ROOTS OF Non Linier Equations

Transkripsi

1 ROOTS OF Non Lner Eqatons Metode Bag da (Bsecton Method) Metode Regla Fals (False Poston Method) Metode Grak Iteras Ttk-Tetap (F Pont Iteraton) Metode Newton-Raphson Metode Secant

2 Sols Persamaan Kadrat Tngkat ( ) = a + b + c = 0 = b ± b a 4ac Persamaan d atas member akar-akar penelesaan ntk ngs aljabar() Yat nla-nla ang memberkan () = 0 Kala persaamaanna () = e - -?

3 Overvew o Methods Bracketng methods Graphng method Bsecton method False poston Open methods One pont teraton Newton-Raphson Secant method

4 Specc Std Objectves Memaham konsep konvergens dan dvergens. Memaham bahwa metode terttp selal konvergen, sedangkan metode terbka kadangkadang dvergen. Konvergens pada metode terbka basana ddapat jka ntal gess na dekat dengan akar sebenarna.

5 Metode Terttp Graphcal Bsecton method False poston method

6 Cara Grak Plotkan ngsna dan tentkan dmana memotong smb. Lacks precson ()=e - - Tral and error ()

7 Cara Grak (lmted practcal vale) () Pembatas atas dan Bawah memlk tanda sama. Akar tdak ada ata banak akar () () () Tanda berbeda, jmlah akar-akar ganjl

8 Bsecton Method Memanaatkan beda tanda da nla batas ( l )( ) < 0 dmana l=lower (batas bawah) dan =pper (batas atas) Mnmal ada sat akar () () ()

9 Algorthm Plh dan l. Cek beda tanda nla ngs kedana ( l )( ) < 0 Perkrakan akar r = ( l + ) / Tentkan nterval berkt ada d sbnterval atas ata sbnterval bawah ( l )( r ) < 0 then = r RETURN ( l )( r ) >0 then l = r RETURN ( l )( r ) =0 then root eqals r - COMPLETE

10 Metode Bag Da Asms: Fngs () kontn dalam nterval [ a,b ] 0 0 do n = 0,, ( 0 a0 ) ( b ) < m = ( a n + b ) / ( n ( a n ) ( m) < 0, then a n = an, else a n = m, end do b 0 b = b + n+ n n+ an+ ε or ( m) = 0 + b n + = m et

11 Bsecton Method

12 Error ε a = perkraan akhr perkraan perkraan awal awal 00

13 CONTOH Gnakan bsecton method ntk mencar akar-akar persamaan () = e l = - = ()

14 SOLUTION ()

15 SOLUTION ()

16 False Poston Method Brte Force dar metode bag da krang esen Menghbngkan da nla batas dengan gars lrs Menggant krva menjad gars lrs memberkan alse poston Mempercepat perkraan

17 net estmate, r ( ) Based on smlar trangles l ( l ) ( ) ( ) l = r l r r = ( )( l ) ( ) ( ) l

18 Regla Fals Asms: Fngs () kontn dalam nterval [ a,b ] 0 0 do n = 0,, w ( 0 a0 ) ( b ) < = [ ( b ) a ( a ) b ] /[ ( b ) ( a ( an ) ( w) < 0, then a n = an, 0 [ n n n n n n )] + b n + = w else a n = w, end do b b = b + n+ n n+ an+ ε or ( w) = 0 et

19 Regla Fals

20 CONTOH Tentkan akar persamaan dar persamaan berkt menggnakan alse poston method, mla dengan ntal estmate l =4.55 and =4.65 () = 3-98 ()

21 Open Methods Smple one pont teraton Newton-Raphson method Secant method Pada metode terttp, akar terdapat d antara keda nterval ang dbatas batas atas dan bawah

22 Open Methods Metode terbka dharapkan konvergen solton moves closer to the root as the comptaton progresses Metode terbka; sngle startng vale, ata two startng vales that do not necessarl bracket the root Ada kemngknan metode n dvergen solton moves arther rom the root as the comptaton progresses

23 () ( + ) The tangent gves net estmate. + ( )

24 () Solton can overshoot the root and potentall dverge 0

25 Smple one pont teraton / Metode Ttk Tetap Merbah ormla ntk memperkrakan akar Re-arrange ngs () sehngga ada sat nla pada sebelah kr dar persamaan Contoh, ntk () = = 0 Ubah menjad = ( + 3) /

26 Smple one pont teraton Contoh lan, ntk () = sn = 0, menjad = sn + Htng nla = g() Perkraan nla berkt berdasar pada + = g( )

27 Iteras Ttk Tetap

28 CONTOH Untk () = e - -3 Ubah menjad g() = e - / 3 Intal gess = 0 ()

29 Intal gess g() () εa ()

30 Metode Newton Raphson ( ) tangent d tangent = = ' d ( ) 0 ( ) ' = rearrange = ( ) ( ) '

31 Metode Newton-Raphson

32 Newton Raphson Ptalls

33 CONTOH Gnakan metode Newton Raphson ntk mencar akar-akar dar () = - memaka ntal gess = 3 ()

34 Newton Rhapson Secant Inclde an pper lmt on the nmber o teratons Establsh a tolerance, ε s Check to see ε a s ncreasng Bagamana jka trnan ngsna slt dpecahkan? SECANT METHOD

35 Secant method Memperkrakan trnan menggnakan nte dvded derence ( ) ' = ( ) ( ) APAKAH nte dvded derence? HINT: d / d = / Maskkan FDD pada rms ntk Newton Raphson

36 ( ) ( ) = + ' Maskkan perkraan dengan nte derence pada rms ntk Newton Raphson Secant method ( )( ) ( ) ( ) = +

37 Metode Secant

38 Secant method ( )( ) ( ) ( ) = + Membthkan da nla perkraan awal () tdak hars berbeda tanda, membedakan dengan metode terttp, alse poston method.

39 () FALSE POSITION SECANT METHOD () new est. Perkraan bar dplh dar potongan gars dengan smb new est. Perkraan bar bsa dlar batas krva

40 Sstems o Non-Lnear Eqatons Kta telah mengenal sstem persamaan lner () = a + a +... a n n - C = 0 dmana a, a... a n dan C adalah konstanta Maka, perhatkan sstem persamaan non-lner = = 3 Selesakan dan

41 Sstems o Non-Lnear Eqatons Bat persamaan sama dengan nol = + 0 v = (,) = + 0 = 0 v(,) = = 0 Sols adalah nla-nla dan ang akan memberkan nla ngs dan v sama dengan nol.

42 Metode Ttk Tetap Mla dengan nla awal 0 =.5 dan 0 = 3.5 = =

43 Metode Newton Rhapson v v v v + = (,) dan v(,) v v v v + = Vers da persamaan ntk Newton-Raphson v(,)

44 Determnan Jacoban (tambahan saja) v v v v + = THE DENOMINATOR OF EACH OF THESE EQUATIONS IS v v v v + = FORMALLY REFERRED TO AS THE DETERMINANT OF THE JACOBIAN

45 Jacoban (tambahan jga) The general denton o the Jacoban or n nctons o n varables s the ollowng set o partal dervatves:... n n n n n n n n = ),...,, ( ),...,, (

46 Jacoban (n jga tambahan) The Jacoban can be sed to calclate dervatves rom a ncton n one coordnate stem rom the dervatves o that same ncton n another coordnate sstem. Eqatons =(,), v=g(,), then and can be determned as nctons o and v (possessng rst partal dervatves) as ollows: = = = / ; / );, ( Wth smlar nctons or v and v. The determnants n the denomnators are eamples o the se o Jacobans. g g g g g g g g g g g v = = = = = = = = / ; / );, ( / ; / );, (

47 Contoh = 3 + v = Mla dengan nla awal = 0.5 dan =.5 Mla dengan nla awal 0 = 0.5 dan 0 =.5 v v 6 ; ; 4 ; 8 + = = = + =