ROOTS OF NON LINIER EQUATIONS

Transkripsi

1 ROOTS OF NON LINIER EQUATIONS Metode Bag da (Bsecton Method) Metode Regla Fals (False Poston Method) Metode Grak Iteras Ttk-Tetap (F Pont Iteraton) Metode Newton-Raphson Metode Secant

2 SOLUSI PERSAMAAN KUADRAT TINGKAT 2 ( ) a 2 b c 0 b 2 b 2a 4ac Persamaan d atas member akar-akar penelesaan ntk ngs aljabar() Yat nla-nla ang memberkan () = 0 Kala persaamaanna () = e - -?

3 OVERVIEW OF METHODS Bracketng methods Graphng method Bsecton method False poston Open methods One pont teraton Newton-Raphson Secant method

4 SPECIFIC STUDY OBJECTIVES Memaham konsep konvergens dan dvergens. Memaham bahwa metode terttp selal konvergen, sedangkan metode terbka kadang-kadang dvergen. Konvergens pada metode terbka basana ddapat jka ntal gess na dekat dengan akar sebenarna.

5 METODE TERTUTUP Graphcal Bsecton method False poston method

6 CARA GRAFIK Plotkan ngsna dan tentkan dmana memotong smb. Lacks precson ()=e Tral and error ()

7 CARA GRAFIK (LIMITED PRACTICAL VALUE) () Pembatas atas dan Bawah memlk tanda sama. Akar tdak ada ata banak akar () () () Tanda berbeda, jmlah akar-akar ganjl

8 BISECTION METHOD Memanaatkan beda tanda da nla batas ( l )( ) < 0 dmana l=lower (batas bawah) dan =pper (batas atas) Mnmal ada sat akar () () ()

9 ALGORITHM Plh dan l. Cek beda tanda nla ngs kedana ( l )( ) < 0 Perkrakan akar r = ( l + ) / 2 Tentkan nterval berkt ada d sbnterval atas ata sbnterval bawah ( l )( r ) < 0 then bar = r RETURN ( l )( r ) >0 then l bar = r RETURN ( l )( r ) =0 then root eqals r -COMPLETE

10 METODE BAGI DUA Asms: Fngs () kontn dalam nterval ( 0 a0) ( b ) 0 a 0,b 0 do n = 0,, m ( a ) / n bn 2 ( an ) ( m) 0, then an an, else a n m, end do b a n n b n b n or ( m) 0 b n et m

11 BISECTION METHOD

12 ERROR a perkraanakhr perkraan perkraan akhr awal 00

13 CONTOH Gnakan bsecton method ntk mencar akar-akar persamaan () = e l = - = ()

14 SOLUTION ()

15 SOLUTION 2 ()

16 FALSE POSITION METHOD Brte Force dar metode bag da krang esen Menghbngkan da nla batas dengan gars lrs Menggant krva menjad gars lrs memberkan alse poston Mempercepat perkraan

17 Based on smlar net estmate, r ( ) trangles l ( l ) r r l l r l l Nla (r) dcek tandana, kemdan tentkan dan l ang bar berdasarkan perbedaan tanda sepert pada metode bag da

18 REGULA FALSI Asms: Fngs () kontn dalam nterval ( 0 a0) ( b ) 0 a 0,b 0 do n = 0,, w [ ( bn ) an ( an) bn ]/[ ( bn ) ( an)] ( an) ( w) 0 then a a,, else a n w, end do b a n n b n b n n n or ( w) 0 b n et w

19 REGULA FALSI

20 CONTOH Tentkan akar persamaan dar persamaan berkt menggnakan alse poston method, mla dengan ntal estmate l =4.55 and =4.65 () = 3-98 ()

21 OPEN METHODS Smple one pont teraton Newton-Raphson method Secant method Pada metode terttp, akar terdapat d antara keda nterval ang dbatas batas atas dan bawah

22 OPEN METHODS Metode terbka dharapkan konvergen solton moves closer to the root as the comptaton progresses Metode terbka; sngle startng vale, ata two startng vales that do not necessarl bracket the root Ada kemngknan metode n dvergen solton moves arther rom the root as the comptaton progresses

23 () ( + ) The tangent gves net estmate. + ( )

24 () Solton can overshoot the root and potentall dverge 2 0

25 SIMPLE ONE POINT ITERATION METODE TITIK TETAP Merbah ormla ntk memperkrakan akar Re-arrange ngs () sehngga ada sat nla pada sebelah kr dar persamaan / Contoh, ntk () = = 0 Ubah menjad = ( 2 + 3) / 2

26 SIMPLE ONE POINT ITERATION Contoh lan, ntk () = sn = 0, menjad = sn + Htng nla = g() Perkraan nla berkt berdasar pada + = g( )

27 ITERASI TITIK TETAP

28 CONTOH Untk () = e - -3 Ubah menjad g() = e - / 3 Intal gess = 0 ()

29 Intal gess g() () a ()

30 METODE NEWTON RAPHSON ( ) tangent d tangent d ' rearrange ' 0 + '

31 METODE NEWTON-RAPHSON

32 NEWTON RAPHSON PITFALLS

33 CONTOH Gnakan metode Newton Raphson ntk mencar akarakar dar () = 2 - memaka ntal gess = 3 ()

34 NEWTON RHAPSON SECANT Inclde an pper lmt on the nmber o teratons Establsh a tolerance, s Check to see a s ncreasng Bagamana jka trnan ngsna slt dpecahkan? SECANT METHOD

35 SECANT METHOD Memperkrakan trnan menggnakan nte dvded derence ' APAKAH nte dvded derence? HINT: d / d = / Maskkan FDD pada rms ntk Newton Raphson

36 SECANT METHOD ' Maskkan perkraan dengan nte derence pada rms ntk Newton Raphson

37 METODE SECANT

38 SECANT METHOD Membthkan da nla perkraan awal () tdak hars berbeda tanda, membedakan dengan metode terttp, alse poston method.

39 () FALSE POSITION 2 SECANT METHOD () 2 new est. Perkraan bar dplh dar potongan gars dengan smb new est. Perkraan bar bsa dlar batas krva

40 SYSTEMS OF NON-LINEAR EQUATIONS Kta telah mengenal sstem persamaan lner () = a + a a n n -C = 0 dmana a, a 2... a n dan C adalah konstanta Maka, perhatkan sstem persamaan non-lner = = 3 Selesakan dan

41 SYSTEMS OF NON-LINEAR EQUATIONS Bat persamaan sama dengan nol = v = (,) = = 0 v(,) = = 0 Sols adalah nla-nla dan ang akan memberkan nla ngs dan v sama dengan nol.

42 METODE TITIK TETAP Mla dengan nla awal 0 =.5 dan 0 =

43 METODE NEWTON RHAPSON v v v v v v v v Vers da persamaan ntk Newton-Raphson (,) dan v(,)

44 DETERMINAN JACOBIAN (TAMBAHAN SAJA) v v v v v v v v THE DENOMINATOR OF EACH OF THESE EQUATIONS IS FORMALLY REFERRED TO AS THE DETERMINANT OF THE JACOBIAN

45 JACOBIAN (TAMBAHAN JUGA) The general denton o the Jacoban or n nctons o n varables s the ollowng set o partal dervatves: n n n n n n n n ),...,, ( ),...,, (

46 JACOBIAN (INI JUGA TAMBAHAN) The Jacoban can be sed to calclate dervatves rom a ncton n one coordnate stem rom the dervatves o that same ncton n another coordnate sstem. Eqatons =(,), v=g(,), then and can be determned as nctons o and v (possessng rst partal dervatves) as ollows: Wth smlar nctons or v and v. The determnants n the denomnators are eamples o the se o Jacobans. g g g g g g g g g g g v / ; / );, ( / ; / );, (

47 CONTOH = v = Mla dengan nla awal 0 = 0.5 dan 0 =.5 v v 2 6 ; 2 ; 4 ;