a. Tentukan bentuk akhir dari tiga persamaan di atas yang menampilkan secara eksplisit

Transkripsi

1 Contact Person : OSK Fisika 018 Number 1 BESARAN PLANCK Pada tahun 1899 Max Planck memperkenalkan suatu sistem satuan iniversal sehina besaran-besaran fisika dapat dinyatakan dalam tia satuan Planck yaitu massa Planck M P, panjan Planck L P, dan waktu Planck T P. Ketia satuan Planck tersebut dapat dinyatakan dalam tia konstanta alamiah dalam mekanika kuantum serta dalam teori relativitas khusus dan relativitas umum yaitu konstanta Planck tereduksi ħ = h/π = 1, Js, kelajuan cahaya dalam ruan hampa c = m/s, dan konstanta umum ravitasi G = 6, Nm k. Ketia satuan Planck ini M P, L P, dan T P dapat dituliskna dalam bentuk : M P = M P (ħ, c, G L P = L P (ħ, c, G T P = T P (ħ, c, G a. Tentukan bentuk akhir dari tia persamaan di atas yan menampilkan secara eksplisit keterantunan M P, L P, dan T P kepada ħ, c, dan G. b. Hitun nilai numerik dari ketia satuan Planck di atas M P, L P, dan T P dalam sistem Satuan Internasional (SI. Selanjutnya denan menunakan satuan Planck di atas dapat pula dibentuk 4 macam satuan Planck lainnya yaitu eneri Planck E P = M P c, kecepatan Planck v P = L P /T P, percepatan Planck a P = L P /T P, dan rapat massa Planck ρ P = M P /L P. c. Hitun nilai numerik E P, v P, a P, dan ρ P dalam satuan SI. Pembahasan : a. Untuk menemukan hubunan satuan Planck denan besaran-besaran yan diminta, kita bisa menunakan analisis dimensi. Berikut dimensi masin-masin besaran M P = M ħ = ML T 1 L P = L c = LT 1 T P = T G = M 1 L 3 T Dalam analisis dimensi akan ada kosntanta tanpa dimensi ikut dalam persamaan kita. Namun di sini, nilai konstanta ini bisa kita asumsikan bernilai 1 karena hubunan besaran yan kita analisis adalah sebuah satuan. Untuk Massa Planck M P = ħ x c y G z M = (ML T 1 x (LT 1 y (M 1 L 3 T z M = M x z L x+y+3z T x y z Dari kesamaan pankat untuk suku di sebelah kanan dan kiri akan kita dapatkan 1 = x z (1 x + y + 3z = 0 ( x y z = 0 (3 Dari penjumlahan persamaan ( dan (3 kita dapatkan x + z = 0 x = z Hal

2 Contact Person : Maka dari persamaan (1 akan kita dapat 1 = z z = z z = 1 dan x = 1 Kemudian akan kita dapatkan pula dari persamaan (3 y = x z = 1 ( 1 y = 1 Maka massa Planck akan berbentuk M P = ħ 1 c 1 G 1 M P = ħc G Untuk Panjan Planck L P = ħ x c y G z L = M x z L x+y+3z T x y z Dari kesamaan pankat kita dapatkan persamaan berikut x z = 0 x = z (4 x + y + 3z = 1 (5 x y z = 0 (6 Dari persamaan (4 dan (6 kita peroleh x y x = 0 y = 3x Maka dari persamaan (5 akan kita dapatkan x + ( 3x + 3x = 1 x = 1 = z dan y = 3 Maka panjan Planck akan berbentuk L P = ħ 1 c 3 G 1 L P = ħg c 3 Untuk Waktu Planck T P = ħ x c y G z T = M x z L x+y+3z T x y z Dari kesamaan pankat kita dapatkan persamaan berikut x z = 0 x = z (7 x + y + 3z = 0 (8 x y z = 1 (9 Dari persamaan (7 dan (8 kita peroleh x + y + 3x = 0 y = 5x Maka dari persamaan (9 akan kita dapatkan x ( 5x x = 1 x = 1 = z dan y = 5 Maka waktu Planck akan berbentuk Hal

3 Contact Person : T P = ħ 1 c 5 G 1 T P = ħg c 5 b. Denan memasukkan nilai numerik ħ, c, dan G akan kita dapatkan nilai numerik dari masin-masin satuan Planck Massa Planck M P = ħc G = (1, ( , , tadi kita nak boleh pakai kalkulator kan ya... terus imana don cara menhitun akar untuk anka yan kuran enak? Tenan teman-teman, setiap kesulitaan pasti ada jalan keluar. Ada yan namanya metode hampiran, silahkan pelajari secara lenkap di buku kalkulus bab tentan aplikasi diferensial. Intinya adalah, kita bisa mendekati akar suatu bilanan dari akar suatu bilanan lain yan diketahui akarnya. Rumusnya adalah sebaai berikut, misalkan kita inin mencari akar nilanan H, maka H x + dx H adalah nilai akar yan kita cari, x adalah bilanan terdekat dari H yan nilainya rasional, dan dx pereseran dari nilai x. Rumus dx adalah dx = 1 Δx denan Δx = H x x Baik mari kita coba unakan untuk H = 4,7. Nilai x yan terdekat adalah 4 maka Δx = 4,7 4 = 0,7 dx 1 0,7 = 0,18 4 4, ,18 =,18 Jika menunakan kalkulator hasil yan kita dapatkan adalah 4,7,17556 Hasilnya mendekati kan. Karena kita ak boleh pakai kalkulator kita pakai hasil yan dari hampiran M P, k dari kalkulator M P, k Panjan Planck L P = ħg c 3 = (1, (6, ( , Denan metode hampiran seperti sebelumnya kan kita dapatkan L P 1, m dari kalkulator L P 1, m Waktu Planck T P = ħg c 5 = (1, (6, ( , Hal

4 Contact Person : Denan metode hampiran akan kita dapatkan T P 5, s dari kalkulator T P 5, s c. Eneri Planck E P = M P c = (, ( E P = 1, J Kecepatan Planck v P = L P 1, = T P 5, v P = 3, m/s Percepatan Planck a P = L P T = 1, P (5, a P = 6, m/s Rapat Massa Planck ρ P = M P 3 L =, P (1, ρ P = 3, k/m 3 OSK Fisika 018 Number GERAK PARABOLA Sebuah peluru ditembakkan ke atas denan kecepatan awal dan sudut elevasi tertentu dari permukaan tanah. Ketika peluru tersebut berada di ketinian H 1 untuk pertama dan kedua kalinya, selan waktu antara keduanya adalah T 1, sedankan ketika peluru tersebut berada ketinian H untuk pertama dan kedua kalinya, selan waktu antara keduanya adalah T. Asumsikan H > H 1 dan T 1 > T. Tentukan : a. Selan waktu ketika peluru tersebut berada di ketinian H 3 untuk pertama dan kedua kalinya, dinyatakan dalam H 1, H, H 3, T 1 dan T b. Syarat untuk H 3 (dinyatakan dalam H 1, H, T 1 dan T aar selan waktu pada soal a ada nilainya. Pembahasan : a. H 3 bisa berada di ketinian berapa saja. Kita tinjau untuk H 3 > H > H 1. Sebenarnya dimanapun pemilihan posisi H 3, hasilnya akan tetap sama. Lintasan erak peluru adalah sebaai berikut y T 3 H H 3 T H 1 T 1 x Hal

5 Contact Person : Misalkan kecepatan ketika peluru berada di ketinian untuk komponen vertikal adalah v 1y. Perhatikan ambar di atas! Jika selan waktu T 1 adalah Selan waktu ketika peluru tersebut berada di ketinian H 1 untuk pertama dan kedua kalinya, maka selan waktu ketika peluru berada di ketinian H 1 untuk pertama kalinya sampai mencapai titik tertini adalah T 1 /. Ketika berada di titik tertini, kecepatan peluru arah vertikal bernilai nol, maka v y = 0 = v 1y T 1 v 1y = T 1 (1 Kita tinjau posisi peluru untuk arah vertikal relatif terhadap titik di ketinian H 1. Waktu untuk mencapai posisi di ketinian H adalah H H 1 = v 1y t 1 t t v 1y t + (H H 1 = 0 Subtitusi persamaan (1 t T 1 t + (H H 1 = 0 Solusi untuk t di atas ada dua yaitu t = T 1 T 1 8(H H 1 dan t = T 1 + T 1 8(H H 1 Untuk t adalah selan waktu dari posisi ketinian H 1 untuk pertama kali sampai ke posisi ketinian H untuk pertama kali. Sedankan t adalah selan waktu dari posisi ketinian H 1 untuk pertama kali sampai ke posisi ketinian H untuk pertama kedua kalinya. Maka selisih antara t dan t adalah T atau t t = T T 1 + T 1 8(H H 1 T 1 8(H H 1 T 1 8(H H 1 = T = T T 1 T = 8(H H 1 T 1 T 1 8(H H 1 = 8(H H 1 T 1 T ( = T Denan cara yan sama untuk posisi di ketinian H 1 dan H 3 akan kita dapatkan = 8(H 3 H 1 T 1 T 3 (3 Persamaan (3 sama denan persamaan ( Hal

6 Contact Person : (H H 1 T 1 T = 8(H 3 H 1 T 1 T 3 T 1 T 3 = (T 1 T H 3 H 1 H H 1 T 3 = T 1 (T 1 T H 3 H 1 H H 1 T 3 = T 1 (1 H 3 H 1 H H 1 + T ( H 3 H 1 H H 1 T 3 = T 1 ( H 3 H H H 1 + T ( H 3 H 1 H H 1 T 3 = T (H 3 H 1 T 1 (H 3 H H H 1 T 3 = T (H 3 H 1 T 1 (H 3 H H H 1 b. Aar T 3 memiliki nilai atau kalau kata soal ada nilainya, dia haruslah berupa bilanan real. Aar T 3 merupakan bilanan real, suku di dalam akar haruslah lebih besar dari nol T (H 3 H 1 T 1 (H 3 H H H 1 > 0 T H 3 T H 1 > T 1 H 3 T 1 H (T 1 T H 3 < T 1 H T H 1 H 3 < T 1 H T H 1 T 1 T OSK Fisika 018 Number 3 BOLA BERONGGA Sebuah bola berona berdindin tebal dimana jari-jari dindin luar dan dalamnya masin-masin adalah R 0 dan R 1. Densitas bola pada R 1 < r < R 0 dianap homoen, yaitu ρ. Bola menelindin ke bawah tanpa slip dari keadaan diam pada suatu bidan mirin dan kecepatannya ketika mencapai dasar bidan mirin adalah v 0. Bila bidan mirinnya licin dan bola menuruni bidan mirin dari keadaan dan posisi yan sama seperti sebelumnya, maka kecepatannya saat mencapai dasar bidan mirin menjadi 5v 0 /4. Tentukan : a. Jari-jari irasi bola berona tersebut terhadap sumbu yan melalui pusat bola. b. Perbandinan nilai R 1 /R 0 dan c. Perbandinan volume rona bola terhadap volume total bola Petunjuk : Untuk polinom 13x 5 45x + 3 = 0, salah satu solusinya adalah x = 1,15 Pembahasan : a. Jari-jari irasi adalah jari-jari yan diunakan pada momen inersia jika benda tear yan kita tinjau dianap sebaai massa titik. Oleh karena itu kita perlu meninjau Hal

7 Contact Person : moen inersia bola berona tebal ini terkebih dahulu. Momen inersia untuk kulit bola tipis terhadap sumbu rotasi yan melalui pusatnya adalah I 0 = 3 mr Sekaran kita tinjau suatu elemen kulit bola tipis setebal dr yan berjarak r dari pusat bola dimana R 1 < r < R 0. R 0 r elemen kulit bola tipis R 1 dr Luas permukaan elemen kulit bola ini adalah 4πr. Karena kulit bola ini sanat tipis, luas permukaan luar dan dalamnya bisa kita asumsikana sama, maka volume kulit bola ini adalah dv = 4πr dr. Massa elemen kulit bola ini adalah dm = ρdv = 4ρπr dr Massa total bola berona ini adalah M dm = 4ρπr dr 0 R 0 R 1 R 0 M = 4ρπ r dr = 4 R 1 3 ρπ(r 0 3 R 3 1 Momen inersia kulit bola ini terhadap sumbu rotasi yan melalui pusatnya adalah di = 3 dmr di = 8 3 ρπr4 dr I di 0 = 8 R 0 3 ρπ r4 dr R 1 I = 8 3 ρπ 1 5 (R 0 5 R 1 5 I = 8 15 ρπ(r 0 5 R 1 5 Jika bola berona bendindin tebal ini dianap sebaai massa titik, jari-jari irasi nya atau R G adalah MR G = 8 15 ρπ(r 0 5 R 1 5 Hal

8 Contact Person : ρπ(r 0 3 R 3 1 R G = 8 15 ρπ(r 0 5 R 5 1 R G = (R 0 5 R 5 1 5(R 3 0 R 3 1 R G = (R 0 5 R 5 1 5(R 3 0 R 3 1 b. Pertama kita tinjau kondisi ketika bola menelindin tanpa slip. Karena bola menelindin tanpa slip, ketik sampai di dasar bidan mirin, bola bererak translasi denan kecepatan v 0 dan rotasi denan kecepatan sudut ω. M h ω v 0 Menunakan Hukum Kekekalan Eneri Mekanik akan kita dapatkan Mh = 1 Mv Iω Karena bola menelindin tanpa slip maka ω = v 0 /R ρπ(r 0 3 R 3 1 h = ρπ(r 0 3 R 3 1 v ρπ(r 0 5 R 5 1 ( v 0 R 0 h = 1 v R R 1 5 (R 3 0 R 3 1 R v 0 (1 0 Berikutnya kita tinjau kondisi ketika bidan mirin licin. Karena bidan mirin licin, maka tidak ada aya esek dan tidak tidak ada torsi yan menyebabkan bola berotasi, jadi ketika sampai di dasar bidan mirin, bola hanya murni bererak translasi denan kecepatan 5v 0 /4. M h 5v 0 4 Menunakan Hukum Kekekalan Eneri Mekanik akan kita dapatkan Mh = 1 M (5v 0 4 h = 5 3 v 0 ( Hal

9 Contact Person : Persamaan (1 sama denan persamaan ( 5 3 v 0 = 1 v R R 1 5 (R 3 0 R 3 1 R v = R R 1 5 (R 3 0 R 3 1 R = R R 1 5(R 5 0 R 3 1 R 0 45R R 1 3 R 0 = 3R 0 5 3R R R 1 3 R 0 + 3R 1 5 = 0 1 R ( R ( R = 0 R 1 R 1 Persamaan terkahir ini analo denan bentuk polinom yan diberikan petunjuk yaitu 13x 5 45x + 3 = 0 Maka solusinya adalah R 0 = 1,15 = 115 R R 1 = 1000 R R 1 = 00 R 0 43 = 0,83 Alterntif Solusi Untuk Baian a kita bisa mencari jari-jari irasi denan cara yan lebih mudah. Untuk persamaan eneri sistem dari kondisi awal sampai ketika tiba di dasar bidan mirin akan berbentuk Mh = 1 Mv MR G ω Untuk kasus pertama berlaku ω = v 0 /R 0 Mh = 1 Mv Mv 0 ( R G R 0 Untuk kasus kedua ω = 0 Mh = 1 M (5v 0 4 = 1 Mv 0 ( 5 16 Maka jari-jari irasi bola akan menjadi 1 Mv Mv 0 ( R G R ( R G R 0 ( R G R 0 = 9 16 = 5 16 R G R 0 = 3 4 R G = 3 4 R 0 = 1 Mv 0 ( 5 16 Hal

10 Contact Person : Hasil ini akan sama denan hasil pada baian a, kalau tidak percaya coba saja masukkan nilai numeriknya, berapapun yan kamu pilih pasti hasilnya sama. c. Volume rona adalah V R = 4 3 πr 1 3 Volume total bola bola adalah V B = 4 3 πr 0 3 Maka, perbandinan volume rona terhadap volume total bola adalah 4 V R = 3 πr 1 3 V B 4 = ( R 1 3 πr 0 3 R 0 3 = (0,83 3 V R V B = 0,557 OSK Fisika 018 Number 4 OSILASI AYUNAN BANDUL Sebuah partikel bermassa m diikat pada ujun tali tear tak bermassa denan panjan L. Ujun tali yan satunya dipasan pada suatu titik tetap. Partikel tersebut diputar denan kecepatan sudut konstan Ω = Ωz sehina bererak dalam bidan horizontal xy. Sudut antara tali denan sumbu vertikal z adalah θ. Percepatan ravitasi ke arah sumbu z neatif. θ Ω L m a. Jika sudut konstan sebesar θ = θ 0 adalah sudut apit tali denan aris vertikal sehina m berada pada bidan horizontal yan tetap, tentukan θ 0 dinyatakan dalam L,, dan Ω. b. Ketika partikel tersebut berotasi terhadap sumbu vertikal, sudut θ 0 dapat divariasi denan sudut infinitesimal δ(θ = θ 0 + δ sehina partikel tersebut jua melakukan erak osilasi terhadap δ. Tentukan kecepatan sudut osilasi dinyatakan dalam L,, dan Ω. Pembahasan : a. Kita tinjau keseimbanan partikel pada arah radial relatif terhadap lintasan melinkar partikel. karena kita tinjau relatif terhadap lintasan partikel, sedankan pada lintasan ini partikel memiliki percepatan sentripetal yan arahnya radial ke dalam, maka dia akan mendapat aya fiktif yaitu aya sentrifual yan arahnya menjauhi sumbu rotasi. Berikut diaram aya pada partikel Hal

11 Contact Person : T cos θ 0 T θ 0 mω L sin θ 0 T sin θ 0 m Keseimbanan aya arah vertikal memberikan T cos θ 0 m = 0 Tcos θ 0 = m (1 Keseimbanan aya arah radial memberikan T sin θ 0 mω L sin θ 0 = 0 T = mω L ( Subtitusi persamaan ( ke (1 mω L cos θ 0 = m cos θ 0 = Ω L θ 0 = arccos ( Ω L b. Sekaran kita tinjau kondisi ketika sudut apit antara tali dan aris vertikal bertambah sebesar δ menjadi θ = θ 0 + δ. Kita tinjau erak rotasi sistem. Torsi pemulih sistem adalah proyeksi aya berat dan aya sentrifual pada arah tanensial. Perhatikan ambar di bawah! T mω L sin θ α θ θ θ m Besar torsi pemulih sistem adalah τ = ml α m sin θ L mω L sin θ cos θ = ml α L sin θ Ω sin θ cos θ = α L sin(θ 0 + δ Ω sin(θ 0 + δ cos(θ 0 + δ = α (3 Hal

12 Contact Person : Kita unakan rumus trionometri berikut untuk memodifikasi persamaan di atas sin(θ 0 + δ = sin θ 0 cos δ + cos θ 0 sin δ cos(θ 0 + δ = cos θ 0 cos δ sin θ 0 sin δ maka sin(θ 0 + δ cos(θ 0 + δ = (sin θ 0 cos δ + cos θ 0 sin δ(cos θ 0 cos δ sin θ 0 sin δ sin(θ 0 + δ cos(θ 0 + δ = sin θ 0 cos θ 0 cos δ + cos θ 0 sin δ cos δ sin θ 0 sin δ cos δ sin θ 0 cos θ 0 sin δ Untuk osilasi yan kecil, atau sudut δ kecil, maka kita akan berlaku hampiran berikut yaitu cos δ 1 sin δ δ sin δ δ 0 Suku δ bisa kita hampirkan ke nol karena δ sendiri suatu bilanan yan kecil, maka δ akan sanat kecil dan mendekati nol sehina sin(θ 0 + δ = sin θ 0 + δ cos θ 0 sin(θ 0 + δ cos(θ 0 + δ = sin θ 0 cos θ 0 + δ cos θ 0 δ sin θ 0 Kita kembali ke persamaan (3 L (sin θ 0 + δ cos θ 0 Ω (sin θ 0 cos θ 0 + δ cos θ 0 δ sin θ 0 = α Kita unakan hasil dari baian a yaitu cos θ 0 = Ω L L = Ω cos θ 0 Maka Ω cos θ 0 (sin θ 0 + δ cos θ 0 Ω (sin θ 0 cos θ 0 + δ cos θ 0 δ sin θ 0 = α Ω cos θ 0 sin θ 0 + Ω δ cos θ 0 Ω sin θ 0 cos θ 0 Ω δ cos θ 0 + Ω δ sin θ 0 = α Ω δ sin θ 0 = α Karena arah α berlawanan denan arah bertambahnya δ maka α = δ sehina Ω δ sin θ 0 = δ δ + Ω sin θ 0 δ = 0 ω = Ω sin θ 0 ω = Ω sin θ 0 Dari identitas trionometri kita peroleh sin θ 0 = 1 cos θ 0 = 1 Ω 4 L Kecepatan sudut osilasi partikel akan menjadi ω = Ω 1 Ω 4 L Hal

13 Contact Person : OSK Fisika 018 Number 5 TUMBUKAN MASSA DAN BATANG Tinjau sistem dibawah ini yan terdiri dari tia buah massa m 1, m, dan m 3 yan salin lepas (tidak salin menempel. Seluruh erakan sistem berada pada bidan horizontal. Batan m denan panjan 3L dipasan pada poros licin. Massa m 3 yan hampir menyentuh batan m berada pada posisi berjarak L dari poros, dan keduanya dalam keadaan diam. Massa m 1 bererak lurus denan kecepatan v 0 denan arah teak lurus batan dan akan menumbuk batan pada jarak L dari dari poros. Semua tumbukan yan terjadi bersifat lentin sempurna. Untuk selanjutnya dalam perhitunan unakanlah oleh kalian m 1 = m = m 3 = m. 3L L m 3 poros licin L v 0 m m 1 Setelah tumbukan terjadi, tentukan : a. Kecepatan massa m 1 dan m 3 serta kecepatan sudut batan m. b. Perbedaan momentum sudut total dan perbedaan eneri kinetik sistem antara sebelum dan sesudah tumbukan. Pembahasan : a. Baik teman-teman. Kita akan bahas soal ini. Hal yan perlu diperhatikan di sini adalah tumbukan yan terjadi sebanyak dua kali. Loh koq bisa?? Jadi beini, kan semuanya benda salin lepas, beitupun antara m dan m 3. Tumbukan pertama adalah tumbukan antara massa m 1 dan batan m, massa m 3 tidak ikut serta dalam tumbukan pertama ini karena dia tidak menempel pada m. Tumbukan kedua adalah tumbukan antara batan m dan massa m 3, di sini massa m 1 tidak ikut serta karena dia sudah berbalik arah. Baik kita tinjau masin-masin tumbukan. Tumbukan Pertama Setelah tumbukan massa m 1 akan berbalik arah dan batan m akan berotasi. Momentum sudut sistem terhadap poros licin kekal karena jika kita tinjau terhadap poros ini, tidak ada torsi eksternal yan bekerja pada sistem. Misal kecepatan massa m 1 dan kecepatan sudut batan m setelah tumbukan adalah v 1 dan ω 0. Momen inersia batan terhadap poros licin adalah I = 1 3 m L = 1 3 m(l = 3mL Hal

14 Contact Person : v 0 m m m 1 ω 0 m 1 v 0 Kekekalan momentum sudut mv 0 L = mv 1 L + 3mL ω 0 v 0 + v 1 = 3Lω 0 (1 Karena poros licin dan tumbukan elastis eneri sistem sebelum dan sesdah tumbukan kekal 1 mv 0 = 1 mv mL ω 0 v 0 v 1 = 3L ω 0 (v 0 + v 1 (v 0 v 1 = 3L ω 0 Subtitusi persamaan (1 3Lω 0 (v 0 v 1 = 3L ω 0 v 0 v 1 = Lω 0 v 1 = v 0 Lω 0 ( Subtitusi persamaan ( ke (1 v 0 + v 0 Lω 0 = 3Lω 0 v 0 = 4Lω 0 ω 0 = v 0 L Subtitusi ω 0 ke persamaan ( v 1 = v 0 L v 0 L v 1 = v 0 Tumbukan Kedua Pada tumbukan kedua ini, setelah tumbukan, erak rotasi batan m akan berbalik arah denan kecepatan sudut ω dan massa m 3 akan bererak denan kecepatan v 3. Seperti sebelumnya, pada tumbukan ini jua berlaku Hukum Kekekalan Momentum Sudut dan Hukum Kekekalan Eneri. v 3 m 3 m ω 0 m 3 m ω Kekekalan momentum sudut 3mL ω 0 = mv 3 L 3mL ω Hal

15 Contact Person : L(ω 0 + ω = v 3 (3 Kekekalan eneri 1 3mL ω 0 = 1 mv mL ω 3L (ω 0 ω = v 3 3L (ω 0 ω(ω 0 + ω = v 3 Subtitusi persamaan (3 v 3 L(ω 0 ω = v 3 L(ω 0 ω = v 3 (4 Subtitusi persamaan (4 ke (3 3L(ω 0 + ω = [L(ω 0 ω] 3ω 0 + 3ω = 4ω 0 4ω ω 0 = 7ω ω = ω v = L 7 ω = v 0 14L Subitusi ω 0 dan ω L ( v 0 L v 0 14L = v 3 v 3 = 6v 0 7L Jadi, kecepatan massa m 1 dan m 3 serta kecepatan sudut batan m setelah seluruh tumbukan terjadi adalah kecepatan massa m 1 v 1 = v 0 kecepatan massa m 3 v 3 = 6v 0 7L kecepatan sudut batan m ω = v 0 14L b. Untuk momentum sudut total sistem terhadap poros licin, secara loika kita, karena kekal, harusnya perbedaan momentum sudut sistem saat awal dan sesudah semua tumbukan haruslah nol. Akan kita buktikan. Momentum sudut awal dan akhir sistem terhadap poros licin adalah L i = mv 0 L L f = mv 1 L + mv 3 L 3mL ω ΔL = L f L i = mv 1 L + mv 3 L 3mL ω mv 0 L ΔL = mv 0 L mv 1 L + mv 3 L 3mL ω ΔL = mv 0 L mv 1 L + 3mL ω 0 3mL ω 0 + mv 3 L 3mL ω Lihat kembali persamaan kekekalan momentum sudut pada tumbukan pertama dan kedua mv 0 L = mv 1 L + 3mL ω 0 mv 0 L mv 1 L + 3mL ω 0 = 0 3mL ω 0 = mv 3 L 3mL ω 3mL ω 0 + mv 3 L 3mL ω = 0 Maka perbedaan momentum sudut sistem nol atau ΔL = 0. Hal

16 Contact Person : Untuk eneri sistem, eneri awal sebelum dan sesudah semua tumbukan akan kekal. Hal ini karena tidak ada aya luar non konservatif (seperti aya esek yan melakukan usaha pada sistem. Eneri awal dan akhir sistem adalah E i = 1 mv 0 E f = 1 mv mv mL ω E f = 1 m (v m (6v 0 7L + 1 3mL ( v 0 14L E f = 1 8 mv mv mv 0 = E f = 1 mv 0 ΔE = E f E i = 1 mv 0 1 mv 0 ΔE = mv 39 0 = mv 0 OSK Fisika 018 Number 6 BOLA PEJAL DAN BENDA MELENGKUNG Suatu bola pejal A bermassa m 1 dan berjari-jari r bererak denan kecepatan v 0 ke arah sebuah benda B bermassa m (m m 1 denan sisi melenkun seperti terlihat pada ambar di bawah ini. Bola A dan benda B berada di atas lantai licin. m 1 A v 0 m B Bola A kemudian melintasi permukaan benda B hina terpental secara vertikal ke atas relatif terhadap benda B. Kemudian bola terjatuh kembali melewati lintasan yan sama. Asumsikan setelah melewati bidan lenkun bola terhempas sanat tini sehina dimensi balok dapat diabaikan. c. Apabila aya esek antara bola A dan benda B diabaikan, tentukan waktu tempuh bola untuk kembali ke titik semula! d. Apabila aya esek antara bola A dan benda B tidak diabaikan, tentukan ketinian maksimum yan dapat dicapai bola! Pembahasan : Hal

17 Contact Person : a. Karena aya esek diabaikan, bola A tidak akan berotasi dan hanya bererak translasi murni. Karena dimensi B bisa kita abaikan, ketinian bola A lepas dari B bisa kita asumsikan nol, sehina pertambahan eneri potensial bola A menjadi nol pula. u m 1 A V m 1 A v 0 m B B m Misalkan u adalah kecepatan bola A relatif terhadap benda B ketika tepat akan terpantal ke atas dan lepas dari lintasan dan V adalah kecepatan benda B. Momentum linear sistem pada arah horizontal kekal karena tidak ada aya eksternal. Eneri sistem jua kekal karena semua permukaan licin sehina tidak ada Kekekalan momentum linear arah horizontal m 1 v 0 = (m 1 + m V V = m 1v 0 m 1 + m Kekekalan eneri mekanik 1 m 1v 0 = 1 m 1(u + V + 1 m V m 1 v 0 = (m 1 + m V + m 1 u m 1 v 0 = (m 1 + m ( m 1v 0 + m m 1 + m 1 u v 0 = m 1 m 1 + m v 0 + u m u = (1 m 1 v m 1 + m 0 = ( v m 1 + m 0 u = v 0 m m 1 + m Kecepatan u jua adalah komponen kecepatan bola A untuk arah vertikal terhadap tanah. Selan waktu total untuk bola sejak lepas dari benda B sampai kembali lai adalah y = y 0 + v y t 1 t Hal

18 Contact Person : = 0 + ut 1 t t = u t = v 0 m m 1 + m Karena dimensi benda B dapat diabaikan, selan waktu untuk bola A melewati lintasan lenkun bisa kita abaikan. Dalam selan waktu t ini, benda B sudah bererak ke kanan sejauh x = Vt = ( m 1v 0 ( v 0 m 1 + m m x = v 0 m 1 + m ( m 1 m m 1 + m m 1 + m Sekaran kita hitun dulu kecepatan bola A ketika dia berbalik arah, dalam hal ini berlaku pulahukum kekekalan momentum linier arah horizontal dan hukum kekekalan eneri mekanik. m 1 A v A m 1 B m V u B V m Kekekalan momentum linear arah horizontal m 1 v 0 = m 1 v + m V m 1 (v 0 + v = m V (1 Kekekalan eneri mekanik 1 m 1v 0 = 1 m 1v + 1 m V m 1 (v 0 v = m V m 1 (v 0 + v (v 0 v = m V Subtitusi persamaan (1 m V (v 0 v = m V v 0 v = V ( Subtitusi persamaan ( ke (1 m 1 (v 0 + v = m (v 0 v Hal

19 Contact Person : (m 1 + m v = (m m 1 v 0 v = m m 1 m + m 1 v 0 (3 Waktu tempuh bola A untuk kembali ke tempat awalnya adalah v 0 T = x v = ( m 1 m 1 + m m m 1 + m m m T = 1 m + m v 0 1 v 0 ( m 1 m m 1 m m + m 1 Maka waktu tempuh bola untuk kembali ke titik semula adalah t tot = t + T = v 0 m m 1 + m + v 0 ( m 1 m m 1 m m + m 1 t tot = v 0 m m 1 + m (1 m 1 m m 1 t tot = v 0 m m 1 + m ( m m 1 m m 1 karena m m 1 maka t tot = v 0 m m 1 + m m m = 1 dan m m 1 m m 1 m m = 1 b. Aar bola A bisa terlempar sanat jauh ke atas maka v 0 harus dibuat sanat besar nilainya. Karena sekaran permukaan benda B kasar, bola A akan slip ketika mulai memasuki lintasan lenkun pada benda B. Lintasan lenkun di B dapat kita asumsikan sanat pendek dan aya esek kinetik bisa kita asumsikan konstan dalam selan waktu selama bola A di B yan sanat sinkat misalkan Δt. Misalkan kecepatan sudut rotasi bola ketika lepas dari B adalah ω. Kita tinjau kondisi ketika bola A terlepas dari B dalam keadaan menelindin tanpa slip sehina berlaku ω = u/r. Dalam selan waktu yan sinkat ini, perubahan momentum sudut bola A adalah ΔL = f k rδt = Iω = 5 m 1r u r f kδt = 5 m 1u (3 Karena lintasan lenkun di B diasumsikan sanat pendek dan massa B jauh lebih besar dari bola A, perubahan momentum linear A akibat aya esek kinetik bisa kita anap seperti terjadi di lintasan yan lurus dimana kecepatan awal bola A sebelum dikenaik impuls adalah v 0 dan setelah dikenai impuls adalah u maka Δp = f k Δt = m 1 (u v 0 Hal

20 Contact Person : Subtitusi persamaan (3 5 m 1u = m 1 (u v u = v 0 u = 5 7 v 0 Ketinian maksimum yan dicapai bola jika saat lepas dari B dia menelindin tanpa slip adalah h = u = 5v 0 98 karena lintasan sanat di B sanat pendek sedankan v 0 sanat besar maka menurut saya mustahil bola A akan tepat menelindin tanpa slip ketika tepat lepas dari B. Maka kecepatan bola A ketika lepas dari B untuk kondisi ini ada di selan v 0 v L u. Sehina ketinian maksimum yan dicapai bola A berada di selan v 0 h maks < 5v 0 98 OSK Fisika 018 Number 7 PERLAMBATAN DI ATAS BIDANG MIRING AKIBAT BEBAN Sebuah silinder pejal bermassa M menelindin tanpa slip menuruni bidan mirin diam bersudut elevasi θ denan kecepatan awal v 0. Seseoran inin menhentikan silinder tersebut denan memberikan beban. Pada pusat silinder tersebut dikaitkan tali sehina tali membentuk sudut φ terhadap permukaan bidan mirin. Di ujun lain tali tersebut, diikatkan ke sebuah beban kotak m yan memiliki massa sama denan silinder. Diketahui koefisien esek antara kotak dan bidan mirin adalah μ serta percepatan ravitasi. m = M μ φ M θ Asumsikan esekan beban mampu menehentikan erak silinder. Tentukanlah : a. Jarak yan ditempuh silinder hina berhenti! b. Syarat sudut φ yan dapat memenuhi asumsi di atas (nyatakan dalam θ dan μ! Pembahasan : Hal

21 Contact Person : a. Di asumsikan bahwa esekan antara beban dan bidan mirin dapat menhentikan erakan silinder, maka tali penhubun antara keduanya haruslah tean, di sini dapat kita ambil bahwa perlambatan kedua benda sama yaitu a. Berikut diaram aya pada kedua benda f k N a φ T T φ K a α M arah erak M f s arah erak Aar silinder bisa berhenti, sistem haruslah dipercepat ke atas berlawanan denan arah erak atau denan kata lain sistem diperlambat denan besar nilainya adalah a. Aar hal ini terpenuhi pula, tali yan menhubunkan kedua benda haruslah selalu tean, karena jika tidak, silinder akan memiliki peluan untuk dipercepat. Baik, berikutnya kita tinjau aya-aya yan bekerja pada kedua benda. Untuk Beban Gaya esek yan bekerja pada beban adalah aya esek kinetik karena terjadi erak relatif antara permukaannya denan permukaan bidan mirin sehina berlaku f k = μn. Resultan aya arah teak lurus bidan mirin N M cos θ + T sin φ = 0 N = M cos θ T sin φ (1 Resultan aya arah sejajar bidan mirin f k M sin θ T cos φ = Ma μn M sin θ T cos φ = Ma ( Untuk Silinder Pada silinder ini, karena dia menelindin tanpa slip dan tidak terjadi erak relatif antara permukaannya denan permukaan silinder, maka aya esek yan bekerja adalah aya esek statik dan berlaku α = a/r. Resultan aya arah sejajar bidan mirin T cos φ f s M sin θ = Ma (3 Resultan torsi berlawanan arah jarum jam f s R = 1 MR ( a R f s = 1 Ma (4 Subtitusi persamaan (1 ke ( μ(m cos θ T sin φ M sin θ T cos φ = Ma M(μ cos θ sin θ T(μ sin φ + cos φ = Ma (5 Subtitusi persamaan (4 ke (3 Hal

22 Contact Person : T cos φ 1 Ma M sin θ = Ma T cos φ = M sin θ Ma T = cos φ (M sin θ + 3 Ma (6 Subtitusi persamaan (6 ke (5 M(μ cos θ sin θ 1 cos φ (M sin θ + 3 Ma (μ sin φ + cos φ = Ma M(μ cos θ sin θ (M sin θ + 3 Ma (μ tan φ + 1 = Ma [μ cos θ sin θ (μ tan φ + 1 sin θ] = a[3(μ tan φ ] [μ cos θ (μ tan φ + sin θ] a = 3μ tan φ + 5 Kecepatan awal sistem adalah v 0, maka jarak yan ditempuh sampai berhenti adalah v t = v 0 as 0 = v 0 as s = v 0 a (3μ tan φ + 5v 0 s = 4[μ cos θ sin θ (μ tan φ + ] b. Tadi kita definisikan arah a adalah berlawanan arah erak sistem. Maka aar silinder dapat berhenti, perlambatan a haruslah lebih dari sama denan nol, karena jika neatif, berarti arah a berlawanan denan arah arah yan kita definisikan, yan artinya pula sistem dipercepatan searah denan arah erak awalnya. a 0 [μ cos θ (μ tan φ + sin θ] 0 3μ tan φ + 5 μ cos θ (μ tan φ + sin θ 0 μ tan φ + μ cot θ tan φ cot θ μ Hal