meujukka adaya pola musma, sehgga dlakuka proses dfferecg o seasoal da seasoal 2, da deuka varabel predkor o seasoal adalah lag da predkor seasoal adalah lag 2. Lagkah selajuya adalah membeuk srukur daa GSTAR sebagamaa dsebuka d aas. Dega demka srukur predkorrespo adalah sebaga berku ( ) X = X X X X X X X X ( ) 2( ) ( 2) 2( 2) = ( ) 2( ) ( 2) 2( 2) da Y = (8) 2 Varabel da beruru-uru mewakl 2 daa jumlah wsaawa macaegara d Yogyakara da Bal yag elah dsadarsas da dproses dfferecg. Berdasarka srukur daa (8) dlakuka esmas dega meode leas square dega skema backward. Proses perhuga dkerjaka melalu pake program MINITAB 4. Tabel. adalah hasl akhr dar proses esmas. Tme Seres Plo of Yogyakara Tme Seres Plo of Bal Yogya 8 6 Bal Moh Year Moh Year Gambar 2. Plo dere waku daa jumlah wsaawa macaegara d Yogyakara da Bal. Fugs Auokorelas uuk Yogyakara (wh 5 sgfcace lms for he auocorrelaos) Fugs Auokorelas uuk Bal (wh 5 sgfcace lms for he auocorrelaos) Auokorelas Auokorelas Lag Lag Gambar 3. Fugs Auokorelas dar daa jumlah wsaawa macaegara d Yogyakara da Bal.

6 6 Peramala Dere Waku (Dhorva U. W. & Suharoo) Fugs Auokorelas Parsal uuk Yogyakara (wh 5 sgfcace lms for he paral auocorrelaos) Fugs Auokorelas Parsal uk Bal (wh 5 sgfcace lms for he paral auocorrelaos) Auokorelas Parsal Auokorelas Parsal Lag Lag Gambar 4. Fugs Auokorelas Parsal dar daa jumlah wsaawa macaegara d Yogyakara da Bal. Tabel. Hasl esmas model VAR-GSTAR seasoal. Predkor Koefse Varas Sask T p-value Koefse X ,54-4,73, X4.32,56 2,7,4 X ,279-3,29, Persamaa regres yag dhaslka dar Tabel. adalah Y = X X X8. (9) Model (9) dkembalka lag dalam skema (8), sehgga ddapaka model erbak uuk daa jumlah wsaawa macaegara d Yogyakara da Bal adalah =, , 32 + e ( 2) 2( 2) =, e 2 2( 2) 2 () dega da adalah proses yag 2 dsasoerka melalu dfferecg oseasoal () da seasoal (2). Pada proses pembeuka model VARMA, ahap defkas melpu defkas plo dere waku, MACF (Marx Auocorrelao Fuco), MPACF (Marx Paral Auocorrelao Fuco), da la AIC (Akake Iformao Crera) pada beberapa orde model. Berdasarka plo dere waku daa dak sasoer da meujukka pola seasoal. Karea program yag erseda dak dapa memodelka daa seasoal, maka kedaksasoer daga dega proses deferes. Seelah daa sasoer, maka dlakuka perhuga da aalss beuk dar MACF da MPACF, sera la AIC pada beberapa orde AR. Kega besara dguaka sebaga dasar uuk peeua orde model VARMA, khususya pada la AIC yag erkecl, yag haslya dapa dlha pada Tabel 2 da 3. Tabel 2. Represeas Skemak MACF da MPACF.

7 Jural ILMU DASAR Vol. No., uar 2 : 9 7 Tabel 3. Nla AIC uuk meduga orde model VARMA Tabel 4. Hasl esmas parameer da uj sgfkas parameer pada model VARMA erbak Parameer Esmaes Parameer Esmae Sadard Error Value F(4,) F(4,2) G(3,) G(3,2) Dar beuk MACF da MPACF yag cus off seelah lag 3, maka dapa dduga order auoregresf model semeara yag sesua adalah ga. Hasl dperegas oleh la AIC yag erkecl pada lag 3, sehgga dapa dsmpulka pada ahap defkas dperoleh model semeara yag sesua mempuya order auoregresf ga. Dar model semeara dlakuka proses resrks erhadap varabelvarabel yag dak sgfka. Model erbak dperoleh dar hasl ahap erakhr seelah parameer-parameer yag dak sgfka dresrks aau dbuag. Hasl esmas ahap akhr dberka pada Tabel 4. Berdasarka hasl ersebu dperoleh model VARMA sebaga berku:, +,, = + 3,8 3, 3,6 2, + 2, 2, e, (), 3e e 2, 2, + dalam hal kedua seres ersebu adalah seres yag dsasoerka melalu dfferecg o-seasoal () da seasoal (2). Pada ahap cek dagosa dlakuka pegeceka apakah resdual dar model elah memeuh syara whe ose, melalu MACF, MPACF da la AIC dar resdual. Pegeceka juga dlakuka uuk megeahu apakah resdual erdsrbuska secara ormal mulvara. Hasl cek dagosk elah dlakuka oleh Dhorva & Suharoo (27), yag meujukka syara whe ose belum erpeuh. Jad model yag dhaslka melalu program PROC STATESPACE belum opmal. Akhrya, ahap peramala dlakuka pada suau model erbak yag dperoleh dar ahapahap sebelumya. Proses pembeuka model hgga peramala secara legkap dsajka dalam Dhorva & Suharoo (27). Hasl-hasl perbadga ramala 2 ke depa aara model VAR-GSTAR da VARMA secara legkap dapa dlha pada Tabel 5. Dar Tabel ersebu dapa dlha bahwa pada model VARMA demuka sau perode yag la ramalaya berada egaf da meujukka bahwa model dak memberka hasl ramala yag bak. Semeara u model VAR-GSTAR memberka hasl yag lebh relabel karea dak ada la ramala yag egaf da secara kosse meujukka jumlah wsaawa yag erbayak adalah bula 8 seper pada ahu-ahu sebelumya.

8 8 Peramala Dere Waku (Dhorva U. W. & Suharoo) Tabel 5. Predks jumlah wsaawa macaegara 2 perode ke depa. Bula Predks VARMA Predks VAR- GSTAR D Yogyakara D Bal D Yogyakara D Bal Ierpreas erhadap model VAR-GSTAR () memberka hasl yag lebh rasoal, yau bahwa jumlah wsaawa macaegara yag daag ke Yogyakara dpegaruh oleh jumlah wsaawa yag daag ke Bal, eap dak sebalkya, sedagka dar model VARMA () yag erjad adalah sebalkya. Hasl perama lebh realss, karea secara real pada umumya wsaawa daag ke Bal erlebh dahulu baru ke Yogyakara. KESIMPULAN Berdasarka hasl pegolaha da aalss daa pada baga sebelumya, dapa dbua beberapa kesmpula hasl peela, yau :. Model VARMA dega PROC STATESPACE mempuya kelemaha eruama pada daa-daa dere waku mulvara yag seasoal, karea dak dapa megakomodas lag-lag seasoal pada orde model. Hal dapa dselesaka dega megguaka pedekaa VAR- GSTAR. 2. Hasl perbadga kesesuaa model da keepaa ramala meujukka bahwa model VAR-GSTAR adalah model yag lebh bak uuk meramalka daa-daa mulvara yag berpola seasoal. 3. Ierpreas dar model VAR-GSTAR lebh realss dbadgka dar model VARMA, yau bahwa jumlah wsaawa macaegara yag daag ke Yogyakara dpegaruh oleh jumlah wsaawa macaegara yag daag ke Bal, eap dak sebalkya. Hasl dar peela juga memberka peluag dlakukaya kaja laju berkaa dega pemodela daa dere waku mulvara yag berpola seasoal, khususya yag melbaka model mulplkaf aar usur yag o-seasoal da seasoal. Sebaga ambaha, kaja berkaa dega esmas parameer pada model VAR-GSTAR yag memberka jama bahwa la error dar model adalah whe ose secara mulvara dapa pula dlakuka, aara la dega pegguaa meode 2SLS (Two Sage Leas Squares) aaupu SUR (Seemgly Urelaed). Ucapa ermakash Dalam melaksaaka kegaa peela kam elah medapa baua da dukuga dar berbaga phak. Oleh karea peuls megucapka erma kash kepada Pmpa Proyek Dose Muda yag elah meyedaka daa peela DAFTAR PUSTAKA Box GEP, Jeks GM & Resel GC Tme Seres Aalyss. Eglewood Clffs: Prece Hall. Dhorva UW & Suharoo. 27. Model Varma (Vecor Auoregressve Movg Average ) uuk Pemodela da Peramala Daa Dere Waku d Bdag Parwsaa. Lapora Peelha Dose Muda, UNY, Yogyakara Hamlo JD Tme Seres Aalyss. New Jersey: Prceo Uversy Press.

9 Jural ILMU DASAR Vol. No., uar 2 : 9 9 Gacom R & Grager CWJ. 24. Aggregao of space-me processes. Joural of Ecoomercs. 8: Kamaraaks Y & Prasacos PP. 25. Space-me modelg of Traffc flow. Compuers ad Geosceces. 3: Kyryakds PC & Jourel AG Geosascal Space-me model: A revew. Mah. Geol. 3(6): Lopuhaa HP & Borovkova S. 25. Asympoc properes of leas squares esmaors geeralzed STAR models. Techcal Repor. Delf Uversy of Techology. Nura B. 22. Pemodela Kurva Produks Myak Bum Megguaka Model Geeralsas S-TAR. Jural Forum Saska da Kompuas, IPB, Bogor. Pfefer PE & Deusch SJ. 98a. A Three Sage Ierave Procedure for Space-Tme Modelg. Techomercs. 22 (): Pfefer PE & Deusch SJ. 98b. Idefcao ad Ierpreao of Frs Order Space-Tme ARMA Models. Techomercs. 22(): Suharoo. 25. Perbadga aara model GSTAR da VARIMA uuk peramala daa dere waku da lokas. Prosdg Semar Nasoal Saska, ITS, Surabaya. Suharoo & Subaar. 26. The Opmal Deermao of Space Wegh GSTAR Model by usg Cross-correlao Iferece. JOURNAL OF QUANTITATIVE METHODS: Joural Devoed o The Mahemacal ad Sascal Applcao Varous Felds, 2(2): Suharoo & Subaar 27. Some Commes o he Theorem Provdg Saoary Codo for GSTAR Models he Paper by Borovkova e al. Joural of The Idoesa Mahemacal Socey (MIHMI). 3 (): Tsay RS. 25. Aalyss of Facal Tme Seres. Joh Wley & Sos. New Jersey.