FORMULA HERON: TINJAUAN DI GEOMETRI EUKLID DAN GEOMETRI SFERIK 1. Sangadji 2

Ukuran: px

Mulai penontonan dengan halaman:

Download "FORMULA HERON: TINJAUAN DI GEOMETRI EUKLID DAN GEOMETRI SFERIK 1. Sangadji 2"

Suryadi Lie
6 tahun lalu
Tontonan:

1 PROSIDING ISBN : FORMUL HERON: TINJUN DI GEOMETRI EUKLID DN GEOMETRI SFERIK 1 T 8 Sangadji strak Formula Heron mempunyai dua versi. Versi pertama adalah Formula Heron dalam geometri Euklid atau geometri idang datar yang terkenal dengan nama Rumus s, dan versi kedua adalah formula Heron dalam geometri sferik atau geometri pada luasan ola. Makalah ini memahas dan memuktikan Formula Heron dalam dua versi. formula Heron versi kedua leih signifikan dan sulit dari ukti formula Heron versi pertama. Kata kuni: Formula Heron, luas segitiga sferik, segitiga sferik, geometri Euklid, geometri sferik. Pendahuluan Formula Heron adalah formula yang signifikan, aik dalam geometri Euklid maupun geometri sferik. Esensi dari formula Heron adalah menyatakan luas segitiga dengan panjang ketiga sisinya. Untuk ukti Formula Heron versi pertam sudah anyak dikenal dan tidak sulit. Sedangkan ukti Formula Heron versi kedua memerlukan dua lemm yaitu formula luas segitiga sferik dan formula osinus dan sinus dalam segitiga siku siku sferik, dan juga formula osinus untuk sisi sisi sferik. Dalam ukunya (lihat Daftar Pustaka no.1), pengarangnya menyatakan ahwa petunjuk untuk memuktikan Formula Heron versi geometri sferik adalah dengan memerikan soal soal 10.0, 10.1, 10., 10.3, 10., and Dalam makalah ini, saya memuktikan Formula Heron versi geometri sferik dengan ara saya sendiri, tanpa menggunakan petunjuk di atas. Teorema (Formula Heron Euklid) Formula Heron dalam Geometri Euklid a,, adalah panjang sisi sisi Δ BC yang terletak erturut turut di 1 Disajikan pada di UNY 5 Desemer 009. PPIN BTN dan FST UBINUS Jurusan Pendidikan Matematika FMIP UNY, 5 Desemer

2 PROSIDING ISBN : depan titik titik sudut, B, a + + Δ BC s( s a)( s )( s ), di mana s. sin + a Δ BC. Dengan formula osinus, os. Sehingga didapat sin ΔBC 1 ( + ) ( + ( + + a )( a 1 os a ( + + a)( + a)( a + )( a + ) ) a )( ( ) + a ) ( + a ) a a a + a + [ s( s a)( s )( s ] 1/ 1/ Formula Heron dalam Geometri Sferik Yang dimaksud dengan luna adalah agian dari luasan ola antara dua idang setengah lingkaran esar yang memuat sudut θ satu sama lain. Jadi luas dari luna dengan sudut θ dan jari jari (lingkaran esar/ola) adalah Lemma 1 L θ π π θ Δ BC adalah segitiga pada luasan ola dengan jari jari. Maka luas Δ BC adalah Δ BC ( + B + C π ) Jurusan Pendidikan Matematika FMIP UNY, 5 Desemer

3 PROSIDING ISBN : C a B Δ BC dalam hal ini punya sifat ahwa ketiga sisinya terletak pada lingkaranlingkaran esar. Tiga uah luna yang ersesuaian dengan sudut sudut, B, C dan juga ketiga luna antipodalny luas mereka akan menutupi luasan ola satu kali dan juga luas ΔBC dan antipodalnya masing masing dua kali. Jadi didapat: ( )( + B + C) π + Δ BC, yang memerikan Δ BC ( + B + C π ) Lemma pusat di O. Maka erlaku dan Δ BC adalah segitiga siku siku di C pada luasan ola satuan dengan os asin os, sin sin a sin. sin C a z a B x O y E D Jurusan Pendidikan Matematika FMIP UNY, 5 Desemer

4 PROSIDING ISBN : tiga R. luasan ola satuan S erpusat di O (0,0,0) dalam ruang erdimensi Mak kita dapatkan vektor vektor ( sin, 0, os ), B ( 0,sin os a). Menggunakan perkalian silang, kita erturut turut memperoleh r B r ( ossin sin os sin sin a), dan B B sin 1 1 sin sin. Pada pihak lain, menggunakan perkalian titik kita juga memperoleh ( 0, 1,0) ( B) (0, 1, 0) B os B os sin os. But ( 0, 1,0) ( B) (0, 1,0) ( ossin sin os sin sin a) sin os a. Sehingga dapat disimpulkan sin os sin os atau os asin os. sin Untuk memuktikan formula kedu (0, 1,0) ( B) (0, 1,0) B sin B sin sin sin. Tetapi (0, 1,0) ( B) (0, 1,0) ( ossin sin os sin sin a) ( sin a sin, 0, sin a os) sin Sehingga kita memperoleh sin sin sin atau sin a sin. sin Jurusan Pendidikan Matematika FMIP UNY, 5 Desemer

5 PROSIDING ISBN : Teorema (Formula osinus untuk sisi sisi sferik) ΔBC adalah segitiga pada luasan ola satuan dan pusatnya di titik O. sisi sisi, dan dari Δ BC erturut turut terletak di hadapan titiktitik sudut, B, and Maka erlaku os os a os + sin a sin os Formula terseut dapat diaa di Daftar Pustaka no. C:\Spherial Triangle, Relationships Between Sides and ngles of a Spherial Triangle.htm Di awah ini adalah ukti kita: Pada Δ DB, menggunakan formula Phytagoras, kita peroleh C x h D a-x B os oshos( a x). Then, os oshos ( a x) os hos a os x + os hsin asin x. Pada Δ CD, menggunakan Lemma di os os a os hsin x atas, kita peroleh juga osc ; sin dan dengan formula Phytagoras lagi kita peroleh os os x osh. Menggaungkan tiga hasil terakhir di atas dapat kita simpulkan ( os x os h) + sin a( os hsin x) os a os + sin a sin os Teorema (Formula Heron Sferik) a,, adalah panjang sisi sisi dari segitiga sferik Δ BC pada luasan ola yang erjari jari yang terletak erturut turut di hadapan titik titik sudut, B, Jurusan Pendidikan Matematika FMIP UNY, 5 Desemer

6 PROSIDING ISBN : ΔBC os a osos os os os a aros + aros + a. os os a os aros π Menggunakan Lemma 1 di atas, kita peroleh luas Δ BC ΔBC ( + B + C π ). Jug menggunakan Formula Cosinus untuk sisi sisi sferik kita peroleh atau ekivalenny atau os os a os + sin a sin osc os os a os osc sin asin os os a os C aros. Dengan ara yang sam kita peroleh juga dan os os os a B aros os a osos aros. Jadi, menggunakan hasil hasil di atas dapat kita simpulkan ΔBC os a osos os os os a aros + aros + a. os os a os aros π Jurusan Pendidikan Matematika FMIP UNY, 5 Desemer

7 PROSIDING ISBN : Simpulan 1. Teorema (Formula Heron dalam Geometri Euklid ) a,, adalah panjang sisi sisi Δ BC that are yang terletak erturutturut di hadapan titik titik sudut, B, a + + Δ BC s( s a)( s )( s ), di mana s.. Teorema (Formula Heron dalam Geometri Sferik ) a,, adalah panjang sisi sisi dari segitiga sferik Δ BC pada luasan ola yang erjari jari yang terletak erturut turut di hadapan titik titik sudut, B, ΔBC os a osos os os os a aros + aros + a. os os a os aros π Daftar Pustaka 1. Baragar, rthur. Survey of Classial and Modern Geometries with Computer tivities. Prentie Hall, Upper Saddle River, New Jersey, US C:\Spherial Triangle, Relationships Between Sides and ngles of a Spherial Triangle.htm Jurusan Pendidikan Matematika FMIP UNY, 5 Desemer

dokumen-dokumen yang mirip

GEOMETRI EUKLID VERSUS GEOMETRI SFERIK. Sangadji *

GEOMETRI EUKLID VERSUS GEOMETRI SFERIK Sangadji * ABSTRAK GEOMETRI EUKLID VERSUS GEOMETRI SFERIK. Pada makalah ini akan dibahas hubungan antara formula Pythagoras dan formula sinus dari segitiga pada geometri