ABSTRAK DAN EXECUTIVE SUMMARY HIBAH DISERTASI DOKTOR

Transkripsi

1 ABSTRAK DAN EXECUTIVE SUMMARY HIBAH DISERTASI DOKTOR Judul: INTEGRAL HENSTOCK-KURZWEIL DI DALAM RUANG FUNGSI KONTINU C[a,b] Tim Peneliti Firdaus Ubaidillah, S.Si, M.Si NIDN UNIVERSITAS JEMBER Pebruari 2015

2 ABSTRAK Interal Henstock-Kurzweil di dalam Ruan Funsi Kontinu C[a, b] Peneliti : Firdaus Ubaidillah 1 Mahasiswa Terlibat : - Sumber Dana : DIPA Universitas Jember Kontak irdaus_u@yahoo.com 1 Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Jember C[a, b] menyatakan koleksi semua unsi kontinu bernilai real yan terdeinisi pada selan tertutup [a, b] R. Tujuan dalam penelitian ini adalah membahas siat-siat ruan unsi kontinu C[a, b], menkonstruksi interal Henstock-Kurzweil unsi bernilai C[a, b], membahas siat-siat unsi dan primiti unsi terinteral Henstock-Kurweil yan dijabarkan dalam teorema-teorema serta membahas suatu teorema kekonverenan. Dalam tulisan ini, dikonstruksi interal Henstock-Kurzweil unsi bernilai C[a, b] denan menunakan norma nilai mutlak yan bernilai C[a, b]. Selanjutnya dikembankan untuk menetahui siat-siat unsi terinteral Henstock-Kurzweil dan primiti unsi terinteral Henstock-Kurzweil. Siat-siat unsi terinteral Henstock-Kurzweil dijabarkan dalam bentuk teorema-teorema. Teorema kekonverenan monoton dan kekonverenan seraam yan berkenaan denan interal Henstock-Kurzweil bernilai C[a, b] jua dibahas dalam tulisan ini. Kata kunci: Funsi terinteral Henstock-Kurzweil, norma bernilai C[a, b], partisi δ-ine, primiti unsi terinteral Henstock-Kurzweil, unsi naik monoton

3 EXECUTIVE SUMMARY Peneliti : Firdaus Ubaidillah 1 Mahasiswa Terlibat : - Sumber Dana : DIPA Universitas Jember Kontak irdaus_u@yahoo.com 1 Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Jember A. LATAR BELAKANG DAN TUJUAN Perkembanan teori interal dalam matematika sebelum tahun 1950-an yan lampau sejalan denan tuntutan aplikati khususnya di bidan isika dan teknik. Namun dalam enam dekade terakhir ini, perkembanan teori interal boleh dibilan sanat pesat setelah Ralph Henstock dan Jaroslav Kuzweil pada tahun dapat menkonstruksi sebuah interal, selanjutnya interal yan disusunnya dikenal denan nama interal Henstock-Kurzweil, denan memodiikasi konstanta positi δ pada interal Riemann menjadi sebuah unsi positi δ. Dari hasil modikasi tersebut, interal Henstock-Kurzweil menjadi lebih luas pemakaiannya dibandin interal-interal yan lain. Sejalan denan perkembanan kebutuhan khususnya di bidan teknik dan isika, kini para ilmuwan tidak hanya bekerja pada ruan real saja namun merambah memasuki ruan vektor beraam dimana salah satunya adalah ruan unsi kontinu C[a, b]. Sebaai ilustrasi, jika dipandan interal F(x, y)da D dimana D adalah daerah tertutup di R 2 yan dibatas oleh suatu kurva yan mulus baian demi baian, maka dalam teknis menhitun interal diperoleh hubunan x=b y= F(x, y)da = F(x, y)dydx x=a y= D (1) Interal pertama dari interal rankap pada ruas kanan persamaan (1) adalah y= y= F(x, y)dy.

4 Interal F sebaai unsi dari y denan daerah asal peninterasian dari y = (x) ke y = (x). Oleh karena itu daerah asal peninterasian merupakan sebuah selan tertutup koleksi unsi kontinu denan nilai interalnya jua sebuah unsi kontinu. Tujuan dalam penelitian ini adalah memahami siat-siat ruan unsi kontinu C[a, b], menkonstruksi interal Henstock-Kurzweil unsi bernilai C[a, b], menetahui siat-siat unsi dan primiti unsi terinteral Henstock-Kurweil dan membahas teorema kekonverenan. B. METODE PENELITIAN Penelitian ini merupakan hasil kajian teoritis. Penelitian diawali denan memahami siat-siat ruan unsi kontinu C[a, b] yan dilenkapi denan relasi. Selanjutnya membentuk norma bernilai C[a, b], kemudian menenalkan partisi δ-ine pada selan tertutup, menkonstruksi interal Henstock-Kurzweil unsi bernilai C[a, b] pada selan tertutup, menembankan siat-siat unsi terinteral Henstock-Kurzweil dan membahas teorema kekonverenan. Siat-siat unsi teinteral Henstock-Kurzweil disajikan dalam beberapa teorema dan ditunjukkan buktinya. C. HASIL DAN PEMBAHASAN Dari hasil penelitian ini diperoleh beberapa hasil diantaranya: ruan C[a, b] denan dilenkapi urutan " " merupakan ruan terurut parsial, dan setiap himpunan baian terbatas dari C[a, b] belum menjamin mempunyai supremum atau inimum. Selain itu, hasil lain yan diperoleh adalah C[a, b] merupakan ruan Riesz. Untuk partisi δ-ine pada selan tertutup di dalam C[a, b], bahwa setiap unsi positip (aue) pada [, ] C[a, b] menjamin adanya partisi δ-ine pada [, ]. Selanjutnya dibentuk norma bernilai C[a, b] yan dideinisikan sebaai nilai mutlak bernilai C[a, b]. Suatu unsi F: [, ] C[a, b] dikatakan terinteral Henstock-Kurzweil, pada [, ] jika terdapat s C[a, b] sehina untuk setiap ε > 0 terdapat unsi positi (aue) δ pada [, ] sehina setiap D = {([u, v], t)} partisi δ-ine pada [, ] berlaku (D) F(t)(v u) s < εe.

5 Elemen s C[a, b] di atas dinamakan nilai interal Henstock-Kurzweil unsi F pada [, ]. Jika suatu unsi terinteral Henstock-Kurzweil pada suatu selan [, ] maka nilai interalnya tunal. Jika HK[, ] menyatakan koleksi semua unsi terinteral Henstock-Kurzweil pada [, ], maka HK[, ] merupakan ruan linear atas lapanan R. Funsi θ (unsi yan bernilai nol) kecuali pada himpunan yan berukuran nol adalah unsi yan terinteral Henstock-Kurzweil denan nilai interalnya θ. Hal ini berakibat jika ada dua unsi yan sama kecuali pada himpunan yan berukuran nol dan salah satunya terinteral Henstock- Kurzweil, maka unsi yan lain jua akan terinteral Henstock-Kurzweil. Suatu unsi yan terinteral Henstock-Kurzweil pada [, ] maka unsi tersebut jua terinteral Henstock- Kurzweil pada setiap selan baian dari [, ]. Jika F HK[, ], dideinisikan unsi F pada [, ] denan rumus F(h) = (HK) F untuk setiap h [, ] disebut primiti Henstock-Kurzweil unsi F pada [, ]. Primiti Henstock-Kurzweil F pada [, ] merupakan unsi kontinu pada [, ] dan dierensiabel hampir di mana-mana pada [, ]. Selanjutnya, denan menunakan lemma Henstock sebaai berikut: Jika F HK[, ] denan primiti Henstock-Kurzweil F yaitu untuk setiap bilanan ε > 0 terdapat aue pada [, ] sehina untuk setiap partisi δ-ine D = {([u, v], t)} pada [, ] berlaku (D) (F(t)(v u) F(u, v)) < εe, diperoleh sebuah teorema kekonverenan monoton seperti berikut: Jika syarat-syarat berikut terpenuhi (i) (ii) F n (h) F(h) untuk setiap h [, ] bilamana n denan F n HK[, ] untuk setiap n; F 1 (h) F 2 (h) F 3 (h), untuk setiap h [, ]; (iii) F n (, ) = (HK) F n maka F HK[, ] denan denan {F n (, )} konveren ke s C[a, b], (HK) F = s.

6 Lebih jauh, diperoleh sebuah teorema kekonverenan seraam berikut. Diberikan {F n } HK[, ]. Jika {F n } konveren seraam ke F pada [, ], maka F HK[, ] dan lim (HK) F n n = (HK) F. Kata Kunci :Funsi terinteral Henstock-Kurzweil, norma bernilai C[a, b], partisi δ-ine, primiti unsi terinteral Henstock-Kurzweil, unsi naik monoton