Sistem Bilangan Riil

Transkripsi

1 Sistem Bilangan Riil

2 Pendahuluan Kalkulus didasarkan pada sistem bilangan riil dan sifat-sifatnya. Sistem bilangan riil adalah himpunan bilangan riil yang disertai operasi penjumlahan dan perkalian sehingga memenuhi aksioma tertentu. Kalkulus Dasar

3 Komponen bilangan riil dapat digambarkan sebagai berikut : Bilangan Riil Bilangan rasional Bilangan Irrasional Bilangan pecahan Bilangan Bulat Bilangan Bulat Negatif Bilangan Cacah Bilangan Asli Bilangan nol Kalkulus Dasar

4 Pendahuluan Himpunan bilangan riil adalah sekumpulan bilangan yang dapat mengukur panjang, bersama-sama dengan negatifnya dan nol. [ Purcell] Himpunan bilangan rasional adalah bilangan yang dapat dituliskan dalam bentuk m m,n bilangan bulat, dengan n 0. n Apakah bilangan-bilangan rasional berfungsi mengukur semua panjang? Tidak. Fakta ini ditemukan oleh orang yunani kuno beberapa abad sebelum masehi. Kalkulus Dasar 4

5 Pendahuluan Kita lihat sebuah segitiga siku-siku : 1 1 merupakan panjang sisi miring sebuah segitiga, tetapi bilangan ini tidak dapat dituliskan sebagai suatu hasil bagi bilangan bulat. Jadi bilangan tersebut adalah bialngan irrasional. Kalkulus Dasar 5

6 Pendahuluan Contoh bilangan irrasional yang lain adalah, 5, dan lain-lain. Secara geometri, sistem bilangan riil digambarkan pada suatu garis bilangan. Dari garis bilangan tersebut, muncul suatu yang dinamakan interval. Interval yaitu suatu himpunan bagian dari R yang memenuhi pertidaksamaan tertentu. Definisi interval, notasi dan gambarnya adalah sebagai berikut : Kalkulus Dasar 6

7 Pendahuluan Definisi Notasi < a (-, a ) { } { } a (-, a ] { } < ( ) a < b { } a b a, b [ ] { } a, b > b ( b, ) { } b [ b, ) { } (, ) Kalkulus Dasar 7

8 Pendahuluan Sifat-sifat urutan : Trikotomi Jika dan y adalah suatu bilangan, maka pasti berlaku salah satu dari < y atau > y atau = y Ketransitifan Jika < y dan y < z maka < z Perkalian Misalkan z bilangan positif dan < y maka z < yz, sedangkan bila z bilangan negatif, maka z > yz Kalkulus Dasar 8

9 Pertidaksamaan Pertidaksamaan satu variabel adalah suatu bentuk aljabar dengan satu variabel yang dihubungkan dengan relasi urutan. Bentuk umum pertidaksamaan : A B ( ) ( ) < D( ) E( ) dengan A(), B(), D(), E() adalah suku banyak (polinom) dan B() 0, E() 0 Kalkulus Dasar 9

10 Pertidaksamaan Menyelesaikan suatu pertidaksamaan adalah mencari semua himpunan bilangan riil yang membuat pertidaksamaan berlaku. Cara menyelesaikan pertidaksamaan : 1. Bentuk pertidaksamaan diubah menjadi : P( ) Q( ) < 0, dengan cara : Kalkulus Dasar 10

11 Pertidaksamaan Ruas kiri atau ruas kanan dinolkan Menyamakan penyebut dan menyederhanakan bentuk pembilangnya. Dicari titik-titik pemecah dari pembilang dan penyebut dengan cara P() dan Q() diuraikan menjadi faktor-faktor linier dan/ atau kuadrat. Gambarkan titik-titik pemecah tersebut pada garis bilangan, kemudian tentukan tanda (+, -) pertidaksamaan di setiap selang bagian yang muncul Kalkulus Dasar 11

12 Hp = [ 4,8] 4 8 Kalkulus Dasar 1

13 - < < -4 8 > 4 4 < 8 1 < 8 Hp 1 1, Kalkulus Dasar 1

14 -5 - < 0 ( 1)( - ) < 0 Titik Pemecah (TP) : 1 - dan Hp = , Kalkulus Dasar 14

15 dan dan dan dan dan 0 Kalkulus Dasar 15

16 10 9 Hp = -, [ 0, ) Dari gambar tersebut dapat disimpulkan : Hp = 10 0, 9 Kalkulus Dasar 16

17 1 5. < < 0 ( -1) - ( ) ( 1)( -1) TP : -1, ( 1)( -1) 1 -, < 0 < Hp = ( ) Kalkulus Dasar , - 1 -,

18 Kalkulus Dasar 18 Contoh : Menentukan Himpunan ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) 0-6.

19 Untuk pembilang mempunyai nilai Diskriminan (D) < 0, sehingga nilainya selalu positif, Jadi TP :,- Pembilang tidak menghasilkan titik pemecah Hp = (,-) (, ) Kalkulus Dasar 19

20 Pertidaksamaan nilai mutlak Nilai mutlak ( ) didefinisikan sebagai jarak dari titik pusat pada garis bilangan, sehingga jarak selalu bernilai positif. Definisi nilai mutlak : -,, < 0 0 Kalkulus Dasar 0

21 Pertidaksamaan nilai mutlak Sifat-sifat nilai mutlak: y a, a 0 y - a a - a, a 0 a atau a y 6. Ketaksamaan segitiga y y y - y - y Kalkulus Dasar 1

22 Contoh : < Kita bisa menggunakan sifat ke-. - < - 5 < 5 - < < 5 < < 8 1 < < 4 1,4 Hp = ( ) 1 4 Kalkulus Dasar

23 . - 5 < Kita bisa juga menggunakan sifat ke-4, karena ruas kiri maupun kanan keduanya positif. ( 5) < < < < 0 ( - )( - 4) < 0 TP : 1, 4 ++ Hp = ( 1,4 ) Kalkulus Dasar

24 pake definisi. 4 5 Kita bisa menggunakan sifat 4 ( ) ( 4 5) TP :, Kalkulus Dasar 4

25 Jika digambar pada garis bilangan : Hp = -, (-, -1] Kalkulus Dasar 5

26 atau atau Hp = atau [-10, ) ( -,-18] Kalkulus Dasar 6

27 Kita definisikan dahulu : < < -1 Jadi kita mempunyai interval : I II III,-1 ( ) - [- 1,) [,) -1 Kalkulus Dasar 7

28 < -1 (-,-1) I. Untuk interval atau ( - ) - (- -1) atau -, 9 Kalkulus Dasar 8

29 Jadi Hp1 = 9 -, - (-, 1) -1 9 Dari gambar garis bilangan tersebut dapat disimpulkan bahwa hasil irisan kedua interval tersebut adalah (-,-1) sehingga Hp1 = (-,-1) Kalkulus Dasar 9

30 II. Untuk interval -1 < atau [-1, ) ( - ) - ( 1) atau -, 7 4 Kalkulus Dasar 0

31 7 4 Jadi Hp = -, [ -1, ) Dari gambar garis bilangan tersebut dapat disimpulkan bahwa hasil irisan dua interval tersebut adalah 7-1, 7 4 sehingga Hp = -1, 4 Kalkulus Dasar 1

32 III. Untuk interval ( - ) - ( 1) atau atau [,) 5, Kalkulus Dasar

33 5 Jadi Hp =, [, ) 5 Dari gambar garis bilangan tersebut dapat disimpulkan bahwa hasil irisan dua interval tersebut adalah 5 sehingga, Hp = 5, Kalkulus Dasar

34 Hp = Hp1 Hp Hp 7 5 Hp, 4 ( ) -, - 1-1, Untuk lebih mempermudah, masing-masing interval digambarkan dalam sebuah garis bilangan Kalkulus Dasar 4

35 Jadi Hp = 7 5,, - 4 Kalkulus Dasar 5

36 Kalkulus Dasar 6 Soal Latihan Cari himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan