Model Epidemi Seir dengan Insidensi Standar. Model of SEIR Epidemic with Standard Incidence

Transkripsi

1 POLI EKAYASA Volume omor Oktoer 6 ISS : Model Epdem Ser dengan Insdens Standar Model of SEI Epdemc wth Standard Incdence on Tr Putra Jurusan Teknk Spl Polteknk eger Padang Kampus Lmau Mans Padang 56 Telp Fax Emal : putra_tryronny@yahoocod Astract In ths paper t wll e studed stalty for a SEI epdemc model wth nfectous force n latent nfected and mmune perod wth standard ncdence From the model t wll e found nvestgated the exstence and unqueness soluton of ponts ts equlrum Exstence soluton of ponts equlrum proved y show ts dfferental equatons system of equlrum contnue and unqueness soluton of ponts equlrum proved y show ts dfferental equaton system of equlrum dfferentale contnue Key words : Exstence Soluton Unqueness Soluton Equlrum Ponts Standard Incdence PEDAHULUA Perkemangan lmu pengetahuan d dang matematka turut memerkan peranan pentng dalam menggamarkan fenomena penyearan penyakt Peranan terseut uangkan dalam entuk model matematka yang dapat danalss sfatsfatnya Pemodelan matematka merupakan dang matematka yang erusaha untuk merepresentas dan menjelaskan sstemsstem fsk atau prolem pada duna rl dalam pernyataan matematk sehngga dperoleh pemahaman dar prolem duna rl menjad leh tepat epresentas matematka yang dhaslkan dar proses n dkenal seaga Model Matematka Konstruks analss dan penggunaan model matematka dpandang seaga salah satu aplkas matematka yang palng pentng Model matematka dgunakan dalam anyak dspln lmu dan dang stud yang ereda Kta dapat mencar aplkas model matematka d dang-dang sepert fska lmu sosal dan poltk ekonom sns dan keuangan prolem-prolem jarngan komputer serta lmu olog dan kedokteran Dantara aplkas model matematka pada dang lmu olog dan kedokteran adalah model matematka yang erkatan dengan penyakt menular Pemodelan penyakt menular mendapat perhatan esar dalam stud epdemolog Tujuan utama dar pemodelan adalah menjawa peran nfeks penyakt dalam mengatur populas alam yatu mengurang fluktuas alam populas yang ternfeks Penerapan model matematka dan teknk matematka untuk mendalam masalah oscences dpelajar dalam mathematcal oscences Salah satu caang mathematcal oscences adalah mathematcal epdemology yang mempelajar tentang penyearan dan pengendalan penyakt Mempelajar model epdem yang ddalamnya termasuk penyakt penyea kematan pada suatu populas total yang eruah merupakan hal pentng dalam mathematcal epdemology Banyak model-model matematka yang telah dkemangkan ertujuan untuk mempelajar penularan penyakt untuk mengevaluas penyearan dar epdem dapat mencegah adanya penyakt atau untuk memnmalsr penyearan penyakt Dalam kurun waktu yang panjang memaham perlaku penyakt akan memantu untuk mengetahu apakah epdem akan menghlang atau tetap erada dalam suatu populas 7

2 POLI EKAYASA Volume omor Oktoer 6 ISS : Epdemology merupakan suatu caang lmu yang mempelajar agamana terjad epdemk dalam suatu populas makhluk hdup Dengan menggunakan pemodelan matematka yang ddasarkan pada asums-asums tertentu dharapkan dar model yang dsusun dapat menjelaskan fenomena dan mengaml tndakan apa yang harus dlakukan jka terjad epdem Epdem merupakan suatu keadaan dmana erjangktnya suatu penyakt menular dalam populas pada suatu tempat yang meleh perkraan kejadan normal dalam perode yang sngkat Bla penyakt terseut selalu terdapat dalam suatu tempat egtupun dengan faktor penyeanya maka dkatakan Endemc kemudan la penyakt terseut mempunya ruang lngkup penyearan yang sangat luas (gloal) maka dseut Pandemc Perlaku dnamk dar sstem untuk menganalss dnamka penyearan penyakt terdapat eerapa model matematka yang serng dgunakan Modelmodel terseut memlk konsep yang sama yatu compartmental epdemolog (pemagan kelas) yang menggamarkan penyearan penyakt dar masng-masng kelas Jad dalam suatu populas akan terag menjad eerapa kelas dmana masng-masng kelas mewakl tahapan yang ereda Kelas S (susceptle) dgunakan untuk mewakl ndvdundvdu yang rentan terhadap nfeks vrus kemudan kelas I (nfectous) dgunakan untuk mewakl ndvdu-ndvdu yang telah ternfeks dan mampu menularkan atau menyearkan penyakt ke ndvdu pada populas rentan untuk kelas (recovered) dgunakan untuk mewakl ndvdu-ndvdu ternfeks yang telah semuh dar penyakt dan memlk kekealan permanen yang artnya ndvdu terseut tdak akan ternfeks lag untuk jens penyakt yang sama amun pada model SIS kelas (recovered) mewakl ndvdu-ndvdu yang telah semuh dan akan tereas dar nfeks vrus kemudan akan memasuk populas rentan (susceptle) kemal Pada model-model epdemk yang memperhatkan adanya perode laten(masa nkuas) sepert model SEI MSEI terdapat kelas E(exposed) yang dgunakan untuk mewakl ndvdu-ndvdu yang aru ternfeks dan memasuk perode latent dalam perode n ndvdu terseut tdak memlk kemampuan untuk menularkan penyakt ke ndvdu lan sedangkan kelas M (Maternallydervedmmunty) dgunakan untuk mewakl ndvdu-ndvdu yang aru lahr dan memlk kekealan pasf yang ddapatkan dar unya namun hal n hanya erlangsung sementara kemudan ndvdu pada kelas M n akan memasuk kelas rentan (susceptle) Model matematka epdem dantaranya SI SIS SEI MSEI dan termasuk model SVID Beraga macam penyakt epdem sepert campak (measles) tuercoloses malara dan Human Immunodefcency Vrus(HIV) mempunya perode laten Perode laten adalah selang waktu dmana suatu ndvdu ternfeks sampa munculnya penyakt Adanya perode laten n menjad alasan pementukan model epdem SEI yakn munculnya kelas exposed Dalam tulsan n hanya akan dahas model epdem SEI Dengan eraga asums dkenal eraga model epdem dantaranya SI SIS SEI SEIS dan SEIS Dalam model SI ndvdu yang semuh mempunya kekealan sehngga tdak lag menjad rentan sedangkan untuk model SIS ndvdu yang sudah semuh tdak memlk kekealan terhadap penyakt terseut sehngga dapat menjad rentan lag Dalam model SEI SEIS dan SEIS ndvdu yang rentan melalu masa laten setelah ternfeks seelum menjad terjangkt Ada tga jens fungs ncdence yang ereda dalam model epdem SEI yatu: a Mass acton ncdence yatu laju kontak tergantung pada jumlah total populas Suatu anggota populas memuat kontak yang cukup untuk 74

3 POLI EKAYASA Volume omor Oktoer 6 ISS : menularkan nfeks dengan rata-rata anggota populas lan per unt waktu dengan adalah ukuran total populas dan adalah laju kontak Karena proaltas kontak acak oleh satu ndvdu nfectve dengan satu ndvdu susceptle adalah S sehngga jumlah nfeks aru dalam unt waktu per nfectve adalah S yang memerkan ratarata nfeks aru I SI S Standard ncdence yatu stuas dmana jumlah kontak per nfectve dalam unt waktu adalah konstan Laju kontak adalah dan ncdence yang erhuungan adalah S I Ketka jumlah total populas cukup esar sejak tu jumlah kontak yang duat satu ndvdu nfectve per unt waktu akan teratas atau menurun dengan cepat serng menngkatnya c Saturated ncdence Untuk jumlah ndvdu nfectve yang cukup esar jumlah kontak satu ndvdu susceptle per unt waktu tdak selamanya menngkat ergantung lnear dengan ndvdu nfectve Laju kontak tdak selalu lnear erart laju terseut dapat dalam entuk nonlnear Hal n sesua dengan kenyataan ahwa serng menngkatnya jumlah ndvdu nfectve maka ndvdu susceptle cenderung mengurang kontak dengan ndvdu nfectve Hal n menunjukkan adanya saturaton effect dalam laju kontak serng menngkatnya jumlah ndvdu nfectve Dar eraga lteratur elum anyak yang mengkaj model matematka epdem SEI dengan nsdens standar secara sstemats Sejalan dengan masalah yang akan dahas peneltan n mempunya tujuan seaga erkut : Mementuk model matematka epdem SEI pada populas manusa dengan nsdens standar Menentukan ttk-ttk ekulrum model epdem SEI terseut Menyeldk eksstens dan ketunggalan solus ttk ekulrum model epdem SEI Hasl peneltan n dharapkan dapat : Secara umum dharapkan dapat memerkan manfaat dan sumangan terhadap lmu pengetahuan serta untuk menamah wawasan khususnya dalam dang matematka terapan Secara khusus dharapkan dapat memerkan gamaran tentang eksstens dan ketunggalan solus ttk ekulrum model epdem SEI dengan kemampuan nfeks pada kelas laten nfeks dan semuh dengan nsdens standar METODOLOGI Metode peneltan dalam tulsan n adalah dengan cara stud lteratur serta ahan pustaka seaga referens untuk mempelajar model epdem SEI dengan nsdens standar Langkah pertama adalah dengan menentukan asums-asums yang erkatan dengan model epdem SEI sesua dengan karakterstk penyakt yang dmodelkan kemudan akan duat model matematka epdem SEI dalam entuk sstem persamaan dferensal Selanjutnya menentukan ttk-ttk ekulrum model epdem SEI terseut dengan menggunakan defns ttk ekulrum suatu sstem persamaan dferensal Setelah menentukan ttk-ttk ekulrum model terseut langkah selanjutnya menyeldk eksstens dan ketunggalan solus dar ttk ekulrum model epdem SEI terseut Eksstens solus dar ttk ekulrum model epdem SEI duktkan dengan menunjukkan ahwa 75

4 POLI EKAYASA Volume omor Oktoer 6 ISS : sstem persamaan dferensal dar ttk ekulrum model epdem SEI terseut kontnu sedangan ketunggalan solus dar ttk ekulrum model epdem SEI duktkan dengan menunjukkan ahwa sstem persamaan dferensal dar ttk ekulrum model epdem SEI terseut dferensael kontnu HASIL DA PEMBAHASA Model SEI (Susceptle Exposed nfectous recovered) pertama kal dkemangkan oleh Kermack dan Mckendrck (97) dengan memaka asums sederhana tentang laju penyearan dan penyemuhan penyakt Dalam modelnya Kermack dan Mckendrck memag populas total () menjad empat kelas yatu Susceptle S (t) merupakan jumlah ndvdu yang rentan ternfeks dan mudah ular penyakt Exposed E (t) merupakan jumlah ndvdu yang sudah ternfeks tetap elum mengnfeks Infectous ( I( t)) adalah jumlah ndvdu yang ternfeks dan ecovered ( ( t)) menotaskan jumlah ndvdu yang telah semuh dar penyakt Model SEI dengan standard ncdence adalah: ds SI S ; t de SI ee ; t () di ee I; t d I ; t S( ) S E( ) E I( ) I dengan S( t) E( t) I( t) ( t) ( t) adalah laju rekrutmen populas adalah laju kematan alam populas adalah laju kontak e adalah laju peruahan ndvdu exposed menjad ndvdu nfectous dan adalah laju kesemuhan ndvdu nfectous Dasumskan nla parameter ernla postf e dan nla awal ernla nonnegatf S I () Dengan menjumlahkan semua persamaan pada Sstem () dperoleh d Sepert pada sua seelumnya Sstem () dapat dreduks menjad sstem tga dmens karena varael tdak muncul pada persamaan pertama kedua dan ketga Sehngga dalam hal n dperoleh sstem yang leh sederhana ds SI S ; t de SI ee ; t () di ee I; t Ttk Ekulrum Sstem () mencapa ekulrum jka memenuh: ds SI S de SI ee () di ee I d Seelumnya dketahu sehngga jumlah populas total pada saat mencapa ekulrum adalah d Dar persamaan ketga Sstem () dperoleh: E I (4) e Jka nla E dsusttuskan pada persamaan kedua dperoleh SI e I e S e I (5) e Persamaan (5) dpenuh untuk e S atau I e 76

5 POLI EKAYASA Volume omor Oktoer 6 ISS : Untuk I jka nla I terseut dsusttuskan pada persamaan pertama dan ketga Sstem () dperoleh: S dan E Jad ttk ekulrum eas penyakt Sstem () adalah: Q S I (6) e Untuk S dar e persamaan pertama dperoleh I e e e e e I e I e e e I e e I e e I e (7) Jka nla I dsusttuskan pada persamaan (4) dperoleh: e E (8) e e Dar persamaan (7) dan (8) dperoleh: E I dan e I e Selanjutnya dmsalkan e (9) e Jad ttk ekulrum endemk Sstem () adalah: Q S E I e e e e e e e e () Teorema Derkan Q Q dan derkan oleh (6) (9) dan () erturut-turut () Jka maka Sstem () mempunya satu ttk ekulrum Q () Jka maka Sstem () mempunya dua ttk ekulrum yatu Q dan Q Kestalan Ttk Ekulrum Pada agan n danalss kestalan lokal dan gloal masng-masng ttk ekulrum dar Sstem () Theorema Derkan nla awal S I serta Q Q dan erturut-turut derkan oleh (6) (9) dan () () Jka maka ttk ekulrum Q stal asmtotk lokal dan stal asmtotk gloal d () Jka maka ttk ekulrum Q stal asmtotk lokal Bukt e () Dketahu e e e e e () Kestalan lokal ttk ekulrum Q dseldk dengan mengevaluas lnearsas dar Sstem () d ttk terseut Seelumnya entukan matrks Jacoan 77

6 POLI EKAYASA Volume omor Oktoer 6 ISS : f f f Z I V f f f J V Z I f f f Z I V uas kanan Sstem () erturut-turut merupakan f f dan f sehngga I S I S J ( e) e ( ) () Jka ttk ekulrum Q S I dan S devaluaskan pada matrks J pada persamaan () dperoleh: J Q ( e) e ( ) Dar matrks J Q dperoleh persamaan karakterstk seaga erkut: det I JQ ( e)( ) e e () Persamaan () dpenuh untuk atau e ( e)( ) e (4) sehngga dperoleh satu nla egen negatf Dengan demkan tnggal menentukan nla egen dar persamaan (4) yang merupakan persamaan karakterstk dar matrks: ( e) J e ( ) Dar matrks terseut dperoleh tr J ( e ) dan det J ( e)( ) e Akatnya semua nla egen matrks J mempunya agan real negatf Jad ttk ekulrum Q stal asmtotk lokal Selanjutnya kestalan gloal ttk ekulrum Q duktkan dengan menggunakan metode Lyapunov Ddefnskan D {( S I) : S E I } dan : D dengan fungs S I ee ei (5) Akan duktkan persamaan (5) merupakan fungs Lyapunov untuk Sstem () terhadap ttk Q a Karena S I ee ei fungs lnear maka dapat unjukkan ahwa fungs kontnu Selanjutnya turunan parsal fungs adalah e S E dan e I Fungs mempunya turunan parsal pertama kontnu karena ernla konstan Jad fungs kontnu dan mempunya dervatf parsal yang kontnu pada D atau C'( D) Untuk searang x D dengan x maka ( x ) Kemudan untuk D maka Jad fungs ( x ) untuk setap x D dan x dan ( x ) untuk x c Selanjutnya akan duktkan: S I S E I S E I SI e( I ee) ( e)( ee ) 78

7 POLI EKAYASA Volume omor Oktoer 6 ISS : esi ( e)( ) I ( e) ee ( e) ee es ( e)( ) I e ( e)( ) I (karena S ) e ( e)( ) I ( e)( ) ( e)( ) I Karena dan I sehngga S I Dar (a) () dan (c) maka merupakan fungs Lyapunov Kemudan akan entukan hmpunan yang memenuh sfat S I Msal {( S I) D : S I } H Daml ( S I) H erart I I Untuk I dar persamaan kedua Sstem () dan persamaan keempat Sstem () de erturut-turut dperoleh ( e) E d dan sehngga E dan Karena sehngga S Jad merupakan hmpunan nvaran teresar dalam H Selanjutnya karena H tdak memuat solus kecual ttk ekulrum Q maka setap solus dalam D menuju Q untuk t Karena D hmpunan nvaran dan setap solus dalam D menuju Q untuk t maka Q stal asmtotk gloal () Kestalan lokal ttk ekulrum Q dseldk dengan mengevaluas lnearsas Sstem () d ttk terseut Jka ttk ekulrum Q devaluaskan pada matrks J pada persamaan () dperoleh: J Q ( ) ( e) Dar matrks e ( ) J Q dperoleh persamaan karakterstk seaga erkut det I JQ e e e e (6) Persamaan (6) dapat uls dalam entuk: dengan e e e e e e e e e e Berdasarkan krtera kestalan eouth Hurwtz semua nla egen matrks J Q mempunya agan real negatf jka dan hanya jka dan (a) Karena e dan sehngga 79

8 POLI EKAYASA Volume omor Oktoer 6 ISS : () e e e e 4 4 4e e e e e e e e e Karena sehngga (c) Karena dan sehngga Dar (a) () dan (c) maka semua nla egen J Q mempunya agan real negatf Jad ttk ekulrum Q stal asmtotk lokal SIMPULA Adapun kesmpulan dar peneltan n adalah : Model epdem SEI merupakan model penyearan penyakt yang terjad pada kelompok-kelompok ndvdu yang ereda yatu kelas susceptle (kelas ndvdu yang rentan penyakt) kelas exposed (kelas ndvdu yang telah ternfeks namun elum sakt atau masa laten) kelas nfected (kelas ndvdu yang telah terjangkt penyakt) dan kelas recovered (kelas ndvdu yang telah semuh) Model matematka epdem SEI dengan nsdens standar yang memlk kemampuan nfeks pada perode laten nfeks dan semuh adalah : ds SI S ; t de di d S ) SI ee I; ; t ee t I ; t ( S E( ) E I( ) I Kestalan ttk-ttk ekulrum model epdem SEI datas adalah stal asmtotk lokal dengan menyeldk lnearsas dar sstem persamaan dferensal model epdem SEI Selanjutnya ttk-ttk ekulrum terseut dseldk dengan menggunakan metode Lyapunov dan dperoleh ahwa ttk ekulrumnya stal asmtotk gloal SAA Karena eraga keteratasan penuls menyadar peneltan dan tulsan n mash anyak kekurangannya Banyak hal yang elum tercakup dalam peneltan n Perlu dkaj leh lanjut generalsas untuk kestalan model epdem lannya dan smulas numerknya DAFTA PUSTAKA Anton H dan orresc4 Aljaar Lnear Elementer Vers Aplkas Eds Kedelapan alh ahasa oleh Indrasar dan HarmaenI Erlangga Jakarta Arrowsmth D dan Place CM 99 Dynamcal System Dfferental Equaton Maps and Chaotc Behavour Chapman & Hall Mathematc London Bazaraa MS Sheraly HD and Shetty CM onlnear Programmng Theory and Algorthms John Wley & Sons Inc ew York 99 Becerra MV 8 La Salle s Invarant Set Theory 8

9 POLI EKAYASA Volume omor Oktoer 6 ISS : vm/notes/anc/lecturepdf Boyd Stephen 8 Basc Lyapunov Theory Stanford Unversty yappdf Capazzo V Mathematcal Structures of Epdemc Systems Sprnger-Verlag Hedelerg 8 Chong KP and Stanslow HZ An Introducton to Optmzaton John Wley & Sons Unversty of ew Hampshre 984 Dearre F SI Models of Epdemcs Theoretcal Bology Gantmacher F 959 The Theory of Matrces Chelsea Pulshng Company ew York Hanh Wolfgang 967 Stalty of Moton Sprnger Verlag ew York Hrsch MW dan Smth Monotone Dynamcal Systems Unversty of Calforna Berkeley 4 Iwam S Takeuch Y dan Lu X 7 Avan human Influenza Epdemc Model Mathematcal Boscences 7 hal -5 Feng J dan HadelerKP Qualtatve Behavour of Some Smple etworks Mathematcal Gen 996 hal 59-5 Kocak H dan Hole JK 99 Dynamc and Bfurcaton Sprnger Verlag ew York Leon JS Aljaar Lnear dan Aplkasnya Eds Kelma Alh ahasa olehbondana Erlangga Jakarta 998 Luenerger GD 979 Introducton to Dynamc System Theory Models & Aplcaton John Wley & Sons ew York gwenga O The ole of Incdence Functons on the Dynamcs of SEI Model Afrcan Insttute for Mathematcal Scence (AIMS) 9 Olsder GJ 994 Mathematcal System Theory Delftse Utgevers Maatschappj etherlands Perko L 99 Dfferental Equatons and Dynamcal Systems Sprnger Verlag ew York oss SL Dfferental Equatons eon John Wley & Sons Unversty of ew Hampshre 984 Verhultz Ferdnand 99 onlnear Dfferental Equatons and Dynamcal Systems Sprnger Verlag Berln Wggns S 99 Introducton to Appled onlnear Dynamcal Systems and Chaos Sprnger Verlag ew York 8