MATHunesa (Volume 3 No 3) 2014

Transkripsi

1 PERAMBATAN GELOMBANG MONOKROMATIK PADA DASAR BERUNDAK Ulil Iffah Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Penetahuan Alam, Universitas Neeri Surabaa, Abstrak Gelomban monokromatik adalah elomban an memiliki amplitudo, panjan elomban, dan cepat rambat an konstan selama penjalaranna. Perambatan elomban monokromatik pada dasar berundak dikembankan berdasarkan penamatan perambatan elomban monokromatik pada dasar rata. Pada skripsi ini undakan dibatasi hana pada undakan denan permukaan an berbentuk rata. Pada dasarna, suatu elomban an melewati dasar denan kedalaman berbeda akan terpecah menjadi dua baian aitu elomban transmisi dan elomban refleksi. Metode pemisahan peubah diunakan untuk menelesaikan Persamaan Laplace untuk elomban monokromatik. Berdasarkan hasil analitik menunjukkan bahwa amplitudo elomban transmisi akan maksimum jika perbedaan kedalaman semakin besar. Kata kunci: Gelomban monokromtik, metode pemisahan peubah, elomban transmisi, Gelomban refleksi,. Abstract Monochromatic waves is waves which have amplitude, waves lenth, and constant velocit on the circuit. Wave propaation over a bump can be extended b wave propaation over a flat bottom. Variable separation method is applied to Laplace equation for monochromatic waves. The amplitude of the transmitted and reflected waves are determined b continuin of the water surface and the flux passin of the bottom toporaph. The shallowest bump will produce maximum of transmitted wave amplitude. Kewords: Monochromatik wave, variable separation method, transmitted wave, reflected wave. 1. PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakan Fluida adalah suatu zat an mempunai kemampuan berubah-ubah secara kontinu apabila menalami eseran, atau mempunai reaksi terhadap teanan eser sekecil apapun. Dalam keadaan diam atau keadaan keseimbanan fluida tidak mampu menahan aa eser an bekerja padana, oleh sebab itu fluida mudah berubah bentuk tanpa pemisahan massa. Penurunan persamaan dasar fluida harus memenuhi sarat kontinuitas massa. Sarat ini tidak lain adalah unkapan dari hukum kekekalan massa, sehina dikenal sebaai persamaan kontinuitas. Persamaan kontinuitas hana berlaku jika fluida an ditinjau adalah fluida ideal. Sebaai contoh fluida ideal adalah air. Fluida ideal adalah fluida an memiliki sifat tak termampatkan (incompressible) denan rapat massa an homoen, erak partikel fluida an tak berotasi (irrotasional), dan tidak adana efek kekentalan (inviscid). Oleh karena itu, dalam skripsi ini diasumsikan bahwa fluida an ditinjau adalah fluida ideal. Berdasarkan persamaan dasar fluida ideal ini akan diturunkan persamaan erak elomban di permukaan fluida. Gelomban adalah sesuatu an terjadi apabila suatu sstem dianu dari posisi kesetimbananna dan apabila anuan itu dapat berjalan atau merambat dari satu daerah sistem itu ke daerah lainna Salah satu contoh elomban pada permukaan fluida adalah elomban air dankal. Gelomban air dankal adalah elomban an terjadi pada permukaan air dankal dimana panjan elombanna cukup besar dibandinkan kedalamanna. Secara matematik elomban air dankal dapat di modelkan dalam pesamaan diferensial parsial. Untuk menetahui dinamika dari fenomena elomban air dankal dilakukan denan mencari solusi dari persamaan diferensial parsial tersebut. Gelomban monokromatik adalah elomban an memiliki amplitudo (A), panjan elomban (ω) dan cepat rambat (v) an konstan selama penjalaranna 103

2 (Widjojo,010). Banak fenomena-fenomena elomban monokromatik an muncul dalam kehidupan seharihari, misalna elomban laut, elomban suara, dan elomban cahaa. Adapun skripsi ini membahas perambatan elomban monokromatik denan dasar berundak. Berundak dalam hal ini adalah terjadina perubahan kedalaman air dari dalam ke dankal, atau sebalikna. Pada dasarna, suatu elomban an melewati dasar denan kedalaman berbeda akan terpecah menjadi dua baian aitu elomban an diteruskan (elomban transmisi) dan elomban an dipantulkan (elomban refleksi). Pemodelan matematika untuk perambatan elomban melalui dasar tak rata diperoleh melalui persamaan Laplace beserta sarat awal dan sarat batasna. Persamaan Laplace pada skripsi ini diselesaikan denan metode pemisahan peubah. Pada akhirna, pemodelan matematika ini memberikan suatu koefisien transmisi dan refleksi. Koefisien ini memberikan ambaran seberapa besar dasar tak rata tersebut mampu mereduksi amplitudo elomban. Terinspirasi oleh sebuah artikel dari Wiranto (013) an berjudul, Monochromatic Wave Propaatin Over A Step, an mana dalam artikel tersebut dibahas perambatan elomban monokromatik pada fluida ideal di mana terdapat sebuah undukan pada dasar fluida. Penulis tertarik untuk memahami perambatan elomban monokromatik pada dasar berundak denan menubah nilai frekuensi (ω) dan amplitudo (A) na, sehina perambatan elomban monokromatik pada fluida denan dasar berundak menjadi pokok permasalahan pada skripsi ini. sebuah elomban adalah bidan batas antara dua medium an berbeda. Koefisien refleksi (r) adalah perbandinan amplitudo elomban pantul dibandinkan amplitudo elomban datan.. Persamaan Dasar Fluida Dalam menurunkan persamaan dasar fluida diperlukan hukum kekekalan massa dan hukum kekekalan momentum. Selain itu, jua diunakan asumsiasumsi antara lain : 1. Fluida an diunakan adalah fluida ideal.. Gaa esek air denan udara diabaikan. 3. Tekanan udara konstan. 4. Permukaan dasar fluida diasumsikan rata. Hukum kekekalan massa pada suatu sistem dinatakan secara sederhana sebaai laju perubahan massa dalam elemen luas sama denan selisih antara massa an masuk denan massa an keluar pada elemen luas tersebut. Misalkan erak partikel fluida dinatakan dalam dua dimensi denan kecepatan partikel dalam arah horizontal dan vertikal berturut-turut adalah u dan v. Fluida mempunai rapat massa x,, t denan x, dan t berturut-turut menatakan koordinat horizontal, koordinat vertikal, dan waktu, x, t,.. KAJIAN PUSTAKA.1 Gelomban Transmisi Dan Refleksi Bila suatu elomban datan pada suatu permukaan batas an memisahkan dua daerah denan laju elomban an berbeda, maka sebaian elomban akan dipantulkan (refleksi) dan sebaian lain akan ditransmisikan. Pada proses pemantulan dan pembiasan elomban dapat terpolarisasi sebaian atau seluruhna oleh refleksi. Fresnel menelidiki dan merumuskan suatu persamaan koefisien refleksi dan koefisien transmisi an dihasilkan oleh pemantulan dan pembiasan (Pedrotti, 1993). 1. Transmisi elomban merupakan sisa eneri elomban setelah melewati/menembus suatu struktur penahan elomban. Gelomban transmisi sanat dipenaruhi pada karakteristik elomban. Koefisien transmisi (t) adalah perbandinan amplitudo elomban an ditransmisikan dibandinkan amplitudo elomban datan.. Pemantulan elomban (Refleksi), terjadi pada saat sebuah elomban an merambat dalam suatu media sampai di bidan batas medium tersebut denan media lainna. Denan demikian, Pemantulan (refleksi) Gambar.1: Laju Perubahan Massa Keteranan ambar : x dan = koordinat horizontal dan koordinat x dan u dan v vertikal. = pertambahan koordinat horizontal dan pertambahan koordinat vertikal. = kecepatan partikel arah horizontal dan kecepatan partikel arah vertikal. = rapat massa. Pada ambar.1, u x dan u xx masinmasin menatakan massa an masuk dan massa an keluar dari arah horizontal per satuan waktu. Sedankan, v dan v masin-masin menatakan massa an masuk dan massa an keluar dari arah vertikal per satuan waktu. Berdasarkan hukum kekekalan massa, laju perubahan massa dalam elemen luas pada ambar.1 dapat ditulis sebaai berikut : 104

3 x u x v x u xx v x t Jika (.9) x x xx t u u x v v u u v v x xx t x untuk x 0 dan 0, maka : u u v v lim x xx lim t x0 x 0 x kecepatan denan t x u v, dan dimisalkan q adalah vektor q u, v terhadap waktu adalah : D Dt maka : u v t x D u v Dt x D q Dt, serta notasi turunan total (.10) Diasumsi fluida tak termampatkan, aitu fluida an menalir tanpa perubahan volume atau massa jenis, maka diperoleh : D 0 Dt (.11) sehina dari persamaan (.10) diperoleh : q 0 (.1) Persamaan (.11) dan (.1) dapat dituliskan menjadi : t u x v 0 (.13) u v 0 x (.14) Persamaan (.13) dan (.14) disebut persamaan kontinuitas fluida an tak termampatkan. Selanjutna, hukum kekekalan momentum dinatakan sebaai laju perubahan momentum sama denan selisih antara momentum an masuk denan momentum an keluar ditambah aa-aa an bekerja pada elemen luasna. Untuk menatakan hukum kekekalan momentum tersebut secara matematis, elemen luas akan dipandan dalam dua komponen aitu komponen- x dan komponen- an masin-masin ditunjukkan pada ambar. dan ambar.3. Gambar.: Perubahan momentum pada arah-x Keteranan ambar : x dan = koordinat horizontal dan koordinat vertikal. x dan u dan v = pertambahan koordinat horizontal dan pertambahan koordinat vertikal. = kecepatan partikel arah horizontal dan kecepatan partikel arah vertikal. = rapat massa. Dari ambar., dapat diketahui bahwa laju perubahan momentum pada komponen- x adalah : u uu uu x vu vu P P x x xx x xx t (.15) denan P x P xx menatakan jumlah aa an bekerja pada komponen- x dan P adalah tekanan. Jika kedua ruas dibai denan x, maka : u uu uu vu vu P P x xx x xx t x x untuk x 0 dan 0, maka : u uu uu vu vu P P x x x x x x lim lim lim t x 0 x z 0 x 0 x u uu vu t x P x Denan menunakan asumsi fluida tak termampatkan dan persamaan kontinuitas fluida tak termampatkan, maka : Du P Dt x (.16) Sedankan untuk laju perubahan momentum dalam elemen fluida pada arah ditunjukkan dalam ambar.3 dibawah ini : 105

4 Berdasarkan asumsi fluida irrotational, maka terdapat funsi an merupakan potensial kecepatan an memenuhi q, sehina dari persamaan (.1) diperoleh : 0 (.1) x Gambar.3: Perubahan momentum pada arah- Keteranan ambar : x dan = koordinat horizontal dan koordinat vertikal. x dan = pertambahan koordinat horizontal dan pertambahan koordinat vertikal. u dan v = kecepatan partikel arah horizontal dan kecepatan partikel arah vertikal. = rapat massa..3 Sarat Batas Masalah pada aliran fluida merupakan pemecahan permasalahan diferensial parsial terhadap bidan ataupun terhadap waktu. Sarat batas di perlukan untuk dapat menelesaikan model an ada. Terdapat dua jenis sarat batas dalam fluida, aitu sarat batas kinematik dan sarat batas dinamik. 1. Sarat Batas Kinematik Sarat batas kinematik adalah sarat batas an muncul karena erak dari partikel fluida itu sendiri. Perhatikan ambar berikut : Sehina Laju perubahan momentum pada komponen- adalah : v x t (.17) uv uv xvv vv xp P x x xx Denan xp P x merupakan aa an bekerja pada komponen- dan menatakan percepatan ravitasi. Jika kedua ruas dibai denan x, maka : v uv uv vv vv P P t x x xx untuk x 0 dan 0, maka : v uv uv vv vv t lim 0 lim x0 P P x x v uv vv t x xx lim 0 P diasumsikan fluida tak termampatkan, maka : Dv P Dt (.18) Persamaan (.16) dan (.18) dapat ditulis menjadi : u uu vu P (.19) t x x 0 v uv vv P 0 t x (.0) Gambar.4: Batas-batas fluida bebas Pada ambar.4, dimisalkan x, menatakan posisi partikel fluida, h merupakan permukaan dasar fluida, dan pada 0 merupakan posisi kesetimbanan (posisi keadaan tidak teranu). Selajutna, misal kurva x, t merupakan batas atas permukaan atau kurva 0 an membatasi air dan udara, sehina Sx,, t 0x, t 0 adalah persamaan permukaan. Jadi dari persamaan permukaan S x,, t tersebut diperoleh persamaan : di x, t (.) 0t 0xx 0 Persamaan (.) disebut sarat batas kinematik pada permukaan fluida. Sedankan sarat batas kinematik pada dasar fluida an rata adalah : 0 di 0 h (.3). Sarat Batas Dinamik Sarat batas dinamik terjadi karena adana aa-aa an bekerja pada fluida. Sarat batas dinamik diperoleh dari persamaan dasar fluida (.19) dan (.0). Sehina sarat batas dinamik fluida adalah : t 1 x 0 di x, t (.4) Sarat batas dinamik ini hana berlaku pada permukaan saja, persamaan ini diturunkan denan asumsi fluida tak kental (invicid) dan tekanan permukaan diabaikan

5 Dari persamaan (.1)-(.4) diatas, dapat disimpulkan bahwa persamaan-persamaan batas fluida an diperoleh adalah : x, h x, t (.5a) 0 0, x t (.5b) 0t x 0x 0 0, x 0 0, 0x t 1 t, (.5c) 0, h (.5d) Untuk menederhanakan permasalahan kita terkait penelesaian Persamaan Laplace, kita menunakan model linier dari kondisi batas an telah kita peroleh di atas, sehina menjadi : η t φ = 0 pada = 0 φ t + η = 0 φ = 0 pada = h.4 Gelomban Monokromatik Gelomban monokromatik adalah elomban an mempunai amplitudo, panjan elomban dan cepat rambat an konstan selama penjalaranna. Gelomban ini jaran dijumpai di alam karena elomban an ada biasana komplek, tidak linier, tia dimensi, bentuk random, untuk pendekatan dipakai teori elomban amplitude kecil (air), an diturunkan berdasar persamaan Laplace untuk aliran tidak rotasi (irrotational flow) denan kondisi batas muka air dan dasar laut. (Widjojo, 010). 1. Model Matematika dari Gelomban Monokromatik Pada Dasar Rata. Gambar.1 Sketsa elomban denan dasar rata Koordinat kartesius denan sumbu x axis tidak dipenaruhi oleh ketinian permukaan air. Dan sumbu teak lurus sumbu x. saluran bawah datar/ rata, denan kedalaman air h. perambatan elomban monokromatik pada permukaan air pada dasar rata dinatakan denan i(kx ωt ) η x, t = Ae (.6) Denan A adalah amplitudo, k adalah bilanan elomban, w adalah frekuensi dan i= 1.. Model Matematika dari Perambatan Gelomban Monokromatik pada Dasar Berundak Masalah an dirumuskan di sini adalah perambatan elomban air, dari kiri ke kanan pada undakan, an di ilustrasikan pada Gambar.. = η(x, t) Gel. Datan h 1 Gel. Refleksi x = 0 Gel. Transmisi Gambar. Sketsa elomban denan dasar berundak Denan menunakan koordinat kartesius, sumbu-x dipilih sepanjan tinkat an tidak teranu dari permukaan air, dan sumbu- teak lurus terhadap sumbu x. Perubahan kedalaman air dari h 1 ke h, pada x = 0. Gelomban monokromatik ω frekuensi, dan bilanan elomban terkait k, biasana terjadi pada undakan. (.5e) Pada dasarna, suatu elomban an melewati dasar denan kedalaman berbeda akan terpecah menjadi dua baian aitu elomban transmisi dan elomban refleksi. Persentase elomban an dipantulkan dan ditransmisikan terantun pada ketinian undakan. Transmisi elomban dan refleksi elomban monokromatik an terjadi secara berturut-turut dapat dituliskan dalam persamaan η x, t = A t. e i(k tx ωt ) dan η x, t = A r e i(kx ωt ). Berdasar ambar., untuk kondisi x < 0 maka elomban monokromatik terdiri dari dua eloman aitu elomban datan dan elomban refleksi sehina persamaan elomban monokromatik dapat ditulis sebaai penjumlahan antara kedua elomban tersebut aitu η x, t = A. e i(kx ωt ) + A r. e i( kx ωt ). Selain itu, setelah melewati undukan, hana ada satu jenis elomban aitu elomban transmisi maka untuk kondisi x > 0 elomban monokromatik hana terdiri dari elomban transmisi sehina persamaan elomban monokromatik dapat ditulis sebaai persamaan elomban transmisi aitu η x, t = A t. e i( k t x ωt ). Oleh karena itu, keseluruhan elomban monokromatik an merambat dapat dituliskan dalam persamaan di bawah ini : η x, t = A. e i(kx ωt ) + A r. e i( kx ωt), x < 0 A t. e i(k tx ωt ), x > 0 Keteranan : A : Amplitudo elomban A r : Amplitudo elomban refleksi A t : Amplitudo elomban transmisi k : Bilanan elomban pada = h 1 k t : Bilanan elomban pada = h ω : Frekuensi elomban Di daerah di mana interaksi elomban terjadi, bilanan elomban datan refleksi sama tetapi tanda an berbeda, untuk menunjukkan arah elomban kanan atau ke kiri h = 0 107

6 3. PEMBAHASAN 3.1 Penelesaian Model Linear Gelomban Monokromatik Dasar Rata Pada bab II diperoleh persamaan-persamaan dasar fluida aitu : η t φ = 0 pada = 0 φ t + η = 0 φ = 0 pada = h Denan menunakan metode separasi variabel, maka φ(x,, t) kita separasi menjadi hasil perkalian dua buah funsi S(x, t) dan F() sehina φ x,, t = S x, t F(). Dari sarat batas φ t + η = 0 pada = 0. Maka : S x, t F 0 + η x, t = 0 t S t x, t = η(x, t) F(0) Denan cara meninteralkan kedua ruas kita peroleh : S t x, t dt = η(x, t) dt F(0) F 0 Untuk mempermudah perhitunan, ambil F 0 = 1. Denan menelesaikan persamaan (4.1) dan (4.) diperoleh : η x, t K = iω iω F 0 = F () F() = α η(x, t) S(x, t) Denan menambil dua ruas kanan, maka : F () = αf() F () + αf() = 0 Solusi tak trivial ada kalau α < 0, sebut α = p F p F() = 0 Maka dapat diperoleh solusi umum F = C 1 e p + C e p F = pc 1 e p pc e p Denan F 0 = 1 dan F 0 = ω, maka: F 0 = C 1 + C = 1 F 0 = pc 1 pc = ω Denan mensubstitusi dan meneliminasi, dapat di peroleh C 1 dan C sebaai berikut: p + ω C 1 = p p ω C = p Substitusi C 1 dan C ke persamaan (4.4), maka diperoleh : F = 1 S x, t = ep + e p + ω p ep e p 1 η(x, t) + K (4.1) F(0) iω F = cosh p + ω p sinh (p) Denan sarat batas η t φ = 0 pada = 0, maka : η t (x, t) S x, t F 0 = 0 S x, t = η Berdasarkan (4.3) dan (4.5), maka : t(x, t) F φ x,, t = i η x, t F() (0) ω Denan η t x, t = A(iω)e i(kx ωt ), maka : Sehina dapat kita peroleh funsi potensial ωt ) (iω)ae i(kx sebaai berikut : S x, t = F (0) φ x,, t = i ω η x, t cosh p + S x, t = iω η(x, t) (4.) ω p sinh (p) Dari sarat batas φ (x,, t) = 0 pada = h, maka : φ x,, t = i ω η x, t p sinh p + p cosh (p) ω p = 0 iω iω sinh p + ω cosh p = 0 p F η x, t K = 0 0 ω = p sinh (p) Koefisien (x, t) : = iω, sehina diperoleh cosh (p) iω F (0) F 0 = ω ω = p sinh (ph ) pada = h cosh (ph ) 1 ω = p tanh(ph 1 ) Koefisien η 0 (x, t) : K = 0, maka K = 0 Misalkan p = k Substitusi F 0 = ω dan K = 0 ke persamaan (4.), S xx (x, t) sehina diperoleh : S(x, t) = α S x, t = i S xx (x, t) αs(xt) = 0, α = p η(x, t) (4.3) ω Dimana S xx (x, t) turunan kedua dari persamaan Dari persamaan laplace φ xx + φ = 0, maka : S x, t = i η(x, t) S xx x, t F() + S(x, t)f () = 0 ω S xx (x, t) S x, t = i ωt ) Ae i(kx ω S x x, t = ω kae i(kx ωt ) S xx x, t = i ω k η(x, t) 108

7 Substitusi persamaan(4.3) dan (4.9) ke persamaan (4.8), diperoleh : S xx (x, t) + p S(x, t) = 0 i ω k η x, t + p i η x, t = 0 ω p i ω η x, t = i ω k η x, t k = p Dari persamaan (4.6)-(4.1) diatas, dapat disimpulkan bahwa persamaan funsi potensial an diperoleh adalah : φ x,, t = i ω η x, t cosh ± ω h 1 + ω ± ω h 1 sinh ± ω h 1 3. Penelesaian Gelomban Monokromatik pada Dasar Berundak Dalam kenataan fluida senantiasa menalir, an berarti bahwa elomban monokromatik harus kontinu. Berdasar definisi kekontinuan maka persamaan elomban monokromatik dasar berundak η x, t = A. e i(kx ωt ) + A r. e i( kx ωt ), x < 0 dapat A t. e i(k tx ωt ), x > 0 didekati denan limit kanan dan limit kiri an menuju ke 0 sehina secara matematika kita mendapatkan hubunan sebaai berikut : η x, t = lim η(x, t) + lim x 0 x 0 lim kx ωt x 0 (Ae i + A t e i kx ωt ) = lim Ae i( ωt ) + A r e i( ωt ) = A t e i( ωt ) (A + A r )e i( ωt ) = A t e i( ωt ) Sehina kita peroleh hubunan : A i(kx ωt ) x 0 + te A + A r = A t (4.14) Kondisi berikutna adalah bahwa fluk massa Q bersifat kontinu. Secara matematis, fluk sama denan perkalian kecepatan denan kedalaman. Maka fluk massa an melintasi daerah x < 0 denan kecepatan untuk kedalaman rata-rata h 1 adalah : Q 1 = 0 h 1 φ x d Dimana : φ x,, t = i ω η x, t cosh k + ω k sinh (k) φ x x,, t = i ω η x x, t cosh k + ω k sinh (k) η x x, t Maka persamaan (4.7) dapat kita tulisakan menjadi = ik. A. e i(kx ωt ) + ik. A r. e i( kx ωt ), x < 0 ω = k tanh(kh 1 ) ik (4.10) t A t. e i(k tx ωt ), x > 0 Persamaan (4.10) dikenal denan persamaan Sehina diperoleh : 0 dispersi elomban. Denan ω merupakan Q frekuensi elomban an selalu bernilai positif, 1 = φ x d h 1 sehina persamaan (4.10) dapat dituliskan menjadi : Q 1 = i ωk η x, t sinh kh x 1 + ω k 1 cosh kh 1 ω = k tanh(kh 1 ) (4.11) Dalam kasus elomban panjan an relatif lama Q 1 = i ω i. A. e i(kx ωt) + i. A r. e i( kx ωt) sinh kh 1 dibandinkan denan kedalaman air, Funsi hiperbolik tanen dapat diperkirakan secara linear + ω k 1 cosh kh 1 sebaai kh, dan karena itu di dapat k = ± ω Untuk kedalaman h 1 fluk massa adalah : 0 (4.1) h 1 Q = d Q = i η ωk x t h Q = 0 = i ω ia t. e i( k t x ωt) sinh k (4.13) t h + ω (1 k t ϕ x x, t sinh k t h + ω k t (1 cosh (k t h ) cosh (k t h ) Fluk massa an masuk Q 1 = Fluk massa an keluar Q. Secara matematis hubunan ini dapat dituliskan : lim Q x 0 1 = lim Q x 0 + i A A r sinh kh 1 + ω k (1 cosh (kh 1) = ia t sinh k t h + ω k t (1 cosh (k t h ) Sehina di peroleh persamaan : A A r sinh kh 1 + ω k (1 cosh (kh 1) = A t sinh k t h + ω k t (1 cosh (k t h ) Persamaan (4.15) dan (4.16) adalah persamaan dalam A r dan A t Denan demikian kita dapat menhitun A r dan A t aitu : A r A A r sinh kh 1 + ω k (1 cosh (kh 1) = A + A r sinh k t h + ω k t (1 cosh (k t h ) sinh kh 1 + ω (1 cosh (kh k 1) sinh k t h + ω (1 cosh (k k t h ) = A t sinh kh 1 + ω (1 cosh (kh k 1) + sinh k t h + ω (1 cosh (k k t h ) t Denan menunakan cara an sama seperti penelesaian linier elomban monokromatik pada dasar rata, maka pada kondisi x < 0 dapat di lihat sebaai elomban monokromatik pada dasar rata 109

8 denan ketinian h 1 dan bilanan elomban k sehina diperoleh ω = k tanh(kh 1 ) karena funsi hiperbolik tanen dapat diperkirakan secara linear sebaai kh 1 maka k = ± ω h 1. Dan pada kondisi x > 0 jua dapat lihat sebaai elomban monokromatik pada dasar rata denan ketinian h dan bilanan elomban k t sehina diperoleh ω = k t tanh(k t h ) karena funsi hiperbolik tanen dapat diperkirakan secara linear sebaai k t h maka k t = ± ω h. Sehina diperoleh funsi potensial elomban monokromatik pada dasar berundak sebaai berikut : i ω η x, t cosh kh 1 + ω k sinh (kh 1) = 0, x < 0 φ x,, t = i ω η x, t cosh k th + ω sinh (k k t h ) = 0, x > 0 t 3.3 Simulasi Perambatan Gelomban Monokromatik Dasar Rata Persamaan perambatan elomban monokromatik pada dasar rata, dinatakan denan : i(kx ωt ) η x, t = Ae Denan menamati baian riil, maka persamaan elomban monokromatik menjadi : η x, t = A cos kx ωt 1.00 (4.18) Jika persamaan (4.18) denan kedalaman h 1 = 1.5, frekuensi ω = 1, = 10 dan k = diambarkan D pada Maple 13, maka akan Tabel 4.1 kedalaman tetap menhasilkan ambar 4.1 sebaai berikut : Pada kedalaman tertentu, diperoleh bilanan elomban k membesar untuk ω an membesar (perhatikan tabel 4.1). Gambar 4.1 simulasi elomban pada dasar rata denan kedalaman h 1 = 1.5, frekuensi ω = 1, = 10 dan k = Denan menetahui kedalaman dan frekuensi elomban, maka nilai bilanan elomban dapat dihitun. Lihat rafik 4. dan 4.3 di bawah. Grafik tersebut merupakan plot dari elomban monokromatik untuk beberapa kondisi tertentu. h 1 ω k ω h 1 k

9 Tabel 4. Frekuensi Tetap Pada ω tertentu, diperoleh bilanan elomban k menecil untuk h 1 an membesar (perhatikan tabel 4.). Grafik 4.1 Gelomban monokromatik denan kedalaman tetap Saat kedalaman h 1 tetap dan ω diperbesar, maka denan menunakan tabel 4.1 (an ditulis tebal) diperoleh k an membesar. Karena k membesar, panjan elomban an dihasilkan adalah menecil (rafik 4.1). Grafik 4. Gelomban monokromatik denan frekuensi tetap Saat ω tetap dan kedalaman h 1 diperbesar, maka denan menunakan tabel 4. (an ditulis tebal) diperoleh k menecil. Karena k menecil, panjan elomban an dihasilkan adalah membesar (rafik 4.). 3.4 Simulasi Perambatan Gelomban Monokromatik Pada Dasar Berundak Persamaan perambatan elomban monokromatik pada dasar berundak : η x, t = A. e i(kx ωt) + A r. e i( kx ωt), x < 0 A t. e i(k tx ωt), x > 0 Denan menamati baian riil, maka persamaan elomban monokromatik menjadi : η x, t = A. cos kx ωt + A r. cos kx ωt, x < 0 A t. cos k t x ωt, x > 0 (4.19) Berikut adalah tabel beberapa kondisi elomban pada dasar berundak denan perbedaan kedalaman an berbeda-beda : h 1 h ω A k k t A r A t

10 Gambar 4.3 simulasi elomban pada dasar berundak dari kedalaman h 1 = 3. 5 ke h = pada saat t = Tabel 4.1 beberapa kondisi elomban pada dasar berundak Gambar 4. simulasi elomban pada dasar berundak dari kedalaman h 1 = 3. 5 ke h = pada saat t = Gambar 4.4 simulasi elomban pada dasar berundak dari kedalaman h 1 = 3. 5 ke h = pada berbaai pertambahan nilai t Gambar merupaka simulasi perambatan elomban an menunakan beberapa parameter = 10, ω = 0. 5, dan undakan berubah dari kedalaman air h 1 = 3. 5 sampai h = 0. 5 an menhasilkan bilanan elomban k = dan k t = Denan amplitudo datan A = 0. 5, dapat diperoleh amplitudo refleksi A r = , dan amplitudo an ditransmisikan A t = ,. Perambatan elomban disajikan pada ambar 4.4 denan meneser ke atas untuk nilai t lebih besar. Kita bisa melihat elomban di wilaah x < 0, dimana perubahan bentuk karena ada interaksi antara elomban datan dan elomban refleksi. Sedankan untuk x > 0 hana ada satu elomban denan amplitudo A t. 11

11 Gambar 4.5 simulasi elomban pada dasar berundak dari kedalaman h 1 = 3. 5 ke h = pada berbaai pertambahan nilai t Pada ambar 4.5 merupakan simulasi perambatan elomban an menunakan beberapa parameter = 10, ω = 0. 5, dan undakan berubah dari kedalaman air h 1 = 3. 5 sampai h = 3. 00, an menhasilkan bilanan elomban k = dan k t = Denan amplitudo datan A = 0. 5, Amplitudo refleksi A r = , dan amplitudo an ditransmisikan A t = ,. Perambatan elomban disajikan pada Gambar 4.8 denan meneser ke atas untuk nilai t lebih besar. Kita bisa melihat elomban di wilaah x < 0, dimana perubahan bentuk karena ada interaksi antara elomban datan dan elomban refleksi. Sedankan untuk x > 0 hana ada satu elomban denan amplitudo A t. Berdasarkan ambar diketahui bahwa jika perbedaan kedalaman semakin kecil maka amplitudo elomban transmisi mendekati elomban datan, sehina amplitudo elomban refleksi mendekati nol. 4. PENUTUP 5.1 Simpulan Berdasarkan pada pembahasan, dapat disimpulkan beberapa hal sebaai berikut : 1. Perambatan elomban monokromatik pada permukaan air denan dasar rata diatakan denan η x, t = Ae i(kx ωt) Keteranan : A : Amplitudo elomban k : Bilanan elomban pada = h 1 ω : Frekuensi elomban Pada dasarna, suatu elomban an melewati dasar denan kedalaman berbeda akan terpecah menjadi dua baian aitu elomban transmisi dan elomban refleksi. Oleh karena itu, Persamaan perambatan elomban monokromatik pada permukaan air denan dasar berundak dapat diatakan denan : η x, t = A. e i(kx ωt) + A r. e i( kx ωt), x < 0 A t. e i(ktx ωt), x > 0 Keteranan : A : Amplitudo elomban A r : Amplitudo elomban refleksi A t : Amplitudo elomban transmisi k : Bilanan elomban pada = h 1 k t : Bilanan elomban pada = h ω : Frekuensi elomban. Penelesaian dari persamaan perambatan elomban monokromatik pada dasar rata diperoleh denan menelesaikan funsi potensial φ x,, t dari φ xx + φ = 0 Dan linearisasi dari persamaan-persamaan dasar fluida aitu : η t φ = 0 pada = 0 φ t + η = 0 φ = 0 pada = h Denan metode pemisahan peubah an di definisikan sebaai berikut : φ x,, t = i η x, t F() ω Sehina dapat kita peroleh funsi potensial sebaai berikut : φ x,, t = i ω η x, t cosh k + ω p sinh (kh 1) Penelesaian dari persamaan perambatan elomban monokromatik pada dasar berundak menunakan cara an sama denan penelesaian persamaan perambatan elomban monokromatik pada dasar rata, sehina dapat diperoleh funsi potensial sebaai berikut : i ω η x, t cosh kh 1 + ω k sinh (kh 1) = 0, x < 0 φ x,, t = i ω η x, t cosh k th + ω sinh (k k t h ) = 0, x > 0 t 3. Berdasarkan simulasi an telah dilakukan, dapat diketahui bahwa penaruh dasar berundak terhadap permabatan elomban adalah sebaai berikut : a. Ketika h 1 = 3. 5 dan h = 0. 5 diperoleh A t = sedankan 113

12 ketika h 1 = 3. 5, h = 3. 0, diperoleh A t = sehina dapat disimpulkan, jika perbedaan kedalaman optimum, maka amplitudo elomban transmisi mencapai optimum. b. Ketika x = 0 dan t = 00, maka amplitudo elomban transmisi merupakan penjumlahan dari amplitudo elomban datan denan elomban refleksi. c. Ketika h 1 = 3. 5 dan h = 0. 5 denan A = 0. 5 diperoleh A r = dan A t = sedankan ketika h 1 = 3. 5, h = 3. 0, diperoleh A r = dan A t = sehina dapat disimpulkan, jika perbedaan kedalaman semakin kecil maka amplitudo elomban transmisi mendekati elomban datan, sehina amplitudo elomban refleksi mendekati nol. 5. Saran Pada skripsi ini, hana diunakan undakan berbentuk rata. Untuk penelitian berikutna, diharapkan peneliti bisa menunakan dasar tak rata denan bentuk an lain seperti bentuk dasar sinusoidal. [9] Bird, R. B., W. E. Stewart, and E. N. Lihtfoot Transport Phenomena, rev. nd ed. New York: Wile. DAFTAR PUSTAKA [1] Boce, W dan R. Diprima Elementar Differential Equation and Boundar Value Problem- 7 th ed. Prentice Hall. New York. [] optics/courses/em_fieldsandwaves/waveequation.pdf (diakses 31 Mei 014) [3] df (diakses pada 0 Austus 014) [4] emelis5.pdf (diakses 31 Mei 014) [5] Kane, S. A Dispertion Relation for Water Waves. (Online: r/documents/11-7dispersionrelation.doc (diakses pada 31 Mei 014) [6] Widjojo, JB. S Transportasi Sedimen Oleh Kombinasi Aliran Permanen Beraturan dan Gelomban Seraaam. Media Teknik Sipil, Vol. X [7] Wiranto, L. H Wave Propoation Over A Submered Bar. ITB J, Sci, Vol 4 A, No., p [8] Wiranto, L. H dan Jamhuri, M Monochromatic Wave Propaatin Over A Step. SEACMA, ISBN