BAB XIV V E K T O R Pengertian Vektor adalah besaran yang mempunyai arah. Tafsiran geometri sebuah vektor dilukiskan sebagai panah.
|
|
- Ridwan Hartono
- 7 tahun lalu
- Tontonan:
Transkripsi
1 XIV V E K T O R 4. engertian adalah esaran yang mempunyai arah. Tafsiran geometri seuah vektor dilukiskan seagai panah. dengan titik pangkal (a x, a y, a z ) dan titik ujung ( x, y, z ) dinotasikan dengan. x a x efinisi y a y z a z (a x,a y,a z ) (a x, a y, a z ) z dengan titik pangkal O (0, 0, 0) diseut vektor posisi erhatikan gamar a O adalah vektor posisi titik y O O adalah vektor posisi titik x Maka a da tiga cara menuliskan seuah vektor, yaitu a. a a. a (a, a, a ). a a i + a j + a k a iri khas vektor adalah panjang dan arah vektor terseut. Seuah vektor tidak tergantung pangkal dan ujungnya. oleh digeser selama tidak meruah arah dan panjangnya Misalkan a (a, a, a ) Notasi : a (aca panjang vektor a ) efinisi : a + a a a + a jika dan hanya jika a a dan arahnya sama ontoh : adalah jajaran genjang dengan titik (,p,), (q,,). iketahui vektor (, r, p), maka () 4 () () 66 () (E) 4 Jawa : erhatikan x x q y y p z z 4 karena panjang dan arah sama q p r 4 q ; p 4 dan r p ( 4) 7 p iperoleh (, 7, 4) + 7+ ( 4 ) 66 7
2 8 4. Operasi pada vektor Secara analitik (aljaar) operasi jumlah pada vektor didefinisikan seagai Misalkan a (a, a, a ) dan (,, ) Maka a + (a +, a +, a + ) Secara geometri operasi jumlah pada vektor dapat dilukiskan seagai erikut a a + turan Jajaran Genjang Titik pangkal a dan harus sama. Lukiskan jajaran genjang. a + adalah vektor diagonal. t u r a n S e g i t i g a R Ujung dari vektor a harus a + menjadi pangkal dari vektor. Q a + Q + QR R a erikut ini adalah sifat-sifat penjumlahan vektor. Komutatif : a + + a. ssosiatif : ( a + ) + c a + ( + c ). da unsur identitas yaitu 0 (0, 0, 0) sehingga a a a 4. da vektor a sehingga a + ( a ) 0 atatan : 0 dapat dilukiskan seagai seuah titik. 0 tidak mempunyai arah. Sedangkan gamaran leih jauh vektor a adalah Misalkan a Q ; a (a, a, a ) Maka : Q a ( a, a, a ) a Q a Q iawah ini adalah pengertian analitik operasi k a (aca : kelipatan vektor a ) Misalkan a (a, a, a ) ; k a, k ilangan real (k a, k a, k a ) erikut ini adalah operasi k a dipandang dari sisi geometri Misalkan k a, maka k a, k > 0 segaris (atau sejajar) dengan a a k a k a, k < 0
3 9 a sejajar (atau segaris) dengan a k a searah dengan a k, k > 0 a erlawanan arah dengan a k, k < 0. iketahui u (,, ), v (,,7), sejajar v dan +, maka Jawa : sejajar u k (,, ) + (6,, t). Jika sejajar u, sejajar v k (,,7) k (,, ) + k (,,7) (k k, k + k, k + 7k ) Jadi k k 6 k k 6 k + k k + (k 6) 7k 7 k dan k t k + 7k 6 engan demikian +. Titik ditengah-tengah dan titik E ditengah-tengah. uktikan E ukti E ( karena ( karena engan demikian: searah dengan E searah dengan E + ( 6,, 6) + (,, ) (, 6, ) dan ) dan E + ( + E ) ). erhatikan gamar disamping ini R adalah segi empat semarang. Jika, Q, R dan S masing-masing tengah-tengah,, dan. uktikan QRS jajaran genjang. Q ukti : erhatikan : Karena S tengah-tengah dan tengah-tengah, maka S (cara pemuktian persis soal no ) erhatikan : Karena Q tengah-tengah dan R tengah-tengah, maka QR (cara pemuktian persis soal no ) iperoleh S QR dan ini erarti segiempat QRS jajaran genjang. S E
4 40 4. OE adalah segi enam sama sisi. Jika a O, e OE, maka a + + c + d + e O, O dan c O, d () c () c () c () c (E) 4 c Jawa : a + e O + OE O + O c + d O + O E ( O + ) + ( OE + E ) O ( O + OE ) + + E c + c + c c iperoleh : a + + c + d + e c. a O, O dan c O. pada dan Q pada. iketahui a i j + k, i + j + k, c 4 i j + 7 k Jika Q i + n k, maka n O () () () () (E) Jawa : segaris dengan Q segaris dengan Q k Q k k ( a ) k (, 6, ) k ( c ) k (, 8, 4) Karena + Q (, 0, n) k (, 6, ) + k (, 8, 4) iperoleh k + k kali 6k 8 k 0 k 4 k 8 dan 6k 8k 0 k 6 engan demikian n k 4 k erhatikan gamar a O, O, E () a + () a + O a c Q () 6 a + () 6 a + 6 Jawa : E ( (E) a + 6 E + E + EO + O ) + ( O + O ) E ( E + O ) + ( E + O ) E + O + O iperoleh E O + O E 6 a + 6
5 4 7. F dan SFT jajaran genjang. Jika S : S :, T : T : a,, Maka () 8 a 0 () 0 a 8 () 8 a + 0 (E) 8 a 0 S F T () 0 a + 8 Jawa : S TF ; karena SFT jajaran genjang + S T + F F jajaran genjang F a 4 4 a 8 a 0 S erlawanan arah dengan S 4 S : : 4, maka T erlawanan arah dengan T: :, maka T dan 4 a dan 4.. erandingan pada ruas garis m a Q n R c T n m + n a + m m + n c. Titik,, dan Q erturut-turut ditengah-tengah O,, O dan. Jika a O, O O, maka Q () () 7 (E) 7 a + () () 4 Jawa : O segaris dengan a dan Q : Q : : : OQ O O a O + O + O 4 O O + O segaris dengan O dan O O O O O O 4 Q O O O + 4 O
6 4 engan demikian Q OQ O 4 4 O 4 O + O ( 4 O + 4 O ). Titik, dan segaris dan a,, c seperti gamar. a. uktikan dapat ditulis α a + ( α) c c untuk suatu konstanta α. Jika x ( a + c ) c. Tentukan nilai x Jawa : a. Misalkan : m : n n m + n a + m m n n Tuliskan α m + n α a + ( α) c. Karena x ( a + c ) c x a + (x ) c Maka x + (x ) α + ( α) iperoleh 6x x + c a. erhatikan gamar : : R : R : a O, O, c O, dst Jika R a + c dan d k a + k + k c Maka k + k + k (),9 (), (E),6 (),9 (), Jawa : O R : : p c + R : R : r d + a erhatikan R r p a + c ( d + a ) ( c + ) kali a c 0 d + a 9 c 6 0 d 0 a c d a +,6 + 0, c engan demikian k + k + k,9
7 erkalian titik a. a α cos α a Misalkan a (a, a, a ) (,, ) Maka erlaku a. a + a + a α ( a, ) cos α a a a + a + a a Sifat-sifat a a a ( + c ) a + a c a a a a tegak lurus a 0 ontoh :. Jika diketahui vektor a dan dengan a + dan a 0 dan, maka a () 7 () () 40 () 47 () 0 Jawa : E a + a + a + a + 00 a a + 00 a + a + a 7 a 7 0. iketahui vektor O i + k dan O 4 i + j + k. Titik pada sehingga O O, maka O () i + j + k () i + j + k (E) i + 4 j + k () i + j + 4 k Jawa : () i + j + 4 k
8 44 erhatikan : O O + O + k (, 0, ) + k (,, 4) ( + k, k, + 4k) O O O O cosα O O O O O cosα O iperoleh : O O O O ( + 7k ) 9 + 4k 0 + k 9 + 4k k 6 engan demikian O (,, ) 0 segaris dengan k α α O. Jika a + c 0 ; a : : c : : dan α ( a, c ), maka sin α () 7 4 () 7 () 7 () 7 (E) 7 4 Jawa : a : : c : : a t; t; c t c a c a 4 c a c + a 4 c a c cosα + a 4 t 4 t t cosα + 9 t t cosα 9 t 4 cos α sin α 4 7 α 4. a + tegak lurus dengan vektor a. Jika a : :, dan α ( a, ), maka cos α () () () () (E) 4 6 Jawa : a : : a t; t a + a ( a + ) ( a ) 0 a + a 0 a + a cos α 0 t + 0 t cos α 8t 0 cos α. Segitiga O sama sisi. Titik pada O sehingga O : :, Titik pada O sehingga O : :. Jika a O, O dan 4,8 maka a + () () () () 4 (E) Jawa :
9 4 ari 4,8 ( O + O ) ( O + O) 4,8 ( a + ) ( a + ) 4,8 kali O ( 0 a + 6 ) ( a + ) 7 0 a 6 a a 8 a + 6 a 7 8 a 7 a 9 a + ( a + ) ( a + ) a + a + a + a + a 7 Jadi a + 7 O sama sisi, maka... a a a cos 60 0 a a a 6. Titik, Q dan R segaris dan vektor p, q, r masing-masing vektor posisi titik, Q dan R. Jika p (,, ), Q (,,) dan r Q, maka r () (,, ) () (0, 4, ) () (,, ) () (0,, ) () (,0, ) Jawa : E, Q dan R segaris R α Q r p α Q r p + α r (,, ) + α (,,) ( + α, + α, + α) r Q r Q 0 ( + α, + α, + α). (,,) 0 4 α α engan demikian r (,, ) (, 0, ) (, 0, ) 7.. idang empat dengan alas sama sisi, yaitu p. Jika tegak lurus alas dan q, maka cos (, ) q p q () p + q () (E) p + q p + q q p () () p + q p + q Jawa : v (, ) ertolak elakang dengan, maka (, ) 60 0 u u Jadi cos 60 0 v p p p tegak lurus idang alas engan demikian : ilain sisi : ( + ) + 0. cos ( Q p + 0 p, )
10 46 p p + q p cos ( p cos (, ) p + q, ) 4. royeksi Suatu ada Yang Lain erhatikan gamar diawah. c diperoleh dengan cara memproyeksikan vektor a pada vektor. Rumusan vector c dan c adalah a a c c c a ontoh. anjang vektor () u v u + v () u v () u + v Jawa Q pada gamar disamping adalah () u v u + v u v u + v (E) u v u + v angun diatas adalah jajaran genjang, maka O v u OR u + v Q R O diperoleh dengan memproyeksikan vektor v pada u + v O v (u + v) u + v OQ diperoleh dengan memproyeksikan vektor u pada u + v OQ u (u + v) u + v Maka Q OQ u O ( u v) ( + v) u + v u (u + v) u + v u v u + v v (u + v) u + v. c i + j k adalah proyeksi vektor a pada vektor. Jika a + i j 4 k, maka () c () c () c () c (E) c Jawa :
11 47 erhatikan gamar a S ; Q QU T proyeksi a pada c + c Q + U QU proyeksi R pada T R T T T + ( ) + ( ) ( 4) c ( + + ( ) ) c c 9 engan demikian: c c c a Q (a + ) c c c S T R U. iketahui a 6 i j + k, i j + m k, c adalah proyeksi vektor a pada vektor. Jika c, maka m () m atau m () m atau m (E) m atau m () m atau m () m atau m Jawa : c adalah proyeksi vektor a pada vektor, maka c a c a a (0 + m ) 9 + m m m 7 0 (m + ) (m ) 0 m atau m 4. angun pada gamar adalah trapesium. Jika i j + 4 k dan i j + k, maka () 7 4 ( i j + 4 k ) () ( i j + 4 k ) () ( i j + 4 k ) (E) ( i j + 4 k ) 4 () ( i j + 4 k ) 7 Jawa : E EF F E E proyeksi 4 7 E 7 4 pada 7 4 ( i j + 4 k )
12 48 emahasan Matematika I. iketahui titik (,,), Q(, 4,4) dan R(,,7). Maka a. QR. QR Jawa : Q 4 4 maka Q QR c. QR dan QR d. QR Q e. QR (Matematika 89 Rayon ) 6. iketahui titik (,, ), Q(,,0), dan R(,, ). Jika R maka a sama dengan a. 6. c. 6 d. 0 e. 8 Jawa : a Q 0 ; QR 0 Q a dan QR + (Matematika 89 Rayon ) 0 ; R engan demikian a 4 ; QR + R iketahui a 7 ι + 8 j dan (, ) jika Q a dan Q erlawanan dengan a maka koordinat titik Q adalah a. (6, 0). (6, 0) c. (6, 6) d. (8, 0) e. (8, 0) (Matematika 89 Rayon ) Jawa : E Sifat: Q erlawanan arah dengan a Q k a, k < 0 Misalkan koordinat Q(x,y) Q erlawanan dengan a Q a Q a Jadi Q a 7 7 x 8 8 y + idapat x 8 dan y 0 Titik Q(8, 0) 7 8 Q a
13 49 4. iketahui vektor u (,,) dan v (,, ). w yang panjangnya, tegak lurus pada u, dan tegak lurus pada v adalah a. ( 0, 0, ) c. ( 0,, ) e. (,, ). ( 0, Jawa :, ) d. (,, ) Rumus : w u dan w v w α ( u x v ), dimana α konstan (Matematika 90 Rayon ) w α i j k α i j + k w α i ( ) j ( + ) + k ( ) α j + k α j + α k sedangkan w α + α α α α ±. Untuk α memenuhi jawaan, w (0,, ). iketahui titik (,, 0), Q(,, ), dan R(4,, ). anjang proyeksi vektor Q pada vektor R adalah a.. c. d. e. 6 (Matematika 90 Rayon ) Jawa : E Q R anjang proyeksi Q terhadap R (atau proyeksi skalar ) adalah Q R R + + ( ) Jika O i + k, O j + h, dan O c j + 4 k, dan 60 O maka c a.. c. d. e. (Matematika 90 Rayon )
14 0 Jawa : E (,0,) 0. c 0 cos 60 O 60 0 (0,,) (0,c,4) 0 + ( c + ) + 0 (c ) + 9 kedua ruas dikuadratkan, menjadi : 4( c + ) (c ) + 8 4( c) (c ) + 8 (c ) 8 c ± 9 c ± c 4 atau c 7. Jika titik (,,), Q(,0,0), dan R(,,a) terletak pada satu garis lurus, maka a a. 0. c. d. e. Jawa : (Matematika 9 Rayon ) Q R Titik, Q, dan R terletak pada satu garis Q segaris dengan R Q α R, α konstan. Q α R 0 α 0 a iperoleh: α α α (a ) α a + a a 8. Jika esar sudut antara vektor p dan vektor q adalah 60 O. anjang p dan q adalah 0 dan 6, maka panjang vektor ( p q ) sama dengan a c. 4 d. 7 e. 9 (Matematika 9 Rayon ) Jawa : E p q p + q p q cos 60 O p q p + q p p q p + + p q q + q p q p q 76 p q 76 9
15 9. iketahui titik (,, 8), dan titik (, 4,0). Titik terletak pada perpanjangan sehingga. Jika p vektor posisi titik, maka p a. 4 i j + 4 k c. j k e. i j k. 4 i j 4 k d. i j k (Matematika 9 Rayon ) Jawa : Misalkan titik (x, y, z) x x x 9 + x y + 4 y y + + y z z z + 8 z maka x 9 + x y + + y z + 8 z 8 x 0 y 8 z 4 x y 4 z didapat titik (4,, 4) sehingga vektor p 4 i j + 4 k 0. Garis g melalui (,4, ) dan (4,, ), sedangkan garis h melalui (7,0,) dan (8,, ). esar sudut antara g dan h adalah a c. 4 0 d e (Matematika 9 Rayon ) Jawa : 4 4 ( ) α cos α 6 4 cos α 7 4 cos α cos α α 80 O 60 O 0 O sudut antara dua garis harus sudut yang lancip; jadi (g,h) merupakan sudut pelurus α (g,h) 60 O. ierikan vektor O i + j + k, O i + j + k, titik pada garis, sehingga O. Maka O (Matematika 9 Rayon ) a c. 7 d. 7 e. 7 Jawa : O + O O O α 0 O O + + 4
16 ada O ahwa cos α O.() O ada O ahwa cos α ari () dan () O O O O O O O O O O () 4 ( ) 7 ( + ) 7. Jika vektor a dan vektor mementuk sudut 60 o. a 4 dan, maka a ( a ) a.. 4 c. 6 d. 8 e. 0 (Matematika 9 Rayon ) Jawa : E a ( a ) a a a a a cos 60 O a x i + x j 4 k, i + 4 j + k dan c i + j + k. Jika a tegak lurus pada, maka a c a. i 8 j k d. i j k. 7 i 8 j k e. i + 8 j k c. 7 i j k (Matematika 9 Rayon ) Jawa : x a tegak lurus pada a 0 x x + 4x 0 0 x 0 x 0 Jadi a i 0 j 4 k a c 0 4 a c 7 i j k 4. iketahui vektor-vektor u i j + k dan v 4 i + 0 j 8 k. u + c v akan tegak lurus pada vektor u jika c a.. c. d. e. (Matematika 9 Rayon )
17 Jawa : u + c v 4 + c c + 0c 8c + 4c ( u + c v ) u ( u + c v ) u 0 + 0c 0 8c ( + 4c ) ( + 0c) + ( 8c ) c + 0c + 4 6c 0 9 8c c. a i + 4 j, i + j, c i 4 j dan x p a + q dengan p dan q ilangan real tidak nol. Jika x sejajar dengan c, maka p dan q memenuhi huungan a. 8p q 0 c. p 8q 0 e. p 9q 0. 8p + q 0 d.p + 8q 0 (Matematika 9 Rayon ) Jawa : x p a + q x p + q p + q 4 4p + q x sejajar dengan c x k c, untuk suatu konstan k. Jadi p + q k 4p + q 4 p + q k (x4) 4p + q 4k (x) 6. iketahui a i j, i + 4 j, dan r 7 i 8 j. Jika r k a + m, maka k + m a.. c. d. e. (Matematika 9 Rayon ) Jawa : r k a + m 7 k + m 7 k m k + 4m iperoleh : k m 7 (x4) k 4m 8 k + 4m 8 (x) k + 4m 8 + 0k 0 k untuk k maka m 7, didapat m. Jadi k + m 7. iketahui (a,0,), Q(0,6,) dan R(,7,c). gar vektor Q tegak lurus QR, haruslah nilai a c sama dengan a.. c. d. e. (Matematika 9 Rayon ) Jawa : erhatikan Q ( a, 6, ), QR (,, c ) Q QR Q QR 0 ( a, 6, ) (,, c ) 0 a c a c a c 4p + 8q k p + q k 8p +q 0 +
18 4 8. gar kedua vektor p (x,4,7) dan q (6,y,4) segaris, haruslah nilai x y a.. c. d. 4 e. 6 (Matematika 9 Rayon ) Jawa : p dan q segaris p α q engan demikian (x,4,7) α (6,y,4) (x,4,7) (6α, y α,4 α) iperoleh : 4 α 7 α ; x 6α ; 4 y α y 8 maka x y 8 9. iketahui vektor-vektor a i 4 j + k, x i + z j + 4 k, c i j + k dan d i + z j + x k. Jika vektor a tegak lurus terhadap dan vektor c tegak lurus terhadap d, maka a a. 6 j k c. 6 i k e. 4 i 6 j k. 4 i j k d. i k (Matematika 96 Rayon ) Jawa : E a jika a 0 x 4z + 0 x 4z c d jika c d 0 0 z + x 0 x z 0 z z x vektor i + j + 4 k 4 sehingga a i 6 j k 4 0. anjang vektor a, dan ( a + ) erturut-turut adalah, 8, dan 4 7. esar sudut antara a dan adalah a. 4 o. 60 o c. 90 o d. 0 o e. 0 o (Matematika 96 Rayon ) Jawa : a + a + + a (4 7 ) a cos α cos α cos α 96 9 cos α cos α 96 α 0 O 9. iketahui u dan v vektor tak nol semarang,, w v u + u v. Jika θ ( u, w ) dan φ ( v, w ), maka a. φ θ 90 o c. φ θ e. φ + θ 80 o. φ + θ 90 o d. θ φ 90 o (Matematika 96 Rayon )
19 Jawa : u. w θ ( u, w ) cos θ u w cos θ w. u v + ( u φ ( v, w v. w ) cos φ v w u.( v u + u v ) u u w v ) v.( v u + u v ) v w. v + u ( u u w v ).() v ( v. u) + u v v w u v + ( u. v ) cos φ.() w Ruas kiri pernyataan () dan () ernilai sama, sehingga cos θ cos φ atau θ φ. Q (,0,) dan vektor R (,,). Jika S Q, maka vektor RS a. (0,, ) c. (,, 0) e. (,, ). (, 0, ) d. (, 0, ) Jawa : (Matematika 97 Rayon ) Q S sedangkan RS S 0 R + S R + S (,,4), (,, ), dan (,p,q). Jika titik-titik, dan segaris, maka nilai-nilai p dan q erturut-turut adalah a. dan 4 c. dan 0 e. dan 0. dan 4 d. dan 0 (Matematika 97 Rayon ) Jawa : Titik, dan segaris, Maka haruslah memenuhi k k p 4 q k p sehingga 4 k k 4 6 q 4 6 k (p ) 6 4 (p ) 8 p p 6 k (q 4) 6 4 (q 4) 8 q 4 q 4 maka p dan q 4
20 6 4. a (4,) vektor (, ) dan vektor c (,7). Jika c p a + q, maka p q a.. c. d. e. (Matematika 97 Rayon ) Jawa : c p a + q p 4 + q 7 4p + q (x) 4 8p + q 7 p q (x) 7 p q + p p an 4() + q q. Jadi p q ( ). ada persegi panjang O, adalah titik tengah O dan titik potong dengan diagonal. Jika a O dan O, maka a. a + c. a e. a O. Jawa a d. a + Karena dan (Matematika 98 Rayon ) erhatikan : dan seangun : : : : : Sehingga searah, maka ( d c ) sedangkan d O a dan c O + + a sehingga [ a ( + a )] ( a ) a 6. adalah seuah elah ketupat u, v dan esar sudut α, maka akan selalu. u tegak lurus pada v. proyeksi u pada v adalah u sin α. u+ v u atau u+ v v 4. u + v tegak lurus u v (Matematika 98 Rayon ) Jawa : (4 saja) Sifat dari elah ketupat :. sejajar dan sejajar. T T dan T T. () T elum tentu sama dengan T, maka ( u, v ) elum tentu tegak lurus () u + v u + v + u v T
21 7 u + v + u v cos α u ( + cosα) Jadi () salah () proyeksi u pada v k v ( dengan k u v v u sin α k u akan sejajar u. Jadi salah (4) u + v dan u v. Jadi (4) enar u v karena elah ketupat ) akan sejajar v. Tetapi vektor 7. Jika a i j + k dan 4 i + j 6 k, maka. a + 4. a 8. a : : 4. a // ( Matematika 98 Rayon ) Jawa : E. a + i + j k a + ( ) + + ( ) 4. a : + ( ) + : ( 4) + + ( 6) 4 : 6 :. a ( 4) + ( ) + ( 6) ( i j + k ) a k a (k konstan tak nol) // a 8. iketahui persegi panjang O dengan panjang O dan. Jika O u dan O v, maka u. v () () 60 () 44 () 49 (E) 6 ( Matematika 99 Rayon ) Jawa : hitagoras : O O v O α u u. v u v cosα 44 O 9. iketahui vector a 4 i j + k dan titik (,,). Jika panjang Q sama dengan panjang a dan Q erlawanan arah dengan a, maka koordinat Q adalah () (, 4,0) () (, 4,0) () (6, 6,6) () ( 6,6, 6) (E) ( 6,0,0) ( Matematika 99 Rayon ) Jawa : Sifat: Q erlawanan dengan a Q k a, k < 0 Karena Q a k Q a (4,, ) ( 4,, ) Misalkan koordinat Q(x,y,z) Q (x, y +, z ) engan demikian: x 4 x ; y + y 4; z z 0 Titik Q(, 4, 0)
22 8 0. iketahui a i + x j + y k, y i + j + z k, c x i + z j + k. Jika a + c, maka () x, y, z () x, y, z (E) x, y, z () x, y, z () x, y, z ( Matematika 99 Rayon ) Jawa : E a + c ( + y, x +, y + z) (x, z, ) x y +, z x + dan y + z engan mensutitusi ketiga persamaan diatas diperoleh x, y, z
BAB VIII. DIMENSI TIGA
VIII. IMNSI TIG Macam-macam angun Ruang :. Limas. Kubus : Volume Limas luas alas x tinggi Kubus. G di atas mempunyai rusuk-rusuk yang panjangnya a. anjang diagonal bidang () a anjang diagonal ruang ()
Lebih terperinciVEKTOR. Notasi Vektor. Panjang Vektor. Penjumlahan dan Pengurangan Vektor (,, ) (,, ) di atas dapat dinyatakan dengan: Matriks = Maka = =
VEKTOR Notasi Vektor (,, ) (,, ) Vektor atau Matriks Maka di atas dapat dinyatakan dengan: Kombinasi linear vektor basis maka; ( ) + ( ) + ( ) + + (,, ) Panjang Vektor Misalkan + + (,, ), maka panjang
Lebih terperinciTRIGONOMETRI. Bab. Di unduh dari : Bukupaket.com. Aturan sinus Aturan kosinus Luas segitiga A. KOMPETENSI DASAR DAN PENGALAMAN BELAJAR
a 6 TRIGONOMETRI A. KOMPETENSI DASAR DAN PENGALAMAN ELAJAR Kompetensi Dasar 1. Menghayati pola hidup disiplin, kritis, ertanggungjawa, konsisten dan jujur serta menerapkannya dalam kehidupan sehari hari..
Lebih terperinciPertemuan XI, XII, XIII VI. Konstruksi Rangka Batang
ahan jar Statika Mulyati, ST., MT ertemuan XI, XII, XIII VI. Konstruksi Rangka atang VI. endahuluan Salah satu sistem konstruksi ringan yang mempunyai kemampuan esar, yaitu erupa suatu Rangka atang. Rangka
Lebih terperinciBESARAN VEKTOR. Gb. 1.1 Vektor dan vektor
BAB 1 BESARAN VEKTOR Tujuan Pembelajaran 1. Menjelaskan definisi vektor, dan representasinya dalam sistem koordinat cartesius 2. Menjumlahkan vektor secara grafis dan dengan vektor komponen 3. Melakukan
Lebih terperinci1). Definisi Relasi Relasi dari dua himpunan A dan B adalah pemasangan anggota-anggota A dengan anggota B.
Bayangkan suatu fungsi seagai seuah mesin, misalnya mesin hitung. Ia mengamil suatu ilangan (masukan), maka fungsi memproses ilangan yang masuk dan hasil produksinya diseut keluaran. x Masukan Fungsi f
Lebih terperinciVEKTOR. 45 O x PENDAHULUAN PETA KONSEP. Vektor di R 2. Vektor di R 3. Perkalian Skalar Dua Vektor. Proyeksi Ortogonal suatu Vektor pada Vektor Lain
VEKTOR y PENDAHULUAN PETA KONSEP a Vektor di R 2 Vektor di R 3 Perkalian Skalar Dua Vektor o 45 O x Proyeksi Ortogonal suatu Vektor pada Vektor Lain Soal-Soal PENDAHULUAN Dalam ilmu pengetahuan kita sering
Lebih terperinciVEKTOR A. Vektor Vektor B. Penjumlahan Vektor R = A + B
Amran Shidik MATERI FISIKA KELAS X 11/13/2016 VEKTOR A. Vektor Vektor adalah jenis besaran yang mempunyai nilai dan arah. Besaran yang termasuk besaran vektor antara lain perpindahan, gaya, kecepatan,
Lebih terperinciBAB 1 BESARAN VEKTOR. A. Representasi Besaran Vektor
BAB 1 BESARAN VEKTOR TUJUAN PEMBELAJARAN 1. Menjelaskan definisi vektor, dan representasinya dalam sistem koordinat cartesius 2. Menjumlahan vektor secara grafis dan matematis 3. Melakukan perkalian vektor
Lebih terperinciPendahuluan. 1.1 Latar Belakang
Pendahuluan 1.1 Latar elakang Geometri datar, merupakan studi tentang titik, garis, sudut, dan bangun-bangun geometri yang terletak pada sebuah bidang datar. erbagai mekanisme peralatan dalam kehidupan
Lebih terperinciPerkalian Titik dan Silang
PERKALIAN TITIK DAN SILANG Materi pokok pertemuan ke 3: 1. Perkalian titik URAIAN MATERI Perkalian Titik Perkalian titik dari dua buah vektor dan dinyatakan oleh (baca: titik ). Untuk lebih jelas, berikut
Lebih terperinciUraian Materi. Keliling dan Luas Bangun Datar. A. Macam-Macam Bangun Datar Beraturan. Perlu Tahu
Keliling dan Luas angun atar Segala sesuatu di muka bumi ini memunyai bentuk dan ukuran. i dalam matematika, benda yang memunyai ukuran dapat dilakukan perhitungan terhadap benda tersebut. Ilmu yang mempelajari
Lebih terperinciVEKTOR. Gambar 1.1 Gambar 1.2 Gambar 1.3. Liduina Asih Primandari, S.Si., M.Si.
VEKTOR 1 A. Definisi vektor Beberapa besaran Fisika dapat dinyatakan dengan sebuah bilangan dan sebuah satuan untuk menyatakan nilai besaran tersebut. Misal, massa, waktu, suhu, dan lain lain. Namun, ada
Lebih terperinciPERSAMAAN FUNGSI KUADRAT-1
PERSAMAAN FUNGSI KUADRAT- Mata Pelajaran K e l a s Nomor Modul : Matematika : X (Sepuluh) : MAT.X.0 Penulis Pengkaji Materi Pengkaji Media : Drs. Suyanto : Dra.Wardani Rahayu, M.Si. : Drs. Soekiman DAFTAR
Lebih terperinciSifat-Sifat Bangun Datar dan Bangun Ruang
ab 9 Sifat-Sifat angun Datar dan angun Ruang Setiap benda memiliki sifat yang menjadi ciri khas benda tersebut. oba kamu sebutkan bagaimana sifat yang dimiliki oleh benda yang terbuat dari karet! egitu
Lebih terperinciMatriks & Operasi Matriks (2) Pertemuan 5 Aljabar Linear & Matriks
Matriks & Operasi Matriks () Pertemuan 5 Aljaar Linear & Matriks Sifat-sifat Operasi Matriks Perkalian antara dua matriks tidak mengikuti hukum komutatif, artinya AB tidak sama dengan BA (dengan asumsi
Lebih terperinciVEKTOR 2 SMA SANTA ANGELA. A. Pengertian Vektor Vektor adalah besaran yang memiliki besar dan arah. Dilambangkan dengan :
1 SMA SANTA ANGELA VEKTOR A. Pengertian Vektor Vektor adalah besaran yang memiliki besar dan arah. Dilambangkan dengan : A B Keterangan : Titik A disebut titik Pangkal Titik B disebut titik Ujung Dinotasikan
Lebih terperinci1 Mengapa Perlu Belajar Geometri Daftar Pustaka... 1
Daftar Isi 1 Mengapa Perlu Belajar Geometri 1 1.1 Daftar Pustaka.................................... 1 2 Ruang Euclid 3 2.1 Geometri Euclid.................................... 8 2.2 Pencerminan dan Transformasi
Lebih terperinciAljabar Linier Elementer. Kuliah ke-9
Aljabar Linier Elementer Kuliah ke-9 Materi kuliah Hasilkali Titik Proyeksi Ortogonal 7/9/2014 Yanita, FMIPA Matematika Unand 2 Hasilkali Titik dari Vektor-Vektor Definisi Jika u dan v adalah vektor-vektor
Lebih terperinciArahnya diwakili oleh sudut yang dibentuk oleh A dengan ketigas umbu koordinat,
VEKTOR Dalam mempelajari fisika kita selalu berhubungan dengan besaran, yaitu sesuatu yang dapat diukur dan dioperasikan. da besaran yang cukup dinyatakan dengan nilai (harga magnitude) dan satuannya saja,
Lebih terperinciPERKALIAN DUA VEKTOR & PROYEKSI VEKTOR
PERKALIAN DUA VEKTOR & PROYEKSI VEKTOR. Identitas Mata Pelajaran : Matematika X (Peminatan). Semester : c. Kompetensi Dasar : Kompetensi Dasar. Kompetensi Dasar 4. Menjelaskan vektor, operasi vektor, panjang
Lebih terperinciMatematika II : Vektor. Dadang Amir Hamzah
Matematika II : Vektor Dadang Amir Hamzah sumber : http://www.whsd.org/uploaded/faculty/tmm/calc front image.jpg 2016 Dadang Amir Hamzah Matematika II Semester II 2016 1 / 24 Outline 1 Pendahuluan Dadang
Lebih terperinciOutline Vektor dan Garis Koordinat Norma Vektor Hasil Kali Titik dan Proyeksi Hasil Kali Silang. Geometri Vektor. Kusbudiono. Jurusan Matematika
Jurusan Matematika 1 Nopember 2011 1 Vektor dan Garis 2 Koordinat 3 Norma Vektor 4 Hasil Kali Titik dan Proyeksi 5 Hasil Kali Silang Definisi Vektor Definisi Jika AB dan CD ruas garis berarah, keduanya
Lebih terperinciDIKTAT MATEMATIKA II
DIKTT MTEMTIK II (VEKTOR) Drs.. NN PURNWN, M.T JURUSN PENDIDIKN TEKNIK MESIN FKULTS PENDIDIKN TEKNOLOGI DN KEJURUN UNIVERSITS PENDIDIKN INDONESI 004 VEKTOR I. PENDHULUN 1.1. PENGERTIN Sepotong garis berarah
Lebih terperinci50 LAMPIRAN NILAI SISWA SOAL INSTRUMEN Nama : Kelas : No : BERILAH TANDA SILANG (X) PADA JAWABAN YANG DIANGGAP BENAR! 1. Persegi adalah.... a. Bangun segiempat yang mempunyai empat sisi dan panjang
Lebih terperinciSoal No. 1 Perhatikan gambar berikut, PQ adalah sebuah vektor dengan titik pangkal P dan titik ujung Q
Soal No. 1 Perhatikan gambar berikut, PQ adalah sebuah vektor dengan titik pangkal P dan titik ujung Q a) Nyatakan PQ dalam bentuk vektor kolom b) Nyatakan PQ dalam bentuk i, j (vektor satuan) c) Tentukan
Lebih terperinciJika titik O bertindak sebagai titik pangkal, maka ruas-ruas garis searah mewakili
4.5. RUMUS PERBANDINGAN VEKTOR DAN KOORDINAT A. Pengertian Vektor Posisi dari Suatu Titik Misalnya titik A, B, C Dan D. adalah titik sebarang di bidang atau di ruang. Jika titik O bertindak sebagai titik
Lebih terperinciVEKTOR. Oleh : Musayyanah, S.ST, MT
VEKTOR Oleh : Musayyanah, S.ST, MT 1 2.1 ESRN SKLR DN VEKTOR Sifat besaran fisis : esaran Skalar Skalar Vektor esaran yang cukup dinyatakan oleh besarnya saja (besar dinyatakan oleh bilangan dan satuan).
Lebih terperinciDimensi Tiga. (Proyeksi & Sudut)
imensi Tiga (Proyeksi & Sudut) 1 Setelah menyaksikan tayangan ini anda dapat Menentukan proyeksi dan besar sudut dalam ruang dimensi tiga 2 Proyeksi Pada angun Ruang: proyeksi titik pada garis proyeksi
Lebih terperinciProgram Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI SUMBAR
VEKTOR DAN SKALAR Materi pokok pertemuan ke I: 1. Vektor dan skalar 2. Komponen vektor 3. Operasi dasar aljabar vektor URAIAN MATERI Masih ingatkah Anda tentang vektor? Apa beda vektor dengan skalar? Ya,
Lebih terperinciMODUL 2. Tatanan Rumah
MDUL MDUL Tatanan Rumah i Kata Pengantar Daftar Isi Pendidikan kesetaraan seagai pendidikan alternatif memerikan layanan kepada mayarakat yang karena kondisi geografis, sosial udaya, ekonomi dan psikologis
Lebih terperinciRuang Vektor Euclid R 2 dan R 3
Ruang Vektor Euclid R 2 dan R 3 Kuliah Aljabar Linier Semester Ganjil 2015-2016 MZI Fakultas Informatika Telkom University FIF Tel-U September 2015 MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September 2015
Lebih terperinciMATRIKS DAN TRANSFORTASI I. MATRIKS II. TRANSFORMASI MATRIKS & TRANSFORMASI. a b. a b DETERMINAN. maka determinan matriks A.
MATRIKS DAN TRANSFORTASI I. MATRIKS PENGERTIAN Matriks adalah kumpulan ilangan yang dinyatakan dalam aris kolom. Matriks A = 5 dengan ukuran (ordo) : X. Artinya matriks terseut tersusun atas aris kolom.
Lebih terperinciLetak Suatu Tempat di Permukaan Bumi
Sumber: www.wikipedia.org Letak Suatu Tempat di Permukaan umi Pernahkah kalian mendengar istilah film 3 dimensi? Film ini disukai karena terlihat lebih nyata. Sebenarnya, apa arti kata dimensi? imensi
Lebih terperinciGeometri pada Bidang, Vektor
Jurusan Matematika FMIPA Unsyiah September 9, 2011 Secara geometrik, vektor pada bidang dapat digambarkan sebagai ruas garis berarah (anak panah). Panjang dari anak panah merepresentasikan besaran (magnitude)
Lebih terperinciVEKTOR II. Tujuan Pembelajaran
Kurikulum 03 Kelas X matematika PEMINATAN VEKTOR II Tujuan Pembelajaran Setelah mempelajari materi ini, kamu diharapkan memiliki kemampuan berikut.. Memahami tentang pembagian vektor.. Memahami tentang
Lebih terperinciSUMBER BELAJAR PENUNJANG PLPG 2016 MATA PELAJARAN/PAKET KEAHLIAN GURU KELAS SD
SUMER ELJR PENUNJNG PLPG 2016 MT PELJRN/PKET KEHLIN GURU KELS S III GEOMETRI ra.hj.rosdiah Salam, M.Pd. ra. Nurfaizah, M.Hum. rs. Latri S, S.Pd., M.Pd. Prof.r.H. Pattabundu, M.Ed. Widya Karmila Sari chmad,
Lebih terperinci8 SEGITIGA DAN SEGI EMPAT
8 SEGITIG N SEGI EMPT Hampir setiap konstruksi bangunan yang dibuat manusia memuat bentuk bangun segitiga dan segi empat. matilah lingkungan sekitarmu. entuk bangun manakah yang ada pada benda-benda di
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. A. Latar Belakang. B. Tujuan. D. Rumusan Masalah
I PENDHULUN. Latar elakang Geometri (daribahasayunani, geo = bumi, metria = pengukuran) secaraharfiah berarti pengukuran tentang bumi, adalahcabangdarimatematika yang mempelajari hubungan di dalamruang.
Lebih terperinciJarak Titik ke Bidang
Jarak itik ke idang Jika sebuah titik terletak pada bidang α maka jarak antara titik dengan bidang α adalah 0. Sedangkan jika titik tidak terletak pada bidang α maka jaraknya dapat ditentukan dengan langkah-langkah
Lebih terperinciBAB 1 Vektor. Fisika. Tim Dosen Fisika 1, Ganjil 2016/2017 Program Studi S1 - Teknik Telekomunikasi Fakultas Teknik Elektro - Universitas Telkom
A 1 Vektor Fisika Tim Dosen Fisika 1, Ganjil 2016/2017 Program Studi S1 - Teknik Telekomunikasi Fakultas Teknik Elektro - Universitas Telkom Sub Pokok ahasan Definisi Vektor Penjumlahan Vektor Vektor Satuan
Lebih terperinciBAB II FUNGSI, PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN KUADRAT
BAB II FUNGSI, PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN KUADRAT Standar kompetensi:. Memecahkan masalah yang erkaitan dengan fungsi, persamaan dan pertidaksamaan kuadrat Kompetensi Dasar:. Memahami konsep fungsi.
Lebih terperinciPERSAMAAN BIDANG RATA
1 KEGIATAN BELAJAR 5 PERSAMAAN BIDANG RATA Setelah mempelajari kegiatan belajar 5 ini, mahasiswa diharapkan mampu: 1. Menentukan persamaan vektoris bidang rata 2. Menentukan persamaan linier bidang rata
Lebih terperinciSOAL&PEMBAHASAN MATEMATIKATKDSAINTEK SBMPTN. yos3prens.wordpres.com
SOAL&PEMBAHASAN MATEMATIKATKDSAINTEK SBMPTN 05 yosprens.wordpres.com SOAL DAN PEMBAHASAN MATA UJI MATEMATIKA TKD SAINTEK SBMPTN 05 Berikut ini 5 soal mata uji matematika beserta pembahasannya yang diujikan
Lebih terperinciSOAL-SOAL LATIHAN DIMENSI TIGA UJIAN NASIONAL
SOL-SOL LIN IMNSI I UJIN NSIONL Peserta didik memiliki kemampuan memahami konsep pada topik () Kedudukan dan jarak dari titik, garis, dan bidang, () esar sudut antara garis dan bidang serta antara ua idang.
Lebih terperinciBab 1 : Skalar dan Vektor
Bab 1 : Skalar dan Vektor 1.1 Skalar dan Vektor Istilah skalar mengacu pada kuantitas yang nilainya dapat diwakili oleh bilangan real tunggal (positif atau negatif). x, y dan z kita gunakan dalam aljabar
Lebih terperinciMateri Aljabar Linear Lanjut
Materi Aljabar Linear Lanjut TRANSFORMASI LINIER DARI R n KE R m ; GEOMETRI TRANSFORMASI LINIER DARI R 2 KE R 2 Disusun oleh: Dwi Lestari, M.Sc email: dwilestari@uny.ac.id JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA
Lebih terperinciDrs.Turmudi, M.Ed., M.Sc., Ph.D.
TITIK RIS N SUUT PLTIN URU-URU MTMTIK I MNOKWRI PPU RT Oleh: rs.turmudi, M.d., M.Sc., Ph.. PNIIKN MTMTIK UNIVRSITS PNIIKN INONSI 2010 1 1. Titik, garis dan Sudut alam mempelajari geometri menggunakan pendekatan-pendekatan
Lebih terperinci2. Tentukan persamaan garis yang melalui titik P (x 1,y 1,z 1 ) dan R (x 2,y 2,z 2 ) seperti yang ditunjukkan pada gambar. Z P Q R
. Jika dan vektor-vektor tak kolinear dan A = ( x + 4y ) + ( 2x + y + ) dan B = ( y 2x + 2 ) + ( 2x 3y -), maka carilah nilai x dan y sehingga 3A = 2B. Penyelesian: 3A = 2 B 3(x + 4y ) +3 ( 2x + y + )b
Lebih terperinciBESARAN VEKTOR B A B B A B
Besaran Vektor 8 B A B B A B BESARAN VEKTOR Sumber : penerbit cv adi perkasa Perhatikan dua anak yang mendorong meja pada gambar di atas. Apakah dua anak tersebut dapat mempermudah dalam mendorong meja?
Lebih terperinciTransformasi Geometri. Transformasi Geometri B A B. A. Translasi. B. Refleksi. C. Rotasi. D. Dilatasi. E. Komposisi Transformasi dengan Matriks
Transformasi Geometri Transformasi Geometri B B 6. Translasi B. Refleksi C. Rotasi D. Dilatasi E. Komposisi Transformasi dengan Matriks Sumer: www.geocities.com Pantograf adalah alat untuk menggamar ulang
Lebih terperinci6. 2 Menerapkan konsep fungsi linier Menggambarkan fungsi kuadrat Menerapkan konsep fungsi kuadrat
Sumer: Art and Gallery Standar Kompetensi 6. Memecahkan masalah yang erkaitan dengan fungsi, persamaan fungsi linier dan fungsi kuadrat Kompetensi Dasar 6. Mendeskripsikan peredaan konsep relasi dan fungsi
Lebih terperinciGeometri pada Bidang, Vektor
Prodi Matematika FMIPA Unsyiah September 9, 2011 Melalui pendekatan aljabar, vektor u dinyatakan oleh pasangan berurutan u 1, u 2. Disini digunakan notasi u 1, u 2 bukan (u 1, u 2 ) karena notasi (u 1,
Lebih terperinciKonstruksi Rangka Batang
Konstruksi Rangka atang Salah satu sistem konstruksi ringan yang mempunyai kemampuan esar, yaitu erupa suatu Rangka atang. Rangka atang merupakan suatu konstruksi yang terdiri dari sejumlah atang atang
Lebih terperinciB. Rotasi dan Dilatasi
. Rotasi dan ilatasi 1. Rotasi (Perputaran) Pada Gambar 6.19 tampak bahwa diputar dengan pusat 0 sejauh α 0 menjadi. tau dapat dikatakan, pada rotasi dengan pusat 0 sudut putar α 0 membawa ke. Rotasi dengan
Lebih terperinciPEMETAAN MÖBIUS. Gani Gunawan. Jurusan Matematika, UNISBA, Jalan Tamansari No 1, Bandung,40116, Indonesia
Jurnal Matematika Vol6 No Novemer 006 [ : 7 ] PEMETAAN MÖBIUS Jurusan Matematika, UNISBA, Jalan Tamansari No, Banung,406, Inonesia ggan06@yahoocom Astrak Transformasi ilinear apat ikomposisikan ari transformasi
Lebih terperinciDefinisi Jumlah Vektor Jumlah dua buah vektor u dan v diperoleh dari aturan jajaran genjang atau aturan segitiga;
BAB I VEKTOR A. DEFINISI VEKTOR 1). Pada mulanya vektor adalah objek telaah dalam ilmu fisika. Dalam ilmu fisika vektor didefinisikan sebagai sebuah besaran yang mempunyai besar dan arah seperti gaya,
Lebih terperincib. Titik potong grafik dengan sumbu y, dengan mengambil x = 0
B.3 Fungsi Kuadrat a. Tujuan Setelah mempelajari uraian kompetensi dasar ini, anda dapat: Menentukan titik potong grafik fungsi dengan sumu koordinat, sumu simetri dan nilai ekstrim suatu fungsi Menggamar
Lebih terperinciBESARAN SKALAR DAN VEKTOR. Besaran Skalar. Besaran Vektor. Sifat besaran fisis : Skalar Vektor
PERTEMUAN II VEKTOR BESARAN SKALAR DAN VEKTOR Sifat besaran fisis : Skalar Vektor Besaran Skalar Besaran yang cukup dinyatakan oleh besarnya saja (besar dinyatakan oleh bilangan dan satuan). Contoh : waktu,
Lebih terperinciBAB II V E K T O R. Untuk menyatakan arah vektor diperlukan sistem koordinat.
.. esaran Vektor Dan Skalar II V E K T O R da beberapa besaran fisis yang cukup hanya dinyatakan dengan suatu angka dan satuan yang menyatakan besarnya saja. da juga besaran fisis yang tidak cukup hanya
Lebih terperinciVektor di ruang dimensi 2 dan ruang dimensi 3
Vektor di ruang dimensi 2 dan ruang dimensi 3 Maulana Malik 1 (maulana.malik@sci.ui.ac.id) 1 Departemen Matematika FMIPA UI Kampus Depok UI, Depok 16424 2014/2015 1/21 maulana.malik@sci.ui.ac.id Vektor
Lebih terperinciA. Kajian ulang tentang fungsi Pada gambar di bawah ini diberikan diagram panah suatu relasi dari himpunan
MODUL FUNGSI KUADRAT Materi: Fungsi Kuadrat A Kajian ulang tentang fungsi B Fungsi kuadrat dan grafiknya C Menentukan fungsi kuadrat D Menentukan sumu simetri, titik puncak, sifat definit positif atau
Lebih terperinciSumber:
Transformasi angun Datar Geometri transformasi adalah teori ang menunjukkan bagaimana bangun-bangun berubah kedudukan dan ukuranna menurut aturan tertentu. Contoh transformasi matematis ang paling umum
Lebih terperinciMODUL 3 BIDANG RATA. [Program Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI Sumatera Barat]
1 MODUL 3 BIDANG RATA Setelah mempelajari modul 1 dan 2 anda akan melanjutkan mempelajari modul 3 tentang bidang rata. Materi bidang rata ini berkaitan dengan materi pada modul sebelumnya. Pada modul 3
Lebih terperinciVII III II VIII HAND OUT PERKULIAHAN GEOMETRI ANALITIK
HAND OUT PERKULIAHAN GEOMETRI ANALITIK A. Sistem Koordinat Tegak Lurus Suatu sistem koordinat tegak lurus disebut juga dengan sistem koordinat cartesian. Di dalam ruang, terdapat tiga buah garis lurus
Lebih terperinciKonsep Dasar Geometri
Konsep Dasar Geometri. Segitiga 1. Definisi Segitiga Segitiga merupakan model bangun ruang datar yang dibatasi oleh tiga ruas garis. 2. Klasifikasi Segitiga a) Segitiga menurut panjang sisinya 1) Segitiga
Lebih terperinciBAB III RUANG VEKTOR R 2 DAN R 3. Bab ini membahas pengertian dan operasi vektor-vektor. Selain
BAB III RUANG VEKTOR R DAN R 3 Bab ini membahas pengertian dan operasi ektor-ektor. Selain operasi aljabar dibahas pula operasi hasil kali titik dan hasil kali silang dari ektor-ektor. Tujuan Instruksional
Lebih terperinciGESERAN atau TRANSLASI
GESERAN atau TRANSLASI Makalah ini disusun untuk memenuhi Tugas Geometri Transformasi Dosen Pembimbing : Havid Risyanto, S.Si., M.Sc. D I S U S U N O L E H 1. AMILIA 1111050031 2. HAIRUDIN 1111050153 3.
Lebih terperinciGEOMETRI DIMENSI DUA. B. Keliling dan Luas Bangun Datar. 1. Persegi. A s
. Keliling dan Luas angun atar 1. Persegi GEOMETRI IMENSI U s s Sifat Sifat : Keempat sisinya sama panjang, = = = Keempat sudutnya siku-siku = = = = 90 o Kedua diagonalnya sama panjang dan saling berpotongan
Lebih terperinciSD kelas 6 - MATEMATIKA BAB 11. BIDANG DATARLatihan Soal 11.1
SD kelas 6 - MATEMATIKA BAB 11. BIDANG DATARLatihan Soal 11.1 1. Perhatikan gambar di bawah ini! http://primemobile.co.id/assets/uploads/materi/123/1701_5.png Dari bangun datar di atas, maka sifat bangun
Lebih terperinci1. Jika p dan q akar-akar persamaan. x 2 bx c 0 dan k konstanta real, maka
PERSAMAAAN DAN FUNGSI KUADRAT Bentuk umum persamaan kuadrat a + + c =0, a 0 Akar-akar persamaan : D = a D = 4ac Menyusun persamaan paraola y q = a ( p) Diskriminan (D = 4ac) Persamaan kuadrat memiliki.
Lebih terperinciA x pada sumbu x dan. Pembina Olimpiade Fisika davitsipayung.com. 2. Vektor. 2.1 Representasi grafis sebuah vektor
. Vektor.1 Representasi grafis sebuah vektor erdasarkan nilai dan arah, besaran dibagi menjadi dua bagian aitu besaran skalar dan besaran vektor. esaran skalar adalah besaran ang memiliki nilai dan tidak
Lebih terperinciGEOMETRI DALAM RUANG DIMENSI TIGA
GEOMETRI DLM RUNG DIMENSI TIG GEOMETRI DLM RUNG DIMENSI TIG (l. Krismanto, M.Sc.) I. KEDUDUKN TITIK, GRIS, DN IDNG. TITIK, GRIS DN IDNG Titik merupakan unsur ruang yang paling sederhana, tidak didefinisikan,
Lebih terperinciBAB I KESEBANGUNAN BANGUN DATAR
I KSNGUNN NGUN TR Peta Konsep Kesebangunan angun atar prasyarat Kesebangunan ua angun atar terdiri atas ua bangun datar kongruen khususnya Segitiga kongruen ua bangun datar sebangun khususnya Segitiga
Lebih terperinci4. Mononom dan Polinom
Darpulic www.darpulic.com 4. Mononom dan Polinom Sudaratno Sudirham Mononom adalah pernataan tunggal ang erentuk k n, dengan k adalah tetapan dan n adalah ilangan ulat termasuk nol. Fungsi polinom merupakan
Lebih terperinciMatematika Semester IV
F U N G S I KOMPETENSI DASAR Mendeskripsikan perbedaan konsep relasi dan fungsi Menerapkan konsep fungsi linear Menggambar fungsi kuadrat Menerapkan konsep fungsi kuadrat Menerapkan konsep fungsi trigonometri
Lebih terperinciGEOMETRI BIDANG. Disampaikan dalam PEMBEKALAN OSN-2010 SMP N I KEBBUMEN Mata Pelajaran: Matematika
GEMETRI ING isampaikan dalam EMEKLN SN-00 SM N I KEUMEN Mata elajaran: Matematika leh: Murdanu, M.d. Jurusan endidikan Matematika FMI Universitas Negeri Yogyakarta SEKLH MENENGH ERTM NEGERI KEUMEN 00 GEMETRI
Lebih terperinciTEOREMA PYTHAGORAS. Kata-Kata Kunci: teorema Pythagoras tripel Pythagoras segitiga siku-siku istimewa. Sumber: Indonesian Heritage, 2002
5 TEOREM PYTHGORS Sumber: Indonesian Heritage, 00 Pernahkah kalian memerhatikan para tukang kayu atau tukang bangunan? Dalam bekerja, mereka banyak memanfaatkan teorema Pythagoras. oba perhatikan kerangka
Lebih terperincia menunjukkan jumlah satuan skala relatif terhadap nol pada sumbu X Gambar 1
1. Koordinat Cartesius Sistem koordinat Cartesius terdiri dari dua garis yang saling tegak lurus yang disebut sumbu Sumbu horizontal disebut sumbu X dan sumbu vertikal disebut sumbu Y Tiap sumbu mempunyai
Lebih terperinciDIMENSI TIGA. 3. Limas. Macam-macam Bangun Ruang : 1. Kubus : 1 luas alas x tinggi. Volume Limas = 3. = luas alas + luas bidang sisi tegak
DIMENSI TIA Macam-macam angun Ruang :. Limas. Kubus : Volume Limas luas alas x tinggi Kubus AD. EH di atas mempunyai rusuk-rusuk yang panjangnya a. Panjang diagonal bidang (AH) a Panjang diagonal ruang
Lebih terperinciBy Drs. La Misu, M.Pd Drs. La Arapu,, M.Si Reviewers: Dr. Sugiman, M.Si SUBJECT MATTER
SUJET MTTER o m p i L e d y rs. La Misu, M.Pd rs. La rapu,, M.Si Reviewers: r. Sugiman, M.Si epartment Of Mathematics Education and Natural Sciences Faculty of Teacher Training and Education H L U O L
Lebih terperinciPEMBUKTIAN TEOREMA PYTHAGORAS DARI EUCLID
1 MKIN OM YHGO I LI {{ umardyono, M.d. }} NHLN eorema apa yang pertama kali dikenal siswa di sekolah? Ya, eorema ythagoras. Walaupun anyak dalil yang dikenal siswa di sekolah namun dalil dengan nama khusus
Lebih terperinciUN SMA IPA 2010 Matematika
UN SMA IPA 00 Matematika Kode Soal P0 Doc. Name: UNSMAIPA00MATP0 Doc. Version : 0-0 halaman 0. Akar-akar persamaan kuadrat x² + (a - ) x + =0 adalah α dan β. Jika a > 0 maka nilai a =. 8 x 0. Diketahui
Lebih terperinciVektor di Bidang dan di Ruang
Vektor di Bidang dan di Ruang 4.1. Pengertian, notasi,dan operasi pada ektor Vektor merupakan istilah untuk menyatakan besaran yang mempunyai arah. Secara geometris, ektor dinyakan dengan segmen-segmen
Lebih terperinciLetak Suatu Tempat di Permukaan Bumi
Sumber: www.wikipedia.org Letak Suatu Tempat di Permukaan umi Pernahkah kalian mendengar istilah film 3 dimensi? Film ini disukai karena terlihat lebih nyata. Sebenarnya, apa arti kata dimensi? imensi
Lebih terperinciGelanggang Evalusi dan Sifat-sifatnya
Vol. 5, No.1, 52-57, Juli 2008 Gelanggang Evalusi dan Sifat-sifatnya Amir Kamal Amir Astrak Sifat-sifat gelanggang evaluasi eserta pemuktiannya sudah ada dieerapa literatur seperti misalnya pada McConnel
Lebih terperinciB a b 2. Vektor. Sumber:www.tallship.org
a b 2 Vektor Sumber:www.tallship.org Pada bab ini, nda akan diajak untuk dapat menerapkan konsep besaran Fisika dan pengukurannya dengan cara melakukan penjumlahan vektor. Pernahkah nda mengarungi lautan
Lebih terperinci19. VEKTOR. 2. Sudut antara dua vektor adalah θ. = a 1 i + a 2 j + a 3 k; a. a =
19. VEKTOR A. Vektor Secara Geometri 1. Ruas garis berarah AB = b a. Sudut antara dua vektor adalah θ 3. Bila AP : PB = m : n, maka: B. Vektor Secara Aljabar a1 1. Komponen dan panjang vektor: a = a =
Lebih terperinciBANGUN RUANG SISI DATAR LIMAS DAN PRISMA TEGAK
9 NGUN RUNG SISI R LIMS N PRISM GK Perhatikan atap dari sebuah rumah. agaimanakah bentuk atap rumah? Gambar di samping menunjukkan bangunan Gedung Rektorat Universitas Indonesia. Perhatikan bentuk atap
Lebih terperinciDIMENSI TIGA. 5. Tabung. Luas = 2 r ( r + t ) Vol = r 2 t. 6. Kerucut. Luas = r (r+s) ( s = pjg sisi miring ) Vol = 1/3. luas alas. tinggi. 7.
INI IG endahuluan: ab imensi iga ini merupakan kelanjutan dari materi pelajaran bangun ruang sewaktu di dulu. aat di, hal yang dibahas adalah luas permukaan dan volume bangun ruang, sedangkan di ditambahkan
Lebih terperinciKomposisi fungsi dan invers fungsi. Syarat agar suatu fungsi mempunyai invers. Grafik fungsi invers
Komposisi fungsi dan invers fungsi mempelajari Fungsi komposisi menentukan Fungsi invers terdiri dari Syarat dan aturan fungsi yang dapat dikomposisikan Nilai fungsi komposisi dan pembentuknya Syarat agar
Lebih terperinciVEKTOR. Besaran skalar (scalar quantities) : besaran yang hanya mempunyai nilai saja. Contoh: jarak, luas, isi dan waktu.
VEKTOR Kata vektor berasal dari bahasa Latin yang berarti "pembawa" (carrier), yang ada hubungannya dengan "pergeseran" (diplacement). Vektor biasanya digunakan untuk menggambarkan perpindahan suatu partikel
Lebih terperinciTRANSFORMASI. Kegiatan Belajar Mengajar 6
Kegiatan elajar Mengajar 6 TRNSFORMSI Drs. Zainuddin, M.Pd Tranformasi (perpindahan) ang dipelajari dalam matematika, antara lain translasi (pergeseran), refleksi (pencerminan), rotasi (perputaran), dan
Lebih terperinciLUAS IRISAN PENAMPANG H G E F D C H G E F D C
LUS IRISN PNMPN Soal-soal Latihan a. Pada kubus. dengan rusuk = 1, R pada sehingga R= ¾. Lukis dan hitunglah luas irisan penampang yang melalui R // // dengan kubus. b. iketahui kubus. dengan rusuk = 1,
Lebih terperincifi5080-by-khbasar BAB 1 Analisa Vektor 1.1 Notasi dan Deskripsi
BB 1 nalisa Vektor Vektor, dibedakan dari skalar, adalah suatu besaran yang memiliki besar dan arah. rtinya untuk mendeskripsikan suatu besaran vektor secara lengkap perlu disampaikan informasi tentang
Lebih terperinciUM UNPAD 2007 Matematika Dasar
UM UNPAD 007 Matematika Dasar Kode Soal Doc. Name: UMUNPAD007MATDAS999 Version : 0- halaman 0. Jika A e adalah komplemen dari A, maka daerah yang diarsir pada diagram Venn di awah ini dapat dinyatakan
Lebih terperinciSEGITIGA DAN SEGIEMPAT
8 SEGITIG N SEGIEMPT Segitiga Simetri putar Segitiga sama kaki asis bagi Persegi panjang Segitiga sama sisi Garis tinggi Persegi Segitiga sembarang Garis berat Jajar genjang Segitiga lancip Garis sumbu
Lebih terperinciBAB V BAHAN LATIHAN DAN SARAN PEMECAHANNYA
V HN LTIHN N SRN PMHNNY. ahan Latihan Kerjakanlah soal-soal berikut. Jangan mencoba melihat petunjuk atau kunci, sebelum benar-benar nda mengalami jalan buntu. 1. alam sebuah persegipanjang ditarik 40
Lebih terperinciSelain besaran pokok dan turunan, besaran fisika masih dapat dibagi atas dua kelompok lain yaitu besaran skalar dan besaran vektor
Selain besaran pokok dan turunan, besaran fisika masih dapat dibagi atas dua kelompok lain yaitu besaran skalar dan besaran vektor Besaran skalar adalah besaran yang hanya memiliki nilai saja. Contoh :
Lebih terperinciPesawat Terbang. gaya angkat. gaya berat
Sumber: www.staralliance.com Pesawat Terbang Terbayangkah kalian dengan teknologi pesawat terbang? Alat transportasi ini diciptakan dengan teknologi yang canggih. Salah satunya adalah saat merancang konstruksi
Lebih terperinci