PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN DENGAN HARGA MUTLAK PENDAHULUAN

Transkripsi

1 Drs. Karso Modul 9 PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN DENGAN HARGA MUTLAK PENDAHULUAN Modul ang sekarang Anda pelajri ini adalah modul ang kesembilan dari mata kuliah Matematika Sekolah Dasar Lanjut. Adapun materi bahasanna terbagi menjadi dua bagian besar. Bagian pertama dari Kegiatan Pertama membahas tentang persamaan dengan harga mutlak. Dalam bagian ini dibahas mulai dari pengertian konsep harga mutlak, hubungan antara jarak dengan harga mutlak, persamaan dan kesamaan, sifat-sifat atau teorema-teorema harga mutlak sampai pada penerapanna dalam menelesaikan persamaan dengan satu dan dua harga mutlak. Kemudian dalam bagian kegiatan belajar ang kedua dibahas persoalan pertidaksamaan dengan harga mutlak. Topik-topik bahasanna meliputi pengertian konsep dasar pertidaksamaan, sifat-sifat pertidaksamaan, sifat-sifat pertidaksamaan harga mutlak, dan penelesaian pertidaksamaan harga mutlak. Dalam membahas sifat-sifat atau teoremateorema tentang persamaan harga mutlak dan pertidaksamaan harga mutlak dilengkapi pula dengan alternatif-alternatif pembuktianna. Materi-materi dalam modul ini ada ang menangkut materi-materi dasar seperti konsep harga mutlak, persamaan, pertidaksamaan beserta sifat-sifatna. Materi-materi ini merupakan materi-materi prasarat dalam mempelajari matematika lainna. Selain itu, dalam modul inipun banak dimuat materi-materi pendalaman untuk menambah wawasan matematika sehingga akan memantapkan pemahaman matematika lanjut lainna dan dalam menjalani pembelajaran di sekolah dasar. Perlu pula diketahui bahwa untuk mempelajari materi-materi dalam modul ini tentuna akan mempermudah Anda dalam mempelajarina, jika kita telah memahami materi-materi matematika sekolah. Selain itu tentuna pula akan sangat membantu Anda dalam memahami materi dalam modul ini jika kita telah memahami materi-materi dalam

2 modul sebelumna, termasuk materi-materi matematika dalam modul-modul program D PGSD. Secara umum tujuan instruksional ang hendak dicapai modul ini adalah mengharapkan Anda untuk dapat menjelaskan konsep harga mutlak serta dapat menerapkanna untuk mencari solusi persamaan dan pertidaksamaan harga mutlak. Sedangkan secara khusus diharapkan Anda dapat a. menjelaskan konsep harga mutlak; b. menimpulkan hubungan antara jarak dan harga mutlak; c. menerapkan sifat-sifat harga mutlak pada penelesaian masalah persamaan dengan satu harga mutlak; d. menerapkan sifat-sifat harga mutlak untuk menelesaikan persamaan dengan dua harga mutlak; e. menjelaskan pertidaksamaan harga mutlak; dan f. menentukan solusi pertidaksamaan dengan harga mutlak.

3 KEGIATAN BELAJAR PERSAMAAN DENGAN HARGA MUTLAK a. Harga Mutlak Dalam kehidupan sehari-hari, seringkali kita diharapkan pada permasalahan ang berhubungan dengan jarak. Misalna kita ingin menghitung jarak antara kota ang satu dengan kota ang laina, atau jarak antara dua patok tertentu. Dalam kaitanna dengan pengukuran jarak antara dua tempat ini, timbulah sesuatu keistimewaan, bahwa jarak ini hargana selalu positif. Dengan kata lain pengukuran jarak antara dua tempat nilaina tidak pernah negatif. Secara khusus, dalam matematika untuk memberikan jaminan bahea sesuatu itu nilaina selalu positif diberikanlah suatu pengertian ang sering kita namakan sebagai harga mutlak. Jadi, harga mutlak atau nilai mutlak adalah suatu konsep dalam matematika ang menatakan selalu positif. Secara matematis pengertian harga mutlak dari setiap bilangan real ang ditulis dengan simbol, ialah nilai positif dari nilai dan -. Untuk lebih jelasna lagi, kita akan merancang konsep harga mutlak dari suatu bilangan real hubunganna dengan konsep jarak secara geometri dari ke 0. Sekarang kita perhatikan penjelasan untuk jarak pada garis bilangan seperti berikut ini B Q C P A b - 0 a jarak = jarak = jarak = -b jarak = a

4 Jarak dari titik P = ke titik C = 0 adalah - 0 = Jarak dari titik Q = - ke titik C = 0 adalah 0 - (-) = Untuk a > 0, jarak dari titik A = a ke titik C = 0 adalah a - 0 = a Untuk b < 0, jarak dari titik B = a ke titik C = 0 adalah a - b = -b Untuk a > 0, jarak dari titik C = 0 ke titik C = 0 adalah 0. Kesimpulan ang didapat : Jarak ke 0 =, jika 0 = -, jika 0. Dari hubungan harga mutlak suatu bilangan real dengan konsep jarak sebagai arti geometri dari bilangan itu ke 0 adalah definisi tentang harga mutlak seperti berikut ini. Definisi Untuk setiap bilanga real, harga mutlak dari ditulis dan, -, 0 0 Gambaran lebih jelasna dapat kita perhatikan diagram seperti ang ditunjukkan oleh garis bilangan berikut ini < = - = Seperti telah disebutkan di atas, jelaslah bahwa arti geometri adalah jarak dari titik ke titik 0. Selanjutna, sebelum kita membahas beberapa sifat atau teorema beserta buktibuktina ang berkaitan dengan harga mutlak (ang lebih banak dalam bahasan pertidaksamaan harga mutlak dalam Kegiatan Belajar ), terlebih dahulu kita jelaskan beberapa contoh berikut ini.

5 Contoh. : (a) = (b) - = -(-) = (b) = (d) 0 = 0. Contoh. : (a) (b) = = 7 b. Persamaan dan Kesamaan Sebelum kita membicarakan secara panjang lebar tentang persamaan ang berkaitan dengan harga mutlak, dan baru saja kita membahas konsep harga mutlakna, maka pada kesempatan ang sekarang ini secara singkat kita akan mengingat kembali konsep persamaanna. Sebagaimana kita ketahui bahwa persamaan (equation) adalah kalimat matematika terbuka ang menatakan hubungan sama dengan (ditulis = ). Contoh. : (a). - 7 = (b) = 0 (c). = Dari ketiga contoh di atas sebagai variabelna adalah dan suku-suku konstantana atau konstanta adalah suku-suku ang tidak mengandung variabel. Pada persamaan (a) hana berlaku untuk = 5, dan pada persamaan (b) berlaku untuk = dan =. Sedangkan untuk persamaan (c) berlaku untuk = dan = -4 (akan dibahas kemudian, aitu dalam contoh 7).

6 Sebalikna, kesamaan (equalit) adalah kalimat matematika tertutup ang menatakan hubungan sama dengan, dan berlaku untuk setiap nilai pengganti variabelna. Contoh.4 : (a). ( - ) = (b). 4-9 = ( + )( - ) (c). - Jelas bahwa untuk bentuk-bentuk kesamaan selalu berlaku untuk setiap pengganti variabelna. Jadi kesamaan adalah kalimat matematika tertutup ang nilai kebenaranna selalu benar. Ada pula ang membedakan persamaan dengan kesamaan, aitu dengan memakai lambang = untuk persamaan, dan lambang untuk kesamaan. Jadi, untuk beberapa contoh kesamaan dalam contoh 4 di atas ada pula ang menulisna seperti berikut. (a). ( - ) (b). 4-9 ( + )( - ) (c). - Seperti sudah kita ketahui pula, bahwa jawaban atau penelesaian sebuah persamaan (kadang-kadang disebut pula persamaan bersarat) adalah nilai dari variabelna ang memenuhi persamaan itu. Himpunan semua pengganti variabelna disebut himpunan jawaban atau himpunan penelesaian (disingkat HP atau HJ). Persamaan-persamaan ang mempunai penelesaian ang sama dinamakan persamaan ang ekivalen. Contoh. 5 : Persamaan-persamaan - 7 = dan = 0

7 adalah persamaan-persamaan ang ekivalen, karena himpunan penelesaianna sama, aitu { 5 }. Sebuah persamaan ang diketahui dapat diubah menjadi persamaan ang ekivalen dengan persamaan ang diketahui dengan menggunakan pengerjaan-pengerjaan tertentu pada kedua ruasna. Pengerjaan-pengerjaan itu diatur oleh dalil-dalil atau teoremateorema atau sifat-sifat berikut : Teorema Jika P(), Q(), dan R() bentuk-bentuk akar dalam, maka untuk setiap nilai, ang mana P(), Q() dan R() real, kalimat terbuka P() = R() adalah ekivalen dengan tiap-tiap dari ang berikut : A.P() R() B. P(). R() P() Q() C. R() R() Q() Q(). R() R() untuk { / R() 0} Bukti A Misal r adalah jawab dari P() = Q(), maka r memenuhi P(r) = Q(r), diperoleh P(r) + R(r) = Q( r) + R(r) Ini berarti r adalah jawaban dari P() + R() = Q(r) + R() Pembuktian bagian B dan C carana sama saja dan dipersilakan kepada Anda untuk mencobana sebagai latihan. Penerapan tiap bagian dari teorema itu dinamakan Transformasi elementer. Sebuah trasformasi elementer selalu menghasilkan sebuah persamaan ang ekivalen. Namun dalam pemakaian bagian B dan C, kita harus hati-hati karena perkalian dengan nol atau pembagian dengan nol tidak diperkenankan.

8 Contoh. 5 : Selesaikanlah persamaan : () Sebelum Anda membaca penelesaianna, coba Anda kerjakan dahulu persamaan ini pada kertas lain, dan periksalah jawaban Anda memenuhi persamaan semula () atau tidak. Penelesaian : Biasana untuk memperoleh sebuah persamaan ang bebas dari pecahan, maka pemecahan persamaan () di atas dilaksanakan dengan mengalikan kedua ruasna oleh ( - ), sehingga kita dapatkan : -. - ( - ). - = ( - ) - ( - ). - + ( - ). = () = Jadi, adalah jawaban dari persamaan (). Akan tetapi jika dalam persamaan (), diganti oleh, maka diperoleh ang merupakan bentuk tidak didefinisikan. Untuk mendapatkan persamaan (), persamaan () telah dikalikan dengan ( - ), tetapi untuk = ternata ( - ) adalah nol, sehingga teorema bagian B tidak dapat kita pakai. Persamaan () tidak ekivalen dengan persamaan () untuk =. Ternata persamaan () tidak mempunai penelesaian atau himpunan penelesaianna adalah = { }.

9 Persamaan ang tidak mempunai penelesaian dinamakan persamaan palsu. Kepalsuan persamaan () akan nampak pula, jika persamaan () diselesaikan seperti berikut ini Kedua ruasna ditambah dengan -, diperoleh ( - ) ( - ) 0-0 () Dari persamaan () sudah dapat dilihat bahwa persamaan () tidak berlaku untuk =. Akan tetapi untuk, persamaan () menghasilkan pernataan - = 0 ang salah. Dalam menelesaikan sebuah persamaan kita selalu dapat mengecek apakah jawaban ang kita peroleh dari hasil perhitungan itu benar atau salah dengan cara mensubstitusikan jawaban itu ke dalam persamaan ang diberikan. Jika pernataan ang diperoleh benar, maka jawaban itu benar. Sebalikna jika pernataan ang diperoleh salah, maka jawaban kita itu salah. Jika sebuah persamaan diselesaikan dengan menggunakan transformasi elementer, maka tujuan satu-satuna mengenai pengecekan tadi ialah untuk mengetahui apakah ada kesalahan hitung dalam proses penelesaian tadi. Sebalikna, jika dalam suatu penelesaian sebuah persamaan terdapat pengerjaan ang bukan sebuah transformasi elementer, maka pengecekan tadi adalah suatu keharusan. Keadaan semacam ini akan Anda jumpai dalam menelesaikan pertidaksamaan dan persamaan irasional dalam kegiatan kita berikutna. ()

10 Dalam menelesaikan contoh soal di atas tadi nampakna seperti kita menggunakan transformasi elementer bagian B, akan tetapi kita menjabarkan sarat bahwa - 0 (ingat, pembagian dengan nol tidak didefinisikan). c. Persamaan Harga Mutlak Dalam kesempatan sekarang ini kita akan melihat bagaimana menerapkan sifatsifat harga mutlak pada penelesaian masalah persamaan. Sedangkan masalah konsep harga mutlak, pengertian persamaan dan teorema atau sifat persamaan baru saja kita pelajari. Namun sebelum kita menerapkanharga mutlak pada penelesaian persamaan terlebih dahulu kita perlu memahami beberapa teorema atau sifat dalam harga mutlak itu sendiri. Beberapa sifat dari harga mutlak akan dibicarakan dalam kesempatan sekarang sekaligus dengan penerapanna dalam persamaan, tetapi sebagian besar dari sifat-sifat harga mutlak akan kita jumpai dalam membicarakan pertidaksamaan harga mutlak dalam kegiatan belajar berikutna. Sebagaimana telah kita ketahui dalam membahas fungsi rasional (modul 5), bahwa untuk setiap bilangan real, bahwa real dan tidak negatif, dan juga jika 0 maka = karena adalah satu-satuna bilangan ang tidak negatif dan kuadratna sama dengan. Jika < 0, maka bilangan real = -, karena (-) > 0 dan (-) =. Jadi untuk setiap jika 0 = - jika < 0 (Ingat bentuk-bentuk akar dan bilangan berpangkat). Selanjutna dengan memperhatikan definisi harga mutlak dan kaitanna dengan penarikan akar di atas, kita akan melihat beberapa teorema harga mutlak, diantarana : Teorema Untuk setiap bilangan real berlaku

11 (a). - (b). - = Bukti (a) = (-) - Bukti (b) ( ) () jika 0 (-) jika () ( ) ( ) sebab () Dari () dan ():. Teorema Untuk setiap R dan R (himpunan bilangan real), maka berlaku (a).. (b) (c ) - - Bukti (a) :

12 () atau.... () Bukti (b) : atau Untuk membuktikan teorema (c) dipersilakan kepada Anda untuk mencobana sebagai latihan, dan jika Anda mengalami kesulitan atau keraguan dipersilakan untuk didiskusikan dengan teman Anda atau tutor Anda. Contoh. 6 : Carilah himpunan penelesaian dari - Penelesaian : Cara I : (- ) (kedua ruas dikuadratkan) ( + ) = ( - ) (teorema (b)) Cara II : ( ) = - (definisi)

13 ( + ) = ( - ) (kedua ruas dikuadratkan) ( + ) - ( - ) = 0 {( + ) - ( -)}{( + ) + ( - )} = 0 ( )( ) = 0 (- + 4)( - ) = = 4 atau = ab = 0 a = 0 atau b = 0 (a - b = (a - b)(a + b)) Perlu diketahui, bahwa langkah pertama, aitu kedua ruas dikuadratkan bukanlah sebuah transformasi elementer, karenana kita perlu melakukan pengecekan untuk mengetahui jangan-jangan ada kesalahan hitung dalam proses penelesaian tadi. Untuk = 4 maka = 5 5 = 5 (untuk nilai = 4 memenuhi) Untuk = maka Jadi, HP = { / = 4 } 5 5 (untuk = tidak memenuhi) Catatan : Dari contoh. 6 di atas dapat memetik suatu pengalaman ang sangat berharga, aitu pada waktu kita mengkuadratkan kedua ruas dari persamaan tersebut. Hal ini tentuna kita masih ingat, bahwa untuk mencari himpunan penelesaian dari persamaan ang variabelna di bawah tanda akar, diperlukan teorema berikut :

14 Jika U() dan V() ungkapan-ungkapan dalam, maka himpunan penelesaian dari U() = V() adalah himpunan bagian dari himpunan penelesaian {u()} n = { V() } n untuk tiap-tiap N (himpunan bilangan asli). Persamaan ang kedua ini biasana mempunai kelebihan jawab dari persamaan ang pertama. Kelebihan jawab atau kelebihan penelesaian ini disebut penelesaian ang termasuk dan bukan penelesaian dari persamaan ang pertama. Jika a = b maka a = b. Namun sebalikna, jika a = b, maka belum tentu a = b. Sebagai contoh = (-), tetapi - Jika = maka = 9. Persamaan = 9 mempunai penelesaian dan -. Penelesaian ang kedua ini bukanlah penelesaian dari =. Karena persamaan ang kedua dalam teorema di atas tidak ekivalen dengan persamaan ang pertama, maka penelesaian dari persamaan ang kedua harus diisikan dalam persamaan ang pertama untuk mengecek penelesaian itu memenuhi persamaan pertama atau tidak. Penggunaan teorema itu bukanlah sebuah transformasi elementer. Contoh 7 : Penelesaian : Carilah himpunan penelesaian dari persamaan berikut Cara I. mengingatkan bahawa (menurut definisi) + = jika + 0 dan - ( + ) = jika + < 0 ang ekivalen dengan = jika - dan = -4 jika < - Jadi : = dan = -4

15 Berarti himpunan penelesaianna atau HP = {, -4 } Penelesaian : Cara II. () ( ) (definisi) ( + ) = 9 (kedua ruas dikuadratkan) + + = = 0 ( - )( + 4) = 0 = atau = - 4 Karena kedua jawaban ini memenuhi persamaan (), maka HP = {, -4 }. Selanjutna untuk lebih memantapkan pemahaman Anda tentang materi kegiatan belajar ini, cobalah Anda kerjakan soal-soal latihan berikut ini.. Hitunglah - - (4-7) - -. Carilah himpunan penelesaian 5. Carilah himpunan penelesaian Buktikanlah, bahwa untuk setiap bilangan real dan berlaku 5. Carilah himpunan penelesaian - 4. Setelah Anda mencoba menelesaikan soal-soal latihan di atas, bandingkanlah jawabanna dengan petunjuk alternatif jawaban berikut.. - (4-7) (-)

16 dengan menggunakan definisi harga mutlak : + = 5 jika + 0 dan -( + ) = 5 jika + < 0 = jika - dan = - 7 jika < - Jadi, = atau = - 7, atau HP = {, - 7 } () Jika 0 dan atau 5 maka = 5 atau = 0 = 5 (). Jika 0 dan - 5 < 0 atau < 5 Atau maka - ( - 5) = 5 0 = 0 banak jawab { 0 < 5 }. (). Jika < 0 dan atau 5 Atau - + ( - 5) = 5-5 = 5 tidak ada jawab. (4). Jika < 0 dan atau ( - 5) = 5 - = 0

17 = 0 Jadi = 5 atau 0 < 5 atau = 0 HP = { / 0 < 5 } (dalam hal ini tentuna R). 4. Bukti : (i) Diketahui Buktikan : = Bukti : = = = (ii) Diketahui = Buktikan : Bukti : = = Jdi : = () Jika - 0 dan dan 4 4 maka - = = 4

18 = - HP =. Atau (). Jika - 0 dan 4 + < 0 dan < 4 maka - = -(4 + ) - = -4-6 = - = HP =. Atau (). Jika - < 0 dan dan 4 4 < maka -( - ) = = = = Atau HP= { / = }. (4). Jika - < 0 dan 4 + < 0 < dan < 4 < maka - ( - ) = - (4 + ) - + = -4 - = -4 = - HP = { / = - }.

19 Dari berbagai kemungkinan (), (), () atau (4), kita dapatkan = dan = -. Jadi : HP {, - }. Setelah Anda mempelajari kegiatan belajar ang pertama dari buku materi pokok ini, buatlah rangkumanna kemudian bandingkan dengan alternatif rangkuman berikut. Rangkuman. Untuk setiap bilangan ( R), harga mutlak dari ditulis dan, -, 0 0. Persamaan adalah kalimat matematika terbuka ang memuat tanda sama dengan ( = ), sedangkan kesamaan adalah kalimat matematika tertutup ang memuat tanda sama dengan ( = ).. Jika P(), Q(), dan R() bentuk-bentuk akar dalam, maka kalimat terbuka P() = R() adalah ekivalen dengan tiap-tiap dari ang berikut : A.P() R() B. P(). R() P() Q() C. R() R() Q() Q(). R() R() 4. Untuk setiap R berlaku. 5. Jika U() dan V() ungkapan-ungkapan dalam, maka himpunan penelesaian dari U() = V() adalah himpunan bagian dari himpunan penelesaian {u()} n = { V() } n untuk tiap-tiap N (himpunan bilangan asli). 6. Untuk setiap R dan R berlaku (a). = - (b). - = (c)..

20 (d). (e). - - (f). TES FORMATIF Untuk mengetahui tingkat penguasaan Anda, kerjakanlah soal-soal Tes Formatif berikut dengan memberi tanda silang (X) di muka pernataan ang benar.. - A. - B. - + B. + D Jika <, maka - A. - B. - C. + D (- 5) A. 7 B. 4 C. D A. B. C. 7 D Untuk setiap R, berlaku - =

21 A. B. - C. D. A, B dan C salah 6. Untuk setiap a, b R berlaku a - b A. a b B. b - a C. - a - b D. A, B dan C salah 7. Himpunan penelesaian dari persamaan 5 A. C., 5, B. D., 5, Himpunan penelesaian dari persamaan 4 5 A., - C., B., - D. 9. Himpunan penelesaian dari persamaan ( -) 7 8 A. { 6 } B. { 6, } 6 C. { 6 8 } D. 0. Himpunan penelesaian dari persamaan - 5 A. { - 4, 4 } B. { 4, -4 } C. { - 4, -4 D. { 4, 4 }

22 Selanjutna cocokkanlah jawaban Anda dengan Kunci Jawaban Tes Formatif ang terdapat di bagian akhir Materi Pokok ini. Hitunglah jumlah jawaban Anda ang benar. Kemudian gunakan rumus di bawah ini untuk mengetahui tingkat penguasaan Anda terhadap materi Kegiatan Belajar. jumlah jawaban Anda ang benar Tingkat penguasaan = 00% 0 Arti tingkat penguasaan ang Anda capai : 90% - 00% = Baik sekali 80% - 89% = Baik 70% - 79% = Cukup 70% = Kurang. Kalau Anda mencapai tingkat penguasaan 80% ke atas, Anda dapat meneruskanna pada Kegiatan Belajar kedua. Bagus! Tetapi bila tingkat penguasaan Anda masih di bawah 80%, Anda harus mengulangi Kegiatan Belajar, terutama bagian ang belum Anda kuasai. Selamat belajar, semoga berhasil. KEGIATAN BELAJAR PERTIDAKSAMAAN DENGAN HARGA MUTLAK a. Pertidaksamaan

23 Pertidaksamaan merupakan topik ang sangat penting baik dalam teori maupun dalam pengerjaan soal-soal matematika, termasuk hubunganna dengan harga mutlak. Oleh karena itu sifat-sifat dan aplikasina perlu kita pelajari dengan baik. Sebelum kita mempelajari pertidaksamaan dengan harga mutlak ang merupakan kelanjutan dari kegiatan belajar pertama (Persamaan dengan Harga Mutlak), maka terlebih dahulu kita mengingat kembali konsep-konsep dasar pertidaksamaanna. Seperti telah kita ketahui, bahwa pertidaksamaan adalah kalimat matematika terbuka ang memuat ungkapan tidak sama dengan, lebih dari (lebih besar dari), lebih dari atau sama dengan, kurang dari (lebih kecil dari), kurang dari atau sama dengan. Contoh. (a) (b) < (c) 5 (d) (e) -, dan sebagaina untuk setiap, R (himpunan bilangan real). Seperti pada persamaan dalam pertidaksamaan tidak berlaku untuk setiap pengganti variabelna. Nilai-nilai variabel ang memenuhi pertidaksamaan disebut penelesaian, dan himpunan semua pengganti variabel ang menebabkan pertidaksamaan itu menjadi kalimat tertutup ang benar disebut himpunan penelesaian dari pertidaksamaan. Sebalikna, suatu pertidaksamaan mutlak atau pertidaksamaan absolut adalah suatu pertidaksamaan ang selalu benar untuk setiap nilai pengganti variabelna. Pertidaksamaan mutlak ini sering pula disebut ketidaksamaan dan tentuna ketidaksamaan ini merupakan kalimat matematika tertutup. Contoh :

24 (). ( - ) 0 (). X + > + () < 0 (4). -( - ) 0 (5) Selain itu ada pula suatu pertidaksamaan ang selalu salah untuk setiap pengganti variabelna ang disebut pertidaksamaan palsu. Contoh : (). X + 0 (). X + + (). ( - ) < 0 (4). - - b. Sifat-sifat Pertidaksamaan Seperti halna dalam persamaan, untuk menelesaikan suatu pertidaksamaan kita memerlukan sifat-sifat berikut ang lazim disebut dalil atau teorema. Teorema 4 Jika P(), Q(), dan R() adalah ungkapan-ungkapan dalam, maka untuk semua harga-harga, P(), Q(), dan R() ang real, kalimat terbuka P() < Q() adalah ekivalen dengan tiap-tiap dari ang berikut : A. P() + R() < Q() + R() B. P(). R() < Q(). R() B. P(). R() Q(). R() P() Q() untuk { / R() > 0 } C. R() R() D.P(). R() Q(). R() P() Q() E. R() R() untuk { / R() < 0 }

25 demikian pula untuk kalimat terbuka P() Q() adalah ekivalen dengan kalimat-kalimat terbuka dari bentuk A sampai bentuk E dengan mengganti < (atau >) dengan (atau ) dengan sarat ang sama pula, aitu R() > 0 dan R() < 0 seperti di atas. Sekarang akan kita buktikan bagian D, ang lainna diserahkan kepada Anda sebagai latihan. Bukti D : Misalkan r adalah jawab dari P() < Q() dengan R() < 0 maka : P(r) < Q(r) adalah benar untuk bilangan-bilangan real P(r) dan Q(r). Karena R(r) semua bilangan real negatif, maka menurut dalil dalam bilangan real (jika a < b dan c < 0, maka ac > bc) mengatakan bahwa Ini menunjukkan bahwa r adalah jawab dari P(r). R(r) > Q(r). R(r) P(r). R(r) > Q(r). R(r) Sebalikna, jika r adalah jawab dari R(r) < 0, maka menurut dalil dalam bilangan real seperti di atas tadi menatakan bahwa : ang ekivalen dengan. P(r). R(r) <. Q(r). R(r) R(r) R(r) P(r) < Q(r) Ini menatakan bahwa r adalah jawab dari P() < Q(). Karena tiap jawab dari P() < Q() adalah jawab dari P(). R(r) > Q(). R() dengan sarat R() < 0 dan sebalikna, maka kedua bentuk kalimat ini adalah ekivalen. Teorema 4 di atas dapat kita artikan sebagai berikut : A. Jika kedua ruas suatu pertidaksamaan ditambah dengan bilangan ang sama, maka diperoleh sebuah pertidaksamaan baru ang ekivalen dengan pertidaksamaan semula.

26 B dan C. Jika kedua ruas suatu pertidaksamaan dikalikan dengan atau dibagi oleh sebuah bilangan positif ang sama, maka diperoleh sebuah pertidaksamaan baru ang ekivalen dengan pertidaksamaan semula. D dan E. Jika kedua ruas suatu pertidaksamaan dikalikan dengan atau dibagi oleh sebuah bilangan negatif ang sama, maka diperoleh sebuah pertidaksamaan baru ang ekivalen dengan pertidaksamaan semula tetapi tanda pertidaksamaan ang baru harus dibalik.. c. Pertidaksamaan Harga Mutlak Dalam kesempatan sekarang ini, kita akan mempelajari bagaimana menerapkan sifat-sifat harga mutlak untuk menelesaikan masalah pertidaksamaan ang memuat harga mutlak. Karenana sebelum kita menggunakan sifat-sifat harga mutlak tersebut terlebih dahulu kita harus memahami sifat-sifat harga mutlakna. Sebelum membahas sifat-sifat, teorema-teorema atau dalil-dalil harga mutlak, tentuna kita masih ingat konsep awal ang telah diuraikan secara rinci dalam kegiatan belajar pertama. Dalam uraian tersebut didefinisikan, bahwa untu setiap R, harga mutlak (nilai mutlak) dari ditulis, dan =, jika 0 = -, jika < 0. Selain itu kita pun telah memahmi pula, bahwa untuk setiap = (lihat materi bahasan kegiatan belajar pertama dalam modul ini). R ternata Berdasarkan konsep-konsep dasar harga mutlak tersebut kita telah pula menurunkan beberapa teorema baik ang berkaitan langsung dengan harga mutlak maupun dengan konsep-konsep persamaan dan pertidaksamaan (Teorema sampai dengan teorema 4). Khusus dalam kesempatan sekarang ini, kita akan melihat beberapa teorema harga mutlak berikut ini ang terkait dengan konsep-konsep pertidaksamaan, dan tentuna berangkat dari konsep-konsep awal ang telah kita sebutkan di atas. Teorema 5

27 Jika R, a R, dan a > 0, maka < a, jika dan hana jika -a < < a. Untuk membuktikan teorema ini harus dibuktikan dua bagian, aitu : (). Jika < a, maka -a < < a. (). Jika -a < < a, maka < a. Bukti : Untuk tiap R, 0. Karena a > 0, maka -a < 0 Jadi untuk tiap, -a <. Sekarang kita pandang dulu untuk 0. Dalam hal ini, =. Karena -a <, =, dan < a, maka -a < < a (terbukti). Sekarang kita pandang untuk < 0 Dalam hal ini = -. Karena -a <, = -, dan < a, maka -a < - < a. Kalikan dengan (-), diperoleh a> > -a atau -a < < a (terbukti). Bukti : Karena -a < < a, maka ini berarti -a < dan < a. Kita pandang untuk 0. Akibatna =, sedangkan < a Jadi, < a (terbukti). Sekarang kita pandang untuk < 0.

28 Akibatna = - atau - =., atau = -. Dari = - dan -a < didapatkan -a < -. Kalikan dengan (-) diperoleh : a > atau < a (terbukti). Teorema 6 Jika R, a R, dan a > 0, maka > a, jika dan hana jika < -a atau > a. mencobana. Buktina dipersilakan kepada para pembaca ang mempelajarina untuk Contoh : Penelesaian : Carilah himpunan penelesaian dari pertidaksamaan. Menurut teorema 5, Jika dan hana jika - < + < Tiap ruas ditambah dengan -, didapat -4 < < Jadi himpunan penelesaianna { / -4 < < } Himpunan penelesaian dapat pula ditulis dengan menggunakan simbul irisan : { / > -4 } { / < }. Contoh : Cari himpunan penelesaian dari. Penelesaian :

29 Menurut teorema 6 : Jika dan hana jika + - atau +. Dua pertidaksamaan ini menghasilkan -4 atau. Jadi himpunan penelesaianna { / -4 atau }. Himpunan penelesaianna dapat pula distulis dengan menggunakan simbul gabungan { / -4 } { / }. Cara lain dalam menelesaikan soal-soal seperti di atas ini dan ang banak dipakai di sekolah lanjutan ialah dengan cara menguadratkan kedua ruasna. Hal ini disebabkan kedua teorema di atas (teorema 5 dan teorema 6) pada umumna tidak diberikan di sekolah lanjutan. Teorema 7 Untuk setiap R,. Bukti : Jika 0, maka = (definisi) Jika < 0, maka <, sebab 0 Jadi dalam hal ini. Teorema 8 Jika R, R, maka (). - ().

30 Bukti : Menurut teorema 7 di atas dan - - =. Juga - - = dan dengan menjumlahkan didapat : - + dan (- + ) = - ( - ) + Menurut teorema 8 bagian. - (terbukti) Bukti : Menurut teorema 8 bagian - (-) - menurut teorema (a) : = -, maka. (terbukti) Akibat dari dalil ini, ada beberapa dalil berikut ini : (a). - (b). - - z z - buktina diserahkan kepada pembaca untuk mencobana sebagai latihan. Perlu pula diketahui, bahwa cara-cara pembuktianna dapat berbeda-beda, ang penting dapat diperlihatkan langkah pembuktianna berdasarkan definisi atau teoremateorema ang lainna. Contoh 4 Selesaikanlah - Penelesaian Cara I -

31 -( - ) < + < - (teorema 5) - < + < - -< dan < - { semua } { / < - } HP = { / < - } Penelesaian Cara II ( ) - ( + ) < ( - ) < < -5 < - HP = { / < - } Penelesaian Cara III - (). X + < - jika + 0 atau () -( + ) < - jika + < 0 (). X < - jika -, atau (definisi) (). - < jika < - ().- - atau (). X < -

32 { / - - } { / < - } atau { / - } Contoh 5 Selesaikanlah Penelesaian Cara (). + 7 > 4-8 atau (teorema 6) () + 7 < (). + 7 > < < 4-8 < < 4-8 dan 4-8 < + 7 > 7 dan < 5 < < 5 7 (). + 7 > < - ( + 7) + 7 < 4-8 < - ( + 7) + 7 < 4-8 dan 4-8 < < -5 dan 7 < - >5 dan < 7 Himpunan penelesaianna adalah

33 () atau () () () { 7 < < 5 } Penelesaian Cara II ( + 7) > (4-8) > > < 0 (7 - )( - 5) < 0 Kemungkinanna (). 7 - > 0 dan - 5 < 0 (). 7 - < 0 dan - 5 > 0 (). 7 - > 0 dan - 5 < 0 > < 5 7 < < 5 7 (). 7 - < 0 dan - 5 > 0 < 7 > 5 Himpunan penelesaianna () (), aitu { / 7 < < 5 }

34 Selanjutna untuk lebih memahami materi-materi pertidaksamaan harga mutlak ini, silakan Anda mencoba mengerjakan soal-soal dalam latihan berikut ini.. Carilah himpunan penelesaian dari pertidaksamaan harga mutlak Carilah himpunan penelesaian Buktikanlah, bahwa untuk setiap,, z R berlaku - - z z - 4. Selesaikanlah Selesaikanlah 5 -. Setelah Anda mencoba mengerjakan soal-soal latihan di atas, bandingkanlah jawabanna dengan petunjuk alternatif jawaban berikut Penelesaian Cara I : Menurut Teorema jika dan hana jika (kedua ruas ditambah dengan 5) HP = { / 9 } Penelesaian Cara II : Menurut definisi harga mutlak () jika - 5 > 0 dan () -( - 5) 4 jika - 5 < () 9 jika > 5 dan () jika < 5 Jadi 9 dan, atau 9, atau HP = { { / 9 } Penelesaian Cara I : Menurut Teorema 5-6 < - 0 < 6 4 < < 6 (). 4, jika 0 (). - atau 4, jika 0

35 (). ().- 4 4, jika atau -, jika HP = { / < < 4 } { / -4 < < - } Penelesaian Cara II : Menurut teorema 5-6 < - 0 < 6 4 < < 6 (). 6 (). dan (). 4 dan 4 atau - < < 4 atau -4 < < - HP = { / < < 4 } { / -4 < < - }.. - z - z - (Ditambah z - z = 0) ().- 4 = ( - z) (z- ) (assosiatif) atau : - z z - (Teorema 8) - z - 4. Menurut teorema 6 5. z - z - z - z - z - (Teorema 8) - Jika dan hana jika + < -5 atau + > < - 7 atau > HP = { / < - 7 } { / < } Penelesaian Cara I 5 -.

36 (Teorema 5) (). - (). - 5 dan () ( 5) - > atau - < > - atau > -6 5 HP = { / > -6 } () > + 5 atau - < > 6 atau 5 < -4 < -6 4 atau < - 5 HP = { / < }. Dari () dan () : atau { / > -6 } { / < } { / -6 < < < }. Penelesaian Cara II 5 -. ( 5) ( -) ( + 5) < ( - ) < < 0 (5 + 4)( + 6) < 0 Kemungkinanna : () > 0 dan + 6 < 0 atau () < 0 dan + 6 > 0 () > 0 dan + 6 < 0 4 > - dan < -6 5

37 () < 0 dan + 6 > 0 4 < - dan > < < Dari () dan () atau { / -6 < } { / -6 < } Jadi himpunan penelesaianna { / -6 < } Untuk menelesaikan dengan cara ang ketiga dengan menggunakan definisi harga mutlak, dipersilakan kepada para pembaca untuk mencobana. Setelah Anda mempelajari kegiatan belajar ang kedua dari buku materi pokok ini, buatlah rangkumanna kemudian bandingkan dengan alternatif rangkuman berikut. Rangkuman. Pertidaksamaan adalah kalimat matematika terbuka ang memuat ungkapan >,, <, atau. Sedangkan ketidaksamaan atau pertidaksamaan mutlak (absolut) adalah pertidaksamaan ang selalu benar untuk setiap nilai pengganti variabelna. Suatu pertidaksamaan ang selalu salah untuk setiap pengganti variabelna disebut pertidaksamaan palsu.. Jika P(), Q(), dan R() adalah ungkapan-ungkapan dalam, maka untuk semua hargaharga, P(), Q(), dan R() ang real, kalimat terbuka P() < Q() adalah ekivalen dengan tiap-tiap dari ang berikut : A. P() + R() < Q() + R() B. P(). R() < Q(). R() B. P(). R() Q(). R() P() Q() C. R() R() untuk { / R() > 0 } D.P(). R() Q(). R() P() Q() E. R() R() untuk { / R() < 0 }