Computation Process using Scilab

Transkripsi

1 Computaton Process usng Sclab

2 Komputas Proses. Pengenalan Sclab. Bahasa pemrograman dengan Sclab 3. Metoda Numer 4. Aplas Komputas Proses dengan Sclab

3 Introducton Phscal & Mathematcal MODELS Smplfed pcture of REALITY Engneers are smbolc analsts TOOL to solve PROBLEMS Forecastng Controllng Software

4 Language Programme Interactve program Numercal computaton & data vsualzaton

5 Sclab Software grats: OS: Wndows dan Lnu Mrp dengan program Matlab Menu Bar Tool Bar

6 -->r6 r 6. -->luas0.5*%p*r^ luas deff( (out,out, )modul(n,n, ), persamaan Fungs: mendefnsan persamaan (rumus) pada jendela erja -->deff('aluas(r)','a0.5*%p*r^') -->lsluas(3) ls >

7 Perntah membua Jendela Edtor Hasl Dar menu bar: (l) Edtor Atau tean [alt d] Dar Tool bar: (l) Dar Jendela erja: (et) scpad()

8 Perlu d eseus: -->eec('c:\scnum\luasbs.sc');

9 Tps: Cara lebh mudah, dapat dlauan (plh salah satu): Pada menu bar jendela edtor, plh Eecute (Alt) Load nto Sclab Pada menu bar jendela edtor, Ctrl l Pada menu bar jendela erja, plh Fle Eec plh fle ang aan deseus -->eec('c:\sclabc\luasbs.sc') -->functon hslluasbs(r); --> hsl 0.5*%p*r^; -->endfuncton; -->

10 getf() Fungs: mengambl / mengatfan fle *.sc pada suatu fungs ang lan functon Vvolbs(h,r) getf('c:/sclabc/luasbs.sc') 3 Vh*luasbs(r) 4 endfuncton

11 ls fle_dr Fungs: menamplan fle pada dretor fle -->ls c:/scnum ans!volbs.sc!!!!luasbs.sc! --> Apabla fungs atau modul ang aan dgunaan cuup bana,maa penggunaan getf() tda efetf genlb( nama, fle_dr ) Fungs: membangun lbrar dar fungs (*.sc) pada dretor fle -->genlb('lbsbs','c:/scnum')

12 load( fle_dr/lb ) Fungs: memanggl lbrar dar fungs pada dretor fle -->load('c:/scnum/lb')

13 DIFFERENSIASI NUMERIK Persamaan dfferensal merupaan model matemats ang palng serng muncul dalam bdang etenan maupun santf Salah satu penelesaanna dengan metode beda hngga (fnte dfference)

14 Defns turunan (dervatf) ( ) df d f ' ( ) lm f ( ) f ( ) 0 0 Ja h 0 maa pendeatan turunan d atas adalah ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f 0 0 f '( 0 ) h d Detahu suatu fungs f (), ngn dcar pada 0. d Penelesaanna dapat menggunaan 3 cara atu :. Forward Dfference (Beda Maju). Bacward Dfference (Beda Mundur) 3. Central Dfference (Beda Pusat)

15 . Metode Beda Maju (Forward Dfference) Beda hngga maju pertama dar pada atau ddefnsan : atau () (h) () Beda maju edua pada atau ddefnsan : atau () (h) (h) () Sehngga penelesaanna bsa dtulsan : d d ( ) atau h d f ( ) f ( ) 0 0 d 0

16 . Metode Beda Mundur (Bacward Dfference) Beda hngga mundur pertama dar pada atau ddefnsan : atau - () () (-h) Beda mundur edua pada atau ddefnsan : atau - - () () (-h) (-h) Sehngga penelesaanna bsa dtulsan : d d ( ) atau h d f ( ) f ( 0 0 d 0 )

17 3. Metode Beda Pusat (Central Dfference) Beda hngga terpusat pertama dar pada atau ddefnsan : atau δ() (/ h) (-/ h) Turunan beda terpusat selanjutna adalah : d d h ( ) ; ( ) d d h d 3 d 3 h 3 ( ) Penelesaanna dapat dtulsan d d h ( ) atau d f ( ) f ( 0 0 d 0 )

18 Dervatf Orde Dua Untu penurunan (dervatf) pangat dua dengan metode beda hngga terpusat dgunaan rumus dengan bentu : d d h ( ) Atau dapat juga dtulsan : d d 0 f ( 0 ) f ( 0 ) f ( 0 )

19 INTEGRASI NUMERIS n Ja ada fungs Y f ()d sedangan f() sult seal 0 untu dntegrasan secara analt, maa cara ang palng mudah adalah dengan mengntegrasanna secara numer f() 0 n- n

20 Dalam perhtungan ntegras numer, luasan d bawah urva aan dubah dalam bentu trapesum, dmana ruang osong merupaan bagan dar esalahan numer Untu mengatas esalahan dlauan dengan cara membag menjad trapesum dengan segmen ang lebh ecl Integras dlauan dengan menggunaan nterval ang sama (homogen) sepanjang batas ntegras dar 0 sampa n Batas/nterval ntegras dbag menjad n nterval ( ) n n 0 Batas nterval dber ndes 0,,,.., n sehngga 0.

21 Penelesaan numer dapat dlauan dengan dua cara, atu Trapezodal Rule n Smpson Rule n n f ()d f ( ) f ( ) f (n) 0 0 f()d 0 3 f( 0 ) 4 n,3,5 f( ) n,4,6 f( ) f( n )

22 AKAR PERSAMAAN (PERSAMAAN NON LINIER) Merupaan bentu persamaan aljabar ang nlana sama dengan nol Untu satu varabel bebas, maa f() 0 Bana dgunaan dalam model etenan maupun sants

23 Metode Penelesaan Aar Persamaan. Metode Pengurungan (bracetng method) Memerluan dua tt sebaga tebaan awal. Metode Terbua (open method) Hana memerluan satu tt sebaga tebaan awal

24 . METODE PENGURUNGAN Dlauan dengan meneba anga a. Metode Bsecton (bag dua) b. Metode Regula Fals (poss palsu) atau Metode Interpolas Lner

25 a. Metode Bsecton (Bag Dua) Merupaan metode ang palng sederhana Dawal dengan meneba dua nla atu nla bawah (sblm aar) a dan nla atas (stlh aar) b Tebaan benar ja f( b ) dan f( a ) mempuna tanda ang berlawanan : f( b ). f( a ) < 0 Ja f( b ). f( a ) > 0 maa tebaan awal dulang Nla edua tebaan dbag dua, dsebut c Nla c aan menggantan poss nla lama. Ja c berada pada poss b dsebut dengan b dan ja berada pada poss a aan dubah menjad a

26 Algortma Bsecton (Bag Dua). Teba aar atas, a dan aar bawah, b. Persa f( a ).f( b )0 stop ddapat harga aar 3. Persa f( a ).f( b )<0, ja tda embal e- 4. Persa rtera penghentan, ja terpenuh stop tuls aar 5. Perraan aar ang dcar c ( a b )/ 6. Evaluas aar c Htung f( c ) a. Ja f( c ).f( a )>0, maa c berada d subnterval bawah Atur a c embal e-4 b. Ja f( c ).f( a )<0, maa c berada d subnterval atas Atur b c embal e-4 c. Ja f( b ).f( c )0, maa ddapat harga aar ang dcar: c selesa

27 b. Metode Regula Fals (Poss Palsu) Merupaan perbaan dar metode bsecton Dlauan dengan menar gars lurus pada edua nterval b dan a Harga c a f f ( )( ) a b a ( ) f ( ) Algortma sama dengan metode bsecton, hana tahapan 5 dgant nla c na b a

28 . METODE TERBUKA Dlauan dengan meneba anga a. Metode Pertemuan Dua Graf b. Metode Newton Raphson c. Metode Secant

29 b. Metode Newton Raphson Mula-mula dperraan harga awal emudan dpotongan thd urva dan dtar gars snggung Garssnggungmerupaantangenatau slope. Slope merupaan turunan pertama dar f( ) sehngga ddapat hubungan : f ( ) ( ) f ' ( ) Persamaan Newton Raphson : f ( ) f '( )

30 Algortma Newton Raphson. Tulsan fungs f(). Car harga f () 3. Masuan tebaan awal 0 4. Masuan parameter penghentan program : Kesalahan relatf perraan E bs Jumlah teras masmum 5. Insalsas harga : teras 0 dan E as. E bs 6. Ja esalahan relatf (E as > E bs ) dan (teras < teras maasmum) maa : a. Harga b. Ce harga E as ter ( ) ( ) c. Iteras teras 7. Ulang 6 sampa onds tercapa 8. Tuls ter aar E as f f ' ter ter ter

31 c. Metode Secant Kelemahan metode Newton Raphson, harus mencar turunan pertama dar fungs f( ) Metode secant untu menghndar turunan pertama dengan turunan numer mundur f ' ( ) f ( ) f ( )

32 Sub Program PERSAMAAN NON LINEAR Sclab menedaan sub program untu menelesaan satu atau beberapa sstem persamaan non lnear secara smultan dengan menggunaan perntah fsolve fsolve(0, persamaan) Contoh : Aan dcar aar persamaan smultan non lnear dar : Kedua persamaan dubah menjad : f f (, ) 0 0 (, ) Persamaan dtuls dalam bentu matr dengan sebaga () dan sebaga ()

33 Contoh : Detahu persamaan Van der Waals untu menggambaran onds gas non-deal : P a V ( V b) RT Htunglah volume molar udara (V) pada 50 atm dan suhu -00 o C ja detahu nla onstanta a.33 atm.lter /gmol, b lter/gmol dan R lter.atm/k.gmol

34 PERSAMAAN DIFERENSIAL. Persamaan Dferensal Basa (ODE), hana terdapat varabel bebas d d d d. Persamaan Dferensal Parsal (PDE), terdapat lebh dar varabel bebas T α T t

35 Persamaan Dferensal Basa (ODE) Berdasaran pangat (Orde) : PDB Orde satu : PDB Orde dua : d d d d 3 d d d PDB Orde tga : a b 3 d d d Berdasaran onds batas : IVP (Intal Value Problems), bla nla varabel ta bebas atau turunanna detahu pada onds nla mula-mula BVP (Boundar Value Problems), bla nla varabel ta bebas atau turunanna detahu lebh dar satu nla varabel bebasna d d

36 Persamaan Dferensal Parsal (PDE) PDE Order satu : PDE Order dua : PDE Order tga : 0 C C α 0 C D C e 0 u u u 3 3

37 Penelesaan Persamaan Dferensal Basa (ODE). Metode Euler (Esplst). Metode Euler Modfas (Implst) 3. Metode Runge-Kutta

38 . Metode Euler (Esplst) Dsebut juga metoda ntegras nla awal d d (, ) Konds awal : ( 0 ) 0 f d f (, )d f (, ) h f (, ) d

39 Perbandngan Analts dengan Metode Euler (Esplst) Persamaan dferensal ang dselesaan: d Dmana 0, (onds awal); a 3, h0.5 d analt euler % slhan

40 Algortma Metode Euler (Esplst). Tentuan 0 dan 0. Tentuan nla awal 0 dan nla ahr a dar varabel bebas 3. Tentuan nla h 4. Insalsas 0 5. Buat persamaan f(,), modul terpsah 6. Vetor ()[ 0, 0 h, 0 h,, a ] 7. Jumlah loop, n( a - 0 )/h 8. Untu 0 sampa n- maa : 9. hf(, ) 0. h. Smpan nla,. Lanjutan

41 . Metode Euler Modfas (Implst) Untu memperecl esalahan Merupaan gabungan antara beda maju dan beda mundur Beda maju pertama dar pada sama dengan beda mundur pertama dar pada sehngga (, ) h f

42 Untu memperba metode Euler, maa metode Euler esplst dgunaan untu mempreds nla ( ) h f (, ) pred Nla preds pada persamaan d atas dgunaan untu mengores metoda mplst ( ) h f,( ) Persamaan d atas dsebut dengan Metode Predtor Koretor atau Metode Heun Kombnas metoda beda maju dan beda mundur dtulsan dalam bentu ( ) or pred ( ) ( ) h f (, ) h f (, ) f pred f corr f pred f corr

43 Perbandngan dengan Analts analt euler % slhan Euler euler-mod % slhan Euler-mod

44 3. Metode Runge-Kutta Merupaan metode untu menelesaan persamaan dferensal dengan eteltan dan establan ang cuup tngg. Sangat umum dgunaan untu menelesaan bentu PDB ba lnear maupun non lnear dengan problema onds awal

45 Bentu penelesaan berdasaran orde (pangat): Orde (pangat) dua: ( ) Dmana nla dar adalah : h f (, ) h f ( h, ) Orde (pangat) tga : ( 3 ) 6 4 Dmananladar adalah : h f (, ) Orde (pangat) empat : Dmananladar adalah : h h f, ; 3 h f ( h, ) h f (, ) h f h, 6 ( ) 3 h f h, 3 ( h, ) 4 h f 3 4

46 Perbandngan dengan Analts analt euler slhan Euler % euler-mod % slhan Eulermod r4 % slhan r

47 Sub Program PDB Sclab menedaan sub program sap paa untu menelesaan persoalan PDB ode (0,t0,t,fungs) Bentu persamaan : d dt fungs Dmana : 0 onds awal dar varabel ta bebas () t0 onds awal dar varabel bebas (t) t batasan smulas dar varabel bebas

48 Persamaan Dferensal Basa Smultan Merupaan seumpulan persamaan dferensal basa ang harus dselesaan secara smultan. d d d d d. n d f f f (,,,..., ) n (,,,..., ) (,,,..., ) n n n

49 Penelesaan dengan menggunaan metode Runge Kutta orde empat, j Dengan nla adalah :, j, j 3, j 4, j hf hf hf hf j j, j 6 ( ) j (,,,..., ) j j ( h,,,..., ), h, h,,,,, 3,,n,,,,,,, j 3,,, 3 j,...,,..., Dmana j,,, n menunjuan nomor persamaanna,n,n,n 4 j 3,n,n,n

50 Jadalamsstemterdapatduapersamaandferensalbasa dengan bentu d d d d f f (,, ) (,, ) Maa penelesaan persamaan dferensal basa tersebut dengan menggunaan metode Runge Kutta orde 4 secara smultan adalah :,,,, 6 6 (,, 3, 4, ) ( ),, 3, 4,

51 dmana : ( ) ( ) ( ) ( ) 3,, 3,, 4, 3,, 3,, 4,,,,, 3,,,,, 3,,,,,,,,,,,,,,,,,, h, hf, h, hf,, h hf,, h hf,, h hf,, h hf,, hf,, hf

52 Aan dselesaan dan dvsualsasan dua buah persamaan dferensal basa sebaga berut : d d d d Dengan onds awal (batas) : 0; 4;

53 Contoh : Dua buah tang ar tersambung secara ser dan salng bernteras. Kecepatan alran eluar merupaan fungs aar uadrat dar etnggan ar, jad untu tang ecepatan alranna adalah h h sedangan untu tang sebaga fungs h. Aan dtentuan etnggan h dan h sebaga fungs watu dar t 0 sampa t 40 ment dengan nterval 4 ment. Setelah dsusun neraca bahan, dperoleh persamaan dferensal smultan sebaga fungs watu : dh dt F β h h A ; h h A dt A h A dh Harga-harga parameter ang ada : β,5 ft,5 /ment β 5/ 6 ft 3 /ment A 5 ft A 0 ft F 5 ft 3 /ment Dengan onds awal pada t 0, h ft dan h 7 ft β β

54 Uap campuran eluar dar ondensor parsal olom destlas ang beroperas pada atm dengan omposs 47% mol ar (), 0% mol asam format () dan ssana methanol (3). Pada ondensor terjad esetmbangan antara uap dan caranna dan berlau persamaan-persamaan berut : K dmana, K o P P dan untu P 0 dperraan dengan persamaan Antone : B Po ep A T C dengan,, 3 dan Perraanlah suhu operas pada operas ondensor (dewpont uap campuran) dalam o C, dengan data onstanta A 8,304 A 6,988 A3 8,50 B 386,4 B 3599,6 B3 3593,4 C -46,3 C -6,09 C3-35,5 P o dalam mmhg dan T dalam Kelvn