6. 2 Menerapkan konsep fungsi linier Menggambarkan fungsi kuadrat Menerapkan konsep fungsi kuadrat

Ukuran: px
Mulai penontonan dengan halaman:

Download "6. 2 Menerapkan konsep fungsi linier Menggambarkan fungsi kuadrat Menerapkan konsep fungsi kuadrat"

Transkripsi

1 Sumer: Art and Gallery Standar Kompetensi 6. Memecahkan masalah yang erkaitan dengan fungsi, persamaan fungsi linier dan fungsi kuadrat Kompetensi Dasar 6. Mendeskripsikan peredaan konsep relasi dan fungsi 6. Menerapkan konsep fungsi linier 6. Menggamarkan fungsi kuadrat 6. 4 Menerapkan konsep fungsi kuadrat

2 8 Matematika XI SMK Kelompok: Penjualan dan Akuntansi A. PENDAHULUAN Standar Kompetensi Konsep Fungsi terdiri dari empat (4) Kompetensi Dasar. Dalam penyajian pada uku ini setiap Kompetensi Dasar memuat Tujuan, Uraian materi, Rangkuman dan Latihan. Kompetensi Dasar dalam Standar Kompetensi ini adalah Peredaan Konsep Relasi dan Fungsi, Konsep Fungsi Linier, Konsep Fungsi Kuadrat dan Penerapan Konsep Fungsi Kuadrat Standar kompetensi ini digunakan seagai dasar untuk mempelajari kompetensi lain yang masih ada kaitannya dengan fungsi seperti kompetensi program linier, aplikasi fungsi dalam idang ekonomi seperti fungsi permintaan, fungsi penawaran ataupun aplikasi fungsi dalam idang teknologi seperti menentukan volume enda putar, luas daerah yang di atasi oleh dua kurva dalam rangka menunjang program keahliannya. Seelum mempelajari standar kompetensi ini diharapkan anda telah menguasai standar kompetensi Sistem Bilangan Real terutama tentang perkalian, pemagian, penjumlahan dan pengurangan ilangan real, persamaan dan pertidaksamaan maupun kompetensi yang lain yang dapat menunjang standar kompetensi Konsep Fungsi Pada setiap akhir Kompetensi dasar tercantum soal-soal latihan yang disusun dari soalsoal yang mudah sampai soal-soal yang sukar. Latihan soal ini digunakan untuk mengukur kemampuan anda terhadap kompetensi dasar ini, artinya setelah mempelajari kompetensi dasar ini secara mandiri dengan imingan guru seagai fasilitator, ukur sendiri kemampuan anda dengan mengerjakan soal-soal latihan terseut. Untuk melancarkan kemampuan anda supaya leih aik dalam mengerjakan soal, disarankan semua soal dalam latihan ini dikerjakan aik di sekolah dengan imingan guru maupun di rumah. Untuk mengukur standar kompetensi lulusan tiap siswa, di setiap akhir kompetensi dasar, guru akan memerikan evaluasi apakah anda layak atau elum layak mempelajari standar Kompetensi erikutnya. Anda dinyatakan layak jika anda mampu mengerjakan soal 60% atau leih soal-soal evaluasi yang akan dierikan guru. B. KOMPETENSI DASAR B.. Peredaan Konsep Relasi dan Fungsi a. Tujuan Setelah mempelajari uraian kompetensi dasar ini, anda dapat: Memedakan pengertian relasi dan fungsi Menentukan daerah asal (domain), daerah kawan (kodomain), dan daerah hasil (range) Menguraikan jenis-jenis fungsi. Uraian Materi

3 BAB II Konsep Fungsi 9 Bayangkan suatu fungsi seagai seuah mesin, misalnya mesin hitung. Ia mengamil suatu ilangan (masukan), maka fungsi memproses ilangan yang masuk dan hasil produksinya diseut keluaran. Masukan Fungsi f f() Keluaran Setiap ilangan () yang dimasukan kemudian dihuungkan dengan satu ilangan tunggal seagai keluaran, tetapi dapat juga ahwa eerapa nilai masukan yang erlainan memerikan nilai keluaran yang sama. ). Definisi Relasi Relasi dari dua himpunan A dan B adalah pemasangan anggota-anggota A dengan anggota B. Contoh Jika himpunan A = {Bandung, Suraaya, Medan} B = {Jaar, Jatim, Sumut}. Bandung adalah Iukota provinsi Jaar, Suraaya Iukota provinsi Jatim dan Medan Iukota provinsi Sumut. Jadi relasi antara himpunan A ke himpunan B adalah Iukota Provinsi. Relasi antara dua himpunan A dan B dapat dinyatakan dengan : a. Diagram Panah. Diagram Cartesius c. Pasangan Berurutan. Contoh Jika A = {,, 6} B = {, 4, 6, 8, 0, }. Relasi dari himpunan A ke B adalah Faktor dari, nyatakanlah relasi terseut dengan : a. Diagram Panah. Diagram Cartesius c. Himpunan pasangan erurutan. c. Himpunan pasangan erurutannya :{(, ), (,4), (, 6), (, 8), (, 0), (4, 4), (4, 8),(6, 6)} ). Domain, Kodomain dan Range

4 40 Matematika XI SMK Kelompok: Penjualan dan Akuntansi Pada relasi dari himpunan A ke B, himpunan A diseut Domain (daerah asal) himpunan B diseut Kodomain (daerah kawan) dan semua anggota B yang mendapat pasangan dari A diseut Range (derah hasil). Contoh Tuliskan Domain, Kodomain dan Range dari relasi Contoh di atas : Domain = {, 4, 6} Kodomain = {, 4, 6, 8, 0, } Range = {, 4, 6, 8, 0} Contoh 4 Tentukanlah domain, kodomain dan range dari relasi di awah ini: a. Domain = {, 5 } Kodomain = {,, 6, 8, 9} Range = {,, 8}. Domain = {, 5, 7, 8} Kodomain = {,,, 4, 7, 8} Range = { {,,, 4, 7, 8} ). Definisi fungsi Fungsi f adalah suatu relasi yang menghuungkan setiap anggota dalam suatu himpunan yang diseut daerah asal (Domain) dengan suatu nilai tunggal f() dari suatu himpunan kedua yang diseut daerah kawan (Kodomain). Himpunan nilai yang diperoleh dari relasi terseut diseut daerah hasil ( Range) Untuk memeri nama suatu fungsi dipakai seuah huruf tunggal seperti f, g, dan huruf lainnya. Maka f(), yang di aca f dari menunjukkan nilai yang dierikan oleh f kepada. Misalkan : f() = +, maka f() = + Contoh 5 Manakah relasi di awah ini yang merupakan fungsi, jika relasi dari A ke B

5 BAB II Konsep Fungsi 4 A f B A f B A f B Relasi pertama merupakan fungsi, karena setiap anggota domain A erelasi tunggal terhadap anggota kodomain B Relasi kedua ukan merupakan fungsi, karena ada anggota domain A yang erelasi tidak tunggal terhadap anggota kodomain B Relasi ketiga ukan merupakan fungsi, karena ada anggota domain A yang tidak erelasi dengan anggota kodomain B Contoh 6 Dari grafik di awah ini, mana yang merupakan fungsi, jika domain sumu Grafik a. merupakan fungsi, karena setiap anggota domain erelasi tunggal terhadap kodomain y Grafik. ukan merupakan fungsi karena ada anggota domain yang erelasi tidak tunggal terhadap anggota kodomain y, yaitu ada anggota jika kita tarik sejajar sumu y akan mendapatkan dua titik potong. Grafik c. ukan merupakan fungsi karena ada anggota domain yang erelasi tidak tunggal terhadap anggota kodomain y, yaitu ada anggota jika kita tarik sejajar sumu y akan mendapatkan dua titik potong. Grafik d. merupakan fungsi, karena setiap anggota domain erelasi tunggal terhadap kodomain y Contoh 7 Mana dari himpunan A, B dan C erikut ini yang merupakan fungsi? A = {(, ), (, ), (, 5), (4, 7), (5, 8)} B ={(, 6), (, 7), (, 8), (, 9), (4, 0)} C ={(, 5), (, 6), (4, 7)}

6 4 Matematika XI SMK Kelompok: Penjualan dan Akuntansi Yang merupakan pemetaan atau fungsi adalah himpunan A dan C. B ukan fungsi sea pada himpunan B domain muncul dua kali (erelasi dengan nilai 6 dan 7 pada kodomain). Contoh 8 Jika g : ² + 5 dan domainnya {-, ε B}, tentukan daerah hasil dan uatlah himpunan pasangan erurutannya. Domain = {-, ε B} = { -, -, -, 0, } g(-) =.(-) + 5 = = g(-) =.(-) + 5 = = 7 g(-) =.(-) + 5 =. + 5 = 8 g( 0) = = = 5 g( ) =. + 5 =. + 5 = 8 Jadi Range = {, 7, 8, 5} Himpunan pasangan erurutannya :{(-, ), (-, 7), (-, 8), (0, 5), (, 8)} Contoh 9 Diketahui f() = a +. dengan f(-4 ) = - dan f() = 9 Tentukan nilai a dan kemudian tuliskan fungsinya. f() = a + f(-4 ) = a(-4) + = - -4a + = -. () f( ) = a. + = 9 a + = 9. () Eliminasikan dan diperoleh: -4a + = - a + = a = - a =, sustitusi nilai a = ke a + = 9. + = 9 = 5 Jadi fungsinya f() = + 5 4). Peredaan relasi dan fungsi Dari contoh dan di atas dapat disimpulkan ahwa seuah fungsi (pemetaan) merupakan relasi, sedangkan seuah relasi elum tentu seuah fungsi. Banyaknya pemetaan yang mungkin terjadi dari anggota A ke anggota B jika anyaknya anggota A = a dan anyaknya anggota B= adalah a Banyaknya pemetaan yang mungkin terjadi dari anggota B ke anggota A jika anyaknya anggota A = a dan anyaknya anggota B= adalah a Contoh 0

7 BAB II Konsep Fungsi 4 Jika A={,,, 4, 5} dan B = { 5, 6} maka anyaknya pemetaan yang mungkin terjadi dari A ke B seanyak 5 = dan anyaknya pemetaan yang mungkin terjadi dari B ke A seanyak 5 = 5 Pemetaan khusus yang terjadi jika setiap anggota A dipasangkan tepat satu ke anggota B dan anggota B dipasangkan tepat satu dengan anggota A diseut Korespondensi Satu-satu Pada. Korespondensi satu-satu akan mungkin terjadi jika anyaknya anggota A = anyaknya anggota B Banyaknya korespondensi satu-satu pada yang mungkin terjadi dari anggota A ke anggota B jika anyaknya anggota A atau B = n adalah n! dengan n! = n. ( n ).(n ).. Contoh a 5! = = 0 Banyaknya korespondensi satu-satu dari A ke B jika (n)a = (n)b = 6 adalah 6! 6! = = 70 Aturan relasi merupakan pusat suatu fungsi, tetapi hasil seuah fungsi elum dapat ditentukan sampai daerah asalnya dierikan. Ingatlah ahwa domain adalah himpunan anggota yang kepadanya fungsi memerikan nilai. Jika suatu fungsi daerah asalnya tidak dirinci, maka daerah asalnya kita anggap himpunan teresar ilangan real sedemikian sehingga fungsi memerikan nilai ilangan real. Daerah asal yang kita peroleh diseut daerah asal alami Contoh Tentukan domainnya sehingga fungsi di awah ini memerikan nilai ilangan real a. y = + 4. y = + 4 c. y = 6 Jawa : a. Daerah asalnya Real, karena setiap elemen ilangan real, fungsi memerikan nilai ilangan real : D f = { R}. fungsi y = merupakan fungsi pecahan, dimana fungsi tidak akan + 4 memerikan suatu nilai jika penyeutnya ernilai 0 (nol). Jadi Daerah asalnya R dimana atau D f = { -4, R } c. fungsi y = 6 merupakan fungsi dalam akar, dimana fungsi tidak akan memerikan suatu nilai real jika di dalam akar ernilai negatif. Jadi Daerah asalnya R dimana 6 > 0 atau D f = { >, R} 5). Jenis-jenis fungsi

8 44 Matematika XI SMK Kelompok: Penjualan dan Akuntansi Jenis-jenis fungsi yang perlu kita ketahui diantaranya adalah : a). Fungsi Konstan Fungsi konstan adalah fungsi f yang dinyatakan dalam rumus f() = c, dengan c suatu konstanta. Grafiknya jika dilukis dalam suatu sumu koordinat dimana domainnya sumu merupakan garis yang sejajar dengan sumu. ). Fungsi Identitas Fungsi Identitas adalah suatu fungsi f yang dinyatakan dalam rumus f() =. Fungsi identitas sering dinyatakan dengan lamang I sehingga I() =. Grafiknya seagai erikut : c). Fungsi Modulus atau fungsi harga mutlak Fungsi modulus adalah fungsi f yang memuat entuk nilai mutlak Contoh Lukislah grafik fungsi f() = 4 Lukis dahulu grafik y = 4, setelah itu grafik yang terletak di awah sumu, kita positipkan dengan cara mencerminkan grafik di awah sumu dengan cerminnya adalah sumu 0 4 Y = 4-4 = Ternyata grafik y = a simetris pada = /a, gampang ya melukisnya!! Contoh 4 Lukislah grafik fungsi f() = 4 y 4 f() = 4 0

9 BAB II Konsep Fungsi 45 Jawa : Kita lukis dahulu grafik fungsi y = 4 dengan memuat tael seperti di awah ini, setelah itu kita cerminkan grafik di awah sumu dengan cermin sumu y d). Fungsi Polinomial Fungsi Polinomial adalah fungsi f yang dinyatakan dalam entuk : n n n f() = a + a + a a + a + a n n n 0 Jika n = maka terentuk fungsi linier (grafiknya erentuk garis lurus). Jika n = maka terentuk fungsi kuadrat( grafiknya erentuk paraola). e). Fungsi Genap Fungsi genap adalah suatu fungsi f dimana erlaku f() = f(-). Yang merupakan fungsi genap antara lain fungsi yang pangkat-pangkat dari variaelnya ilangan genap. Jika fungsi itu pecahan, maka dapat dikatakan fungsi genap jika variael pada pemilang dan penyeut erpangkat semua genap atau semua ganjil. f). Fungsi Ganjil Fungsi ganjil adalah suatu fungsi f dimana erlaku f(-) = - f(). Yang merupakan fungsi ganjil antara lain fungsi yang semua variaelnya erpangkat ganjil. Jika fungsi itu pecahan, maka dapat dikatakan fungsi ganjil jika variael pada pemilang erpangkat ganjil dan variael dari penyeut erpangkat genap atau sealiknya. Contoh 5 Selidikilah fungsi di awah ini fungsi genap, fungsi ganjil atau ukan kedua duanya: a. f() = 4. f() = + 5 c. f() = + 5 d. 4 f() = + 5 e f() = + 5 a. Semua variael erpangkat genap, yaitu dan 0 jadi termasuk fungsi genap. Variael ada yang erpangkat ganjil yaitu dan erpangkat genap yaitu 0, jadi ukan fungsi genap maupun fungsi ganjil. c. Semua variael erpangkat ganjil, jadi merupakan fungsi ganjil.

10 46 Matematika XI SMK Kelompok: Penjualan dan Akuntansi d. Semua variael dari pemilang dan penyeut erpangkat genap, jadi merupakan fungsi genap. e. Semua variael pemilang erpangkat genap dan semua variael penyeut erpangkat ganjil, jadi merupakan fungsi ganjil. 6). Sifat-sifat fungsi Berdasarkan sifatnya fungsi teragi menjadi : a. Fungsi surjektif adalah suatu fungsi yang setiap elemen daerah hasil (R f ) merupakan ayangan paling sedikit dari daerah kodomain (K f ) Kalimat terseut secara matematika diartikan : Misal f : A B adalah seuah fungsi. Jika R f = B atau daerah hasil dari fungsi f sama dengan kodomain f, maka f adalah fungsi suyektif atau pada.. Fungsi Injektif adalah suatu fungsi yang setiap elemen domain (D f ) memiliki pasangan yang ereda pada kodomain (K f ), Kalimat terseut secara matematika diartikan : Misal f : A B adalah seuah fungsi dan R f adalah daerah hasil f. Bila dan adalah semarang dua elemen pada D f, jika mengakiatkan f( ) f( ) dan jika f( ) = f( ) mengakiatkan =, maka f: A B diseut fungsi injektif atau fungsi satu-satu. c. Fungsi ijektif adalah korespondensi satu-satu, yaitu suatu fungsi yang setiap anggota domain dipasangkan tepat satu ke anggota kodomain dan setiap anggota kodomain merupakan pasangan dari satu dan hanya satu anggota domain Contoh 6 Dari diagram panah di awah ini, manakah yang merupakan fungsi surjektif, fungsi injektif dan fungsi ijektif. Diagram panah a merupakan fungsi surjektif karena elemen Range sama dengan elemen Kodomain Diagram panah merupakan fungsi injektif karena anyaknya elemen domain sama dengan anyaknya elemen range Diagram panah c ukan merupakan fungsi surjektif,injektif atau ijektif Diagram panah d merupakan fungsi surjektif karena elemen Range sama dengan elemen kodomain Diagram panah e merupakan fungsi ijektif karena elemen Range sama dengan elemen kodomain

11 BAB II Konsep Fungsi 47 c. Rangkuman. Relasi dari dua himpunan A dan B adalah pemasangan anggota-anggota A dengan anggota B. Relasi antara dua himpunan A dan B dapat dinyatakan dengan : a. Diagram Panah. Diagram Cartesius c. Pasangan Berurutan.. Pada relasi dari himpunan A ke B, himpunan A diseut Domain (daerah asal) himpunan B diseut Kodomain (daerah kawan) dan semua anggota B yang mendapat pasangan dari A diseut (daerah hasil).. Pemetaan atau fungsi adalah relasi khusus dari himpunan A ke B dimana setiap anggota A tepat memiliki pasangan dengan anggota B 4. Banyaknya pemetaan yang mungkin terjadi dari anggota A ke anggota B jika anyaknya anggota A = a dan anyaknya anggota B= adalah a 5. Pemetaan khusus yang terjadi jika setiap anggota A dipasangkan tepat satu ke anggota B dan anggota B dipasangkan tepat satu dengan anggota A diseut Korespondensi Satu-satu Pada. Korespondensi satu-satu akan mungkin terjadi jika anyaknya anggota A = anyaknya anggota B 6. Banyaknya korespondensi satu-satu yang mungkin terjadi dari anggota A ke anggota B jika anyaknya anggota A atau B = n adalah n! dengan n! = n. ( n ).( n ).. 7. Berdasarkan sifatnya fungsi teragi menjadi : a. Fungsi surjektif adalah suatu fungsi yang elemen daerah hasilnya (R f ) sama dengan elemen daerah kodomain (K f ). nama lain fungsi surjektif adalah fungsi onto atau fungsi kepada. Fungsi Injektif adalah suatu fungsi yang setiap domain memiliki pasangan yang ereda pada kodomain, atau anyaknya anggota domain (D f ) sama dengan anyaknya anggota range (R f ) c. Fungsi ijektif adalah korespondensi satu-satu pada, yaitu suatu fungsi yang setiap anggota domain dipasangkan tepat satu ke anggota kodomain dan setiap anggota kodomain merupakan pasangan dari satu dan hanya satu anggota domain. Relasi-relasi dari himpunan A = {a,,c} ke B = {,,} digamarkan dengan himpunan pasangan seagai erikut. Relasi manakah yang merupakan fungsi? a. {(a, ), (a, ), (, ), (c, ), (, )}. {(a, ), (, ), (c, )} c. {(a, ), (, ), (, )} d. {(a, ), (, ), (c, )} e. {(a, ), (, ), (c, )}

12 48 Matematika XI SMK Kelompok: Penjualan dan Akuntansi. Relasi-relasi dari himpunan A= {a,,c} ke B = {,,} digamarkan dengan diagram panah seagai erikut. Relasi manakah yang merupakan fungsi? a.. a a c. d. a a c c c c e. f. g. h. a c a c a c a c. Jika A = {0,,, } dan B = {,, 4, 5, 6, 7, 8} Relasi yang menghuungkan himpunan A ke B adalah Tiga kurangnya dari Buatlah : a. Diagram panah.. Diagram cartesius. c. Himpunan pasangan erurutan. d. Ada erapa anyaknya pemetaan yang mungkin dari A ke B dan dari B ke A 4. Diketahui himpunan A= {,, 5, 6 }dan B = {,, 4, 5, 6 }. Relasi yang menghuungkan himpunan A ke himpunan B adalah satu kurangnya dari a. Buatlah diagram panah, diagram cartesius dan himpunan pasangan erurutannya. Ada erapa pemetaan yang mungkin terjadi dari B ke A 5. Suatu relasi dinyatakan dalam himpunan pasangan erurutan {(-, 0), (-, ), (0, ), (, ), (, 4)} Tentukan Domain,Kodomain dan Rangenya 6. Diketahui fungsi f : f() yang dirumuskan seagai f() =, tentukanlah: a. Nilai f(-), f(-), f(0), f() dan f(). Jika f(a) = 7 tentukan nilai a c. Jika f() = -5 tentukan nilai 7. Diketahui fungsi f : f() dirumuskan seagai f() = 5, tentukan: a. Nilai f(-), f(-), f(-), f(0),f(), f() dan f(). Gamarlah dalam diagram cartesius c. Jika f(a) = tentukan nilai a d. Jika f() = 45 tentukan nilai 8. Jika A = {,,4,5}, B={ a,,c} C = { p,q,r,s,t} dan D = {,4,5,4,7} a. Ada erapa pemetaan yang mungkin dari A ke B. Ada erapa pemetaan yang mungkin dari C ke A c. Ada erapa pemetaan yang mungkin dari D ke B

13 BAB II Konsep Fungsi 49 d. Ada erapa korespondensi satu-satu yang mungkin dari C ke D e. Mungkinkah terjadi korespondensi satu-satu dari A ke C, mengapa? 9. Jika f :. Tentukan daerah hasil yang domainnya adalah {0,,, }. Kemudian uatlah diagram panah, diagram cartesius serta himpunan pasangan erurutan 0. Tentukan domainnya sehingga fungsi di awah ini memerikan nilai ilangan real a. y = + 4 d. y =. y = 5 e. y = c. y = + 5 f. y = 7 +. Dari fungsi-fungsi yang disajikan dengan himpunan pasangan erurutan erikut ini manakah yang merupakan fungsi onto, injektif atau ijektif Jika domain A={a,, c, d} dan kodomain B = {,,, 4}? a. {(a, ), (, ), (c, ), (d, 4)} d. {(a, ), (, ), (c, ),(d,)}. {(a, ), (, ), (c, ),(d,)} e. {(a, ), (, ), (c, ),(d,)} c. {(a, ), (, ), (c, ),(d,4)}. Jika g : ² + domainnya {-, ε B}, tentukanlah daerah hasil dan uatlah diagram cartesiusnya.. Diketahui f() = a +. dengan f () = 9 dan f (0) = - Tentukan nilai a dan kemudian tuliskan persamaannya. 4. Diketahui fungsi f() =. tentukanlah nilai dari: f(-), f(4), f(0) dan f( ) 5. Diketahui f() = a +. dengan f () = 4 dan f (-) = - Tentukan nilai a dan kemudian tuliskan persamaannya 6. Selidiki fungsi di awah ini fungsi genap, fungsi ganjil atau ukan kedua duanya: 4 a. f() = d. f() = f() = e. f() = c. f() = f. f() = Lukislah grafiknya dari fungsi di awah ini : a. y = + 5. y = 6 c. y = 6 6 d. y = 9 e. y =

14 50 Matematika XI SMK Kelompok: Penjualan dan Akuntansi 8. Dari fungsi-fungsi yang disajikan dengan diagram panah erikut ini manakah yang merupakan fungsi onto, injektif atau ijektif, jika relasi dari A ke B? A a c d IV B 4 A a c d V B 4 A c d VI B B. Konsep Fungsi Linier a. Tujuan Setelah mempelajari uraian kompetensi dasar ini, anda dapat: Memuat grafik fungsi linier. Menentukan persamaan grafik fungsi linier yang melalui dua titik, melalui satu titik dan gradien tertentu, dan jika diketahui grafiknya. Menemukan syarat huungan dua grafik fungsi linier saling sejajar dan saling tegak lurus Menyelesaikan masalah program keahlian yang erkaitan dengan fungsi Linier. Uraian Materi ). Pengertian fungsi linier Fungsi linier adalah suatu fungsi yang variaelnya erpangkat satu atau suatu fungsi yang grafiknya merupakan garis lurus. Oleh karena itu fungsi linier sering diseut dengan persamaan garis lurus (pgl) dengan entuk umumnya s.: f : m + c atau f() = m + c atau y = m + c m adalah gradien / kemiringan / kecondongan dan c adalah konstanta Contoh 7 Fungsi linier f : + 5 f() = 5-0 y = - 7 y +4 = y = 5 ukan fungsi linier y = + = y 5y + y = 0

15 BAB II Konsep Fungsi 5 ). Melukis grafik fungsi linier Langkah-langkah melukis grafik fungsi linier a Tentukan titik potong dengan sumu, y = 0 diperoleh koordinat A(, 0) Tentukan titik potong dengan sumu y, = 0 diperoleh koordinat B( 0, y ) c huungkan dua titik A dan B sehingga terentuk garis lurus Contoh 8 Lukislah grafik dari y = 6 Titik potong dengan sumu y = 0 y = 6 0 = = = (, 0) Titik potong dengan sumu y = 0 y = 6 y =.0-6 y = - 6 (0, - 6) sehingga diperoleh tael : 0 y 0-6 (, y) (, 0) (0, -6) Grafiknya diperoleh pada gamar. Untuk lukisan selanjutnya cukup diuat tael seperti di atas G y.... (, 0) y = - 6 Contoh 9 Lukislah grafik dari y = 8 4 (0, -6) Dengan langkah di atas diperoleh tael: 0 y 0 8 (, y) (, 0) (0, 8) Grafiknya diperoleh pada gamar Contoh 0 Lukislah grafik dari + 5y = 5 Dengan langkah di atas diperoleh tael: 5 0 y 0 (, y) (5, 0) (0, ) Grafiknya diperoleh pada gamar y G. Contoh Lukislah grafik dari = 900 y Dengan langkah di atas diperoleh tael: y 0 00 (, y) (900, 0) (0, 00) Grafiknya diperoleh pada gamar 5 00 y G

16 5 Matematika XI SMK Kelompok: Penjualan dan Akuntansi Contoh Lukislah grafik dari y = 4 Fungsi di atas grafiknya memotong titik pangkal (0, 0) karena tidak ada konstanta jadi untuk melukisnya hanya utuh satu titik saja, misal = maka y =.4 = 8 sehingga taelnya seagai erikut. 0 y 0 8 (, y) (0, 0) (, 8) Grafiknya diperoleh pada gamar 4 Contoh Lukislah grafik dari y = Persamaan fungsi di atas memuat pecahan, untuk menghilangkan pecahan kalikan dengan sehingga diperoleh persamaan y = 6, dengan langkah di atas diperoleh tael seagai erikut: 6 0 y 0 - (, y) (6, 0) (0, -) Grafiknya diperoleh pada gamar 6 8 y y G G. 4 ). Memuat persamaan garis lurus dari grafiknya y a Dari grafik di atas, persamaan garisnya adalah + ay = a Dari grafik di atas, persamaan garisnya adalah y = a

17 BAB II Konsep Fungsi 5 Contoh 4 Tentukanlah persamaan garisnya dari grafik di awah ini y y a c 4 y d e y 00 5 y 6 - a. a =, = 4, maka persamaan fungsinya 4 + y = y =. a = 5, = -, maka persamaan fungsinya - + 5y = y = -0 atau 5y = 0 c. a = 6, = 4, maka persamaan fungsinya y = d. a = -, = 5, maka persamaan fungsinya 5 y = -y = 5 atau 5 + y = 0 e. a = 00, = 00, maka persamaan fungsinya y = y = 600 6y = 4 y = atau y = 0 4). Gradien dan persamaan garis lurus a). Garis lurus yang melalui titik A(, y ) dan B(, y ) memiliki gradien m: y y y y m = atau m = Contoh 5 Tentukan gradien dari garis lurus yang melalui titik-titik: a. A(, 4) dan B(, 8). P(-, ) dan Q(4, -) a. A(, 4) erarti, = dan y = 4 dan B(, 8) erarti = dan y = 8

18 54 Matematika XI SMK Kelompok: Penjualan dan Akuntansi m = y y = 8 4 = 4. P(-, ) erarti, = - dan y = dan B(4, -) erarti = 4 dan y = - y y m = = = = - 4 ( ) 6. Persamaan garis lurus yang melalui titik A(, y ) dan B(, y ) adalah: y y = y y Contoh 6 Tentukanlah persamaan garis lurus yang melalui titik (, -4) dan ( -, 6) =, y = -4, = - dan y = 6, maka persamaan fungsi linier atau persamaan garis lurusnya adalah: y y -5(y + 4) = 0 ( ) = y y -5y 0 = 0 0 di agi -5 y + 4 = y ( 4) = y = 0 6 ( 4) y + = 0 atau y + 4 = y + = atau 0 5 y = - + Contoh 7 Tentukanlah persamaan garis lurus yang melalui titik (, ) dan ( -5, 5) =, y =, = -5 dan y = 5 y y -8( y ) = 4 ( ) = y y -8y + 8 = 4 diagi - 4 y = - + y = y + = y + 5 = 0 atau y = y + = c. Persamaan garis lurus (pgl) yang ergradien m dan melalui titik A(, y ) adalah: y = m ( ) + y Contoh 8 Tentukanlah persamaan garis lurus yang ergradien dan melalui titik (-,) y = m ( ) + y y = ( (-)) + y = ( + ) + y = y = + 7

19 BAB II Konsep Fungsi 55 Contoh 9 Tentukanlah persamaan garis lurus yang ergradien dan melalui (-6, ) y = m ( ) + y y = ( (-6)) + y = ( + 6 ) + y = y = atau kali y = - 6 atau y = 0 5). Menentukan gradien dari persamaan garis lurus (pgl) a Persamaan garis lurus : a + y = c maka gradiennya m = Persamaan garis lurus : y = a + maka m = a Garis yang sejajar sumu memiliki persamaan y = c dan m = 0 Garis yang sejajar sumu y memiliki persamaan = c dan tidak memiliki gradien Contoh 0 a gradien dari Pgl : + y = 5 adalah m = a = = - gradien dari pgl : y = 0 adalah m = a = c gradien dari pgl : -y + + = 0 adalah m = d gradien dari pgl : y = 4 + adalah m = 4 e gradien dari pgl : y = -0 adalah m = 0 a = 4 = = 6). Titik potong dua uah garis Menentukan titik potong dua uah garis lurus identik dengan menyelesaikan penyelesaian sistem persamaan linier dua variael aik dengan metode eleminiasi, metode sustitusi maupun metode grafik Contoh Tentukan titik potong persamaan garis : y = + 5 dan y = Eliminasi y, y = + 5 y = = 5-0

20 56 Matematika XI SMK Kelompok: Penjualan dan Akuntansi 5 = 0 = sustitusi = ke y = + 5 y =. + 5 y = Jadi titik potong kedua garis di atas adalah (, ) Contoh Tentukan titik potong persamaan garis : 5 y = 9 dan 7 6y = 9 Eliminasi y, 5 y = 9 0 6y = 8 7 6y = 9 7 6y = 9 = 9 = sustitu si = ke 5 y = 9 5() y = 9 -y = 9 5 y = Jadi titik potong kedua garis di atas adalah (, ) 7). Huungan dua uah garis Dua garis yang ergradien m dan m dikatakan sejajar jika m = m dan tegak lurus jika m m = - Contoh Dari eerapa persamaan garis di awah ini, manakah yang saling sejajar dan erpotongan tegak lurus. I. + y 4 = 0 II. y = - + III. y = 8 IV. y + + = 0 V. y = VI. y = a a a m I = = = -, m II = = -, m III = = a m IV = =, m V = dan mvi = =, I dan II saling sejajar karena gradiennya sama, yaitu m = - I dan III, IV dan V erpotongan tegak lurus karena m I. m III = - dan m IV. m V = -

21 BAB II Konsep Fungsi 57 Contoh 4 Tentukan persamaan garis yang sejajar garis y + = 0 dan melalui titik (, -4) y + = 0 maka m = = karena sejajar maka m = m jadi m = y = m ( ) + y y = ( ) + (-4) y = 6 4 y = 0 Contoh 5 Tentukan persamaan garis yang tegak lurus y + = melalui titik pangkal (0, 0) y + + = 0 maka m = - = -0,5 karena tegak lurus maka m. m = - m = = =, jadi persamaan garisnya adalah: m 0,5 y = m ( ) + y y = ( 0) + 0 y = Contoh 6 Tentukan persamaan garis yang tegak lurus y = - persamaan garis y = dan garis y = 8 4 dan melalui titik potong y = - maka m = - karena tegak lurus maka m. m = - diperoleh m = Menentukan titik poto ng persamaan garis : y = dan garis y = 8 dengan metode sustitusi diperoleh: = 8-4 = - = sustitusikan nilai = ke persamaan atau diperoleh y = sehingga titik potong kedua garis terseut adalah (, ). Persamaan garis yang akan diuat adalah ergradien m = 4 dan melalui (, ), yaitu y = m ( ) + y y = 4 ( ) + y = 4 + y = 4

22 58 Matematika XI SMK Kelompok: Penjualan dan Akuntansi. Lukislah grafik garis lurus di awah ini: a y = +6 f y = 900 y = g y = 0 c + 5y = 0 h y + 6 =0 d y = - i 60y + 40 = e. y = j. y = Tentukan persamaannya dari grafik di awah ini :. Tentukanlah gradiennya dari garis lurus yang melalui titik-titik di awah ini: a (-4, 5) dan (4, -) (, -5) dan (-, 5) c (-, 4) dan (4, 5) d (, 6) dan ( -4, 6) e (4, -) dan ( 4, 8) 4. Tentukan persamaan garis lurus yang melalui dua titik di awah ini: a (, 5) dan ( 5, 8) ( 4, -) dan ( -, ) c ( 4, ) dan ( -, -4) d ( -,4) dan ( -, 8) 5. Tentukanlah gradien garis yang memiliki persamaan: a y = - + d y = + 4 y + 6 = 0 e + y = -5 4 c. + y + 9 = 0 f. y + = Tentukanlah persamaan garis yang diketahui seagai erikut: a Gradien m = -4 dan melalui (, 5) gradient m = dan melalui (-4, 5) c Gradien m = dan melalui titik pangkal d Gradien m = dan melalui ( -6, )

23 BAB II Konsep Fungsi Selidiki apakah dua garis erpotongan tegak lurus, sejajar atau tidak duanya: a. 4y = 0 y 6=0 d 9y + = 0 y = / -. y 4=0 e y + 8 =0 y = 0 8y 4 4 =0 c. y = 6 f y = + 4 y = y + = 8. T entukan persamaan garis lurus yang : a sejajar garis + y + = 0 dan melalui titik (,) tegak lurus garis + 5y = 0 dan melalui titik (-, 6 ) 9. Tentukanlah persamaan garis lurus yang diketahui seagai erikut : a. Melalui dua titik (, -4) dan ( 5, 5). Bergradien -5 dan melalui titik pangkal c. Bergradien dan melalui (-5,-) d. Melalui ( 8, -4) dan titik pangkal e. Sejajar garis: y = + dan melalui (-, 4) f. Tegak lurus : y + 8 = 0 dan melalui (, -) 0. Lukis garis y = 9 dan + y = 0 dan tentukanlah titik potongnya.. Tentukan persamaan garis yang sejajar garis 5 y = dan melalui titik dua garis y = 7 dan + y = 7. potong. Tentukan persamaan garis yang tegak lurus y = 4 dan melalui titik potong dua garis + y 0 = 0 dan y 5 = 0 8). Aplikasi fungsi linier dalam idang ekonomi a). Fungsi Permintaan Dalam dunia isnis, dikenal tentang hukum ekonomi, yaitu jika harga suatu arang naik maka permintaan terhadap arang terseut menurun, sealiknya jika harga suatu arang turun maka permintaan terhadap arang terseut naik. Secara matematika, harga arang merupakan fungsi dari permintaan. Fungsi permintaan yang paling sederhana adalah fungsi permintaan linier dengan entuk umum fungsi permintaan seagai erikut: P = P o + m Dengan P = harga satuan per unit P o = harga arang tertinggi saat = 0 (P o > 0) = jumlah arang ( > 0) m = gradien fungsi dengan a selalu ernilai negatif( m < 0) Kurva permintaan selalu di kuadran I dan turun dari kiri atas ke kanan awah Perhatikan gamar II.a

24 60 Matematika XI SMK Kelompok: Penjualan dan Akuntansi ). Fungsi Penawaran Dalam dunia isnis, juga dikenal tentang hukum penawaran, yaitu jika harga suatu arang naik maka jumlah arang yang ditawarkan juga ikut naik, sealiknya jika harga arang turun maka penawaran terhadap arang terseut juga turun. Secara matematika, harga arang merupakan fungsi juga dari penawaran. Fungsi penawaran yang paling sederhana adalah fungsi penawaran linier dengan entuk umum fungsi penawaran seagai erikut: P = P o + m Dengan P = harga satuan per unit P o = harga arang terendah saat = 0 (P o > 0) = jumlah arang ( > 0) m = gradien fungsi dengan a selalu ernilai positif ( m > 0) Kurva penawaran selalu di kuadran I dan naik dari kiri awah ke kanan atas. Perhatikan gamar II. Gamar II.a : Fungsi permintaan Gamar II. : Fungsi penawaran Contoh 7 Dari fungsi linier di awah ini, manakah yang termasuk fungsi permintaan dan fungsi penawaran. a. P = c. P = + 0. P = 600 d. P + 0 =.000 a. P = merupakan fungsi permintaan karena nilai gradiennya -4 ( m < 0). P = 600 merupakan fungsi penawaran karena nilai gradiennya ( m > 0) c. P = + 0 merupakan fungsi penawaran karena nilai gradiennya ( m > 0) d. P + 0 =.000 merupakan fungsi permintaan karena nilai m = -0 ( m < 0) Contoh 8 Harga tertinggi pada fungsi permintaan suatu arang adalah Rp8.000,00. Jika pada saat harganya Rp6.000 jumlah arang yang diminta adalah 500 unit. a. Tentukan fungsi permintaan liniernya. Lukis kurva permintaannya a. P o = 8.000, P = P = Po + m diperoleh: dan = 500 disustitusikan ke fungsi permintaan

25 BAB II Konsep Fungsi = m m = m = -4 Jadi fungsi permintaannya: P = Dengan menggunak an prinsip melukis fungsi linier, maka kurva P = dapat dilukis seagai erikut: P Contoh 9 Dalam suatu hukum penawaran suatu arang diperoleh data: jika harga arang Rp900,00 tiap unit maka jumlah arang yang ditawarkan 0 unit, dan jika harga arang Rp.00,00 tiap unit maka jumlah arang yang ditawarkan 50 unit. a. Tentukan rumus fungsi penawarannya. Jika Jumlah arang yang ditawarkan.000 unit, tentukan harga arang terseut. a. Fungsi penawaran linier dirumuskan seagai erikut: P = P o + m Untuk P = 800 dan = 0 diperoleh persamaan: 900 = P o + 0 m... ) Untuk P =.00 dan = 50 diperoleh persamaan:.00 = P o + 50 m... ) Dari ) dan ) jika P o di eliminasikan, diperoleh: 00 = P o + 50m 900 = Po + 0m _ 00 = 0 m m = 0, sustitusikan nilai m = 0 ke ) diperoleh: 900 = P o + 0 m 900 = P o + 00 P o = 700 Jadi fungsi penawarannya: P = P = = Rp0.700,00

26 6 Matematika XI SMK Kelompok: Penjualan dan Akuntansi c). Titik Kesetimangan Pasar Pasar merupakan tempat ertemunya penjual dan pemeli untuk mengadakan transaksi jual eli. Oleh karena itu akan terjadi tawar-menawar antara penjual dan pemeli. Harga pasar atau sering diseut dengan kesetimangan pasar akan terjadi ila harga yang diminta konsumen sesuai dengan harga yang ditawarkan produsen. Secara matematika, kesetimangan pasar terjadi apaila kurva permintaan dan kurva penawaran erpotongan pada seuah titik yang dinamakan titik kesetimangan pasar. Dalam entuk grafik: Gamar II.c : Titik kesetimangan Menentukan titik kesetimangan pasar diperoleh dengan cara menyelesaikan sistim persamaan linier dua variael dan P Contoh 40 Tentukan titik kesetimangan pasarnya di awa h ini: a. Fungsi permintaan: P = Fungsi penawaran: P = + 00 dari fungsi permintaan dan fungsi penawaran. Fungsi permintaan: P + 5 =.500 Fungsi penawaran: P 4 =. 00 a. Harga penawaran = harga permintaan + 00 = = = 500 = 00 Harga penawaran: P = + 00 P = = 400 Jadi titik kesimangan pasar terjadi pada saat harga Rp400 dan jumlah arang yang diminta atau ditawarkan seanyak 00 unit. P = P = P = P =

27 BAB II Konsep Fungsi 6 Harga penawaran = harga permintaan = (kalikan 6) = = =.00 = 00 Harga penawaran: P = P = P = 500 Jadi titik kesimangan pasar terjadi pada saat harga Rp500 dan jumlah arang yang diminta atau ditawarkan seanyak 00 unit d). Titik pulang pokok (Bre ak even point) Suatu perusahaan dalam memproduksi arang tentu akan memerlukan iaya, yaitu iaya tetap (upah karyawan, iaya gedung, unga kredit ank dan lain-lain) dan iaya variael (iaya yang diperlukan dalam proses produksi). Dalam suatu usaha yang dijalankan, suatu perusahaan akan terjadi kemungkinan: Jika pendapatan yang diterima meleihi iaya total (iaya variael + iaya tetap) yang dikeluarkan, maka usaha terseut dikatakan untung. Jika pendapatan yang diterima kurang dari iaya total yang dikeluarkan, maka usaha terseut dikatakan rugi. Jika pendapatan yang diterima sama dengan iaya total yang dikeluarkan, maka usaha terseut dikatakan dalam kondisi tidak tidak rugi. Kondisi seperti ini diseut dengan titik pulang pokok atau untung maupun reak even point Contoh 4 CV SEJAHTERA memproduksi mainan anak-anak dengan iaya Rp6.500,00 tiap unit. Biaya tetap yang dikeluarkan Rp ,00. Jika mainan akan dijual Rp0.000,00/tiap unit, tentukan: a. Jika B merupakan iaya total yang dikeluarkan, tentukan fungsi iayanya.. Jumlah mainan yang harus terjual agar terjadi reak even point c. Jumlah mainan yang harus terjual agar perusahaan untung Rp ,00 a. B = Biaya variael + iaya tetap B = Break even poin terjadi jika: Biaya total = pendapatan = = = = Jumlah mainan yang harus terjual agar terjadi reak even point adalah unit

28 64 Matematika XI SMK Kelompok: Penjualan dan Akuntansi c. Untung = pendapatan iaya total = ( ) = =.500 = = Jumlah mainan yang harus terjual agar untung Rp ,00 adalah unit c. Rangkuman. Fungsi linier adalah suatu fungsi yang variaelnya erpangkat satu atau suatu fungsi yang grafiknya merupakan garis lurus dengan entuk umumnya s.: f : m + c atau f() = m + c atau y = m + c. Langkah-langkah melukis grafik fungsi linier a. Tentukan titik potong dengan sumu dengan y = 0 ; A(, 0). Tentukan titik potong dengan sumu y dengan = 0 ; B( 0, y) c. huungkan dua titik A dan B sehingga terentuk garis lurus. Memuat persamaan garis lurus dari grafiknya y a Dari grafik di atas, persamaan garisnya adalah + ay = a Dari grafik di atas, persamaan garisnya adalah y = a 4. Garis lurus yang melalui A(, y ) dan B(, y ) memiliki gradien m = 5. Persamaan garis lurus melalui A(, y ) dan B(, y ) : y y y y = y y 6. Persamaan garis lurus ergradien m dan melalui A(, y ) : y = m ( ) + y 7. a Persamaan garis lurus : a + y = c memiliki gradien m = 8. Persamaan garis lurus : y = a + memiliki gradien m = a 9. Garis yang sejajar sumu memiliki persamaan y = c dan m = 0

29 BAB II Konsep Fungsi Garis yang sejajar sumu y memiliki persamaan = c dan tidak memiliki gradien. Menentukan titik potong dua uah garis lurus identik dengan menyelesaikan himpunan penyelesaian sistem persamaan linier dua variael aik dengan metode eliminasi metode sustitusi maupun metode grafik. Dua garis yang ergradien m dan m dikatakan sejajar jika m = m dan tegak lurus jika m m = -. Fungsi permintaan dan penawaran linier dirumuskan seagai erikut: P = P o + m P = harga satuan per unit P o = harga arang tertinggi untuk fungsi permintaan P o = harga arang terendah untuk fungsi penawaran = jumlah arang ( > 0) m = gradien fungsi dengan m < 0 untuk fungsi permintaan m > 0 untuk fungsi penawaran Kurva permintaan dan penawaran selalu di kuadran I 4. Secara matematika, kesetimangan pasar terjadi apaila kurva permintaan dan kurva penawaran erpotongan pada seuah titik yang dinamakan titik kesetimangan pasar. Menentukan titik kesetimangan pasar diperoleh dengan cara menyelesaikan persamaan linier dua variael dan P 5. Jika pendapatan yang diterima sama dengan iaya total yang dikeluarkan, maka usaha terseut dikatakan tidak untung atau tidak rugi. Hal seperti ini diseut dengan titik pulang pokok atau reak even point. Dari fungsi linier di awah ini, manakah yang termasuk fungsi permintaan dan fungsi penawaran, erikan alasan dari nilai gradiennya a. 5P + = 400 d. P = P 00 = 0 e. 0P + = 500 c. = P 50 f. 5 = p 50. Harga tertinggi pada fungsi permintaan suatu arang adalah Rp.500,00. Jika pada saat harganya Rp800 jumlah arang yang diminta adalah 50 unit. a. Tentukan fungsi permintaan liniernya. Lukis kurva permintaannya. Harga terendah pada fungsi penawaran suatu arang adalah Rp5.000,00. Jika pada saat harganya Rp8.000 jumlah arang yang diminta adalah 600 unit. a. Tentukan fungsi penawaran liniernya. Lukis kurva penawarannya

30 66 Matematika XI SMK Kelompok: Penjualan dan Akuntansi 4. Dalam hukum penawaran suatu arang diperoleh data: jika harga arang Rp500,00 tiap unit maka jumlah arang yang ditawarkan 50 unit, dan jika harga arang Rp650,00 tiap unit maka jumlah arang yang ditawarkan 80 unit. a. Tentukan rumus fungsi penawarannya c. Sketsa grafik penawarannya. Jika Jumlah arang yang ditawarkan 500 unit, tentukan harga arang terseut. 5. Dalam hukum permintaan suatu arang diperoleh data: jika harga arang Rp.50,00 tiap unit maka jumlah arang yang diminta 500 unit, dan jika harga arang 900,00 tiap unit maka jumlah arang yang diminta 600 unit. a. Tentukan rumus fungsi permintaannya. Jika harga arang Rp.600,00, tentukan jumlah arang yang diminta. 6. Tentukan titik kesetimangan pasarnya dan sketsa grafiknya dari fungsi permintaan dan fungsi penawaran di awah ini: a. Fungsi permintaan: P = Fungsi penawaran: P = Fungsi permintaan: P + 7 =.500 Fungsi penawaran: P 5 = 900 c. Fungsi permintaan: = -4p Fungsi penawaran: P = d. Fungsi permintaan: P + = 0 Fungsi penawaran: P 9 = CV BAGI ADIL memproduksi suatu arang dengan iaya Rp.500,00 tiap unit. Biaya tetap yang dikeluarkan Rp ,00. Jika produk dijual Rp0.000,00. dengan pemerian raat kepada distriutor seesar 0%. Tentukan: a. Tentukan fungsi iayanya B jika B merupakan iaya total yang dikeluarkan.. Jumlah arang yang harus terjual agar terjadi reak even point c. Jumlah arang yang harus terjual agar CV untung Rp ,00 8. Biaya untuk memproduksi 0 uah kemeja pria adalah Rp ,00. Sedangkan ila memproduksi 0 uah adalah Rp ,00. Jika fungsi iaya dianggap fungsi linier: a. Tentukan persamaan fungsi iayanya. Tentukan esar iaya tetapnya c. Tentukan esar iayanya jika kemeja yang diperoduksi 50 unit 9. PT KIRANA mencetak seuah uku dengan iaya Rp.000,00 tiap unit. Biaya tetap yang dikeluarkan Rp ,00. Jika uku dijual dengan harga Rp0.000,00 dengan perhitungan 0 % untuk raat distriutor dan 0% untuk royalti pengarang, tentukan : a. Fungsi iayanya B jika B merupakan iaya total yang dikeluarkan.. Jumlah uku yang harus terjual agar terjadi reak even point c. Jumlah uku yang harus terjual agar perusahaan untung Rp ,00

31 BAB II Konsep Fungsi 67 B. Fungsi Kuadrat a. Tujuan Setelah mempelajari uraian kompetensi dasar ini, anda dapat: Menentukan titik potong grafik fungsi dengan sumu koordinat, sumu simetri dan nilai ekstrim suatu fungsi Menggamar grafik fungsi kuadrat Menyelesaikan masalah program keahlian yang erkaitan dengan fungsi kuadrat. Uraian Materi Bentuk umum fungsi kuadrat adalah: f() = a + + c dimana a,, c R dan a 0. Grafik fungsi kuadrat erentuk paraola dengan persamaan y = a + + c. Beerapa langkah yang ditempuh untuk menggamar grafik fungsi kuadrat adalah: a. Titik potong grafik dengan sumu, dengan mengamil y = 0. Titik potong grafik dengan sumu y, dengan mengamil = 0 c. Sumu simetri grafik yaitu = a d. Koordinat titik alik atau titik puncak (,y) di mana = dengan D = 4ac. e. Grafik teruka ke awah jika a < 0 dan teruka ke atas jika a > 0. dan y = a D 4a Contoh 4 Gamarlah grafik fungsi kuadrat (paraola) a. f() = 8 erikut ini dengan domain ilangan real!. g() = 4 a. Grafik fungsi f() = 8 mempunyai persaman y = 8 di mana a =, = - dan c = -8 Titik potong grafik dengan sumu, untuk y = 0 8 = 0 ( 4)( + ) = 0 = 4 atau = - Titik potong dengan sumu adalah (-, 0) dan (4, 0). Nilai = 4 dan = - diseut pemuat nol fungsi, artinya pada = 4 dan = - fungsi terseut ernilai nol. Titik potong grafik dengan sumu y, untuk = 0 y = 0 4(0) 8 = - 8 Titik potong grafik dengan sumu y adalah (0, -8).

32 68 Matematika XI SMK Kelompok: Penjualan dan Akuntansi Persamaan sumu simetri = a ( ) = = () Koordinat titik alik D 4ac = y = = a 4a 4a ( ) ( ) 4()( 8) = = () 4() 4 + = = = -9 4 Koordinat titik alik adalah (,-9). Kare na a = > 0 maka grafik memuka ke atas. = y (-,0) (4,0) 0 (0,-8) (,-9). Grafik fungsi f() = 4 mempunyai persaman y = 4 dimana koefisien a = -, = 4 dan c = 0. Titik potong grafik denga n sumu, untuk y = 0 4 = 0 (4 )= 0 = 0 atau = 4 Titik potong dengan sumu adalah (0, 0) dan (4, 0). Nilai = 0 dan = 4 diseut pemuat nol fungsi, artinya pada saat = 0 dan = 4 fungsi terseut ernilai nol. Titik potong grafik dengan sumu y, untuk = 0 y = 4(0) (0) = 0 Titik potong grafik dengan sumu y adalah (0, 0). Persamaan sumu simetri = a = 4 ( ) = Koordinat titik alik = D y = = 4ac a 4a 4a 4 4 4( )(0) = = ( ) 4( ) = = 6 = 4 4 Koordinat titik alik adalah (, 4). Kare na a = - < 0 maka grafik memuka ke awah. 4 R f (0,0) 0 y D f = (,4) (4,0) Koordinat titik alik grafik fungsi kuadrat dapat erupa titik maksimum atau titik minimun tetapi tidak sekaligus kedua-duanya. Ji ka a < 0 maka titi k alik erupa titik maksimum dan

33 BAB II Konsep Fungsi 69 Jika a > 0 maka titik alik erupa titik minimum. Pada contoh 7. grafik fungsi mempunyai titik maksimum (, 4) dengan nilai maksimum sama dengan 4 atau y = 4. Sedangkan pada contoh 7 a. grafik fungsi mempunyai titik minimum (,-9) dengan nilai minimum -9 atau y = -9. D 4ac y Sehingga nilai maksimum atau minimum grafik fungsi adalah = =, 4a 4a ini terjadi pada saat =. a Contoh 4 Jika domain dari fungsi pada contoh 4. adalah D f = { 0, R}, tentukan range fungsi terseut! Domain dan range fungsi dapat dilihat dari grafik pada jawaan contoh nomor 4 yang merupakan selang terarsir pada sumu dan sumu y, yaitu pada = 0 nilai fungsi f(0) = 4(0) 0 = 0, sedangkan = fungsi ernilai f() = 4. = 4. Sehingga range erada pada interval 0 sampai 4 atau R f = {y 0 y 4, y R}. Yang perlu diperhatikan untuk mencari range adalah selain nilai pada ujung-ujung interval yang diperiksa tetapi juga nilai maksimum atau minimum fungsi. Interval range/daerah hasil diperoleh di antara nilai terkecil dan teresar dari ketiga nilai terseut. Contoh 44 Tentukan range f() = dengan domain D f = { - 4, R}! Nilai pada ujung-ujung interval Untuk = - f(-) = (-) (-) = 0 = 4 f(4) = 4 (4) = 5 Nilai maksimum/minimum y = 4ac ( ) 4..( ) 6 = = = 4 4a 4. 4 Dari ketiga nilai yang didapat dapat disimpulkan ahwa range fungsi terseut adalah R f = {y -4 y 5, y R}. Contoh 45 Selemar plat erentuk persegipanjang. Jika diketahui kelilingnya 80 cm, erapakah luas maksimum plat terseut? Misalkan panjang plat = p dan learnya = t Keliling K = (p + t) = 80 P + t = 90 Artinya p = 90 t atau t = 90 p. Luas L = p.t = (90 t)t = 90t t

34 70 Matematika XI SMK Kelompok: Penjualan dan Akuntansi 4ac 90 4.( ) Luas maksimum = = = =. 05 cm 4a 4.( ) 4 Contoh 46 Jika + y = 5, Tentukanlah nilai dan y agar entuk ( y + 4)(- + y + 8) mencapai nilai maksimum, dan tentukan pula nilai maksimum terseut. Misalkan P = ( y + 4)(- + y + 8) + y = 5 y = 5 sustitusi pada P P = ( (5 ) + 4)(- + (5 ) + 8 ) = ( )( ) = ( 6)(-+8) = P mencapai maksimum jika : = a 7 = = 4 ( 9) y = 5 = 5 4 = P maksimumnya = = = 6 c. Rangkuman. Bentuk umum fungsi kuadrat f() = a + + c atau y = a + + c. dimana a,, c R dan a 0. Grafik fungsi kuadrat erentuk paraola. Langkah-langkah yang ditempuh untuk menggamar grafik fungsi kuadrat adalah: a. Titik potong grafik dengan sumu, dengan mengamil y = 0.. Titik potong grafik dengan sumu y, dengan mengamil = 0. c. Sumu simetri grafik yaitu = d. Koordinat titik alik atau titik puncak (, y) dinama = dengan D = 4ac. a dan y = a D 4a e. Grafik teruka ke awah jika a < 0 dan teruka ke atas jika a > 0.

35 BAB II Konsep Fungsi 7. Tentukan: titik potong dengan sumu, sumu y, persaman sumu simetri, koordinat titik alik, gamar grafik dan range dari fungsi erikut ini! a. f() = 4, D f ={ -< < 4, R}. g() = 4, D g ={ 0 < <, R} c. h() = - + 6, D h ={ - 7, R} d. k() = +, D k ={ 0, R}. Bayangan = - oleh fungsi f() = + k adalah 0, tentukan nilai k dan gamar grafiknya!. Grafik fungsi g() = (a ) + a 4 melalui titik (-,), tentukan a. Nilai a. Range fungsi dengan domain D g = { -4 < < 4, B}. 4. Tentukan nilai p agar fungsi kuadrat f() = p ernilai minimum sama dengan. 5. Seuah peluru ditemakkan ke udara hingga lintasannya erentuk paraola. Tinggi lintasan peluru setelah t detik dirumuskan dengan h(t) = 0t t. Dari grafiknya, tentukanlah: a. Setelah erapa detik peluruh terseut mencapai tinggi maksimum.. Tinggi maksimum peluruh terseut. c. Waktu yang diperlukan peluru hingga jatuh kemali ke tanah. 6. Jumlah dua ilangan sama dengan 0. Tentukan dua ilangan terseut supaya hasil kalinya maksimum dan ilangan-ilangan itu! 7. Tentukanlah nilai p dari data di awah ini: a. Nilai maksimum p 4 + p adalah. Nilai maksimum p p adalah 8. Hitunglah nilai minimum dari + y untuk + y = Nilai minimum fungsi f() = a + 8 adalah -9 dicapai pada =, tentukanlah: a. Nilai a dan. Sketsa gamar grafiknya 0. Seatang esi 400 centimeter akan diuat persegipanjang dengan cara memotong kemudian mengelasnya untuk menyamungnya kemali, erapakah ukuran persegi panjang terseut agar didapat luas persegi panjang yang maksimum dan hitung luas maksimum terseut!. Keliling suatu segitiga siku-siku 5 cm. Jika sisi miringnya 9 cm, tentukanlah luas maksimum segitiga terseut.

36 7 Matematika XI SMK Kelompok: Penjualan dan Akuntansi. Luas dari kertas poster = m. Bidang gamar pada kertas poster itu diatasi dengan margin atas dan margin awah masing-masing cm, margin kiri dan margin kanan masing-masing selear 4 cm. Jika panjang kertas poster adalah dan luas idang gamar adalah L. a. Nyatakan L seagai fungsi dalam. Tentukan luas maksimum idang gamar terseut B.4 Menerapkan Konsep Fungsi Kuadrat a. Tujuan Setelah mempelajari uraian kompetensi dasar ini, anda dapat: Menentukan sifat-sifat fungsi kuadrat erdasarkan nilai diskriminannya Menentukan persamaan fungsi kuadrat jika diketahui grafik atau unsur-unsur lainnya Menyelesaikan masalah program keahlian yang erkaitan dengan fungsi kuadrat. Uraian Materi ). Kedudukan Grafik fungsi kuadrat Kedudukan grafik fungsi kuadrat yang dilihat dari anyaknya titik potong dengan sumu, ditentukan oleh nilai diskriminan yaitu D = 4ac. Sedangkan grafik memuka ke atas atau ke awah ditentukan oleh tanda a (koefisien ). Berikut eerapa kemungkinan kedudukan grafik dilihat dari harga diskriminan dan tanda a (koefisien ): Nilai Diskriminan (D) D > 0 D = 0 D < 0 a > 0 (a) () (c) Tanda a a < 0 (e) (f) (g) Keterangan: Gamar II.d : Kedudukan fungsi kuadrat erd asarkan nilai D dan tanda a a) Pada (a) dan (e) untuk D > 0 grafik memotong sumu di dua titik, jika a > 0 grafik memuka ke atas sealiknya memuka ke awah untuk a < 0.

37 BAB II Konsep Fungsi 7 ) Pada () dan (f) untuk D = 0 grafik memotong di satu titik atau menyinggung sumu. c) Pada (c) dan (g) grafik tidak memotong sumu i). Untuk a > 0 dan D < 0 seluruh grafik erada di atas sumu artinya seluruh peta atau nilai fungsi ernilai positif untuk se luruh harga dan ini iasa diseut dengan definit positif. ii). Untuk a < 0 dan D < 0 seluruh grafik erada di awah sumu artinya seluruh peta atau nilai fungsi ernilai negatif untuk seluruh harga dan ini iasa diseut dengan definit negatif. Contoh 47 Tanpa menggamar seutkan sifat-sifat fungsi kuadrat f() = 4 f() = 4 y = 4, diperoleh a =, = - dan c = - 4 a = erarti a > 0 ( a positif ), maka grafik memuka ke atas D = 4ac =(-) 4()(-4) = = 5 Karena D > 0 ( D positif ), maka grafik memotong sumu di dua titik yang ereda. Jadi, grafik fungsi f erupa paraola yang teruka ke atas dan memotong sumu di dua titik yang ereda (a > 0 dan D > 0). Contoh 48 Tentukan nilai k supaya grafik fungsi kuadrat erikut menyinggung sumu! a. f() = ( + k ) + 0k + 6. g() = m + ( m + ) + a. Dari rumus fungsi a = + k, = 0k dan c = 6 Grafik menyinggung sumu, jika D = 0 D = 0 4ac = 0 (0k) 4(+k )6 = 0 00 k k = 0 6 k 64 = 0 (6k 8)(6k + 8) = 0 6k 8 = 0 atau 6k + 8 = 0 6k = 8 6k = -8 8 k = 6 8 k = k = 4 k = -. Agar g() = m + ( m + ) + grafiknya menyinggung sumu, D = 0 D = 4ac

38 74 Matematika XI SMK Kelompok: Penjualan dan Akuntansi 0 = (m+) 4.m. 0 = m m + 0 = (m ) m = Jadi agar g( ) = m + ( m + ) + menyinggung sumu, nilai m = ). Menentuk an Persamaan Grafik Fungsi Kuadrat Persamaan grafik fungsi kuadrat dapat dicari jika kondisi-kondisi diawah ini diketahui: a) Grafik memotong sumu di (,0) dan (,0) serta melalui titik semarang (,y ) pada grafik, maka persamaannya adalah y = a( )( ). ) Grafik mempunyai titik alik P( p,y p ) serta melalui titik semarang (,y ) pada grafik, maka persamaannya adalah y = a( p ) + y p. c) Grafik melalui tiga uah titik yaitu (,y ), (,y ) dan (,y ), maka persamaannya adalah y = a + + c. Contoh 49 Tentukan persamaan grafik fungsi yang mempunyai titik alik di titik (,-) serta melalui (, ). Kondisi yang di ketahui adalah titik alik P(,-) serta melalui titik (,) dan dari kondisi terseut kita dapat p = dan y p = - sehingga persamaannya adalah y = a( ) + (-) grafik melalui (, ) didapat = a( ) + (-) = a a = 4 Sehingga y = 4( ) + (-) y = 4( +) = Contoh 50 Tentukan persamaan grafik dari fungsi grafik seperti pada gamar di awah ini! a.. y (,6) (-,) y - (,-) 4

1). Definisi Relasi Relasi dari dua himpunan A dan B adalah pemasangan anggota-anggota A dengan anggota B.

1). Definisi Relasi Relasi dari dua himpunan A dan B adalah pemasangan anggota-anggota A dengan anggota B. Bayangkan suatu fungsi seagai seuah mesin, misalnya mesin hitung. Ia mengamil suatu ilangan (masukan), maka fungsi memproses ilangan yang masuk dan hasil produksinya diseut keluaran. x Masukan Fungsi f

Lebih terperinci

b. Titik potong grafik dengan sumbu y, dengan mengambil x = 0

b. Titik potong grafik dengan sumbu y, dengan mengambil x = 0 B.3 Fungsi Kuadrat a. Tujuan Setelah mempelajari uraian kompetensi dasar ini, anda dapat: Menentukan titik potong grafik fungsi dengan sumu koordinat, sumu simetri dan nilai ekstrim suatu fungsi Menggamar

Lebih terperinci

BAB II FUNGSI, PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN KUADRAT

BAB II FUNGSI, PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN KUADRAT BAB II FUNGSI, PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN KUADRAT Standar kompetensi:. Memecahkan masalah yang erkaitan dengan fungsi, persamaan dan pertidaksamaan kuadrat Kompetensi Dasar:. Memahami konsep fungsi.

Lebih terperinci

PERSAMAAN FUNGSI KUADRAT-1

PERSAMAAN FUNGSI KUADRAT-1 PERSAMAAN FUNGSI KUADRAT- Mata Pelajaran K e l a s Nomor Modul : Matematika : X (Sepuluh) : MAT.X.0 Penulis Pengkaji Materi Pengkaji Media : Drs. Suyanto : Dra.Wardani Rahayu, M.Si. : Drs. Soekiman DAFTAR

Lebih terperinci

A. Kajian ulang tentang fungsi Pada gambar di bawah ini diberikan diagram panah suatu relasi dari himpunan

A. Kajian ulang tentang fungsi Pada gambar di bawah ini diberikan diagram panah suatu relasi dari himpunan MODUL FUNGSI KUADRAT Materi: Fungsi Kuadrat A Kajian ulang tentang fungsi B Fungsi kuadrat dan grafiknya C Menentukan fungsi kuadrat D Menentukan sumu simetri, titik puncak, sifat definit positif atau

Lebih terperinci

PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN

PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN Sumer: Art & Gallery 44 Matematika X SMK Kelompok: Penjualan dan Akuntansi Standar kompetensi persamaan dan pertidaksamaan linier dan kuadrat terdiri atas tiga kompetensi dasar.

Lebih terperinci

1. Jika p dan q akar-akar persamaan. x 2 bx c 0 dan k konstanta real, maka

1. Jika p dan q akar-akar persamaan. x 2 bx c 0 dan k konstanta real, maka PERSAMAAAN DAN FUNGSI KUADRAT Bentuk umum persamaan kuadrat a + + c =0, a 0 Akar-akar persamaan : D = a D = 4ac Menyusun persamaan paraola y q = a ( p) Diskriminan (D = 4ac) Persamaan kuadrat memiliki.

Lebih terperinci

4. Mononom dan Polinom

4. Mononom dan Polinom Darpulic www.darpulic.com 4. Mononom dan Polinom Sudaratno Sudirham Mononom adalah pernataan tunggal ang erentuk k n, dengan k adalah tetapan dan n adalah ilangan ulat termasuk nol. Fungsi polinom merupakan

Lebih terperinci

Komposisi fungsi dan invers fungsi. Syarat agar suatu fungsi mempunyai invers. Grafik fungsi invers

Komposisi fungsi dan invers fungsi. Syarat agar suatu fungsi mempunyai invers. Grafik fungsi invers Komposisi fungsi dan invers fungsi mempelajari Fungsi komposisi menentukan Fungsi invers terdiri dari Syarat dan aturan fungsi yang dapat dikomposisikan Nilai fungsi komposisi dan pembentuknya Syarat agar

Lebih terperinci

KELAS XI PROGRAM KEAHLIAN : BISNIS DAN MANAJEMEN & PARIWISATA SMK NEGERI 1 SURABAYA. BY : Drs. Abd. Salam, MM

KELAS XI PROGRAM KEAHLIAN : BISNIS DAN MANAJEMEN & PARIWISATA SMK NEGERI 1 SURABAYA. BY : Drs. Abd. Salam, MM KELAS XI PROGRAM KEAHLIAN : BISNIS DAN MANAJEMEN & PARIWISATA SMK NEGERI 1 SURABAYA BAHAN AJAR FUNGSI LINIER & KUADRAT SMK NEGERI 1 SURABAYA Halaman 1 BAB FUNGSI A. FUNGSI DAN RELASI Topik penting yang

Lebih terperinci

fungsi Dan Grafik fungsi

fungsi Dan Grafik fungsi fungsi Dan Grafik fungsi Suatu fungsi adalah pemadanan dua himpunan tidak kosong dengan pasangan terurut (x, y) dimana tidak terdapat elemen kedua yang berbeda. Fungsi (pemetaan) himpunan A ke himpunan

Lebih terperinci

MBS - DTA. Sucipto UNTUK KALANGAN SENDIRI. SMK Muhammadiyah 3 Singosari

MBS - DTA. Sucipto UNTUK KALANGAN SENDIRI. SMK Muhammadiyah 3 Singosari MBS - DTA Sucipto UNTUK KALANGAN SENDIRI SMK Muhammadiyah Singosari SERI : MBS-DTA FUNGSI STANDAR KOMPETENSI Siswa mampu memecahkan masalah yang berkaitan dengan fungsi, persamaan fungsi linear dan fungsi

Lebih terperinci

Matematika Semester IV

Matematika Semester IV F U N G S I KOMPETENSI DASAR Mendeskripsikan perbedaan konsep relasi dan fungsi Menerapkan konsep fungsi linear Menggambar fungsi kuadrat Menerapkan konsep fungsi kuadrat Menerapkan konsep fungsi trigonometri

Lebih terperinci

BAB 3 FUNGSI. f : x y

BAB 3 FUNGSI. f : x y . Hubungan Relasi dengan Fungsi FUNGSI Relasi dari himpunan P ke himpunan Q disebut fungsi atau pemetaan, jika dan hanya jika tiap unsur pada himpunan P berpasangan tepat hanya dengan sebuah unsur pada

Lebih terperinci

E-LEARNING MATEMATIKA

E-LEARNING MATEMATIKA MODUL E-LEARNING E-LEARNING MATEMATIKA Oleh : NURYADIN EKO RAHARJO, M.PD. NIP. 9705 00 00 Penulisan Modul e Learning ini diiayai oleh dana DIPA BLU UNY TA 00 Sesuai dengan Surat Perjanjian Pelaksanaan

Lebih terperinci

Fungsi, Persamaaan, Pertidaksamaan

Fungsi, Persamaaan, Pertidaksamaan Fungsi, Persamaaan, Pertidaksamaan Disampaikan pada Diklat Instruktur/Pengembang Matematika SMA Jenjang Dasar Tanggal 6 s.d. 9 Agustus 004 di PPPG Matematika Oleh: Drs. Markaban, M.Si. Widyaiswara PPPG

Lebih terperinci

FUNGSI. A. Relasi dan Fungsi Contoh: Manakah yang merupakan fungsi/pemetaan dan manakah yang bukan fungsi? (i) (ii) (iii)

FUNGSI. A. Relasi dan Fungsi Contoh: Manakah yang merupakan fungsi/pemetaan dan manakah yang bukan fungsi? (i) (ii) (iii) FUNGSI A. Relasi dan Fungsi Manakah yang merupakan fungsi/pemetaan dan manakah yang bukan fungsi? (i) (ii) (iii) Relasi himpunan A ke himpunan B adalah relasi yang memasangkan/mengkawankan/mengkorepodensikan

Lebih terperinci

TRIGONOMETRI. Bab. Di unduh dari : Bukupaket.com. Aturan sinus Aturan kosinus Luas segitiga A. KOMPETENSI DASAR DAN PENGALAMAN BELAJAR

TRIGONOMETRI. Bab. Di unduh dari : Bukupaket.com. Aturan sinus Aturan kosinus Luas segitiga A. KOMPETENSI DASAR DAN PENGALAMAN BELAJAR a 6 TRIGONOMETRI A. KOMPETENSI DASAR DAN PENGALAMAN ELAJAR Kompetensi Dasar 1. Menghayati pola hidup disiplin, kritis, ertanggungjawa, konsisten dan jujur serta menerapkannya dalam kehidupan sehari hari..

Lebih terperinci

BEBERAPA FUNGSI KHUSUS

BEBERAPA FUNGSI KHUSUS BEBERAPA FUNGSI KHUSUS ). Fungsi Konstan ). Fungsi Identitas 3). Fungsi Modulus 4). Fungsi Genap dan Fungsi Ganjil Fungsi genap jika f(x) = f(x), dan Fungsi ganjil jika f(x) = f(x) 5). Fungsi Tangga dan

Lebih terperinci

KURIKULUM TINGKAT SATUAN PENDIDIKAN ( KTSP ) ANALISIS MATERI KOMPETENSI SISWA SMP ( SILABUS ) KEGIATAN PEMBELAJARAN TEKNIK.

KURIKULUM TINGKAT SATUAN PENDIDIKAN ( KTSP ) ANALISIS MATERI KOMPETENSI SISWA SMP ( SILABUS ) KEGIATAN PEMBELAJARAN TEKNIK. SEKOLAH : SMP NEGERI 9 CIMAHI KELAS : IX MATA PELAJARAN : MATEMATIKA SEMESTER : ( DUA ) KURIKULUM TINGKAT SATUAN PENDIDIKAN ( KTSP ) ANALISIS MATERI KOMPETENSI SISWA SMP ( SILABUS ) BILANGAN Standar Kompetensi

Lebih terperinci

Rchmd: rls&fngs-smk2004 1

Rchmd: rls&fngs-smk2004 1 BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang Apabila kita cermati, hampir semua fenomena ang terjadi di jagad raa ini mengikuti hukum sebab akibat. Adana pergantian siang dan malam adalah sebagai akibat dari perputaran

Lebih terperinci

Bil. Asli Bil. Bulat Bil. Cacah

Bil. Asli Bil. Bulat Bil. Cacah Bil. Asli Bil. Bulat Bil. Cacah I. Materi Ajar: Pertemuan : A. Macam-macam ilangan real. Bilangan Asli (A) Bilangan asli adalah suatu ilangan yang mula-mula dipakai untuk memilang. Bilangan asli dimulai

Lebih terperinci

PERSAMAAN, FUNGSI DAN PERTIDAKSAMAAN KUADRAT

PERSAMAAN, FUNGSI DAN PERTIDAKSAMAAN KUADRAT LA - WB (Lembar Aktivitas Warga Belajar) PERSAMAAN, FUNGSI DAN PERTIDAKSAMAAN KUADRAT Oleh: Hj. ITA YULIANA, S.Pd, M.Pd MATEMATIKA PAKET C TINGKAT V DERAJAT MAHIR 1 SETARA KELAS X Created By Ita Yuliana

Lebih terperinci

FUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI INVERS

FUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI INVERS FUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI INVERS Jika A dan B adalah dua himpunan yang tidak kosong, fungsi f dari A ke B; f : A B atau A f B adalah cara pengawanan anggota A dengan anggota B yang memenuhi aturan setiap

Lebih terperinci

HASIL DAN PEMBAHASAN

HASIL DAN PEMBAHASAN IV. HASIL DAN PEMBAHASAN Lingkungan mikro di dalam rumah tanaman khususnya di daerah tropika asah perlu mendapat perhatian khusus, mengingat iri iklim tropika asah dengan suhu udara yang relatif panas,

Lebih terperinci

http://meetaied.wordpress.com SMAN Bone-Bone, Luwu Utara, Sul-Sel Sahaat paling aik dari keenaran adalah waktu, musuhnya yang paling esar adalah prasangka, dan pengiringnya yang paling setia adalah kerendahan

Lebih terperinci

FUNGSI DAN GRAFIKNYA KULIAH-4. Hadi Hermansyah,S.Si., M.Si. Politeknik Negeri Balikpapan PERTIDAKSAMAAN

FUNGSI DAN GRAFIKNYA KULIAH-4. Hadi Hermansyah,S.Si., M.Si. Politeknik Negeri Balikpapan PERTIDAKSAMAAN KULIAH-4 Modul Pembelajaran Matematika Kelas X semester 1 Modul Pembelajaran Matematika Kelas X semester 1 FUNGSI DAN GRAFIKNYA PERTIDAKSAMAAN Hadi Hermansyah,S.Si., M.Si. Politeknik Negeri Balikpapan

Lebih terperinci

UN SMA IPA 2010 Matematika

UN SMA IPA 2010 Matematika UN SMA IPA 00 Matematika Kode Soal P0 Doc. Name: UNSMAIPA00MATP0 Doc. Version : 0-0 halaman 0. Akar-akar persamaan kuadrat x² + (a - ) x + =0 adalah α dan β. Jika a > 0 maka nilai a =. 8 x 0. Diketahui

Lebih terperinci

Gelanggang Evalusi dan Sifat-sifatnya

Gelanggang Evalusi dan Sifat-sifatnya Vol. 5, No.1, 52-57, Juli 2008 Gelanggang Evalusi dan Sifat-sifatnya Amir Kamal Amir Astrak Sifat-sifat gelanggang evaluasi eserta pemuktiannya sudah ada dieerapa literatur seperti misalnya pada McConnel

Lebih terperinci

PEMERINTAH KABUPATEN SUKOHARJO DINAS PENDIDIKAN SMA KABUPATEN SUKOHARJO Sekretariat : Jl. Jend. Sudirman No.197 Sukoharjo Telp.

PEMERINTAH KABUPATEN SUKOHARJO DINAS PENDIDIKAN SMA KABUPATEN SUKOHARJO Sekretariat : Jl. Jend. Sudirman No.197 Sukoharjo Telp. PEMERINTAH KABUPATEN SUKOHARJO DINAS PENDIDIKAN SMA KABUPATEN SUKOHARJO Sekretariat : Jl. Jend. Sudirman No.197 Sukoharjo Telp. 071-5904 5751 TRY OUT UJIAN NASIONAL TAHAP 1 TAHUN PELAJARAN 01/01 Mata Pelajaran

Lebih terperinci

UM UNPAD 2007 Matematika Dasar

UM UNPAD 2007 Matematika Dasar UM UNPAD 007 Matematika Dasar Kode Soal Doc. Name: UMUNPAD007MATDAS999 Version : 0- halaman 0. Jika A e adalah komplemen dari A, maka daerah yang diarsir pada diagram Venn di awah ini dapat dinyatakan

Lebih terperinci

Pertemuan XI, XII, XIII VI. Konstruksi Rangka Batang

Pertemuan XI, XII, XIII VI. Konstruksi Rangka Batang ahan jar Statika Mulyati, ST., MT ertemuan XI, XII, XIII VI. Konstruksi Rangka atang VI. endahuluan Salah satu sistem konstruksi ringan yang mempunyai kemampuan esar, yaitu erupa suatu Rangka atang. Rangka

Lebih terperinci

6 FUNGSI LINEAR DAN FUNGSI

6 FUNGSI LINEAR DAN FUNGSI 6 FUNGSI LINEAR DAN FUNGSI KUADRAT 5.1. Fungsi Linear Pada Bab 5 telah dijelaskan bahwa fungsi linear merupakan fungsi yang variabel bebasnya paling tinggi berpangkat satu. Bentuk umum fungsi linear adalah

Lebih terperinci

UN SMA 2015 Matematika IPA

UN SMA 2015 Matematika IPA UN SMA 05 Matematika IPA Soal Doc. Name: UNSMA05MATIPA Doc. Version : 05- halaman 0. Ani rajin elajar maka naik kelas. Ani dapat hadiah atau tidak naik kelas. Ani rajin elajar. Kesimpulan yang sah adalah

Lebih terperinci

Materi Fungsi Linear Fungsi Variabel, koefisien, dan konstanta Variabel variabel bebas Koefisien Konstanta 1). Pengertian fungsi linier

Materi Fungsi Linear Fungsi Variabel, koefisien, dan konstanta Variabel variabel bebas Koefisien Konstanta 1). Pengertian fungsi linier Materi Fungsi Linear Admin 8:32:00 PM Duhh akhirnya nongol lagi... kali ini saya akan bahas mengenai pelajaran yang paling disukai oleh hampir seluruh warga dunia :v... MATEMATIKA, ya itu namanya. materi

Lebih terperinci

KONSEP DASAR FUNGSI DAN GRAFIK. Oleh : Agus Arwani, SE, M.Ag

KONSEP DASAR FUNGSI DAN GRAFIK. Oleh : Agus Arwani, SE, M.Ag KONSEP DASAR FUNGSI DAN GRAFIK Oleh : Agus Arwani, SE, M.Ag KONSEP DASAR FUNGSI DAN GRAFIK Definisi : Fungsi f : A B adalah suatu aturan yang mengaitkan (memadankan) setiap dengan tepat satu A y B Notasi

Lebih terperinci

SUMBER BELAJAR PENUNJANG PLPG 2016 MATA PELAJARAN/PAKET KEAHLIAN GURU KELAS SD

SUMBER BELAJAR PENUNJANG PLPG 2016 MATA PELAJARAN/PAKET KEAHLIAN GURU KELAS SD SUMBER BELAJAR PENUNJANG PLPG 016 MATA PELAJARAN/PAKET KEAHLIAN GURU KELAS SD BAB II ALJABAR Dra.Hj.Rosdiah Salam, M.Pd. Dra. Nurfaizah, M.Hum. Drs. Latri S, S.Pd., M.Pd. Prof.Dr.H. Pattabundu, M.Ed. Widya

Lebih terperinci

A. Kajian ulang tentang fungsi Pada gambar di bawah ini diberikan diagram panah suatu relasi dari himpunan

A. Kajian ulang tentang fungsi Pada gambar di bawah ini diberikan diagram panah suatu relasi dari himpunan MODUL MATEMATIKA UNTUK SMA istiyanto.com Mari Berbagi Ilmu Dengan Yang Lain Pesan soal-soal matematika untuk SD, SMP dan SMA? Soal ulangan harian, ulangan mid, ulangan semester, soal-soal UAN dll. Tulis

Lebih terperinci

PEMERINTAH KABUPATEN SUKOHARJO DINAS PENDIDIKAN SMA KABUPATEN SUKOHARJO Sekretariat : Jl. Jend. Sudirman No.197 Sukoharjo Telp.

PEMERINTAH KABUPATEN SUKOHARJO DINAS PENDIDIKAN SMA KABUPATEN SUKOHARJO Sekretariat : Jl. Jend. Sudirman No.197 Sukoharjo Telp. PEMERINTAH KABUPATEN SUKOHARJO DINAS PENDIDIKAN SMA KABUPATEN SUKOHARJO Sekretariat : Jl. Jend. Sudirman No.197 Sukoharjo Telp. 071-90 71 TRY OUT UJIAN NASIONAL TAHAP 1 TAHUN PELAJARAN 01/01 Mata Pelajaran

Lebih terperinci

BAB XIV V E K T O R Pengertian Vektor adalah besaran yang mempunyai arah. Tafsiran geometri sebuah vektor dilukiskan sebagai panah.

BAB XIV V E K T O R Pengertian Vektor adalah besaran yang mempunyai arah. Tafsiran geometri sebuah vektor dilukiskan sebagai panah. XIV V E K T O R 4. engertian adalah esaran yang mempunyai arah. Tafsiran geometri seuah vektor dilukiskan seagai panah. dengan titik pangkal (a x, a y, a z ) dan titik ujung ( x, y, z ) dinotasikan dengan.

Lebih terperinci

BEBERAPA MACAM FUNGSI DALAM ALJABAR

BEBERAPA MACAM FUNGSI DALAM ALJABAR BEBEAA MACAM FUNGI DALAM ALJABA 1. Fungsi Komposisi Dari dua jenis fungsi f dan g kita dapat membentuk sebuah fungsi baru dengan menggunakan sistem operasi komposisi. operasi komposisi biasa dilambangkan

Lebih terperinci

MATEMATIKA DASAR PENDIDIKAN BIOLOGI UPI 0LEH: UPI 0716

MATEMATIKA DASAR PENDIDIKAN BIOLOGI UPI 0LEH: UPI 0716 MATEMATIKA DASAR PENDIDIKAN BIOLOGI UPI 0LEH: UPI 0716 N0 TOPIK FUNGSI 2.1 DEFINISI FUNGSI 2.2 DAERAH DEFINISI DAN DAERAH HASIL 2.3 JENIS-JENIS FUNGSI 2.4 OPERASI ALJABAR FUNGSI 2.5 FUNGSI GENAP, GANJIL,

Lebih terperinci

Oleh: Mega Inayati Rif ah, S.T., M.Sc. Institut Sains dan Teknologi AKPRIND Yogyakarta

Oleh: Mega Inayati Rif ah, S.T., M.Sc. Institut Sains dan Teknologi AKPRIND Yogyakarta Oleh: Mega Inayati Rif ah, S.T., M.Sc. Institut Sains dan Teknologi AKPRIND Yogyakarta 1 RELASI Oleh: Mega Inayati Rif ah, S.T., M.Sc. 2 RELASI Relasi adalah suatu aturan yang memasangkan anggota himpunan

Lebih terperinci

BAB 1 PENDAHULUAN. Masalah kependudukan di Indonesia merupakan masalah penting yang perlu

BAB 1 PENDAHULUAN. Masalah kependudukan di Indonesia merupakan masalah penting yang perlu BAB 1 PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Masalah kependudukan di Indonesia merupakan masalah penting yang perlu mendapat perhatian dan pemahasan serius dari pemerintah dan ahli kependudukan. Bila para ahli

Lebih terperinci

A. MENYELESAIKAN PERSAMAAN KUADRAT

A. MENYELESAIKAN PERSAMAAN KUADRAT A. MENYELESAIKAN PERSAMAAN KUADRAT STANDAR KOMPETENSI Memecahkan masalah yang berkaitan dengan fungsi, persamaan dan fungsi kuadrat serta pertidaksamaan kuadrat KOMPETENSI DASAR Menggunakan sifat dan aturan

Lebih terperinci

Konstruksi Rangka Batang

Konstruksi Rangka Batang Konstruksi Rangka atang Salah satu sistem konstruksi ringan yang mempunyai kemampuan esar, yaitu erupa suatu Rangka atang. Rangka atang merupakan suatu konstruksi yang terdiri dari sejumlah atang atang

Lebih terperinci

3. FUNGSI DAN GRAFIKNYA

3. FUNGSI DAN GRAFIKNYA 3. FUNGSI DAN GRAFIKNYA 3.1 Pengertian Relasi Misalkan A dan B suatu himpunan. anggota A dikaitkan dengan anggota B berdasarkan suatu hubungan tertentu maka diperoleh suatu relasi dari A ke B. : A = {1,

Lebih terperinci

BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA

BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA 21 Distriusi Distriusi dapat diartikan seagai kegiatan pemasaran untuk memperlancar dan mempermudah penyampaian arang dan jasa dari produsen kepada konsumen, sehingga penggunaannya

Lebih terperinci

5 F U N G S I. 1 Matematika Ekonomi

5 F U N G S I. 1 Matematika Ekonomi 5 F U N G S I Pemahaman tentang konsep fungsi sangat penting dalam mempelajari ilmu ekonomi, mengingat kajian ekonomi banyak bekerja dengan fungsi. Fungsi dalam matematika menyatakan suatu hubungan formal

Lebih terperinci

BAB VI DEFLEKSI BALOK

BAB VI DEFLEKSI BALOK VI DEFEKSI OK.. Pendahuluan Semua alok akan terdefleksi (atau melentur) dari kedudukannya apaila tereani. Dalam struktur angunan, seperti : alok dan plat lantai tidak oleh melentur terlalu erleihan untuk

Lebih terperinci

BAB II PERSAMAAN KUADRAT DAN FUNGSI KUADRAT

BAB II PERSAMAAN KUADRAT DAN FUNGSI KUADRAT BAB II PERSAMAAN KUADRAT DAN FUNGSI KUADRAT 1. Menentukan koefisien persamaan kuadrat 2. Jenis-jenis akar persamaan kuadrat 3. Menyusun persamaan kuadrat yang akarnya diketahui 4. Fungsi kuadrat dan grafiknya

Lebih terperinci

BAB 1 PERSAMAAN. a) 2x + 3 = 9 a) 5 = b) x 2 9 = 0 b) = 12 c) x = 0 c) 2 adalah bilangan prima genap d) 3x 2 = 3x + 5

BAB 1 PERSAMAAN. a) 2x + 3 = 9 a) 5 = b) x 2 9 = 0 b) = 12 c) x = 0 c) 2 adalah bilangan prima genap d) 3x 2 = 3x + 5 BAB PERSAMAAN Sifat Sifat Persamaan Persamaan adalah kalimat matematika terbuka yang menyatakan hubungan sama dengan. Sedangkan kesamaan adalah kalimat matematika tertutup yang menyatakan hubungan sama

Lebih terperinci

MATRIKS DAN TRANSFORTASI I. MATRIKS II. TRANSFORMASI MATRIKS & TRANSFORMASI. a b. a b DETERMINAN. maka determinan matriks A.

MATRIKS DAN TRANSFORTASI I. MATRIKS II. TRANSFORMASI MATRIKS & TRANSFORMASI. a b. a b DETERMINAN. maka determinan matriks A. MATRIKS DAN TRANSFORTASI I. MATRIKS PENGERTIAN Matriks adalah kumpulan ilangan yang dinyatakan dalam aris kolom. Matriks A = 5 dengan ukuran (ordo) : X. Artinya matriks terseut tersusun atas aris kolom.

Lebih terperinci

Fungsi Linear dan Fungsi Kuadrat

Fungsi Linear dan Fungsi Kuadrat Modul 1 Fungsi Linear dan Fungsi Kuadrat Drs. Susiswo, M.Si. K PENDAHULUAN ompetensi umum yang diharapkan, setelah mempelajari modul ini, adalah Anda dapat memahami konsep tentang persamaan linear dan

Lebih terperinci

ANALISA STABILITAS LERENG TANAH BERBUTIR HALUS UNTUK KASUS TEGANGAN TOTAL DENGAN MENGGUNAKAN MICROSOFT EXEL ABSTRACT

ANALISA STABILITAS LERENG TANAH BERBUTIR HALUS UNTUK KASUS TEGANGAN TOTAL DENGAN MENGGUNAKAN MICROSOFT EXEL ABSTRACT ANALISA STABILITAS LERENG TANAH BERBUTIR HALUS UNTUK KASUS TEGANGAN TOTAL DENGAN MENGGUNAKAN MICROSOFT EXEL Handali, S 1), Gea, O 2) 1) Jurusan Teknik Sipil Universitas Kristen Immanuel Yogyakarta e-mail

Lebih terperinci

PERATURAN MENTERI TENAGA KERJA REPUBLIK INDONESIA NOMOR PER-04/MEN/1993 TAHUN 1993 TENTANG JAMINAN KECELAKAAN KERJA

PERATURAN MENTERI TENAGA KERJA REPUBLIK INDONESIA NOMOR PER-04/MEN/1993 TAHUN 1993 TENTANG JAMINAN KECELAKAAN KERJA PERATURAN MENTERI TENAGA KERJA REPUBLIK INDONESIA NOMOR PER-04/MEN/1993 TAHUN 1993 TENTANG JAMINAN KECELAKAAN KERJA MENTERI TENAGA KERJA REPUBLIK INDONESIA, Menimang: a ahwa seagai pelaksanaan Pasal 19

Lebih terperinci

Silabus. Kegiatan Pembelajaran Instrumen. Tugas individu.

Silabus. Kegiatan Pembelajaran Instrumen. Tugas individu. Silabus Jenjang : SMP dan MTs Mata Pelajaran : Matematika Kelas : VIII Semester : 1 Standar Kompetensi : ALJABAR 1. Memahami bentuk aljabar, relasi, fungsi, dan garis lurus. Kompetensi Dasar Materi Ajar

Lebih terperinci

RELASI DAN FUNGSI. b. Diberikan dua himpunan:

RELASI DAN FUNGSI. b. Diberikan dua himpunan: RELASI DAN FUNGSI A. Relasi. Pengertian Relasi Relasi menurut bahasa berarti hubungan. Dalam matematika, relasi atau hubungan menyatakan hubungan antara anggota suatu himpunan dengan anggota himpunan yang

Lebih terperinci

King s Learning Be Smart Without Limits. (4) Grafik Fungsi kuadrat: (3) Titik lain (jika diperlukan) X Y. (4) Grafik Fungsi kuadrat:

King s Learning Be Smart Without Limits. (4) Grafik Fungsi kuadrat: (3) Titik lain (jika diperlukan) X Y. (4) Grafik Fungsi kuadrat: Nama Siswa : LEMBAR AKTIVITAS SISWA FUNGSI KUADRAT - Hubungkan titik-titik tersebut sehingga terbentuk kurva atau grafik yang mulus. Kelas : A. FUNGSI KUADRAT Bentuk umum fungsi kuadrat adalah: y = f(x)

Lebih terperinci

SOAL UJIAN NASIONAL TAHUN PELAJARAN 2015/2016 PAKET TIGA

SOAL UJIAN NASIONAL TAHUN PELAJARAN 2015/2016 PAKET TIGA Ruang Pertemuan OL UJIN NIONL THUN PELJRN 015/01 PKET TIG 1. Operasi # erarti kalikan ilangan pertama dan kedua, kemudian jumlahkan hasilnya dengan ilangan pertama. Hasil dari #. 1. C. D. 1. apak dan paman

Lebih terperinci

COURSE NOTE : Sistem Persamaan Liniear

COURSE NOTE : Sistem Persamaan Liniear COURSE NOTE : Sistem Persamaan Liniear PERSAMAAN LINIEAR Secara umum kita mendefinisikan persamaan liniear dalam n variale x 1 x x n seagai erikut : dengan a1 a... an adalah konstanta real. a1x 1 ax ax...

Lebih terperinci

TES AKHIR. Kartu-kartu diatas dapat disusun dengan aturan susunan kartu adalah jumlah bilangan kebawah sama dengan jumlah bilangan kesamping

TES AKHIR. Kartu-kartu diatas dapat disusun dengan aturan susunan kartu adalah jumlah bilangan kebawah sama dengan jumlah bilangan kesamping TES AKHIR NAMA KELAS TANGGAL :... : : 1. Perhatikan angka pada kartu ilangan erikut : 1 2 4 5 a. Angka mana saja yang merupakan ilangan ganjil?.. Angka mana saja yang merupakan ilangan genap?.. Kartu-kartu

Lebih terperinci

Aljabar 1. Modul 1 PENDAHULUAN

Aljabar 1. Modul 1 PENDAHULUAN Modul 1 Aljabar 1 Drs. H. Karso, M.Pd. PENDAHULUAN M odul yang sekarang Anda pelajari adalah modul yang pertama dari mata kuliah Materi Kurikuler Matematika SMA. Materi-materi yang disajikan dalam modul

Lebih terperinci

I. Kombinasi momen lentur dengan gaya aksial tarik

I. Kombinasi momen lentur dengan gaya aksial tarik VII. BALOK KOLOM Komponen struktur seringkali menderita kominasi eerapa macam gaya secara ersama-sama, salah satu contohnya adalah komponen struktur alok-kolom. Pada alok-kolom, dua macam gaya ekerja secara

Lebih terperinci

PENINGKATAN PRODUKTIFITAS PROSES PRODUKSI PENGRAJIN KUSEN DAN PINTU BERBASIS MESIN BAND SAW

PENINGKATAN PRODUKTIFITAS PROSES PRODUKSI PENGRAJIN KUSEN DAN PINTU BERBASIS MESIN BAND SAW PENINGKATAN PRODUKTIFITAS PROSES PRODUKSI PENGRAJIN KUSEN DAN PINTU BERBASIS MESIN BAND SAW Silviana 1, Nova Risdiyanto Ismail 2 1 Universitas Widyagama Malang/ Dosen Teknik Industri, Kota Malang 2 Universitas

Lebih terperinci

Bab 3 PERUMUSAN MODEL KINEMATIK DDMR

Bab 3 PERUMUSAN MODEL KINEMATIK DDMR Ba 3 PERUMUSAN MODEL KINEMATIK DDMR Model kinematika diperlukan dalam menganalisis pergerakan suatu root moil. Model kinematik merupakan analisis pergerakan sistem yang direpresentasikan secara matematis

Lebih terperinci

Disusun Oleh : Dewi Ratna Nawangsari NRP Dosen Pembimbing : Tri Tiyasmihadi, ST. MT

Disusun Oleh : Dewi Ratna Nawangsari NRP Dosen Pembimbing : Tri Tiyasmihadi, ST. MT STUDI PENGARUH BENTANGAN(SPAN) PADA SINGLE GIRDER OVERHEAD CRANE DENGAN KAPASITAS 5 TON TYPE EKKE DAN ELKE DAN KAPASITAS 10 TON TYPE EKKE TERHADAP BERAT KONSTRUKSI GIRDERNYA Disusun Oleh : Dewi Ratna Nawangsari

Lebih terperinci

PEMERINTAH KABUPATEN SUKOHARJO DINAS PENDIDIKAN SMA KABUPATEN SUKOHARJO Sekretariat : Jl. Jend. Sudirman No.197 Sukoharjo Telp.

PEMERINTAH KABUPATEN SUKOHARJO DINAS PENDIDIKAN SMA KABUPATEN SUKOHARJO Sekretariat : Jl. Jend. Sudirman No.197 Sukoharjo Telp. PEMERINTAH KABUPATEN SUKOHARJO DINAS PENDIDIKAN SMA KABUPATEN SUKOHARJO Sekretariat : Jl. Jend. Sudirman No.197 Sukoharjo Telp. 071-5904 5751 TRY OUT UJIAN NASIONAL TAHAP 1 TAHUN PELAJARAN 01/01 Mata Pelajaran

Lebih terperinci

PEMERINTAH PROVINSI BALI DINAS PENDIDIKAN

PEMERINTAH PROVINSI BALI DINAS PENDIDIKAN PEMERINTAH PROVINSI BALI DINAS PENDIDIKAN SEKOLAH MENENGAH KEJURUAN NEGERI TAMPAKSIRING Jl. DR. Ir. Soekarno Tampaksiring, Telp. (06) 98 68 Gianyar Bali SOAL UJIAN AKHIR SEMESTER MATA PELAJARAN : MATEMATIKA

Lebih terperinci

PEMERINTAH PROVINSI BALI DINAS PENDIDIKAN

PEMERINTAH PROVINSI BALI DINAS PENDIDIKAN PEMERINTAH PROVINSI BALI DINAS PENDIDIKAN SEKOLAH MENENGAH KEJURUAN NEGERI TAMPAKSIRING Jl. DR. Ir. Soekarno Tampaksiring, Telp. (0) 9 Gianyar Bali SOAL UJIAN AKHIR SEMESTER MATA PELAJARAN : MATEMATIKA

Lebih terperinci

Message Authentication Code (MAC) Pembangkit Bilangan Acak Semu

Message Authentication Code (MAC) Pembangkit Bilangan Acak Semu Bahan Kuliah ke-21 IF5054 Kriptografi Message Authentication Code (MAC) Pemangkit Bilangan Acak Semu Disusun oleh: Ir. Rinaldi Munir, M.T. Departemen Teknik Informatika Institut Teknologi Bandung 2004

Lebih terperinci

BAB. VI. FUNGSI. Contoh 2. Dari diagram panah diatas tentukan: a. Domain b.kodomain. d.himpunan pasangan berurutan jawab:

BAB. VI. FUNGSI. Contoh 2. Dari diagram panah diatas tentukan: a. Domain b.kodomain. d.himpunan pasangan berurutan jawab: A. FUNGSI I. Pengertian Fungsi Fungsi (pemetaan) yaitu relasi khusus, dimana setiap anggota daerah asal mempunyai pasangan tepat satu dengan anggota daerah kawan A B BAB. VI. FUNGSI Keterangan: A=Daerah

Lebih terperinci

METODE SIMPLEKS PRIMAL MENGGUNAKAN WORKING BASIS

METODE SIMPLEKS PRIMAL MENGGUNAKAN WORKING BASIS JURNAL MATEMATIKA DAN KOMPUTER Vol 6 No 3, 118-177, Desemer 2003, ISSN : 1410-8518 METODE SIMPLEKS PRIMAL MENGGUNAKAN WORKING BASIS Sunarsih dan Ahmad Khairul Ramdani Jurusan Matematika FMIPA UNDIP ABSTRAK

Lebih terperinci

METODE SIMPLEKS PRIMAL MENGGUNAKAN WORKING BASIS

METODE SIMPLEKS PRIMAL MENGGUNAKAN WORKING BASIS JURNAL MATEMATIKA DAN KOMPUTER Vol 6 No 3, 167-178, Desemer 2003, ISSN : 1410-8518 METODE SIMPLEKS PRIMAL MENGGUNAKAN WORKING BASIS Sunarsih dan Ahmad Khairul Ramdani Jurusan Matematika FMIPA UNDIP ABSTRAK

Lebih terperinci

Matematika

Matematika Fungsi dan D3 Analis Kimia FMIPA Universitas Islam Indonesia Fungsi Definisi Suatu fungsi f adalah suatu aturan korespondensi yang menghubungkan setiap objek x dalam satu himpunan, yang disebut domain,

Lebih terperinci

MAT 602 DASAR MATEMATIKA II

MAT 602 DASAR MATEMATIKA II MAT 60 DASAR MATEMATIKA II Disusun Oleh: Dr. St. Budi Waluya, M. Sc Jurusan Pendidikan Matematika Program Pascasarjana Unnes 1 HIMPUNAN 1. Notasi Himpunan. Relasi Himpunan 3. Operasi Himpunan A B : A B

Lebih terperinci

Pengertian Fungsi. MA 1114 Kalkulus I 2

Pengertian Fungsi. MA 1114 Kalkulus I 2 Fungsi Pengertian Fungsi Relasi : aturan yang mengawankan himpunan Fungsi Misalkan A dan B himpunan. Relasi biner dari A ke B merupakan suatu ungsi jika setiap elemen di dalam A dihubungkan dengan tepat

Lebih terperinci

KALKULUS 1 HADI SUTRISNO. Pendidikan Matematika STKIP PGRI Bangkalan. Hadi Sutrisno/P.Matematika/STKIP PGRI Bangkalan

KALKULUS 1 HADI SUTRISNO. Pendidikan Matematika STKIP PGRI Bangkalan. Hadi Sutrisno/P.Matematika/STKIP PGRI Bangkalan KALKULUS 1 HADI SUTRISNO 1 Pendidikan Matematika STKIP PGRI Bangkalan BAB I PENDAHULUAN A. Sistem Bilangan Real Untuk mempelajari kalkulus kita terlebih dahulu perlu memahami bahasan tentang sistem bilangan

Lebih terperinci

Volume 1, Nomor 2, Desember 2007

Volume 1, Nomor 2, Desember 2007 Volume Nomor 2 Desemer 27 Barekeng Desemer 27 hal3-35 Vol No 2 TITIK-ANTARA DI DALAM RUANG METRIK DAN RUANG INTERVAL METRIK (Between-Points In Metric Space And Metric Interval Space MOZART W TALAKUA Jurusan

Lebih terperinci

FUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI INVERS

FUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI INVERS -- FUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI INVERS. RELASI DAN FUNGSI Relasi himpunan A ke himpunan B yaitu korespondensi/hubungan semua anggota A dengan semua anggota B. Relasi khusus yang menghubungkan setiap anggota

Lebih terperinci

BAB III METODE PENELITIAN. Populasi yang digunakan dalam penelitian ini meliputi seluruh perusahaan yang

BAB III METODE PENELITIAN. Populasi yang digunakan dalam penelitian ini meliputi seluruh perusahaan yang 35 BAB III METODE PENELITIAN 3.1. Populasi dan sampel Populasi yang digunakan dalam penelitian ini meliputi seluruh perusahaan yang go pulic di Bursa Efek Indonesia. Sampel yang diamil diatasi pada perusahaanperusahaan

Lebih terperinci

SOAL TPHBS MATEMATIKA IPS MKKS DIY

SOAL TPHBS MATEMATIKA IPS MKKS DIY Diketik ulang, SOAL TPHBS MATEMATIKA IPS MKKS DIY. Diketahui peryataan p ernilai enar dan q ernilai salah. Peryataan majemuk erikut ernilai salah adalah. p v q ~ q p p q p v ~ q p ~ q. Suatu pernyataan

Lebih terperinci

TRY OUT UJIAN NASIONAL

TRY OUT UJIAN NASIONAL TRY OUT UJIAN NASIONAL LEMBAR SOAL A Bidang Studi Kelas/Program : MATEMATIKA : XII (Dua Belas)/IPA PETUNJUK UMUM. Berdo alah seelum mengerjakan soal. Tulislah dahulu nama dan kelas Anda pada lemar jawaan

Lebih terperinci

2.6 FUNGSI DAN RELASI

2.6 FUNGSI DAN RELASI 177 Bab 3 FUNGSI P ernahkah anda memperhatikan gerakan bola yang dilempar ke atas oleh seseorang. Secara tidak langsung ternyata anda telah memperhatikan gerakan bola tersebut membentuk sebuah fungsi yang

Lebih terperinci

Implementasi Penggunaan Bilangan Fuzzy Trapezoidal untuk Mencari Jalur Kritis pada Jaringan Proyek Fuzzy

Implementasi Penggunaan Bilangan Fuzzy Trapezoidal untuk Mencari Jalur Kritis pada Jaringan Proyek Fuzzy JURNAL TEKNIK POMITS Vol. 2, No. 1, (2013) ISSN: 2337-3539 (2301-9271 Print) 1 Implementasi Penggunaan Bilangan Fuzzy Trapezoidal untuk Mencari Jalur Kritis pada Jaringan Proyek Fuzzy Farah Nurul Ilma,

Lebih terperinci

Latihan Soal Persiapan UAS 1 Matematika Kelas 8 SMP 2017/2018 [1]

Latihan Soal Persiapan UAS 1 Matematika Kelas 8 SMP 2017/2018 [1] Latihan Soal Persiapan UAS Matematika Kelas 8 SMP 07/08 [] I. Pilihlah jawaban yang paling tepat. Koefisien dan konstanta dari persamaan adalah. Suku-suku sejenis dari bentuk aljabar adalah... 3. Bentuk

Lebih terperinci

BAB 5 DESAIN DAN ANALISIS SAMBUNGAN

BAB 5 DESAIN DAN ANALISIS SAMBUNGAN BAB 5 DESAIN DAN ANALISIS SAMBUNGAN Ba ini akan memahas kapasitas samungan rangka aja ringan terhadap gaya-gaya dalam yang merupakan hasil analisis struktur rangka aja ringan pada pemodelan a seelumnya.

Lebih terperinci

MATERI : RELASI DAN FUNGSI KELAS : X. 1. Ada hal penting yang bisa dipetik dari contoh di atas. Misalkan X menyatakan

MATERI : RELASI DAN FUNGSI KELAS : X. 1. Ada hal penting yang bisa dipetik dari contoh di atas. Misalkan X menyatakan MTERI : RELSI DN FUNGSI KELS : X Pemahaman Fungsi Dalam berbagai aplikasi, korespondensi/hubungan antara dua himpunan sering terjadi 4 3 Sebagai contoh, volume bola dengan jari-jari r diberikan oleh relasi

Lebih terperinci

LAMPIRAN VIII BAHAN AJAR I

LAMPIRAN VIII BAHAN AJAR I 177 LAMPIRAN VIII BAHAN AJAR I A. Standar Kompetensi Memahami bentuk aljabar, relasi, fungsi, dan persamaan garis lurus B. Kompetensi Dasar Memahami relasi dan fungsi C. Tujuan Pembelajaran 1. Siswa dapat

Lebih terperinci

ANALISIS PENGGUNAAN ANGGARAN KAS SEBAGAI TOLOK UKUR PENGENDALIAN BIAYA PADA PDAM KOTA BLITAR. Desi Apriani Retno Murni Sari. STIE Kesuma Negara Blitar

ANALISIS PENGGUNAAN ANGGARAN KAS SEBAGAI TOLOK UKUR PENGENDALIAN BIAYA PADA PDAM KOTA BLITAR. Desi Apriani Retno Murni Sari. STIE Kesuma Negara Blitar ANALISIS PENGGUNAAN ANGGARAN KAS SEBAGAI TOLOK UKUR PENGENDALIAN BIAYA PADA PDAM KOTA BLITAR Desi Apriani Retno Murni Sari STIE Kesuma Negara Blitar Astrak: Tujuan penelitian ini adalah untuk mengetahui

Lebih terperinci

MODUL FISIKA BUMI METODE GAYA BERAT

MODUL FISIKA BUMI METODE GAYA BERAT MODUL FISIKA BUMI METODE GAYA BERAT 1. TUJUAN - Memahami hukum dan prinsip fisika yang mendasari metode gaya erat - Mengetahui serta memahami faktor-faktor yang mempengaruhi nilai variasi gaya erat di

Lebih terperinci

MODUL MATA PELAJARAN MATEMATIKA

MODUL MATA PELAJARAN MATEMATIKA KERJASAMA DINAS PENDIDIKAN KOTA SURABAYA DENGAN FAKULTAS MIPA UNIVERSITAS NEGERI SURABAYA MODUL MATA PELAJARAN MATEMATIKA Bilangan dan Aljabar untuk kegiatan PELATIHAN PENINGKATAN MUTU GURU DINAS PENDIDIKAN

Lebih terperinci

Alternatif jawaban soal uraian

Alternatif jawaban soal uraian Lapiran Alternatif jawaan soal uraian. Lukislah garis ang elalui pangkal koordinat O(0,0) dan epunai gradien erikut ini! a. -. ) Noor poin a a) Alternatif pertaa langkah pengerjaan pertaa Persaaan garis

Lebih terperinci

NAMA : KELAS : SMA TARAKANITA 1 JAKARTA theresiaveni.wordpress.com

NAMA : KELAS : SMA TARAKANITA 1 JAKARTA theresiaveni.wordpress.com 1 NAMA : KELAS : 2 KOMPOSISI FUNGSI DAN FUNGSI INVERS Contoh: Manakah yang merupakan fungsi/pemetaan dan manakah yang bukan fungsi? (i) (ii) (iii) Relasi himpunan A ke himpunan B adalah relasi yang memasangkan/mengkawankan/mengkorepodensikan

Lebih terperinci

Fungsi. Pengertian Fungsi. Pengertian Fungsi ( ) ( )

Fungsi. Pengertian Fungsi. Pengertian Fungsi ( ) ( ) Fungsi Pengertian Fungsi Relasi : aturan yang mengawankan/ mengkaitkan/ menugaskan himpunan Fungsi Misalkan A dan B himpunan. Relasi biner dari A ke B merupakan suatu ungsi jika setiap elemen di dalam

Lebih terperinci

SILABUS ALOKASI WAKTU T M P S P D SUMBER BELAJAR MATERI PEMBELAJARAN KOMPETENSI DASAR INDIKATOR MODEL KURIKULUM TINGKAT SATUAN PENDIDIKAN

SILABUS ALOKASI WAKTU T M P S P D SUMBER BELAJAR MATERI PEMBELAJARAN KOMPETENSI DASAR INDIKATOR MODEL KURIKULUM TINGKAT SATUAN PENDIDIKAN SILABUS KELAS / SEMESTER : X / 1 STANDAR : Memecahkan masalah berkaitan dengan konsep operasi bilangan riil KODE : D.9 : 44 x 45 menit 1. Menerapkan operasi pada bilangan riil Dua atau lebih bilangan bulat

Lebih terperinci

KALKULUS (IT 131) Fakultas Teknologi Informasi - Universitas Kristen Satya Wacana. Bagian 3. Fungsi & Model ALZ DANNY WOWOR

KALKULUS (IT 131) Fakultas Teknologi Informasi - Universitas Kristen Satya Wacana. Bagian 3. Fungsi & Model ALZ DANNY WOWOR KALKULUS (IT 131) Fakultas Teknologi Informasi - Universitas Kristen Satya Wacana Bagian 3 Fungsi & Model ALZ DANNY WOWOR 1. Fungsi Sebelum membahas fungsi, akan ditunjukkan pengertian dari relasi yang

Lebih terperinci

BAB 2 LANDASAN TEORI

BAB 2 LANDASAN TEORI BAB LANASAN EORI. Masalah ersediaan alam Sistem Manufaktur Biasanya suatu perusahaan memagi milik perusahaannya menjadi dua agian.. engaturan persediaan atau inventaris dierikan untuk meningkatkan pengurusan

Lebih terperinci

FUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI INVERS

FUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI INVERS FUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI INVERS. Relasi dan Fungsi Pada saat di Sekolah Lanjutan Pertama (SMP) telah dipelajari tentang topik Relasi, Fungsi dan Grafik. Pada materi relasi ini selain menggunakan istilah

Lebih terperinci

Matematika Ekonomi KUADRAT DAN FUNGSI RASIONAL (FUNGSI PECAH) GRAFIK FUNGSI KUADRAT BERUPA PARABOLA GRAFIK FUNGSI RASIONAL BERUPA HIPERBOLA

Matematika Ekonomi KUADRAT DAN FUNGSI RASIONAL (FUNGSI PECAH) GRAFIK FUNGSI KUADRAT BERUPA PARABOLA GRAFIK FUNGSI RASIONAL BERUPA HIPERBOLA Fungsi Non Linier Diskripsi materi: -Harga ekstrim pada fungsi kuadrat 1 Fungsi non linier FUNGSI LINIER DAPT BERUPA FUNGSI KUADRAT DAN FUNGSI RASIONAL (FUNGSI PECAH) GRAFIK FUNGSI KUADRAT BERUPA PARABOLA

Lebih terperinci