JURNAL MATEMATIKA DAN KOMPUTER Vol. 7. No. 1, 1-10, April 2004, ISSN : PROGRAM NONLINEAR FUZZY

Transkripsi

1 JURNAL MATEMATIKA DAN KOMPUTER Vol. 7. No., -, Aprl 4, ISSN : PROGRAM NONLINEAR FUZZY Kharudn Dosen Tetap Jurusan Teknk Spl Fakultas Teknk Spl dan Perencanaan Unverstas Bung hatta Padang e-mal:kha_px67@yahoo.com Astract Nonlnear programmng prolems have not een developed yet and stll to e attenton for research just recently. In ths paper wll e ntroduced smple fuzzy nonlnear programmng prolem wth any memershp nonlnear functon, lke proposed y Wang and Tang n ther paper at 995 to 997(Gen and Cheng, ). Va defuzzyfcaton process y Belmann and Zadeh (97) so that wll e mproved that fuzzy nonlnear programmng prolem can e transformed nto conventonal nonlnear prolems. Key-word : Nonlnear programmng prolem;fuzzy nonlnear programmng; nonlnear memershp functon Astrak Masalah program nonlner elum anyak dkemangkan dan mash menjad perhatan rset-rset elakangan n. Dalam paper n dahas masalah program nonlnear fuzzy sederhana dengan fungs keanggotaan nonlnear tertentu, sepert yang dkemukakan oleh Wang dan Tang dalam papernya pada tahun 995 hngga 997 (Gen dan Cheng, ). Melalu proses defuzzfkas Belmann dan Zadeh (97) akan dtunjukkan ahwa masalah program nonlnear fuzzy dapat dtransformaskan ke masalah nonlnear konvensonal. Kata-kata kunc : Masalah program nonlnear;program nonlnear fuzzy; Fungs keanggotaan nonlnear.. PENDAHULUAN Pada tahun 97 Zmmermann memperkenalkan masalah program lnear fuzzy (Sakawa, 993 ). Masalahnya erawal dar persoalan program lnear konvensonal(:kharudn, ). Demkan pula halnya dengan masalah program nonlnear fuzzy tdak terlepas dar pemahaman terleh dahulu terhadap program nonlnear. Alasan memuat suatu program lnear atau nonlnear menjad fuzzy adalah untuk melenturkan kekakuan yang terjad pada fungs tujuan dan kekakuan yang dmlk oleh konstran-konstrannya. Bentuk mnmum dar program nonlnear konvensonal adalah:

2 Program Nonlnear Fuzzy ( Kharudn ) mnmze f dengan konstran( s. t) g, =,,..., m atau dapat juga dtuls mnmze f n { ( ),,,... } dengan konstran x X = x R g x = m () f dan g adalah fungs fungs nonlner ernla real. masalah program nonlnear adalah menentukan vektor x = [ x,x,,x n ] T yang memnmumkan atau memaksmumkan fungs tujuan f(x). Karena masalah max f(x)= - Mn (- f(x) ) maka persoalan mnmum dapat dawa ke persoalam maksmum, demkan juga sealknya. Beerapa algortma atau metoda yang sudah dkenal dapat dgunakan untuk menyelesakan masalah program nonlnear dengan kendala n, tetap saat n sudah ada perangkat lunak yang dapat menyelesakan masalah terseut, dantaranya menggunakan program QS, MATLAB, GAM dan LINGO. Berkut satu contoh masalah program nonlnear yang dselesakan oleh QS ( Taha,H.A;996 ); mnmumkan f(x) = x 4 - x 5x x x 3 dengan kendala g (x) = x - x x 3 3 g (x) = x 3 x 4x 3 Dperoleh solus x=(x, x, x 3 )=( ; ; ). () Ddalam paper n akan dahas masalah program nonlnear fuzzy, yatu program nonlnear yang menggunakan unsur-unsur fuzzy yang dlengkap oleh suatu fungs keanggotaan ( memershp functon ). Pemahasan leh dttk eratkan agamana mengkonverskan masalah program nonlner fuzzy kedalam masalah program nonlner konvensonal yang selanjutnya dapat dselesakan dengan program QS.. PROGRAM NONLINEAR FUZZY Berawal dar masalah program nonlnear konvensonal yang memlk kekakuan pada fungs tujuan dan konstran-konstrannya maka akan dlenturkan

3 JURNAL MATEMATIKA DAN KOMPUTER Vol. 7. No., -, Aprl 4, ISSN : dengan menjadkannya ke entuk vers fuzzy ( Sakawa,993) yang mempunya entuk ; smol m ~ nmze f (x) dengan konstran g (x), =,,..., m m n ~ mze dan menyatakan suatu kelenturan atau vers fuzzy dar persoalan mnmze asa dengan tanda ; yang erart ahwa fungs ojektf akan dmnmalkan seefektf ( seak ) mungkn dengan konstran yang tepat akan dmungknkan terpenuh. Suatu masalah program nonlnear konvensonal dkatakan erentuk fuzzy la ddalam masalah program nonlnear terseut terdapat unsur-unsur fuzzy yang dtanda dengan memerkan fungs keanggotaan ( memershp functon ) µ ( g (x) ),=,,.,m yang daml oleh pengaml keputusan ( decson maker / DM ). Dalam hal n DM harus menentukan fungs keanggotaan secara sujektf yang merupakan fungs monoton turun tegas ( strctly monoton decreasng functon ) yang respek terhadap g dengan entuk erkut; (3) µ ( g (x) )= d ; g ; g ; g g g g g (4) dengan g dan g menyatakan nla g sehngga grade ( tngkat ) fungs keanggotaan µ ( g (x) ) adalah dan dan grade untuk nla dantaranya dekspreskan oleh suatu fungs monoton turun d (x) yang respek terhadap g, n dapat dtunjukan oleh gamar. µ ( g (x)) d (x) g g g (x) Gamar. Fungs keanggotaan monoton turun tegas 3

4 Program Nonlnear Fuzzy ( Kharudn ) Berkut n dperkenalkan model program nonlnear fuzzy yang dkemukakan oleh Gen dan Cheng ( ). Menurut Gen dan Cheng ada eerapa hal yang melput masalah program nonlnear dengan fungs tujuan dan konstran fuzzy adalah;. Nla ojektf yang dngnkan pengaml keputusan (DM) ukanlah suatu maksmum aktual tetap suatu nla fuzzy. DM mengaspraskan untuk mencapa suatu tngkat z dan tdak kurang dar tngkat terawah z -p. Jad derajat yang dngnkan DM menngkat dengan menngkatnya nla ojektf.. Kuanttas yang terpaka pada sumer-sumer ke- ( =,,3,m) mengalam kenakan yang dterma oleh DM dengan cara mengadakan overtme work, menggunakan kuanttas yang terseda dan seaganya. Dengan menganggap ahwa kuanttas terpaka yang drencanakan pada sumer adalah (=,, m ), kenakan teresar dapat dterma DM adalah p dan kuanttas terpaka fuzzy dnotaskan oleh yang dhuungkan ke suatu fungs keanggotaan monoton turun tegas. Untuk tpe sumer n dgunakan tdak meleh dar yang teseda. 3. Kuanttas yang terpaka untuk tpe sumer lannya (=m,m,..,m) adalah tdak menentu(mprecse). Asumskan yang terpaka dar jens sumer n adalah suatu taksran dengan ratarata dan kesalahan (error) masng-masng mempunya tpe fungs L-R p dan p yang ( Left-Rght ) dar fungs keanggotaan. Untuk tpe sumer n dgunakan seanyak yang dmungknkan. Berdasarkan 3 hal terseut datas, entuk lan dar masalah optmsas fuzzy adalah: m ~ ax f (x) dengan kendala g (x) g (x) = x =,,..., m = m,m,..., m ( 5 ) 4

5 JURNAL MATEMATIKA DAN KOMPUTER Vol. 7. No., -, Aprl 4, ISSN : dengan x adalah varael keputusan dmens-n ; x=[x,x,.,x n ] T, dan adalah vektor sumer fuzzy yang terseda dengan = [,,..., ]. Bentuk ( 5 ) dapat djadkan keentuk (3), demkan juga sealknya. Wang dan Tang ( dalam Gen dan Cheng, )memperkenalkan fungs keanggotaan yang menyatakan langan fuzzy sumer ke (=,, m ), msalkan sumer fuzzy yang ddefnskan oleh; untuk fuzzy ojektf dan fuzzy konstran. Untuk ; g r g µ = ; ( ) g x p p ; g > p dengan r > µ menunjukan ketercapaan dar suatu µ adalah fungs turun tegas secara monoton yang menunjukan tngkat yang dapat dcapa dar sumer fuzzy (=m,m,.,m), msalkan m ( 6 ). Sedangkan untuk sumer- µ ddefnskan oleh µ ; g p r g ; p g p = r g ; g p p ; g > p ( 7 ) µ adalah tpe fungs L-R yang menunjukan tngkat akuras dar estmas untuk sumer fuzzy. Dengan cara serupa, msalkan µ (x) fungs keanggotaan dar konstran fuzzy ke- yang ddefnskan oleh µ (x) = max = µ y g (x) (g { µ (y) } (x)) = µ (g (x)) =,,..., m = m, m,..., m 5

6 Program Nonlnear Fuzzy ( Kharudn ) µ (x) mereflekskan derajat yang ngn dcapa DM dengan konstran fuzzy ke pada ttk x. Msalkan µ (x) menggamarkan ojektf fuzzy m ~ ax f (x) yang ddefnskan oleh ; f z p r z f µ = ; z p f z ; f z p µ (x) adalah fungs kontnu monoton turun tegas dan menunjukan derajat ( 8 ) kepuasan dar fungs ojektf fuzzy pada ttk x. Tentu saja fungs keanggotaan yang menggamarkan fuzzy ojektf dan fuzzy konstran dapat dtentukan oleh DM dengan jens lannya, msalnya fungs eksponensal, logartmk dan seaganya. Masalah terseut datas dseut seaga fungs ojektf dengan resource nonlner program (FO/RNP) yang dapat dselesakan. 3. PENYELESAIAN PROGRAM NONLINIER FUZZY. Berpedoman kepada fuzzy decson yang dkemukakan Bellman dan Zadeh ( 97) dan dengan menggunakan fungs keanggotaan (4) maka masalah menentukan keputusan yang memaksmalkan adalah memlh x * sedemkan hngga µ D ( x * )= max mn { µ ( g (x) ) } ( 9 ) =,,...,m Dengan mengaml varael searang λ maka masalah ( 9 ) dapat dtransformas ke dalam masalah program nonlnear konvensonal yang ekvalen yatu; Maxmze λ Dengan kendala λ µ ( g (x) ), =,,,m ( ) Persoalan erkutnya adalah menyelesakan masalah ( ) dengan menggunakan algortma atau program yang sudah dkenal, dantaranya program QS sehngga akan dperoleh keputusan yang memaksmalkan. Dalam fuzzy decson aslnya, Belmann dan Zadeh menggunakan hmpunan alternatf X= R n untuk memperkenalkan konsep program matematk 6

7 JURNAL MATEMATIKA DAN KOMPUTER Vol. 7. No., -, Aprl 4, ISSN : fuzzy secara generalsas. Msalkan suatu fuzzy goal G pada X dkaraktersaskan oleh fungs keanggotaan µ G : X [,] ( ) dan fuzzy konstran C pada X dkarakteraskan oleh fungs keanggotaan µ C : X [,] ( ) sehngga fuzzy decson D yang dentuk dar fuzzy goal G dan fuzzy konstran C ddefnskan oleh µ D (x) = mn ( µ G (x), µ C (x) ) ( 3 ) keputusan yang memaksmalkan ( jka ada ) merupakan keputusan optmal dan derkan oleh max µ x X D (x) = max mn ( µ x X G (x), µ C (x)) ( 4 ) Sepert halnya Belmann dan Zadeh (97), Tanaka (dalam Sakawa, 993) memformulaskan masalah program matematka fuzzy seaga pencaran maksmum fuzzy decson. Kenyataannya ahwa tdak selalu ada x X yang menghaslkan keputusan maksmal, Tanaka Mengekspreskan masalah program matematka fuzzy seaga erkut; sup µ x X D (x) = sup x X { mn ( µ (x), µ (x))} G C ( 5 ) Walaupun terlhat sangat sult menentukan keputusan yang memaksmalkan dar fungs keanggotaan µ G (x) dan µ C (x), dengan eerapa asums dar fungs keanggotaan, Tanaka memuktkan ahwa masalah n dapat dreduks ke entuk masalah program matematka konvensonal erkut; Sup µ G (x) Dengan kendala µ G (x) µ C (x) ( 6 ) 4. APLIKASI PADA PERENCANAAN PRODUKSI Suatu park manufaktur akan memproduks jens produk A dan B dalam perode ulan. Produk A dan B memutuhkan 3 jens sumer ( ahan ) R,R dan R 3. Keutuhan untuk memproduks arang A dar ketga ahan terseut masng-masng adalah, 3 dan 4 unt. Untuk memproduks arang B masng-masng adalah 3, dan unt. Kapastas ahan R dan R yang terseda 7

8 Program Nonlnear Fuzzy ( Kharudn ) adalah 5 dan 44 unt, tetap dtolerr ada penamahan masng-masng seesar 3 dan unt untuk safety store yang dperkenankan oleh general manajer. Sedangkan nla taksran anyaknya ahan R 3 yang terpaka adalah 36 unt dengan kesalahan taksran seesar 5 unt. Penyelesaan. Msalkan anyaknya produk yang drencanakan dar A dan B masng-masng adalah x dan x. unt cost ( aya/ unt ) dan sale prce ( harga jual ) dar produk A dan B masng-masng dnotaskan oleh; Selanjutnya DM UC = c US = UC = c US = mengharapkan ahwa total proft mencapa suatu tngkat aspras z tetap tdak kurang dar suatu lower level ( tngkat awah ) z p. Hal n adalah tpkal dar model FO/RNP prolem yang oleh Wang dan Tang ( dalam Gen dan Cheng, ) dapat dekspreskan seaga erkut: / a / a x x k / k a / Max f (x) = kx cx k x c x s.t. x 3x 5 ~ 4x x 4 ~ 4 3x x = 3 ~ 6 x, x dengan p =3, p =, p 3 - =p 3 =5 k =5, k =45, c =8, c =, dan a =a = Dengan mengaml z o = 5 dan z o p o = dan menggunakan ( 8 ) dperoleh; a,r= ; f / / 5 (5x 8x 45x x) µ = ; f 5 3 ; f 5 8

9 JURNAL MATEMATIKA DAN KOMPUTER Vol. 7. No., -, Aprl 4, ISSN : selanjutnya untuk konstran ketaksamaan, dengan ( 6 ) dperoleh; ɺɺɺ = ;5 x 3x 8 µ µ ɺɺɺ ;x 3x 5 ( x 3x 5) 3 ;x 3x 8 ;4x x 44 ( 4x x 44) ;4x x 64 = ;44 4x x 64 dan konstran persamaan, dengan ( 7 ) dperoleh; ; 3x x 3 36 (3x x ) 5 µ = 3 3x x 36 5 ;3x x 4 ;3 3x x 36 ;36 3x x 4 Jad dengan menggunakan ( ) maka persoalan datas dapat dawa ke masalah program nonlner konvensonal: max λ dengan kendala 5 / 3x / 3x / 5x 3/ 5x 3/ 5x /x /x / 5x / 5x x, x, λ / 8/ 3x 45 / 3x Selanjutnya dengan program QS dperoleh penyelesaan: / / 3x λ 8/ 3 λ 3, λ 8, λ 6. λ 4 x = 9,68599, x = 5,4677, λ=,94454 dan f(x)= 8,745 Hasl n memang tdak seak yang dselesakan oleh Gen dan Cheng () yang menggunakan Algortma Genetk, dperoleh x =9,76 λ =,5 dengan nla max f(x)=8,75., x =5,67 dan 9

10 Program Nonlnear Fuzzy ( Kharudn ) 5. KESIMPULAN Berdasarkan uraan yang dkemukakan seelumnya, dapat daml eerapa kesmpulan; a. Program nonlner fuzzy dapat dawa keentuk program nonlner konvensonal yang ekvalen.. Penyelesaan program nonlner fuzzy adalah dengan menyelesakan program nonlner konvensonal ekvalen yang selanjutnya dselesakan dengan menggunakan algortma atau perangakat lunak yang sudah dkenal. c. Penyelesaan program nonlner dapat menggunakan algortma genetk agar mendapatkan hasl yang leh akurat. DAFTAR PUSTAKA Belman,R.E., and Zadeh,L.A., 97, Decson Makng n a Fuzzy Envronment, Management Scences, 7, pp Gen,Mtsuo and Cheng,R,, Genetc agorthms and Engneerng Optmzaton, John Wley & Sons Inc, New York. Kharudn,, Masalah Program Lner Fuzzy, Jurnal teknka FTI Unverstas Bung Hatta ( dterma,) Sakawa,M., 993, Fuzzy Sets and Interactve Mult Ojectve Optmzaton, Plenum Press, New York Taha,H.A., 996, Operatons Research, dterjemahkan oleh Drs. Danel Wrajaya, Bna rupa Aksara, Jakarta.