Materi Matematika Persamaan dan Pertidaksamaan kuadrat Persamaan Linear Persamaan Kuadrat Contoh : Persamaan Derajat Tinggi

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Ukuran: px
Mulai penontonan dengan halaman:

Download "Materi Matematika Persamaan dan Pertidaksamaan kuadrat Persamaan Linear Persamaan Kuadrat Contoh : Persamaan Derajat Tinggi"

Transkripsi

1 Materi Matematika Persamaan dan Pertidaksamaan kuadrat Persamaan Linear Persamaan linear dengan n peubah adalah persamaan dengan bentuk : dengan adalah bilangan- bilangan real, dan adalah peubah. Secara khusus, persamaan linear dengan satu peubah mempunyai bentuk ax + b = 0, 0¹a Jika semesta pembicaraannya adalah R (himpunan bilangan real), selesaian persamaan di atas dapat diperoleh dengan menambahkan lawan b, yaitu b pada kedua ruasnya, kemudian kedua ruas pada hasilnya dikalikan dengan kebalikan a, yaitu. Secara matematik proses penyelesaian tersebut dapat ditulis sebagai : (ax + b b) = (0 b) (ax) = ( b) x =. Contoh : Carilah selesaian persamaan 2x + 8 = 10. Penyelesaian : 2x + 8 = 10 2x = x = 2 x = 1. Persamaan Kuadrat Bentuk umum persamaan kuadrat adalah : ax2 + bx + c = 0 0¹, a Bilangan real t disebut akar dari persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0, jika memenuhi at2 + bt + c = 0. Untuk mendapatkan akar persamaan kuadrat dapat dilakukan dengan tiga cara, yaitu: pemfaktoran, melengkapkan kuadrat, dan rumus abc. Contoh : Carilah akar persamaan kuadrat x2 4x 5 = 0. Penyelesaian : a. Cara pemfaktoran : x2 4x 5 = 0 (x 5)(x + 1) = 0 Diperoleh x1 = 5 atau x2 = -1. b. Cara melengkapkan kuadrat : x2 4x 5 = 0 x2 4x = 0 (x 2)2 9 = 0 (x 2)2 = 9 x 2 3±= 3±x = 2 Diperoleh x1 = = 5 atau x2 = 2 3 = -1. c. Dengan rumus abc, yaitu : x2 4x 5 = 0 a = 1, b = -4, dan c = -5 = = 3±= 2 Diperoleh x1 = = 5 atau x2 = 2 3 = -1. Persamaan Derajat Tinggi Pembicaraan persamaan polinomial dengan derajat lebih dari dua, dibatasi hanya pada derajat tiga, dengan penekanan pada dua rumus, yaitu: x3 a3 = (x a)(x2 + ax + a2) dan

2 x3 + a3 = (x + a)(x2 ax + a2). Untuk pemfaktoran persamaan derajat tinggi dapat digunakan metode Horner. Contoh : Carilah bentuk pemfaktoran dari x3 8 dan Penyelesaian : x3 8 = x3 (2)3 = (x 2)(x2 + 2x +4) = (2x)3 (3)3 = (2x 3)( x +9) 1.2. Pertidaksamaan linear dan kuadrat Pada dasarnya untuk menyelesaikan suatu pertidaksamaan dilakukan dengan langkah-langkah berikut: a. Ubahlah bentuk pertidaksamaan menjadi bentuk persamaan. b. Carilah selesaian persamaan pada langkah a. c. Berilah tanda dari nilai-nilainya. Bentuk Umum Persamaan Kuadrat seperti ini ax 2 + bx + c = 0 a 0 dan a, b, c, Dimana : x adalah variabel persamaan kuadrat a adalah koefisien x kuadrat b adalah koefisien x c adalah konstanta Cara Menyelesaikan Persamaan Kuadrat 1) Mencari faktor ax 2 + bx + c = 0 (x-x 1 ) (x-x 2 ) = 0 diuraikan menjadi cara pemfaktoran akan lebih mudah bila a = 1 maka kita bisa menebak x1 dan x2 dengan cara a = 1 b = x1+x2 c = x1.x2 2) Memakai Rumus Kuadrat atau Rumus abc 3) Melengkapkan Kuadrat Sempurna Bentuk umum persamaan kuadrat bebentuk kuadrat sempurna adalah : dengan q > 0 Menentukan Jenis Akar-Akar Persamaan Kuadrat Jenis akar-akar persamaan kuadrat ditentukan oleh nilai deskriminan : a. D > 0 Kedua akar nyata dan berlainan, (x 1 x 2 ) b. D = 0 Kedua akar nyata dan sama, (x 1 = x 2 ) c. D <> Kedua akar tidak nyata (imaginer) d. dengan bilangan kuadrat sempurna, kedua akar rasional.

3 Untuk menghitung jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat, dapat dicari tanpa terlebih dahulu mencari akar-akarnya. Dari rumus dan Dapat ditunjukkan bahwa:

4 Rumus-rumus Akar Persamaan Kuadrat Sifat-sifat Akar Persamaan Kuadrat Jika dan adalah akar-akar persamaan kuadrat dengan maka berlaku sifat-sifat berikut ini : a. Syarat mempunyai Dua Akar Positif b. Syarat mempunyai Dua Akar Negatif c. Syarat mempunyai Dua Akar Berlainan Tanda d. Syarat mempunyai Dua Akar Berlawanan e. Syarat mempunyai kedua akar berkebalikan Cara menyusun Persamaan kuadrat dari akar-akar x1 dan x2 yang diketahui Persamaan kuadrat yang akar-akarnya dan adalah : Persamaan & Pertidaksamaan Kuadrat January 16, 2013 by yuuliee13hana PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN KUADRAT Pada bagian sebelumnya, kalian telah mempelajari persamaan dan pertidaksamaan linier. Pada bagian ini, kalian akan mempelajari persamaan dan pertidaksamaan kuadrat. Persamaan dan pertidaksamaan kuadrat ditandai dengan variabelnya berpangkat tertinggi dua. 1. a. Persamaan Kuadrat Persamaan kuadrat didefinisikan sebagai kalimat terbuka yang menyatakan hubungan sama dengan (=) dan pangkat tertinggi dari peubahnya (variabelnya) adalah dua. Bentuk umum persamaan kuadrat adalah ax 2 + bx + c = 0 dengan a, b, c bilangan riil dan a 0. 1) Menyelesaikan Persamaan Kuadrat

5 Sama seperti pada sistem persamaan linier, nilai nilai yang memenuhi persamaan kuadrat disebut penyelesaian dari persamaan kuadrat tersebut yang dikenal juga dengan istilah akar akar persamaan kuadrat. Agar kalian lebih memahami penentuan himpunan penyelesaian dari persamaan kuadrat, perhatikan dengan baik contoh contoh berikut ini : Contoh 3.3 Tentukan penyelesaian persamaan kuadrat berikut : 1. x 2 9 = x 2 5x 3 = 0 3. x 2 5x + 6 = 0 4. x 2 6x + 9 = 0 Jawab : 1. x 2 9 = 0 (x + 3)(x 3) = 0 x + 3 = 0 atau x 3 = 0 x = 3 atau x = 3 Sehingga penyelesaiannya adalah = { 3, 3} 1. 2x 2 5x 3 = 0 (2x + 1)(x 3) = 0 2x + 1 = 0 atau x 3 = 0 2x = 1 atau x = 3 x = ½ atau x = 3 1. x 2 5x + 6 = 0 (x 2)(x 3) = 0 x 2 = 0 atau x 3 = 0 x = 2 atau x = 3 Sehingga penyelesaiannya adalah = {2, 3} 1. x 2 6x + 9 = 0 (x 3)(x 3) = 0 x 3 = 0 atau x 3 = 0 x = 3 atau x = 3 Sehingga penyelesaiannya adalah = {3} Sehingga penyelesaiannya adalah = { ½, 3} 2) Rumus Jumlah dan Hasil Kali Akar Akar dari Persamaan Kuadrat

6 Jika x 1 dan x 2 adalah akar akar persamaan kuadrat ax 2 + bx + c = 0 maka pada persamaan kuadrat tersebut akan berlaku sifat seperti berikut : dan Agar kalian lebih dapat memahami kedua sifat dari akar akar persamaan kuadrat ini, perhatikan dengan baik contoh di bawah ini. Contoh 3.4 Jika x 1 & x 2 adalah akar akar persamaan kuadrat 2x 2 4x + 3 = 0 maka tentukan nilai dari : Jawab : 2x 2 4x + 3 = 0 ; a = 2, b = 4, c = 3 3) Menyusun Persamaan Kuadrat Pada bagian sebelumnya kalian telah mempelajari suatu persamaan kuadrat dan sifat sifat dari persamaan kuadrat. Pada bagian ini akan kalian pelajari cara menyusun persamaan kuadrat. Agar kalian lebih memahaminya, perhatikan uraian berikut dengan baik. Jika x 1 dan x 2 merupakan akar akar persamaan kuadrat, maka dapat disusun persamaan kuadrat dengan rumus : (x x 1 )(x x 2 ) = 0 atau x 2 (x 1 + x 2 )x + x 1.x 2 = 0 Contoh 3.5 Tentukan persamaan kuadrat yang akar akarnya 3 dan 2. Jawab : x 1 = 3 dan x 2 = 2 maka (x x 1 ).(x x 2 ) = 0 x 2 + 2x 3x 6 = 0

7 (x 3).(x + 2) = 0 x 2 x 6 = 0 Contoh Tentukan persamaan kuadrat jika diketahui jumlah akar akarnya 2 dan hasil kali akar akarnya 15. Jawab : x 1 + x 2 = 2 dan x 1.x 2 = 15 maka : x 2 (x 1 + x 2 )x + x 1.x 2 = 0 x 2 (2)x + ( 15) = 0 x 2 2x 15 = 0 1. Jika dan merupakan akar akar persamaan x 2 + 3x 4 = 0. Tentukan persamaan kuadrat yang akar akarnya : a) ( 2) dan ( 2) Jawab : b) dan a) x 2 + 3x 4 = 0 maka didapat a = 1, b = 3, c = 4 Misalkan x 1 = 2 dan x 2 = 2 maka : x 1 + x 2 = ( 2) + ( 2) = ( ) 4 = 3 4 = 7 x 1.x 2 = ( 2)( 2) = + 4 = = 4 2( 3) + 4 = = 6 b) x 2 + 3x 4 = 0 maka didapat a = 1, b = 3, c = 4 Misalkan x 1 = dan x 2 = x 1 + x 2 = + = ( + ) = ( 3) = 1 x 1. x 2 = = (. ) = ( 4) =

8 b) Pertidaksamaan Kuadrat Pada bagian sebelumnya kalian telah mempelajari persamaan kuadrat, pada bagian ini akan kalian pelajari pertidaksamaan kuadrat. Bentuk umum dari pertidaksamaan kuadrat yang akan kita bahas dalam bahasan ini adalah sebagai berikut : ax 2 + bx + c < 0 ax 2 + bx + c 0 ax 2 + bx + c > 0 ax 2 + bx + c 0 Nilai nilai yang memenuhi pertidaksamaan kuadrat disebut penyelesaian dari pertidaksamaan kuadrat. Agar kalian memahami dalam menentukan penyelesaian dari pertidaksamaan kuadrat, perhatikan dengan baik contoh berikut : Contoh 3.7 Tentukan penyelesaian dari pertidaksamaan pertidaksamaan kuadrat berikut : 1) x 2 6x + 5 < 0 2) x 2 6x ) x 2 6x ) x 2 6x + 5 > 0 Jawab : 1) x 2 6x + 5 < 0 x 2 6x + 5 = 0 (x 1)(x 5) = 0 x 1 = 0 atau x 5 = 0 x = 1 atau x = Jadi HP = { x 1 < x < 5, x R } 2) x 2 6x ) x 2 6x x 2 6x + 5 = 0 (x 1)(x 5) = 0 x 1 = 0 atau x 5 = 0 x = 1 atau x = Jadi HP = { x x 1 atau x 5, x R } 4) x 2 6x + 5 > 0

9 x 2 6x (x 1)(x 5) = 0 x 1 = 0 atau x 5 = 0 x = 1 atau x = Jadi HP = { x 1 x 5, x R } x 2 6x + 5 = 0 (x 1)(x 5) = 0 x 1 = 0 atau x 5 = 0 x = 1 atau x = Jadi HP = { x x < 1 atau x > 5, x R } Pengertian dan Metode Penyelesaian Pertidaksamaan Kuadrat Posted On August 13, 2013 Under Category: Aljabar advertisements Sebelumnya telah dibahas materi matematika tentang persamaan kuadrat dan sekarang kita akan membahas tentang pertidaksamaan kuadrat. Apakah antara persamaan dan pertidaksamaan kuadrat terdapat perbedaan prinsip yang signifikan? Untuk lebih jelasnya mari kita pelajari bersama materi lengkap pertidaksamaan kuadrat. Pertidaksamaan kuadrat adalah pertidaksamaan yang memiliki variabel paling tinggi berpangkat dua. Bentuk umum pertidaksamaan kuadrat dalam variabel x adalah (i) ax²+ bx + c > 0 (ii) ax²+ bx + c 0

10 (iii) ax²+ bx + c < 0 (iv) ax²+ bx + c 0 dimana a, b, c dan x elemen bilangan riil dan a 0 Sebelum kita bahas tentang metode penyelesaian pertidaksamaan kuadrat, kita akan ulas kembali tentang interval/selang serta grafik fungsi kuadrat yang akan membantu kita dalam menentukan himpunan penyelesaian pertidak samaan kuadrat nantinya. 1. Interval/Selang Interval merupakan himpunan bagian bilangan riil. Sebuah interval dapat dilukiskan pada garis bilangan yang berbentuk ruas garis(segmen garis) dan terdapat tanda lebih tebal pada titik yang bersesuaian. 2. Grafik Fungsi Kuadrat Suatu Grafik fungsi kuadrat berbentuk parabola dengan persamaan y=ax²+bx+c dengan a, b, c elemen bilangan riil dan a 0. Grafik fungsi kuadrat ini memiliki sifat : Jika a>0 grafik fungsi terbuka ketas, dan sebaliknya jika a<0 grafik fungsi terbuka kebawah. Mmemotong sumbu y jika x=0 dan memotong sumbu x jika y=0. Titik potong terhadap sumbu x ditentukan oleh suatu nilai. Diskriminan (D=b²-4ac) berlaku ketentuan : 1. D>0 maka parabola memotong sumbu x di dua titik. 2. D=0 maka parabola menyinggung sumbu x. 3. D<0 maka parabola tidak memotong sumbu x. Macam-macam Grafik fungsi kuadrat dapat ditentukan berdasarkan a>0 dan D<0 maka termasuk definit positif dan jika a<0 dan D<0 disebut definit negatif. Untuk lebih jelasnya perhatikan tabel dibawah ini.

11 Langkah-langkah menyelesaian Pertidaksamaan Kuadrat : 1. Rubahlah pertidaksamaan kuadrat menjadi persamaan kuadrat 2. Tentukan akar-akar dari persamaan kuadrat tersebut seperti telah dijelaskan pada materi persamaan kuadrat. 3. Tentukan akar-akar dari persamaan kuadrat pada garis bilangan. 4. Tentukan mana yang termasuk daerah + dan mana yang termasuk daerah Tuliskan Hp sesuai soal yang diminta. contoh : 1. Tentukan himpunan penyelesaian dari 2x 24 < 0 Jawab: 2x 24 < 0 (x -6)(x +4) < 0 x1 = 6 x2 = -4 Apabila diletakkan ke garis bilangan, daerah yang berharga negatif adalah -4 < x < 6 sehingga daerah tersebut merupakan daerah penyelesaian dari pertidaksamaan 2x 24 < 0 2. Tentukan himpunan penyelesaian x 2 2x 3 0 Jawab : a. Bentuk menjadi persamaan x 2 2x 3 = 0 b. Difaktorkan (x 3) (x + 1) = 0, maka x = 3 atau x=-1

12 c. Berdasarka soal daerah yang diminta 0 berarti yang bertanda -, sehingga berdasarkan gambar HP {x -1 x 3}. Sampai disini dulu materi tentang pertidaksamaan kuadrat semoga dapat bermanfaat. Serta jangan lupa baca juga artikel sebelumnya yang telah saya berikan yaitu berkaitan dengan Aljabar, sehingga anda dapat lebih mudah dalam memahami aljabar lanjutan. BAB 3 PERSAMAAN KUADRAT DAN PERTIDAKSAMAAN KUADRAT A. Ringkasan Rumus-rumus Bentuk Umum : ax 2 + bx + c = 0, dengan syarat a 0 1. Menentukan akar akar Persamaan Kuadrat a. Rumus abc

13 b. Pemfaktoran ax 2 + bx + c = 0 (x p)(x q) = 0 x = p atau x = q 2. Sifat-sifat akar-akar PK Jika x 1 dan x 2 adalah akar-akar dari PK ax 2 + bx + c = 0 maka ; 1..

14 2. 3. akar-akarnya saling berlawanan jika b = 0 4. akar-akarnya saling berkebalikan jika a = c. 3. Menyusun Persamaan Kuadrat Baru PK yang memiliki akar akar dan adalah x 2 ( + )x + = 0 Beberapa rumus praktis dalam menyusun persamaan kuadrat baru; Jika x 1 dan x 2 akar-akar persamaan ax 2 + bx + c = 0, maka persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya: (1) x 1 + p dan x 2 + p a(x-p) 2 + b(x-p) + c (2) px 1 dan px 2 ax 2 + bpx + cp 2 =0 (3) cx 2 + bx + a = 0 (4) x 1 2 dan x 2 2 a 2 x 2 (b 2-2ac)x + c 2 = 0 B. Ringkasan rumus-rumus Bab Pertidaksamaan Kuadrat Bentuk Umum: ax 2 + bx + c < 0 atau ax 2 + bx + c > 0 Penyelesaian ax 2 + bx + c < 0 ( daerah yang dicari adalah daerah positif) (x p)(x q) < 0 (faktorkanlah ruas kiri) Kemudian tuangkan ke dalam garis bilangan

15 p q ambil sembarang titik, kecuali di p dan q. misalnya di titik 0. Kemudian kita substitusi ke dalam persamaan ax 2 + bx + c. Tentukankanlah nilainya positif atau negatif. Misalnya diperoleh negatif, berarti daerah diatas nol adalah daerah negatif. Kemudian kita arsir daerah positif p 0 q HPnya adalah daearah positif sehingga x < p atau x > q Untuk pertidaksamaan ax 2 + bx + c > 0 Caranya identik dengan cara diatas. C. Kisi-kisi UN Tahun 2012 Bab Persamaan dan Pertidaksamaan Kuadrat 1. Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan persamaan kuadrat 2. Menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat D. Contoh soal dan Pembahasan 1. Persamaan 2x 2 + qx + (q-1) = 0 mempunyai akar-akar x 1 dan x 2. Jika x 1 2 +x 2 2 = 4, maka nilai q =. a. 6 dan 2 b. 5 dan 3 c. 4 dan 4 d. 3 dan 5 e. 2 dan 6 Pembahasan Diketahui 2x 2 + qx + (q-1) = 0, maka x 1 +x 2 = dan x 1. x 2 = x 1 2 +x 2 2 = (x 1 + x 2 ) 2-2x 1.x 2

16 4 = 16 = q 2-4q = q 2-4q = (q + 2)(q - 6) = 0 4 = q = -2 atau q = 6 4 = ( jawab e ) 2. Akar-akar persamaan x 2 4x + 6 = 0 adalah x 1 dan x 2. Nilai x x 2 2 =.. a. 8 b. 4 c. 4 d. 20 e. 28

17 Pembahasan x 2 4x + 6 = 0 maka a = 1, b = -4 dan c = 6 x 1 + x 2 = x 1 x 2 = x x 2 2 = (x 1 + x 2 ) 2-2 x 1 x 2 = = = 4 ( Jawab c) 3. Persamaan kuadrat mx 2 + (m-5)x 20 = 0 akar-akarnya saling berlawanan. Nilai m =. a. 4 b.5 c. 6 d. 8 e. 12 Pembahasan PK: mx 2 + (m-5)x 20 = 0 sehingga a = m, b = m-5 dan c = -20 Akar-akarnya saling berlawanan jika b = 0 m 5 = 0 m = 5 ( jawab b) 4. Persamaan kuadrat x 2 (m-1)x + 2 = 0 mempunyai dua akar yang berlainan. Batas-batas nilai m yang memenuhi adalaah. a. 2 < m < 4 c. 4 < m < -2 e. m < -2 atau m > 4 b. 4 < m < -2 d. m < 2 atau m > 4

18 Pembahasan x 2 (m-1)x + 2 = 0, maka diperoleh a = 1, b = -m + 1, c = 2 syarat dua akar berlainan adalah D > 0 b 2 4ac > 0 (-m + 1 ) > 0 m 2 2m > 0 m 4)(m + 2) > 0 m 2 2m - 8 > 0 (daerah yang dicari daerah positif ) untuk m = 0 maka = -8 ( negatif ) sehingga daerah diatas 0 adalah negatif daerah yang lain positif, karena yang dicari daerah positif, maka kita arsir daerah positif tersebut dan itulah penyelesaiannya. sehinga diperoleh m < -2 atau m > 4 ( jawab e) 5. Himpunan penyelesaian pertidaksamaan x >, x R adalah.. a. { x I 2 < x < 3, x R} b. { x I x < -3 atau x > 2, x R} c. { x I 6 < x <-2 atay x > 3, x R} d. { x I x< 2 atau x > 3, x R} e. { x I x> 3, x R}

19 Pembahasan x > ( kuadratkan kedua ruas ) x 2 > x + 6 x 2 - x 6 > 0 ( daerah yang dicari daerah positif) (x - 3)(x + 2) > misal x = 0 maka = -6 ( diperoleh hasil negatif) sehingga daerah diatas nol adalah daerah negatif. Daerah yang lain positif, karena yang dicari daerah positif, maka kita arsir daerah positif tersebut dan itulah penyelesaiannya diperoleh { x I x< 2 atau x > 3, x R} ( jawab d ) 6. Akar-akar persamaan kuadrat x 2 2x + 5 = 0 adalah dan. Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya ( + 2) dan ( +2) adalah a. x 2 6x + 13 = 0 b. x 2 6x + 7 = 0 c. x 2 2x + 5 = 0 d. x 2 2x + 7 = 0 e. x 2 2x + 13 = 0

20 Pembahasan x 2 2x + 5 = 0 maka a = 1, b = -2 dan c = 5 + = = Persamaan kuadrat baru akar-akarnya ( + 2) dan ( +2) berarti x 2 (( + 2) + ( +2)) x + ( + 2)( +2) = 0 x 2 ( + +4) x + ( ) = 0 x 2 ( + +4) x + ( + 2( + )+4) = 0 x 2 (2+4)) x + ( ) = 0 x 2 6 x + 13 = 0 Penyelesaian dengan rumus praktis Jika x 1 dan x 2 akar-akar persamaan ax 2 + bx + c = 0, maka persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya x 1 + p dan x 2 + p a(x-p) 2 + b(x-p) + c = 0 Persamaan x 2 2x + 5 = 0 akar-akarnya adalah dan. Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya ( + 2) dan ( +2) (x-2) 2 2(x-2) + 5 = 0 x 2-4x + 4-2x = 0 x 2-6x + 13 = 0 ( jawab a ) Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan 3x 10 > 0.

21 Jawab : 3x 10 > 0 atau y = 3x 10 (a > 0), maka parabola terbuka ke atas,memotong sumbu X jika y = 0, maka 3x 10 = 0 (x 5)(x + 2) = 0 x = 5 atau x = -2 Jadi parabola memotong sumbu X di (-2, 0) dan (5, 0) Dari sketsa grafik di atas terlihat bahwa absis titik-titik pada bagian grafik yang terletak di atas sumbu X adalah: x < -2 x > 5 Dengan demikian himpunan penyelesaiannya adalah : { x / x < -2 atau x > 5 } Daerah himpunan penyelesaian HP = { x / x < -2 atau x > 5 } Contoh 2 Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan 2x 3= 0. Jawab : 2x 3= 0 atau y = 2x 3 (a > 0), maka parabola terbuka ke atas, memotong sumbu X jika y = 0, maka 2x 3 = 0 (x 3)(x + 1) = 0 x = 3 atau x = -1 Jadi parabola memotong sumbu x di (-1, 0) dan (3, 0) X(-1,3) Dari sketsa grafik di atas terlihat bahwa absis titik-titik pada bagian grafik yang terletak di bawah sumbu X adalah: -1= x= 3 Dengan demikian himpunan penyelesaiannya adalah : { x / -1= x= 3 } Daerah himpunan penyelesaian HP = {x / -1= x= 3} Menyelesaikan Pertidaksamaan Kuadrat dengan Menggunakan Garis Bilangan.

22 Langkah-langkah : 1. Menentukan pembuat nol dari ruas kiri pertidaksamaan. 2. Membuat garis bilangan beserta pembuat-pembuat nol ruas kiri. 3. Menentukan tanda dari nilai ax2 + bx + c pada masing-masing interval dengan cara mengambil titik-titik uji yang sesuai. 4. Menentukan penyelesaian pertidaksamaan yang diberikan dengan memilih tanda pada interval yang sesuai. Contoh Pertidaksamaan Kuadrat Contoh Soal 3 Tentukan penyelesaian pertidaksamaan: x² 5x + 6 > 0! Penyelesaian Soal: Dengan memfaktorkan ruas kiri pertidaksamaan, maka diperoleh: (x-2) (X 3) > 0 Telah diketahui bahwa hasil kali 2 bilangan real positif apabila ke dua faktor positif atau ke dua faktor negatif. Oleh karena itu, (i). Jika ke dua faktor positif maka: x -2>0 dan x-3>0,x>2 dan x>3, sehingga diperoleh: x>3 (ii).jika ke dua faktor negatif, maka: x -2<0 dan x-3<0, x<2 dan x<3, sehingga diperoleh: x<3 Jadi, penyelesaian persamaan diatas adalah: {x R x <2 atau x>3} Contoh Soal 4 (x 3) (x + 2) > 0 Penyelesaian : (x 3) (x + 2) = 0 dengan sifat perkalian nol X 3 = 0 atau x + 2 = 0 x1 = 3 x2 = 2 Contoh Soal = 3x Penyelesaian : 9 2 = 3x 9 2 = 3x 9 + 3x 2 = 0 dengan memfaktorkan (3x 1) (3x + 2) = 0 3x 1 = 0 atau 3x + 2 = 0 3x = 1 3x = -2 x1 = 1/3 x2 = -2/3 Contoh Soal 6 Tentukan himpunan penyelesaian dari + 2x 8 ³ 0!

23 Jawab: + 2x 8 ³ 0 (x + 4) (x 2) ³ 0 x1 = -4 x2 = 2 Apabila diletakkan ke garis bilangan adalah daerah yang berharga positif adalah x -4 atau x ³ 2 merupakan daerah penyelesaian dari pertidaksamaan + 2x 8 ³ 0 Contoh Soal 7 Tentukan himpunan penyelesaian dari 2x 24 < 0 Jawab: 2x 24 < 0 (x -6)(x +4) < 0 x1 = 6 x2 = -4 Apabila diletakkan ke garis bilangan adalah daerah yang berharga negatif adalah -4 < x < 6 merupakan daerah penyelesaian dari pertidaksamaan 2x 24 < 0 Pengertian dan Metode Penyelesaian Persamaan Kuadrat Posted On August 1, 2013 Under Category: Aljabar advertisements Rumus Matematika yang kali ini menjadi topik pembahasan kita yaitu persamaan kuadrat, semoga penjelasan tentang persamaan kuadrat yang saya berikan kali ini dapat dengan mudah dipahami. Persamaan Kuadrat merupakan suatu persamaan polinomial berorde 2 dengan bentuk umum dari persamaan kuadrat yaitu y=ax²+bx+c dengan a 0 dan koefisien kuadrat a merupakan koefisien dari x², koefisien linear b merupakan koefisien dari x sedangkan c adalah koefisien konstan atau biasa juga disebut suku bebas. Nilai

24 koefisien a,b dan c ini yang menentukan bagaimana bentuk parabola dari fungsi persamaan kuadrat dalam ruang xy. a menentukan seberapa cekung/cembung, jika nilai a>0 maka parabola akan terbuka keatas. Begitu juga sebaliknya jika a<0 maka parabola akan terbuka kebawah. b menentukan posisi x puncak parabola atau sumbu simetri dari kurva yang dibentuk, dengan posisi tepatnya -b/2a. c menentukan titik potong fungsi parabola yang dibentuk dengan sumbu y atau pada saat x=0. Rumus Kuadratis Rumus ini biasa disebut juga dengan rumus abc, disebut demikian karena digunakan untuk menghitung akar-kar persamaan kuadrat yang tergantung nilai-nilai a, b dan c.

25 Dari bentuk umum persamaan kuadrat, dengan pembuktian sebagai berikut. bagi kedua ruas untuk mendapatkan Pindahkan ke ruas kanan sehingga teknik melengkapkan kuadrat bisa digunakan di ruas kiri. Pindahkan ke ruas kanan lalu samakan penyebut di ruas kanan. Kedua ruas diakar (dipangkatkan setengah), sehingga tanda kuadrat di ruas kiri hilang, dan muncul tanda plusminus di ruas kanan.

26 Pindahkan ke ruas kanan sehingga didapat rumus kuadrat Pada rumus abc diatas terdapat istilah diskriminan atau determinan yaitu notasi dalam tanda akar b²-4ac yang terkadang dinotasikan dengan huruf D. Persamaan kuadrat dengan koefisien-koefisien riil dapat memiliki sebuah atau dua buah akar yang berbeda dimana akar-akarnya dapat berupa bilangan riil atau bilangan kompleks. Terdapat 3 kemungkinan kasus : 1. Diskriminan bersifat positif, maka akan terdapat dua akar berbeda dan keduanya riil. Untuk persamaan kuadrat yang koefisiennya berupa bilangan bulat dan diskriminanya adalah kuadrat sempurna maka akarakarnya adalah bilangan rasional, atau sebaliknya dapat pula merupakan bilangan irasional kuadrat. 2. Diskriminan bernilai 0 maka akan terdapat eksak satu akar dan riil. Hal ini terkadang disebut sebagi akar ganda, dimana nilainya adalah 3. Diskriminan bernilai negatif maka tidak terdapat akar riil melainkan terdapat 2 buah akar kompleks yang satu sama lain merupakan konjuget kompleks. dan Jadi dapat disimpulkan akan diperoleh akar-akar berbeda jika dan hanya jika D 0 dan akan diperoleh akar-akar riil jika dan hanya jika D>0. Terdapat 3 cara dalam menyelesaikan persamaan kuadrat, yaitu : 1. Memfaktorkan, untuk bentuk persamaan kuadrat ax²+bx+c=0 maka kita harus menentukan dua buah bilangan yang jika dijumlahkan hasilnya b dan dikalikan menghasilkan c. 2. Melengkapkan kuadrat sempurna, merubah bentuk persamaan kuadrat menjadi bentuk kuadrat sempurna. 3. Menggunakan rumus abc.

27 contoh : 1. Carilah akar-akar dari persamaan kuadrat x²-5x+6=0! Jawab : x 2 5 x + 6 = 0 (cara memfaktorkan) <=> ( x-2 ) ( x-3 ) = 0 <=> x- 2 = 0 atau x 3 = 0 <=> x = 2 atau x = 3 Sehingga himpunan penyelesaiannya adalah {2, 3} 2. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan x 2 + 2x 15 = 0! Jawab : x 2 + 2x 15 = 0 (cara melengkapkan kuadrat sempurna) x 2 + 2x = 15 Agar x 2 + 2x menjadi bentuk kuadrat sempurna maka harus ditambah dengan kuadrat dari setengah koefisien (½.2) 2 = 1 Dengan menambahkan 1 pada kedua ruas, diperoleh : x 2 + 2x + 1 = <=> (x + 1) 2 = 16 <=> x + 1 = ± 16 <=> x + 1 = ± 4 <=> x + 1 = 4 atau x + 1 = -4 <=> x = 4 1 atau x = -4-1 <=> x = 3 atau x = -5 Sehingga himpunan penyelesaiannya adalah {3, -5} 3. Tentukan himpunan penyelesaian persamaan x 2 + 4x 12 = 0!

28 Penyelesaian : (menggunakan rumus abc) Berdasarkan persamaan diketahui bahwa a =1, b = 4, c = -12 selanjutnya koefisien tersebut kita masukkan dalam rumus abc. x 1,2 = (- b ± b 2 4ac) /2a <=> x 1,2 =( - 4 ± (-12) )/2.1 <=> x 1,2 = ( - 4 ± )/2 <=> x 1,2 = ( - 4 ± 64)/2 <=> x 1,2 = ( - 4 ± 8)/2 <=> x 1,2 = ( ) /2 atau x 1,2 = ( )/2 <=> x 1 = 2 atau x 2 = -6 jadi himpunan penyelesaiannya adalah {2,-6} 4. Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya 2 dan 5? Jawab : Cara 1 : Memakai faktor, dengan memasukkan nilai akar kedalam rumus (x-x 1 ) (x-x 2 ) = 0 x 1 = 2 dan x 2 = 5 Maka (x-x 1 ) (x-x 2 ) = 0 <=> (x-2) (x-5) = 0 <=> x 2 7x + 10 = 0 Jadi persamaan kuadratnya x 2 7x + 10 = 0 Cara 2 : Memakai rumus jumlah dan hasil kali akar-akar yaitu x 2 (x 1 +x 2 )x + x 1.x 2 = 0 x 1 = 2 dan x 2 = 5 Maka x 2 (x 1 +x 2 )x + x 1.x 2 = 0 Dengan (x 1 + x 2 ) = = 7 x 1. x 2 = 2.5 = 10

29 Jadi persamaan kuadratnya x 2 7x + 10 = 0 Rumus jumlah dan hasil kali akar-akar diperoleh dari penjumlahan dan perkalian rumus abc, perhatikan penjelasan berikut ini. x 1 + x 2 = -b + b2 4ac + b b2 4ac 2a 2a = -2b/a = -b/a x 1. x 2 = -b + b2 4ac. b b2 4ac 2a 2a = ( b 2 (b 2 4 ac)) / 4a 2 = 4ac /4a 2 = c/a Dari rumus umum persamaan kuadrat y=ax²+bx+c=0, jika kita mencari akar-akar menggunakan pemfaktoran b diperoleh dari penjumlahan akar-akar dan c diperoleh dari perkalian akar-akar ( baca kembali metode penyelesaikan persamaan kuadrat diatas) sehingga kita dapat memperoleh pernyataan x 2 (x 1 + x 2 ) x + x 1.x 2 = 0 Sekian dulu penjelasan mengenai Persamaan Kuadrat, semoga bermanfaat dan jika sobat menemukan ada yang kurang pas, mohon koreksinya ya.. dan jangan lupa baca juga Materi Bilangan Kompleks atau Fungsi Eksponen dan Logaritma. Menyelesaikan Persamaan Kuadrat dengan Rumus Kuadrat Posted on 5 November 2013 by yos3prens Pada pembahasan ini kita akan menentukan suatu rumus yang dapat digunakan untuk menentukan selesaian dari persamaan kuadrat ax 2 + bx + c = 0. Sebelum itu, kita akan mencoba untuk menyelesaikan persamaan kuadrat 2x 2

30 + 5x + 3 = 0. Perhatikan langkah-langkah dalam menyelesaikan 2x 2 + 5x + 3 = 0 dengan melengkapkan kuadrat berikut. Sehingga diperoleh selesaian-selesaian dari persamaan kuadrat di atas adalah x = 1 dan x = 3/2. Berdasarkan langkah-langkah di atas, kita akan menentukan suatu rumus yang dapat digunakan untuk menyelesaikan persamaan kuadrat ax 2 + bx + c = 0.

31 Solusi-solusi dari persamaan kuadrat ax 2 + bx + c = 0 di atas selanjutnya disebut sebagai rumus kuadrat, yang dapat digunakan untuk menyelesaikan semua persamaan kuadrat. Rumus Kuadrat Jika ax 2 + bx + c = 0, dengan a, b, c bilangan real dan a 0, maka atau dapat dituliskan menjadi,

32 Catatan Perlu diketahui bahwa nilai a, b, dan c diperoleh dari persamaan kuadrat yang ditulis ke dalam bentuk standar. Untuk 3x 2 5x = 7, a = 3, b = 5, tetapi c 7! Bentuk standar dari persamaan tersebut adalah 3x 2 5x + 7 = 0, sehingga nilai c dari persamaan tersebut adalah 7. Contoh 1: Menyelesaikan Persamaan Kuadrat dengan Rumus Kuadrat Selesaikan persamaan 4x = 8x dengan menggunakan rumus kuadrat. Nyatakan solusi-solusinya dalam bentuk eksak dan bentuk desimalnya (tiga angka di belakang koma). Ujilah salah satu selesaian eksaknya ke dalam persamaan. Pembahasan Persamaan kuadrat 4x = 8x memiliki bentuk standar 4x 2 8x + 1 = 0. Sehingga dari bentuk standar tersebut kita peroleh a = 4, b = 8, dan c = 1. Selanjutnya kita tentukan selesaian-selesaian dari persamaan kuadrat tersebut dengan rumus kuadrat. Selanjutnya kita uji salah satu selesaiannya, yaitu x = 1 + 3/2 ke dalam persamaan.

33 Setelah kita uji, ternyata selesaian tersebut memenuhi persamaan kuadrat tersebut. Semoga bermanfaat, yos3prens. Fungsi Kuadrat dan Grafiknya Diposkan oleh RULLY IRAWAN on Monday, November 4, 2013 Pengertian fungsi kuadrat dan grafiknya Fungsi kuadrat dan grafiknya adalah materi yang sudah mulai diajarkan di tingkat SMP, tetapi sebaiknya di review lagi ya..! Fungsi kuadrat yaitu fungsi yang variabel bebasnya paling tinggi berderajat dua. Bentuk umum fungsi kuadrat adalah : Dengan cara melengkapkan kuadrat sempurna akan didapat bentuk yang ekivalen dengan bentuk umumnya, yaitu :

34 Dari bentuk (2) ini, nilai D = b 2-4ac disebut Diskriminan fungsi kuadrat, sehingga bentuk diatas dapat juga dituliskan sebagai berikutw : Dari bentuk (3), maka : Rumus persamaan sumbu simetri fungsi kuadrat adalah: Rumus nilai ekstrem fungsi kuadrat, adalah: Rumus titik ekstrem fungsi kuadrat, adalah: Sifat-sifat fungsi kuadrat dan grafiknya Grafik fungsi kuadrat berbentuk parabola, dengan sifat-sifat seperti diabawah ini: 1. Jika a > 0, maka parabola akan terbuka keatas dan mempunyai nilai balik minimum 2. Jika a < 0, maka parabola akan terbuka kebawah dan mempunyai nilai balik maksimum 3. Jika D > 0, maka parabola akan memotong sumbu x pada dua titik 4. Jika D = 0, parabola memotong sumbu x hanya pada satu titik saja 5. Jika D < 0, parabola tidak memotong sumbu x.

35 Untuk lebih jelasnya tentang ilustrasi fungsi kuadrat dan grafiknya, perhatikan gambar dibawah ini: Ada beberapa cara dalam menentukan titik puncak grafik fungsi kuadrat selain menggunakan rumus persamaan sumbu simetri dan rumus nilai ekstrem, yaitu dengan cara melengkapkan kuadrat sempurna. Dengan bentuk umumnya adalah: Selanjutnya setiap contoh-contoh yang disajikan dalam postingan ini penulis menggunakan cara melengkapkan kuadrat sempurna dalam mencari setiap titik puncak grafik fungsi kuadrat. Dan teman-teman diasumsikan sudah menguasai cara melengkapkan kuadrat sempurna dengan baik sehingga lebih mudah dalam menyelesaikan soalsoal fungsi kuadrat dan grafiknya, tetapi jika belum dikuasai maka boleh menggunakan rumus-rumus yang telah diberikan diatas karena hasil akhirnyapun akan sama. Contoh 1: Tentukan Persamaan sumbu simetri, nilai minimum, dan titik puncak persamaan, [Penyelesaian]

36 Contoh 2: Tentukan Persamaan sumbu simetri, nilai minimum, dan titik puncak persamaan, [Penyelesaian] Langkah-langkah menyelesaikan soal-soal fungsi kuadrat dan grafiknya Menentukan titik potong dengan sumbu x, untuk y = 0 Menentukan titik potong dengan sumbu y, untuk x = 0 Menentukan persamaan sumbu simetri, yaitu : Menentukan nilai ekstrem, yaitu: Menentukan titik ekstrem atau titik puncak, yaitu: Menggambar sketsa grafik fungsi kuadrat. Supaya lebih jelas tentang fungsi kuadrat dan grafiknya, coba teman-teman pelajari contoh-contoh dibawah ini. Contoh 3: Gambarlah grafik dari, [Penyelesaian] Dengan mengikuti langkah-langkah menyelesaikan fungsi kuadrat dan grafiknya, yang telah dikemukakan diatas yaitu: Menentukan titik potong dengan sumbu x, untuk y = 0 : Menentukan titik potong dengan sumbu y, untuk x = 0 :

37 Menentukan titik puncak : Sketsa grafik: Contoh 4: Soal fungsi kuadrat dan grafiknya, dengan D > 0 dan a <0,.Gambarlah grafik fungsi kuadrat, [Penyelesaian] Titik potong dengan sumbu x, untuk y = 0, Titik potong dengan sumbu y, untuk x = 0,

38 Menentukan titik puncak, Sketsa grafik: Contoh 5: Pada contoh ini adalah fungsi kuadrat dan grafiknya, definit positif dengan a > 0 dan D < 0. Gambarlah grafik fungsi kuadrat, [Penyelesaian] Titik potong dengan sumbu x, untuk y = 0, Titik potong dengan sumbu y, untuk x = 0,

39 Titik puncak grafik fungsi kuadrat, Grafik Fungsi :

40 Contoh 6 Contoh fungsi kuadrat dan grafiknya dengan D = 0, dan a > 0. Gambarlah grafik fungsi kuadrat, [Penyelesain] Titik potong dengan sumbu x, untuk y = 0, Titik potong dengan sumbu y, untuk x = 0,, Titik puncak grafik, Sketsa grafik :

41 Contoh 7 Contoh fungsi kuadrat dan grafiknya dengan D < 0, dan a < 0.

42 Gambarlah grafik fungsi kuadrat, [Penyelesaian] Titik potong dengan sumbu x, untuk y = 0, Titik potong dengan sumbu y, untuk x = 0, Titik puncak grafik, Gambar grafik

43 Semoga bermanfaat, terimakasih sudah mengunjungi blog sederhana. Dan selamat berlatih menyelesaikan soalsoal fungsi kuadrat dan grafiknya. Menentukan Persamaan fungsi Kuadrat Diposkan oleh RULLY IRAWAN on Sunday, November 10, 2013

44 Menentukan persamaan fungsi kuadrat secara garis besar dapat dibagi menjadi tiga bentuk umum yaitu : Menentukan persamaan fungsi kuadrat yang diketahui titik ekstrem P (x p,y p ) dan sebuah titik A ( x, y ). Dengan rumus : Cara ini dikenal dengan teknik melengkapkan kuadrat sempurna, jadi teknik tersebut harus dikuasai terlebih dahulu ya, sebelum mempelajari materi ini. Agar lebih jelas bagaimana penerapan rumus diatas dalam menyelesaikan soal, perhatikan contoh-contoh dibawah ini. Contoh 1 : Tentukan persamaan fungsi kuadrat dengan titik puncak ( 2, 1 ) dan melalui titik ( 0, 5) dan gambarkan grafiknya. [Penyelesaian] Karena titik puncaknya ( 2, 1 ),maka sesuai dengan rumus (1), Jadi persamaan fungsi kuadrat nya adalah, Gambar grafiknya seperti dibawah ini:

45 Contoh 2 : Tentukanlah persamaan fungsi kuadrat yang memenuhi kondisi berikut, sumbu simetri x = -2 Dan parabola melalui titik (0,1) dan (-3,4). Juga gambarkan grafiknya! [Penyelesaian] Menentukan persamaan fungsi kuadrat pada contoh ini gunakan rumus (1). Karena sumbu simetrinya x = - 2, maka di misalkan titik puncaknya (-2,b) Karena parabola melalui titik (0,1) dan (-3,4), Dari (1) - (2) : a = -1 dan b = 5 Jadi, Grafiknya sebagai berikut : Gimana..?? gampang kan...^_^ masih banyak sih sebenarnya variasi soal tentang menentukan persamaan fungsi kuadrat. Tapi gak dibahas semua disini ya...^-^ Menentukan persamaan fungsi kuadrat jika diketahui titik potong dengan sumbu x yaitu A(x 1,0) dan B (x 2,0) serta melalui sembarang titik C (x,y). Rumusnya seperti dibawah ini:

46 Untuk lebih jelasnya langsung aja ya, ke contoh soalnya. Contoh 3 : Tentukan persamaan fungsi kuadrat melalui titik ( 1,0) dan ( 4,0) serta titik (0,-4) dan gambarlah grafiknya! [Penyelesaian] Karena parabola tersebut memotong sumbu x di titik ( 1,0) dan ( 4,0) maka, Karena parabola melalui titik (0,-4), maka Gambar grafiknya yaitu: Menentukan persamaan fungsi kuadrat, jika diketahui tiga titik sembarang yaitu A (x 1,y 1 ), B (x 2,y 2 ) dan C (x 3,y 3 ). Menggunakan rumus sebagai berikut: Simak contohnya dibawah ini ya! Contoh 4 :

47 Tentukan persamaan grafik fungsi kuadrat yang melalui tiga titik berikut ini (-3,5), (0,-1), dan (1,5), kemudian gambarkan grafiknya! [Penyelesaian] Menentukan Persamaan fungsi Kuadrat,dengan menggunakan rumus (3), misalkan, Karena grafik melalui (-3,5), (0,-1), dan (1,5), subtitusikan masing-masing titik tersebut maka diperoleh tiga buah persamaan linier sebagai berikut: Dengan metode eliminasi atau subtitusi dari (1),(2) dan (3) maka di peroleh a = 2, b = 4 dan c = -1 Jadi, kembali subtitusikan nilai a, b dan c yang telah diperoleh ke rumus (3) sehingga diperoleh: Kalau grafiknya seperti gambar dibawah ini:

48 Mudah-mudahan bermanfaat ya, dan teman-teman dapat menentukan persamaan fungsi kuadrat dari contohcontoh soal diatas. Dibawah ini diberikan contoh tambahan yang biasanya contoh-contoh variasi soal bagaimana menentukan persamaan fungsi kuadrat yang sering di jumpai pada soal-soal ujian nasional SMP dan SMA / SMK bahkan pada soal-soal SNMPTN. Contoh 5 : Soal Ujian saringan masuk Universitas Parahiyangan Bandung: Diketahui bahwa parabola y = 2 x 2 m x -10 dan parabola y = x 2 + m x + 5,berpotongan dititik ( x 1,y 1 ) dan ( x 2, y 2 ), jika x 1 x 2 = 8. Tentukan nilai m. [Penyelesaian] Subtitusikan (1) ke (2), Dari persamaan kuadrat ini, dari hubungan akar-akar dan koefisien diperoleh: Maka kembali diperoleh dua persamaan linier dua variabel yaitu, Dari (1) dan (2) dengan metode subtitusi atau eliminasi diperolehr, Contoh 6 : Menentukan persamaan fungsi kuadrat jika diketahui gambarnya, misalnya: Tentukan persamaan fungsi kuadrat untuk gambar dibawah ini, dengan x E R.

49 [Penyelesaian] menentukan persamaan fungsi kuadrat seperti gambar diatas, sama seperti contoh 3 titik potong dengan sumbu x yaitu ( -2,0) dan ( 4,0) maka, Dan melalui ( 0,5), maka, Contoh 7 : Jika garis x = -a adalah sumbu simetri parabola y = a x 2 + ( a + 1) x -3. Tentukanlah nilai a yang memenuhi persamaan parabola tersebut. [Penyelesaian] Persamaan sumbu simetri parabola y = a x 2 + ( a + 1) x -3 adalah, Maka,

50 Untuk menguasai materi menentukan persamaan fungsi kuadrat, juga harus menguasai materi fungsi kuadrat dan grafiknya. Selamat berlatih, semoga artikel ini bermanfaat dan mampu menguasai cara dalam menentukan persamaan fungsi kuadrat. Rumus Fungsi Persamaan Kuadrat Matematika Rumus Web mengumpulkan materi Rumus Fungsi Persamaan Kuadratini untuk anak SMP SMA demi UAN SNMPTN SPMB SIMAK UI. Silakan dipelajari Bentuk Umum Persamaan Kuadrat seperti ini Dimana :, dan a, b, c, x adalah variabel persamaan kuadrat a adalah koefisien x kuadrat b adalah koefisien x c adalah konstanta Cara Menyelesaikan Persamaan Kuadrat 1) Mencari faktor diuraikan menjadi cara pemfaktoran akan lebih mudah bila a = 1 maka kita bisa menebak x1 dan x2 dengan cara a = 1 b = x1+x2 c = x1.x2

51 2) Memakai Rumus Kuadrat atau Rumus abc 3) Melengkapkan Kuadrat Sempurna Bentuk umum persamaan kuadrat bebentuk kuadrat sempurna adalah : dengan q > 0 Menentukan Jenis Akar-Akar Persamaan Kuadrat Jenis akar-akar persamaan kuadrat ditentukan oleh nilai deskriminan : a. D > 0 Kedua akar nyata dan berlainan, b. D = 0 Kedua akar nyata dan sama, c. D <> Kedua akar tidak nyata (imaginer) d. dengan bilangan kuadrat sempurna, kedua akar rasional. Untuk menghitung jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat, dapat dicari tanpa terlebih dahulu mencari akar-akarnya. Dari rumus dan Dapat ditunjukkan bahwa: Rumus-rumus Akar Persamaan Kuadrat hasil pengembangan, sering sekali muncul di soal UAN SNMPTN atau SPMB

52 Sifat-sifat Akar Persamaan Kuadrat Jika dan adalah akar-akar persamaan kuadrat dengan maka berlaku sifat-sifat berikut ini : a. Syarat mempunyai Dua Akar Positif b. Syarat mempunyai Dua Akar Negatif c. Syarat mempunyai Dua Akar Berlainan Tanda d. Syarat mempunyai Dua Akar Berlawanan e. Syarat mempunyai kedua akar berkebalikan Cara menyusun Persamaan kuadratdari akar-akar x1 dan x2 yang diketahui

53 Persamaan kuadrat yang akar-akarnya dan adalah :

1. Akar-akar persamaan kuadrat 5x 2 3x + 1 = 0 adalah

1. Akar-akar persamaan kuadrat 5x 2 3x + 1 = 0 adalah 1. Akar-akar persamaan kuadrat 5x 3x + 1 0 adalah A. imajiner B. kompleks C. nyata, rasional dan sama D. nyata dan rasional E. nyata, rasional dan berlainan. NOTE : D > 0, memiliki akar-akar riil dan berbeda

Lebih terperinci

MAKALAH FUNGSI KUADRAT GRAFIK FUNGSI,&SISTEM PERSAMAAN KUADRAT

MAKALAH FUNGSI KUADRAT GRAFIK FUNGSI,&SISTEM PERSAMAAN KUADRAT MAKALAH FUNGSI KUADRAT GRAFIK FUNGSI,&SISTEM PERSAMAAN KUADRAT Kelompok 3 : 1.Suci rachmawati (ekonomi akuntansi) 2.Fitri rachmad (ekonomi akuntansi) 3.Elif (ekonomi akuntansi) 4.Dewi shanty (ekonomi management)

Lebih terperinci

BAB 1 PERSAMAAN. a) 2x + 3 = 9 a) 5 = b) x 2 9 = 0 b) = 12 c) x = 0 c) 2 adalah bilangan prima genap d) 3x 2 = 3x + 5

BAB 1 PERSAMAAN. a) 2x + 3 = 9 a) 5 = b) x 2 9 = 0 b) = 12 c) x = 0 c) 2 adalah bilangan prima genap d) 3x 2 = 3x + 5 BAB PERSAMAAN Sifat Sifat Persamaan Persamaan adalah kalimat matematika terbuka yang menyatakan hubungan sama dengan. Sedangkan kesamaan adalah kalimat matematika tertutup yang menyatakan hubungan sama

Lebih terperinci

MADRASAH ALIYAH AL-MU AWANAH BEKASI SELATAN 2012

MADRASAH ALIYAH AL-MU AWANAH BEKASI SELATAN 2012 MODUL MATEMATIKA PERSIAPAN UJIAN NASIONAL 0 TAHUN AJARAN 0/0 MATERI PERSAMAAN KUADRAT DAN PERTIDAKSAMAAN KUADRAT UNTUK KALANGAN MA AL-MU AWANAH MADRASAH ALIYAH AL-MU AWANAH BEKASI SELATAN 0 Jalan RH. Umar

Lebih terperinci

Mata Pelajaran Wajib. Disusun Oleh: Ngapiningsih

Mata Pelajaran Wajib. Disusun Oleh: Ngapiningsih Mata Pelajaran Wajib Disusun Oleh: Ngapiningsih Disklaimer Daftar isi Disklaimer Powerpoint pembelajaran ini dibuat sebagai alternatif guna membantu Bapak/Ibu Guru melaksanakan pembelajaran. Materi powerpoint

Lebih terperinci

Persamaan dan pertidaksamaan kuadrat BAB II

Persamaan dan pertidaksamaan kuadrat BAB II BAB II Misalkan a,b,c Є R dan a 0 maka persamaan yang berbentuk dinamakan persamaan kuadrat dalam peubah x. Dalam persamaan kuadrat ax bx c 0, a adalah koefisien dari x, b adalah koefisien dari x dan c

Lebih terperinci

BAB II PERSAMAAN KUADRAT DAN FUNGSI KUADRAT

BAB II PERSAMAAN KUADRAT DAN FUNGSI KUADRAT BAB II PERSAMAAN KUADRAT DAN FUNGSI KUADRAT 1. Menentukan koefisien persamaan kuadrat 2. Jenis-jenis akar persamaan kuadrat 3. Menyusun persamaan kuadrat yang akarnya diketahui 4. Fungsi kuadrat dan grafiknya

Lebih terperinci

Persamaan dan Pertidaksamaan Linear

Persamaan dan Pertidaksamaan Linear MATERI POKOK Persamaan dan Pertidaksamaan Linear MATERI BAHASAN : A. Persamaan Linear B. Pertidaksamaan Linear Modul.MTK X 0 Kalimat terbuka adalah kalimat matematika yang belum dapat ditentukan nilai

Lebih terperinci

MATERI PRASYARAT. ke y= f(x) =ax2 + bx +c

MATERI PRASYARAT. ke y= f(x) =ax2 + bx +c 1 MATERI PRASYARAT A. Fungsi Kuadrat Bentuk umum : y= f(x) = ax 2 + bx +c dengan a 0. Langkah-langkah dalam menggambar grafik fungsi kuadrat y= f(x) = ax 2 + bx +c 1. Tentukan titik potong dengan sumbu

Lebih terperinci

PERSAMAAN, FUNGSI DAN PERTIDAKSAMAAN KUADRAT

PERSAMAAN, FUNGSI DAN PERTIDAKSAMAAN KUADRAT LA - WB (Lembar Aktivitas Warga Belajar) PERSAMAAN, FUNGSI DAN PERTIDAKSAMAAN KUADRAT Oleh: Hj. ITA YULIANA, S.Pd, M.Pd MATEMATIKA PAKET C TINGKAT V DERAJAT MAHIR 1 SETARA KELAS X Created By Ita Yuliana

Lebih terperinci

PERSAMAAN KUADRAT. Persamaan. Sistem Persamaan Linear

PERSAMAAN KUADRAT. Persamaan. Sistem Persamaan Linear Persamaan Sistem Persamaan Linear PENGERTIAN Definisi Persamaan kuadrat adalah kalimat matematika terbuka yang memuat hubungan sama dengan yang pangkat tertinggi dari variabelnya adalah 2. Bentuk umum

Lebih terperinci

2. FUNGSI KUADRAT. , D = b 2 4ac

2. FUNGSI KUADRAT. , D = b 2 4ac . FUNGSI KUADRAT A. Persamaan Kuadrat 1) Bentuk umum persamaan kuadrat : ax + bx + c =, a ) Akar akar persamaan kuadrat dapat dicari dengan memfaktorkan ataupun dengan rumus: x 1, b D, D = b 4ac a 3) Jumlah,

Lebih terperinci

Menyelesaikan Persamaan Kuadrat. 3. Rumus ABC ax² + bx + c = 0 X1,2 = ( [-b ± (b²-4ac)]/2a. Kemungkinan Jenis Akar Ditinjau Dari Nilai Diskriminan

Menyelesaikan Persamaan Kuadrat. 3. Rumus ABC ax² + bx + c = 0 X1,2 = ( [-b ± (b²-4ac)]/2a. Kemungkinan Jenis Akar Ditinjau Dari Nilai Diskriminan Menyelesaikan Persamaan Kuadrat Bentuk umum : ax² + bx + c = 0 x variabel; a,b,c konstanta ; a 0 Menyelesaikan persamaan kuadrat berarti mencari harga x yang memenuhi persamaan kudrat (PK) tersebut (disebut

Lebih terperinci

PERSAMAAN DAN FUNGSI KUADRAT

PERSAMAAN DAN FUNGSI KUADRAT Materi W2e PERSAMAAN DAN FUNGSI KUADRAT Kelas X, Semester 1 E. Grafik Fungsi Kuadrat www.yudarwi.com E. Grafik Fungsi Kuadrat Grafik fungsi kuadrat f(x) = ax 2 + bx + c dapat dilukis dengan langkah-langkah

Lebih terperinci

Materi Fungsi Linear Fungsi Variabel, koefisien, dan konstanta Variabel variabel bebas Koefisien Konstanta 1). Pengertian fungsi linier

Materi Fungsi Linear Fungsi Variabel, koefisien, dan konstanta Variabel variabel bebas Koefisien Konstanta 1). Pengertian fungsi linier Materi Fungsi Linear Admin 8:32:00 PM Duhh akhirnya nongol lagi... kali ini saya akan bahas mengenai pelajaran yang paling disukai oleh hampir seluruh warga dunia :v... MATEMATIKA, ya itu namanya. materi

Lebih terperinci

FUNGSI. A. Relasi dan Fungsi Contoh: Manakah yang merupakan fungsi/pemetaan dan manakah yang bukan fungsi? (i) (ii) (iii)

FUNGSI. A. Relasi dan Fungsi Contoh: Manakah yang merupakan fungsi/pemetaan dan manakah yang bukan fungsi? (i) (ii) (iii) FUNGSI A. Relasi dan Fungsi Manakah yang merupakan fungsi/pemetaan dan manakah yang bukan fungsi? (i) (ii) (iii) Relasi himpunan A ke himpunan B adalah relasi yang memasangkan/mengkawankan/mengkorepodensikan

Lebih terperinci

2. PERSAMAAN, PERTIDAKSAMAAN DAN FUNGSI KUADRAT

2. PERSAMAAN, PERTIDAKSAMAAN DAN FUNGSI KUADRAT 2. PERSAMAAN, PERTIDAKSAMAAN DAN FUNGSI KUADRAT A. Persamaan Kuadrat 1) Bentuk umum persamaan kuadrat : ax 2 + bx + c =, a 2) Nilai determinan persamaan kuadrat : D = b 2 4ac 3) Akar-akar persamaan kuadrat

Lebih terperinci

PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN PERSAMAAN LINEAR

PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN PERSAMAAN LINEAR PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN PERSAMAAN LINEAR Persamaan linear Bentuk umun persamaan linear satu vareabel Ax + b = 0 dengan a,b R ; a 0, x adalah vareabel Contoh: Tentukan penyelesaian dari 4x-8 = 0 Penyelesaian.

Lebih terperinci

Fungsi kuadrat. Hafidh munawir

Fungsi kuadrat. Hafidh munawir Fungsi kuadrat Hafidh munawir Bentuk Umum Persamaan Kuadrat Bentuk umum atau Bentuk Baku persamaan kuadrat adalah: a + b + c = Dengan a,b,c R dan a serta adalah peubah (variabel) a merupakan koefisien

Lebih terperinci

KONSEP DASAR FUNGSI DAN GRAFIK. Oleh : Agus Arwani, SE, M.Ag

KONSEP DASAR FUNGSI DAN GRAFIK. Oleh : Agus Arwani, SE, M.Ag KONSEP DASAR FUNGSI DAN GRAFIK Oleh : Agus Arwani, SE, M.Ag KONSEP DASAR FUNGSI DAN GRAFIK Definisi : Fungsi f : A B adalah suatu aturan yang mengaitkan (memadankan) setiap dengan tepat satu A y B Notasi

Lebih terperinci

fungsi Dan Grafik fungsi

fungsi Dan Grafik fungsi fungsi Dan Grafik fungsi Suatu fungsi adalah pemadanan dua himpunan tidak kosong dengan pasangan terurut (x, y) dimana tidak terdapat elemen kedua yang berbeda. Fungsi (pemetaan) himpunan A ke himpunan

Lebih terperinci

A. MENYELESAIKAN PERSAMAAN KUADRAT

A. MENYELESAIKAN PERSAMAAN KUADRAT A. MENYELESAIKAN PERSAMAAN KUADRAT STANDAR KOMPETENSI Memecahkan masalah yang berkaitan dengan fungsi, persamaan dan fungsi kuadrat serta pertidaksamaan kuadrat KOMPETENSI DASAR Menggunakan sifat dan aturan

Lebih terperinci

SISTEM PERSAMAAN LINEAR, KUADRAT DAN PERTIDAKSAMAAN SATU VARIABEL

SISTEM PERSAMAAN LINEAR, KUADRAT DAN PERTIDAKSAMAAN SATU VARIABEL LA - WB (Lembar Aktivitas Warga Belajar) SISTEM PERSAMAAN LINEAR, KUADRAT DAN PERTIDAKSAMAAN SATU VARIABEL Oleh: Hj. ITA YULIANA, S.Pd, M.Pd MATEMATIKA PAKET C TINGKAT V DERAJAT MAHIR 1 SETARA KELAS X

Lebih terperinci

6 FUNGSI LINEAR DAN FUNGSI

6 FUNGSI LINEAR DAN FUNGSI 6 FUNGSI LINEAR DAN FUNGSI KUADRAT 5.1. Fungsi Linear Pada Bab 5 telah dijelaskan bahwa fungsi linear merupakan fungsi yang variabel bebasnya paling tinggi berpangkat satu. Bentuk umum fungsi linear adalah

Lebih terperinci

SISTEM PERTIDAKSAMAAN KUADRAT DUA VARIABEL SPtKDV

SISTEM PERTIDAKSAMAAN KUADRAT DUA VARIABEL SPtKDV SISTEM PERTIDAKSAMAAN KUADRAT DUA VARIABEL SPtKDV A. Pertidaksamaan Kuadrat Dua Variabel Pertidaksamaan kuadrat dua variabel adalah kalimat terbuka matematika yang memuat dua variabel dengan setidaknya

Lebih terperinci

TEOREMA SISA 1. Nilai Sukubanyak Tugas 1

TEOREMA SISA 1. Nilai Sukubanyak Tugas 1 TEOREMA SISA 1. Nilai Sukubanyak Apa yang dimaksud sukubanyak (polinom)? Ingat kembali bentuk linear seperti 2x + 1 atau bentuk kuadrat 2x 2-3x + 5 dan juga bentuk pangkat tiga 2x 3 x 2 + x 7. Bentuk-bentuk

Lebih terperinci

y

y Menyelesaikan Persamaan Kuadrat dengan Grafik Menyesaikan persamaan ax 2 +bx+c=0. Berarti menentukan nilai-nilai x bila f(x) = 0, dimana f(x) = ax 2 +bx+c. apabila grafik fungsi f(x) telah dilukis, maka

Lebih terperinci

PERTIDAKSAMAAN

PERTIDAKSAMAAN PERTIDAKSAMAAN A. Pengertian 1. Notasi Pertidaksamaan Misalnya ada dua bilangan riil a dan b. Ada beberapa notasi yang bisa dibuat yaitu: a. a dikatakan kurang dari b, ditulis a b jika dan hanya jika a

Lebih terperinci

PERTIDAKSAMAAN PECAHAN

PERTIDAKSAMAAN PECAHAN PERTIDAKSAMAAN PECAHAN LESSON Pada topik sebelumnya, kalian telah mempelajari topik tentang konsep pertidaksamaan dan nilai mutlak. Dalam topik ini, kalian akan belajar tentang masalah pertidaksamaan pecahan.

Lebih terperinci

BAB 5 TEOREMA SISA. Menggunakan aturan sukubanyak dalam penyelesaian masalah. Kompetensi Dasar

BAB 5 TEOREMA SISA. Menggunakan aturan sukubanyak dalam penyelesaian masalah. Kompetensi Dasar Standar Kompetensi BAB 5 TEOREMA SISA Menggunakan aturan sukubanyak dalam penyelesaian masalah. Kompetensi Dasar Menggunakan algoritma pembagian sukubanyak untuk menentukan hasil bagi dan sisa pembagian

Lebih terperinci

Mata Pelajaran MATEMATIKA Kelas X

Mata Pelajaran MATEMATIKA Kelas X Mata Pelajaran MATEMATIKA Kelas X SEKOLAH MENENGAH ATAS dan MADRASAH ALIYAH PG Matematika Kelas X 37 Bab 1 Bentuk Pangkat, Akar, dan Logaritma Nama Sekolah : SMA dan MA Mata Pelajaran : Matematika Kelas

Lebih terperinci

β α α β SOAL MATEMATIKA UNTUK SMA istiyanto.com Mari Berbagi Ilmu Dengan Yang Lain A. Persamaan Kuadrat dan Fungsi Kuadrat

β α α β SOAL MATEMATIKA UNTUK SMA istiyanto.com Mari Berbagi Ilmu Dengan Yang Lain A. Persamaan Kuadrat dan Fungsi Kuadrat A. Persamaan Kuadrat dan Fungsi Kuadrat 1. Salah satu akar persamaan kuadrat ( a 1) x + (3a 1) x 3a = 0 adalah 1, maka akar lainnya adalah.... Nilai m yang memenuhi agar persamaan kuadrat ( m + 1) x +

Lebih terperinci

BAB IV PERTIDAKSAMAAN. 1. Pertidaksamaan Kuadrat 2. Pertidaksamaan Bentuk Pecahan 3. Pertidaksamaan Bentuk Akar 4. Pertidaksamaan Nilai Mutlak

BAB IV PERTIDAKSAMAAN. 1. Pertidaksamaan Kuadrat 2. Pertidaksamaan Bentuk Pecahan 3. Pertidaksamaan Bentuk Akar 4. Pertidaksamaan Nilai Mutlak BAB IV PERTIDAKSAMAAN 1. Pertidaksamaan Kuadrat. Pertidaksamaan Bentuk Pecahan 3. Pertidaksamaan Bentuk Akar 4. Pertidaksamaan Nilai Mutlak 86 LEMBAR KERJA SISWA 1 Mata Pelajaran : Matematika Uraian Materi

Lebih terperinci

BEBERAPA FUNGSI KHUSUS

BEBERAPA FUNGSI KHUSUS BEBERAPA FUNGSI KHUSUS ). Fungsi Konstan ). Fungsi Identitas 3). Fungsi Modulus 4). Fungsi Genap dan Fungsi Ganjil Fungsi genap jika f(x) = f(x), dan Fungsi ganjil jika f(x) = f(x) 5). Fungsi Tangga dan

Lebih terperinci

PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN KUADRAT

PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN KUADRAT PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN KUADRAT Jenis-jenis soal persamaan kuadrat yang sering diujikan adalah soal-soal tentang :. Menentukan akar-akar. Jenis-jenis akar 3. Jumlah dan hasil kali akar-akar 4. Tanda-tanda

Lebih terperinci

Untuk mencari akar-akar dari persamaan kuadrat, dapat menggunakan rumus :

Untuk mencari akar-akar dari persamaan kuadrat, dapat menggunakan rumus : RUMUS-RUMUS PERSAMAAN KUADRAT Bentuk umum: ax 2 + bx + c = 0, a 0 AKAR-AKAR PERSAMAAN KUADRAT Untuk mencari akar-akar dari persamaan kuadrat, dapat menggunakan rumus : X 1.2 = Dengan : D = b 2 4ac, dan

Lebih terperinci

Bilangan Real. Modul 1 PENDAHULUAN

Bilangan Real. Modul 1 PENDAHULUAN Modul 1 Bilangan Real S PENDAHULUAN Drs. Soemoenar emesta pembicaraan Kalkulus adalah himpunan bilangan real. Jadi jika akan belajar kalkulus harus paham terlebih dahulu tentang bilangan real. Bagaimanakah

Lebih terperinci

A. DEFINISI DAN BENTUK UMUM SISTEM PERSAMAAN LINEAR KUADRAT

A. DEFINISI DAN BENTUK UMUM SISTEM PERSAMAAN LINEAR KUADRAT K-13 Kelas X matematika PEMINATAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR KUADRAT TUJUAN PEMBELAJARAN Setelah mempelajari materi ini, kamu diharapkan memiliki kemampuan berikut. 1. Memahami definisi dan bentuk umum sistem

Lebih terperinci

MBS - DTA. Sucipto UNTUK KALANGAN SENDIRI. SMK Muhammadiyah 3 Singosari

MBS - DTA. Sucipto UNTUK KALANGAN SENDIRI. SMK Muhammadiyah 3 Singosari MBS - DTA Sucipto UNTUK KALANGAN SENDIRI SMK Muhammadiyah Singosari SERI : MBS-DTA FUNGSI STANDAR KOMPETENSI Siswa mampu memecahkan masalah yang berkaitan dengan fungsi, persamaan fungsi linear dan fungsi

Lebih terperinci

Silabus. Nama Sekolah : SMA Mata Pelajaran : MATEMATIKA Kelas / Program : X / UMUM Semester : GANJIL

Silabus. Nama Sekolah : SMA Mata Pelajaran : MATEMATIKA Kelas / Program : X / UMUM Semester : GANJIL Silabus Nama Sekolah : SMA Mata Pelajaran : MATEMATIKA Kelas / Program : X / UMUM Semester : GANJIL Sandar Kompetensi:. Memecahkan masalah yang berkaitan dengan bentuk pangkat, akar, dan logaritma Kompetensi

Lebih terperinci

FUNGSI. Riri Irawati, M.Kom 3 sks

FUNGSI. Riri Irawati, M.Kom 3 sks FUNGSI Riri Irawati, M.Kom 3 sks Agenda 1. Sistem Koordinat Kartesius. Garis Lurus 3. Grafik persamaan Tujuan Agar mahasiswa dapat : Menggunakan sistem koordinat untuk menentukan titik-titik dan kurva-kurva.

Lebih terperinci

Fungsi Linear dan Fungsi Kuadrat

Fungsi Linear dan Fungsi Kuadrat Modul 1 Fungsi Linear dan Fungsi Kuadrat Drs. Susiswo, M.Si. K PENDAHULUAN ompetensi umum yang diharapkan, setelah mempelajari modul ini, adalah Anda dapat memahami konsep tentang persamaan linear dan

Lebih terperinci

Persamaan dan Pertidaksamaan

Persamaan dan Pertidaksamaan I TU URI HANDAY AN TW DIKLAT GURU PENGEMBANG MATEMATIKA SMK JENJANG DASAR TAHUN 009 Persamaan dan Pertidaksamaan GY A Y O M AT E M A T AK A R Markaban, M.Si. DEPARTEMEN PENDIDIKAN NASIONAL DIREKTORAT JENDERAL

Lebih terperinci

matematika PEMINATAN Kelas X PERSAMAAN KUADRAT K-13 A. BENTUK UMUM PERSAMAAN KUADRAT

matematika PEMINATAN Kelas X PERSAMAAN KUADRAT K-13 A. BENTUK UMUM PERSAMAAN KUADRAT K-13 Kelas X matematika PEMINATAN PERSAMAAN KUADRAT TUJUAN PEMBELAJARAN Setelah mempelajari materi ini, kamu diharapkan memiliki kemampuan berikut. 1. Memahami definisi dan bentuk umum persamaan kuadrat..

Lebih terperinci

atau y= f(x) = ax 2 + bx + c (3.17) y= f(x) = a 2 x + a 0 x 2 + a 1

atau y= f(x) = ax 2 + bx + c (3.17) y= f(x) = a 2 x + a 0 x 2 + a 1 i. Fungsi kuadrat - Penyelesaian fungsi kuadrat dengan pemfaktoran Fungsi kuadrat adalah fungsi polinomial yang mempunyai derajad dua dan mempunyai bentuk umum : y= f(x) = a 2 x 2 + a 1 x + a 0 atau y=

Lebih terperinci

KELAS XI PROGRAM KEAHLIAN : BISNIS DAN MANAJEMEN & PARIWISATA SMK NEGERI 1 SURABAYA. BY : Drs. Abd. Salam, MM

KELAS XI PROGRAM KEAHLIAN : BISNIS DAN MANAJEMEN & PARIWISATA SMK NEGERI 1 SURABAYA. BY : Drs. Abd. Salam, MM KELAS XI PROGRAM KEAHLIAN : BISNIS DAN MANAJEMEN & PARIWISATA SMK NEGERI 1 SURABAYA BAHAN AJAR FUNGSI LINIER & KUADRAT SMK NEGERI 1 SURABAYA Halaman 1 BAB FUNGSI A. FUNGSI DAN RELASI Topik penting yang

Lebih terperinci

I. PETUNJUK: Untuk soal nomor 1 sampai dengan nomor, pilihlah salah satu jawaban yang paling tepat!

I. PETUNJUK: Untuk soal nomor 1 sampai dengan nomor, pilihlah salah satu jawaban yang paling tepat! I. PETUNJUK: Untuk soal nomor sampai dengan nomor, pilihlah salah satu jawaban yang paling tepat!. Persamaan ( p + ) x ( p + ) x + ( p ) = 0, p, merupakan persamaan kuadrat dalam x untuk nilai p... p c.

Lebih terperinci

Aljabar 1. Modul 1 PENDAHULUAN

Aljabar 1. Modul 1 PENDAHULUAN Modul 1 Aljabar 1 Drs. H. Karso, M.Pd. PENDAHULUAN M odul yang sekarang Anda pelajari adalah modul yang pertama dari mata kuliah Materi Kurikuler Matematika SMA. Materi-materi yang disajikan dalam modul

Lebih terperinci

Pembahasan Soal SIMAK UI 2012 SELEKSI MASUK UNIVERSITAS INDONESIA. Disertai TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS. Matematika Dasar

Pembahasan Soal SIMAK UI 2012 SELEKSI MASUK UNIVERSITAS INDONESIA. Disertai TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS. Matematika Dasar Pembahasan Soal SIMAK UI 0 SELEKSI MASUK UNIVERSITAS INDONESIA Disertai TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Matematika Dasar Disusun Oleh : Pak Anang Kumpulan SMART SOLUTION dan TRIK SUPERKILAT Pembahasan

Lebih terperinci

5 F U N G S I. 1 Matematika Ekonomi

5 F U N G S I. 1 Matematika Ekonomi 5 F U N G S I Pemahaman tentang konsep fungsi sangat penting dalam mempelajari ilmu ekonomi, mengingat kajian ekonomi banyak bekerja dengan fungsi. Fungsi dalam matematika menyatakan suatu hubungan formal

Lebih terperinci

Soal dan Pembahasan Tentang Suku Banyak

Soal dan Pembahasan Tentang Suku Banyak Soal dan Pembahasan Tentang Suku Banyak Oleh : Fendi Alfi Fauzi 9 Maret 014 1. Nilai suku banyak untuk f (x) = x 3 x 3x + 5 untuk x = adalah... f ( ) = ( ) 3 ( ) 3 ( ) + 5 = 16 4 + 6 + 5 = 0 + 11 = 9.

Lebih terperinci

Pertemuan ke 8. GRAFIK FUNGSI Diketahui fungsi f. Himpunan {(x,y): y = f(x), x D f } disebut grafik fungsi f.

Pertemuan ke 8. GRAFIK FUNGSI Diketahui fungsi f. Himpunan {(x,y): y = f(x), x D f } disebut grafik fungsi f. Pertemuan ke 8 GRAFIK FUNGSI Diketahui fungsi f. Himpunan {(,y): y = f(), D f } disebut grafik fungsi f. Grafik metode yang paling umum untuk menyatakan hubungan antara dua himpunan yaitu dengan menggunakan

Lebih terperinci

PERSAMAAN KUADRAT. AC 0 P DAN Q SAMA TANDA. 2. DG. MELENGKAPKAN BENTUK KUADRAT ( KUADRAT SEMPURNA ) :

PERSAMAAN KUADRAT. AC 0 P DAN Q SAMA TANDA. 2. DG. MELENGKAPKAN BENTUK KUADRAT ( KUADRAT SEMPURNA ) : PERSAMAAN KUADRAT. AC 0 P DAN Q SAMA TANDA.. DG. MELENGKAPKAN BENTUK KUADRAT ( KUADRAT SEMPURNA ) : Bab 3 PERSAMAAN KUADRAT 1. Bentuk Umum : ax bx c 0, a 0, a, b, c Re al Menyelesaikan persamaan kuadrat

Lebih terperinci

MA5032 ANALISIS REAL

MA5032 ANALISIS REAL (Semester I Tahun 2011-2012) Dosen FMIPA - ITB E-mail: hgunawan@math.itb.ac.id. August 16, 2011 Pada bab ini anda diasumsikan telah mengenal dengan cukup baik bilangan asli, bilangan bulat, dan bilangan

Lebih terperinci

matematika PEMINATAN Kelas X SISTEM PERTIDAKSAMAAN LINEAR DAN KUADRAT K13 A. Pertidaksamaan Linear B. Daerah Pertidaksamaan Linear

matematika PEMINATAN Kelas X SISTEM PERTIDAKSAMAAN LINEAR DAN KUADRAT K13 A. Pertidaksamaan Linear B. Daerah Pertidaksamaan Linear K13 Kelas matematika PEMINATAN SISTEM PERTIDAKSAMAAN LINEAR DAN KUADRAT Tujuan Pembelajaran Setelah mempelajari materi ini, kamu diharapkan memiliki kemampuan berikut. 1. Memahami definisi pertidaksamaan

Lebih terperinci

MAT 602 DASAR MATEMATIKA II

MAT 602 DASAR MATEMATIKA II MAT 60 DASAR MATEMATIKA II Disusun Oleh: Dr. St. Budi Waluya, M. Sc Jurusan Pendidikan Matematika Program Pascasarjana Unnes 1 HIMPUNAN 1. Notasi Himpunan. Relasi Himpunan 3. Operasi Himpunan A B : A B

Lebih terperinci

PEMBINAAN TAHAP I CALON SISWA INVITATIONAL WORLD YOUTH MATHEMATICS INTERCITY COMPETITION (IWYMIC) 2010 MODUL ALJABAR

PEMBINAAN TAHAP I CALON SISWA INVITATIONAL WORLD YOUTH MATHEMATICS INTERCITY COMPETITION (IWYMIC) 2010 MODUL ALJABAR PEMBINAAN TAHAP I CALON SISWA INVITATIONAL WORLD YOUTH MATHEMATICS INTERCITY COMPETITION (IWYMIC) 2010 MODUL ALJABAR DIREKTORAT JENDERAL MANAJEMEN PENDIDIKAN DASAR DAN MENENGAH DIREKTORAT PEMBINAAN SMP

Lebih terperinci

fungsi rasional adalah rasio dari dua polinomial. Secara umum,

fungsi rasional adalah rasio dari dua polinomial. Secara umum, fungsi rasional adalah rasio dari dua polinomial. Secara umum, Fungsi Rasional Fungsi rasional adalah fungsi yang memiliki bentuk Dengan p dan d merupakan polinomial dan d(x) 0. Domain dari V(x) adalah

Lebih terperinci

Sistem PERSAMAAN dan PERTIDAKSAMAAN linier

Sistem PERSAMAAN dan PERTIDAKSAMAAN linier Materi W4a Sistem PERSAMAAN dan PERTIDAKSAMAAN linier Kelas X, Semester 1 A. Sistem Persamaan Linier dengan Dua Variabel www.yudarwi.com A. Sistem Persamaan Linier dengan dua Variabel Bentuk umum : ax

Lebih terperinci

A. Kajian ulang tentang fungsi Pada gambar di bawah ini diberikan diagram panah suatu relasi dari himpunan

A. Kajian ulang tentang fungsi Pada gambar di bawah ini diberikan diagram panah suatu relasi dari himpunan MODUL MATEMATIKA UNTUK SMA istiyanto.com Mari Berbagi Ilmu Dengan Yang Lain Pesan soal-soal matematika untuk SD, SMP dan SMA? Soal ulangan harian, ulangan mid, ulangan semester, soal-soal UAN dll. Tulis

Lebih terperinci

BAB IV PENYAJIAN DATA DAN ANALISIS DATA. A. Deskripsi Buku Ajar Matematika SMA/MA Kelas X yang digunakan di

BAB IV PENYAJIAN DATA DAN ANALISIS DATA. A. Deskripsi Buku Ajar Matematika SMA/MA Kelas X yang digunakan di BAB IV PENYAJIAN DATA DAN ANALISIS DATA A. Deskripsi Buku Ajar Matematika SMA/MA Kelas X yang digunakan di SMA/MA Kecamatan Anjir Muara Berdasarkan BAB III telah diuraikan bahwa penelitian ini bertujuan

Lebih terperinci

Bagian 1 Sistem Bilangan

Bagian 1 Sistem Bilangan Bagian 1 Sistem Bilangan Dalam bagian 1 Sistem Bilangan kita akan mempelajari berbagai jenis bilangan, pemakaian tanda persamaan dan pertidaksamaan, menggambarkan himpunan penyelesaian pada selang bilangan,

Lebih terperinci

Modul Matematika 2012

Modul Matematika 2012 Modul Matematika MINGGU V Pokok Bahasan : Fungsi Non Linier Sub Pokok Bahasan :. Pendahuluan. Fungsi kuadrat 3. Fungsi pangkat tiga. Fungsi Rasional 5. Lingkaran 6. Ellips Tujuan Instruksional Umum : Agar

Lebih terperinci

matematika PEMINATAN Kelas X PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN EKSPONEN K13 A. PERSAMAAN EKSPONEN BERBASIS KONSTANTA

matematika PEMINATAN Kelas X PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN EKSPONEN K13 A. PERSAMAAN EKSPONEN BERBASIS KONSTANTA K1 Kelas X matematika PEMINATAN PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN EKSPONEN TUJUAN PEMBELAJARAN Setelah mempelajari materi ini, kamu diharapkan memiliki kemampuan berikut. 1. Memahami bentuk-bentuk persamaan

Lebih terperinci

Matematika: Persamaan Kuadrat 11/22/2011 PERSAMAAN KUADRAT. Oleh Syawaludin A. Harahap, MSc

Matematika: Persamaan Kuadrat 11/22/2011 PERSAMAAN KUADRAT. Oleh Syawaludin A. Harahap, MSc Matematika: Persamaan Kuadrat //0 MATA KULIAH : MATEMATIKA KODE MATA KULIAH : UNM0.0 SKS : (-) ) PERSAMAAN KUADRAT Oleh Syawaludin A. Harahap, MSc UNIVERSITAS PADJADJARAN FAKULTAS PERIKANAN DAN ILMU KELAUTAN

Lebih terperinci

03/08/2015. Sistem Bilangan Riil. Simbol-Simbol dalam Matematikaa

03/08/2015. Sistem Bilangan Riil. Simbol-Simbol dalam Matematikaa 0/08/015 Sistem Bilangan Riil Simbol-Simbol dalam Matematikaa 1 0/08/015 Simbol-Simbol dalam Matematikaa Simbol-Simbol dalam Matematikaa 4 0/08/015 Simbol-Simbol dalam Matematikaa 5 Sistem bilangan N :

Lebih terperinci

Hand out_x_fungsi kuadrat

Hand out_x_fungsi kuadrat STANDAR KOMPETENSI: Memecahkan masalah yang berkaitan dengan fungsi, persamaan dan fungsi kuadrat serta pertidaksamaan kuadrat. KOMPETENSI DASAR: Menggambar grafik fungsi aljabar sederhana dan fungsi kuadrat

Lebih terperinci

III. FUNGSI POLINOMIAL

III. FUNGSI POLINOMIAL III. FUNGSI POLINOMIAL 3. Pendahuluan A. Tujuan Setelah mempelajari bagian ini diharapkan mahasiswa dapat:. menuliskan bentuk umum fungsi polinomial;. menghitung nilai fungsi polinomial; 3. menuliskan

Lebih terperinci

Pembahasan Soal SIMAK UI 2012 SELEKSI MASUK UNIVERSITAS INDONESIA. Disertai TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS. Matematika IPA

Pembahasan Soal SIMAK UI 2012 SELEKSI MASUK UNIVERSITAS INDONESIA. Disertai TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS. Matematika IPA Pembahasan Soal SIMAK UI 0 SELEKSI MASUK UNIVERSITAS INDONESIA Disertai TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Matematika IPA Disusun Oleh : Pak Anang Kumpulan SMART SOLUTION dan TRIK SUPERKILAT Pembahasan

Lebih terperinci

PERTIDAKSAMAAN RASIONAL. Tujuan Pembelajaran

PERTIDAKSAMAAN RASIONAL. Tujuan Pembelajaran Kurikulum 1 Kelas matematika PEMINATAN PERTIDAKSAMAAN RASIONAL Tujuan Pembelajaran Setelah mempelajari materi ini, kamu diharapkan memiliki kemampuan berikut. 1. Memahami definisi pertidaksamaan rasional..

Lebih terperinci

http://meetabied.wordpress.com Matematika X Semester SMAN Bone-Bone Jika ingin mengenai sasaran, kita harus membidik sedikit di atas sasaran tersebut karena setiap panah yang meluncur akan merasakan gaya

Lebih terperinci

Matematika Ekonomi KUADRAT DAN FUNGSI RASIONAL (FUNGSI PECAH) GRAFIK FUNGSI KUADRAT BERUPA PARABOLA GRAFIK FUNGSI RASIONAL BERUPA HIPERBOLA

Matematika Ekonomi KUADRAT DAN FUNGSI RASIONAL (FUNGSI PECAH) GRAFIK FUNGSI KUADRAT BERUPA PARABOLA GRAFIK FUNGSI RASIONAL BERUPA HIPERBOLA Fungsi Non Linier Diskripsi materi: -Harga ekstrim pada fungsi kuadrat 1 Fungsi non linier FUNGSI LINIER DAPT BERUPA FUNGSI KUADRAT DAN FUNGSI RASIONAL (FUNGSI PECAH) GRAFIK FUNGSI KUADRAT BERUPA PARABOLA

Lebih terperinci

http://meetabied.wordpress.com Matematika X Semester 1 SMAN 1 Bone-Bone Kita dibentuk oleh sesuatu yang kita lakukan berulang kali. Keunggulan, bukan hasil dari satu tindakan, melainkan dari kebiasaan.

Lebih terperinci

BAB II AKAR-AKAR PERSAMAAN

BAB II AKAR-AKAR PERSAMAAN BAB II AKAR-AKAR PERSAMAAN 2.1 PENDAHULUAN Salah satu masalah yang sering terjadi pada bidang ilmiah adalah masalah untuk mencari akar-akar persamaan berbentuk : = 0 Fungsi f di sini adalah fungsi atau

Lebih terperinci

tanya-tanya.com Turunan Pertama Turunan Fungsi Trigonometri Persamaan Garis Singgung Fungsi Naik Turun Turunan pertama dari suatu fungsi f(x) adalah:

tanya-tanya.com Turunan Pertama Turunan Fungsi Trigonometri Persamaan Garis Singgung Fungsi Naik Turun Turunan pertama dari suatu fungsi f(x) adalah: Turunan Pertama Turunan pertama dari suatu fungsi f(x) adalah: Jika f(x) = x n, maka f (x) = nx n-1, dengan n R Jika f(x) = ax n, maka f (x) = anx n-1, dengan a konstan dan n R Rumus turunan fungsi aljabar:

Lebih terperinci

Soal dan Pembahasan UN Matematika Program IPS tahun 2008

Soal dan Pembahasan UN Matematika Program IPS tahun 2008 Soal dan Pembahasan UN Matematika Program IPS tahun 008. Negasi dari pernyataan Matematika tidak mengasyikan atau membosankan adalah A. Matematika mengasyikan atau membosankan. B. Matematika mengasyikan

Lebih terperinci

PERSAMAAN & PERTIDAKSAMAAN

PERSAMAAN & PERTIDAKSAMAAN PERSAMAAN & PERTIDAKSAMAAN PERTEMUAN III Nur Edy, PhD. Tujuan Mengaplikasikan konsep persamaan dan pertidaksamaan Pokok Bahasan: Persamaan (Minggu 3 dan 4) Pertidaksamaan (Minggu 3 dan 4) Harga mutlak

Lebih terperinci

MATEMATIKA EKONOMI DAN BISNIS. Nuryanto.ST.,MT

MATEMATIKA EKONOMI DAN BISNIS. Nuryanto.ST.,MT MATEMATIKA EKONOMI DAN BISNIS Fungsi Non Linear Fungsi non-linier merupakan bagian yang penting dalam matematika untuk ekonomi, karena pada umumnya fungsi-fungsi yang menghubungkan variabel-variabel ekonomi

Lebih terperinci

Matematik Ekonom Fungsi nonlinear

Matematik Ekonom Fungsi nonlinear 1 FUNGSI Fungsi adalah hubungan antara 2 buah variabel atau lebih, dimana masing-masing dari dua variabel atau lebih tersebut saling pengaruh mempengaruhi. Variabel merupakan suatu besaran yang sifatnya

Lebih terperinci

SISTEM BILANGAN RIIL DAN FUNGSI

SISTEM BILANGAN RIIL DAN FUNGSI SISTEM BILANGAN RIIL DAN FUNGSI Matematika Juni 2016 Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni 2016 1 / 67 Outline 1 Sistem Bilangan Riil Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni 2016 2 / 67 Outline

Lebih terperinci

Kita mungkin akan kecewa jika gagal, tapi kita telah gagal bila kita tidak mencoba. (Beverly Sills)

Kita mungkin akan kecewa jika gagal, tapi kita telah gagal bila kita tidak mencoba. (Beverly Sills) http://meetabied.wordpress.com Matematika X Semester SMAN Bone-Bone Kita mungkin akan kecewa jika gagal, tapi kita telah gagal bila kita tidak mencoba. (Beverly Sills) [BAB 2 PERSAMAAN, PERTIDAKSAMAAN

Lebih terperinci

a 2 e. 7 p 7 q 7 r 7 3. a. 8p 3 c. (2 14 m 3 n 2 ) e. a 10 b c a. Uji Kompetensi a. a c. x 3. a. 29 c. 2

a 2 e. 7 p 7 q 7 r 7 3. a. 8p 3 c. (2 14 m 3 n 2 ) e. a 10 b c a. Uji Kompetensi a. a c. x 3. a. 29 c. 2 Kunci Jawaban Uji Kompetensi 1.1 1. a. {, 1,0,1,,3,4} BAB I Bilangan Riil Uji Kompetensi 1. 1. a. asosiatif b. memiliki elemen penting 3. 10 Uji Kompetensi 1.3 1. a. 1 4 e. 1 35 15 c. 1 8 1 1 c. 1 4 5.

Lebih terperinci

King s Learning Be Smart Without Limits. (4) Grafik Fungsi kuadrat: (3) Titik lain (jika diperlukan) X Y. (4) Grafik Fungsi kuadrat:

King s Learning Be Smart Without Limits. (4) Grafik Fungsi kuadrat: (3) Titik lain (jika diperlukan) X Y. (4) Grafik Fungsi kuadrat: Nama Siswa : LEMBAR AKTIVITAS SISWA FUNGSI KUADRAT - Hubungkan titik-titik tersebut sehingga terbentuk kurva atau grafik yang mulus. Kelas : A. FUNGSI KUADRAT Bentuk umum fungsi kuadrat adalah: y = f(x)

Lebih terperinci

PENGERTIAN FUNGSI JENIS-JENIS FUNGSI PENGGAMBARAN GRAFIK FUNGSI

PENGERTIAN FUNGSI JENIS-JENIS FUNGSI PENGGAMBARAN GRAFIK FUNGSI FUNGSI PENGERTIAN FUNGSI JENIS-JENIS FUNGSI PENGGAMBARAN GRAFIK FUNGSI PENGERTIAN FUNGSI Sebuah fungsi f dari himpunan A ke himpunan B adalah suatu aturan yang memasangkan setiap X anggota A dengan tepat

Lebih terperinci

BEBERAPA MACAM FUNGSI DALAM ALJABAR

BEBERAPA MACAM FUNGSI DALAM ALJABAR BEBEAA MACAM FUNGI DALAM ALJABA 1. Fungsi Komposisi Dari dua jenis fungsi f dan g kita dapat membentuk sebuah fungsi baru dengan menggunakan sistem operasi komposisi. operasi komposisi biasa dilambangkan

Lebih terperinci

Soal-Soal dan Pembahasan SBMPTN - SNMPTN Matematika Dasar Tahun Pelajaran 2010/2011

Soal-Soal dan Pembahasan SBMPTN - SNMPTN Matematika Dasar Tahun Pelajaran 2010/2011 Soal-Soal dan Pembahasan SBMPTN - SNMPTN Matematika Dasar Tahun Pelajaran 2010/2011 Tanggal Ujian: 31 Mei 2011 1. Jika 6(3 40 ) ( 2 log a) + 3 41 ( 2 log a) = 3 43, maka nilai a adalah... A. B. C. 4 D.

Lebih terperinci

Sistem Bilangan Riil

Sistem Bilangan Riil Sistem Bilangan Riil Sistem bilangan N : 1,,,. Z :,-,-1,0,1,,.. N : bilangan asli Z : bilangan bulat Q : bilangan rasional R : bilangan real Q : q R a b, a, b Z, b Q Irasional Contoh Bil Irasional,, 0

Lebih terperinci

FUNGSI, SISTEM PERSAMAAN LINIER DAN MENGGAMBAR GRAFIK

FUNGSI, SISTEM PERSAMAAN LINIER DAN MENGGAMBAR GRAFIK FUNGSI, SISTEM PERSAMAAN LINIER DAN MENGGAMBAR GRAFIK TUGAS MATEMATIKA EKONOMI DISUSUN OLEH : DENY PRASETYA 01212074 IAN ANUGERAH 01212035 M. UMAR A 01212016 ARON GARDIKA 01212140 SAIFUL RAHMAN 01212020

Lebih terperinci

STANDAR KOMPETENSI KOMPETENSI DASAR. Menggunakan aturan suku banyak dalam penyelesaian masalah

STANDAR KOMPETENSI KOMPETENSI DASAR. Menggunakan aturan suku banyak dalam penyelesaian masalah STANDAR KOMPETENSI Menggunakan aturan suku banyak dalam penyelesaian masalah KOMPETENSI DASAR Menggunakan teorema sisa dan teorema faktor dalam pemecahan masalah INDIKATOR Menentukan faktor, akar-akar

Lebih terperinci

MATEMATIKA EKONOMI ( FUNGSI LINIER, GRAFIK FUNGSI DAN SISTEM PERSAMAAN LINIER )

MATEMATIKA EKONOMI ( FUNGSI LINIER, GRAFIK FUNGSI DAN SISTEM PERSAMAAN LINIER ) MATEMATIKA EKONOMI ( FUNGSI LINIER, GRAFIK FUNGSI DAN SISTEM PERSAMAAN LINIER ) KELOMPOK 2 1. UMAR ATTAMIMI (01212043) 2. SITI WASI ATUL MUFIDA (01212096) 3. DEVI PRATNYA. P. (01212078) 4. POPPY MERLIANA

Lebih terperinci

JENIS JENIS FUNGSI 2. Gambar. Jenis Fungsi. mengandung banyak suku (polinom) dalam variabel bebas y = a 0 + a 1 x + a 2 x a n x n

JENIS JENIS FUNGSI 2. Gambar. Jenis Fungsi. mengandung banyak suku (polinom) dalam variabel bebas y = a 0 + a 1 x + a 2 x a n x n Telkom University Alamanda JENIS JENIS FUNGSI1 JENIS JENIS FUNGSI 2 Jenis Fungsi Gambar 1. FUNGSI POLINOM mengandung banyak suku (polinom) dalam variabel bebas y = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + + a n x n 2.

Lebih terperinci

FUNGSI. Berdasarkan hubungan antara variabel bebas dan terikat, fungsi dibedakan dua: fungsi eksplisit dan fungsi implisit.

FUNGSI. Berdasarkan hubungan antara variabel bebas dan terikat, fungsi dibedakan dua: fungsi eksplisit dan fungsi implisit. FUNGSI Fungsi merupakan hubungan antara dua variabel atau lebih. Variabel dibedakan :. Variabel bebas yaitu variabel yang besarannya dpt ditentukan sembarang, mis:,, 6, 0 dll.. Variabel terikat yaitu variabel

Lebih terperinci

LOGO MAM 4121 KALKULUS 1. Dr. Wuryansari Muharini K.

LOGO MAM 4121 KALKULUS 1. Dr. Wuryansari Muharini K. LOGO MAM 4121 KALKULUS 1 Dr. Wuryansari Muharini K. BAB I. PENDAHULUAN SISTEM BILANGAN REAL, NOTASI SELANG, dan NILAI MUTLAK PERTAKSAMAAN SISTEM KOORDINAT GRAFIK PERSAMAAN SEDERHANA www.themegallery.com

Lebih terperinci

BAB 1. PENDAHULUAN KALKULUS

BAB 1. PENDAHULUAN KALKULUS BAB. PENDAHULUAN KALKULUS (Himpunan,selang, pertaksamaan, dan nilai mutlak) Pembicaraan kalkulus didasarkan pada sistem bilangan nyata. Sebagaimana kita ketahui sistem bilangan nyata dapat diklasifikasikan

Lebih terperinci

SELEKSI TINGKAT PROPINSI CALON PESERTA OLIMPIADE SAINS NASIONAL 2008 MATEMATIKA SMA BAGIAN PERTAMA

SELEKSI TINGKAT PROPINSI CALON PESERTA OLIMPIADE SAINS NASIONAL 2008 MATEMATIKA SMA BAGIAN PERTAMA SELEKSI TINGKAT PROPINSI CALON PESERTA OLIMPIADE SAINS NASIONAL 2008 MATEMATIKA SMA BAGIAN PERTAMA PETUNJUK UNTUK PESERTA: 1. Tes bagian pertama ini terdiri dari 20 soal. 2. Waktu yang disediakan adalah

Lebih terperinci

4. SISTEM PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN

4. SISTEM PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN 4. SISTEM PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN 4.1 Persamaan Garis a. Bentuk umum persamaan garis Garis lurus yang biasa disebut garis merupakan kurva yang paling sederhana dari semua kurva. Misalnya titik A(2,1)

Lebih terperinci

SRI REDJEKI KALKULUS I

SRI REDJEKI KALKULUS I SRI REDJEKI KALKULUS I KLASIFIKASI BILANGAN RIIL n Bilangan yang paling sederhana adalah bilangan asli : n 1, 2, 3, 4, 5,. n n Bilangan asli membentuk himpunan bagian dari klas himpunan bilangan yang lebih

Lebih terperinci

Sistem Bilangan Ri l

Sistem Bilangan Ri l Sistem Bilangan Riil Sistem bilangan N : bilangan asli Z : bilangan bulat Q : bilangan rasional R : bilangan real N : 1,,,. Z :,-,-1,0,1,,.. Q : a q =, a, b Z, b 0 b R = Q Irasional Contoh Bil Irasional,,π

Lebih terperinci

Suku Banyak. A. Pengertian Suku Banyak B. Menentukan Nilai Suku Banyak C. Pembagian Suku Banyak D. Teorema Sisa E. Teorema Faktor

Suku Banyak. A. Pengertian Suku Banyak B. Menentukan Nilai Suku Banyak C. Pembagian Suku Banyak D. Teorema Sisa E. Teorema Faktor Bab 5 Sumber: www.in.gr Setelah mempelajari bab ini, Anda harus mampu menggunakan konsep, sifat, dan aturan fungsi komposisi dalam pemecahan masalah; menggunakan konsep, sifat, dan aturan fungsi invers

Lebih terperinci

MODUL MATEMATIKA XI IPA SUKU BANYAK SMA SANTA ANGELA TAHUN PELAJARAN SEMSTER GENAP

MODUL MATEMATIKA XI IPA SUKU BANYAK SMA SANTA ANGELA TAHUN PELAJARAN SEMSTER GENAP MODUL MATEMATIKA XI IPA SUKU BANYAK SMA SANTA ANGELA TAHUN PELAJARAN 05 06 SEMSTER GENAP STANDAR KOMPETENSI 4. Menggunakan aturan sukubanyak dalam penyelesaian masalah. KOMPETENSI DASAR 4. Menggunakan

Lebih terperinci