II LANDASAN TEORI. Misalkan adalah suatu fungsi skalar, maka turunan vektor kecepatan dapat dituliskan sebagai berikut :

Transkripsi

1 2 II LANDASAN TEORI Pada bagian ini akan dibahas teori-teori yang digunakan dalam menyusun karya ilmiah ini. Teori-teori tersebut meliputi sistem koordinat silinder, aliran fluida pada pipa lurus, persamaan dasar aliran fluida, serta metode perturbasi homotopi yang disarikan dari [He, 2000]. 2.1 Sistem Koordinat Silinder Beberapa persamaan differensial dapat dijelaskan dalam koordinat silinder. Dengan koordinat silinder, tempat kedudukan sebuah titik ditunjukkan oleh koordinat-koordinat,. Koordinat adalah jarak radial dari sumbu-, adalah sudut yang diukur dari sebuah garis sejajar dengan sumbu- (dengan arah yang berlawanan jarum jam dianggap positif) adalah koordinat sepanjang sumbu-. Hubungan antara koordinat kartesian dengan koordinat silinder dapat dilihat pada Gambar 1 berikut : Misalkan adalah suatu fungsi skalar, maka turunan vektor kecepatan dapat dituliskan sebagai berikut : dengan merupakan suatu operator turunan yang didefinisikan sebagai berikut : 2.2 Aliran Fluida pada Pipa Lurus Berbagai karakteristik aliran fluida pada umumnya merupakan fungsi ruang waktu. Dalam aliran tiga dimensi karakteristik aliran fluida dapat berubah pada koordinat, yang merupakan fungsi dari waktu. Secara matematis kecepatan aliran fluida dapat dituliskan sebagai berikut : Beberapa karakteristik umum dari aliran fluida adalah aliran dapat merupakan aliran tunak atau taktunak, termampatkan atau taktermampatkan aliran kental atau takkental. Jika kecepatan partikel yang diberikan konstan terhadap waktu, maka aliran fluida dikatakan tunak. Secara matematis dapat ditulis sebagai berikut [Faber, 1995] : Gambar 1 Sistem Koordinat Silinder. Berdasarkan Gambar 1 diperoleh hubungan berikut : dengan Komponen-komponen kecepatan pada sistem koordinat silinder adalah kecepatan radial, kecepatan tangensial kecepatan aksial. Selanjutnya, kecepatan pada sebuah titik sembarang dapat dinyatakan sebagai :. Aliran fluida dapat pula dikatakan taktermampatkan (incompressible), jika fluida yang mengalir tidak mengalami perubahan volume atau massa jenis ketika ditekan. Secara matematis aliran fluida taktermampatkan dapat ditulis sebagai berikut: di mana, masing-masing adalah vektor-vektor satuan dalam arah,. Selanjutnya, jika terdapat aliran fluida di mana tegangan geser diabaikan, maka aliran disebut takkental (inviscid). Fluida yang memiliki karakteristik aliran fluida

2 3 taktermampatkan takkental disebut fluida ideal. Dalam banyak hal, fluida memiliki beberapa sifat untuk penyederhanaan matematis seperti aliran fluida bersifat seragam laminar. Suatu aliran dikatakan seragam apabila kecepatan fluida baik arah maupun besarnya tidak berubah dari titik ke titik sepanjang alirannya dalam waktu singkat, sehingga bentuk persamaan suatu aliran seragam dapat ditulis sebagai berikut : dengan merupakan vektor arah. Aliran fluida dikatakan sebagai aliran laminar apabila partikel fluida bergerak berlapis-lapis seperti bentuk lembaran-lembaran tipis. Pada aliran laminar partikel fluida bergerak sepanjang alirannya berupa garis lurus yang sejajar dalam lapisan-lapisan fluida. Oleh karena itu garis-garis laluannya tidak akan berpotongan satu sama lain. Hal ini terjadi pada kecepatan aliran yang rendah sehingga menyebabkan gaya yang ditimbulkan akibat kekentalan (viscosity) fluida ini menjadi sangat menonjol. Kekentalan suatu fluida menyebabkan terjadinya gerakan relatif antar lapisan fluida yang bergerak sesuai kecepatan masingmasing sehingga timbul tegangan geser. Besarnya tegangan geser yang terjadi bervariasi dari titik ke titik pada penampang aliran. Tegangan geser mencapai maksimum saat batasan fluida terpenuhi perlahanlahan menurun dengan bertambahnya jarak lapisan. Tegangan geser dapat menghambat aliran suatu fluida sehingga menyebabkan terjadinya penurunan tekanan sepanjang penampang aliran. Sebagaimana diketahui, fluida terdiri atas aliran fluida Newtonian fluida non Newtonian. Untuk fluida pada umumnya, tegangan geser kecepatan dikaitkan dalam hubungan berikut : dengan merupakan tegangan geser pada fluida merupakan kekentalan fluida (viscosity) [Munson, Young, Okiishi, 2004]. Fluida Sisko merupakan salah satu fluida non Newtonian yang sangat langka sehingga untuk mendapatkannya pun sangat sulit. Fluida Sisko merupakan salah satu fluida yang memiliki karakteristik plastik Bingham bentukknya berupa plastik padat. Tegangan geser regangan geser fluida Sisko memiliki hubungan linier. Hal ini berarti bahwa fluida Sisko akan mengalir seperti air pada saat mencapai regangan geser tertentu. Contoh nyata dari fluida Sisko adalah lumpur. Pada beberapa kasus fluida ini digunakan dalam proses pengeboran yang diedarkan atau dipompakan dari permukaan melalui pipa bor menuju mata bor kemudian kembali ke permukaan melalui Annulus (celah antara pipa bor dengan lubang sumur). Dengan demikian untuk aliran fluida Sisko dalam pipa annulus dengan gerakan yang dimulai dari luar pipa memiliki persamaan tegangan geser sebagai berikut [Khan, Munawar, Abbasbandy, 2010]: (2.2) dengan tekanan, tegangan indentitas, merupakan tegangan geser ekstra. Tegangan geser ekstra adalah tambahan tegangan yang terjadi pada aliran fluida Sisko yang didefinisikan sebagai berikut : [. / ] di mana dalam koordinat silinder, dinyatakan oleh [Shafieenejad et.al, 2009]: [ dengan (2.3) ] (2.4) Besaran merupakan parameterparameter yang bergantung pada jenis fluida yang ditinjau. 2.3 Persamaan Dasar Aliran Fluida Gerak partikel fluida dikendalikan oleh dua hukum, yaitu hukum kekekalan massa hukum kekekalan momentum. Persamaan dasar fluida didapatkan dari kedua hukum tersebut. Dalam hal ini diasumsikan sifat fisis dari gerak partikel fluida berupa elemen luas dalam dua dimensi, sehingga untuk setiap partikelnya akan diberikan koordinat

3 4 yang merupakan fungsi dari waktu. Aliran fluida ini dideskripsikan sebagai suatu titik di big yang bergerak seperti partikel fluida sepanjang waktu. Peubah masingmasing menyatakan komponen kecepatan partikel dalam arah horizontal vertikal yang bergantung pada peubah,. Rapat massa fluida dinyatakan oleh. ρw z z x Dalam notasi vektor, turunan total dari terhadap waktu dapat ditulis sebagai berikut: ( ) dengan ( ). Jika diasumsikan bahwa aliran terjadi pada fluida taktermampatkan (incompressible), yaitu : z z z ρu x z ρw z x ρu x x z maka persamaan (2.5) memberikan persamaan berikut : x Gambar 2 Kesetimbangan Massa. Menurut hukum kekekalan massa, laju perubahan massa dalam elemen luas pada Gambar 2 adalah selisih antara massa yang masuk massa yang keluar. Laju perubahan massa pada arah sumbu- adalah : pada arah sumbu- adalah : sehingga laju perubahan massa fluida adalah : Untuk, diperoleh : yang dikenal dengan persamaan kontinuitas. Persamaan tersebut menggambarkan perubahan rapat massa pada suatu titik tetap, sebagai hasil dari perubahan pada vektor kecepatan massa. Didefinisikan turunan total dari terhadap waktu, yaitu : x x atau (2.6) [Faber, 1995]. Persamaan kontinuitas dapat digunakan sesuai dengan sistem koordinat silinder. Persamaan kontinuitas pada koordinat silinder dapat dinyatakan sebagai berikut [Acheson, 1990] : Jika fluida dengan kerapatan konstan di seluruh me aliran, maka persamaan di atas menjadi : (2.7) Hukum kekekalan momentum diturunkan dari persamaan Navier-Stokes. Persamaan Navie-Stokes adalah serangkaian persamaan yang menjelaskan pergerakan dari suatu fluida baik cairan maupun gas. Persamaanpersamaan ini menyatakan bahwa perubahan momentum partikel-partikel fluida bergantung hanya pada gaya gesekan (viskositas) yang bekerja pada fluida. Oleh karena itu, persamaan Navier-Stokes menjelaskan kesetimbangan gaya-gaya yang bekerja pada fluida. Bentuk umum persamaan Navier- Stokes adalah : (2.8)

4 5 dengan tekanan, menyatakan tegangan geser pada fluida merupakan gaya ba, yaitu sebuah gaya yang bekerja pada sistem. Gaya gravitasi gaya elektromagnetik merupakan contoh dari gaya ba [Batchelor, 1967]. Misalkan fluida pada pipa lurus yang dinyatakan dalam sistem koordinat silinder, perubahan tekanan hanya terjadi sepanjang sumbu- atau secara matematis dapat ditulis : aliran fluida hanya sepanjang sumbu- (yaitu ), maka persamaan (2.7) menjadi: [ ], suatu fungsi H sebagai berikut : atau [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] (2.13) Berdasarkan persamaan (2.13), maka untuk masing-masing memberikan persamaan berikut: ( ) [ ] [ ] ( ) [ ] Jika diasumsikan kecepatan dalam arah- saja, maka persamaan (2.8) menjadi : [ ] (2.9) Persamaan (2.9) merupakan persamaan Navier-Stokes. 2.4 Metode Perturbasi Homotopi Berikut ini diberikan ilustrasi konsep dasar metode perturbasi homotopi berdasarkan alur pada pustaka [He, 2000]. Misalkan diberikan persamaan differensial sebagai berikut : [ ] (2.10) dengan suatu operator turunan taklinear fungsi yang akan ditentukan bergantung pada peubah bebas. Selanjutnya, didefinisikan pula suatu operator linear yang memenuhi : [ ] bila (2.11) Operator secara umum dapat dibagi menjadi dua bagian, yaitu yang masingmasing merupakan operator linear taklinear. Jadi persamaan differensial (2.10) dapat ditulis: [ ] [ ] (2.12) Menurut persamaan (2.10) persamaan (2.11) diperoleh bahwa fungsi : masing-masing merupakan penyelesaian dari persamaan ( ) ( ) Dengan demikian peningkatan nilai dari 0 ke 1 menyatakan perubahan nilai dari [ ] [] ke [ ]. Dalam topologi, proses ini disebut deformasi, segkan [ ] [] [ ] disebut homotopi. Proses deformasi yang ditinjau meliputi deformasi orde nol orde tinggi. Pada deformasi orde nol memberikan penyelesaian awal, segkan deformasi orde tinggi memberikan penyelesaian. Untuk menentukan dilakukan sebagai berikut. Jika persamaan (2.13) diturunkan terhadap hingga kali dihitung pada kemudian dibagi oleh, maka diperoleh persamaan berikut : Misalkan pendekatan awal yang memenuhi persamaan (2.10) [ ] suatu parameter. Didefinisikan fungsi real

5 6 dinotasikan Deret Taylor dari fungsi terhadap disekitar adalah : masalah nilai awal yang dinyatakan oleh sistem persamaan differensial berikut : dengan syarat awal (2.16) Penyelesaian eksak masalah nilai awal (2.16) adalah atau (2.14) Dalam metode perturbasi homotopi, fungsi yang dinyatakan pada persamaan (2.14) merupakan penyelesaian dari persamaan :. (2.18) Berikut ini akan dicari penyelesaian dari masalah nilai awal persamaan (2.16) dengan menggunakan metode perturbasi homotopi. Selanjutnya didefinisikan operator linear sebagai berikut : [ ] Berdasarkan persamaan (2.13), maka diperoleh [ ] [ ] [ ] Jadi untuk dari persamaan (2.14), diperoleh Berdasarkan persamaan (2.13) diperoleh persamaan berikut : Karena, maka diperoleh (2.15) Hasil ini menunjukkan hubungan antara penyelesaian eksak dari persamaan (2.10) dengan pendekatan awal,, diperoleh dengan menggunakan metode perturbasi. Jika persamaan (2.14) disubstitusikan ke dalam persamaan (2.13), maka diperoleh dengan cara menyamakan koefisien perpangkatan. Selanjutnya, tinjau (2.19) Misalkan penyelesaian persamaan (2.19) dinyatakan dalam persamaan berikut: (2.20) Jika persamaan (2.20) disubstitusikan ke dalam persamaan (2.19), kemudian dipisahkan berdasarkan derajat kepangkatan, maka koefisien memberikan persamaan berikut : Jika persamaan (2.21) diintegralkan dua kali terhadap memilih pendekatan awal, maka diperoleh :

6 7 Penurunan dapat dilihat dalam lampiran 1. Selanjutnya, diperoleh penyelesaian dari persamaan (2.16) dengan syarat awal pada persamaan (2.17) hingga orde keempat sebagai berikut : Gambar 3 Perbandingan penyelesaian eksak penyelesaian dengan menggunakan metode perturbasi homotopi pada masalah nilai awal (2.16). Berdasarkan Gambar 3 diperoleh bahwa penyelesaian pendekatan dari masalah nilai awal (2.16) mendekati penyelesaian eksaknya dengan cukup baik. Hasil ini menunjukkan bahwa metode perturbasi homotopi dapat digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan diffrensial dengan nilai awal atau nilai batas yang diberikan.