Pengukuran Bunga. Modul 1

Transkripsi

1 Moul 1 Pegukura Buga Drs. Pramoo S, M. S. M oul membcaraka eag pegukura buga, fugs akumulas a fugs jumlah, gka buga efekf, buga seerhaa, buga majemuk, la sekarag, gka skoo efekf, gka buga ar skoo omal, laju buga a laju skoo a erakhr aalah buga yag berubah-ubah. Uuk lebh meger moul secara umum Aa harapka apa memaham segala sesuau eag pegukura buga a secara khusus Aa harapka apa mejelaska: 1. fugs akumulas a fugs jumlah; 2. gka buga a skoo efekf; 3. buga seerhaa a buga majemuk; 4. la sekarag; 5. gka buga a skoo omal; 6. laju buga a skoo.

2 1.2 Maemaka Fasal Kegaa Belajar Ukura Buga PENGERTIAN BUNGA Buga aalah kompesas yag bayar oleh pemjam kapal kepaa pember pjama karea pegguaa kapal ersebu. Beuk kompesas ak harus sama ega beuk kapal, eap paa hampr semua kasus, beuk kapal a kompesas yaaka alam saua uag. Fugs Akumulas (Accumulao Fuco) a Fugs Jumlah (Amou Fuco) Jumlah yag mula-mula vesaska sebu pokok (prcpal). Jumlah yag erma seelah jagka waku ereu sebu la akumulas (accumulae value). Selsh aara la akumulas a pokok sebu buga (eres). Fugs akumulas a() aalah fugs yag memeaka pokok sebesar sau u paa la akumulasya seelah jagka waku (measureme pero). Sfa fugs akumulas aalah: 1. a(0) 1; 2. a() paa umumya aalah fugs ak uru (bla v w, maka a(v) a(w)), walaupu paa beberapa kasus keahu aaya fugs a() yag uru (arya vesas merug) aau kosa (vesas ak berbuga); 3. Bla buga berambah secara kou, maka a() kou. Secara umum, pokok awal yag vesaska ak aka 1 eap aka meja sejumlah k 0. a fugs jumlah oaska ega A(). A( ) k a( ), k aalah pokok A(0) k. (1.1)

3 MATA4350/MODUL Sfa keua a kega ar fugs akumulas a() juga mlk oleh fugs jumlah A(). Buga yag peroleh paa peroe ke- ar saa mula vesas smbolka ega I. I A() A( 1), uuk blaga bula 1.. (1.2) 1. Sebaga caaa bahwa I melbaka efek buga selama peroe waku maa A() aalah mome waku. Fugs akumulas aalah hal khusus ar fugs jumlah maa k = 1. Dalam bayak kasus, fugs akumulas a fugs jumlah apa guaka berukar-ukar. Cooh fugs jumlah: 2) 3) Tgka Buga Efekf (Effecve Rae of Ieres) Tgka buga efekf oaska ega a efska sebaga:

4 1.4 Maemaka Fasal Jumlah uag yag peroleh alam sau peroe sebesar sau u uag yag vesaska paa awal peroe, yag bayarka paa akhr peroe a(1) a(0) a(1) 1.. (1.3) Termolog gka buga efekf guaka bla buga bayarka paa seap akhr peroe pegukura (measureme pero). Bla yaaka alam fugs jumlah, gka buga efekf aalah (1 ) 1 a(1) a(0) A(1) A(0) (1.4) 1 a(0) A(0) A(0) I 1 yau raso jumlah buga yag peroleh alam sau peroe erhaap jumlah pokok yag vesaska paa awal peroe. Secara lebh umum, gka buga efekf uuk peroe ke- ar saa mula vesas aalah A() A( 1) I A() A( 1), uuk seap blaga bula 1.(1.5) Buga Seerhaa (Smple Ieres) Dalam pembugaa seerhaa, jumlah buga yag peroleh alam seap peroe, besarya eap, yau A() 1, uuk seap blaga bula 0. s Tgka buga seerhaa yag kosa ak berar gka buga efekf () yag kosa pula. Tgka buga efekf uuk peroe ke- aalah s 1 1 ( 1) a() a( 1) a( 1) 1 ( 1) 1 ( 1).. (1.6)

5 MATA4350/MODUL Tgka buga efekf uuk peroe ke- ergaug paa. Bla besar, maka kecl. Dega kaa la, paa pembugaa seerhaa, gka buga efekf erus meuru. Bla a() memlk sfa a( s) a() a(s) 1 uuk 0 a s 0, maka a() (1 ), uuk blaga bula (1.7) Buk: Asumska a() feresabel, sehgga a '() lm s0 a( s) a() s lm s0 a() a(s) 1] a() s lm s0 a(s) 1 s a(s) a(0) lm a '(0), a kos a s s0 ga ega r kemua egralka keua ruas ega baas ar 0 sampa ega. a '(r) r a '(0) r 0 0 a() a(0). a '(0) a() 1. a '(0) ambl = 1 maka a(1) = 1 1 a '(0) seemka sehgga a '(0). Ja, a() 1 uuk 0

6 1.6 Maemaka Fasal Cooh: 1.1 Teuka la akumulas sebesar $2000 yag vesaska uuk 4 ahu jka gka buga seerhaa 8% per ahu. Jawab: Nla akumulas = a() = 1 + = 2000 [1 + (0,08)(4)] = $2640. Buga Majemuk (Compou Ieres) Paa pembugaa majemuk, buga yag peroleh alam sau peroe ku bugaka paa peroe berkuya. a() (1 ) uuk blaga bula 0.. (1.8) Sebaga cooh, msalya seseorag megvesaska $100 uuk 2 ahu ega buga 5% a aka meerma $5 paa akhr seap 2 ahu. Ja paa ahu ke-2 a mempuya $105 yag aka vesaska lag ega buga 5%, a a aka meerma $5,25 paa akhr seap 2 ahu berkuya sehgga a mempuya $105 + $5,25 = $110,25 a seerusya. c Dega gka buga majemuk yag kosa berar gka buga efekf () kosa pula. Ja, 1 c c 1 (1 c) a() a( 1) (1 ) (1 ) (1 ) 1 a( 1) c... (1.9) Bla a() memlk sfa a( s) a()a(s) uuk 0 a s 0, maka a() (1 ), uuk seap 0. (1.10) Buk: Asumska a() feresabel, sehgga

7 MATA4350/MODUL a '() lm s0 a( s) a() s a(). a(s) lm s0 s a(s) 1 lm s0 s a(). a '(0) a() Ja, a '() a() log a() a '(0) ga ega r kemua egralka keua ruas ega baas ar 0 sampa ega. l a(r) r a '(0) r 0 0 l a() l a(0). a '(0) Ka keahu bahwa 1 a(0) 0, sehgga la() a '(0) Jka = 1 a a(1) = 1 + ), maka l a(1) = 1 (1 ) = a '(0), sehgga l a() l (1 ) l(1 ) Ja, a() (1 ) uuk 0. Cooh 1.2: Dar cooh sebelumya eap ega megguaka buga majemuk.

8 1.8 Maemaka Fasal Jawab: Nla akumulas 4 a() (1 ) 2000(1 0, 08) $2720,98. Uuk sau peroe, pembugaa majemuk meghaslka buga yag sama besarya ega pembugaa seerhaa. Uuk peroe yag lebh pajag, buga majemuk meghaslka buga yag lebh besar arpaa buga seerhaa. Sebalkya, uuk peroe yag lebh peek ar sau peroe, buga seerhaa meghaslka buga yag lebh besar. Paa pembugaa seerhaa, a( s) a() ak ergaug paa. (1.11) a( s) a() Paa pembugaa majemuk ak ergaug paa. a() (1.12) Nla Sekarag (Prese Value) Besara 1 + serg sebu fakor akumulas (accumulao facor) karea 1 megakumulaska vesas paa awal peroe meja jumlah akumulas paa akhr peroe. 1 Seagka sebu fakor skoo (scou facor) karea 1 meskoo la vesas paa akhr peroe ke laya paa awal peroe. a 1 ( ). a( ) 1, a 1 () sebu fugs skoo. Paa pembugaa seerhaa, a 1 1 (). (1.13) 1 Paa pembugaa majemuk, a () 1 v 1 1. (1.14) Pegakumulasa (accumulag) a peskooa (scoug) aalah proses yag berlawaa.

9 MATA4350/MODUL (1 ) sebu la akumulasya sebesar 1 paa akhr peroe. v sebu la sekarag aau la skoo sebesar 1 yag bayarka paa akhr peroe. Meark sekal kalau ka meghubugka v ega fugs akumulas uuk buga majemuk ar suu paag yag berbea. Nla v memperluas efs fugs akumulas ke la egaf ar, sehgga fugs akumulas uuk buga majemuk mempuya ar uuk semua la seper yag ujukka paa gambar bawah. Cooh 1.3: 1. Teuka jumlah yag harus vesaska paa gka buga seerhaa 9% seahu agar supaya megakumulas $1000 paa akhr 3 ahu. Jawab: $787, 40 1 (0, 09)(3) Sama seper soal aas haya buga 9% buga majemuk Jawab: 1000 v = $772,18 (1 0,0973

10 1.10 Maemaka Fasal Tgka Dskoo Efekf (Effecve Rae Of Dscou) Tgka skoo efekf aalah raso jumlah buga (kaag-kaag sebu jumlah skoo aau skoo saja) erhaap jumlah vesas paa akhr peroe. Buga (eres) bayar akhr peroe a perhugka ar jumlah vesas paa awal peroe, seag skoo (scou) bayar awal peroe eap perhugka ar jumlah vesas paa akhr peroe. Tgka skoo efekf uuk peroe ke- ar saa mula vesas aalah: A( ) A( 1) I, uuk blaga bula 1. (1.15) A( ) A( ) Paa pembugaa majemuk, gka buga efekf selalu kosa (ak ergaug paa jagka waku ar saa mula vesas). Uuk megembagka hubuga aara gka buga efekf ega gka skoo efekf buuhka efs eag kosep ekuvales gka buga a/aau gka skoo seper berku. Dua gka buga aau gka skoo kaaka ekuvale jka uuk suau jumlah pokok ereu yag vesaska alam jagka waku yag sama, peroleh la akumulas yag sama pula. Asumska bahwa seseorag memjam sebesar 1 paa gka skoo efekf kemua berlaku pokok awal aalah (1 ) a jumlah buga (skoo) aalah. Beberapa rumus eag hubuga, v a aalah,, 1 1 v (1 - ) 1 1 (1 ) 1 1 v..... (1.16)

11 MATA4350/MODUL v berar erapa hubuga peg aara gka skoo () 1 ega fakor skoo (v) yau = v. Dskoo Seerhaa (Smple Dscou) Pokok awal yag aka meghaslka la akumulas sebesar 1 paa akhr peroe aalah 1 a () 1, uuk (1.17) Dskoo Majemuk (Compou Dscou) 1 a () v (1 ), uuk 0 (1.18) Sfa-sfa peskooa seerhaa aalah: () Jka gka skoo seerhaa kosa maka gka skoo efekf ak (bla v w, maka v w () Tgka skoo seerhaa a gka skoo majemuk meghaslka jumlah buga yag sama besar uuk sau peroe. Uuk peroe yag lebh pajag ar sau, skoo seerhaa memberka la sekarag yag lebh kecl arpaa skoo majemuk. Sebalkya, uuk peroe yag lebh peek ar sau, skoo seerhaa meghaslka la sekarag yag lebh besar arpaa skoo majemuk. Gambar bawah meujukka perbaga ar buga seerhaa ega buga majemuk sera skoo seerhaa ega skoo majemuk.

12 1.12 Maemaka Fasal Tgka Buga a Tgka Dskoo Nomal (Nomal Rae Of Ieres A Nomal Rae Of Dscou) Apabla buga bayar lebh ar sau kal alam sau peroe, maka sebu sebaga gka buga/skoo omal. Apabla buga bayarka akhr ap-ap subperoe, sebu gka buga omal. Apabla buga bayarka awal ap-ap subperoe, sebu gka skoo omal. Frekues pembayara buga sebu peroe kovers buga (eres coverso pero). Tgka buga omal yag bayarka m kal alam sau peroe vesaska ega, maa m blaga bula posf. Hubuga aara gka buga omal apa ulska sebaga berku: ega gka buga efekf ( m) 1 m m m ( m) 1 1 m ( m) m m (1.19) ( m) m aalah gka buga efekf uuk 1 m peroe. Berkuya gambarka akumulas paa gka buga omal uuk sau peghuga. Paah agoal ke aas kaa meyaaka sebaga aa plus a paah bawah sebaga aa sama ega.

13 MATA4350/MODUL (1.20) Tgka skoo omal yag bayarka m kal alam seap peroe oaska ega. Hubuga aara gka skoo omal a gka skoo efekf aalah. 1 1 m ( m) m karea seap ruas ar persamaa memberka la sekarag sebesar 1 uuk bayarka paa akhr sau peroe pegukura. Kemua persamaa ubah meja 1 1 m m a m m m m 1 m(1 v ) m 1 (1 )... (1.21) Gambar berku meujukka peskooa paa gka skoo omal uuk sau peroe pegukura. Paah agoal ke kr meujukka aa mus a paah ke bawah sebaga aa sama ega.

14 1.14 Maemaka Fasal Hubuga aara a aalah. (1.22) m p 1 1 m p (1.23) Bla m = p, maka 1 1 m m 1..(1.24) m m m m Jka m = 1, maka = (gka buga efekf) a jka p = 1 maka (p) = (gka skoo efekf). Pola la ar pegembaga buga seper buga seerhaa a skoo seerhaa yag gkaya sama aka ergaug paa peroe waku yag plh uuk perbaga. D bawah sajka grafk yag meggambarka hubuga aara gka buga omal a gka skoo omal.

15 MATA4350/MODUL Uuk m = 2 A 1 B 1 = B 1 C 1 = v = 1 2 (2) A 2 B 2 = 2 (2) A 3 B 3 = 2 B 2 C 2 = B 3 C 3 = 1 2 v = (2) (2) 1 2 (1 ) 1 2 = A 4 B 4 = B 4 C 4 = 1 + = 2 (2) 1 2 (2) 1 2 Laju buga a laju skoo (force of eres a force of scou) Laju buga (force of eres) aalah ukura esas buga yag beroperas paa suau waku a oaska ega, yau laju buga paa saa a A'() a '() A() a() (1.25) 2 Sfa-sfa yag harus Aa ga aalah: () aalah ukura esas buga paa epa waku. () meyaaka gka per peroe pegukura. Dar efs maemas uuk apa peroleh beberapa hubuga sebaga berku: = l a() l A()... (1.26) a() e r r 0 Buk: Ga ega r a egralka keua ruas ega baas-baas ar 0 sampa ega.

16 1.16 Maemaka Fasal r 0 0 A() r l A(r)r l A(r) l r 0 A(0) sehgga e rr 0 A() a() a() A(0) a(0) A() A'() A() A() A(0) 0, maa 0 0 A()-A(0) aalah jumlah buga yag bayarka selama peroe pegukura. A() aalah jumlah buga yag bayarka paa sejumlah A() epa 0 waku karea laju buga. A() A'() A() A() A(0) 0 = jumlah buga yag bayarka 0 0 paa sejumlah A() paa epa waku karea laju buga. Laju skoo (forces of scou) oaska ega 1 a secara maemas apa ujukka bahwa 1 =. Dega megguaka fugs skoo a -1 () sebaga pegga ar fugs akumulas a(), maka laju skoo paa waku aalah a 1 () ' (1.27) 1 a ()

17 MATA4350/MODUL Buk: 1 2 a () a () a() 2 a () a() 1 1 1() a () a () a 0 e e jka uuk 0 sehgga a() (1 ) e 1 aau e 1 ( aalah fugs ar ). l e = 1(1 ) sehgga = l(1 + ) (1 ) (1 ) l (1 ) l(1 ) (1 ) (1 ) e ! 3! 4! l(1 ) Keua ere secara ormal aka mempuya gka koverges yag cepa, karea alam prakk a selalu blaga posf kecl. Sekarag bagamaa ka meyaaka. m 1 e m m 1 e m / m /m m e 1... (1.28)

18 1.18 Maemaka Fasal Dega megguaka ekspas ere, maka m... m 2! m 3! m 2 3 2!m 3!m..... (1.29) ega megambl lm m, maka lm m.... (1.30) secara aalog apa yaaka lm m..... (1.31) Cooh 1.4: Teuka la akumulas sebesar $1000 yag vesaska uuk 10 ahu jka laju buga 5%. Jawab: Nla akumulas 1000 e (0,05)(10) = 1000 e 0,5 Paa pembugaa majemuk, apabla kosa ( = ), hubuga aara laju buga/laju skoo a gka buga efekf, gka buga omal, gka skoo efekf, gka skoo omal (p) a fakor skoo v aalah m (p) p 1 1 e v m p.. (1.32) Uuk pembugaa seerhaa, apa ujukka bahwa, uuk 0 a uuk 0.

19 MATA4350/MODUL a() 1 a() (1 ) 1. (1.33) 1 a () (1 ) ' 1 a () (1 ). (1.34) Tgka Buga yag Bervaras Tgka buga yag erapka ar sau peroe ke peroe yag la apa saja bervaras. Secara eores, gka buga (lebh epaya laju buga) bahka apa bervaras ar sau saa ke saa yag la. Apabla laju buga bervaras ar saa ke saa maka fugs akumulasya aalah a() e. r 0 Apabla varas erja haya ar sau peroe ke peroe (alam ap-ap peroe, laju buga ak berubah), maka fugs akumulasya aalah 2 k k1 a() (1 )(1 )...(1 ) (1 ). (1.35) k k1 k1..(1.36) a () (1 ) (1 )...(1 ) (1 k) v Cooh 1.5: 1 (1) Teuka la akumulas sebesar 1 paa akhr ahu jka 1 Jawab: 1 1 1(1 ) e e e 1

20 1.20 Maemaka Fasal (2) Teuka la akumulas sebesar $1000 paa akhr 15 ahu jka gka efekf 5% uuk 5 ahu perama, 4 1 % uuk 5 ahu keua a 4% 2 uuk 5 ahu kega. Jawab: Guaka rumus a() = (1 + 1 )... (1 + ) = k1 (1 ) k Sehgga la akumulas 1000(1 + 0,05) 5 (1 + 0,045) 5 (1 + 0,04) 5 1) Dkeahu fugs a() = a) Bukka bahwa a(0) = 1. b) Tujukka bahwa a() fugs ak uuk semua 0. c) Apakah a() kou? ) Teuka gka buga efekf uuk a(). e) Teuka. 2) Dkeahu A() = a) Teuka 5 b) Teuka 10 3) Dega gka buga seerhaa berapa, $500 aka meja $615 alam ahu? 4) Dkeahu uag sebesar $600 yag vesaska selama 2 ahu aka memperoleh buga $264. Teuka la akumulas ar uag sebesar $2000 yag vesaska paa gka buga majemuk uuk 3 ahu. 5) Paa laju, suau u aka gaaka ua kal alam 23,1 ahu. Berapa ahu u ersebu aka gaaka empa kal paa gka omal secara umerk sama ega a erkovers ga kal seap 2 ahu.

21 MATA4350/MODUL ) Berapa gka buga majemuk omal yag aka meghaslka gka buga efekf 6%. 7) Daa sebesar $5000 pjam paa 15 Me 1998 a aka kembalka paa 15 Agusus 2001 ega buga akumulas majemuk 4% per kuaral. Tak aa pembayara yag bua sampa ega 15 Agusus Peujuk Jawaba Laha 1) a) a(0) = = 1 b) a() = 2+1 > 0 uuk semua 0 Ja a() fugs ak/meak c) Cara yag palg muah uuk meyelesaka soal aalah meel bahwa grafk ar a() aalah sebuah parabola a oleh karea u a() kou. 2) a) = 5 = 10 = A() A( 1) A( 1) A(5) A(4) A(4) A(10) A(9) A(9) ) 500(1 + ) = 6, = ) e 23,1 = 2 = l 2 0,693 0,03 23,1 231 Jka = (3/2), maka

22 1.22 Maemaka Fasal 3/ 2 (3/ 2) 1 4 3/ 2 3/ 2 0, / 2 1,5 (1, 02) 4 1,5 l (1,02) = l 4 1,5 l (1,02) = 2 l 2 = 2 (0,693) = 46,6667 ahu 6) Ka g mecar (2) (2) (2) (2) 1 1, 06 5, % 2 7) Buga majemuk per ahu = 0,04 = 0,01 = (sebelum 15 Agusus ) = 0,05 = 0,025 (buga majemuk seelah 15 Agusus 2001) 2 Nla akumulas (AV) = 5000(1 + 0,01) 13 (1 + 0,025) 4 = 6281,2102 Tgka buga aau Tgka skoo Buga majemuk Nla akumulas ar 1 paa saa. (a()) Nla sebarag ar 1 paa saa (a -1 ()) (1 + ) v (1 ) 1 m 1 m (1 ) - (1 ) m m

23 MATA4350/MODUL m 1 m 1 m e e - Buga seerhaa 1 + (1 + ) -1 Dskoo seerhaa (1 ) -1 1 m TES FORMATIF Plhlah sau jawaba yag palg epa! 1) Dkeahu fugs jumlah A() = a) Teuka fugs akumulas a(). b) Bukka bahwa a() memeuh ga sfa fugs akumulas. c) Teuka I. 2) Jka gka buga omal 3% erkovers sekal seap 2 ahu, euka gka buga efekf. 3) Paa Ju 1998, X memjam sebesar $2000 a seuju uuk membayar ega buga majemuk kapa saja a sap mempuya aa. Jka buga majemuk 6% per kuaral. Teuka berapa X aka membayar paa 1 Agusus ) Jka 6, berapa gka buga efekf selama ahu keua? ) Dua aa eposo masg-masg sebesar $1000 yag sau megakumulas paa laju buga 2% seahu a yag sauya lag megakumulas paa laju buga efekf ahua 2% seahu. Berapa perbeaa ua aa a seelah 10 ahu?

24 1.24 Maemaka Fasal Cocokkalah jawaba Aa ega Kuc Jawaba Tes Formaf aas yag erapa baga akhr moul. Huglah jawaba yag bear. Kemua, guaka rumus berku uuk megeahu gka peguasaa Aa erhaap maer Kegaa Belajar aas. Tgka peguasaa = Jumlah Jawaba yag Bear 100% Jumlah Soal Ar gka peguasaa: % = bak sekal 80-89% = bak 70-79% = cukup < 70% = kurag Apabla mecapa gka peguasaa 80% aau lebh, Aa apa meeruska ega moul selajuya. Bagus! Jka mash bawah 80%, Aa harus megulag maer Kegaa Belajar aas, eruama baga yag belum kuasa.

25 MATA4350/MODUL Kuc Jawaba Tes Formaf Tes Formaf 1 2 1) a) ( 2 3). 3 c) ) = 2, %. 3) AV = (1,015) 3 = 2563, ) = 6%. 5) Daa 1 = 1221,4028. Daa 2 = 1218,9944. Bea = 2,

26 1.26 Maemaka Fasal Dafar Pusaka Kellso, Sephe. G. (1991). The Theory of Ieres. 2 Eo. Illos: Irw, Burr Rge. Mc Cucheo, JJ. MA, Ph., FFA a Sco, W.F. MA, Ph., FFA. (1986). A Irouco o he Mahemacs of Face 1 s Eo. The Isue of Acuares a Faculy of Acuares Scola.