Disampaikan pada Diklat Instruktur/Pengembang Matematika SMA Jenjang Dasar Tanggal 6 s.d. 19 Agustus 2004 di PPPG Matematika

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Ukuran: px
Mulai penontonan dengan halaman:

Download "Disampaikan pada Diklat Instruktur/Pengembang Matematika SMA Jenjang Dasar Tanggal 6 s.d. 19 Agustus 2004 di PPPG Matematika"

Transkripsi

1 PENGANTAR KALKULUS Disampaikan pada Diklat Instruktur/Pengembang Matematika SMA Jenjang Dasar Tanggal 6 s.d. 9 Agustus 004 di PPPG Matematika Oleh: Drs. SETIAWAN, M. Pd. Widyaiswara PPPG Matematika Yogyakarta DEPARTEMEN PENDIDIKAN NASIONAL DIREKTORAT JENDERAL PENDIDIKAN DASAR DAN MENENGAH PUSAT PENGEMBANGAN PENATARAN GURU (PPPG) MATEMATIKA YOGYAKARTA 004

2 DAFTAR ISI Halaman Bagian Awal Kata Pengantar i Dafatar Isi. ii Bagian I Pendahuluan... A. Latar Belakang B. Tujuan Penulisan C. Sasaran D. Ruang Lingkup Penulisan E. Pedoman Penggunaan.. Bagian II Limit Fungsi A. Latar Belakang.. B. Limit Fungsi Aljabar... Limit Fungsi Secara Intuitif.. Limit Fungsi Secara Formal.4. Pengertian Limit di Tak Hingga 0 C. Limit Fungsi Trigonometri. 5 D. Limit Fungsi Eksponensial. 6 F. Kontinuitas. Bagian III : Turunan Suatu Fungsi A. Turunan Fungsi Aljabar. B. Turunan Fungsi Trigonometri 7 C. Turunan Fungsi Tersusun (Fungsi Komposisi).. 8 D. Turunan Fungsi Logaritma.0 E. Turunan Fungsi Eksponensial..0 F. Turunan Fungsi Implisist G. Turunan Jenis Lebih Tinggi H. Fungsi Naik dan Fungsi Turun...5 I. Nilai Stasioner Fungsi 6 J. Penentuan Maksimum dan Minimum Dengan Menggunakan Turunan Kedua.7 ii

3 K. Penerapan Diferensial dalam Bidang Ekonomi 9. Elastisitas Permintaan..9. Analisis Marginal.4 Bagian IV : Kalkulus Integral..45 A. Integral Taktentu Integral sebagai operasi invers dari turunan Pengintegralan Dengan Substitusi Menentukan a d dengan substitusi a sin t dan y a cos t Integral Parsial. 54 du 5. Pengintegralan.. 58 u B. Integral Tertentu. 6. Pengertian Integral Tertentu (Integral Riemann). 6 b. Menentukan nilai f ()d.. 6 a. Menentukan Volum Benda Putar Panjang Busur (Materi Pengayaan) Penerapan Integral dalam Bidang Usaha dan Perekonomian 70 Bagian Akhir 7 Daftar Pustaka 7 iii

4 BAGIAN I PENDAHULUAN A. Latar Belakang. Tujuan khusus pengajaran matematika di Sekolah Menengah Umum (SMU) adalah : a. Siswa memiliki pengetahuan matematika sebagai bekal untuk melanjutkan ke pendidikan tinggi. b. Siswa memiliki keterampilan matematika sebagai peningkatan matematika Pendidikan Dasar untuk dapat digunakan dalam kehidupan yang lebih luas (di dunia kerja) maupun dalam kehdupan sehari-hari. c. Siswa mempunyai pandangan yang lebih luas serta memiliki sikap menghargai kegunaan matematika, sikap kritis, logis, obyektif, terbuka, kreatif serta inovatif. d. Siswa memiliki kemampuan yang dapat dialih gunakan (transferable) melalui kegiatan matematika di SMU. Memperhatikan butir-butir tujuan khusus tersebut di atas, maka kedudukan kalkulus dalam Garis-garis Besar Program Pengajaran SMU akan menjadi cukup sentral, sehingga materi ini harus mendapatkan perhatian yang cukup serius menyangkut masalah penguasaan materi, pemilihan metoda pembelajaran yang pas dan penentuan strategi serta teknik mengajar yang serasi. Namun demikian melihat kenyataan di lapangan baik lewat monitoring dan evaluasi bagi para alumnus penataran di PPPG Matematika maupun diskusi-diskusi di MGMP, ternyata materi ini kadang-kadang masih dijumpai kendala di lapangan. Oleh karena itu pembahasan mengenai materi kalkulus ini perlu mendapatkan porsi yang memadai pada penataran-penataran guru matematika, terutama yang diselengggarakan oleh PPPG Matematika Yogyakarta. Di samping itu kalkulus merupakan salah satu materi yang memiliki cakupan aplikasi yang sangat luas, baik dalam tubuh matematika itu sendiri, maupun dalam cabangcabang lmu-ilmu yang lain, seperti dalam bidang sains, teknologi, ekonomi dan sebagainya. Oleh karena itu para siswa terlebih-lebih guru matematika SMU harus mendapat bekal materi kalkulus ini sebaik-baiknya.

5 B. Tujuan Penulisan Tulisan ini disusun dengan maksud untuk memberikan tambahan pengetahuan berupa wawasan kepada guru matematika SMU dengan harapan :. lebih memahami materi kalkulus untuk SMU dan beberapa pengembangannya, terutama masalah it fungsi, integral dengan substitusi dan integral parsial yang ternyata nasih banyak dijumpai kendala di lapangan.. dapat digunakan sebagai salah satu referensi masalah-masalah pengajaran matematika SMU pada pertemuan-pertemuan MGMP Matematika SMU di daerah.. memperluas wawasan keilmuan dalam matematika, dan khusunya masalah kalkulus SMU, sehingga guru dapat memilih strategi pembelajaran yang sesuai dengan kondisi di lapangan, sehingga mudah diterima oleh siswa. C. Sasaran Tulisan ini disusun untuk menjadikan bahan penambah wawasan : a. para peserta penataran guru-guru matematika SMU, oleh PPPG Matematika Yogyakarta. b. para rekan guru matematika SMU pada umunya dan juga para pemerhati pengajaran matematika. D. Ruang Lingkup Penulisan. Ruang lingkup bahan penataran ini meliputi a. it fungsi dan kontinuitas. b. kalkulus diferensial, dan c. integral tak tentu serta integral tertentu beserta aplikasinya. E. Pedoman Penggunaan. Bahan penataran ini merupakan salah satu acuan dalam memahami materi tentang kalkulus, untuk memahami isi paket ini dengan baik hendaknya terlebih dulu dicermati uraian materi beserta contoh-contohnya dengan seksama, kemudian baru mencoba soal-soal latihan yang telah disediakan, sesuai dengan topik yang tengah didalaminya.

6 BAGIAN II LIMIT FUNGSI A. Latar Belakang Kalkulus adalah salah satu cabang dari matematika yang sangat penting dan banyak diterapkan secara luas pada cabang-cabang ilmu pengetahuan yang lain, misalnya pada cabang sains dan teknologi, pertanian, kedokteran, perekonomian dan sebagainya. Pada makalah ini akan dibahas tiga pokok bahasan, pokok utama dari kalkulus yakni it fungsi, diferensial fungsi dan integral fungsi. Sebenarnya ada dua cabang dalam kalkulus itu sendiri, yakni kalkulus diferensial dan kalkulus integral, dan jika diperhatikan inti dari pelajaran kalkulus adalah memakai dan menentukan it suatu fungsi. Bahkan secara ekstrim kalkulus dapat didefinisikan sebagai pengkajian tentang it. Oleh karena itu pemahaman tentang konsep dan macam-macam fungsi diberbagai cabang ilmu pengetahuan serta sifat-sifat dan operasi it suatu fungsi merupakan syarat mutlak untuk memahami kalkulus diferensial dan kalkulus integral. - y 0 o B. Limit Fungsi Aljabar. Limit Fungsi secara Intuitif. Perhatikan contoh di bawah ini Pandanglah fungsi 4 f() dengan domain f() 4 D f { R, } untuk, jika dicari nilai fungsi f() 0 0 tidak tentu. Kita cari nilai-nilai f() untuk mendekati. Kita dapat memperhatikan nilai fungsi f() disekitar seperti tampak pada tabel. Gb.. berikut :,90,99,999,999,00,0, f(),90,99,999,999 4,00 4,0 4, Dari tabel di atas dapat disimpulkan bahwa untuk mendekati baik dari kiri maupun dari kanan, nilai fungsi tersebut makin mendekati 4, dan dari sini dikatakan bahwa it f() untuk mendekati sama dengan 4, dan ditulis 4 f () 4. n

7 Dari pengertian inilah yang disebut pengertian it secara intuitif, sehingga : Definisi it secara intuitif, bahwa f() L artinya bahwa bilamana n c dekat tetapi berlainan dari c, maka f() dekat ke L.. Limit Fungsi Secara Formal Secara matematis dapat dimaklumi bahwa banyak yang berkeberatan dengan definisi it secara intuitif di atas, yaitu penggunaan istilah dekat. Apa sebenarnya makna dekat itu?. Seberapa dekat itu dapat dikatakan dekat?. Untuk mengatasi masalah di atas Augustin-Louis Cauchy berhasil menyusun definisi tentang it seperti di bawah ini yang masih kita gunakan sampai sekarang. Pengertian it secara intuitif di atas jika diberi definisi formal adalah sebagai berikut. Definisi : Dikatakan f () L, adalah bahwa untuk setiap > 0 yang diberikan berapapun kecilya, terdapat δ > 0 yang berpadanan sedemikian hingga f() L < untuk setiap 0 < c < δ. Dengan menggunakan definisi it di atas dapat dibuktikan teorema-teorema pokok tentang it suatu fungsi sebagai berikut :. k k, jika k suatu konstanta. c. (a + b) ac b c +. k f() k f() c c 4. f () ± g() f () ± g() c c c 5. f ().g() f (). g() c c c 6. Hukum substitusi : Jika g() L dan f() f(l), maka f(g()) f(l) c c c 7. jika g() L dan L 0. c g() L c f() f() 8. c, jika g() 0. c g() g() c c 9. Teorema Apit : Misalkan f() g() h() pada setiap interval yang memuat c dan dipenuhi : f() h() L maka g() L. c c c 4

8 Bukti-bukti dari teorema-teorema it utama di atas adalah :. Buktikan k k. k c Bukti : Untuk setiap bilangan positip > 0 berapapun kecilnya akan didapat δ > 0 sedemikian untuk setiap pada c < δ dipenuhi k k <. Dari k k 0, maka berapapun nilai δ > 0 yang diambil yang menyebabkan c < δ akan berakibat k k <.. Buktikan (a + b) ac + b. c Bukti : Untuk membuktikan teorema ini, berarti jika diberikan suatu > 0 betapapun kecilnya, akan ditemukan δ > 0 sedemikian hingga 0 < c < δ (a + b) (ac + b) <. Sekarang dari (a + b) (ac +b) a ac a( ) a c. Kelihatan bahwa δ akan memenuhi persyaratan di atas. a Sehingga jika diberikan > 0 betapapun kecilnya dan dipilih δ maka a 0 < c < δ menunjukkan : (a + b) (ac b) a ac a( c) < a c < a a Dengan demikian terbuktilah teoremanya.. Buktikan : k f() k f() c c Bukti : Misalkan f() L c Misalkan diberikan > 0, kita harus mendapatkan δ > 0 sedemikian hingga 0 < c < δ berakibat f() L < (mengingat > 0 juga). k k Sekarang dengan telah ditetapkan δ, kita dapat menyatakan bahwa untuk setiap yang terletak 0 < c < δ berlaku : k f() kl k f() L < k. k Ini menunjukkan bahwa : k f() kl k f(). c c 5

9 4. Buktikan (f() + g()) f() + g() c c c Bukti : Andaikan f() L dan g() M. c c Jika sebarang bilangan positip yang diberikan, maka adalah positip. Karena f() L, maka terdapat suatu bilangan positip δ, sedemikian hingga: c 0 < c < δ f() L <. Karena g() M, c hingga : maka terdapat suatu bilangan positip δ sedemikian 0 < c < δ g() M <. Pilih δ min {δ, δ }, yaitu pilih δ sebagai yang terkecil diantara δ dan δ, maka 0 < c < δ menunjukkan (f() + g()) (L + M) (f() L) + (g() M) f() L + g() M < +. Jadi (f() + g()) L + M f() + g(). c c c Dengan jalan yang sama akan dapat dibuktikan bahwa : (f() - g()) L - M f() - g(). c c c 5. Buktikan : f().g() f(). g(). c c c Bukti : Misal f() L dan g() M. c c Jika diberikan sembarang > 0 maka > 0 dan > 0. ( L + ( M + ) Yang akan kita tunjukkan dengan pembuktian ini adalah jika diberikan > 0, kita harus mendapatkan bilangan δ > 0 sedemikian hingga untuk : 0 < a < δ berakibat f(). g() L. M <. Untuk : f(). g() L. M f(). g() L. g() + L. g() L. M g(). f() L + L g() M (). 6

10 Dari f() L, berarti terdapat δ > 0 sedemikian hingga jika 0 < c < δ c berakibat f() L < () ( M + ) Dan dari g() M, berarti terdapat δ > 0 sedemikian hingga jika 0 < c < δ berakibat g() L < (4). ( L + Selanjutnya terdapat bilangan ketiga δ > 0 sedemikian hingga jika 0 < c < δ berakibat g() M < yang berarti g() < M +.(5) Sekarang kita pilih δ bilangan terkecil dari ketiga bilangan positip δ, δ dan δ. Dan jika substitusi (), (4) dan (5) ke dalam (), akan diperoleh jika c < δ berakibat : f(). g() LM g(). f(0 L + L. g() M < ( M +. + L. ( M + ) ( L + ) < +. Kenyataan ini berarti terbukti bahwa : f(). g() L.M f(). g() c c c 6. Buktikan jika g() L dan f() f(l), maka f(g()) f(l). c L c Bukti : Misalkan diberikan > 0, kita harus mendapatkan suatu bilangan δ > 0 sedemikian hingga apabila 0 < a < δ berakibat f(g() f(l) <. Dari f(y) L, terdapat δ > 0 sedemikian hingga, untuk 0 < y L < δ akan y L berakibat f(y) f(l) <. (). Dan dari g() L, kita dapat memilih δ > 0 sedemikian hingga jika c 0 < c < δ berakibat g() L < δ atau y L < δ dimana y g(). Dari () dapat kita lihat bahwa : Jika 0 < c < δ berakibat f(g()) f(l) f(y) f(l) <. Kenyataan terakhir ini, menyajikan bukti tersebut. 7. Buktikan : Jika g() L dan L 0 maka. c c g() L Bukti : Misalkan diberikan > 0, kita akan menemukan δ > 0 sedemikian hingga, apabila dipenuhi 0 < c < δ berakibat <. g() L 7

11 Sekarang L g(). g() L L. g() Dari g() L maka h. g() L. c c L Dengan definisi it, jika diambil. akan diperoleh δ sedemikian hingga, japabila 0 < c < δ dipenuhi L. g() L < atau L - < L. g() < L + dan jika diambil L L L maka < L. g() <. Dari sini berarti L. g() positip, sehingga kita peroleh L > L.g() untuk 0 < c < δ. Selanjutnya : L g() L g() < L g() untuk 0 < - c < δ. L.g() L.g() L Terakhir diperoleh δ, sedemikian hingga untuk setiap yang memenuhi L 0 < c < δ berakibat L g() <. Jika diambil δ yang terkecil dari δ dan δ maka untuk setiap yang memenuhi : 0 < c < δ berakibat : L g() L < L g() <.. L.g() L L Ini menunjukkan bukti bahwa jika L 0. c f() L f() f() c 8. Buktikan : jika g() 0 c g() g() c Bukti : f() f(). c g() c f(). c f(). c f() c g() c g() c c g() f() c jika g() 0 c jika g() 0 c 8

12 9. Buktikan teorema apit, bahwa jika f() g() h() pada interval yang memuat c dan dipenuhi f() h() L maka g() L. c c c Bukti : Jika diberikan > 0, akan kita dapatkan δ > 0 dan δ > 0 sedemikian hingga : Jika 0 < c < δ berakibat f() L <, dan jika 0 < c < δ berakibat h() L. Dan jika kita pilih δ > 0 yang terkecil dari dua bilangan δ dan δ maka jika dipenuhi 0 < c < δ berakibat f() dan g() keduanya terletak pada interval terbuka (L -, L + ). Sehingga : L - < f() g() h() < L +. Jadi jika : 0 < c < δ berakibat g() L <. Ini menunjukkan bahwa teorema apit telah terbukti. Contoh. Hitung ( + 8) Jawab : Dengan menggunakan teorema substitusi ( + 8) Contoh. + Tentukan Jawab : Faktorkan dulu sebab jika disubstitusikan langsung diperoleh ( + 4)( ) ( + 4) karena - 4 maka pecahan dapat disederhana - kan. Contoh. Tentukan nilai Penyelesaian : 4 9

13 4 4 ( 4 ) ( + )( ) 4 ( + ) karen Cara ii, misalkan y y untuk 4 maka y, sehingga soal di atas menjadi 4 4 y 4 y y (y + )(y ) y (y ) + 4 Contoh 4 : + Tentukan nilai dari Penyelesaian : + ( + ) (. ( ) ( ( + ) () ( )( + + ( )( ) ) ). Pengertian Limit di Tak Hingga. 0

14 Perhatikan fungsi f(), 0 yang domainnya semua bilangan real yang tidak nol. Jika kita cari nilai-nilai fungsi dekat dengan 0. 0, 0,0 0,00 0, y f() 0-0,000-0,00-0,0-0, - besar sekali disebut tak hingga Apabila suatu bilangan baik positip maupun negatif yang sangat kecil maka nilai menjadi sangat besar, semakin dekat dengan nol, maka nilai menjadi semakin besar sekali, sehingga dikatakan ~. 0 Catatan : Simbol ~ dibaca tak hingga digunakan untuk melambangkan bilangan yang sangat besar yang tak dapat ditentukan besarnya, tetapi simbol ini tidak menunjuk suatu bilangan real yang manapun. Pengertian ketak hinggaan sebagaimana dipaparkan secara intuitif di atas secara formal didefinisikan sebagai berikut : Definisi : Fungsi f() mendekati tak hingga untuk c apabila untuk setiap bilangan positip M betapapun besarnya, adalah mungkin menemukan bilangan δ > 0

15 sedemikian hingga untuk setiap selain c jika dipenuhi c < δ akan berakibat f() > M dan ditulis f() ~. c y M yf() 0 X Contoh : Buktikan bahwa + ~ (- ) Bukti : Untuk membuktikan itu berarti untuk setiap M > 0 yang diberikan betapapun besarnya adalah mungkin menemukan δ > 0 sedemikian hingga untuk setiap yang memenuhi < δ akan diperoleh M. ( ) > Dari M. ( ) > berarti (- ) <. M Sehingga < Jika diambil δ ( ) < M ( ) < M M. ( ) >. M, berarti untuk setiap pada < M M akan dipenuhi

16 Dari pertidaksamaan terakhir ini menunjukkan bahwa + ~. (- ) Contoh. Tentukan Jawab : Secara intuitif jika dekat dengan maka akan mendekati 0, sehingga dapat difahami (secara intuitif) bila Dan jika ingin dibuktikan secara formal berarti untuk setiap bilangan M > 0 betapapun besarnya, adalah mungkin ditemukan δ > 0, sedemikian hingga untuk setiap pada < δ akan dipenuhi > M. Sedangkan it fungsi untuk yang bernilai besar dapat didefinisikan sebagai berikut : Definisi : Jika f() terdefinisi untuk yang bernilai besar, kita katakan bahwa f() mendekati L sebagai it untuk mendekati tak hingga, dan ditulis : f () L, bahwa apabila diberikan > 0 maka akan ditemukan suatu bilangan M sedemikian hingga dipenuhi f() L < apabila > M. Ilustrasi geometris dari pengertian di atas adalah sebagai berikut : Y yf() L+ L- yl O M X

17 Contoh. Pandanglah fungsi f() + Y sin Y + sin y + y y - X O Grafiknya beroskilasi terhadap garis y. Amplitudo dari oskilasinya semakin kecil menuju nol. Untuk, dan kurvanya terletak di antara y + dan y - jika > M Atau dengan kata lain : Jika besar, sin 0 dan f() L Contoh Tentukan ( + + ) Jawab : ~ 4

18 ( ~ + + ) ( ~ + ( + )( ) + ) ~ ~ ~ ( ) ( ) + + C. Limit Fungsi Trigonometri Misalkan dalam radian, dan 0 < < π, maka O r Gb.. B C A D BC r sin dan AD r tan. Untuk mencari luas sektor AOB Luas sektor AOB Luas seluruh lingkaran π Luas sektor AOB πr π Sehingga luas sektor AOB. πr r π Dari bangun di atas diperoleh : Luas AOB < luas juring AOB < luas AOD ½. OA. BC < ½ r < ½. OA. AD ½. r. r sin < ½ r < ½. r. r tan ½ r sin < ½ r < ½ r tan sin < < tan.. (i) Dari (i) diperoleh : < < sin cos 5

19 0 0 sin 0 cos 0 sin Jadi 0 sin Dari sini dapat dikembangkan : sin 0 0 sin Dan untuk tan sin 0 0.cos sin. 0 cos sin. 0 0 cos. Demikian juga dengan mudah dapat ditunjukkan bahwa 0 tan Kesimpulan :. sin 0. 0 sin. tan tan Contoh Hitunglah : sin sin a. b Penyelesaian : sin sin a sin sin b c. tan 0 sin 5 6

20 c. 0 tan sin tan 5 sin 5. 5 D. Limit Fungsi Eksponensial a. Bilangan e n n n(n ) n(n )(n ) n ~ n n ~ n n! n! n n n ~! n! n n 4! n n n n n !! 4! 5! Jika diambil sampai sepuluh tempat desimal diperoleh n +,78884 n ~ n Nilai it ini disebut bilangan e atau bilangan Euler (diambil nama sang penemu yaitu Leonard Euler matematikawan Austria ). Sehingga : n + e n ~ n Limit ini dapat dikembangkan untuk setiap R dipenuhi + ~ e Jika disubstitusikan u maka diperoleh rumus (+ ) 0 e Contoh tentukan + ~ + Jawab : + ~ + + ~. + 7

21 + ~ ~ e. ( + 0) e. Logaritma yang mengambil e sebagai bilangan pokok disebut logaritma naturalis atau logaritma Napier, dan ditulis dengan notasi ln, sehingga ln e log. Dari (+ ) 0 a 0 a 0 a e, log (+ ) log (+ ) maka a ln e ln a log e a log ( ) + 0 a log e log (+ ).. (i) 0 ln a Misalkan a log ( + ) y + a y a y Untuk 0, maka a y yang berarti y 0, sehingga persamaan (i) Sehingga : y y 0 a ln a a y y 0 y Atau secara umum : ln a a ln a 0 Jika disubstitusikan a dengan e e e ln e atau 0 0 e a e b Contoh : Tentukan 0 a b a e e e e Jawab : 0 0 b + 8

22 a b a e - 0 a b e e. a -. b 0 a b. a. b a b Latihan Tentukan nilai itnya. ( ) 4. (misal: y ) ( + + ~ + + ) ~ ~ ( n). + ~ n 9. + ( (n -). ~ n ~ n n ~ n n n n 9

23 Tentukan it U n dari barisan 0,, 0,, 0,, 0, 8. Tentukan it suku U n dari barisan 5. Hitung Tentukan it U n dari barisan 0, ; 0, ; 0, ; 0, Petunjuk : kuadratkan,,,, 9. Tentukan it suku U n dari barisan... 6, 6 6, 6 6 6, , Tentukan it U n dari barisan berikut 4 6 n,,,...,,... 5 n - sin. 0 tan 47. sin sin cos cotg 0 0 sin - sin a a cos 7. 0 sin + cos - sin 8. π cos -+ sin tan π 9. + sin - cos 40. π - tan 4 4. ~ e e a b -a e e b 0

24 4. 4. ~ ~ ~ (+ ) y 4 o f() E. Kontiunitas Perhatikan fungsi pada bilangan real f() 4 seperti pada grafik di samping. 0 Untuk diperoleh f() (tak tentu) 0 0 Gb..4 sehingga grafiknya terputus di dalam hal ini dikatakan f() diskontinu di. Sedangkan untuk interval { <, R} dan interval { >, R} grafiknya berkesinambungan, dalam hal ini dikatakan f() kontinu di. Secara formal suatu fungsi dikatakan kontinu di c, jika dipenuhi : a. f() ada c b. f(c) ada c. f () f (c) c Jika pada suatu fungsi f() diskontinu di c, maka dapat dibuat sedemikian hingga f() f(c), maka dikatakan diskontuinitas di c ini dapat dihapuskan. c Contoh : 8 Tentukan diskontuinitas fungsi pada bilangan real f(). 4 Jawab : fungsi rasional di atas akan diskontinu jika penyebutnya nol atau 4 0 ( + )( ) 0 - atau

25 Sehingga f() diskontinu di - atau. 8 ( - )( + + 4) Selanjutnya untuk 4 ( + )( ) 4 Diskontinu di dapat dihapuskan dengan menetapkan definisi f(). Selanjutnya untuk - diperoleh ( ) 8 6, sedangkan f(-) tidak terdefinisi. 0 ( ) 4 0 Sehingga diskontinu di - tidak dapat dihapuskan. Latihan Selidiki kontinuitas fungsi-fungsi berikut. f() + di -. f() 4 + di. f() + di - 4. f() di 6t 9 5. f() t di t 6. f() + 4 untuk untuk > di Di titik mana saja f() 0 diskontinu dan selidiki macam diskontinuitasnya. 8. Di titik mana saja f() diskontinu dan selidiki macam diskontinuitasnya. 9. Dengan grafik di titik mana saja (jika ada) fungsi ini diskontinu untuk < 0 f() untuk 0 untuk > 0. Tentukan a dan b agar fungsi : + untuk < - f() a untuk b + untuk > - kontinu di

BAHAN AJAR DIKLAT PENGEMBANG MATEMATIKA SMA JENJANG DASAR

BAHAN AJAR DIKLAT PENGEMBANG MATEMATIKA SMA JENJANG DASAR PPPPTK Matematika Kode Dok Revisi : F-PRO-00 : 0 BAHAN AJAR DIKLAT PENGEMBANG MATEMATIKA SMA JENJANG DASAR Oleh : Drs. Setiawan, M.Pd. DEPARTEMEN PENDIDIKAN NASIONAL DIREKTORAT PENINGKATAN MUTU PENDIDIK

Lebih terperinci

Pusat Pengembangan dan Pemberdayaan Pendidik dan Tenaga Kependidikan (PPPPTK) Matematika dalam melaksanakan tugas dan fungsinya mengacu pada tiga

Pusat Pengembangan dan Pemberdayaan Pendidik dan Tenaga Kependidikan (PPPPTK) Matematika dalam melaksanakan tugas dan fungsinya mengacu pada tiga PAKET FASILITASI PEMBERDAYAAN KKG/MGMP MATEMATIKA Pembelajaran Kalkulus SMA (Bagian I) Penulis: Drs. Setiawan, M.Pd. Penilai: Drs. Marsudi Raharjo, M.Sc.Ed. Editor: Hanan Windro Sasongko, S.Si. Ilustrator:

Lebih terperinci

DIKLAT GURU PENGEMBANG MATEMATIKA SMK JENJANG DASAR TAHUN

DIKLAT GURU PENGEMBANG MATEMATIKA SMK JENJANG DASAR TAHUN I TU URI HANDAY AN TW DIKLAT GURU PENGEMBANG MATEMATIKA SMK JENJANG DASAR TAHUN 009 Kalkulus Matriks GY A Y O M AT E M A T AK A R Setiawan, M.Pd. DEPARTEMEN PENDIDIKAN NASIONAL DIREKTORAT JENDERAL PENINGKATAN

Lebih terperinci

LIMIT DAN KEKONTINUAN

LIMIT DAN KEKONTINUAN LIMIT DAN KEKONTINUAN Departemen Matematika FMIPA IPB Bogor, 2012 (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 1 / 37 Topik Bahasan 1 Limit Fungsi 2 Hukum Limit 3 Kekontinuan Fungsi (Departemen

Lebih terperinci

TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS

TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS PREVIEW KALKULUS TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS Mahasiswa mampu: menyebutkan konsep-konsep utama dalam kalkulus dan contoh masalah-masalah yang memotivasi konsep tersebut; menjelaskan menyebutkan konsep-konsep

Lebih terperinci

KALKULUS 1 HADI SUTRISNO. Pendidikan Matematika STKIP PGRI Bangkalan. Hadi Sutrisno/P.Matematika/STKIP PGRI Bangkalan

KALKULUS 1 HADI SUTRISNO. Pendidikan Matematika STKIP PGRI Bangkalan. Hadi Sutrisno/P.Matematika/STKIP PGRI Bangkalan KALKULUS 1 HADI SUTRISNO 1 Pendidikan Matematika STKIP PGRI Bangkalan BAB I PENDAHULUAN A. Sistem Bilangan Real Untuk mempelajari kalkulus kita terlebih dahulu perlu memahami bahasan tentang sistem bilangan

Lebih terperinci

Fungsi dan Limit Fungsi 23. Contoh 5. lim. Buktikan, jika c > 0, maka

Fungsi dan Limit Fungsi 23. Contoh 5. lim. Buktikan, jika c > 0, maka Contoh 5 Buktikan jika c > 0 maka c c Analisis Pendahuluan Akan dicari bilangan δ > 0 sedemikian sehingga apabila c < ε untuk setiap ε > 0. 0 < c < δ berlaku Perhatikan: c ( c)( c) c c c c c c c Dapat

Lebih terperinci

Fungsi dan Limit Fungsi 23. Contoh 5. lim. Buktikan, jika c 0, maka

Fungsi dan Limit Fungsi 23. Contoh 5. lim. Buktikan, jika c 0, maka Contoh 5 Buktikan jika c 0 maka c c Analisis Pendahuluan Akan dicari bilangan 0 sedemikian sehingga apabila c untuk setiap 0. 0 c berlaku Perhatikan: c ( c)( c) c c c c Dapat dipilih c Bukti: c c c Ambil

Lebih terperinci

3 LIMIT DAN KEKONTINUAN

3 LIMIT DAN KEKONTINUAN Menurut Bartle dan Sherbet (994), Analisis matematika secara umum dipahami sebagai tubuh matematika yang dibangun oleh berbagai konsep limit. Pada bab sebelumnya kita telah mempelajari limit barisan, kekonvergenan

Lebih terperinci

3 LIMIT DAN KEKONTINUAN

3 LIMIT DAN KEKONTINUAN Menurut Bartle dan Sherbet (1994), Analisis matematika secara umum dipahami sebagai tubuh matematika yang dibangun oleh berbagai konsep limit. Pada bab sebelumnya kita telah mempelajari limit barisan,

Lebih terperinci

3 LIMIT DAN KEKONTINUAN

3 LIMIT DAN KEKONTINUAN Menurut Bartle dan Sherbet (1994), Analisis matematika secara umum dipahami sebagai tubuh matematika yang dibangun dari berbagai konsep limit. Pada bab sebelumnya kita telah mempelajari limit barisan,

Lebih terperinci

karena limit dari kiri = limit dari kanan

karena limit dari kiri = limit dari kanan A. DEFINISI LIMIT Istilah it dalam matematika hampir sama artinya dengan istilah mendekati. Akibatnya, nilai it sering dikatakan sebagai nilai pendekatan.. Pengertian Limit secara Intusi Untuk memahami

Lebih terperinci

MATEMATIKA SMK TEKNIK LIMIT FUNGSI : Limit Fungsi Limit Fungsi Aljabar Limit Fungsi Trigonometri

MATEMATIKA SMK TEKNIK LIMIT FUNGSI : Limit Fungsi Limit Fungsi Aljabar Limit Fungsi Trigonometri MATEMATIKA SMK TEKNIK LIMIT FUNGSI : Limit Fungsi Limit Fungsi Aljabar Limit Fungsi Trigonometri MATEMATIKA LIMIT FUNGSI SMK NEGERI 1 SURABAYA Halaman 1 BAB LIMIT FUNGSI A. Limit Fungsi Aljabar PENGERTIAN

Lebih terperinci

Tinjauan Mata Kuliah

Tinjauan Mata Kuliah i M Tinjauan Mata Kuliah ata kuliah Kalkulus 1 diperuntukkan bagi mahasiswa yang mempelajari matematika baik untuk mengajar bidang matematika di tingkat Sekolah Lanjutan Tingkat Pertama (SLTP), Sekolah

Lebih terperinci

integral = 2 . Setiap fungsi ini memiliki turunan ( ) = adalah ( ) = 6 2.

integral = 2 . Setiap fungsi ini memiliki turunan ( ) = adalah ( ) = 6 2. integral 13.1 PENGERTIAN INTEGRAL Untuk itu, coba tentukan turunan fungsi berikut. Perhatikan bahwa fungsi ini memiliki bentuk umum 6 2. Jadi, turunan fungsi = 2 =2 3. Setiap fungsi ini memiliki turunan

Lebih terperinci

SILABUS PENGALAMAN BELAJAR ALOKASI WAKTU

SILABUS PENGALAMAN BELAJAR ALOKASI WAKTU SILABUS Mata Pelajaran : Matematika Satuan Pendidikan : SMA Ungguan BPPT Darus Sholah Jember kelas : XII IPA Semester : Ganjil Jumlah Pertemuan : 44 x 35 menit (22 pertemuan) STANDAR 1. Menggunakan konsep

Lebih terperinci

-LIMIT- -KONTINUITAS- -BARISAN- Agustina Pradjaningsih, M.Si. Jurusan Matematika FMIPA UNEJ

-LIMIT- -KONTINUITAS- -BARISAN- Agustina Pradjaningsih, M.Si. Jurusan Matematika FMIPA UNEJ -LIMIT- -KONTINUITAS- -BARISAN- Agustina Pradjaningsih, M.Si. Jurusan Matematika FMIPA UNEJ agustina.mipa@unej.ac.id Konsep Limit Fungsi mendasari pembentukan kalkulus dierensial dan integral. Konsep ini

Lebih terperinci

FUNGSI dan LIMIT. 1.1 Fungsi dan Grafiknya

FUNGSI dan LIMIT. 1.1 Fungsi dan Grafiknya FUNGSI dan LIMIT 1.1 Fungsi dan Grafiknya Fungsi : suatu aturan yang menghubungkan setiap elemen suatu himpunan pertama (daerah asal) tepat kepada satu elemen himpunan kedua (daerah hasil) fungsi Daerah

Lebih terperinci

Turunan Fungsi. h asalkan limit ini ada.

Turunan Fungsi. h asalkan limit ini ada. Turunan Fungsi q Definisi Turunan Fungsi Misalkan fungsi f terdefinisi pada selang terbuka I yang memuat a. Turunan pertama fungsi f di =a ditulis f (a) didefinisikan dengan f ( a h) f ( a) f '( a) lim

Lebih terperinci

BAB I SISTEM BILANGAN REAL

BAB I SISTEM BILANGAN REAL BAB I SISTEM BILANGAN REAL A. Sistem Bilangan Real Sistem bilangan real sangat erat kaitannya dengan kalkulus. Sebagian dari kalkulus berdasar pada sifat-sifat sistem bilangan real, sehingga sistem bilangan

Lebih terperinci

LIMIT DAN KEKONTINUAN

LIMIT DAN KEKONTINUAN LIMIT DAN KEKONTINUAN Pengertian dan notasi dari it suatu fungsi, f() di suatu nilai = a diberikan secara intuitif berikut. Bila nilai f() mendekati L untuk nilai mendekati a dari arah kanan maka dikatakan

Lebih terperinci

Analisis Riil II: Diferensiasi

Analisis Riil II: Diferensiasi Definisi Turunan Definisi dan Teorema Aturan Rantai Fungsi Invers Definisi (Turunan) Misalkan I R sebuah interval, f : I R, dan c I. Bilangan riil L dikatakan turunan dari f di c jika diberikan sebarang

Lebih terperinci

Catatan Kuliah MA1123 Kalkulus Elementer I

Catatan Kuliah MA1123 Kalkulus Elementer I Catatan Kuliah MA1123 Kalkulus Elementer I Oleh Hendra Gunawan, Ph.D. Departemen Matematika ITB Sasaran Belajar Setelah mempelajari materi Kalkulus Elementer I, mahasiswa diharapkan memiliki (terutama):

Lebih terperinci

SRI REDJEKI KALKULUS I

SRI REDJEKI KALKULUS I SRI REDJEKI KALKULUS I KLASIFIKASI BILANGAN RIIL n Bilangan yang paling sederhana adalah bilangan asli : n 1, 2, 3, 4, 5,. n n Bilangan asli membentuk himpunan bagian dari klas himpunan bilangan yang lebih

Lebih terperinci

Kalkulus: Fungsi Satu Variabel Oleh: Prayudi Editor: Kartono Edisi Pertama Cetakan Pertama, 2006 Hak Cipta 2005 pada penulis, Hak Cipta dilindungi undang-undang. Dilarang memperbanyak atau memindahkan

Lebih terperinci

Kelompok Mata Kuliah : MKU Program Studi/Program : Teknik Tenaga Elektrik/S1 Status Mata Kuliah : Wajib Prasyarat : - : Aip Saripudin, M.T.

Kelompok Mata Kuliah : MKU Program Studi/Program : Teknik Tenaga Elektrik/S1 Status Mata Kuliah : Wajib Prasyarat : - : Aip Saripudin, M.T. DESKRIPSI MATA KULIAH TK-... Matematika Dasar: S1, 3 SKS, Semester I Mata kuliah ini merupakan kuliah dasar. Selesai mengikuti perkuliahan ini mahasiswa diharapkan mampu memahami konsep-konsep matematika

Lebih terperinci

LIMIT FUNGSI. A. Menentukan Limit Fungsi Aljabar A.1. Limit x a Contoh A.1: Contoh A.2 : 2 4)

LIMIT FUNGSI. A. Menentukan Limit Fungsi Aljabar A.1. Limit x a Contoh A.1: Contoh A.2 : 2 4) LIMIT FUNGSI A. Menentukan Limit Fungsi Aljabar A.. Limit a Contoh A.:. ( ) 3 Contoh A. : 4 ( )( ) ( ) 4 Latihan. Hitunglah nilai it fungsi-fungsi berikut ini. a. (3 ) b. ( 4) c. ( 4) d. 0 . Hitunglah

Lebih terperinci

Bil Riil. Bil Irasional. Bil Bulat - Bil Bulat 0 Bil Bulat + maka bentuk umum bilangan kompleks adalah

Bil Riil. Bil Irasional. Bil Bulat - Bil Bulat 0 Bil Bulat + maka bentuk umum bilangan kompleks adalah ANALISIS KOMPLEKS Pendahuluan Bil Kompleks Bil Riil Bil Imaginer (khayal) Bil Rasional Bil Irasional Bil Pecahan Bil Bulat Sistem Bilangan Kompleks Bil Bulat - Bil Bulat 0 Bil Bulat + Untuk maka bentuk

Lebih terperinci

KALKULUS BAB II FUNGSI, LIMIT, DAN KEKONTINUAN. DEPARTEMEN TEKNIK KIMIA Universitas Indonesia

KALKULUS BAB II FUNGSI, LIMIT, DAN KEKONTINUAN. DEPARTEMEN TEKNIK KIMIA Universitas Indonesia KALKULUS BAB II FUNGSI, LIMIT, DAN KEKONTINUAN DEPARTEMEN TEKNIK KIMIA Universitas Indonesia BAB II. FUNGSI, LIMIT, DAN KEKONTINUAN Fungsi dan Operasi pada Fungsi Beberapa Fungsi Khusus Limit dan Limit

Lebih terperinci

SATUAN ACARA PERKULIAHAN

SATUAN ACARA PERKULIAHAN SATUAN ACARA PERKULIAHAN 1. PROGRAM STUDI : Pendidikan Matematika 2. MATA KULIAH/KODE/SEMESTER : Kalkulus I 3. PRASYARAT : -- 4. JENJANG / SKS : S1/3 SKS 5. LOMPOK MATA KULIAH : MPK / MPB / MKK/ MKB/ MBB

Lebih terperinci

Rencana Pembelajaran

Rencana Pembelajaran Learning Outcome Rencana Pembelajaran Setelah mengikuti proses pembelajaran ini, diharapkan mahasiswa dapat ) Menentukan nilai turunan suatu fungsi di suatu titik ) Menentukan nilai koefisien fungsi sehingga

Lebih terperinci

Bagian 2 Matriks dan Determinan

Bagian 2 Matriks dan Determinan Bagian Matriks dan Determinan Materi mengenai fungsi, limit, dan kontinuitas akan kita pelajari dalam Bagian Fungsi dan Limit. Pada bagian Fungsi akan mempelajari tentang jenis-jenis fungsi dalam matematika

Lebih terperinci

Kelompok Mata Kuliah : MKU Program Studi/Program : Pendidikan Teknik Elektro/S1 Status Mata Kuliah : Wajib Prasyarat : - : Aip Saripudin, M.T.

Kelompok Mata Kuliah : MKU Program Studi/Program : Pendidikan Teknik Elektro/S1 Status Mata Kuliah : Wajib Prasyarat : - : Aip Saripudin, M.T. DESKRIPSI MATA KULIAH TK-301 Matematika: S1, 3 SKS, Semester I Mata kuliah ini merupakan kuliah dasar. Selesai mengikuti perkuliahan ini mahasiswa diharapkan mampu memahami konsep-konsep matematika dan

Lebih terperinci

BAB III LIMIT DAN KEKONTINUAN FUNGSI

BAB III LIMIT DAN KEKONTINUAN FUNGSI BAB III LIMIT DAN KEKONTINUAN FUNGSI Pembahasan pada bab ini dibagi dalam dua bagian. Pada bagian pertama dibahas it fungsi yang meliputi pengertian, sifat, dan penghitungan nilai it suatu fungsi. Pada

Lebih terperinci

Definisi 4.1 Fungsi f dikatakan kontinu di titik a (continuous at a) jika dan hanya jika ketiga syarat berikut dipenuhi: (1) f(a) ada,

Definisi 4.1 Fungsi f dikatakan kontinu di titik a (continuous at a) jika dan hanya jika ketiga syarat berikut dipenuhi: (1) f(a) ada, Lecture 4. Limit B A. Continuity Definisi 4.1 Fungsi f dikatakan kontinu di titik a (continuous at a) jika dan hanya jika ketiga syarat berikut dipenuhi: (1) f(a) ada, (2) lim f(x) ada, (3) lim f(x) =

Lebih terperinci

MA1201 KALKULUS 2A Do maths and you see the world

MA1201 KALKULUS 2A Do maths and you see the world Catatan Kuliah MA20 KALKULUS 2A Do maths and you see the world disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan STATISTIKA - FMIPA Institut Teknologi Bandung 203 Catatan kuliah ini ditulis

Lebih terperinci

1 Sistem Bilangan Real

1 Sistem Bilangan Real Learning Outcome Rencana Pembelajaran Setelah mengikuti proses pembelajaran ini, diharapkan mahasiswa dapat ) Menentukan solusi pertidaksamaan aljabar ) Menyelesaikan pertidaksamaan dengan nilai mutlak

Lebih terperinci

SATUAN ACARA PEMBELAJARAN (SAP)

SATUAN ACARA PEMBELAJARAN (SAP) SATUAN ACARA PEMBELAJARAN (SAP) Mata Kuliah Kode Mata Kuliah SKS Durasi Pertemuan Pertemuan ke : Kalkulus : TSP-102 : 3 (tiga) : 150 menit : 1 (Satu) A. Kompetensi: a. Umum : Mahasiswa dapat menggunakan

Lebih terperinci

BAB II LANDASAN TEORI

BAB II LANDASAN TEORI BAB II LANDASAN TEORI 2.1 Latar Belakang Historis Fondasi dari integral pertama kali dideklarasikan oleh Cavalieri, seorang ahli matematika berkebangsaan Italia pada tahun 1635. Cavalieri menemukan bahwa

Lebih terperinci

Bab 2 Fungsi Analitik

Bab 2 Fungsi Analitik Bab 2 Fungsi Analitik Bab 2 ini direncanakan akan disampaikan dalam 4 kali pertemuan, dengan perincian sebagai berikut: () Pertemuan I: Fungsi Kompleks dan Pemetaan. (2) Pertemuan II: Limit Fungsi, Kekontiuan,

Lebih terperinci

3 LIMIT DAN KEKONTINUAN

3 LIMIT DAN KEKONTINUAN Menurut Bartle dan Sherbet (1994), Analisis matematika secara umum dipahami sebagai tubuh matematika yang dibangun oleh berbagai konsep limit. Pada bab sebelumnya kita telah mempelajari limit barisan,

Lebih terperinci

Kompetensi Dasar Tujuan Pembelajaran

Kompetensi Dasar Tujuan Pembelajaran BAB 7 LIMIT FUNGSI Kompetensi Dasar Siswa dapat menjelaskan it fungsi di satu titik dan di tak hingga beserta teknis perhitungannya. Menggunakan sifat it fungsi untuk menghitung bentuk tak tentu fungsi

Lebih terperinci

44. Mata Pelajaran Matematika untuk Sekolah Menengah Atas (SMA)/ Madrasah Aliyah (MA)

44. Mata Pelajaran Matematika untuk Sekolah Menengah Atas (SMA)/ Madrasah Aliyah (MA) 44. Mata Pelajaran Matematika untuk Sekolah Menengah Atas (SMA)/ Madrasah Aliyah (MA) A. Latar Belakang Matematika merupakan ilmu universal yang mendasari perkembangan teknologi modern, mempunyai peran

Lebih terperinci

LIMIT KED. Perhatikan fungsi di bawah ini:

LIMIT KED. Perhatikan fungsi di bawah ini: LIMIT Perhatikan fungsi di bawah ini: f x = x2 1 x 1 Perhatikan gambar di samping, untuk nilai x = 1 nilai f x tidak ada. Tetapi jikakita coba dekati nilai x = 1 dari sebelah kiri dan kanan maka dapat

Lebih terperinci

RENCANA PEMBELAJARAN SEMESTER (RPS)

RENCANA PEMBELAJARAN SEMESTER (RPS) RENCANA PEMBELAJARAN SEMESTER (RPS) MUG1A4 KALKULUS 1 Disusun oleh: Jondri, M.Si. PROGRAM STUDI S1 TEKNIK INFORMATIKA FAKULTAS INFORMATIKA TELKOM UNIVERSITY LEMBAR PENGESAHAN Rencana Semester (RPS) ini

Lebih terperinci

SATUAN ACARA PERKULIAHAN PROGRAM KOMPETENSI GANDA DEPAG S1 KEDUA PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA

SATUAN ACARA PERKULIAHAN PROGRAM KOMPETENSI GANDA DEPAG S1 KEDUA PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA SATUAN ACARA PERKULIAHAN PROGRAM GANDA DEPAG S1 DUA PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA 1. PROGRAM STUDI : Pendidikan Matematika 2. MATA KULIAH/SEMESTER : Kalkulus/2 3. PRASYARAT : -- 4. JENJANG / SKS

Lebih terperinci

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship. Mata Kuliah : Kalkulus Kode : CIV 101. Limit Fungsi. Pertemuan - 2

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship. Mata Kuliah : Kalkulus Kode : CIV 101. Limit Fungsi. Pertemuan - 2 Respet, Proessionalism, & Entrepreneurship Mata Kuliah : Kalkulus Kode : CIV 101 SKS : 3 SKS Limit Fungsi Pertemuan - Respet, Proessionalism, & Entrepreneurship Kemampuan Akhir yang Diharapkan Mahasiswa

Lebih terperinci

FUNGSI KONTINU. sedemikian sehingga jika x adalah titik dari A (c), maka f (x) berada pada Vg (f (c)). (Lihat Gambar 5.1.1).

FUNGSI KONTINU. sedemikian sehingga jika x adalah titik dari A (c), maka f (x) berada pada Vg (f (c)). (Lihat Gambar 5.1.1). FUNGSI KONTINU 51 FUNGSI KONTINU 511 Definisi A R, f: A R, dan c A Kita mengatakan bahwa f kontinu di c jika, diberi persekitaran Vg (f (c)) dari f (c) terdapat persekitaran (c) dari c sedemikian sehingga

Lebih terperinci

09. Mata Pelajaran Matematika

09. Mata Pelajaran Matematika 09. Mata Pelajaran Matematika A. Latar Belakang Matematika merupakan ilmu universal yang mendasari perkembangan teknologi modern, mempunyai peran penting dalam berbagai disiplin dan mengembangkan daya

Lebih terperinci

SILABUS. tentu. Menentukan integral tentu dengan menggunakan sifat-sifat integral. Menyelesaikan masalah

SILABUS. tentu. Menentukan integral tentu dengan menggunakan sifat-sifat integral. Menyelesaikan masalah SILABUS Nama Sekolah : SMA PGRI 1 AMLAPURA Mata Pelajaran : MATEMATIKA Kelas/Program : XII / IPA Semester : 1 STANDAR KOMPETENSI: 1. Menggunakan konsep integral dalam pemecahan masalah. KOMPETENSI DASAR

Lebih terperinci

Bab 16. LIMIT dan TURUNAN. Motivasi. Limit Fungsi. Fungsi Turunan. Matematika SMK, Bab 16: Limit dan Turunan 1/35

Bab 16. LIMIT dan TURUNAN. Motivasi. Limit Fungsi. Fungsi Turunan. Matematika SMK, Bab 16: Limit dan Turunan 1/35 Bab 16 Grafik LIMIT dan TURUNAN Matematika SMK, Bab 16: Limit dan 1/35 Grafik Pada dasarnya, konsep limit dikembangkan untuk mengerjakan perhitungan matematis yang melibatkan: nilai sangat kecil; Matematika

Lebih terperinci

4 DIFERENSIAL. 4.1 Pengertian derivatif

4 DIFERENSIAL. 4.1 Pengertian derivatif Diferensial merupakan topik yang cukup 'baru' dalam matematika. Dimulai sekitar tahun 1630 an oleh Fermat ketika menghadapi masalah menentukan garis singgung kurva, dan juga masalah menentukan maksimum

Lebih terperinci

KALKULUS INTEGRAL 2013

KALKULUS INTEGRAL 2013 KALKULUS INTEGRAL 0 PENDAHULUAN A. DESKRIPSI MATA KULIAH Isi pokok mata kuliah ini memuat pemahaman tentang: () Anti turunan: pengertian anti turunan, teorema-teorema, dan teknik anti turunan, () Integral

Lebih terperinci

BAB 3 LIMIT DAN KEKONTINUAN FUNGSI

BAB 3 LIMIT DAN KEKONTINUAN FUNGSI Diktat Kuliah TK Matematika BAB LIMIT DAN KEKONTINUAN FUNGSI Limit Fungsi Pengantar Limit Tinjau fungsi yang didefinisikan oleh f ( ) Perhatikan bahwa fungsi ini tidak terdefinisi pada = karena memiliki

Lebih terperinci

19, 2. didefinisikan sebagai bilangan yang dapat ditulis dengan b

19, 2. didefinisikan sebagai bilangan yang dapat ditulis dengan b PENDAHULUAN. Sistem Bilangan Real Untuk mempelajari kalkulus perlu memaami baasan tentang system bilangan real karena kalkulus didasarkan pada system bilangan real dan sifatsifatnya. Sistem bilangan yang

Lebih terperinci

09. Mata Pelajaran Matematika

09. Mata Pelajaran Matematika 09. Mata Pelajaran Matematika A. Latar Belakang Matematika merupakan ilmu universal yang mendasari perkembangan teknologi modern, mempunyai peran penting dalam berbagai disiplin dan mengembangkan daya

Lebih terperinci

TEKNIK PENGINTEGRALAN

TEKNIK PENGINTEGRALAN TEKNIK PENGINTEGRALAN Departemen Matematika FMIPA IPB Bogor, 202 (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 202 / 2 Topik Bahasan Pendahuluan 2 Manipulasi Integran 3 Integral Parsial 4 Dekomposisi

Lebih terperinci

FUNGSI-FUNGSI INVERS

FUNGSI-FUNGSI INVERS FUNGSI-FUNGSI INVERS Logaritma, Eksponen, Trigonometri Invers Departemen Matematika FMIPA IPB Bogor, 202 (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 202 / 49 Topik Bahasan Fungsi Satu ke Satu 2

Lebih terperinci

BAGIAN KEDUA. Fungsi, Limit dan Kekontinuan, Turunan

BAGIAN KEDUA. Fungsi, Limit dan Kekontinuan, Turunan BAGIAN KEDUA Fungsi, Limit dan Kekontinuan, Turunan 51 52 Hendra Gunawan Pengantar Analisis Real 53 6. FUNGSI 6.1 Fungsi dan Grafiknya Konsep fungsi telah dipelajari oleh Gottfried Wilhelm von Leibniz

Lebih terperinci

Jika t = π, maka P setengah C P(x,y) jalan mengelilingi ligkaran, t y. P(-1,0). t = 3/2π, maka P(0,-1) t>2π, perlu lebih 1 putaran t<2π, maka = t

Jika t = π, maka P setengah C P(x,y) jalan mengelilingi ligkaran, t y. P(-1,0). t = 3/2π, maka P(0,-1) t>2π, perlu lebih 1 putaran t<2π, maka = t Fungsi Trigonometri Fungsi trigonometri berdasarkan lingkaran satuan (C), dengan jari-jari 1 dan pusat dititik asal. X 2 + y 2 = 1 Panjang busur AP = t Keliling C = 2π y Jika t = π, maka P setengah C P(,y)

Lebih terperinci

MA3231. Pengantar Analisis Real. Hendra Gunawan, Ph.D. Semester II, Tahun

MA3231. Pengantar Analisis Real. Hendra Gunawan, Ph.D. Semester II, Tahun MA3231 Pengantar Analisis Real Semester II, Tahun 2016-2017 Hendra Gunawan, Ph.D. Bab 7 Limit dan Kekontinuan 2 Isaac Newton (1643-1727) Isaac Newton adalah seorang fisikawan & matematikawan Inggris yang

Lebih terperinci

Fungsi F disebut anti turunan (integral tak tentu) dari fungsi f pada himpunan D jika. F (x) = f(x) dx dan f (x) dinamakan integran.

Fungsi F disebut anti turunan (integral tak tentu) dari fungsi f pada himpunan D jika. F (x) = f(x) dx dan f (x) dinamakan integran. 4 INTEGRAL Definisi 4. Fungsi F disebut anti turunan (integral tak tentu) dari fungsi f pada himpunan D jika untuk setiap D. F () f() Fungsi integral tak tentu f dinotasikan dengan f ( ) d dan f () dinamakan

Lebih terperinci

XIII. Cermat : Modul dan LKS Mst. Teknik Sm. 5 0

XIII. Cermat : Modul dan LKS Mst. Teknik Sm. 5 0 XIII Cermat : Modul dan LKS Mst. Teknik Sm. CERMAT Cerdas Matematika MODUL DAN LEMBAR KERJA SISWA (LKS) MATEMATIKA KELOMPOK TEKNOLOGI DAN INDUSTRI TINGKAT XII SEMESTER GASAL Disusun oleh : Dirwanto Nama

Lebih terperinci

ANALISIS REAL. (Semester I Tahun ) Hendra Gunawan. October 10, Dosen FMIPA - ITB

ANALISIS REAL. (Semester I Tahun ) Hendra Gunawan. October 10, Dosen FMIPA - ITB (Semester I Tahun 2011-2012) Dosen FMIPA - ITB E-mail: hgunawan@math.itb.ac.id. October 10, 2011 Pemahaman yang baik tentang fungsi kontinu merupakan hal yang penting dalam analisis. Dalam optimisasi,

Lebih terperinci

Asimtot.wordpress.com FUNGSI TRANSENDEN

Asimtot.wordpress.com FUNGSI TRANSENDEN FUNGSI TRANSENDEN 7.1 Fungsi Logaritma Asli 7.2 Fungsi-fungsi Balikan dan Turunannya 7.3 Fungsi-fungsi Eksponen Asli 7.4 Fungsi Eksponen dan Logaritma Umum 7.5 Pertumbuhan dan Peluruhan Eksponen 7.6 Persamaan

Lebih terperinci

Catatan Kuliah KALKULUS II BAB V. INTEGRAL

Catatan Kuliah KALKULUS II BAB V. INTEGRAL BAB V. INTEGRAL Anti-turunan dan Integral TakTentu Persamaan Diferensial Sederhana Notasi Sigma dan Luas Daerah di Bawah Kurva Integral Tentu Teorema Dasar Kalkulus Sifat-sifat Integral Tentu Lebih Lanjut

Lebih terperinci

BAB I DERIVATIF (TURUNAN)

BAB I DERIVATIF (TURUNAN) BAB I DERIVATIF (TURUNAN) Pada bab ini akan dipaparkan pengertian derivatif suatu fungsi, beberapa sifat aljabar derivatif, aturan rantai, dan derifativ fungsi invers. A. Pengertian Derivatif Pengertian

Lebih terperinci

BAB II TEOREMA NILAI RATA-RATA (TNR)

BAB II TEOREMA NILAI RATA-RATA (TNR) BAB II TEOREMA NILAI RATA-RATA (TNR) Teorema nilai rata-rata menghubungkan nilai suatu fungsi dengan nilai derivatifnya (turunannya), dimana TNR merupakan salah satu bagian penting dalam kuliah analisis

Lebih terperinci

asimtot.wordpress.com BAB I PENDAHULUAN

asimtot.wordpress.com BAB I PENDAHULUAN BAB I PENDAHULUAN. Latar Belakang Kalkulus Differensial dan Integral sangat luas penggunaannya dalam berbagai bidang seperti penentuan maksimum dan minimum. Suatu fungsi yang sering digunakan mahasiswa

Lebih terperinci

SEKOLAH MENENGAH KEJURUAN NEGERI 1 TEMON

SEKOLAH MENENGAH KEJURUAN NEGERI 1 TEMON TUGAS MANDIRI TIDAK TERSTUKTUR LIMIT DAN TURUNAN Disusun oleh : RADITYA AMARA BOJA 1037 SEKOLAH MENENGAH KEJURUAN NEGERI 1 TEMON 1 KULON PROGO OKTOBER 2015 Kata Pengantar Puji syukur saya panjatkan kepada

Lebih terperinci

4 DIFERENSIAL. 4.1 Pengertian derivatif

4 DIFERENSIAL. 4.1 Pengertian derivatif Diferensial merupakan topik yang cukup 'baru' dalam matematika. Dimulai sekitar tahun 1630 an oleh Fermat ketika menghadapi masalah menentukan garis singgung kurva, dan juga masalah menentukan maksimum

Lebih terperinci

LIMIT & KEKONTINUAN IRA PRASETYANINGRUM

LIMIT & KEKONTINUAN IRA PRASETYANINGRUM LIMIT & KEKONTINUAN IRA PRASETYANINGRUM Bilangan Tidak Tertentu Nol = Bilangan yang menyatakan banyaknya elemen himpunan kosong Misal : A={Orang yang Istrinya } Terdapat bilangan mendekati dari kiri/bawah/negati

Lebih terperinci

BAB III LIMIT DAN FUNGSI KONTINU

BAB III LIMIT DAN FUNGSI KONTINU BAB III LIMIT DAN FUNGSI KONTINU Konsep it mempnyai peranan yang sangat penting di dalam kalkls dan berbagai bidang matematika. Oleh karena it, konsep ini sangat perl ntk dipahami. Meskipn pada awalnya

Lebih terperinci

Turunan Fungsi. Penggunaan Konsep dan Aturan Turunan ; Penggunaan Turunan untuk Menentukan Karakteristik Suatu Fungsi

Turunan Fungsi. Penggunaan Konsep dan Aturan Turunan ; Penggunaan Turunan untuk Menentukan Karakteristik Suatu Fungsi 8 Penggunaan Konsep dan Aturan Turunan ; Penggunaan Turunan untuk Menentukan Karakteristik Suatu Fungsi ; Model Matematika dari Masala yang Berkaitan dengan ; Ekstrim Fungsi Model Matematika dari Masala

Lebih terperinci

Fungsi F disebut anti turunan (integral tak tentu) dari fungsi f pada himpunan D jika. F (x) = f(x) dx dan f (x) dinamakan integran.

Fungsi F disebut anti turunan (integral tak tentu) dari fungsi f pada himpunan D jika. F (x) = f(x) dx dan f (x) dinamakan integran. 4 INTEGRAL Definisi 4.0. Fungsi F disebut anti turunan (integral tak tentu) dari fungsi f pada himpunan D jika untuk setiap D. F () f() Fungsi integral tak tentu f dinotasikan dengan f ( ) d dan f () dinamakan

Lebih terperinci

Zulfaneti Yulia Haryono Rina F ebriana. Berbasis Penemuan Terbimbing = = D(sec x)= sec x tan x, ( + ) ( ) ( )=

Zulfaneti Yulia Haryono Rina F ebriana. Berbasis Penemuan Terbimbing = = D(sec x)= sec x tan x, ( + ) ( ) ( )= Zulfaneti Yulia Haryono Rina F ebriana Berbasis Penemuan Terbimbing = = D(sec x)= sec x tan x, ()= (+) () Penyusun Zulfaneti Yulia Haryono Rina Febriana Nama NIm : : Untuk ilmu yang bermanfaat Untuk Harapan

Lebih terperinci

Turunan Fungsi dan Aplikasinya

Turunan Fungsi dan Aplikasinya Bab 8 Sumber: www.duniacyber.com Turunan Fungsi dan Aplikasinya Setelah mempelajari bab ini, Anda harus mampu menggunakan konsep, sifat, dan aturan dalam perhitungan turunan fungsi; menggunakan turunan

Lebih terperinci

BAGIAN PERTAMA. Bilangan Real, Barisan, Deret

BAGIAN PERTAMA. Bilangan Real, Barisan, Deret BAGIAN PERTAMA Bilangan Real, Barisan, Deret 2 Hendra Gunawan Pengantar Analisis Real 3 0. BILANGAN REAL 0. Bilangan Real sebagai Bentuk Desimal Dalam buku ini pembaca diasumsikan telah mengenal dengan

Lebih terperinci

TURUNAN DALAM RUANG DIMENSI-n

TURUNAN DALAM RUANG DIMENSI-n TURUNAN DALAM RUANG DIMENSI-n A. Fungsi Dua Variabel atau Lebih Dalam subbab ini, fungsi dua variabel atau lebih dikaji dari tiga sudut pandang: secara verbal (melalui uraian dalam kata-kata) secara aljabar

Lebih terperinci

Ringkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB 1

Ringkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB 1 Ringkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB Deret Tak Hingga Pada bagian ini akan dibicarakan penjumlahan berbentuk a +a 2 + +a n + dengan a n R Sebelumnya akan dibahas terlebih dahulu pengertian barisan

Lebih terperinci

KALKULUS 1 UNTUK MAHASISWA CALON GURU MATEMATIKA OLEH: DADANG JUANDI, DKK PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FPMIPA UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA

KALKULUS 1 UNTUK MAHASISWA CALON GURU MATEMATIKA OLEH: DADANG JUANDI, DKK PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FPMIPA UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA KALKULUS UNTUK MAHASISWA 9 CALON GURU MATEMATIKA OLEH: DADANG JUANDI, DKK PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FPMIPA UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA BAB I PENDAHULUAN. Sistem Bilangan Real Dalam Uraian

Lebih terperinci

BUKU DIKTAT ANALISA VARIABEL KOMPLEKS. OLEH : DWI IVAYANA SARI, M.Pd

BUKU DIKTAT ANALISA VARIABEL KOMPLEKS. OLEH : DWI IVAYANA SARI, M.Pd BUKU DIKTAT ANALISA VARIABEL KOMPLEKS OLEH : DWI IVAYANA SARI, M.Pd i DAFTAR ISI BAB I. BILANGAN KOMPLEKS... 1 I. Bilangan Kompleks dan Operasinya... 1 II. Operasi Hitung Pada Bilangan Kompleks... 1 III.

Lebih terperinci

MODUL 1. Teori Bilangan MATERI PENYEGARAN KALKULUS

MODUL 1. Teori Bilangan MATERI PENYEGARAN KALKULUS MODUL 1 Teori Bilangan Bilangan merupakan sebuah alat bantu untuk menghitung, sehingga pengetahuan tentang bilangan, mutlak diperlukan. Pada modul pertama ini akan dibahas mengenai bilangan (terutama bilangan

Lebih terperinci

PENGANTAR ANALISIS REAL

PENGANTAR ANALISIS REAL Seri Analisis dan Geometri No. 1 (2009), -15 158 (173 hlm.) PENGANTAR ANALISIS REAL Oleh Hendra Gunawan Edisi Pertama Bandung, Januari 2009 2000 Dewey Classification: 515-xx. Kata Kunci: Analisis matematika,

Lebih terperinci

SILABUS ALOKASI WAKTU TM PS PI SUMBER BELAJAR KOMPETENSI DASAR INDIKATOR MATERI PEMBELAJARAN KEGIATAN PEMBELAJARAN PENILAIAN

SILABUS ALOKASI WAKTU TM PS PI SUMBER BELAJAR KOMPETENSI DASAR INDIKATOR MATERI PEMBELAJARAN KEGIATAN PEMBELAJARAN PENILAIAN SILABUS KELAS / SEMESTER : X / 1 STANDAR : Memecahkan masalah berkaitan dengan konsep operasi bilangan riil KODE : D.20 : 40 x 45 menit 1. Menerapkan operasi pada bilangan riil PEMAN KEGIATAN PEMAN Mengoperasikan

Lebih terperinci

11. FUNGSI MONOTON (DAN FUNGSI KONVEKS)

11. FUNGSI MONOTON (DAN FUNGSI KONVEKS) 11. FUNGSI MONOTON (DAN FUNGSI KONVEKS) 11.1 Definisi dan Limit Fungsi Monoton Misalkan f terdefinisi pada suatu himpunan H. Kita katakan bahwa f naik pada H apabila untuk setiap x, y H dengan x < y berlaku

Lebih terperinci

BAB I DERIVATIF (TURUNAN)

BAB I DERIVATIF (TURUNAN) BAB I DERIVATIF (TURUNAN) Pada bab ini akan dipaparkan pengertian derivatif suatu fungsi, beberapa sifat aljabar derivatif, aturan rantai, dan derifativ fungsi invers. A. Pengertian Derivatif Pengertian

Lebih terperinci

Modul 1 : Barisan dan Deret Takhingga. Kegiatan Belajar 1 : Barisan Takhingga. Kegiatan Belajar 2 : Deret Takhingga.

Modul 1 : Barisan dan Deret Takhingga. Kegiatan Belajar 1 : Barisan Takhingga. Kegiatan Belajar 2 : Deret Takhingga. ix M Tinjauan Mata Kuliah ata kuliah Kalkulus 2 yang disajikan pada bahan ajar ini membahas materi tentang barisan, deret, dan integral. Pembahasan barisan dan deret hanya sekitar 11 persen dari dari keseluruhan

Lebih terperinci

SILABUS. Menyimak pemahaman tentang bentuk pangkat, akar dan logaritma beserta keterkaitannya

SILABUS. Menyimak pemahaman tentang bentuk pangkat, akar dan logaritma beserta keterkaitannya SILABUS Nama Sekolah : SMA Mata Pelajaran : MATEMATIKA Kelas/Program : X Semester : 1 STANDAR KOMPETENSI: 1. Memecahkan masalah yang berkaitan dengan bentuk pangkat, akar, dan logaritma. KOMPETENSI DASAR

Lebih terperinci

BAB I LIMIT-LIMIT Limit-limit Fungsi

BAB I LIMIT-LIMIT Limit-limit Fungsi .. Limit-it Fungsi BAB I LIMIT-LIMIT... Definisi. Misalkan A R. Suatu titik c R adalah titik cluster dari A jika setiap lingkungan-δ dari c, V δ (c) = (c-δ,c+δ), memuat paling sedikit satu titik dari A

Lebih terperinci

Bilangan Kompleks. Anwar Mutaqin. Program Studi Pendidikan Matematika UNTIRTA

Bilangan Kompleks. Anwar Mutaqin. Program Studi Pendidikan Matematika UNTIRTA Bilangan Kompleks Anwar Mutaqin Program Studi Pendidikan Matematika UNTIRTA DAFTAR ISI 1 BILANGAN KOMPLEKS 1 1.1 Eksistensi Bilangan Kompleks.................... 1 1.2 Operasi Aritmatika..........................

Lebih terperinci

Catatan Kuliah MA1123 KALKULUS ELEMENTER I BAB III. TURUNAN

Catatan Kuliah MA1123 KALKULUS ELEMENTER I BAB III. TURUNAN BAB III. TURUNAN Kecepatan Sesaat dan Gradien Garis Singgung Turunan dan Hubungannya dengan Kekontinuan Aturan Dasar Turunan Notasi Leibniz dan Turunan Tingkat Tinggi Penurunan Implisit Laju yang Berkaitan

Lebih terperinci

DURASI PEMELAJARAN KURIKULUM SMK EDISI 2004

DURASI PEMELAJARAN KURIKULUM SMK EDISI 2004 DESKRIPSI PEMELAJARAN MATA DIKLAT TUJUAN : MATEMATIKA : Melatih berfikir dan bernalar secara logis dan kritis serta mengembangkan aktifitas kreatif dalam memecahkan masalah dan mengkomunikasikan ide/gagasan

Lebih terperinci

MA3231 Analisis Real

MA3231 Analisis Real MA3231 Analisis Real Hendra Gunawan* *http://hgunawan82.wordpress.com Analysis and Geometry Group Bandung Institute of Technology Bandung, INDONESIA Program Studi S1 Matematika ITB, Semester II 2016/2017

Lebih terperinci

SILABUS MATAKULIAH. Revisi : 2 Tanggal Berlaku : September Indikator Pokok Bahasan/Materi Strategi Pembelajaran

SILABUS MATAKULIAH. Revisi : 2 Tanggal Berlaku : September Indikator Pokok Bahasan/Materi Strategi Pembelajaran SILABUS MATAKULIAH Revisi : 2 Tanggal Berlaku : September 2014 A. Identitas 1. Nama Matakuliah : A11. 54101 / Kalkulus I 2. Program Studi : Teknik Informatika-S1 3. Fakultas : Ilmu Komputer 4. Bobot sks

Lebih terperinci

Ringkasan Materi Kuliah Bab II FUNGSI

Ringkasan Materi Kuliah Bab II FUNGSI Ringkasan Materi Kuliah Bab II FUNGSI. FUNGSI REAL, FUNGSI ALJABAR, DAN FUNGSI TRIGONOMETRI. TOPIK-TOPIK YANG BERKAITAN DENGAN FUNGSI.3 FUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI INVERS. FUNGSI REAL, FUNGSI ALJABAR,

Lebih terperinci

SILABUS PEMBELAJARAN

SILABUS PEMBELAJARAN SILABUS PEMBELAJARAN Nama Sekolah : Mata Pelajaran : MATEMATIKA Kelas / Program : XI / IPA Semester : GENAP STANDAR KOMPETENSI: 4 Menggunakan aturan dalam penyelesaian masalah Kompetensi Dasar Materi Ajar

Lebih terperinci

Fungsi, Persamaaan, Pertidaksamaan

Fungsi, Persamaaan, Pertidaksamaan Fungsi, Persamaaan, Pertidaksamaan Disampaikan pada Diklat Instruktur/Pengembang Matematika SMA Jenjang Dasar Tanggal 6 s.d. 9 Agustus 004 di PPPG Matematika Oleh: Drs. Markaban, M.Si. Widyaiswara PPPG

Lebih terperinci

Seri : Modul Diskusi Fakultas Ilmu Komputer. FAKULTAS ILMU KOMPUTER Sistem Komputer & Sistem Informasi HANDOUT : KALKULUS DASAR

Seri : Modul Diskusi Fakultas Ilmu Komputer. FAKULTAS ILMU KOMPUTER Sistem Komputer & Sistem Informasi HANDOUT : KALKULUS DASAR Seri : Modul Diskusi Fakultas Ilmu Komputer FAKULTAS ILMU KOMPUTER Sistem Komputer & Sistem Informasi HANDOUT : KALKULUS DASAR Ole : Tony Hartono Bagio 00 KALKULUS DASAR Tony Hartono Bagio KATA PENGANTAR

Lebih terperinci

SISTEM BILANGAN REAL

SISTEM BILANGAN REAL DAFTAR ISI 1 SISTEM BILANGAN REAL 1 1.1 Sifat Aljabar Bilangan Real..................... 1 1.2 Sifat Urutan Bilangan Real..................... 6 1.3 Nilai Mutlak dan Jarak Pada Bilangan Real............

Lebih terperinci