BAB 2 LANDASAN TEORI

Transkripsi

1 BAB 2 LANDASAN TEORI 2.4 Teor Graf Sebelum sampa pada pendefensan masalah lntasan terpendek, terlebh dahulu pada bagan n akan durakan mengena konsep-konsep dasar dar model graf dan representasnya dalam memodelkan masalah lntasan terpendek. Defns 2.. Sebuah graf G adalah pasangan (V,E) dmana V adalah hmpunan tak kosong yang anggotanya dsebut verteks dan E adalah hmpunan yang anggotanya adalah pasangan tak berurut dar verteks V yang dsebut edge. Secara umum graf dapat dgambarkan dengan suatu dagram dmana verteks dtunjukkan sebaga ttk yang dnotaskan dengan v, =, 2,,P dan edge dgambarkan dengan sebuah gars lurus atau gars lengkung yang menghubungkan dua verteks (v, v j ) dan dnotaskan dengan e k. Sebaga lustras dapat dlhat gambar 2.. yatu suatu graf yang mempunya empat verteks dan delapan edge. 8 a b d Gambar 2. Graf dengan empat verteks dan delapan edge c 8 Unverstas Sumatera Utara

2 2.2.Permasalahan Optmsas Secara umum, penyelesaan masalah pencaran jalur terpendek dapat dlakukan dengan menggunakan dua metode, yatu metode konvensonal dan metode heurstk. Metode konvensonal dterapkan dengan perhtungan matematk basa, sedangkan metode heurstk dterapkan dengan perhtungan kecerdasan buatan. Metode Konvensonal Metode konvensonal adalah metode yang menggunakan perhtungan matematk basa. Ada beberapa metode konvensonal yang basa dgunakan untuk melakukan pencaran jalur terpendek, dantaranya: algortma Djkstra, algortma Floyd-Warshall, dan algortma Bellman Ford. Metode Heurstk Metode Heurstk adalah sub bdang dar kecerdasan buatan yang dgunakan untuk melakukan pencaran dan optmsas. Ada beberapa algortma pada metode heurstk yang basa dgunakan dalam permasalahan optmsas, dantaranya algortma genetka, algortma semut, logka fuzzy, jarngan syaraf truan, pencaran tabu, Self-Organzng Map, dan lan-lan. [ Sang, Jong Jek, 25] Lntasan Terpendek (Shortest Path) Setap path dalam dgraf mempunya nla yang dhubungkan dengan nla path tersebut, yang nlanya adalah jumlah dar nla edge path tersebut. Dar ukuran dasar n dapat drumuskan masalah sepert mencar lntasan terpendek antara dua vertek dan memnmumkan baya. 9 Unverstas Sumatera Utara

3 Banyak bdang penerapan mensyaratkan untuk menentukan lntasan terpendek berarah dar asal ke tujuan d dalam suatu dstrbus alran berarah. Algortma yang dberkan dapat dmodfkas dengan mudah untuk menghadap lntasan berarah pada setap terasnya. Suatu vers yang lebh umum dar masalah lntasan terpendek adalah menentukan lntasan terpendek dar sembarang verteks menuju ke setap verteks lannya. Plhan lan adalah membuang kendala tak negatf bag jarak. Suatu kendala lan dapat juga dberlakukan dalam suatu masalah lntasan terpendek. Andakan dberkan sebuah graf G dalam tap edge (x,y) dhubungkan dengan verteks a (x,y) mewakl panjang dar edge. Dalam beberapa hal, panjang sebenarnya mewakl baya atau beberapa nla lannya. Panjang dar lntasan adalah menentukan panjang jumlah dar masng-masng edge yang terdr dar lntasan. Untuk 2 verteks s dan t dalam G, ada beberapa lntasan dar s ke t. Masalah lntasan terpendek melput bagamana pencaran lntasan dar s ke t yang mempunya lntasan terpendek dan baya termurah. Pada persoalan n akan terdorong bagamana menyelesakan suatu persoalan dalam menentukan lntasan terpendek dan baya termurah pada suatu jarngan dengan mengmplementaskannya ke dalam graf dengan menggunakan penyelesaan beberapa algortma yang dapat dmplementaskan. Defns 2.2. Lntasan terpendek antara dua verteks dar s ke t dalam jarngan adalah lntasan graf berarah sederhana dar s ke t dengan sfat dmana tdak ada lntasan lan yang memlk nla terendah. [L. R, Foulds, 984] 2 Unverstas Sumatera Utara

4 Contoh X 2 2 X 2 3 X X 5 5 X 8 X 4 3 X X 6 Gambar 2.2. Shortest path ( 4, 4-5) Pada gambar 2.2. dapat dlhat bahwa setap edge terletak pada path-path dar ttk ke ttk 5. Edge merepresentaskan saluran dengan kapastas tertentu (contohnya, ar) dapat dalrkan melalu saluran. Sedangkan verteks merepresentaskan persmpangan saluran. Ar mengalr melalu verteks pada verteks yang dlalu Lntasan terpendek dar verteks pada graf d atas adalah P = { 4, 4 5} dengan kapastas 4.[ L.R, Foulds, 984]. 2.4 Travelng Saleman Problem Persoalan TSP merupakan salah satu persoalan kombnatoral. Banyak permasalahan yang dapat drepresentaskan dalam bentuk TSP. Persoalan n sendr menggunakan representas graf untuk memodelkan persoalan yang dwakl sehngga lebh memudahkan penyelesaannya. Dantara permasalahan yang dapat drepresentaskan dengan TSP alah masalah transportas, efsens pengrman surat atau barang, perancangan pemasangan ppa saluran, proses pembuatan PCB (Prnted Crtcut Board) dan lan-lan. Persoalan yang muncul alah bagamana cara mengunjung smpul (node) pada graf dar ttk awal ke setap ttk-ttk lannya dengan bobot mnmum. Bobot n sendr dapat mewakl 2 Unverstas Sumatera Utara

5 berbaga hal, sepert baya, jarak, bahan bakar, waktu, dan lannya yang semuanya juga bermplkas pada besarnya baya. Persoalan TSP atau pedagang kellng alah sebuah persoalan optmsas untuk mencar rute terpendek bag seorang pedagang kellng (salesman) yang ngn menjajakan produknya d beberapa kota dengan batasan bahwa da perg dar sebuah kota ke setap kota-kota lannya yang menjad target penjualan produknya dan harus kembal ke kota asal keberangkatan. Persoalan optmsas yang ngn dcapa alah rute yang dlalu, waktu dan baya yang dgunakan palng mnmum. Beberapa metode algortma telah dkembangkan untuk menyelesakan persoalan TSP n. Bla dpandang dar sudut komputasnya, algortma n dapat dselesakan dengan cepat walaupun dengan menggunakan algortma brute force sekalpun, jka kota-kota yang akan dkunjungnya sedkt. Namun, jka kota-kota yang akan dkunjung banyak, maka algortma sepert brute force tdaklah menjad plhan lag. Sebab, algortma brute force sendr memlk komplekstas O(n!) jka kota-kota yang akan dkunjung dasumskan sebaga graf lengkap yang salng terhubung antara satu kota dengan kota yang lannya. Msalkan dberkan contoh kasus yang dselesakan dengan brute force sepert d bawah n: Gambar 2.3 graf yang mempunya bobot Jumlah ttk (tempat) yang terdapat dalam contoh kasus d atas alah empat buah, dan jumlah kemungknan jalur yang akan dlalu ada tga buah, yatu: 22 Unverstas Sumatera Utara

6 Gambar 2.4 Alternatf Penyelesaan Lntasan pertama = (a b c d a) atau (a d c b a) memlk panjang lntasan = = 45 Lntasan kedua = (a b d c a) atau (a c d b a) memlk panjang lntasan = = 4 Lntasan ketga = (a c b d a) atau (a d b c a) memlk panjang lntasan = = 32 Dar hasl ketga enumeras d atas ddapatkan panjang jalur lntasan palng mnmum yatu 32. Namun, jumlah enumeras dar algortma n alah (n - )! yang akan memerlukan waktu yang sangat lama untuk mendapatkan panjang lntasan palng mnmum jka nla n bernla sangat besar. Beberapa metode telah dkembangkan untuk memecahkan masalah n namun belum dtemukan algortma penyelesaan yang optmal Sejarah Permasalahan TSP Permasalahan matematk yang berkatan dengan TSP mula muncul sektar tahun 8-an. Masalah n dkemukakan oleh dua orang matematkawan, yatu Sr Wllam Rowan Hamlton yang berasal dar Irlanda dan Thomas Penyngton Krkman yang berasal dar Inggrs. Dskus mengena awal stud dar persoalan TSP n dapat dtemukan d buku Graph Theory by N.L. Bggs, E.K. LLoyd, and R.J. Wlson, Clarendon Press, Oxford, 976. Bentuk umum dar persoalan TSP pertama kaldpelajar oleh para matematkawan mula tahun 93- an oleh Karl Menger d Venna dan Harvard. Persoalan tersebut kemudan dkembangkan oleh Hassler Whtney dan Merrl Flood d Prnceton. Peneltan secara mendetal hubungan antara Menger dan Whtney, dan perkembangan 23 Unverstas Sumatera Utara

7 persoalan TSP sebaga sebuah topk stud dapat dtemukan pada tulsan Alexander Schrver On the hstory of combnatoral optmzaton (tll 96) Perkembangan Penyelesaan Persoalan TSP Bagamana kta mengukur kemajuan dalam penyelesaan persoalan TSP? Sebuah penlaan sederhana past mengatakan bahwa metode A lebh bak darpada metode B jka A membutuhkan waktu yang lebh sngkat atau sumber daya yang lebh sedkt untuk menyelesakan setap contoh persoalan. In merupakan sebuah aturan yang jelas. Namun, masalah penlaan untuk metode n akan sult untuk dlakukan karena metode-metode yang sangat berkatan erat satu sama lan tdak dapat dnla hanya melalu perbandngan yang sederhana. Sepertnya perlu dlakukan pertmbangan ulang untuk menentukan krtera perbandngan antar metode tersebut. Oleh karena tu, penlaan yang lebh bak harus mengesampngkan hasl contoh-contoh kasus kecl sepert d atas karena contohcontoh kasus tersebut dapat dselesakan oleh seluruh teknk penyelesaan yang bak. Sejauh n, jka dberkan sejumlah n kota, penlaan seharusnya dfokuskan pada n-kota yang benar-benar sult untuk dselesakan dengan menggunakan metode-metode yang dajukan yang nantnya akan duj mana yang lebh bak. Dengan pendekatan n, kta kemudan dapat menentukan apakah metode A lebh bak darpada metode B jka dberkan persoalan n-kota dengan n sebuah blangan yang besar. Agar de perbandngan metode-metode d atas dapat daplkaskan, kta dapat menganalss metode-metode penyelesaan yang dberkan untuk dapat memberkan jamnan bahwa setap n akan memakan waktu sejumlah f ( n) untuk berapapun n-kota TSP, dmana f ( n) alah sebuah fungs yang menghaslkan waktu yang dbutuhkan untuk menyelesakan persoalan TSP n-kota. Sekarang untuk membandngkan dua buah metode penyelesaan, kta membandngkan fungs mana yang menghaslkan hasl yang terbak yang dberkan d antara dua buah solus penyelesaan tersebut. Hal n tentu saja menghaslkan hasl perhtungan yang salah karena sebuah metode penyelesaan yang benar-benar bak namun danalss dengan buruk akan terlhat buruk jka 24 Unverstas Sumatera Utara

8 dbandngkan dengan metode penyelesaan lan yang danalss dengan bak. Pada beberapa persoalan komputas, bagamanapun juga, stud mengena algortma dan fungs telah memberkan hasl yang bak dan pentng bag pengembangan untuk penyelesaan persoalan prakts. Hal n telah menjad subjek stud utama d dalam Bdang Ilmu Komputer. Jad, dapat kta smpulkan bahwa metode metode penyelesaan persoalan TSP adalah untuk mengembangkan metode penyelesaan yang memlk fungs, contohnya ( n) = ( n )! = ( n ) ( n 2) ( n 3 ) f dan jumlah jalur perjalanan antar kota yang mungkn terjad alah ( n )!/ 2. Dtemukan hasl yang lebh bak setelah dkembangkan lag pada tahun 962 oleh Mchael Held dan Rchard Karp, dtemukannya algortma yang menghaslkan f ( n) yang memlk propors n 2 2 n, yatu n n , dmana ada sebanyak n perkalan 2. Untuk setap n yang bernla besar, fungs f ( n) Held-Karp akan selalu lebh kecl jka dbandngkan dengan ( n )!. Bag setap orang yang tertark untuk menyelesakan persoalan TSP, adalah sebuah kabar buruk bahwa selama 45 tahun n sejak Held dan Karp menemukan fungs ( ) 2 f n = n 2 ternyata tdak dtemukan fungs f ( n) yang lebh bak. Hal n tentu saja mengecewakan karena dengan n = 3 fungs f ( n) Held-Karp menghaslkan nla yang sangat besar. Dan untuk n =, adalah suatu hal yang mustahl untuk menyelesakan persoalan n dengan kemampuan yang dmlk komputer yang ada saat n. Perkembangan fungs f ( n) dalam TSP yang sangat lambat n mungkn memang tdak dapat kta hndar dengan kemampuan komputer yang ada saat n, bsa jad memang tdak ada metode penyelesaan persoalan yang menghaslkan f ( n) memlk tngkat performas yang bak, msalnya nc dmana c alah sebuah konstanta, oleh karena tu, n n n... n dmana n muncul sebanyak c kal. Dskus mengena tekns permasalahan n dapat dlhat pada tulsan Stephen Cook s dan Insttut Matematka Clay menawarkan hadah sebesar satu juta US dolar bag sapa pun yang dapat menemukan metode yang lebh bak. Persoalan komplekstas TSP alah sebuah pertanyaan yang mendalam d bdang matematk. Tetap stuasnya alah sekarang kta mendapatkan sedkt nformas yang berguna dengan melhat 25 Unverstas Sumatera Utara

9 pada kasus dengan tngkat performans terburuk dar metode penyelesaan masalah TSP. Dengan sedkt nformas yang terseda, para penelt TSP telah berusaha untuk mengukur perkembangan dengan cara melhat bagamana mplementas pada komputer dar metode-metode penyelesaan tersebut untuk menyelesakan persoalan pada contoh kasus yang dberkan. Maksudnya alah bahwa dengan memperbesar ukuran dan varas contoh kasus yang dapat dselesakan, kta akan memperoleh kemajuan dan solus prakts dar TSP. Walaupun pergantan proses perbandngan untuk mendapatkan suatu perbandngan yang bak sepert yang kam tawarkan d awal lemah, namun tes komputas prakts n telah membawa para penelt TSP kepada metode penyelesaan TSP berkembang lebh bak. Dan yang lebh pentng lag, usaha-usaha tersebut telah mengarahkan peneltan ke dalam pengembangan alat optmsas yang bersfat umum. Contoh kasus yang palng umum dgunakan dalam stud komputas sekarang alah hmpunan data tes TSPLIB Gerd Renelt. TSPLIB yang memlk lebh dar contoh kasus mula dar ndustr, geograf, dan akadem. Untuk melengkap koleks n, contoh kasus lebh jauh terseda d koleks Natonal TSP dan VLSI TSP. Sebuah tanda yang mudah dkenal untuk mengukur perkembangan pada data tes alah perkembangan jumlah data TSP terbesar yang dapat dselesakan yang terus menngkat selama beberapa tahun, sepert yang dtunjukkan pada gambar 2.5 d bawah n. Gambar 2.5 Grafk pemecahan permasalahan TSP dengan n-kota terhadap tahun dselesakan 26 Unverstas Sumatera Utara

10 Catatan perkembangan d atas dmula oleh tulsan klask Danzg, Fulkerson, dan Johnson pada tahun 954 dmana mereka menyelesakan permasalahan TSP 49-kota yang terdr dar seluruh negara bagan d Negara Amerka (Alaska dan Hawa belum masuk d dalamnya) termasuk juga Washngton, D. C. Daftar perkembangan persoalan yang muncul telah dsebutkan pada pembahasan d atas. Perkembangan contoh persoalan TSP, dukur dengan skala logartma terhadap jumlah kota yang dmodelkan dapat dlhat pada gambar 2.6 d bawah n. Gambar 2.6 Grafk pemecahan permasalahan TSP dengan n-kota terhadap Tahun delesakan dengan skala logartma Dar gambar 2.5 dan 2.6 d atas kta dapat menark kesmpulan bahwa perkembangan penyelesaan persoalan TSP telah dcapa selama lebh dar 3 tahun ke belakang. Jka hal n terus berlanjut, kta dapat memperkrakan bahwa untuk 3 tahun ke depan kta dapat menyelesakan persoalan TSP dengan jumlah kota yang berjumlah jutaan. 2.5 Model Pemrograman Lner Model Pemrograman Lnear (MPL) memlk sebuah fungs objektf dar satu atau lebh kendala. Pada fungs objektf terdapat parameter yang dsebut koefsen fungs objektf (objectve functon coeffcents). Koefsen fungs objektf 27 Unverstas Sumatera Utara

11 menggambarkan kontrbus satu satuan varabel keputusan terhadap nla fungs objektf. Koefsen fungs objektf yang selama n dkenal dalam pembahasan MPL bersfat tegas (crsp), meskpun demkan tetap memlk satu atau lebh kendala. Sejak dkembangkan oleh George Dantzg pada tahun 947, Model Pemrograman Lnear (MPL) telah banyak dgunakan dalam pemecahan masalah optmsas d berbaga sektor ndustr dan jasa. Bahkan telah dlakukan survey kepada perusahaan-perusahaan yang pernah dlakukan oleh Fortune 5 menunjukkan 85% dar respondennya menggunakan MPL (Wnston, 23). MPL tersusun atas dua komponen utama yatu fungs objektf dan kendala. Fungs objektf berkatan dengan tujuan yang hendak dcapa. Fungs n akan dmaksmumkan msalnya bla menyatakan keuntungan, atau dmnmumkan bla berkatan dengan besarnya ongkos produks yang harusdkeluarkan. Fungs objektf adalah fungs dar beberapa varabel yang dsebut varabel keputusan. Pada realtanya keseluruhan varabel keputusan n harus memenuh satu set pertdaksamaan yang dsebut kendala. Setap MPL memlk 3 buah parameter, yatu koefsen fungs objektf (objectve functon coeffcent atau KFO) yang terdapat pada fungs objektf, serta koefsen teknolog (technologcal coeffcent) dan koefsen ruas kanan (rght-hand sde coeffcent) yang keduanya terdapat pada kendala. KFO yang selama n dkenal dalam pembahasan MPL bersfat tegas (crsp), demkan pula halnya dengan kendala. Secara rngkas MPL beserta kedua komponen utama (fungs objektf dan kendala) dan ketga parameternya (KFO, koefsen teknolog serta ruas kanan) dapat dmodelkan sebaga berkut: maksmas n cx = j= c j x j () terhadap kendala Ax b (2) x (3) (Catatan: maksmas dapat dubah jad mnmas dan pada model (2) dapat dubah menjad atau = ) 28 Unverstas Sumatera Utara

12 Pada model ()-(3) d atas: x = x L x j x n dsebut vektor keputusan, sedangkan x j dsebut vektor ( L ) T varabel keputusan ke-j, vektor bars c ( c L ) = Lc j c n dsebut vektor koefsen fungs objektf, sedangkan c j adalah koefsen fungs objektf (KFO) dar varabel keputusan ke-j A = [ a j ] mxn adalah matrks koefsen teknolog, sedangkan a j adalah koefsen teknolog dar varabel keputusan ke-j pada kendala ke-, = L b b n dsebut vektor ruas kanan, sedangkan b adalah vektor b ( b L ) T koefsen ruas kanan pada kendala ke- j =,2,.,n (n = jumlah kendala), dan =,2,...,m (m = jumlah varabel keputusan) Salah satu asums yang harus dpenuh oleh suatu MPL adalah Asums Ketertentuan (Certanty Assumpton). (Wnston, 24). Asums n menuntut tertentunya nla semua parameter pada MPL. Perumusan MPL dalam hal; asums ketertentuan tdak dpenuh, lebh spesfk lag, dalam hal parameter KFO tdak memenuh Asums Ketertentuan, serta kendala bersfat kabur Untuk memperjelas perumusan MPL, berkut n akan dbahas konsep blangan kabur serta konsep kendala kabur. 2.6 Fuzzy Set Fuzzy set adalah set unsur-unsur yang memlk derajat keanggotaan. Fuzzy set dperkenalkan oleh Lotf A. Zadeh (965) sebaga perluasan dar pengertan klask. Dalam bahasa teor hmpunan, keanggotaan dar unsur-unsur dalam suatu hmpunan bner dnla dalam stlah sesua dengan konds bvalen - suatu elemen bak mlk atau tdak termasuk dalam set. Sebalknya, teor hmpunan fuzzy memungknkan penlaan bertahap keanggotaan dar unsur-unsur dalam suatu 29 Unverstas Sumatera Utara

13 hmpunan; n dgambarkan dengan bantuan sebuah fungs keanggotaan dnla dalam satuan rl nterval [, ]. Fuzzy set set menggeneralsaskan klask, karena fungs ndkator set klask adalah contoh khusus dar fungs keanggotaan fuzzy set, jka yang terakhr hanya mengambl nla-nla atau. Klask bvalen set berada dalam teor hmpunan fuzzy basa dsebut renyah set. Para teor hmpunan fuzzy dapat dgunakan dalam berbaga doman d mana nformas tdak lengkap atau tdak tepat, sepert bonformatka. Fuzzy set adalah sepasang (A, m) d mana A adalah suatu hmpunan dan [ ] m : A,. Untuk setap x A, m ( x ) adalah derajat keanggotaan dar x. Jka Λ A = (x,..., x n) yang fuzzy set (A, m) dapat dnyatakan ( m ( x )/ x,..., m( x / ) n x n Pemetaan elemen dengan nla berart bahwa anggota tdak termasuk dalam hmpunan fuzzy, menggambarkan sepenuhnya termasuk anggota. Nla ketat antara dan cr anggota kabur. { x > o} Hmpunan A m( x) { A m( x) = } dsebut dukungan dar fuzzy set (A, m) dan hmpunan x dsebut kernel dar fuzzy set (A, m).. Defns yang lebh umum dgunakan, d mana fungs keanggotaan mengambl nla-nla yang tdak tentu dalam aljabar atau struktur L adalah fungs keanggotaan yang basa dengan nla-nla dalam [, ]. Kemudan dsebut nla fungs keanggotaan [, ]. Generalsas n danggap pertama kal pada 967 oleh Joseph Goguen, yang merupakan murd Zadeh Fuzzy Multobjectve Pada permasalahan TSP tersebut, dalam pengamblan keputusan yang terbak adalah dengan menggunakan logka fuzzy, yang mana Logka fuzzy, dperkenalkan oleh Zadeh (965), merupakan superset dar konvensonal (Boolean) logka, yang telah dperpanjang untuk menangan konsep kebenaran sebagan nla-nla kebenaran antara sepenuhnya benar dan sepenuhnya 3 Unverstas Sumatera Utara

14 palsu. Sebaga penelt menyarankan, modus dar logka yang melandas alasan yang tepat dar perkraan. Istlah lngustk dapat mewakl pengalaman yang lebh bak dan subyektf dar sudut pandang keputusan dalam cara lebh ntutf dan format. Sebuah fungs keanggotaan fuzzy yang dtetapkan, dsebut fuzzy fungs keanggotaan, yang dpetakan pada nterval [,], dengan nla yang berart bahwa anggota tdak termasuk dalam hmpunan fuzzy dan menggambarkan sepenuhnya termasuk anggota hmpunan fuzzy. Notas untuk fungs keanggotaan fuzzy yang mengatur adalah : X [,] R. Raja dan LA Zadeh pertama mengusulkan tentang konsep pengamblan keputusan dalam lngkungan fuzzy yang melbatkan beberapa tujuan dan Zmmerman HJ (978) menerapkan pendekatan mereka ke vektor masalah. Setelah d tranformaskan pada fuzzy multobjectve dalam masalah klask yang tujuannya adalah program lner. Berkut model fuzzy multobjectve pada program lner : Max Z = cx terhadap kendala Ax b Mengadops model fuzzy Zmmerman Max cx > ~ Z terhadap kendala Ax < ~ b Dmana Z o = ( z z2,..., z ) adalah tujuan dan tngkatan lebh besar atau lebh, n kecl dalam fuzzy yang merupakan kesenjangan fuzzfcatons dan dar masng-masng. Dalam pengukuran tngkat pencapaan tujuan dan kendala, Zmmerman menyarankan pada fungs sederhana dar fungs keanggotaan. Dar penjelasan datas, maka program fuzzy multobjectve dapat dtulskan sebaga berkut : Max Z = cx 3 Unverstas Sumatera Utara

15 terhadap kendala ( z k Ck X )/ tk α k =,..,n ( a X b )/ d α =,,m Fuzzy Multobjectve pada Pendekatan Travelng Salesman Problem Yang palng serng danggap tujuan dar TSP adalah untuk menentukan secara optmal agar perjalanan semua kota dlalu sehngga total baya adalah mnmal. Mempertmbangkan stuas saat pengamblan keputusan harus menentukan solus optmal dar TSP dengan memnmalkan baya, waktu dan jarak keseluruhan. Fungs tujuan ndvdu dapat dbentuk untuk semua tujuan dar pengambl keputusan. Andakan x j merupakan hubungan dar kota ke kota j yang drepresentaskan dengan: x j, =, jka kota j merupakan kunjungan dar kota jka tdak ada hubungan antar kota Jad c j merupakan baya perjalanan dar kota ke kota j, keseluruhan baya tertentu rute adalah jumlah baya pada lnk yang terdr dar rute. Sejak keputusan dbuat telah dlakukan untuk memnmalkan keseluruhan baya perjalanan, sehngga a dapat menetapkan tujuan untuk total perkraan baya keseluruhan untuk rute tsp denoted oleh z. Tetap dapat menjad perkraan baya dan tdak memenuh sehngga keputusan dapat mengatur tolerans untuk perkraan baya. Marlah kta menunjukkan tolerans terhadap tujuan n sebaga t, fungs tujuan untuk mnmsas baya yang dberkan sebaga : z n n mn cj xj ~ j : z Sekarang jka d j adalah jarak dar kota ke kota j. Maka z 2 menjad aspras untuk tngkat tujuan untuk mnmsas fungs dar jarak, dan t 2 menjad tolerans, maka fungs tujuan mengambl dar : 32 Unverstas Sumatera Utara

16 z n n 2 mn cj xj ~ j : z 2 Jka t j merupakan lama d perjalanan dar kota ke kota j, z 3 menjad aspras tngkat untuk fungs tujuan untuk mnmsas dar total waktu, dan t 3 sesua tolerans. Fungs tujuan dapat dtuls sebaga berkut : z n n 3 mn cj xj ~ j : z 3 Satu aspek yang pentng ketergantungan pada setap fungs tujuan lan. Sebagan besar dar waktu mereka bergantung, tetap tepat menentukan bentuk dependens juga sebuah proses kompleks. Dalam kasus TSP memlk batasan bahwa untuk setap kota harus dkunjung tepat satu kal dar setap tetangga dan begtu juga sebalknya. Contohnya yatu : n x j = untuk semua j n x j = untuk semua Sebuah rute tdak dapat dplh lebh dar sekal, yatu : x x untuk semua dan j, j + j Dan non-kendala ss negatf, yatu : x j Sekarang n kendala secara kolektf akan dapat dnyatakan dalam bentuk vector dan keanggotaan fungs fuzzy dapat ddefenskan untuk semua fungs tujuan. Terakhr model lner yang dapat dlakukan dengan menggunakan fuzzy multobjectve dalam model lnear TSP. Model dapat dselesakan dengan dcampur program lner nteger. 33 Unverstas Sumatera Utara

17 2.7 Blangan Kabur dan Pemrograman Lnear dengan Koefsen Fungs Objektf Kabur Blangan kabur atau yang serng dsebut Fuzzy number adalah sebuah kuanttas yang nlanya tdak tepat yang menggambarkan ketdakpastan. Setap blangan kabur dapat danggap sebaga fungs yang doman tertentu. Setap nla numerk dalam doman dberkan sebuah spesfk nla kenaggotaan dmana mewakl nla kecl yang mungkn dan merupakan nla terbesar yang mungkn. Ketka kta berbcara tentang jumlah roda pada semua jendela pada suatu mobl sedan, kta dhadapkan pada jumlah yang sudah tertentu, yatu tepat 4 (empat) buah. Sangat berbeda halnya ketka kta berbcara tentang: - jam kedatangan langganan koran, mungkn akan berkata sektar pukul volume ar kemasan dalam botol, mungkn akan berkata kra-kra 5 mllter. Banyak hal dalam duna nyata yang tdak memungknkan kta untuk menggunakan frase tepat sekan, melankan harus puas dengan menggunakan frase yang menggambarkan ketdaktepatan, sepert: sektar sekan, kra-kra sekan, hampr sekan, kurang lebh sekan dan sejensnya. Dalam hal konsep blangan kabur atau fuzzy number dapat mengkomodasnya. Hmpunan blangan yang nlanya sektar 3, atau kra-kra 3, atau hampr 3, atau kurang lebh 3 adalah contoh hmpunan kabur, yang serng pula dsebut blangan kabur 3. Terdapat dua jens blangan kabur yang serng dpaka dalam praktek, yatu blangan kabur segtga (trangular fuzzy number) dan blangan kabur trapesum (trapezodal fuzzy number) (Wang, 997). Msanya : Blangan kabur segtga c, dlambangkan dengan c, adalah hmpunan kabur dengan batas bawah a dan batas atas d serta fungs keanggotaan segtga, dapat ddefnskan sebaga berkut: 34 Unverstas Sumatera Utara

18 ( x; a, c, d ) ( x a) /( b a) ( d x) /( d c), jka a x < c µ b =, jka c x < d (4), jka x > d atau x < a Blangan kabur segtga c pada model (4) serngkal pula dlambangkan dengan + ( c, c ) c =, c atau c ( a, c, d ) = dalam hal n c = a, c = c dan + c = Secara umum, Pemrograman Lnear dengan KFO berupa blangan kabur berbentuk: d. maksmas (mnmas) cx = n j= c~ j x j terhadap kendala (2)-(3), dalam hal n blangan kabur c ~ j dcrkan oleh fungs keanggotaan sepert pada model (4) yang menggambarkan derajat keanggotaan suatu blangan terhadap hmpunan blangan yang nlanya sektar c j atau kurang lebh c j atau ungkapan kabur lannya. Berkut n durakan tentang langkah-langkah pembentukan MPLKFOK untuk kasus dengan fungs objektf berbentuk mnmalsas: Langkah-: Tentukan MPL yang akan dubah kedalam MPLKFOK (yatu, masalah ()-(3)) Langkah-2: Tentukan jens blangan kabur bag setap KFO (yatu, blangan kabur segtga (4)) Langkah-3: Tentukan: * a. c c = ( c L ) = L c j c n, yatu vektor koefsen fungs objektf yang komponen ke-j-nya adalah koefsen fungs objektf varabel b. c = ( c Lc j Lc ) n, yatu vektor yang komponen ke-j-nya adalah batas bawah dar blangan kabur c j c. c ( c Lc j Lc ) + = n, yatu vektor yang komponen ke-j-nya adalah batas atas dar blangan kabur c j x j 35 Unverstas Sumatera Utara

19 Langkah-4: Rumuskan pemrograman lnear bertujuan majemuk berfungs objektf Memnmumkan nla blangan kabur segtga, sebaga berkut: mn c x. mn c * x, mn c + x dengan kendala (2)-(3) Kendala Kabur dan Pemrograman Lnear dengan Kendala Kabur Secara umum, Pemrograman Lnear dengan Kendala yang Kabur (MPLKK) berbentuk: max (mn) cx (5) ~ terhadap kendala Ax b, x Dalam hal n ~ dcrkan oleh fungs keanggotaan yang menggambarkan derajat tolerans sepert d atas. Berkut n adalah pembentukan fungs keanggotaan yang merupakan potongan-potongan gars yang kontnu bagan dem bagan. Msalkan dalam bentuk yang tegas kendala ke- berbentuk ( ) b bentuk kaburnya adalah ( ) b Ax, maka Ax ~. Msalkan pula t adalah tolerans dar kendala ke-, maka kendala kabur n dapat dcrkan dengan fungs keanggotaan sebaga berkut:, ( Ax) < b {( Ax) ( b t )}, b ( Ax) ( b + t ) µ { ( Ax) } = µ ( Ax) b { Ax } ( ) = (6) t, Lannya Berkut n durakan tentang langkah-langkah perumusan dan penyelesaan MPLKK untuk kasus MPL dengan fungs objektf dar model (5) berbentuk mnmalsas: Langkah : Tentukan batas tolerans bag pelanggaran kendala ke- dar, msalkan 36 Unverstas Sumatera Utara

20 sebesar t >, jad sekalpun untuk kendala n sebenarnya dtetapkan ( ) b hngga ( Ax ) ( b + t ) pada Langkah-4. Ax, namun mash dber tolerans, dengan derajat tolerans akan ddefnskan Langkah 2: Selesakan pemrograman lnear berkut: maksmas cx terhadap kendala ( ) b dan msalkan Ax ( =,2,...,m) x adalah solusnya, serta defnskan z = cx Langkah 3: Selesakan pemrograman lnear berkut: maksmas cx terhadap kendala ( Ax ) ( b + t ) ( =,2,...,m) msalkan jelaslah x adalah solusnya, defnskan z z!) z = cx. (Catatan: Langkah 4: Berdasarkan nla z dan z yang dperoleh pada Langkah-2 dan 3, defnskan Fungs keanggotaan berkut yang menggambarkan derajat optmaltas dar setap nla fungs objektf cx:, cx z cx z µ ( x) =, z cx z (7) z z, cx z Defnskan pula fungs keanggotaan berkut yang menggambarkan derajat tolerans bag pelanggaran kendala ke-: ( Ax) < b b ( Ax), ( b + t ) ( Ax) µ ( x) =, ( b + t ) (8) t, ( Ax) ( b + t ) 37 Unverstas Sumatera Utara

21 Langkah 5: Defnskan masalah PL berkut n: mn µ ( x) mn µ ( x) mn µ ( x)... ( x) kendala: x 2 mn terhadap µ m 38 Unverstas Sumatera Utara