Tinjauan Aliran Fluida dengan Menggunakan Metode Homotopi

Transkripsi

1 Tinjauan Aliran Fluida dengan Menggunakan Metode Homotopi Abd. Djabar Mohidin Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Negeri Gorontalo Abstrak Dalam makalah ini, akan dibahas tinjauan matematis mengenai gelombang permukaan pada kedalaman ang cukup besar, aarat batas pada domain fluida ang ditunjukkan berupa fungsi taklinear, sehingga penelesaian masalah nilai batas ang muncul menjadi sulit dilakukan baik secara analitik, maupun secara numeric dengan metode penelesaian masalah nilai batas ang disebut metode homotopi. Air laut dianggap sebagai suatu fluida ideal, aitu fluida ang takmampat (incompressible) dan takkental (inviscid). Domain fluida dimisalkan hana berdimensi dua, meskipun kenataanna berdimensi tiga. Hal ini dapat dilakukan karena sifat homogen fluida, aitu garis arusna pararel dengan garis arus ang lain pada suatu bidang ang tetap, bahkan partikel-partikel pada bidang tersebut memiliki kecepatan dan arah ang sama (Streeter, 1984). Garis arus adalah garis ang digambarkan pada fluida ang memiliki kemiringan pada tiap titik sama dengan kecepatan partikel fluida di titik tersebut. Masalah gelombang baik permukaan maupun internal merupakan suatu masalah taklinear, ang sulit diselesaikan secara analitik sehingga menarik perhatian peneliti sejak pertengahan abad ke-19. Stokes menggunakan metode perturbasi untuk mendapatkan solusi hampiran sampai orde ke-5 dalam penghitungan amplitudo gelombang (Stokes, 1883). Beberapa peneliti telah menerapkan metode perturbasi ang dilakukan Stokes, seperti Schwartz dengan menghitung hingga orde ke-58 (Schwartz, 1974). Longuct-Higgins memperluas ang dilakukan Stokes untuk menghitung amplitudo gelombang sampai orde tinggi dan memeriksa pula kestabilan solusina (Longuct Higgins, 1978). Chen dan Saffman menggunakan analisis numerik untuk memperlihatkan bifurkasi pada titik tetap untuk gelombang internal ang tunak (Chen dan Saffman, 1980). Fluida adalah zat ang dapat mengalir, artina zat ang bergerak terhadap sekitarna. Persamaan dasar akan diturunkan berdasarkan hukum kekekalan massa dan momentum. Hukum kekekalan massa didasarkan pada kesetimbangan massa. Perubahan massa merupakan selisih antara massa ang masuk dan keluar. Misalkan (,, t) rapat massa fluida, u(,, t ) dan w(,, t ) masing-masing kecepatan partikel fluida pada arah horizontal dan arah vertikal. Massa ang masuk pada elemen luas tersebut adalah ( u) dan ( w), sedangkan massa ang keluar adalah ( u) dan ( w ). Jika selisih antara massa ang masuk dengan massa ang keluar pada arah horizontal adalah u u, sedangkan arah vertikal adalah w w, maka laju perubahan massa fluida pada arah horizontal dan vertikal adalah ( u) ( u) ( w) ( w). t (1) Jika persamaan (.1) dibagi oleh, maka diperoleh ( u) ( ) ( w) ( w) u. t Untuk 0 dan 0, diperoleh

2 ( u) ( w), t atau dapat dituliskan [ u u w w ] () t Persamaan () menatakan laju perubahan rapat massa ang disebabkan oleh perubahan massa. Penulisan bentuk lain dari persamaan () adalah dengan menggunakan operator D/ sebagai simbol untuk turunan total suatu fungsi dengan variabel,, t terhadap waktu t, aitu D u w. (3) t Sehingga turunan total dari terhadap waktu t adalah D. t u w (4) Jika persamaan () disubstitusikan ke dalam persamaan (4), maka diperoleh D ( u w) (5) Dengan notasi vektor persamaan (5) dapat dituliskan sebagai berikut D q, dengan q u, w. Jika digunakan asumsi fluida takmampat (incompressible), maka rapat massa konstan sehingga persamaan (.5) menjadi D 0 sehingga u w 0. (6) Persamaan (4) dan (6) masing masing dapat ditulis menjadi t u w 0, (7) u w 0. Persamaan (7) merupakan persamaan kontinuitas untuk fluida takmampat. Selanjutna, jika diasumsikan bahwa partikel fluida takberotasi (irrotational), aitu maka terdapat fungsi kecepatan potensial, sehingga q(,, t) (,, t). Jadi persamaan (6) dapat ditulis 0 atau 0. (8) Persamaan (8) disebut persamaan kontinuitas fluida ang tak termampatkan. Selanjutna hukum kekekalan momentum dinatakan sebagai laju perubahan momentum ang memengaruhi gaa pada permukaan fluida pada elemen luas pada Laju perubahan momentum merupakan selisih antara momentum masuk dan keluar serta ditambah dengan gaa-gaa ang berkerja pada elemen luas tersebut. Faktor lain ang perlu diperhatikan adalah gaa-gaa ang terjadi pada elemen luas tersebut aitu akibat tekanan fluida p, dan gaa gravitasi g. Gaa gesekan diabaikan karena fluida takkental (inviscid).

3 Dalam arah sumbu-, momentum ang masuk adalah ( uu) dan ang keluar ( uu), sedangkan dalam arah sumbu-, momentum ang masuk dan keluar berturut - turut adalah ( wu) dan ( wu). Jadi perubahan rata- rata momentum pada arah sumbu- adalah ( u) ( uu) ( uu) ( wu) ( wu) t ( p p ) g (9) sedangkan perubahan rata rata momentum pada arah sumbu- adalah ( w) ( uw) ( uw) ( ww) ( ww) t ( p p ) g. (10) ( u) Bentuk t dan ( w) adalah laju perubahan t Momentum dalam elemen luas untuk arah sumbu- dan sumbu-. Karena fluida ideal, berarti fluida takkental, maka tegangan geser diabikan. Sedangkan bentuk ( p p ) g pada persamaan (9) menatakan jumlah gaa ang berkerja pada sumbu-, sedangkan bentuk ( p p ) g pada persamaan (10) menatakan jumlah gaa ang berkerja pada sumbu-. Untuk menederhanakan persamaan (9) dan (10) kedua ruas persamaan tersebut dibagi oleh dan dengan menatakan 0 dan 0, diperoleh: ( u) ( uu) ( wu) p g t, (11) ( w) ( uw) ( ww) p g t (1) Dengan menggunakan persamaan kontinuitas untuk fluida tak termampatkan, persamaan (11) dan (1) menjadi Du p, Dw p g, (13) atau dapat ditulis ( ut uu wu ) p 0, ( wt uw ww ) p g 0 (14) Dengan demikian, dari persamaan (7) dan (14), persamaan dasar fluida ideal diberikan dalam sistem persamaan berikut : t u w 0 u w 0 ( ut uu wu ) p 0 ( wt uw ww ) p g 0. (15) Dua persamaan pertama adalah persamaan kontinuitas, sedangkan dua persamaan terakhir adalah persamaan Euler.

4 PEMBAHASAN Berikut ini akan dibahas persamaan dasar untuk aliran tunak. Ilustrasi aliran tunak adalah sebagai berikut. Misalkan suatu gelombang difoto dan gelombang tersebut bergerak seakanakan bingkai foto ang bergerak, sehingga kecepatan gelombang sama dengan kecepatan bingkai. Misalkan gelombang tersebut hana bergerak ke arah kanan dengan kecepatan c, maka koordinat dapat dituliskan = ct sehingga, t c. Selanjutna bentuk tunak dari persamaan (15) dapat ditulis c u w 0 (16) atau U w 0, dengan U u c, sedangkan persamaan (15) dapat dituliskan sebagai berikut U w 0. Dengan cara ang sama diperoleh bentuk tunak dari persamaan (15) sebagai berikut ( UU wu ) p 0 ( Uw ww ) p g 0. Untuk memudahkan penulisan, notasi dan U pada setiap persamaan ditulis dalam notasi dan u, sehingga persamaan dasar fluida ideal untuk aliran tunak adalah: u w 0 u w 0 (17) ( uu wu ) p 0 ( uw ww ) p g 0. Keempat persamaan ini akan disederhanakan untuk memperoleh persamaan gerak partikel fluida dengan aliran tunak sebagai berikut. Eliminasi p pada persamaan (17) dengan terlebih dahulu menurunkan masing-masing persamaan berturut-turut terhadap peubah dan, diperoleh uw ww uu uw uw ww uu uw 1 1 g uw ww uu u 0 (18) Substitusikan persamaan (17 ke persamaan (18), diperoleh g uw ww uu uw uu ww uu ww 0 (19) Misalkan w u dan gunakan diferensial total terhadap, persamaan (19) dapat dituliskan sebagai berikut D 1 1 u w u w g 0, (0) dengan D u w z Karena ( ) dan (, ), persamaan (0) menjadi 1 D g 0 (1)

5 Jika persamaan (1) diintegralkan terhadap t, maka diperoleh 1 g H( ) atau 1 g H( ). () Misalkan fungsi H( ) menggambarkan perubahan rapat massa dalam fluida ang ditentukan dengan cara berikut. Misalkan diberikan kondisi upstream, aitu C di, maka diperoleh 0, 0, C, dan 0, sehingga dari persamaan () diperoleh C H( ) g C (3) Substitusikan persamaan () ke persamaan (3), diperoleh 1 C g 0 C (4) Misal fluida ang di tinjau memiliki rapat massa ang konstan, maka persamaan (4) menjadi persamaan Laplace berikut: 0, (5) dengan sarat batas sebagai berikut C g ( ) C 0 di ( ) (6) 1 1 ( )= C di ( ). (7) g Masalah nilai batas pada persamaan (5)-(7) akan digunakan dalam penelitian ini sebagai model persamaan untuk menjelaskan gerak gelombang permukaan pada fluida dengan kedalaman ang cukup besar. Berikut ini diberikan ilustrasi konsep metode homotopi. Misalkan diberikan persamaan diferensial berikut: 1 A[ u( t)] 0, (8) dengan A operator turunan, t variabel bebas dan u(t) fungsi ang akan ditentukan. Selanjutna didefinisikan pula suatu operator linear ang memenuhi (9) Misalkan operator A dibagi menjadi dua bagian, aitu dan ang masing-masing merupakan operator ang linear dan taklinear, sehingga persamaan (8) menjadi : Misalkan u () 0 t merupakan pendekatan awal dari penelesaian persamaan (8) dan q [0,1] suatu parameter. Definisikan fungsi real dan suatu fungsi H sebagai berikut : (30) atau Berdasarkan persamaan (.30), untuk q = 0 dan q =1 masing-masing memberikan persamaan berikut: dan (31)

6 Menurut persamaan (8), (9) dan (31) diperoleh bahwa fungsi ( t,0) u0( t) dan ( t,1) u( t) masing-masing merupakan penelesaian dari persamaan H[ ( t,0),0] 0 dan H[ ( t,1),1] 0. Dengan demikian peningkatan nilai q dari 0 ke 1 menatakan perubahan nilai H[ ( t), q] dari ke A[ ( t)]. Dalam topologi hal ini disebut dengan deformasi, sedangkan dan A[ ( t)] disebut dengan homotopi. SIMPULAN Kajian ini menunjukan bahwa metode homotopi dapat digunakan untuk memecahkan masalah taklinear ang komplek dengan kondisi batas taklinear. Pendekatan terbaru tidak melibatkan parameter perturbasi dan menunjukan kekonvergenan ang lebih baik jika dibandingkan dengan penggunaan jenis pendekatan lainna. Parameter digunakan di dalam ekspansi barisan tidak dijumpai pada ukuran batas permukaan ang diperoleh maupun pada solusina. Yang paling penting adalah penggunaan metode ekspansi homotopi pade dapat menentukan solusi dari suatu barisan. Selanjutna aplikasi dari metode homotopi pade epansi mengeliminir dari parameter tambahan ang digunakan untuk memformula daerah kekonvergenan. DAFTAR PUSTAKA Chen B, Saffman, P.G Numerical evidence for the eistence of new tpes of gravit waves of permanent form of deep water. Studies in appl. Math 6:1-1. Gerkema T Nonlinear Dispersive Internal Tides: Generation Modeis for a Rotating Ocean [PhD-Thesis]. The Netherlands: Univ. of Utrecht. Hollowa P, Pelinovsk E, Talipova T Internal Tide Transformation and Oceanic Internal Solitar wave. Dalam Grimshaw R.(Ed) Stratified Flows. Dordrecht: Kluwer. Liao, Shinjun, Cheung Kwok Fai Homotop analsis of nonlinear progressive waves in deep water. Journal of Engineering Mathematics. 45: Liao, Shijun Beond Pertubation: Introduction to the Homotop Analsis Method. Boca Raton, London, New York Washington, D.C. Longuet, Higgins M.S The instabilit of gravit of finite amplitude in deep water: subharmonics. Proc. R. Soc. Lond. A 360: Osborne A.R, T.L Burch Internal Soliton in the Andaman Sea. Science 08: Schwartz, L.W Computer etension and analtic continuitas of Stokes epansion for gravit waves. J.of Fluid Mech 6(3): Stokes, G.G On the highest waves of uniform propagation. Proc. Cambridge Phil. Soc 4: Streeter, V. L Fluid Dnamics. McGraw-Hill Book Compan, New York Washington, D.C. Inc.

7