U JIAN A KHIR S EMESTER M ATEMATIKA T EKNIK

Ukuran: px

Mulai penontonan dengan halaman:

Download "U JIAN A KHIR S EMESTER M ATEMATIKA T EKNIK"

Yuliana Budiman
6 tahun lalu
Tontonan:

1 U JIAN A KHIR S EMESTER M ATEMATIKA T EKNIK SENIN, 9 JANUARI OPEN BOOK WAKTU MENIT KLAS B DAN KLAS C PETUNJUK Istarto ttp://starto.staff.ugm.ac. starto@ugm.ac. ) Sauara bole menggunaan omputer untu mengerjaan soal- soal ujan n. Tabel tungan an urva Sauara saln e lembar jawab. ) Tulsan urutan/cara /formula ang Sauara paa untu menapatan jawaban (buan ana anga jawaban ang eluar tabel spreaseet). 3) Setap butr soal meml bobot nla ang ampr sama sesua tngat esultanna. SOAL NUMERICAL INTERPOLATION a) Paala spreaseet untu menggambaran 3 urva polnomal Lagrange erajat ang melewat tt- tt.,.7, an.3. / Use spreaseet applcaton program to raw 3 curves of te Lagrange Polnomal of egree tat pass troug.,.7, an.3. b) Gambaran urva nterpolas Lagrange erajat untu mengnterpolasan pasangan tt- tt paa tabel bawa n. / Draw te Lagrange Interpolatng Polnomal for te followng ata. No Kurva polnomal Lagrange: L n ( ) j j j j Ketga urva polnomal Lagrange ang melewat etga tt tersebut aala: L L L..7.3 ( ) ( ) ( ) UAS Matemata Ten - lm. ar 9

2 Untu menggambaran etga urva engan bantuan spreaseet, tung tt- tt oornat [,L. ()],..3 engan nterval Δ.. Htungan lauan engan cara tabulas sepert sajan paa Tabel. Kurva sajan paa Gambar. TABEL. HITUNGAN KOORDINAT KURVA POLINOMIAL LAGRANGE Istarto ttp://starto.staff.ugm.ac. L() L. () L.7 () L.3 () L. () L.7 () L.3 () GAMBAR. TIGA KURVA POLINOMIAL LAGRANGE YANG MELEWATI X.,.7, DAN.3 Kurva nterpolas polnomal Lagrange ang melewat etga pasang tt ata nataan engan persamaan: ( ) L ( ) f (.) + L ( ) f (.7) L ( ) (.3) f f Htungan lauan engan bantuan tabulas spreaseet sepert sajan paa Tabel an urva nterpolas ang melewat etga tt sajan paa Gambar. UAS Matemata Ten - lm. ar 9

3 TABEL. HITUNGAN KURVA INTERPOLASI LAGRANGE MELEWATI TITIK- TITIK (.,.56), (.7,.5), DAN (.3,.33) L. () L.7 () L.3 () f () Istarto ttp://starto.staff.ugm.ac. starto@ugm.ac. f () GAMBAR. KURVA INTERPOLASI LAGRANGE MELEWATI TIGA TITIK (.,.56), (.7,.5), DAN (.3,.33) SOAL a) Banngan peneatan nla ervatf fungs bawa n paa tt.3 engan sema ferens munur, ferens maju, an ferens tenga. Paala Δ. / Compare te appromaton values of te ervatve of te followng functon on.3 usng te bacwar- fference formula, te forwar- fference formula, an te central- fference formula. Use (Δ) of.. f( ).9 +.sn. UAS Matemata Ten - lm. 3 ar 9

4 b) Paala polnomal nterpolas Lagrange erajat untu meneat nla ervatf fungs tersebut sepert paa soal butr a. Buatla tt- tt bantu ang perluan engan jara. ar tt ang bersangutan. / Use te Lagrange Interpolatng Polnomal of egree to appromate te ervatve of te above problem (a). Tae some necessar ponts to o so. Fungs an ervatf fungs sema ferens maju, ferens munur, an ferens tenga: f( ).9 +.sn Istarto ttp://starto.staff.ugm.ac. starto@ugm.ac. ( ) ( ) ( ) f f f f f f Dervatf fungs: ( + Δ) f ( ) f (.3) f (.3) Δ. ( ) f ( Δ) f (.3) f (.3) Δ. ( + Δ) f ( Δ) f (.3) f (.3) Δ (.) (.9) + (.) sn cos.8.4 sn cos ( ) Fungs polnomal Lagrange untu meneat fungs atas aala: ( ) L ( ) (.3) + L ( ) (.3) + L ( ) ʹ (.3) f Untu nla.3: (.3) (.3) + (.3).554 (.3) [.8 (.3) +.4 ( sn.3)( cos.3) ] SOAL 3 a) Deat ntegral fungs paa soal a antara tt. an tt.4 engan metoe trapesum. / Appromate te ntegral of te functon n Problem a, between two values of. an.4 usng te trapezoal rule. b) Htung soal paa butr a atas engan metoe Kuaratur Gauss erajat. / Appromate te soluton of Problem a usng te Gauss Quarature of egree. Integral fungs:.4.4 f ( ) +. (.9.sn ). UAS Matemata Ten - lm. 4 ar 9

5 ang tung engan metoe trapesum aala:.4. f( ) f ( ) (.4 ) + f (. ).4..5[.9(.4 ) +.sn.4 +.9(. ) +. sn.].54 Nla ntegral fungs tersebut apat pula tung engan metoe Kuaratur Gauss. D sn paa Kuaratur Gauss TIt atau enal pula sebaga Gauss- Legenre. Dalam metoe n, varabel uba menja: a + a a a b + a an a b a Istarto ttp://starto.staff.ugm.ac. starto@ugm.ac. a an b masng- masng aala batas bawa an batas atas ntegras. Ja a. an b.4, sengga: a.5 an a.5, serta.5. Integral fungs apat tung engan persamaan berut: f ( ) f ( 3) + f ( 3) f ( 3).634 ( 3) ( ) f ( 3) + f ( 3) f (.634) + f (.3366) SOAL 4 INITIAL VALUE PROBLEM OF ODE Paala metoe Euler an Runge- Kutta ore untu meneat solus soal berut paa t.8. Banngan aslna an tulsan omentar Sauara. / Use te Euler an te n Orer Runge- Kutta Metos to appromate te solutons of te followng ntal value problems at t.8. Compare te results obtane b te two metos (gve our comment). 4.t ʹ t +, t t.8, ( t ), Δt.. Penelesaan persamaan ferensal orner (ornar fferental equatons, ODE) engan sarat awal ang etau sepert paa Soal 4 n lauan engan bea ngga ang espresan alam bentu: + + φ UAS Matemata Ten - lm. 5 ar 9

6 Dalam persamaan tersebut + an berturut- turut aala nla paa watu t + an t, aala selang t, t t + t, an φ aala slope atau graen penggal urva antara an +. Graen φ merupaan fungs t an, φ /t f(t,). Metoe Euler an Runge- Kutta berbea alam menetapan graen φ: a) paa metoe Euler, φ tetapan sebaga graen tt t, f(t, ), b) paa metoe Runge- Kutta ore, φ tetapan sebaga ncrement functon ang apat baca sebaga graen fungs paa selang antara t an t +. Metoe penelesaan ang mua paa an cepat memberan asl aala metoe Euler: + φ t + φ t, Htungan sajan paa Tabel 3. Istarto ttp://starto.staff.ugm.ac. starto@ugm.ac. TABEL 3. ODE SECARA NUMERIS MEMAKAI METODE EULER t φ f(t,) Metoe Runge- Kutta (RK) ore : + + φ φ f t f f ( t,, ) a + a ( t, ) ( t + p, + q ) Aa beberapa metoe untu mengtung φ, antara lan metoe Heun, metoe mprove polgon, atau metoe Ralston. D sn paa metoe Heun: φ f f + ( t, ) ( t +, + ) Htungan lengap sajan paa Tabel 4. TABEL 4. ODE SECARA NUMERIS MEMAKAI ND- ORDER RUNGE- KUTTA t t + + φ UAS Matemata Ten - lm. 6 ar 9

7 Profl paa nla t s...8 ang perole engan metoe Euler an Runge- Kutta sajan paa gambar bawa n Runge- Kua.. Euler Istarto ttp://starto.staff.ugm.ac. starto@ugm.ac. GAMBAR 3. PROFIL Y PADA NILAI T S.D..8 YANG DIPEROLEH DENGAN METODE EULER DAN METODE RUNGE- KUTTA SOAL 5 BOUNDARY VALUE PROBLEM OF ODE Paala metoe bea ngga untu meneat solus soal alran ar tana ta tertean berut n. Paala sub- nterval m paa rentang antara Sta. m an Sta. m, serta nla.. / Use te fnte fference meto to appromate te soluton of te followng bounar value problem of unconfne grounwater ept at all m sub- nterval noes wtn te Sta. m to Sta. m. Use te value of.. ( ).,, () 8, () sarat awal t Persamaan alran ar tana paa soal atas apat tulsan alam bentu sbb... Bentu persamaan bea ngga persamaan alran ar tana tersebut suatu loas (poss) aala: ( ) ( ) + ( ) ( Δ). ( ) ( ) + ( ) ( Δ) +. + UAS Matemata Ten - lm. 7 ar 9

8 UAS Matemata Ten - lm. 8 ar 9 Istarto ttp://starto.staff.ugm.ac. starto@ugm.ac. Peratan setsa bawa n. Persamaan bea ngga alran ar tana berlau setap tt paa selang Sta. m s.. Sta. m. D antara Sta. m an Sta. m n, terapat 9 tt,,,, 9 ang beraa paa poss,,, 9. D setap tt n aa 3 varabel ta etau, atu ( ) an r an ananna, ( ) - an ( ) +. D eua ujung berlau sarat batas, atu berlau sarat batas 8 an berlau sarat batas 4. Apabla esemblan persamaan susun berurut, perole bentu sbb.: [A].{H} {C} [A] aala matrs 9 9 ang elemen- elemenna merupaan oefsen paa persamaan, {H} aala vetor 9 ang elemenna aala setap an {C} aala vetor 9 ang elemenna aala onstanta Aa beberapa cara untu menelesaan persamaan- persamaan atas. Cara- cara penelesaan n tela baas paa ula peroe sebelum UTS. Dengan memaa spreaseet, msal MSEcel, cara penelesaan langsung engan matrs nvers sangat mua untu lauan. Vetor {H} perole engan peralan matrs sbb.: { } [ ] { } C A H Dengan MSEcel, persamaan atas selesaan engan pernta: MMULT(MINVERSE(matra),matrc) matra aala sel- sel ang bers elemen [A] an matrc aala sel- sel ang bers elemen vetor {C}. Penulsan pernta n awal engan meml satu olom ang terr ar 9 sel, menulsan pernta atas, an ar engan menean tombol control+sft+enter. Kesemblan sel aan bers elemen- elemen vetor {H}

9 Gambar 4 menunjuan lustras profl ang perole ar penelesaan persamaan alran ar tana paa soal n. 45 Istarto ttp://starto.staff.ugm.ac. starto@ugm.ac. 4 sarat batas sarat batas GAMBAR 4. PROFIL TEKANAN PIEZOMETRIK ALIRAN TANAH - oo- UAS Matemata Ten - lm. 9 ar 9

dokumen-dokumen yang mirip

U J I A N A K H I R S E M E S T E R M A T E M A T I K A T E K N I K

U J I A N A K H I R S E M E S T E R M A T E M A T I K A T E K N I K SE NIN, 9 JANUAR I OPEN BOO K W AKT U MENIT KLAS B D AN KL AS C PETUNJUK ) Saudara bole menggunaan omputer untu mengerjaan soal-soal