PERSAMAAN FUNGSI KUADRAT-1

Transkripsi

1 PERSAMAAN FUNGSI KUADRAT- Mata Pelajaran K e l a s Nomor Modul : Matematika : X (Sepuluh) : MAT.X.0 Penulis Pengkaji Materi Pengkaji Media : Drs. Suyanto : Dra.Wardani Rahayu, M.Si. : Drs. Soekiman

2 DAFTAR ISI PENDAHULUAN... Kegiatan Belajar : AKAR-AKAR PERSAMAN KUADRAT... 5 Petunjuk... 5 Uraian Materi... 5 TUGAS... Kegiatan Belajar : PERSAMAAN KUADRAT YANG AKAR-AKARNYA DIKETAHUI... 5 Petunjuk... 5 Uraian Materi... 5 TUGAS... Kegiatan Belajar : FUNGSI KUADRAT... 5 Petunjuk... 5 Uraian Materi... 5 TUGAS PENUTUP KUNCI TUGAS... 8 DAFTAR PUSTAKA... 9

3 PENDAHULUAN Hallo, apa kaar? Baik-aik saja ukan? Anda tentu sudah siap untuk mempelajari modul ini. Kali ini Anda akan mempelajari modul erjudul Persamaan dan Fungsi Kuadrat -. Seelum mempelajari modul ini Anda harus mengingat kemali eerapa materi penting yang pernah Anda palajari waktu di SMP Teruka/Reguler. Seagai contoh materi tentang relasi, fungsi atau pemetaan, menyelesaikan persamaan kuadrat dengan cara memfaktorkan, menggamar sketsa grafik fungsi linier maupun grafik fungsi kuadrat, dan ilangan-ilangan entuk kuadrat sempurna. Hal ini akan sangat memantu keerhasilan Anda dalam mempelajari modul ini. Cakupan materi modul ini meliputi pengertian, pemahaman, dan keterampilan. Oleh karena itu, selain dijelaskan tentang pengertian, juga dierikan contoh soal, soal latihan uji kompetensi, dan uji kompetensi. Keseriusan Anda dalam mempelajari modul ini menjadi kunci keerhasilan Anda. Pemahaman Anda terhadap materi modul ini akan sangat ermanfaat untuk mempelajari materi pada modul selanjutnya yaitu Persamaan dan Fungsi Kuadrat -. Selain itu, juga ermanfaat untuk mempelajari materi yang erkaitan dengan penerapan matematika dalam idang ekonomi, misalnya fungsi penawaran dan fungsi permintaan. Kompetensi dasar dari materi modul ini adalah dapat menggunakan sifat dan aturan tentang akar persamaan kuadrat, diskriminan, sumu simetri, dan titik puncak grafik fungsi kuadrat dalam pemecahan masalah. Agar mudah dipelajari, modul ini diagi menjadi tiga kegiatan elajar, yaitu: Kegiatan : Akar-akar Persamaan Kuadrat. Materi yang akan diahas dalam kegiatan ini adalah tentang penentuan akar-akar persamaan kuadrat (cara memfaktorkan dan rumus kuadrat) dan penggunaan diskriminan. Kegiatan : Persamaan Kuadrat yang Akar-akarnya Diketahui Materi yang akan diahas dalam kegiatan ini adalah jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat dan persamaan kuadrat yang akar-akarnya diketahui (memenuhi kondisi tertentu). Kegiatan : Fungsi Kuadrat Materi yang akan diahas dalam kegiatan ini adalah grafik fungsi kuadrat, definit positif dan definit negatif, serta kaitan persamaan kuadrat dan fungsi kuadrat. Pelajari model ini setahap demi setahap sampai Anda enar-enar paham. Demikian juga dengan soal-soal latihan uji kompetensi dan uji kompetensi yang ada Anda harus mengerjakannya dan hasilnya harus enar. Apaila mengalami kesulitan, coalah

4 diskusikan dengan teman-teman Anda atau tanyakan langsung kepada guru ina saat tatap muka. Anda memerlukan waktu minimal 8 jam untuk mempelajari modul ini termasuk menyelesaikan soal-soal uji kompetensi yang tersedia di dalam modul. Untuk menghitung skor yang Anda peroleh gunakan rumus seagai erikut: Skor akhir Jumlah Skor Benar Jumlah Skor Total 00% Apaila skor Anda > 65%, agus! Berarti Anda dapat melanjutkan mempelajari materi selanjutnya. Tetapi apaila, 65%, Anda harus mempelajari lagi modul ini sampai enar-enar paham. Selamat elajar semoga erhasil. Yakinlah diri Anda insya Allah pasti akan erhasil, apaila Anda memiliki semangat elajar yang tinggi. Jangan lupa erdoalah kepada Allah SWT agar senantiasa dierikan pikiran yang jernih dan kemudahan dalam elajar.

5 Kegiatan Belajar AKAR-AKAR PERSAMAAN KUADRAT Untuk mendukung tercapainya kompetensi dasar dalam materi pokok ini, indikator pencapaian hasil elajarnya adalah Anda dapat;. Menentukan akar-akar persamaan kuadrat dengan pemfaktoran dan rumus ac.. Menggunakan diskriminam dalam menyelesaikan masalah persamaan kuadrat.. Penentuan Akar-Akar Persamaan Kuadrat Anda tentu telah mempelajari tentang persamaan kuadrat pada waktu di SMP Teruka/Reguler. Oleh karena itu, seelum memahas cara-cara untuk menentukan akar-akar dari suatu persamaan kuadrat, seaiknya anda ingat kemali entuk umum persamaan kuadrat yaitu a + + c 0 dimana a,, c R dan a 0. persamaan yang erentuk a + + c 0 dimana a., c, 0 dan a0 dinamakan persamaan kuadrat dalam peuah. dalam persamaan kuadrat a + + c 0, a adalah koefisien, adalah koefisien, dan c adalah suku tetapan (konstanta). Untuk menentukan nilai-nilai a,, dan c dari suatu persamaan kuadrat, Anda perhatikan eerapa contoh di awah ini , nilai a,, dan c 5.. 0, nilai a, -, dan c , nilai a,, dan c.. 6 0, nilai a, 0, dan c -6. Berkaitan dengan nilai-nilai a,, dan c, dikenal eerapa persamaan kuadrat, diantaranya adalah: (i) Jika a, maka persamaan menjadi + + c 0 dan persamaan seperti ini diseut persamaan kuadrat iasa. (ii) Jika 0, maka persaman menjadi + c 0 dan persaman seperti ini diseut persamaan kuadrat sempurna. (iii) Jika c 0, maka persamaan menjadi a + 0 dan persamaan seperti ini diseut peramaan kuadrat tak lengkap. (iv) Jika a,, dan c ilangan-ilangan rasional maka a + + c 0 diseut persamaan kuadrat rasional. 5

6 Setelah Anda memahami eerapa entuk persamaan kuadrat, selanjutnya marilah kita pelajari cara-cara menentukan akar-akar persamaan kuadrat. Kita masih ingat ahwa untuk menetukan akar-akar persamaan kuadrat dapat dilakukan dengan eerapa cara yaitu: a. Memfaktorkan (Pemfaktoran). Menggunakan rumus kuadrat (rumus ac). c. Melengkapkan entuk kuadrat sempurna. d. Menggamar grafik fungsi kuadrat. Kali ini, kita akan mempelajari cara menentukan akar-akar persamaan kuadrat dengan cara memfaktorkan dan menggunakan rumus kuadrat. Untuk itu, Anda pelajari aik-aik materi erikut ini. a. Menentukan Akar-Akar Persamaan Kuadrat dengan Memfaktorkan Jika suatu persamaan kuadrat a + + c 0 dapat difaktorkan menjadi erentuk P Q 0, maka akar-akar persamaan kuadrat terseut dapat ditentukan dengan cara memfaktorkan (pemfaktoran). Contoh persamaan kuadrat yang dapat difaktorkan antara lain: Lalu agaimana menentukan akar-akar persamaan kuadrat dengan cara pemfaktoran? Baiklah, untuk leih jelasnya Anda pelajari eerapa contoh soal di awah ini. Contoh : Tentukan akar-akar persamaan kuadrat dengan cara pemfaktoran! Jawa: Penyelesaian: disini 5 kita uah menjadi + (+ ) + ( + ) karena:

7 ( + ) ( + ) + atau + 0 atau 0 - atau - secara skema dapat ditunjukkan seagai erikut hasil kalinya 6 sama hasil kalinya 6 + difaktorkan menjadi ( difaktorkan menjadi ( + ) jadi akar-akar persamaan kuadrat adalah - atau -. atau dalam entuk himpunan penyelesaian dituliskan seagai HP {-, -}. Bagaimana, tidak sulit ukan? Apakah Anda paham? Baiklah, untuk leih jelasnya Anda perhatikan contoh-contoh erikut ini. Contoh : Tentukan akar-akar persamaan kuadrat: 0 dengan cara pemfaktoran! Jawa: 0 Penyelesaian: + + (-) - 0 disini kita uah menjadi + (-) (+) -(+) 0 ( + ) ( ) 0 karena. (-).(-) - - Secara skema dapat ditunjukkan seagai erikut: + + (-) atau 0 0 atau atau hasil kalinya - sama hasil kalinya - + difaktorkan menjadi (+). - difaktorkan menjadi -( + ). Jadi akar-akar persamaan kuadrat 0 adalah - atau. atau dalam entuk himpunan penyelesaian dituliskan seagai HP {-, } Bagaimana, mudah ukan? Sudah pahamkah Anda? Baiklah, untuk leih jelasnya perhatikanlah contoh. 7

8 Contoh : Tentukan akar-akar persamaan kuadrat dengan cara pemfaktoran! Jawa: Penyelesaian: di sini kita uah menjadi + 0 ( + ) ( + ) +. ( + ) 0 ( + ) ( + ) 0 0 atau atau 0 - atau - karena.. Secara skema dapat ditunjukkan seagai erikut: hasil kalinya sama hasil kalinya + difaktorkan menjadi ( + ). + difaktorkan menjadi ( + ). Jadi akar-akar persamaan kuadrat adalah - atau atau dalam entuk himpunan penyelesaiaan dituliskan seagai Hp, Apakah Anda sudah paham? Bagus! Apaila masih mengalami kesulitan, perhatikan contoh erikut ini. Contoh : F. Tentukan akar-akar persamaan kuadrat - 0 dengan cara pemfaktoran! Jawa: 0 Karena persamaan kuadrat ini hanya terdiri dari dua suku dan masing-masing suku mempunyai faktor yang sama yaitu, maka difaktorkan menjadi: ( ) 0 0 atau jadi akar-akar persamaan kuadrat 0 adalah 0 atau Atau dalam entuk himpunan penyelesaian dituliskan seagai Hp 0,

9 Anda masih elum paham? Baiklah, untuk leih jelasnya perhatikan contoh 5 di awah ini. Contoh 5: Tentukan akar-akar persamaan kuadrat: 9 0 dengan cara pemfaktoran! Jawa: 9 0 Persamaan kuadrat ini mempunyai entuk istimewa, dapat kita faktorkan dengan menggunakan rumus a ( + a ) ( - a ) sehingga menjadi: ( + ) ( - 9 ) 0. ( + ) ( ) atau 0 0 atau atau jadi akar-akar persamaan kuadrat 9 0 adalah - atau. atau dalam entuk himpunan penyelesaian dituliskan seagai Hp {-, }. Setelah memperhatikan eerapa contoh di atas apakah Anda sudah paham? Untuk mengetahui sejauh mana pemahaman Anda terhadap materi di atas, kerjakan soal-soal latihan uji kompetensi di awah ini. 9 Tentukan akar-akar tiap persamaan kuadrat di awah ini dengan cara pemfaktoran Seelum Anda selesai mengerjakan soal-soal di atas, jangan memaca jawaannya terleih dulu. Apaila sudah selesai mengerjakannya, samakanlah pekerjaan Anda dengan jawaan di awah ini , di sini 8 kita uah menjadi 6 +, ( + 6) + ( + 6) 0 karena 6.. ( + 6) ( + ) atau atau atau - Jadi akar-akarnya adalah -6 atau -. Atau Hp {-6, -} 9

10 (-5) 0 0., di sini kita uah menjadi + (-5), karena. (-5). (-0) ( + ) 5 ( + ) ( + ) ( 5) atau atau atau 5 jadi akar-akarnya adalah - atau 5. Atau Hp {-, 5} , di sini 7 kita uah menjadi 6 +, ( + ) karena 6.. ( + ) +. ( + ) ( + ) ( + ) 0 + atau atau 0 - atau - Jadi akar-akarnya adalah - atau Atau Hp,. 5 0 karena persamaan kuadrat ini hanya terdiri dari dua suku dan masingmasing suku mempunyai faktor yang sama yaitu, maka difaktorkan menjadi: ( 5) 0 0 atau Jadi akar-akarnya adalah 0 atau 5. Atau Hp 5 0, 0

11 5. 0 Persamaan kuadrat ini mempunyai entuk istimewa, dapat difaktorkan dengan menggunakan rumus a ( + 5 )( - a ) Sehingga menjadi: ( + ) ( - ) 0 ( + ( ) atau 0 0 atau atau Jadi akar-akarnya adalah - atau. Atau Hp {-, } 8a Persamaan kuadrat ini mempunyai entuk istimewa, dapat kita faktorkan dengan menggunakan rumus a ( + ) ( - a ) seingga menjadi: ( + + ) ( - 8 ) 0 0 atau atau atau 8 karena 8. maka menjadi atau jadi akar-akarnya adalah - atau atau Hp {, } Bagaimana, mudah ukan? Apakah pekerjaan Anda sama seperti jawaan di atas?apaila ya, agus! Berarti Anda enar. Apaila pekerjaan Anda elum enar, Segeralah koreksi dan samakan dengan jawaan di atas. Bagi Anda yang menjawa enar, selanjutnya dapat mempelajari materi di awah ini.. Menentukan Akar-Akar Persamaan Kuadrat dengan Menggunakan Rumus Kuadrat. Selain menggunakan cara pemfaktoran, untuk menentukan akar-akar persamaan kuadrat a + + c 0 adalah dengan menggunakan rumus kuadrat atau sering diseut rumus ac. Rumus kuadrat dapat diturunkan dengan cara melengkapkan kuadrat sempurna seagai erikut: a + + c 0 Kedua ruas ditamah c, maka menjadi: a + -c

12 Kedua ruas diagi dengan a dimana a, + a c a Lengkapkan kuadrat pada ruas kiri, dengan cara menamah kedua ruas, maka diperoleh: a pada c a a a a Nyatakan ruas kiri dalam entuk kuadrat sempurna yaitu: a a a c + a a ac + a a ac a + a ± ac a + a ± ac a + a ± ac a a ± ac a ± ac a + ac a atau ac a jadi rumus akar-akar persamaan kuadrat a + + c 0 adalah. ± ac a Bagaimana menggunakan rumus kuadrat di atas? Baiklah, untuk itu marilah pelajari eerapa contoh erikut.

13 Contoh : Tentukan akar-akar persamaan kuadrat dengan cara menggunakan rumus kuadrat! Jawa: , erarti a, 5, dan c 6. Dengan menggunakan rumus kuadrat maka diperoleh:. ± 5 ± ac a ± 5 5 ± atau 5 ± Jadi akar-akarnya adalah - atau -. Atau Hp {-, -}. Apaila diurutkan dari nilai yang kecil, maka dapat juga ditulis Hp {-, -}. Bagaimana, mudah ukan? Anda sudah paham? Bagus! Apaila Anda elum paham perhatikanlah contoh di awah ini! Contoh : Tentukan akar-akar persamaan kuadrat: + 0 dengan cara menggunakan rumus kuadrat! Jawa: + 0, erarti a, -, dan c Dengan menggunakan rumus kuadrat maka diperoleh:. (- ) ± (- )... ± 6 6 ± + 0 atau 0 ± 0 0 Jadi akar-akarnya. Atau Hp {} Karena akar-akar persamaan kuadrat di atas adalah, maka persamaan kuadrat itu mempunyai akar-akar sama (kemar) Setelah memperhatikan contoh-contoh di atas, apakah Anda paham? Baiklah, untuk menamah pemahaman Anda perhatikan contoh.

14 Contoh : Tentukan akar-akar persamaan kuadrat: dengan cara menggunakan rumus kuadrat! Jawa: + 0, erarti a, -, dan c. Dengan menggunakan rumus kuadrat maka diperoleh:. (- ) ± (- ). ± ± 8 (catatan : 8. ± ( ± ± + atau Jadi akar-akarnya adalah + atau Atau Hp +, Bagaimana, mudah ukan? Baiklah, untuk leih jelasnya perhatikan contoh di awah ini! Contoh : Tentukan akar-akar persamaan kuadrat: dengan menggunakan rumus kuadrat! Jawa: + + 0, erarti a,, dan c. Dengan menggunakan rumus kuadrat maka diperoleh:. ±.. - ± - ±. 6 6

15 Karena adalah khayal (imajiner), erarti akar-akar persamaan kuadrat di atas adalah khayal (imajiner). Atau persamaan kuadrat \dikatakan tidak mempunyai penyelesaian. Himpunan penyelesaiannya adalah himpunan kosong, dilamangkan dengan. Setelah mempelajari eerapa contoh di atas, apakah Anda sudah paham? Untuk mengetahui sejauh mana pemahaman Anda terhadap materi di atas, kerjakan soal-soal latihan uji kompetensi erikut ini. Tentukan akar-akar tiap persamaan kuadrat di awah ini dengan cara menggunakan rumus kuadrat: Kerjakanlah soal-soal di atas tanpa memaca jawaannya terleih dahulu. Apaila Anda sudah selesai mengerjakannya, cocokkanlah pekerjaan Anda dengan jawaan di awah ini , erarti: a 6, -5, dan c. Maka:. (- 5) ± (- 5) ± 5 5 ± 5 ± atau 5 Jadi akar-akarnya adalah Atau Hp, atau 5

16 , erarti a, 6, dan c 9. Maka:. 6 ± 6 ± ± 0 6 ± atau Jadi akar-akarnya adalah -. Atau Hp {-}.. 0, erarti a, -, dan c -. Maka:. ( ) ± ( ).. ( ) ± ± ( ± ± catatan : atau 5 Jadi akar-akarnya adalah + 5 atau 5 Atau Hp { + 5, 5}. + 0, erarti a, -, dan c. Maka:. ( ) ± ( )... ± 8 ± 7 6

17 Karena adalah khayal (imajiner), erarti akar-akar persamaan kuadrat di atas adalah khayal (imajiner). Atau persamaan kuadrat + 0 dikatakan tidak mempunyai penyelesaian. Bagaimana, tidak sulit ukan? Pekerjaan Anda sama seperti jawaan di atas? Apaila ya agus, erarti Anda enar. Apaila pekerjaan Anda elum enar, segeralah samakan dengan jawaan di atas. Bagi Anda yang menjawa enar, selanjutnya dapat mempelajari materi di awah ini.. Penggunaan Diskriminan Dalam kegiatan agian, Anda telah mempelajari cara menentukan akar-akar persamaan kuadrat a + + c 0 (a) dengan menggunakan rumus kuadrat atau rumus ac, yaitu:. ± ac a Dari rumus itu tampak ahwa akar-akar persamaan kuadrat sangat ditentukan oleh nilai ac. Bentuk ac diseut diskriminan (pemeda) dari persamaan kuadrat a + + c 0 dan dilamangkan dengan huruf D, sehingga D ac. Pemerian nama/istilah diskriminan D ac, dikarenakan nilai D -ac ini yang mendiskriminasikan (memedakan) jenis akar-akar persamaan kuadrat.jadi kegunaan diskriminan adalah untuk menentukan jenis akar-akar persamaan kuadrat. Untuk leih jelasnya, mairlah kita perhatikan penjelasan materi di awah ini. Untuk memeriksa huungan antara jenis akar-akar suatu persamaan kuadrat dengan nilai diskriminan D ac, simaklah kemali akar-akar persamaan kuadrat pada contoh yang penyelesaiannya dengan menggunakan rumus kuadrat (rumus ac) dan telah Anda pelajari pada materi kegiatan agian, yaitu: Persamaan kuadrat pada contoh yaitu mempunyai akar-akar - atau -. Akar-akar ini merupakan ilangan real yang erlainan dan rasional (terukur). Koefisien-koefisien persamaan kuadrat adalah a, 5, dan c 6, sehingga nilai diskriminannya adalah: D ac

18 8 Ternyata ahwa: D>0 dan D merupakan entuk kuadrat sempurna. Persamaan kuadrat pada contoh yaitu + 0 mempunyai akarakar atau + Akar-akar ini merupakan ilangan real yang erlainan dan rasional (tak terukur) Koefisien-koefisien persamaan kuadrat + 0 adalah a, -, dan c, sehingga nilai diskriminannya adalah: D ac (-) Ternyata ahwa D>0 dan D8 tidak erentuk kuadrat sempurna. Persamaan kuadrat pada contoh yaitu + 0 mempunyai akar-akar. Dikatakan kedua akarnya sama (kemar), real dan rasional. Koefisien-koefisien persamaan kuadrat + 0 adalah a, -, dan c, sehingga nilai diskriminannya adalah: D ac (-) Ternyata ahwa: D 0 Persamaan kuadrat pada contoh yaitu tidak mempunyai akar real atau kedua akarnya tidak real/khayal (imajiner). Koefisien-koefisien persamaan kuadrat adalah a,, dan c, sehingga nilai diskriminannya adalah: D ac.. -8 Ternyata ahwa: D<0 Berdasarkan penjelasan di atas dapat kita ketahui ahwa ada huungan antara jenis akar-akar persamaan kuadrat dengan nilai diskriminannya yaitu D ac. Jadi nilai diskriminan D ac sangat menentukan jenis akar-akar persamaan kuadrat a + + c 0, yaitu:. Jika D>0, maka persamaan kuadrat mempunyai dua akar real yang erlainan. a. Jika D erentuk kuadrat sempurna maka kedua akarnya rasional

19 . Jika D tidak erentuk kuadrat sempurna maka kedua akarnya irasional.. Jika D 0, maka persamaan kuadrat mempunyai dua akar yang sama (kemar), real dan rasional.. Jika D<0, maka persamaan kuadrat tidak mempunyai akar real atau kedua akarnya tidak real/khayal (imajiner) Selanjutnya, untuk mengetahui jenis-jenis akar persamaan kuadrat (real atau tidak, sama atau tidak, rasional atau irasional) kita tidak perlu menentukan akar-akar persamaan kuadrat terseut, tetapi cukup menghitung nilai diskriminan D ac. Agar Anda memahami dan terampil menggunakan perhitungan nilai diskriminan untuk menentukan jenis-jenis akar persamaan kuadrat, perhatikanlah eerapa contoh di awah ini! Contoh : Tanpa harus menyelesaikan persamaan terleih dulu, tentukan jenis akar-akar tiap persamaan kuadrat erikut! a c d Jawa: a , erarti a, -0, dan c 6. Nilai diskriminannya adalah: D ac (-0) Karena D 6>0 dan D 6 6 erentuk kuadrat sempurna maka persamaan kuadrat mempunyai dua akar real yang erlainan dan rasional.. 6 0, erarti a, 0, dan c -6. Nilai diskriminannya adalah: D ac 0.. (-6) 0 + Karena D >0 dan D tidak erentuk kuadrat sempurna maka persamaan kuadrat 6 0 mempunyai dua akar yang erlainan dan irasional. c , erarti a, 6, dan c 9. Nilai diskriminanya adalah: D ac 9

20 karena D 0, maka persamaan kuadrat mempunyai dua akar yang sama (kemar), real dan rasional. d , erarti a -,, dan c -6 Nilai diskriminannya adalah: D ac. (-).(-6) Karena D -9 maka persamaan kuadrat tidak mempunyai akar real atau kedua akarnya tidak real/khayal (imajiner). Bagaimana, mudah ukan? Baiklah, untuk leih jelasnya perhatikan contoh di awah ini. Contoh : Tentukan nilai p agar persamaan kuadrat + p 0 mempunyai dua akar yang sama (kemar)! Jawa: + p 0, erarti a, -, dan c p. nilai diskriminannya: D ac (-).. p 6-8p Agar persamaan kuadrat c + p 0 mempunyai dua akar yang sama (kemar), maka: D P P 6 8P P P. Jadi persamaan kuadrat + p 0 mempunyai dua akar yang sama (kemar) jika nilai p. Bagaimana, tidak sulit ukan? Apakah Anda sudah paham? Apaila masih elum jelas, perhatikan contoh di awah ini. Contoh : Tunjukkan ahwa persamaan kuadrat + (m+)+m 0, dengan mr selalu mempunyai dua akar real yang erlainan! Jawa: + (m+) + m 0, erarti a, (m + ), dan c m. 0

21 nilai diskriminannya adalah: D ac (m+).. m m + m + m m + Untuk setiap mr maka m selalu positif atau m > 0, sehingga nilai D m + juga selalu positif atau D m + > 0. oleh karena D >0 untuk setiap mr maka persamaan kuadrat + (m + ) + m 0 selalu mempunyai dua akar real yang erlainan. Nah, setelah memperhatikan eerapa contoh di atas apakah Anda sudah paham? Untuk mengetahui sampai dimana pemahaman Anda terhadap materi di atas, kerjakanlah soal-soal latihan di awah ini.. Tanpa harus menyelesaikan persamaannya terleih dulu, tentukan jenis akar-akar tiap persamaan kuadrat erikut! a c d Tunjukkan ahwa persamaan kuadrat + (p + ) + p 0, dengan p R selalu mempunyai dua akar real yang erlainan!. Tentukan nilai n agar persamaan kuadrat + n mempunyai dua akar yang sama (kemar)! Seelum Anda selesai mengerjakan soal-soal di atas jangan memaca jawaannya terleih dahulu. Apaila sudah selesai mengerjakannya, samakanlah pekerjaan Anda dengan jawaan di awah ini.. a , erarti a,, dan c -0. Nilai diskriminannya: D ac..(-0) Karena D 8 > 0 dan D 8 9 erentuk kuadrat sempurna maka persamaan kuadrat mempunyai dua akar real yang erlainan dan rasional.. 0, erarti a, -, dan c -. Nilai diskriminannya: D ac (-)..(-) + 8 Karena D > 0 dan D tidak erentuk kuadrat sempurna maka

22 persamaan kuadrat 0 mempunyai dua akar yang erlainan dan irasional. c , erarti a, -0, dan c 5. Nilai diskriminannya: D ac (-0) Karena D 0, maka persamaan kuadrat mempunyai dua akar yang sama (kemar) real dan rasional. d. + 0, erarti a, -, dan c. Nilai diskriminannya: D ac (-) Karena D -7<0 maka persamaan kuadrat + 0 tidak mempunyai akar real atau kedua akarnya tidak real/khayal (imajiner).. (p+) + p 0, erarti a, (p+), dan c p Nilai diskriminannya adalah: D ac (p+ ).. p p + 8p + 6 8p p + 6 Untuk setiap p R maka p selalu positif atau p >0, sehingga nilai D p + 6 juga selalu positif atau D p + 6 > 0. oleh karena D>0 untuk setiap pr maka persamaan kuadrat + (p + ) + p 0 selalu mempunyai dua akar real yang erlainan.. + n + 0, erarti a, n, dan c 6. Nilai diskriminannya: D ac n.. 6 n Agar persamaan kuadrat + n mempunyai dua akar yang sama (kemar), maka: D 0 n 0 n 0 + n n ± n ± n atau n -.

23 Jadi persamaan kuadrat + n mempunyai dua akar yang sama (kemar) jika nilai n atau n -. Bagaimana, tidak sulit ukan? Apakah pekerjaan Anda sama seperti jawaan di atas? Apaila ya, agus erarti Anda enar. Apaila jawaan Anda elum enar, segeralah periksa dan samakan dengan jawaan di atas. Bagi Anda yang menjawa enar selanjutnya kerjakanlah soal-soal uji kompetensi. Jujurlah Anda dalam mengerjakan soal-soal uji kompetensi yang erguna untuk mengetahui tingkat penguasaan Anda terhadap materi kegiatan. Nah, selamat mengerjakan!

24 Kompetensi Kerjakanlah soal-soal di awah ini dengan singkat, jelas, dan enar!. Tentukan akar-akar tiap persamaan kuadrat di awah ini dengan cara pemfaktoran! a Tentukan akar-akar tiap persamaan kuadrat di awah ini dengan menggunakan rumus kuadrat atau rumus ac! a c Tanpa harus menyelesaikan persamaan terleih dulu, tentukan jenis akar-akar tiap persamaan kuadrat di awah ini! a c Tentukan nilai p agar persamaan kuadrat + p mempunyai dua akar yang sama (kemar)! 5. Tunjukkan ahwa persamaan kuadrat (p ) + p 0 dengan p R selau mempunyai dua akar real yang erkaitan! Pekerjaan Anda sudah selesai? Bagaimana, tidak sulit ukan? Untuk mengetahui hasil pekerjaan Anda, selanjutnya cocokkanlah jawaan Anda dengan kunci uji kompetensi yang tersedia di agian akhir modul ini. Kemudian hitunglah skor Anda dengan menggunakan aturan seagai erikut: Untuk: nomor, jawaan enar skor 8 nomor, jawaan enar skor nomor, jawaan enar skor nomor, jawaan enar skor nomor 5, jawaan enar skor Apaila semua jawaan enar, maka skor total Selanjutnya untuk menghitung skor akhir yang Anda peroleh, gunakan rumus yang terdapat pada halaman pendahuluan modul ini. Jika Anda memperoleh skor > 65%, erarti Anda telah erhasil menguasai materi dalam kegiatan. selanjutnya Anda dapat mempelajari materi kegiatan. Tetapi, agi Anda yang memperoleh skor < 65%, Anda harus mempelajari kemali materi pada kegiatan, ila perlu diskusikan dengan teman-teman atau tanyakan langsung kepada guru ina pada saat tatap muka. Jangan malu untuk ertanya. Keerhasilan Anda ada pada diri Anda dan selalu erdoalah kepada Allah agar dieri kemudahan dalam elajar.

25 Kegiatan Belajar PERSAMAAN KUADRAT YANG AKAR-AKARNYA DIKETAHUI Untuk mendukung tercapainya kompetensi dasar dalam materi pokok ini, indikator pencapaian hasil elajarnya adalah Anda dapat:. Menentukan jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat.. Menyusun persamaan kuadrat yang akar-akarnya memenuhi kondisi tertentu.. Jumlah dan Hasil Akar-Akar Persamaan Kuadrat Pada kegiatan Anda telah mempelajari ahwa akar-akar persamaan kuadrat a + + c 0, dimana a,, c R dan a 0 dapat ditentukan dengan menggunakan rumus kuadrat atau rumus ac seagai erikut: + Dari ac rumus di atas, kita dapat menentukan ac rumus jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan atau kuadrat a a + + c 0 yang dinyatakan dalam koefisien-koefisien a, a, dan c. Bagaimana menentukan rumus jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat terseut? Baiklah, untuk leih jelasnya Anda simak penjelasan erikut ini. a). Jumlah akar-akar persamaan kuadrat a a ac ac + a a ac a ac 5

26 ). Hasil kali akar-akar persamaan kuadrat ( ) + ac ac ( ac) + ac a ac a c a ac + a a ac a Dari hasil perhitungan di atas, maka diperoleh sifat seagai erikut: Jika dan adalah akar-akar persamaan kuadrat a + + c 0 maka jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat dapat ditentukan dengan rumus: c + dan. a a Agar Anda memahami dan terampil menggunakan rumus di atas, perhatikanlah eerapa contoh di awah ini! Contoh : Jika dan adalah akar-akar persamaan kuadrat + 0, maka tanpa harus menyelesaikan persamaannya terleih dulu, hitunglah: a. +.. c. + d. + Jawa: + 0, erarti a, -, dan c. a. + a ( ) c. + a c. Untuk menghitung nilai + kita harus mencarinya terleih dulu seagai erikut: ( + ) + + 6

27 7 ( + ) - + Atau + ( + ) ( ) a c a d. Untuk menghitung nilai kita harus menyamakan penyeutnya terleih dulu seagai erikut. a c a Bagaimana, mudah ukan? Sudah pahamkah Anda? Nah, apaila masih kurang paham, perhatikan contoh erikut

28 Contoh : Akar-akar persamaan kuadrat adalah p dan q. tanpa harus menyelesaikan persamaanya terleih dulu, hitunglah nilai: a. p + q. p. q c. p + q d. + p q e. (p q) Jawa: 5 6 0, erarti a, 5, dan c a. p + q. p. q c a - (- 6) c. Dari jawaan soal nomer agian c telah Anda ketahui ahwa: + ( +) Maka p + q (p + q) pq a c a d. q + p + (disamakan penyeutnya) p q pq p + q pq 8

29 a c a e. (p-q) p pq +q p + q pq karena: p + q (p + q) pq, maka: (p q) (p + q) pq pq (p + q) pq c a a Setelah memperhatikan dua contoh tadi apakah Anda sudah paham? Baiklah, selanjutnya untuk mengetahui sejauh mana pemahaman Anda terhadap materi di atas kerjakanlah soal-soal latihan di awah ini! Perhatikan, Anda jangan memaca jawaannya terleih dahulu. 9

30 .. c. + d. +. Jika dan adalah akar-akar persamaan kuadrat maka tanpa harus menyelesaikan persamaannya terleih dulu hitunglah nilai: a. +. Akar-akar persamaan kuadrat adalah. Tanpa harus menyelesaikan persamaanya terleih dulu, hitunglah nilai; a. α + β. c. α + β d. + α β e. ( α β) Tidak sulit ukan? Sudah selesaikah Anda mengerjakannya? Apaila sudah selesai, seperti inikah pekerjaan Anda? , erarti a, 6, dan c 5. 6 a. + 6 a c a c. + ( + ) ( 6) c a a

31 d a c a , erarti a, -7, dan c a. ( ) 7 7 a β α +. a c α.β c. ( ) αα β α β α + + ( ) a c a

32 d. α.β α β β α a c a α.β β α + e. ( ) β α α β α + β ( ) ( ) ( ) a c a α β α α α β α α β α β β β β

33 Apakah pekerjaan Anda sama seperti jawaan di atas? Jika ya, agus! Berarti Anda enar. Apaila pekerjaan Anda elum enar, segera samakanlah dengan jawaan di atas. Apaila mengalami kesulitan diskusikanlah dengan teman-teman atau tanyakan langsung kepada guru ina pada saat tatap muka. Bagi Anda yang menjawa enar, selanjutnya marilah kita pelajari materi di awah ini.. Persamaan Kuadrat yang Akar-Akarnya Diketahui (Memenuhi Kondisi Tertentu) Apaila akar-akar suatu persamaan kuadrat diketahui, maka kita dapat menyusun persamaan kuadrat itu dengan dua cara, yaitu: menggunakan faktor dan menggunakan rumus jumlah dan hasil kali akar-akar. Untuk jelasnya, marilah kita pelajari materi di awah ini. a. Menggunakan Faktor Apaila suatu persamaan kuadrat dapat difaktorkan menjadi ( )( ) 0, maka dan merupakan penyelesaian atau akar-akar persamaan kuadrat terseut. Sealiknya, apaila dan merupakan prnyelesaian atau akarakar persamaan kuadrat, maka persamaan kuadrat itu dapat ditentukan dengan rumus: ( ) ( ) 0 Bagaimana menggunakan rumus di atas? Baiklah, untuk leih jelasnya perhatikanlah eerapa contoh di awah ini. Contoh : Susunlah persamaan kuadrat yang akar-akarnya dan! Jawa: Di sini erarti dan. Dengan menggunakan rumus: ( )(- ) 0 Maka diperoleh : ( ) ( ) Jadi persamaan kuadrat yang diminta adalah Mudah ukan? Anda masih elum paham? Baiklah, untuk itu simaklah contoh di awah ini. Contoh : Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya dan -5! Jawa: Di sini erarti dan -5. Dengan menggunakan rumus: ( ) ( ) 0 Maka diperoleh: ( ( 5) ) 0

34 ( 5) (kedua ruas dikalikan ) Jadi persamaan kuadrat yang diminta adalah Bagaimana, tidak sulit ukan? Sudah pahamkah Anda? Untuk menamah pemahaman Anda, perhatikanlah contoh erikut. Contoh : Susunlah persamaan kuadrat yang akar-akarnya -! Jawa: Di sini erarti dan Dengan menggunakan rumus: ( ) ( ) 0 Maka diperoleh: (kedua ruas dikalikan 6) Jadi persamaan kuadrat yang diminta adalah Setelah memperhatikan eerapa contoh di atas, sudah pahamkah Anda? Untuk mengetahui sejauh mana pemahaman Anda terhadap materi di atas, kerjakan soal-soal latihan uji kompetensi erikut.. Susunlah persamaan kuadrat yang akar-akarnya dan!. Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya - dan -7!. 5 Susunlah persamaan kuadrat yang akar-akarnya dan! Perhatikan, seelum selesai mengerjakan soal-soal terseut Anda jangan memaca jawaannya Terleih dulu. Bagaimana, sudah selesaikah Anda mengerjakannya? Apaila sudah selesai, samakanlah pekerjaan Anda dengan jawaan di awah ini.

35 . Akar-akarnya dan. Maka: ( )(- ) 0 ( )( ) Jadi persamaan kuadrat yang diminta adalah Akar-akarnya - dan -7 maka: (- )(- ) 0 ( (-)) ( (-7) 0 ( + ) ( + 7) Jadi persamaan kuadrat yang di minta adalah Akar-akarnya dan maka: ( )( ) 0 ( (- ( Tidak sulit ukan? Apakah pekerjaan Anda sama seperti jawaan di atas? Apaila ya, agus! Berarti Anda enar. Apaila pekerjaan Anda elum enar, segeralah samakan dengan jawaan di atas. Jika mengalami kesulitan, diskusikanlah dengan teman-teman atau tanyakan langsung kepada guru ina pada saat tatap muka. Bagi Anda yang menjawa enar, selanjutnya dapat mempelajari materi erikut ini. Kali ini kita akan mempelajari cara menyusun persamaan kuadrat yang akarakarnya diketahui dengan cara yang kedua yaitu:. Menggunakan Rumus Jumlah dan Hasil Kali Akar-Akar Persamaan kuadrat a + + c 0 (aapaila kedua ruas diagi dengan a, c maka dapat dinyatakan dalam entuk a a Dari rumus jumlah dan hasil kali akar-akar kita peroleh huungan: + a a ( ) + 5

36 c c. a a Jadi persamaan kuadrat + dapat dinyatakan dalam entuk: ( + ) +. 0 Agar Anda memahami dan terampil menggunakan rumus terseut, marilah kita simak eerapa contoh di awah ini. Contoh : Susunlah persamaan kuadrat yang akar-akarnya dan! Jawa: Disini dan Dengan menggunakan rumus: ( + ) +. 0 Maka diperoleh: ( + ) Jadi persamaan kuadrat yang diminta adalah Mudah ukan? Selanjutnya perhatikan contoh di awah ini. Contoh : Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya dan -! Jawa: Di sini erarti dan -. Dengan menggunakan rumus: ( + ) ( ) +.( ) (kedua ruas dikalikan ) + 0 Jadi persamaan kuadrat yang diminta adalah Sudah pahamkah Anda? Apaila sudah paham, agus! Nah, untuk menamah pemahaman Anda perhatikan contoh erikut!

37 Contoh : Akar-akar persamaan kuadrat + 0 adalah αdan persamaan kuadrat yang akar-akarnya dan α β. Susunlah Jawa: Persamaan kuadrat + 0, erarti a,, dan c -. Maka: α+ a c Dan: α. a Misalkan persamaan kuadrat yang diminta mempunyai akar-akar dan, maka: Ini erarti: + + α β β + α αβ (disamakan penyeutnya) β αβ α dan β... α β αβ. - 7

38 Sutitusi ( + ) dan (. ) - ke persamaan: ( + ) (-) 0-0 Jadi persamaan kuadrat yang diminta adalah 0. Setelah memperhatikan contoh-contoh di atas, sudah pahamkah Anda? Untuk mengetahui sampai dimana pemahaman Anda terhadap materi di atas, kerjakanlah soal-soal latihan uji kompetensi erikut.. Susunlah persamaan kuadrat yang akar-akarnya dan dengan menggunakan rumus jumlah dan hasil kali akar-akar!. Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya -5 dan 6 dengan menggunakan rumus jumlah dan hasil kali akar-akar!. Susunlah persamaan kuadrat yang akar-akarnya dan dengan menggunakan rumus jumlah dan hasil kali akar-akar!. Akar-akar persamaan kuadrat 0 0 adalah α dan β. Susunlah persamaan kuadrat yang akar-akarnya dengan menggunakan rumus jumlah dan hasil kali akar-akar! 5. Akar-akar persamaan kuadrat ++ 0 adalah α dan. Susunlah persamaan kuadrat yang akar-akarnya α dan rumus jumlah dan hasil kali akar-akar! dengan menggunakan Seelum selesai mengerjakan soal-soal di atas, Anda jangan memaca jawaannya terrleih dahulu. Apaila sudah selesai mengerjakannya cocokkanlah pekerjaan Anda dengan jawaan di awah ini.. Akar-akarnya dan. Dengan menggunakan rumus: -( + ) + 0 Maka diperoleh: -(+) Jadi persamaan kuadrat yang diminta adalah Akar-akarnya -5 dan 6 Dengan menggunakan rumus: -( + ) + 0 Maka diperoleh: -((-5)+6) + (-5).6 0 -() 0 0 8

39 9 Jadi persamaan kuadrat yang diminta adalah Akar-akarnya dan Dengan menggunakan rumus: -( + ) +. 0 Maka diperoleh: ) dikalikan 0 (kedua ruas Jadi persamaan kuadrat yang diminta adalah Persamaan kuadrat --0 0, erarti a, -, dan c -0. Maka: ( ) a β α + Dan: 0 0 a c α.β Misalkan persamaan kuadrat yang diminta mempunyai akar-akar dan, maka:. α dan. β Ini erarti: + α + β αβ β + α αβ α + β

40 α. β αβ -0 0 Sutitusi ( + ) dan 0. ke persamaan 0 - ( + ) jadi persamaan kuadrat yang diminta adalah Persamaan kuadrat + + 0, erarti a,, dan c. Maka: α + β a c Dan: α.β a Misalkan persamaan kuadrat yang diminta mempunyai akar-akar dan maka: αdan Ini erarti: + α+ ( α+ ) (-) -6 0

41 + α. α. () 8 Sutitusikan ( + )-6 dan. 8 ke persamaan: ( + ) +. 0 (-6) Jadi persamaan kuadrat yang diminta adalah Tidak sulit ukan? Pekerjaan Anda sama seperti jawaan di atas? Apaila ya, agus! erarti Anda enar. Apaila pekerjaan Anda elum enar, segeralah samakan dengan jawaan di atas. Jika mengalami kesulitan diskusikanlah dengan teteman-teman atau tanyakan langsung kepada guru ina pada saat tatap muka. Bagi Anda yang menjawa enar selanjutnya kerjakanlah soal-soal uji kompetensi. untuk mengukur tingkat penguasaan Anda terhadap materi kegiatan kerjakan soal-soal uji kompetensi dengan jujur. Nah, selamat mengerjakan! β

42 Uji Kompetensi Kerjakan soal-soal di awah ini dengan singkat, jelas, dan enar!. Jika dan adalah akar-akar persamaan kuadrat + + 0, maka tanpa harus menyelesaikan persamaannya terleih dulu, hitunglah: a. +.. c. + d. +. Jika adalah akar-akar persamaan kuadrat - + 0, maka tanpa harus menyelesaikan persamaannya terleih dulu, hitunglah: a. α + β. c. α + β d. + α β e. ( α - β). Susunlah persamaan kuadrat yang akar-akarnya dan 7 dengan menggunakan faktor!. Susunlah persamaan kuadrat yang akar-akarnya dan - dengan menggunakan rumus jumlah dan hasil kali akar-akar! 5. Akar-akar persamaan kuadrat 0 adalah. Susunlah persamaan kuadrat yang akar-akarnya dan α β Bagaimana, mudah ukan? Apakah pekerjaan Anda sudah selesai? Untuk mengetahui hasil pekerjaan Anda, cocokkanlah jawaan Anda dengan kunci uji kompetensi yang tersedia di agian akhir modul ini. Kemudian hitunglah skor Anda dengan menggunakan aturan seagai erikut: untuk nomor, jawaan enar skor 6 nomor, jawaan enar skor 8 nomor, jawaan enar skor nomor, jawaan enar skor nomor 5, jawaan enar skor 6

43 Apaila semua jawaan enar, maka skor total Selanjutnya untuk menghitung skor akhir yang Anda peroleh, gunakan rumus yang terdapat pada halaman pendahuluan modul ini. Jika Anda memperoleh skor > 65%, erarti Anda telah erhasil menguasai materi dalam kegiatan. selanjutnya Anda dapat mempelajari materi kegiatan. tetapi, apaila Anda memperoleh skor < 65%, Anda harus mempelajari kemali materi kegiatan terutama agian-agian yang elum dikuasai. Apaila Anda mengalami kesulitan diskusikan dengan teman-teman atau tanyakan langsung kepada guru ina pada sasat tatap muka. Belajarlah yang rajin dan penuh semangat agar selalu erhasil meraih cita-cita. Jangan lupa erdoalah kepada Allah SWT agar dieri kemudahan elajar.

44

45 Kegiatan Belajar FUNGSI KUADRAT Untuk mendukung tercapainya kompetensi dasar dalam materi pokok ini, indikator pencapaian hasil elajarnya adalah Anda dapat:. Menentukan sumu simetri dan titik puncak fungsi kuadrat menggunakan grafik fungsi kuadrat.. Menentukan syarat fungsi kuadrat definit positif atau negatif.. Menjelaskan kaitan persamaan kuadrat dan fungsi kuadrat.. Grafik Fungsi Kuadrat Seelum kita memahas leih lanjut tentang grafik fungsi kuadrat, seaiknya Anda ingat kemali mengenai pengertian fungsi atau pemetaan. Pada Gamar - dapat kita lihat diagram panah suatu relasi himpunan A ke himpunan B, dengan A {c, d, e } dan B {k, l, m, n }. Tampak ahwa setiap anggota himpunan A dihuungkan dengan tepat pada satu anggota himpunan B. relasi yang ersifat demikian diseut fungsi atau pemetaan. Jadi, dapat dikatakan ahwa: Fungsi atau Pemetaan adalah relasi himpunan A ke himpunan B yang memasangkan setiap anggota himpunan A dengan tepat satu anggota pada himpunan B. A a c f B k l m n Gamar - Apaila fungsi itu dieri nama f, maka fungsi terseut dituliskan dengan lamang f: A B (diaca: f memetakan A ke B). Pada Gamar - di atas, fungsi atau pemetaan dari himpunan A ke himpunan B dapat diaca seagai erikut: (i). f memetakan c (c) k. A ke k, dikatakan ahwa: k adalah peta c oleh f dan ditulis f 5

46 (ii). f memetakan d A ke l B, dikatakan ahwa: l adalah peta d oleh f dan ditulis f (d) l. (iii) f memetakan e A ke m B, dikatakan ahwa: m adalah peta e oleh f dan ditulis f(e) m Apaila fungsi f memetakan setiap A dengan tepat ke satu anggota y B, maka: f: y (diaca: y adalah peta dari oleh f). Peta dari A oleh fungsi f sering dinyatakan seagai f() dan entuk f() diseut rumus agi fungsi f. Seagai contoh, fungsi f: + dengan R maka dapat dinyatakan: (i). Rumus untuk fungsi f adalah f() + (ii). Peta dari 0 adalah f (0) (0) Peta dari adalah f() () + + Peta dari adalah f () () , dan seterusnya. Ingat ahwa f(0) adalah nilai f() untuk 0. Jadi, secara umum yang dimaksud f(a) a + adalah nilai fungsi f untuk a. (iii). Grafik fungsi f digamarkan dengan persamaan y +. Pada fungsi atau pemetaan dikenal eerapa istilah yaitu daerah asal, daerah kawan, dan daerah hasil. Untuk itu perhatikan penjelasan erikut ini. Misalkan f suatu fungsi yang memetakan setiap anggota himpunan A dengan tepat ke satu anggota himpunan B (f: AB), maka: (i). Himpunan A diseut daerah asal (domain) fungsi f. (ii). Himpunan B diseut daerah kawan (kodomain) fungsi f. (iii). Himpunan semua anggota B yang dipasangkan dengan setiap anggota himpunan A diseut daerah hasil (range) fungsi f. Seagai contoh, fungsi f pada Gamar - dapat diseutkan ahwa: (i). daerah asalnya adalah A {c, d, e } (ii). daerah kawannya adalah B {k, l, m, n }. (iii). Daerah hasilnya adalah {k, l, m } Untuk menentukan daerah asal dan daerah hasil suatu fungsi perhatikan contoh dan contoh di awah ini. Contoh : Diketahui fungsi f: + dengan daerah asal a. Tentukan nilai fungsi f untuk,,, dan.. Gamarlah grafik fungsi f pada idang cartesius c. Tentukan daerah hasil fungsi f. Jawa: f: +, rumus untuk fungsi f adalah f() +. a. Nilai fungsi f: untuk adalah f() +. 6

47 untuk adalah f () + untuk adalah f() + untuk adalah f() + 5. Grafik fungsi f dinyatakan oleh persamaan y + yaitu suatu persamaan garis lurus. Beerapa anggota dari f adalah titik-titik dengan koordinat (,)(,)(,), dan (,5). Titik-titik itu dugamarkan pada idang cartecius,, kemudian dihuungkan dengan ruas garis lurus seperti pada Gamar - di awah ini. daerah hasil y 5 (,) (,) (,) (,5) yf()+ D { / y/- y 5,, y R} } 0 5 daerah asal Gamar - c. Berdasarkan grafik fungsi f pada Gamar -, daerah hasilnya adalah contoh : Diketahui fungsi f: + dengan daerah asal Tentukan daerah hasilnya! Jawa: f: - +, rumus untuk fungsi f adalah f() - +. Nilai fungsi f: untuk - adalah f(-) (-) -(-)+ ++. untuk 0 adalah f(0) (0) -(0) untuk adalah f() () () untuk adalah f() () () + -+ untuk adalah f() () () Grafik fungsi f dinyatakan oleh persamaan y - + yaitu suatu paraola. Beerapa anggota dari f adalah titik-titik dengan koordinat (-, ), (0,), (,0), (,) dan (,). 7

48 Titik-titik itu digamar pada idang Cartecius, kemudian dihuungkan dengan kurva mulus seperti Gamar - di awah ini. Gamar - Setelah kita ingat kemali dan memahami tentang pengertian fungsi atau pemetaan termasuk istilah-istilahnya, marilah kita pelajari materi tentang menggamar sketsa grafik fungsi kuadrat dan istilah-istilahnya. a. Menggamar Sketsa Grafik Fungsi Kuadrat yang Sederhana Seelum kita memahas cara-cara menggamar sketsa grafik fungsi kuadrat, marilah kita ingat kemali mengenai entuk umum fungsi kuadrat yaitu: f() a ++c (a 0), a,, c R. Fungsi kuadrat terseut merupakan fungsi kuadrat dalam peuah. Grafik fungsi kuadrat ditulis dengan notasi y f() a + + c, dan grafik fungsi kuadrat diseut paraola. Langkah-langkah menggamar sketsa grafik fungsi kuadrat yang sederhana. Langkah : Tentukan eerapa anggota fungsi f, yaitu koordinat titik-titik yang terletak pada grafik fungsi f. Titik-titik ini dapat kita tentukan dengan memilih eerapa nilai ilangan ulat yang terletak dalam daerah asalnya kemudian kita hitung nilai fungsi f. Titik-titik pada fungsi f itu iasanya akan leih mudah jika kita sajikan dengan menggunakan tael atau daftar. 8 Langkah : Gamarkan koordinat titik-titik yang telah kita peroleh pada Langkah pada seuah idang Cartecius.

49 Langkah : Huungkan titik-titik yang telah digamarkan pada idang Cartecius pada Langkah dengan menggunakan kurva mulus. Agar Anda leih memahami dan terampil menggamar sketsa grafik fungsi kuadrat yang sederhana dengan menggunakan langkah-langkah di atas, perhatikanlah eerapa contoh di awah ini. Contoh : Gamarkan grafik fungsi kuadrat yang ditentukan dengan persamaan f() +, jika aderah asalnya adalah D { / -, R} Jawa: Grafik fungsi kuadrat f() + adalah seuah paraola dengan persamaan y +. Langkah : Kita uat tael atau daftar untuk menentukan titik-titik yang terletak pada fungsi f Y Langkah : Gamarkan titik-titik (-,8), (-,), (-,0), (-,-), (0,0), (,), dan (,8) pada idang Cartecius seperti Gamar -a. Langkah y : y Huungkan titik-titik pada Langkah terseut dengan kurva mulus, sehingga 8 8 diperoleh grafik fungsi kuadrat f() + seperti ditunjukkan pada Gamar -. 7 Grafik fungsi kuadrat ini erentuk 7 paraola. 6 6 Sumu Simetri y f() P(-,-) (a) () Gamar - 9

50 Dari grafik fungsi pada Gamar -, dapat kita ketahui eerapa istilah seagai erikut: ). Daerah Asal / -, R Daerah asal fungsi f adalah { } ). Daerah Hasil Daerah hasil fungsi f adalah { y/ - y 8, y R} ). Pemuat Nol Untuk nilai 0 diperoleh f(0) 0 dan - diperoleh f(-) 0. dalam hal ini 0 dan - diseut pemuat nol fungsi f, dan pemuat nol itu merupakan akar-akar persamaan f() 0. Perhatikan ahwa grafik fungsi f memotong sumu di (-,0) dan (0,0) sehingga pemuat nol seuah fungsi dapat ditafsirkan seagai asis titik potong grafik fungsi f dengan sumu. ). Persamaan Sumu Simetri. Paraola dengan persamaan y + mempunyai sumu simetri yang persamaannya adalah -. 5). Koordinat Titik Balik atau Titik Puncak. Dari Gamar -, koordinat titik alik atau ttik pusat paraola adalah P(-, -). Pada titik P(-, -), nilai ordinat y - merupakan nilai terkecil (minimum) dari fungsi f, maka titik P (-, -) diseut titik alik minimum. 6). Nilai Maksimum atau Minimum Fungsi. Untuk - diperoleh f(-) -. Nilai f(-) - ini diseut nilai minimum fungsi karena nilai itu adalah nilai yang terkecil dari fungsi f. Setelah mempelajari materi di atas, apakah Anda sudah paham! Baiklah, untuk leih jelasnya, perhatikanlah contoh di awah ini. Contoh : Gamarkan grafik fungsi kuadrat yang ditentukan dengan persamaan f() , jika daerah asalnya adalah. Jawa: Grafik fungsi kuadrat f() adalah seuah paraola dengan persamaan y Langkah : Kita uat tael atau daftar untuk menentukan titik-titik yang terletak pada fungsi f Y

51 Langkah : Gamarkan titiktitik (-,-7), (-,0), (0,5),(,8), (,9), (,8), (,5), (5,0), dan (6,-7) pada idang Cartecius seperti Gamar -5a. Langkah : Huungkan titik-titik pada langkah terseut dengan kurva mulus, sehingga diperoleh grafik fungsi kuadrat f() seperti ditunjukkan pada Gamar -5. grafik fungsi kuadrat ini erentuk paraola Sumu Simetri y (a) () Gamar -5 Dari grafik fungsi pada Gamar -5, dapat kita tentukan hal-hal seagai erikut: ). Daerah asal fungsi f adalah D { / - 6, R}. ). Daerah hasil fungsi f adalah D { y/ - 7 y 9,y R}. ). Pemuat nol fungsi f adalah - dan 5, karena f(-) 0 dan f(5) 0. ). Persamaan sumu simetri adalah garis. 5). Koordinat titik-titik maksimum adalah (, 9). 6). Nilai maksimum fungsi f adalah 9, karena nilai itu adalah nilai yang teresar dari fungsi f. 5

52 Nah, setelah memperhatikan contoh-contoh di atas, apakah Anda sudah paham? Untuk mengetahui sejauh mana pemahaman Anda terhadap materi di atas, kerjakan soal-soal latihan uji kompetensi di awah ini.. Diketahui fungsi kuadrat f ditentukan dengan rumus f() dalam daerah asal adalah D { - }. a). Salin dan lengkapilah daftar ini untuk fungsi f terseut Y ). Dengan menggunakan daftar yang Anda peroleh pada soal a), gamarlah sketsa grafik fungsi f. c). Berdasarkan grafik yang Anda peroleh pada soal B), tentukan: (i). daerah hasil fungsi f. (ii). pemuat nol fungsi f. (iii).persamaan sumu simetri grafik fungsi f. (iv). titik alik grafik fungsi f. (v) nilai minimum fungsi f.. Diketahui fungsi kuadrat f ditentukan dengan rumus f() - + dalam daerah asal D { -}. a). Salin dan lengkapilah daftar ini untuk fungsi f terseut y - +. ). Dengan menggunakan daftar yang Anda peroleh pada soal a), gamarkan sketsa grafik fungsi f. c). Berdasarkan grafik yang Anda peroleh pada soal ), tentukan: (i). daerah hasil fungsi f. (ii) pemuat nol fungsi f (iii) persamaan sumu simetri paraola (iv) titik alik paraola (v) nilai maksimum fungsi f. Seelum selesai mengerjakan soal-soal di atas, Anda jangan memaca jawaannya terleih dahulu. Apaila sudah selesai mengerjakannya, samakanlah pekerjaan Anda dengan jawaan di awah ini.. f() - maka y - dalam daerah asal D { /, R} a) Y

53 ). Sketsa grafik fungsi f X Gamar -6 c). (i). daerah hasil fungsi f adalah { y/ y 8, R} (ii) pemuat nol fungsi f adalah 0 dan. (iii) persamaan sumu simetri grafik fungsi f adalah. (iv).titik alik grafik fungsi f adalah (, -), jenisnya titik alik minimum. (v) nilai minimum fungsi f adalah -.. f() - + maka y - + dalam daerah asal D { /, R} a) y ). Sketsa grafik fungsi f y 5 y f() + X y f() Gamra -7 5

54 c). (i). daerah hasil fungis f adalah D { y/ 5 y,y R} (ii). pemuat nol fungsi f adalah - dan. (iii).persamaan sumu simetri paraola adalah 0 atau sumu y (iv).titik alik paraola adalah (0,). (v). nilai maksimum fungsi adalah. Bagaimana, tidak sulit ukan? Apakah pekerjaan Anda sama seperti jawaan di atas? Apaila ya, agus! Berarti Anda enar. Apaila pekerjaan Anda elum enar, segera samakanlah dengan jawaan di atas. Jika mengalami kesulitan diskusikanlah dengan teman-teman atau tanyakan langsung kepada guru ina pada saat tatap muka. Bagi Anda yang menjawa enar, selanjutnya marilah kita pelajari materi di awah ini.. Menggamar Sketsa Grafik Fungsi Kuadrat Secara Umum Pada agian a, Anda telah mempelajari cara menggamar sketsa grafik fungsi kuadrat yang sederhana. Kali ini Anda akan mempelajari materi tentang menggamar sketsa grafik fungsi kuadrat secara umum. Untuk leih jelasnya, marilah kita perhatikan penjelasan erikut. Misalkan suatu fungsi kuadrat ditentukan dengan persamaan f() a + + c (a 0), a,, c, R. Grafik fungsi kuadrat itu adalah seuah paraola dengan persamaan y a + + c. Untuk menggamar sketsa grafik fungsi kuadrat secara umum, dapat Anda gunakan langkah-langkah seagai erikut: (i). titik potong grafik dengan sumu dan sumu y. (ii). titik alik atau titik puncak paraola. (iii). Persamaan sumu simetri. Untuk leih jelasnya, marilah kita pelajari materi di awah ini. Titik potong Grafik dengan Sumu X dan Sumu y a. Titik Potong Grafik dengan Sumu X Titik potong grafik dengan sumu X diperoleh jika y 0, sehingga a + + c 0 merupakan kuadrat dalam. Akar-akar persamaan kuadrat itu merupakan asis titik-titik potongnya dengan sumu. nilai diskriminan persamaan kuadrat a ++c 0, yaitu D - ac menentukan anyak titik potong grafik dengan sumu. 5. jika D>0, maka grafik fungsi f memotong sumu di dua titik yang erlainan.. Jika D0, maka grafik fungsi f memotong sumu X di dua titik yang erimpit. Dalam hal ini, grafik fungsi f dikatakan menyinggung sumu X.

55 . Jika D<0, maka grafik fungsi f tidak memotong maupun menyinggung sumu.. Titik Potong Grafik dengan sumu y F. Yitik potong grafik dengan sumu y diperoleh jika 0, sehingga y a(0) + (0) + c c- Jadi, titik potong grafik dengan sumu y adalah (0,c). titik alik atau titik puncak dan Persamaan sumu simetri Titik alik atau titik puncak suatu paraola dapat ditentukan dengan menguah entuk kuadrat pada ruas kanan persamaan paraola menjadi entuk kuadrat sempurna. Dari entuk kuadrat itu selanjutnya dapat pula ditentukan sumu simetrinya. Seagai contoh, perhatikan kemali paraola-paraola pada contoh (Gamar -) dan contoh (Gamar -5). Untuk paraola pada contoh (Gamar -) y + y +- y (+) - Oleh karena itu entuk (+) selalu ernilai positif atau sama dengan nol untuk R, maka nilai terkecil (minimum) dari ( +) adalah 0.Dengan demikian, y(+) - mempunyai nilai minimum -, dan nilai itu dicapai jika ( +) 0 atau -. Jadi, titik alik atau titik puncak minimum paraola y ( +) - adalah (-,-) dan persamaan sumu simetrinya adalah -. Untuk paraola pada contoh (Gamar -5). Y y -( - ) +5 y -( - +)+ +5 y -(+) -9 Oleh karena entuk (-) selalu ernilai negatif atau sama dengan nol untuk R, maka nilai teresar (maksimum) dari (-) adalah 0. Dengan demikian, y -(-) +9 mempunyai nilai maksimum 9, dan nilai itu dicapai jika -(-) 0 atau - 0 atau. Jadi, titik alik atau titik puncak maksimum paraola y -(-) 9 adalah (,9) dan persamaan sumu simetrinya adalah. Selanjutnya, marilah kita tinjau persamaan paraola dalam entuk umum y a + +c seagai erikut: 55