BAB 2 LANDASAN TEORI

Transkripsi

1 BAB LANDAAN TORI. Regres Ler ederhaa Dalam beberapa masalah terdapat dua atau lebh varabel yag hubugaya tdak dapat dpsahka, da hal tersebut basaya dseldk sfat hubugaya. Aalss regres adalah sebuah tekk statstka utuk membuat model da meyeldk hubuga atara dua varabel atau lebh. Aalss regres dapat dguaka utuk membuat sebuah model yag meggambarka hasl sebaga sebuah fugs temperatur tertetu. I dapat uga dguaka utuk tuua optmalsas atau tuua proses kotrol. Aalss regres telah lama dkembagka utuk mempelaar pola da megukur hubuga statstka atara dua atau lebh peubah (varabel. Persamaa matematk yag memugkka melakuka peramala la-la suatu peubah tak bebas dar satu atau lebh peubah bebas dsebut persamaa regres. Istlah berasal dar hasl pegamata yag dlakuka r Fracs Galto (8 9 yag membadgka tgg bada aak lak-lak dega tgg bada bapakya. Galto meyataka bahwa tgg bada aak lak-lak dar bada yag tgg pada beberapa geeras kemuda cederug mudur (regressed medekat rata-rata populas. Pada umumya, msalka ada sebuah varable tdak bebas tuggal atau respo y yag berhubuga dega k varabel bebas, katakaa x, x,,x k dukur dega error yag dapat dabaka. {x } dsebut varabel matematk da sergkal dkotrol oleh para pelaku percobaa. Varabel bebas x dasumska sebaga sebuah varabel kotu secara matematk, dapat dkotrol oleh para pelaku percobaa. Msalka hubuga sebearya atara y da x sebuah gars lurus, da la observas y pada masg-masg x adalah sebuah varabel radom. ekarag la harapa y utuk masg-masg la x adalah : Uverstas umatera Utara

2 Dmaa tercept da slope kostata yag tdak dketahu. Dasumska masgmasg observas, y, dapat dgambarka dega model + x + ε D maa ε adalah error radom dega rata-rata ol da varas σ. {ε} uga dasumska mead varabel-varabel radom yag tdak berhubuga. Model regres d atas terdr dar sebuah varabel bebas tuggal x yag serg dsebut model regres ler sederhaa. Msalka ada pasaga observas, katakaa (y, x, (y, x,. (y, x. Data dapat dguaka utuk memperkraka parameter da yag tdak dketahu... Metode Kuadrat Terkecl (Leat quare Method Utuk meetuka persamaa regres tersebut, tekk yag palg mudah adalah dega ala kra-kra da lagsug meark gars lurus d sektar ttk-ttkya meurut pegamata palg dekat pada ttk-ttkya yag berkerumua. Kemuda dhtug besarya kostata da deraat kemrga. Aka tetap utuk suatu peelta, cara arag dlakuka oleh karea terlalu kasar, uga terlalu subektf da sedapat mugk harus dhdar. Prosedur pearka gars regres yag bayak dkeal adalah metode kuadrat terkecl (least square. Metode memlh suatu gars regres yag membuat umlah kuadrat arak vertkal dar ttk-ttk yag dlalu gars lurus tersebut sekecl mugk. Dalam hal, aka memperkraka da sehgga umlah kuadrat dar devas atau smpaga atara observasobservas da gars regres mead mmum. Msalka ada pasaga observas, kataka (y, x, (y, x,. (y, x. Data dapat dguaka utuk memperkraka parameter da sehgga umlah kuadrat dar devas/smpaga atara observas-observas da gars regres mead mmum. ehgga dapat dtuls : + + ε,., Da umlah kuadrat devas pada observas-observas gars regres sebearya adalah Uverstas umatera Utara

3 ε [ ( ] Dega demka memmumka fugs kuadrat terkecl adalah mempermudah ka dtuls kembal model tersebut, persamaa tersebut mead ( ε + + Dega: : ( +. Dalam persamaa datas telah dperksa varabel beba utuk rata-rata, dhaslka dalam sebuah trasformas pada tercept. Maka persamaa model regres ler sederhaa yatu : + ( + ε Dega megguaka persamaa model regres ler sederhaa tersebut, maka fugs kuadrat terkecl adalah : [ ( ] Dega estmator da yag harus memeuh : [ ( ] [ ( ]( Dar dua persamaa datas meghaslka persamaa ormal kuadrat terkecl : atau Uverstas umatera Utara

4 ( ( atau ( ( da adalah estmator utuk cerpt (ttk potog da slope (kemrga. stmator model regres ler sederhaa adalah : ( + utuk meyaka hasl-hasl dalam susua tercept yag asl maka ' - sehgga perkraa yag cocok utuk model regres adalah ( ' + Persamaa regres ler sederhaa dapat dtuls dalam betuk la dega member smbol khusus utuk pemblag da peyebutya yatu : ( ( Dega : : koreks atau perbaka umlah kuadrat da : perbaka umlah slag produk da, ehgga estmator slope adalah : ela estmator da, meurut Motgomery da Peck (99 estmas σ uga dbutuhka dalam u hpotess da pembetuka estmas terval yag berhubuga dega model regres. tmas da dapat dperoleh dar resdual atau umlah kuadrat galat yatu : Uverstas umatera Utara

5 ( ε ' Betuk tetap utuk dapat dsubsttuska + ( ke dalam persamaa (8 da dega peyederhaaa aka meghaslka, yatu : ( Dega : koreks atau perbaka umlah kuadrat dar pegamata. ehgga : - Jumlah kuadrat resdual mempuya deraat kebebasa - karea deraat kebebasa adalah gabuga dar estmas da yag terlhat dalam pembetuka Ŷ. Nla ekspektas dar adalah ( (-σ, ad estmator tak bas dar σ utuk regres parametrk adalah : σ M.3. Pegua Hpotess dalam Regres Ler ederhaa ebuah baga petg dalam perkraa yag memada dar model regres ler sederhaa adalah pegua hpotess secara statstk megea model parameter-parameter da membetuk terval keyaka tertetu. Pegua hpotess dalam regres ler sederhaa adalah pegua hpotess terhadap tercept ( da kemrga (. Pegua hpotess megea slope da Uverstas umatera Utara

6 tercept model regres, uga harus dbuat asums tambaha bahwa kompoe error ε berdstrbus ormal. Maka asums-asums selegkapya bahwa error adalah NID (, σ. elautya aka dbahas bagamaa asums-asums dapat dperksa dega aalss resdual. tosumarto (985 meelaska bahwa pegua hpotess secara statstk haya dapat dlakuka apabla asums-asums yag dperluka terpeuh. Asums-asums yag dmaksud berdasarka persamaa ( adalah :. ε merupaka peubah acak dega mea ol da vara σ atau (ε da V (ε σ ;. ε da ε dega tdak berkorelas sehgga Cov (ε, ε, ; 3. ε tersebar secara ormal atau ε NID (, σ. Jka pada percobaa aka dlakuka pegua terhadap yag sama dega sebuah kostata msalka ( maka pada umumya hpotess tersebut drumuska sebaga berkut : H : ( H : ( D maa aka dduga alteratfya dua arah. ekarag karea ε adalah NID (, σ yag megkut secara lagsug bahwa observas-observas y adalah NID ( + x, σ. Maka sebaga sebuah hasl asums secara ormal, statstkya adalah : t ( M Kadah pegambla keputusa utuk pegua hpotess adalah sebaga berkut : H dtolak ka t > t α, la, t α dapat dperoleh dar tabel t dega megguaka la, α da deraat kebebasa (- (Hes da Motgomery, 99. Dega cara yag sama dapat dguaka utuk megu tercept, da hpotessya adalah sebaga berkut : H : H : Uverstas umatera Utara

7 tatstk uya adalah : t M + Dega : H dtolak ka t > t α, Hpotess persamaa datas dladas oleh pegua dua arah, yatu : H : H : Hpotess dhubugka utuk yata regres. Keputusa utuk meolak H : adalah sama dega memutuska bahwa dsaa tdak ada hubuga ler atara x da y. Perlu dcatat bahwa dapat meyataka secara tdak lagsug, x berasal dar la yag kecl dalam meelaska varas y da estmator y yag terbak utuk setap la x adalah ŷ y, atau hubuga sebearya atara x da y tdak ler. ecara alteratf, ka H : dtolak, meyataka bahwa x adalah la dalam meelaska varabltas tersebut dalam y. bagamaapu meolak H : dapat berart bahwa model gars lurus, atau sergkal d saa ada sebuah pegaruh ler x..4. Iterval Kepercayaa dalam Regres Ler ederhaa Iterval kepercayaa dapat dguaka sebaga taksra suatu parameter da dapat pula dpadag sebaga pegua hpotess yatu apakah suatu parameter yag dalam hal adalah da sama dega suatu la tertetu. Asums-asums yag dguaka dalam terval kepercayaa mash sama dega asums yag dguaka pada pegua hpotess yatu ka ε berdstrbus Uverstas umatera Utara

8 ( ormal da bebas maka da t M / M + keduaya berdstrbus t dega deraat kebebasa (-. elautya terval kepercayaa (-α % utuk parameter adalah M M t α + t α.,, edagka terval kepercayaa ( α % utuk parameter adalah : t α, M + t α, M Meurut Motgomery da Peck (99 stadar error dar slope drumuska dega se( M Da stadar error utuk tercept adalah se ( M + edagka stadard error estmas dapat dhtug dar persamaa : se ( ε ( Dalam berbaga masalah terdapat dua atau lebh varabel yag hubugaya tdak dapat dpsahka, da hal tersebut basaya dseldk sfat hubugaya. Aalss regres merupaka sebuah tekk statstk utuk membuat model da meyeldk hubuga atara dua varabel atau lebh. ebaga cotoh, dalam sebuah proses kma, msalka bahwa hasl produk dhubugka dega temperatur/proses produk tersebut. Jad aalss regres tersebut dapat dguaka utuk Uverstas umatera Utara

9 membuat model yag meggambarka hasl sebaga sebuah fugs temperatur. Model dapat uga dguaka utuk tuua optmalsas atau tuua proses kotrol..5. Metode Regres Thel Perkraa slope gars regres sebaga meda slope dar seluruh pasaga gars dar ttk-ttk dega la x yag berbeda. Utuk satu pasaga (x, y da (x, y, slopeya adalah : b Dega: < da Jka dotaska peduga meda dar dega, Thel telah meyaraka perkraa dar dega meda dar seluruh atau alteratfya dapat dplh med ( med (, dmaa med ( adalah meda dar seluruh pegamata, sedagka gars kuadrat terkecl melalu rata-rataya. Keyataa bahwa meurut data-data yag ada da yag telah ada dalam cotoh meyebabka gars lurus yag dhaslka aka sagat berbeda bla megguaka metode kuadrat terkecl, da metode Thel tdak meyelesaka suatu masalah. pret meyaraka bahwa kuadrat terkecl yag cocok mugk tdak sesua dega dataya da tdak mugk medekat gars lurus dega kesalahaya berdstrbus ormal da detk, tetap megabaka pertayaa yag meraguka apakah ttk (6,, kesalahaya cukup serus, atau hubugaya tdak bear-bear lear. Pada peelta yag serempak megea pecla yag secara efektf dumlahka utuk meggatka kesalaha yag berdstrbus ormal dega kesalaha yag berdstrbus ekor paag. Hussa da pret (983 berpedapat bahwa metode Thel hamper seefse metode kuadrat terkecl bla asums keormala sah, da hal meuukka sebuah perbaka yata dalam efse dega kesalaha berdstrbus ekor paag, terutama dega ukura sampel kurag dar (< 3. Ada sebuah perbaka yag lebh yata pada kasus terakhr dalam memperkraka α, meskpu basaya kurag meark pada. Uverstas umatera Utara

10 Hussa da pret uga berpedapat bahwa peduga-peduga yag ddasarka pada meda tertmbag yag dlakuka pada keseluruhaya tdaklah lebh bak, da kadag-kadag kurag bak darpada peduga Thel karea ada pecla..6. Metode Thel utuk Pegua Koefse Kemrga Dael (989 meelaska bahwa pegua koefse kemrga dega megguaka metode Thel dsusu berdasarka statstk τ Kedall da dguaka utuk megetahu betuk hubuga peubah-peubah regres. Asums-asums yag meladas pegua pada koefse kemrga adalah a. persamaa regresya adalah + +ε,,., dega peubah bebas, o da adalah parameter-parameter yag tdak dketahu; b. utuk masg-masg la terdapat la ; c. adalah la yag teramat dar yag acak da kotu utuk la ; d. emua la salg bebas da kta meetapka < < <. e. Nla-la ε salg bebas da berasal dar populas yag sama. Peduga b yag bak utuk aka mead ssaa yag sesua dega masg-masg pegamata, dotaska dega ε d maa ε y a bx, aka mempuya kemugka yag sama mead postf atau egatf. Hal meyataka asums bahwa ε berdstrbus secara acak dega meda ol da bebas dar x. ekarag, b ( a + bx + ε ( a + bx + ε x x ε b + x ε x Persamaa d atas meyataka setap b aka lebh besar darpada b ka (x,ε da (x,ε sesua dega bahwa b aka mead lebh darpada b ka tdak sesua dalam pegerta yag dguaka tau Kedall. Pemlha terhadap med {b } sebaga peduga b meam setegah pasaga seras da setegahya lag tdak seras. etap pemlha b yag maa kta meerma tau Kedall kosste dega korelas ol atara x yag damat da ssaa yag bersesuaa, ε, adalah dapat dterma dalam Uverstas umatera Utara

11 art bahwa kosste dega korelas ol atara x da ssaaya. Dega kata la, meerma setap b yag tdak memberka seumlah pasaga yag tdak seras (atau seras yag meuukka tau Kedall tdak ol, yatu tdak g umlah yag tdak seras (atau seras terlalu kecl atau terlalu besar. Karea c + d N sama dega umlah b yag dtmbulka dar pegamata dega x yag berbeda, maka meolak τ dalam pegua dua arah pada tgkat 5 % msalya. Hpotess-hpotess yag meladas pegua adalah a. dua arah : H o : ( H : ( ; b. satu arah : H o : ( H : > ( c. satu arah : H : ( ; H : < ( epert yag telah delaska, prosedur yag duraka dsusu berladaska statstk τ Kedall, sehgga statstk uaya adalah Dega τ P Q τ statstk u τ Kedall P bayakya pasaga beruruta waar Q bayakya pasaga beruruta terbalk bayakya pasaga yag damat Kadah pegambla keputusa utuk ketga pasaga hpotess d atas adalah sebaga berkut : a. dua arah : b. satu arah : * > τ (, α, tolak H τ * τ (, α, terma H * > τ (, α, tolak H τ * τ (, α, terma H Uverstas umatera Utara

12 * < τ (, α, tolak H c. satu arah : τ * τ (, α, terma H τ * adalah harga-harga krts dalam table statstk u τ Kedall. Pegua koefse kemrga dega membuat tataa da membadgka semua hasl pegamata meurut la-la (Dael, Iterval Kepercayaa utuk Koefse Kemrga Metode pembetuka terval kepercayaa terhadap koefse kemrga dladaska pada prosedur pegua hpotess Thel utuk, sedagka asums-asums yag medasar prosedur pegua hpotess uga berlaku pada pembetuka terval kepercayaa (-α bag * > τ (, α, tolak H τ * τ (, α, terma H adalah Lebh laut Dael (989 meelaska bahwa kostata utuk terval kepercayaa k C (, α Dega : k kostata utuk terval kepercayaa C bayakya la b yag mugk dar pasaga pegamata (,α/ ttk krts τ Kedall utuk pasaga pegamata pada taraf α Berdasarka la kostata tersebut aka dperoleh L sebaga batas bawah terval kepercayaa utuk da U sebaga batas terval kepercayaa utuk, L adalah la b kek yag dhtug dar la palg kecl dalam statstk tataa bag la b. adalah la b ke-k yag dhtug mudur dar la yag palg besar dalam statstk tataa tersebut. U Uverstas umatera Utara

13 Iterval kepercayaa utuk dega suatu koefse kepercayaa (-α adalah C ( L < < U α dega C adalah kepedeka dar cofdece (kepercayaa da meuukka bahwa ekspres lebh merupaka suatu peryataa kepercayaa darpada suatu peryataa probabltas (Dael, 989. Uverstas umatera Utara