Model Refraksi-Difraksi Gelombang Air Oleh Batimetri

Transkripsi

1 Hutahaean ISSN Jurnal Teoretis dan Terapan idang Rekaasa Sipil Model Refraksi-Difraksi Gelombang ir Oleh atimetri Sawaluddin Hutahaean Pusat Studi Teknik Kelautan Fakultas Teknik Sipil dan Lingkungan Institut Teknologi andung Jl. Ganesha No.0 andung bstrak Paper ini merupakan kelanjutan dari Hutahaean (007c). Pengembangan ang dilakukan adalah pada persamaan arah gelombang, dan persamaan amplitudo gelombang. Persamaan arah gelombang atau persamaan refraksi-difraksi dan persamaan amplitudo gelombang dirumuskan dengan menggunakan persamaan kontinuitas dan persamaan momentum. Hasil simulasi menunjukkan bahwa persamaan ang dikembangkan dapat memodelkan refraksi-difraksi oleh batimetri, serta shoaling dan breaking. Kata-kata Kunci: Refraksi-difraksi, shoaling dan breaking. bstract This paper is an etension of previous paper written b Hutahaean (007c). The improvements are in wave direction and wave amplitude equation. The wave direction equation or wave refraction-diffraction equation and wave amplitude equation are developed using continuit and momentum equation. Simulation results show that the new equations can model refraction-diffraction due to bathmetr, shoaling and breaking. Kewords: Refraction-diffrakction,shoaling and breaking.. Pendahuluan Hutahaean (005a)(007a) telah menunjukkan bahwa persamaan gelombang panjang ir dapat digunakan untuk memodelkan dinamika gelombang pendek, termasuk fenomena pembelokan arah gelombang oleh batimetri (refraksi), penebaran energi gelombang (difraksi) dan pembesaran tinggi gelombang (shoaling). Dengan latar belakang tersebut, maka dikembangkan persamaan refraksi-difraksi dengan menggunakan persaman kotinuitas dan persamaan momentum, sebagaimana halna dengan persamaan gelombang panjang ir. Latar belakang berikutna adalah bahwa potensial aliran dari persamaan gelombang nonlinier ang dikembangkan oleh Hutahaean (007c), mengandung fenomena breaking. Tetapi model refraksi ang dikembangkan pada penelitian tersebut harus dibantu dengan memberikan suatu harga tertentu pada komponen persamaan potensial aliran pada saat terjadi breaking agar model dapat terus berjalan. Hal ini kemungkinan dikarenakan ketidak harmonisan antara persamaan gelombang dengan persamaan tinggi gelombang atau persamaan amplitudo gelombang ang digunakan dimana pada model tersebut digunakan persamaan kekekalan laju transfer energi dari teori gelombang linier. Persamaan arah gelombang dirumuskan dengan menggunakan persamaan kontinuitas ang terintegrasi terhadap kedalaman, aitu dengan mensubstitusikan potensial aliran gelombang nonlinier dari Hutahaean (007c) ang berbentuk φ = Ge kh β(z)cos kξ sinσt kepersamaan kontinuitas tersebut, dimana persamaan untuk G untuk gelombang ang bergerak pada arah sumbu ξ diketahui. Pada persamaan arah gelombang terdapat suku ang mengandung G / dan G /. Persamaan untuk G / dan G / diperoleh dengan menggunakan persamaan momentum fluida ideal arah- dan arah- dari Hutahaean (007b,c). Vol. 5 No. gustus

2 Model Refraksi-Difraksi Gelombang ir Oleh atimetri Persamaan muka air diperoleh dengan menggunakan persamaan kontinuitas ang terintegrasi terhadap kedalaman. Substitusi potensial aliran φ kepersamaan, selanjutna persamaan diintegrasikan terhadap waktu, diperoleh persamaan muka air ang merupakan fungsi dari arah gelombang θ, bilangan gelombang k, G, G / dan G /. Dengan diketahuina arah gelombang, k, G, G / dan G / maka dapat dihitung elevasi muka air pada suatu harga fasa gelombang.. Persamaan Potensial liran dan Persamaan Dispersi. Persamaan potensal aliran Persamaan potensial aliran gelombang nonlinier ang bergerak pada arah sumbu ξ, Hutahaean (007c), adalah, φ = Ge kh σ G = k γ β( ) γ = β ( z)cos kξ sinσt () dimana: φ = potensial kecepatan k = bilangan gelombang h = kedalaman perairan pada muka air diam ξ = cos θ sin θ θ = arah gelombang terhadap sumbu σ = frekuensi sudut = π / T T = perioda gelombang = amplitudo gelombang k ( h ) -k ( h ) β() = α e e k ( h ) -k ( h ) β () = α e e α = h ξ h ξ h ξ = kemiringan dasar perairan () β ( ) - ( α ) k β ( ) - - β ( ) β ( ) 3 α h (3) β ( ) β ( ) ξ (4) Potensial aliran ini mengandung fenomena breaking pada kondisi γ 0, Hutahaean (007c). Keterbatasan persamaan ini adalah pada kemiringan h / ξ =, dimana α =.. Persamaan dispersi entuk dari persamaan dispersi adalah, σ k γ σ k γ σ k β ( ) - γ β ( ) β ( ) F 3 β ( ) ξ σ kγ β( ) β() = F ξ h β ( ) ξ β( ) σ k γ Persamaan ini adalah persamaan ang digunakan untuk menghitung bilangan gelombang k untuk suatu gelombang ang bergerak pada arah ξ. 3. Persamaan rah Gelombang σ F γ β( ) ξ h ξ β( ) β( ) h β( ) -σ σ ξ β( ) σ γ σ F γ β( ) t = g k γ (5) k ( h ) -k ( h ) α e e k ( h ) -k ( h ) β () = α e e F = γβ () F ξ k F t k h = β( ) - β ( ) ( β( ) β( )) h k - Untuk merumuskan persamaan arah gelombang digunakan persamaan potensial aliran dalam bentuk φ = Ge kh β(z)cos kξ sinσt. Untuk sumbu ξ ang membentuk sudut sebesar θ terhadap sumbu-, maka berlaku persamaan ξ = cosθ sinθ. Dengan relasi ini persamaan potensial kecepatan menjadi, φ = φ = Ge kh Ge β( z)cosk( cosθ sinθ) sinσt, atau kh (6) σ k k h = β( ) - β( ) ( β( ) ξ β ( )) (7) β ( z)cos( k k ) sinσt (8) dimana k = k cosθ dan k = k sinθ 86 Jurnal Teknik Sipil

3 Hutahaean Selanjutna dikerjakan persamaan kontinuitas ang terintegrasi terhadap kedalaman aitu, t h udz / t didekati dengan persamaan muka air dari teori gelombang linier aitu dengan φ dari Persamaan () dan dengan menelesaikan integrasi dan dengan mengambil kondisi cos( k k ) = sin( k k ) = cosσ t = sinσt =, diperoleh persamaan arah gelombang adalah, Harga G diperoleh dari analisis satu dimensi aitu Persamaan (). Persamaan untuk G / dan G / dirumuskan dari persamaan momentum. 4. Persamaan untuk G / dan G / Persamaan untuk G / dan G / dirumuskan dengan menggunakan persamaan momentum arah- dan arah- Persamaan momentum- untuk fluida ideal, Hutahaean (007b,c) adalah, Persamaan momentum pada sumbu- h vdz = 0 = cos( k k ) cosσt, sehingga diperoleh σ = t φ Substitusi u = (cosθ ) (sinθ ) φ dan v =, = cosθ σ Ge kh G G cosθ cosθ G G k sinθ h ( u v w ) ( u v w ) k cos h k cosθ θ sinθ G sinθ G (9) t φ t φ = g = g (0) () Dengan menggunakan persamaan potensial aliran seperti pada Persamaan (8) dan dengan menggunakan pada Persamaan (0-), diperoleh persamaan untuk persamaan G φ u =, G dan aitu, φ v = dan Dengan menggunakan Persamaan () dan (3), dapat dihitung harga G / dan G /. 5. Persamaan mplitudo Gelombang φ w = z G a = b () G a = b (3) Persamaan amplitudo gelombang dirumuskan dari persamaan kontinuitas ang terintegrasi terhadap kedalaman. t Substitusi h udz h φ u =, vdz = 0 φ v = dan φ w = z dengan potensial aliran φ dari Persaman (8), dan selanjutna persamaan diintegrasikan terhadap waktu t, diperoleh persamaan muka air (,,t). Mengingat integrasi ang dilakukan adalah integrasi tak tentu, maka akan terdapat suatu konstanta c(t). Tetapi integrasi persamaan muka air ang bersifat periodik ini, maka berdasarkan Dean (984) dapat diambil c(t) = 0. Dengan menggunakan persamaan muka air tersebut dihitung elevasi muka air pada kondisi dimana cos( k k ) = sin( k k ) = cosσt = sinσt = aitu pada kondisi persamaan dispersi dan persamaan refraksi-difraksi dirumuskan. Elevasi muka air pada fasa ini adalah sebesar /. 6. Metoda Perhitungan Perhitungan θ dan pada suatu titik dilakukan Vol. 5 No. gustus

4 Model Refraksi-Difraksi Gelombang ir Oleh atimetri dengan metoda selisih hingga dan integrasi, penjelasan lengkap disajikan pada lampitan. 7. Contoh Hasil Model Untuk meninjau hasil model, maka model dikerjakan pada sejumlah konfigurasi batimetri pantai. Gelombang ang digunakan adalah gelombang dengan perioda 6 detik dengan amplitudo gelombang 0 =.8 m. Simulasi dilakukan pada suatu batimetri ang membentuk teluk, tanjung dan pulau tenggelam. Pada ke 3 hasil simulasi tersebut terlihat bahwa model ang dikembangkan dapat mensimulasikan peristiwa refraksi-difraksi, shoaling dan gelombang pecah (breaking). 7. Kandungan fenomena breaking pada persamaan potensial aliran Pada γ 0 potensial aliran menjadi ~, dimana kondisi ini dapat dianggap sebagai kondisi breaking. β ( ) Pada dasar perairan datar, γ = - β ( ) k Untuk amplitudo kecil, γ = tanh kh - k sehingga untuk γ = 0 diperoleh persamaan tanh kh = k atau H / L = / π = tanh kh dimana H = = tinggi gelombang Kriteria breaking dari Miche adalah H / L = 0.4 tanh kh. Jadi bentuk kondisi breaking dari potensial aliran ang diperoleh adalah sama dengan kondisi breaking dari Miche. Yang terpenting dalam hal ini adalah bahwa pada potensial aliran terdapat fenomena breaking atau dengan kata lain persamaan potensial aliran dapat memodelkan breaking. Pada Tabel () disajikan hasil perhitungan γ, untuk gelombang dengan perioda 6 detik dengan amplitudo 0.5 m, 0.6 m, 0.7 m dan 0.8 m. Terlihat bahwa harga γ berkurang seiring dengan berkurangna kedalaman. Pada kedalaman.5 m harga γ untuk gelombang dengan perioda 6 detik adalah disekitar , selanjutna pada kedalaman m, harga γ jadi tidak berpola, ada ang menjadi negatif, ada ang menjadi sangat besar. Dari kondisi ini maka dapat disimpulkan bahwa pada harga γ < 0.47 terjadi breaking. Karena itu pada penelitian ini, digunakan kriteria bahwa breaking terjadi pada saat harga γ < Setelah breaking gelombang tidak langsung menjadi stabil tetapi dapat terjadi breaking terus menerus. Karena itu pada saat γ < 0.47, maka harga γ diubah menjadi 0.47, aitu harga pada kondisi kritis. Pada penelitian ini, setelah kondisi kritis tersebut amplitudo gelombang dapat membesar dengan sendirina dan mengecil lagi seiiring dengan terjadina shoaling ang selanjutna akan diikuti dengan breaking berikutna., Tabel. Hasil perhitungan harga γ h g g g g Keterangan : H : kedalaman perairan g - 0. : harga g untuk amplitudo gelombang 0. m. 8. Kesimpulan Dari hasil ke 3 simulasi tersebut, dapat disimpulkan bahwa model bekerja seperti ang diharapkan aitu dapat mensimulasikan refraksi-difraksi, shoaling dan breaking. Dibandingkan dengan hasil sebelumna aitu pada Hutahaean (007c) maka perubahan tinggi gelombang menjelang dan sesudah breaking pada penelitian ini terlihat kontinu. Tetapi pada pemodelan breaking ini, seperti pada model sebelumna, proses breaking masih belum otomatis, aitu digunakan kriteria breaking dimana pada saat γ pada Persamaan (3) berharga kurang dari 0.47 maka harga γ diubah menjadi 0.47, dimana perlu diingat bahwa harga ini adalah untuk gelombang dengan perioda 6 detik, sedangkan untuk perioda gelombang ang lain diperoleh harga γ ang lain. Jadi dari aspek pemodelan breaking, model masih mempunai kendala. Pada hasil refraksi-difraksi gelombang, dibandingkan dengan hasil sebelumna, terlihat pola refraksidifraksi ang lebih jelas aitu penebaran energi gelombang pada teluk dan pengumpulan energi gelombang pada tanjung. Telah diketahui bahwa pada saat gelombang mengalami breaking, terjadi arus sejajar pantai, atau dengan kata lain terjadi perubahan energi potensial gelombang menjadi energi kinetik. Transformasi energi potensial gelombang menjadi energi kinetik terdapat pada persamaan momentum. Karena itu salah satu kemungkinan penebab keterbatasan model pada pemodelan breaking adalah dikarenakan kurang efisienna transformasi energi pada persamaan momentum. Dengan demikian untuk pengembangan lebih lanjut perlu diteliti pengembangan pada persamaan momentum. 88 Jurnal Teknik Sipil

5 Hutahaean Daftar Pustaka Dean, R. G., and Dalrmple, 984, Water Wave Mechanics for Engineers and Scientists. Prentice-Hall, Englewood Cliffs, New Jerse. Hutahaean, S., 005a, Model Difraksi dengan Persamaan Gelombang ir ang Disempurnakan, Thesis S3, Departemen Teknik Sipil IT. Hutahaean, S., 005b, Integrasi Numeris dengan Menggunakan Polinomial Lagrange, Jurnal Teknik Sipil, Vol. No., Fakultas Teknik Sipil dan Lingkungan IT. Hutahaean, S., 007a, Pemodelan Dinamika Gelombang dengan Mengerjakan Persamaan Kekekalan Energi, Jurnal Teknik Sipil, Vol. 4, No., Fakultas Teknik Sipil dan Lingkungan, IT. Hutahaean, S., 007b, Kajian Teoritis terhadap Persamaan Gelombang Nonlinier, Jurnal Teknik Sipil, Vol. 4 No. 3, Fakultas Teknik Sipil dan Lingkungan IT.. Hutahaean, S., 007c, Model Refraksi Gelombang dengan Menggunakan Persamaan Gelombang Nonlinier, Jurnal Infrastruktur dan Lingkungan inaan, Vol. 3, No., Fakultas Teknik Sipil dan Lingkungan IT. Vol. 5 No. gustus

6 Model Refraksi-Difraksi Gelombang ir Oleh atimetri gelombang datang (a) atimetri berkonfigurasi teluk (b) Kontur tinggi gelombang pada teluk 90 Jurnal Teknik Sipil

7 Hutahaean (c) Tinggi gelombang pada teluk Gambar. Hasil simulasi Refraksi-difraksi pada teluk (a.b.c) gelombang datang (a) atimetri berkonfigurasi tanjung Vol. 5 No. gustus 008 9

8 Model Refraksi-Difraksi Gelombang ir Oleh atimetri (b) Kontur tinggi gelombang pada tanjung (c) Tinggi gelombang pada tanjung Gambar. Hasil simulasi Refraksi-difraksi pada tanjung (a,b,c) 9 Jurnal Teknik Sipil

9 Hutahaean gelombang datang (a) atimetri berkonfigurasi pulau tenggelam (b) Kontur tinggi gelombang pada pulau tenggelam Vol. 5 No. gustus

10 Model Refraksi-Difraksi Gelombang ir Oleh atimetri (c) Tinggi gelombang pada pulau tenggelam Gambar 3. Hasil simulasi Refraksi-difraksi pada pulau tenggelam (a,b,c) 94 Jurnal Teknik Sipil

11 Hutahaean LMPIRN PENYELESIN NUMERIS DRI PERSMN REFRKSI-DIFFRKSI n 6 θ θ - j n Gambar 4. Sistim salib sumbu dan definisi arah gelombang Persamaan arah gelombang dapat ditulis dalam bentuk, (cosθ ) kh = F σ F = k cos θ Ge G cosθ G (sinθ ) k sin θ cosθ sinθ (4) h k cosθ h k sinθ (5) ( ) F F b. Untuk 3 titik integrasi ( cosθ ) ( cosθ ) = = = 4 F F δ F b. Untuk 3 titik integrasi ( cosθ ) = = ( cosθ ) = Persamaan (5) dikalikan dengan d dan diintegrasikan terhadap, cosθ = Fd ( cosθ ) = = ( cosθ ) = Dimana Cote, dengan koefisien integrasi sebagai berikut, Hutahaean (005b). a. Untuk titik integrasi Fd (6) Fd diselesaikan dengan metoda Newton- ( cosθ ) = = ( cosθ ) = ( 0.5F F δ 0. F δ 0.5F Selanjutna dapat dihitung. θ = rc(cosθ ) F adalah bilangan ang belum diketahui, karena θ = belum diketahui. Untuk itu dilakukan perhitungan secara iterasi. Langkah Perhitungan. Tentukan θ, = θ 0 = 0 ). Hitung G dan k dengan menggunakan persamaan dispersi Vol. 5 No. gustus

12 Model Refraksi-Difraksi Gelombang ir Oleh atimetri 3. Hitung G / dan G / dengan menggunakan persamaan momentum 4. Hitung F dengan Persamaan (5) 5. Hitung θ dengan Persamaan (6) 6. Hitung dengan persamaan muka air 7. Periksa konvergensi old θ θ new old,, ε dan new,, ε 8. ila sudah konvergen perhitungan selesai 9. ila belum konvergen kembali ke langkah Semua perhitungan, digunakan amplitudo gelombang diperairan dalam aitu Jurnal Teknik Sipil