Aplikasi Geometri pada Permainan Dinamis Non- Kooperatif Skalar Waktu tak Berhingga

Transkripsi

1 Seminar Nasional eknologi Informasi, Komunikasi dan Industri (SNIKI) 7 ISSN :85-99 Pekanaru, Novemer 5 Aplikasi Geometri pada Permainan Dinamis Non- Kooperatif Skalar Waktu tak Berhingga Nilwan Andiraja UIN Sultan Syarif Kasim Riau, Pekanaru Jl. H.R Soerantas No 55 Km. 8 telp : nilwanandiraja@uin-suska.ac.id Astrak Pada penelitian ini diahas mengenai penentuan titik ekuilirium Nash, pada permainan dinamis non-kooperatif skalar waktu tak erhingga untuk dua pemain, dengan mengaplikasikan geometri analitik. Pemahasan dimulai dengan mementuk persamaan model permainan dinamis non-kooperatif skalar waktu tak erhingga untuk dua pemain erdasarkan persamaan permainan dinamis non-kooperatif untuk waktu tak erhingga. Selanjutnya dientuk dua persamaan aljaar Riccati dan vektor kendali untuk masing-masing pemain. Vektor kendali yang diperoleh digunakan untuk mementuk syarat kestailan sistem permainan. Kemudian digunakan pendekatan geometri analitik untuk menganalisa titik ekuilirium Nash permainan dinamis. Berdasarkan analisa didapat ahwa dua persamaan aljaar Riccati merupakan entuk khusus dari persamaan erderajat dua yang merupakan persamaan hiperola. Sehingga erdasarkan syarat kestailan sistem permainan maka titik ekuilirium Nash dapat diperoleh dari titik potong kedua hiperola pada daerah yang memenuhi syarat kestailan sistem. Kata kunci: Dinamis, Geometri, Permainan, Riccati, Skalar Astract In this research was discuss aout to find equilirium Nash in non-cooperative dynamic game two-player with scalar case for infinite time, y application the analytic geometry. Discuss was started from made of equation model for non-cooperative dynamic game two-player with scalar case for infinite time ased on equation of non-cooperative dynamic game for infinite time. hen made of two the algeraic Riccati equation and control vector for each player. he control vector is used for made of staility condition of game. hen is used the curse of analytic geometry for analyse equilirium Nash for dynamic game. Base on analyse, there are two algeraic Riccati equation which it is special case of the algeraic of second degree which it is hyperolic equation. hen, ased on of staility condition of game then equilirium Nash can get from intersection point of two hyperolic in adequate area for staility condition of game. Keywords: Dynamic, Game,Geometry, Riccati, Scalar. Pendahuluan Matematika telah anyak erperan dalam penyelesaian persoalan-persoalan seharihari. Dalam menyelasaikan persoalan-persoalan yang terjadi, matematika pada umumnya meruah persoalan-persoalan terseut ke entuk model matematika. Model matematika yang telah terentuk, kemudian diselesaikan dengan menggunakan teori-teori yang sesuai dan tersedia di matematika. Salah satu teori matematika yang sesuai dan sedang erkemang saat ini yaitu teori permainan. Hal ini karena, teori permainan merupakan seuah teori yang mempelajari agaimana seorang pihak yang kemudian diseut pemain harus ertindak secara rasional dalam persoalan yang kemudian diseut permainan. Pada teori permainan, persoalan diruah ke model matematika yang telah terentuk akan diselesaikan dengan solusi akhir erentuk vektor kendali. Vektor kendali yang terentuk jumlahnya tunggal atau anyak. Banyaknya vektor kendali yang diperoleh erhuungan dengan anyaknya titik ekuilirium. Menentukan titik ekuilirium pada teori permainan, pada umumnya dilakukan dengan cara penurunan atau penjaaran dari persamaan-persamaan yang penuh dengan simolsimol variael yang rumit dan astrak. Oleh karena itu, diutuhkan pemahaman yang aik terhadap teori kalkulus matriks, integral, teori diferensial, analisis real dan teori kendali. Sehingga tidak mudah untuk memperoleh titik ekuilirium permainan. Hal ini dapat dilihat dari 378

2 Seminar Nasional eknologi Informasi, Komunikasi dan Industri (SNIKI) 7 ISSN :85-99 Pekanaru, Novemer 5 jurnal-jurnal mengenai teori permainan salah satunya yang dijelaskan oleh Jaco Engwerda () yang menjelaskan tentang titik ekuilirium permainan dinamis non-kooperatif dengan waktu tak hingga dan Weeren (999) yang menjelaskan titik ekuilirium persoalan permainan dinamis non-kooperatif dengan waktu tak hingga kasus non skalar dan skalar. Namun pendekatan lain yang ereda dan leih sederhana, tapi dengan tujuan akhir yang sama yaitu mencari titik ekuilirium adalah dengan menggunakan teori-teori yang tersedia di geometri. Selain tampak sederhana dalam analisa dan penurunan rumus, dengan geometri teori permainan juga dapat digamarkan. Karena dengan gamar grafik geometri, selain diperoleh titik ekuilirium yang sesuai, dapat juga dilihat arah permainan mulai dari waktu awal sampai waktu tak hingga. Sehingga teori permainan tampak nyata dan kesan astrak dapat dihilangkan sehingga pencarian titik ekuilirium dapat leih gampang dan leih dimengerti. Oleh karena itu, penelitian ini akan memahas mengenai teori permainan dipandang dari teori geometri, termasuk mencari titik ekuilirium seagai solusi yang akan mengoptimalkan fungsi tujuan, yang sesuai dengan solusi strategi Nash.. Metode Penelitian Penelitian ini menggunakan studi literatur dan langkah-langkah yang dilakukan pada penelitian ini adalah seagai erikut :. Dientuk model permainan yang terdiri dari sistem dinamis kasus permainan non-kooperatif skalar dua pemain dan fungsi tujuan untuk waktu tak hingga, erdasarkan permainan dinamis non-kooperatif untuk waktu tak erhingga, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) dengan fungsi ojektif yaitu i x u u x ix ui iiui u j iju j J (,,, ) { ( t) Q ( t) ( t) R ( t) ( t) R ( t)} dt, j i. Dientuk persamaan aljaar Riccati untuk permainan dinamis non-kooperatif skalar dua pemain, vektor kendali dan syarat kestailan sistem. 3. Selanjutnya, dengan geometri analitik dianalisa titik ekuilirium Nash permainan dari persamaan aljaar Riccati yang diperoleh pada tahapan no.. 3. Hasil dan Pemahasan 3.. Permainan Dinamis Non-Kooperatif Untuk Waktu ak Berhingga Pada sua ini dierikan persamaan diferensial permainan dinamis dua pemain untuk waktu tak erhingga yaitu, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) () dengan para pemain meminimalkan fungsi tujuan, f J ( x, u, u, ) { x ( t) Q x( t) u ( t) R u ( t) u ( t) R u ( t)} dt, j i () i f i i ii i j ij j pada agian ini diahas untuk kasus waktu tak erhingga, yaitu fungsi tujuan memenuhi J ( x, u, u ) lim J ( x, u, u, ) dengan i,. kriteria i i f f Dari sistem dinamik permainan dinamis dua pemain untuk waktu tak erhingga diatas dapat dientuk persamaan aljaar Riccati yaitu, ( A S K ) K K ( A S K ) K S K Q K S K, (3) ( A S K ) K K ( A S K ) K S K Q K S K, (4) 379

3 Seminar Nasional eknologi Informasi, Komunikasi dan Industri (SNIKI) 7 ISSN :85-99 Pekanaru, Novemer 5 ( K, K ) Kedua persamaan aljaar Riccati diatas (3)-(4) akan memiliki solusi akan mementuk vektor kendali kendali terseut memenuhi u =-R B K x () t dengan i =, - i ii i i = Ax( t) B R B K x( t) B R B K x ( t), yang. Dengan vektor-vektor dengan S = B R B, maka - i i ii i (5) = Ax( t) - S K x( t) - S K x ( t) Vektor-vektor kendali dinamik permainan diatas. u =-R B K x () t dengan i =, - i ii i i akan menstailkan fungsi 3.. Permainan Dinamis Non-Kooperatif Untuk Waktu ak Berhingga Kasus Skalar Selanjutnya dientuk sistem permainan non-kooperatif dua pemain untuk kasus skalar, dengan mensustitusikan R R, A = a, Bi i, Qi qi, Rii ri dengan i, ke sistem permainan (4.)-(4.) diperoleh Ax( t) Bu ( t) B u ( t), x() x eruah menjadi ax( t) u ( t) u ( t), x() x (6) dengan fungsi tujuan untuk setiap pemain, f J ( x, u, u, ) { x ( t) Q x( t) u ( t) R u ( t) u ( t) R u ( t)} dt, j i i f i i ii i j ij j menjadi,, J ( x, u, u ) { x( t) q x( t) u ( t) ru ( t) u ( t)() u ( t)} dt i i i i i j j i(,, ) { i ( ) i i ( )},,, (7) J x u u q x t ru t dt i Selanjutnya, vektor kendali untuk pemain pertama dapat diperoleh erdasarkan vektor pemain kedua yaitu u - r k x() t k x t r =- = - (), maka fungsi dinamik menjadi = ax + u - k x() t = ( a- sk ) x( t) + u r dengan fungsi tujuan seagai erikut { qx + ru } maka dapat dientuk persamaan aljaar Riccati seagai erikut, 38

4 Seminar Nasional eknologi Informasi, Komunikasi dan Industri (SNIKI) 7 ISSN :85-99 Pekanaru, Novemer 5 r = - ( a- s k ) k - k ( a- s k ) + k s k - q = - ak + s k k - ak + s k k + k s k - q sk skk ak q = (8) dapat dientuk vektor kendali untuk pemain pertama yaitu u =- k x() t. r Berikutnya untuk pemain kedua, diketahui vektor kendali pemain pertama yaitu u =- k x() t, maka fungsi dinamik menjadi, = ( a- s k ) x( t) + u dengan fungsi tujuan seagai erikut { qx + ru } maka dapat dientuk persamaan aljaar Riccati seagai erikut, = - ( a- s k ) k - k ( a- s k ) + k s k - q = - ak + s k k - ak + s k k + k s k - q sk sk k ak q dapat dientuk vektor kendali untuk pemain kedua yaitu = (9) u =- k x() t. r Dengan mensustitusikan vektor-vektor kendali pemain pertama dan kedua u dan u ke fungsi dinamik maka diperoleh = ( a- s k - s k ) x( t) memenuhi maka vektor-vektor kendali u dan u dapat menstailkan sistem permainan, jika a- sk - sk < () 3.3. Analisa itik Ekuilirium Nash Berdasarkan geometri analitik, persamaan aljaar Riccati permainan dinamis waktu tak erhingga untuk kasus skalar yaitu persamaan (8)-(9) diketahui merupakan entuk khusus dari persamaan erderajat dua Ax Bxy Cy Dx Ey F ( x, x ) Persamaan (8) merupakan persamaan hiperola pada daerah A s, B s, C, D a, E, F q diperoleh B 4 AC ( s ) 4( s )() 4s kemudian erdasarkan persamaan (8) diperoleh, karena untuk 38

5 Seminar Nasional eknologi Informasi, Komunikasi dan Industri (SNIKI) 7 ISSN :85-99 Pekanaru, Novemer 5 x S a x s, s s x maka asimtot tegak adalah x, asimtot miring adalah pusat hiperola di, a s. q x S a x, dan s s ( x, x ), Selanjutnya persamaan (4.9) merupakan persamaan hiperola pada daerah A s, B s, C, D a, E, F q diperoleh karena untuk diperoleh B 4 AC ( s ) 4( s )() 4s x S a s s x x s, sehingga asimtot datar adalah x, asimtot miring adalah pusat hiperola di a, s. q S a x x, dan s s Persamaan () merupakan syarat kestailan, yang menggamarkan daerah stail dan daerah tidak stail. itik ekuilirium Nash dapat diperoleh dari titik perpotongan kedua hiperola pada daerah kestailan. Seperti dapat dilihat pada contoh erikut. a, r, q dan q, 6 9 a, s s maka diperoleh persamaan hiperola pertama adalah Contoh. Dierikan persamaan (4.8)-(4.), dengan i i dengan k 4kk k 6 dengan asimtot tegak k, asimtot miring hiperola adalah k S a k = k dan pusat s s (, ). Sedangkan persamaan hiperola kedua diperoleh yaitu k 4kk k 9 38

6 Seminar Nasional eknologi Informasi, Komunikasi dan Industri (SNIKI) 7 ISSN :85-99 Pekanaru, Novemer 5 dengan asimtot datar k, asimtot miring hiperola adalah (,) dapat dilihat pada gamar. S a k k = k dan pusat s s. Syarat kestailan sistem yaitu k k, kedua hiperola Gamar. Permainan dengan tiga titik ekuilirium Nash Berdasarkan gamar, diperoleh ahwa, kedua hiperola memiliki empat titik potong, satu titik potong tidak memenuhi syarat kestailan sistem dan tiga titik potong memenuhi syarat kestailan sistem (daerah arsiran). Maka diperoleh tiga umpan alik ekuilirium Nash yaitu tiga titik potong yang memenuhi syarat kestailan sistem. 4. Kesimpulan Berdasarkan uraian pemahasan yang telah dierikan, maka diperoleh kesimpulan ahwa erdasarkan persamaan diferensial sistem dinamik permainan non-kooperatif untuk kasus skalar yaitu maka diperoleh persamaan aljaar Riccati untuk pemain pertama dan kedua erturutturut ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) dengan masing-masing pemain meminimalkan fungsi ojektif i(,, ) { i ( ) i i ( )},, J x u u q x t ru t dt i sk + skk - ak - q = dan sk + sk k - ak - q = serta diperoleh a- s k - s k <. syarat kestailan sistem yaitu Berdasarkan geometri analitik diperoleh ahwa kedua persamaan aljaar Riccati yang diperoleh merupakan persamaan hiperola yang saling erpotongan. itik potong dari dua hiperola terseut merupakan titik ekuilirium Nash. itik ekuilirium Nash yang memenuhi untuk sistem dinamik permainan non-kooperatif untuk kasus skalar dua pemain merupakan titik potong kedua hiperola yang memenuhi syarat kestailan sistem. Selanjutnya, untuk pengemangan penelitian dapat dilakukan penelitian dua pemain untuk kasus waktu erhingga dengan asumsi matriks-matriks menjadi skalar atau matriks 383

7 Seminar Nasional eknologi Informasi, Komunikasi dan Industri (SNIKI) 7 ISSN :85-99 Pekanaru, Novemer 5 erukuran n n. Penelitian dapat dilakukan untuk kasus N pemain dengan asumsi yang sama dengan kasus dua pemain untuk kasus waktu tak erhingga. Referensi []. Basar. Dynamic noncooperative game theory. Philadelphia: SIAM [] Bellman R. Introduction to Matrix Analysis. Philadelphia: SIAM. 997 [3] Engwerda J. Feedack Nash equiliria in the scalar infinite horizon LQ-game. Automatica. ; 36 : [4] Engwerda J. LQ Dynamic Optimization and Differential Games. Chichester: John Wiley & Sons. 5. [5] Lewis FL. Applied Optimal Control and Estimation. New Jersey: Prentice-Hall, Inc. 99. [6] Olsder GJ. Mathematical System heory. Delft: University of echnology [7] Perko L. Differential Equations and Dynamical System. New York: Springer-Verlag. 99. [8] Weeren AJM, Schumacher JM, Engwerda J. Asymptotic analysis of linear feedack Nash equiliria in nonzero-sum linear-quadratic differential games. Journal of Optimization heory and Applications.999: : p