TEOREMA GREEN UNTUK MENYELESAIKAN PERHITUNGAN INTEGRAL GARIS

Transkripsi

1 TEOEMA GEEN UNTUK MENYELESAIKAN PEHITUNGAN INTEGAL GAIS Prasetio Budi Darmono Jurusan Pendidikan Matematika FKIP Universitas Muhammadiah Purworejo Astrak Integral merupakan operasi kealikan dari turunan. Salah satu entuk dari penerapan integral adalah integral garis. Dalam menelesaikan perhitungan integral garis dapat dilakukan menggunakan Teorema Green. Teorema ini dipilih karena proses perhitunganna leih epat dan tepat. Namun, dalam menggunakan teorema green diharuskan memiliki keahlian dalam menari turunan parsial. Pada dasarna fungsi dari teorema green sama dengan integral garis aitu untuk mengetahui panjang lintasan sekeliling kurva. integral sekeliling seringkali dinamakan suatu integral ontour (integral Lintasan). Teorema green dapat diterapkan dalam kurva atau daerah terhuung sederhana dan erganda. Keleihan lain dari teorema green adalah tidak harus memper-hatikan arah positif seperti halna seara langsung jika dengan ara lang-sung arah positif terseut erlawanan arah putaran jarum jam. Kata kuni : Teorema Green, Integral Garis. Pendahuluan Dalam kerja ilmiah atau teknik, sering dijumpai suatu masalah (prolem) untuk menari akar-akar persamaan ang erentuk f() = 0. Bila f() erentuk kuadrat, pangkat tiga atau pangkat empat maka ada rumus-rumus aljaar untuk menghitung akarakarna. Apaila f() suatu polinom erderajat tinggi atau erentuk fungsi transeden seperti + os ( - ), e os, sin ( ) + dan seterusna, tidak tersedia metode aljaar untuk menelesaikanna (solusina). Untuk itu digukan ara menari akarakarna dengan metode(ara) aproksimasi (pendekatan). Adapun meto- Praseto Budi Darmono: Teoreme Green untuk Menelesaikan 9

2 de ang digunakan antara lain Metode Biseksi, Metode Iteratif, Metode Posisi Salah, Metode Newton-aphson, Metode Muller, dan lain-lain. Metode ang sering digunakan untuk menghitung integral antara lain: metode sustitusi, integral parsial dan peahan parsial (Spiegel, 990:8-8). Di samping itu, diperkenalkan adana integral garis ang penelesaianna menggunakan integral rangkap dua dengan metode erlainan. Dalam tulisan ini diuraikan teorema untuk menelesaikan integral garis. Teorema terseut adalah Teorema Green oleh George Green. Integral Garis iil Jika P(,) dan Q(,) adalah fungsi riil dari dan ang kontinu di semua titik pada kurva, maka integral garis riil dari Pd + Qd sepanjang kurva dapat didefinisikan dengan ara seagai erikut: P(, )d Q(, )d atau Pd Qd..... () Perhitungan integral garis dapat dilakukan dengan dua ara.. Jika dierikan persamaan kurva seagai = f(), maka integral garis () dihitung dengan menempatkan = f(), d = f () d dan dua titk dalam kurva ang dihuungkan adalah (a, ) dan (a, ) maka untuk menghitung integral tertentuna: a a P,f () d Q f () f '() d ang kemudian dihitung iasa.. Jika dierikan = g(), maka d = g () dan integral garis terseut menjadi: P g,().g ()d Qg(). Perhitungan integral garis ertujuan untuk menghitung panjang lintasan kurva dari titik (a, ) dan (a, )menggunakan sifat-sifat ang d 60 Praseto Budi Darmono: Teoreme Green untuk Menelesaikan

3 analog dengan sifat-sifat integral iasa. Misal :. P()d Q() P()d (a ) ()d. Pd Qd Pd (a ) (a ) (a ) atau Qd Jadi pemalikan jalan integrasi akan menguah tanda integral garis terseut. ( a, ). Pd Qd Pd Qd ( a, ) ( a, ) ( a, ) Pd Qd ( a, ) ( a, ) Kurva Tertutup Sederhana Daerah Terhuung Sederhana dan daerah Terhuung Lipat Ganda Kurva tertutup seder-hana (simple losed urve) adalah kurva tertutup ang tidak memotong dirina sendiri di setiap titikna. Suatu daerah dinamakan tertutup sederhana (simpl onne-ted) jika suatu kurva tertutup sederhana ang terletak dalam dapat menusut ke suatu titik tanpa meninggalkan, dan jika tidak demikian maka daerah terseut dinamakan terhuung lipat ganda (multipl onneted). dimana (a, ) seuah titik lain pada. a a = a = Kurva Kontinu Tertutup dan Sederhana Tertutup, tidak sederhana Praseto Budi Darmono: Teoreme Green untuk Menelesaikan 6

4 Daerah Terhuung Sementara Daerah terhuung erganda memiliki satu luang Daerah terhuung erganda memiliki tiga luang Seara intuitif, daerah tertutup sederhana adalah suatu daerah ang tak memiliki luang di dalamna, sedangkan suatu daerah terhuung erganda memilikina. Teorema Green dalam Bidang Misalkan P() dan Q() suatu fungsi-fungsi ang ditentukan erharga tinggal dan kontinu dalam seuah daerah sederhana ang diatasi oleh kurva tertutup sederhana dan mempunai turunan P Q parsial pertama, maka Q Pd Qd P d d 6 Praseto Budi Darmono: Teoreme Green untuk Menelesaikan dimana I digunakan untuk menekankan ahwa tertutup dan

5 ahwa kurva terseut dijelaskan dalam arah positif. Bukti : Untuk memuktikanna akan ditunjukkan : a) ) P d d = P( ) d Q d d = Q( ) d Untuk dapat memuktikanna dapat dengan menampilkan dalam entuk f F B A e 0 a E Misalkan persamaan kurva AEB dan kurva AFB erturut-turut adalah = Y () dan = Y (). Jika adalah daerah ang diatasi oleh maka kita peroleh : P dd Y() P d d a Y() = = P(, ) a Y () Y() d = P(, ) P(, ) a = a a P(, )d P(, )d Pd P Pd d d. () Maka Demikian juga misalkan persamaan kurva EAF dan kurva EBF erturutturut adalah = X () dan = X () maka f X P Q dd = d d X () f = Q(,) Q(, ) d = Q(,)d f = Qd Maka f Q(, ) d Qd = Q d d () Dengan menamahkan () dan () maka Praseto Budi Darmono: Teoreme Green untuk Menelesaikan 6

6 Q P Pd Qd = dd (terukti) Agar leih memahami pene-rapan Teorema Green, perhatikan ontoh erikut.. Jelaskan Teorema Green dalam idang untuk: ( )d ( )d dimana adalah kurva tertutup dari daerah ang diatasi oleh = dan =. Penelesaian Y = Perpotongan dua kurva : = (,) 0 = - = 0 = 0 ( ) = 0 = 0 = Kurva-kurva = dan = erpotongan di (0,0) dan (,). Arah positif dalam lintasan adalah seperti ang diperlihatkan dalam gamar. Dengan Teorema Green diperoleh: Q P dd ( ( = dd = ( ) dd = 0 ( )dd = ( ) d 0 = 0 d 6 Praseto Budi Darmono: Teoreme Green untuk Menelesaikan

7 = = satuan. Hitunglah ( )d( ) mengelilingi daerah ang diatasi oleh = 8 dan = seara langsung dan dengan Teorema Green Penelesaian: =8 (,) O - -(-,-) = a) Seara langsung Kurva-kurva idang = 8 dan = erpotongan di (,) dan (-,-). Arah positif dalam melintasi diperlihatkan dalam gamar sepanjang =, d = 0, integral garis terseut menamai: ( )d ( = ( )d = = + + = satuan Sepanjang = 8, d = )d d integral garis terseut sama dengan ( )d( )d = d 6 6 = d = d 6 6 = = satuan Seluruhna Praseto Budi Darmono: Teoreme Green untuk Menelesaikan 6

8 ( )d ( )d persatu sesuai arah positif setelah itu dijumlahkan. 8 8 = + = ) Dengan Teorema Green Q Pd Qd= ( )d ( = ( = 0 )d d ( )dd = d 0 P dd ) d = = 8 = 8 satuan d d Dari ontoh soal di atas dapat terlihat ahwa menggunakan teorema Green pengerjaanna akan leih mudah. Ini telihat ila kita menggunakan metode seara langsung kita harus meninjau kurva satu Penutup 8 = satuan Dari ang telah diuraikan di depan dapat disimpulkan ahwa penggunaan Teorema Green memiliki keunggulan aitu leih epat dan tepat diandingkan ara langsung. Namun, kelemahanna adalah kita harus memiliki keterampilan menari turunan parsial pertama dari P dan Q. Keleihan ang lain aitu tidak diharuskanna memperhatikan arah positif seperti dengan ara langsung. Definisi dari Teorema Green dalam idang: Misalkan P(,) dan Q(,) suatu fungsi-fungsi ang ditentukan erharga tunggal dan kontinu dalam seuah daerah sederhana ang diatasi oleh kurva tertutup sederhana dan mempunai P Q turunan parsial pertama, maka 66 Praseto Budi Darmono: Teoreme Green untuk Menelesaikan

9 Q P : Pd Qd dd Daftar Pustaka A, Postol.M.Tom. 98. Mathemtial Analsis, Massahusetts: Addison Weske Purell Kalkulus dan Geometri Analisis Jilid, Jakarta: Erlangga Spiegel,, Murra, 990. Kalkulus Lanjutan Versi S/Metrik. Jakarta: Erlangga. Spiegel,, Murra. 99. Peuah Kompleks. Jakarta: Erlangga. Praseto Budi Darmono: Teoreme Green untuk Menelesaikan 67