Analisis Vektor dan Fasor

Transkripsi

1 Mol #0 EE83 ELEKTROMGNETIK I nalisis Vekto an Faso Pogam ti 1 Teknik Telekomnikasi Jsan Teknik Elekto - ekola Tinggi Teknologi Telkom anng 006 Otline Penalan ljaba kala ljaba Vekto istem Kooinat Tansfomasi Kooinat Jaak ntaa Titik Integasi an Difeensiasi Vekto Gaien, Diegensi, an Cl EE83 - Elektomagnetika I - nalisis Vekto an Faso

2 . ebagai Teminologi Keteampilan alam me mbaca ekto an faso sangat ipelkan alam elektomagnetika. nalisa ekto aala tool matematika ang sangat penting ikasai alam klia ini. Hal ini isebabkan besaan-besaan alam Mean Elektomagnetik tetama aala besaan-besaan ekto. Definisi ekto an skala, Vekto esaan fisis ang as inatakan alam magnito (besa) an aa Conto : mean, gaa, kecepatan mobil, angin pecepatan, sb kala esaan fisis ang ckp ana inatakan alam magnito (besa) saja Conto : tempeat, massa, kelembaban, massa, panjang, beat jenis, esistiitas, sb EE83 - Elektomagnetika I - nalisis Vekto an Faso 3 ebagai Teminologi Mean Mean secaa efinitif beati aea penga. ecaa lebi las, mean kemian menjai besaan fisis an mepakan aea penga besaan fisis. Diliat ai penebabna, ekto ata skala, maka mean ibagi menjai ( a ), ait : Mean skala, aea penga besaan skala Mean ekto, aea penga besaan ekto Notasi Vekto Faso Magnite (besa) ekto ata θ pengganti, cos(tθ) j( ωt θ) ata, e EE83 - Elektomagnetika I - nalisis Vekto an Faso 4

3 . ljaba kala kala aa macam : a. kala biasa, Dinatakan engan bilangan iil b. kala kompleks, ata FOR Memelkan angka iil sebagai bagian iil an kaal. iasa jga inatakan alam amplita an st. Faso mepakan bentk pengganti ai bentk sinsoial. entk skala kompleks a macam bentk : entk ectangla entk pola a jb imana, j 1 e j( ) EE83 - Elektomagnetika I - nalisis Vekto an Faso 5 ljaba kala Opeasi-Opeasi ilangan Kompleks Misal iketai alam, Rectangla Pola Penjmlaan an pengangan Pangkat an aka pangkat a jb an c j j j e an e Rectangla, (a jb) (c j) (ac) j(b) - (a jb) - (c j) (a-c) j(b-) Pola Uba l ke bentk ectangla, opeasikan spt iatas, kembalikan lagi ke bentk pola Pola n n n e jn EE83 - Elektomagnetika I - nalisis Vekto an Faso 6 j n n n n e n Rectangla Lebi baik iba alam bentk pola l

4 ljaba kala Pekalian Pembagian Ientitas Ele Rectangla Uba l kebentk pola, opeasikan spt ibaa, kembalikan lagi kebentk ectangla Pola j j. e. e (. ± jm e cos(m) 13 ± jsin(m) 13 ( Re e e j( ) EE83 - Elektomagnetika I - nalisis Vekto an Faso 7 j j ) ) e e j( ) ± Real Imajine Im e jm ± sin( m Integasi an ifeensiasi fngsi sinsoial (...) 1 jω(...) an (...)t (...) t jω [ e ] ± jm cos( m) [ ] ) C. ljaba Vekto ljaba ekto aala opeasi-opeasi matematis ang ilakkan paa besaan ekto. Dalam al ini pel iketai kaia-kaia ang belak alam aljaba ekto. Repesentasi Vekto (ana pana) Notasi Vekto Dalam Kooinat imana, D D D D aˆ, aˆ, anaˆ Vekto atan Misal : aˆ Panjang anak pana meakili magnito ekto a anak pana meakili aa ekto maka, aala ekto satan masing masing smb kooinat aala ekto bemagnito sat engan aa sesai aa ekto EE83 - Elektomagnetika I - nalisis Vekto an Faso 8

5 ljaba Vekto Lanjtan.(ekto satan). jika Opeasi ekto Penjmlaan ekto, maka ifat-sifat ang imiliki penjmlaan ekto aala : ( ) ( ) ( C) ( ) C a. Memeni Hkm Komtatif b. Memeni Hkm sosiatif Penjmlaan ekto beati penjmlaan komponen-komponen ekto Tana mins (-) paa ekto beati besana sama, aa belaanan EE83 - Elektomagnetika I - nalisis Vekto an Faso 9 ljaba Vekto Pekalian Dengan kala m m m ( ) m m EE83 - Elektomagnetika I - nalisis Vekto an Faso 10

6 ljaba Vekto cala poct cosα a. Memeni km komtatif ( C) ( ) ( C) b. Memeni km istibsi α cosα cosα α Vecto (coss) poct of to ectos C sinα C c c c Dengan, ala ekto satan beaa sesai ekto C, an tegakls teaap ekto an ekto α a ekto C sesai engan aa sekp ang ipta ai ekto ke ekto EE83 - Elektomagnetika I - nalisis Vekto an Faso 11 ljaba Vekto Vecto (coss) poct of to ectos (lanjtan ) Jika an Maka, C - C ( - ) - ( ) ( ) Paa coss poct tiak belak km komtatif, jika : C maka ( ) C EE83 - Elektomagnetika I - nalisis Vekto an Faso 1

7 ljaba Vekto Hbngan ang seing ignakan alam maniplasi... a ( a a b) 0 a b c b a c c a b ( b c) c ( a b) b ( c a) ( ) ( ) ( ) EE83 - Elektomagnetika I - nalisis Vekto an Faso 13 ljaba Vekto ebagai Ientitas Vekto ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( C) ( C) ( )C ( ) C) ( C) (C ) ( ) (V) V V ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (V) V V ( V W) V W V V 0 V 0 EE83 - Elektomagnetika I - nalisis Vekto an Faso 14

8 D. istem Kooinat Posisi titik P alam sat sistem kooinat 3 imensi inatakan sebagai : P(,, ) Notasi ekto D alam kooinat 3 imensi inatakan : D D aˆ Daˆ Daˆ 3 macam sistem kooinat ang ipekenalkan : Kooinat Katesian Kooinat Tabng ( ilinis ) Kooinat ola ( peis ) a a a a ρ 1 P 1 a ρ θ P a a a θ a 1 EE83 - Elektomagnetika I - nalisis Vekto an Faso 15 istem Kooinat a oientasi... a a a a ρ 1 P 1 a ρ θ P a a a θ a 1 EE83 - Elektomagnetika I - nalisis Vekto an Faso 16

9 EE83 - Elektomagnetika I - nalisis Vekto an Faso 17 istem Kooinat Vaiabel Fakto skala istem kooinat Katesian ilinis ρ 1 ρ 1 peis θ 1 sinθ Panjang sisi olme ifeensial L ; L ; L Vekto lintasan ifeensial L ; Las sisi ifeensial ; ; Vekto nomal las ifeensial ; ; Volme ifeensial V EE83 - Elektomagnetika I - nalisis Vekto an Faso 18 istem Kooinat Gaien ai skala G G 1 G 1 G 1 G Diegensi ai sat ekto D ( ) ( ) ( ) D D D 1 D Laplacian ai sat skala G G G G 1 G G Kl (psaan) ai ekto D D D D D

10 istem Kooinat Repesentasi elemen olme alam gamba a a a ρ ρ ρ ρρ θθ θ θ sinθ EE83 - Elektomagnetika I - nalisis Vekto an Faso 19 E. Tansfomasi Kooinat Kooinat ilinis Kooinat Katesian Tansfomasi Vaiabel Tabel 1 Tabel ilinis Katesian ρcos (,,) ( ρ,,) Katesian ilinis ρsin Dot Poct Vekto atan ρ cos sin EE83 - Elektomagnetika I - nalisis Vekto an Faso 0 ρ tan 1 sin 0 cos

11 Tansfomasi Kooinat Tansfomasi Vekto (,,) ( ρ,,) (,,) (,,) (,,) (,,) ( ρ,, ) ρ ( ρ,,) ρ ( ρ,,) EE83 - Elektomagnetika I - nalisis Vekto an Faso 1 Langka 1, Uba komponen!! Liat tabel an ms ibaa (,,) ( ρ,,) ( ρ,,) (,,) ρ (,,) ρ ( ρ,,) (,,) ( ρ,, ) (,,) ( ρ,,) Langka, Uba aiabel!! Liat tabel 1 ( ρ,,) Tansfomasi Kooinat Conto : Mencai ρ ρ ρ 11cos Kooinat ilinis Kooinat Katesian... ( ) (,,) ( ) (,,) ( ) (,,) ρ 1443 cos ρ 1443 sin o ( ) sin ρ 1443 o ρ 11cos90 ρ 11cos o 90 ρ ρ Dengan caa ang sama akan apat icai komponen ekto ang lain, sbb : ρ cos sin sin cos ρ ρ cos cos sin cos Liat Liatbaa baakomponen ekto ektotegantng paa paa posisi posisiangla!! EE83 - Elektomagnetika I - nalisis Vekto an Faso

12 Tansfomasi Kooinat Kooinat peis Kooinat Katesian Tansfomasi Vaiabel Tabel 1 Tabel (,,) (, θ, ) 0 an 0 θ π peis Katesian Katesian peis sinθ cos sinθ sin 1 θ cos cos θ 1 tan Dot Poct Vekto atan θ EE83 - Elektomagnetika I - nalisis Vekto an Faso 3 sinθ cos cos θ cos sin sin θ sin cos θ sin cos cos θ sinθ 0 Tansfomasi Kooinat Tansfomasi Vekto Kooinat (,,) (, peis Kooinat Katesian... θ, ) (,,) (,,) (,,) (, θ, ) (, θ, ) θ EE83 - Elektomagnetika I - nalisis Vekto an Faso 4 (, θ, ) θ (,,) Langka 1, Uba komponen!! Liat tabel an ms ibaa (,,) ( ρ,,) (, θ, ) (,,) (,,) (, θ, ) θ (,,) θ (, θ, ) (,,) (, θ, ) Langka, Uba aiabel!! Liat tabel 1 (, θ, )

13 Tansfomasi Kooinat Conto : Mencai θ Kooinat peis Kooinat Katesian... sinθcos sinθsin cosθ sinθ cosθsin cos EE83 - Elektomagnetika I - nalisis Vekto an Faso 5 sinθsin cosθ Dengan caa ang sama akan apat icai komponen ekto ang lain, sbb : sinθcos sinθsin cosθ sinθcos cosθcos sin θ (,,)( ) (,,)( ) (,,)( ) θ cosθcos ( ) o 90 - sin 1443 sinθcos θ poeksikan ekto satan a paa biang -, lal poeksikan sekali lagi paa ekto satan a (ata smb-) cos cosθsin 1443 sinθsin cosθ ( ) 1443 θ cosθ Dapatkan pengetian baa notasi ot ot aala poeksi!!!!!! θ θ F. Jaak ntaa Da Titik Jaak antaa titik P an Q aala magnito ai pebeaan ekto P an Q P p p p Q q aˆ q aˆ q aˆ PQ Jaak antaa P an Q : ( q p ) ( q p ) ( q p ) D PQ ( q p ) ( q p ) ( q p ) EE83 - Elektomagnetika I - nalisis Vekto an Faso 6

14 G. Integasi an Difeensiasi Vekto Integal Gais Konsep mengenai integal gais apat iliat kembali paa klia Matematika Teknik ata Kalkls (l i ) a l i conto c b b Untk kala, Paa ka /conto c paa gamba i samping, ka ipotong-potong alam sejmla N elemen panjang l i b N (l)l lim li 0 a N i 1 (l ) l i i a c l i Dapat ibaangkan baa integasi isamping beati aala las aea i baa conto c EE83 - Elektomagnetika I - nalisis Vekto an Faso 7 Integasi an Difeensiasi Vekto Untk Vekto, b a l lim l li 0 N N i 1 i ab Integal gais komponen ekto tangensial teaap conto C (,,) t(,, )l EE83 - Elektomagnetika I - nalisis Vekto an Faso 8

15 Integasi an Difeensiasi Vekto l Integal gais seing ijmpai alam pesoalan elektomagnetika. ebagai conto : W b a F l b a Fcosθl Enegi mean iefinisikan sebagai integal gais ai gaa-gaa ang ieita sepanjang conto l aala ekto gais singgng teaap conto aik F an l tegantng paa posisina EE83 - Elektomagnetika I - nalisis Vekto an Faso 9 Integasi an Difeensiasi Vekto Integal Las Untk skala, Las 1 1 Untk Vekto, Komponen ekto ang menembs sat pemkaan/ biang (flks) apat inatakan : flks F F cosα 1 1 Total flks ang menembs sat biang apat inatakan : flkstotal F Ingat, selal tegakls teaap pemkaan!! EE83 - Elektomagnetika I - nalisis Vekto an Faso 30

16 H. Gaien, Diegensi, an Cl Gaien Gaien ai sat mean skala aala sat ekto ang magnitona mennjkkan pebaan maksimm mean an aana mennjkkan aa ai peningkatan tecepat mean skala tesebt mbe pi X Ilstasi... aala mean skala f (jaak t smbe) Jika tek s paa sat titik X, maka gaien teaap s i X aala ekto, an bkan ekto EE83 - Elektomagnetika I - nalisis Vekto an Faso 31 Gaien, Diegensi, an Cl Gaien... Jika aala sat fngsi skala, maka iefinisikan : Gaien Ga seingga, imana, EE83 - Elektomagnetika I - nalisis Vekto an Faso 3 opeato Del ( ntk kooinat katesian ) Dalam mean elektomagnetika, fngsi skalana biasana aala potensial listik ( V ). Jika iganti V, maka : V E ( ntk mean statis ) ata, E V aa aagaien teaap potensial mengasilkan ekto ang ang beaa menj potensial ang ang lebi lebibesa (( menj keaa smbe it itsenii )) Gaien... ilstasi.

17 Gaien, Diegensi, an Cl V1 V V V 3 V 4 E Liat gamba i samping! a gaien teaap potensial mengasilkan ekto ang beaa menj keaa potensial ang lebi besa menj keaa smbe it senii V > 1 > V > V3 V4 Jika smbe it aala PI, maka gaien teaap UHU akan mengaa kepaa s ang lebi besa, ait api it senii. Jika misalkan s beba teaap, maka komponen gaien teaap aa,..st. EE83 - Elektomagnetika I - nalisis Vekto an Faso 33 Gaien, Diegensi, an Cl Conto : Misalkan, maka, V (,,) 3 E V aˆ ( aˆ 3 3 [ ] 3 3 [ aˆ aˆ 3 aˆ ] ) aˆ aˆ ( 3 ) aˆ ( ) aˆ Jai, jika,,, iketai paa sat titik tetent, maka mean listik E apat langsng iketai 3 Gaien... EE83 - Elektomagnetika I - nalisis Vekto an Faso 34

18 Gaien, Diegensi, an Cl Diegensi Untk mengestimasi an meng-kantisasi mean-mean ekto, seing engan caa mengk / kantisasi alian mean ekto tesebt ( ata netto alian mask an kela ). Fl : aala netto alian ang menembs pemkaan engan aa nomal teaap pemkaan Ψ F Fcos θ nˆ Vekto selal tegakls teaap elemen pemkaan EE83 - Elektomagnetika I - nalisis Vekto an Faso 35 Gaien, Diegensi, an Cl eingga, Jmla flks total ang menembs sat pemkaan tettp pasti aala sama engan smbe mean ang ilingkpi ole pemkaan tettp tesebt Ψ F Ilstasi... Jika kita ingin mengetai apaka aa smbe ang aa alam sat bola...bisa iapat engan mengitng flks total ang menembs bola tesebt... baik flks mask mapn flks kela bola EE83 - Elektomagnetika I - nalisis Vekto an Faso 36

19 Gaien, Diegensi, an Cl Definisi iegensi Diegensi mengamati ns olme tetent ang sangat kecil, mengamati apaka aa smbe ata tiak i alam olme tesebt Definisi an imbol D lim V 0 V Paa Kooinat Katesian, D D D D simbol [ D D D ] kala Poct!! D Tgas : ilakan cai ms iegensi ntk kooinat tabng an kooinat bola!! EE83 - Elektomagnetika I - nalisis Vekto an Faso 37 Gaien, Diegensi, an Cl Hasil opeasi iegensi aala KLR, kaena Dot Poct Jika misalkan mean ekto ang iamati aala D, maka : Hasil iegensi () Hasil iegensi (-) Hasil iegensi 0 Diegensi... Jmla ekto kela > jmla ekto mask tina : Di alam ang aa smbe Jmla ekto kela < jmla ekto mask tina : a kekosongan alam olme an besifat meneap, conto : lack Hole Jmla ekto kela jmla ekto mask tina : Tiak aa apa-apa alam olme tesebt mbe Kekosongan EE83 - Elektomagnetika I - nalisis Vekto an Faso 38

20 Gaien, Diegensi, an Cl Diegensi... entk pesamaan iatas, itnkan secaa langsng ai efinisi opeato iegensi F lim V 0 V F EE83 - Elektomagnetika I - nalisis Vekto an Faso 39 Gaien, Diegensi, an Cl D ρ Diegensi... Diegensi apat flks listik, D, teaap sat olme, maka akan iketai smbe matan ialam olme it ρ apat matan olme EE83 - Elektomagnetika I - nalisis Vekto an Faso 40

21 Gaien, Diegensi, an Cl ekaang,...baningkan ekspesi beikt! D lim ρ V 0 V ilambangkan D sebagai Kesimplan... ρ D Q Diegensi... Rapat flks listik ang me nembs pemkaan tettp aala sama engan total matan ang ilingkpi pemkaan it senii isebt Hk Gass ana sat matan / istibsi matan akan menebabkan aana apat flks listik D, an menimblkan sat aea ang tepenga kaena aana matan listik tesebt, E. EE83 - Elektomagnetika I - nalisis Vekto an Faso 41 Gaien, Diegensi, an Cl Pennan Teoema Diegensi. (1) D Q () (3) ρ Q D ρ ( D) Q engan sbstitsi : Rapat matan ang menembs pemkaan tettp aala total matan it senii : Integasi apat matan olme alam olme tetent aala matan ialam olme it maka, : Integasi apat matan olme alam olme tetent aala matan ialam olme it engan mempesamakan pesamaan (1) an (3) iapat Teoema Diegensi, ( ) D D Q Diegensi... EE83 - Elektomagnetika I - nalisis Vekto an Faso 4

22 Gaien, Diegensi, an Cl Conto lian Penelesaian Kass Dalam Mean tatis... (1) Jika V(,,) iketai, maka mean listik (E) iapat. E V () Jika mean listik (E) iapat, maka apat flks (D) bisa icai.. ε konstanta pemitiitas baan D εe (3) Kemian apat matan olme iapatkan. ρ D (4) Matan alam olme tetent iapatkan. Q ρ (5) kina.kita apatkan kapasitansina. C EE83 - Elektomagnetika I - nalisis Vekto an Faso 43 Q V Gaien, Diegensi, an Cl Cl / Psaan Cl aala integal gais ang membatasi las ang sangat kecil H H Cl aala Coss Poct, seingga asilna aala Vekto Definisi an imbol J H H L lim L 0 H L simbol H Cl ignakan ntk mengetai mean ekto menembs pemkaan ifeensial ang sangat kecil, ang menebabkan psaan mean lain Peatikan gamba i samping!!, apat as J ang menembs pemkaan menimblkan sat psaan mean magnetik H H J EE83 - Elektomagnetika I - nalisis Vekto an Faso 44

23 EE83 - Elektomagnetika I - nalisis Vekto an Faso 45 Paa Kooinat Katesian, [ ] H H H H H H H H H H H H H Vecto Poct!! Gaien, Diegensi, an Cl Cl... EE83 - Elektomagnetika I - nalisis Vekto an Faso 46 Rms mm ntk psaan... Gaien, Diegensi, an Cl Cl... Tgas : ilakan cai ms cl ntk kooinat tabng an kooinat bola!!

24 Gaien, Diegensi, an Cl Pennan Teoema tokes. (1) H L I () J I ai pesamaan (1) an (), an ai efinisi : maka iapat Teoema tokes, H L H aningkan engan Teoema Diegensi, D D Q ( ) ( ) L H J Cl... EE83 - Elektomagnetika I - nalisis Vekto an Faso 47 I. ebagai Hbngan Matematis EE83 - Elektomagnetika I - nalisis Vekto an Faso 48