PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN

Transkripsi

1 PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN Sumer: Art & Gallery

2 44 Matematika X SMK Kelompok: Penjualan dan Akuntansi Standar kompetensi persamaan dan pertidaksamaan linier dan kuadrat terdiri atas tiga kompetensi dasar. Dalam penyajian pada uku ini setiap kompetensi dasar memuat tujuan, uraian materi, dan latihan. Rangkuman diletakkan pada setiap akhir ahasan suatu kompetensi dasar. Kompetensi dasar dalam standar kompetensi ini adalah himpunan penyelesaian persamaan dan pertidaksamaan linier, himpunan penyelesaian persamaan dan pertidaksamaan kuadrat, serta menerapkan persamaan dan pertidaksamaan kuadrat. Standar kompetensi ini digunakan seagai kemampuan dasar erikutnya untuk mempelajari kompetensi-kompetensi yang lain. Oleh karena itu, kemampuan dasar ini harus dikuasai dengan enar sehingga dalam mempelajari kompetensi-kompetensi yang lain tidak akan mengalami kesulitan. Pada setiap akhir kompetensi dasar tercantum soal-soal latihan yang disusun dari soalsoal yang mudah hingga yang sulit. Latihan soal ini digunakan untuk mengukur kemampuan kalian terhadap kompetensi dasar ini. Artinya setelah mempelajari kompetensi dasar ini secara mandiri dengan imingan guru seagai fasilitator. Ukurlah sendiri kemampuan kalian dengan mengerjakan soal-soal latihan terseut. Untuk melancarkan kemampuan kalian supaya leih aik dalam mengerjakan soal, disarankan semua soal dalam latihan ini dikerjakan aik di sekolah dengan imingan guru maupun di rumah. Untuk mengukur standar kompetensi lulusan tiap peserta didik, di setiap akhir kompetensi dasar, guru akan memerikan evaluasi apakah kalian layak atau elum layak mempelajari standar kompetensi erikutnya. Kalian dinyatakan layak jika kalian dapat mengerjakan soal 60% atau leih dengan enar dari soal-soal evaluasi yang akan dierikan guru. Setelah mempelajari kompetensi ini, siswa diharapkan dapat mengaplikasikannya untuk mempelajari kompetensi pada pelajaran matematika maupun pelajaran lainnya dalam kehidupan sehari-hari. Salah satu entuk contoh aplikasi persamaan dalam idang isnis dan manajemen, yaitu pada analisis pulang pokok (reak event point) seperti uraian erikut ini. Analisis pulang pokok adalah analisis model fungsi yang menggamarkan huungan antara ongkos, hasil penjualan, dan keuntungan. Suatu perusahaan akan memperoleh keuntungan apaila total hasil penjualan (total revenue) yang diperolehnya meleihi total iaya (total cost). Jika total iaya leih esar dari pada total revenue pada waktu tertentu, erarti perusahaan mengalami kerugian. Biaya total produksi suatu arang iasanya terdiri atas iaya tetap dan iaya tidak tetap atau iaya variael. Biaya yang tetap pada waktu tertentu atau konstan meskipun hasil produksi eruah-uah, misalnya gaji karyawan, asuransi, dan seagainya diseut dengan iaya tetap. Sedangkan iaya yang eruah-uah yang ergantung pada kapasitas produksi iasa diseut dengan iaya variael.

3 BAB II Persamaan dan Pertidaksamaan 45 Gamar:. Manager suatu perusahaan sedang memicarakan isnis melalui telepon Misalkan seuah perusahaan memproduksi seanyak x unit arang yang sejenis dengan harga p rupiah per unitnya, maka total revenue penjualan dimodelkan seagai R px. Misalkan F dan V adalah masing-masing iaya tetap (fix cost) dan iaya variael, maka total cost (Q) adalah seagai erikut. Q F + V Suatu kondisi pada saat total hasil penjualan sama dengan total iaya, yaitu kondisi perusahaan elum mendapat untung dan tidak menderita kerugian dikatakan ahwa perusahaan terseut dalam kondisi pulang pokok (reak event), yaitu P Q Huungan antara iaya total dan hasil penjualan total dilukiskan pada grafik seperti yang ditunjukkan pada Gamar - Gamar - Huungan iaya total dan hasil penjualan

4 46 Matematika X SMK Kelompok: Penjualan dan Akuntansi A. Persamaan dan Pertidaksamaan Linier Setelah mempelajari materi pada kompetensi dasar ini, kalian diharapkan dapat menjelaskan pengertian persamaan linier, menyelesaikan persamaan linier satu variael dan dua variael, menjelaskan pengertian pertidaksamaan linier, menyelesaikan pertidaksamaan linier, dan menyelesaikan masalah program keahlian yang erkaitan dengan persamaan dan pertidaksamaan linier. Persamaan merupakan materi yang harus dimiliki siswa SMK setelah menguasai standar kompetensi sistem ilangan riil. Untuk mempelajari kompetensi erikutnya, persamaan merupakan kemampuan yang sangat penting, karena tanpa menguasai persamaan kalian akan mengalami kesulitan dalam mempelajari kompetensikompetensi selanjutnya. Oleh karena itu, pelajari materi ini dengan aik.. Definisi Persamaan dan Pertidaksamaan Linier Kalimat teruka dalam istilah matematika adalah kalimat yang elum diketahui nilai keenarannya atau kalimat yang masih memuat variael. Kalimat teruka yang memuat tanda sama dengan atau diseut Persamaan. Sedangkan kalimat teruka yang memuat tanda <, <, >, > diseut Pertidaksamaan. Persamaan atau pertidaksamaan linier adalah suatu persamaan atau pertidaksamaan dengan variaelnya erpangkat satu. Contoh Persamaan linier satu variael, 4x + 0, p 4 Persamaan linier dua variael, x + y 0, p q 5 Persamaan linier tiga variael, x + y z 0, p q + r - Contoh Pertidaksamaan linier satu variael, 4x 6 > 0, y < 0 Pertidaksamaan linier dua variael, x + y <6, y > x +6 (Pertidaksamaan linier dua variael akan diahas leih lanjut pada Kompetensi Program Linier).. Himpunan Penyelesaian Persamaan Linier Satu Variael Bentuk umum persamaan linier satu variael adalah ax + 0 dengan a 0, a adalah koefisien sedangkan adalah konstanta. Beerapa hal yang perlu diperhatikan dalam menyelesaikan persamaan linier satu variael adalah seagai erikut. Nilai persamaan tidak eruah jika pada ruas kiri dan kanan ditamahkan atau dikurangkan dengan ilangan negatif atau ilangan positif yang sama. Nilai persamaan tidak eruah jika pada ruas kiri dan kanan dikalikan atau diagi dengan ilangan positif yang sama.

5 BAB II Persamaan dan Pertidaksamaan 47 Dengan memperhatikan kedua hal di atas, maka langkah-langkah untuk menentukan penyelesaian persamaan linier satu variael adalah seagai erikut. Jika variael dan konstanta terdapat di seelah kiri dan seelah kanan, maka kelompokkan variael dengan variael dan letakkan seelah kiri, kemudian konstanta dengan konstanta letakkan seelah kanan, atau sealiknya. Ingat saat memindahkan variael atau konstanta dari seelah kiri ke seelah kanan atau sealiknya, maka tandanya eruah dari + menjadi atau sealiknya. Jika eerapa variael sudah dikelompokkan seelah kiri maka eerapa konstanta di seelah kanan atau sealiknya. Jumlahkan atau kurangkan variael terseut egitu juga konstantanya seperti menjumlahkan ilangan ulat. Jika konstanta sudah ergaung menjadi satu ilangan egitu juga variaelnya, maka agilah gaungan konstanta dengan koefisien dari gaungan variael terseut. Ingat tanda + atau dalam proses pemagian sudah diahas pada modul sistem ilangan riil. Jika ertemu dengan angka pecahan, aik yang seelah kiri atau seelah kanan, maka leih aik kalikan dengan KPK dari penyeut pecahan terseut. Contoh Tentukan nilai x dari persamaan-persamaan erikut. a. 8x 4 6x + e. 5(x + ) x. 8(x + ) 0 f. + (p + ) c. x + 6 x 7 4 g. 4(x 5) (x + 4) d. x x h. (6x + 9) (x + 4) a. 8x 4 6x + c. x + 6 x 7 4 (dikalikan 4) 8x 6x + 4 x + 4 x 8 x 6 x x -8 4 x 6 x - 5 x 8. 8(x + ) 0 d. x x 5 6 ( dikalikan 0) 8x (x + 7) 5( + 4x) 8x 0 6 8x x 8x 4 8x 0x 5 4 x 4 -x -7 x 7 8 8

6 48 Matematika X SMK Kelompok: Penjualan dan Akuntansi e. 5(x + ) x g. 4(x 5) (x + 4) 5x +0 x 8x 0 x + 8 5x x 0 8x x x 6x 8 x x f. + (p + ) h. (6x +9) 4 (x + 4) (kalikan ) + p + 6 4(6x +9) (x + 4) 8 + p 4x +6 6x + p 8 4x 6x 6 p 4 8x -4 p 4 6 x 8 8. Himpunan Penyelesaian Sistem Persamaan Linier Dua Variael Bentuk umum sistem persamaan linier dua variael yang mempunyai variael x dan y adalah. a x + y c a y + y c dengan a, a,,, c, dan c adalah ilangan riil. Untuk menentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan linier adalah dengan mencari harga variael atau peuah (x dan y) yang memenuhi sistem persamaan terseut. Himpunan penyelesaian dapat dicari dengan menggunakan metode eliminasi, sustitusi atau campuran dari kedua metode terseut. a. Metode Eliminasi Eliminasi artinya melenyapkan. Menyelesaikan sistem persamaan linier dua variael dengan cara eliminasi artinya mencari nilai variael dengan melenyapkan variael yang lain dengan cara mengurangkan atau menjumlahkannya. Untuk melenyapkan variael terseut, koefisiennya harus sama. Jika elum sama, maka masing-masing persamaan dikalikan dengan ilangan tertentu sehingga memiliki koefisien yang sama. Jika salah satu variael dari dua persamaan memiliki koefisien sama, maka persamaan satu dijumlahkan dengan yang lainnya. Tetapi jika memiliki koefisien yang erlawanan, persamaan satu dikurangkan dengan yang lainnya. Contoh 4 Tentukan himpunan penyelesaian dari x + y x y 5 Untuk mencari variael y erarti variael x yang dieliminasi. Untuk mengeliminasi atau melenyapkan variael x, maka koefisien x disamakan terleih dahulu dengan cara mengalikan dengan suatu ilangan sedemikian sehingga koefisien kedua persamaan terseut sama. x + y x x y 5 x x + 6y 9 x y 7y 4 y

7 BAB II Persamaan dan Pertidaksamaan 49 Sekarang melenyapkan variael y untuk mencari x x + y x x y 5 x x Himpunan penyelesaian sistem persamaan linier terseut adalah {(-,)} 6x + y 0 6x y 0 5y 0 x + y 6x y y 4 Jadi, himpunan penyelesaian sistem adalah {(, -4)} 7 x Contoh 5 Tentukan himpunan penyelesaian dari x + y 5 x y 0 Karena koefisien y sudah sama sehingga untuk mencari x hanya mengeliminasi y dengan cara menjumlahkannya x + y 5 x y 0 + 5x 5 x Untuk mencari y kita eliminasi x dengan mengalikan kedua persamaan sehingga koefisien x menjadi sama x + y 5 x y 0 x x. Metode Sustitusi Sustitusi artinya mengganti atau menyatakan salah satu variael dengan variael lainnya. Contoh 6 Tentukan himpunan penyelesaian dari x + y 5 x y 0 x + y 5... ) x y 0... ) Misalkan yang akan disustitusi atau diganti adalah variael y pada persamaan ), maka persamaan ) dinyatakan dalam entuk y 5 x. x y 0 x (5 x) 0 x 5 + x 0 5x 5 0 5x x 5 x Selanjutnya x disustitusikan ke y 5 x 5 () -4 Jadi, himpunan penyelesaian terseut adalah {(, -4)}

8 50 Matematika X SMK Kelompok: Penjualan dan Akuntansi Contoh 7 Tentukan himpunan penyelesaian dari x + y 4 x + y x + y 4... ) x + y... ) Misalkan yang akan disustitusikan atau diganti adalah variael x pada persamaan ), maka persamaan ) dinyatakan dalam entuk x + y 4 x 4 y 4 y x Sustitusikan ke persamaan kedua x + y 4 y + y kedua ruas kalikan dengan (4 y) + 9y 8 4y + 9y 5y + 8 5y 8 5y -5 y - 4 y Sustitusikan y - pada x untuk mendapatkan x. 4 y 4 ( ) 6 x Jadi, himpunan penyelesaian terseut adalah {(, -)} c. Metode Campuran (Eliminasi dan Sustitusi) Contoh 8 Tentukan himpunan penyelesaian dari x + y x y Karena koefisien x sudah sama, maka variael yang dieliminasi adalah x dengan cara mengurangkannya. x + y x y y y Sustitusikan y ke salah satu persamaan untuk mendapatkan variael x. x + y x + () x + x 0, Jadi, himpunan penyelesaian terseut adalah {(0, )}

9 BAB II Persamaan dan Pertidaksamaan 5 Contoh 9 Jumlah dua ilangan adalah 8 dan selisihnya. Carilah ilangan-ilangan itu. Misalkan ilangan-ilangan itu adalah x dan y, maka hasil jumlahnya adalah x + y 8 dan selisihnya adalah x y Dengan menggunakan metode campuran dapat dicari x dan y, yaitu x + y 8 x y + x 40 x 0 x + y y 8 y Jadi, ilangan-ilangan terseut adalah 0 dan 8. Contoh 0 Harga 5 uku tulis dan pensil di koperasi adalah Rp.000,00. Harga uku tulis dan pensil adalah Rp0.500,00. Berapa harga seuah uku tulis dan seatang pensil? Misalkan: harga seuah uku tulis adalah x harga seuah pensil adalah y, maka diperoleh sistem persamaan 5x + y.000 x x + y x 5 5x + 6y x + 5y y y.500 Sustitusi y.500 ke salah satu persamaan sehingga 5x + y.000 5x + (.500).000 5x x.000 Jadi, harga seuah uku tulis Rp.000,00 dan seatang pensil Rp.500, Himpunan Penyelesaian Pertidaksamaan Linier Satu Variael Bentuk umum pertidaksamaan linier satu variael dinyatakan dengan : ax + (R) 0; a, Riil dan (R) salah satu relasi pertidaksamaan. Menentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan linier hampir sama dengan menyelesaikan persamaan linier satu variael. Himpunan penyelesaian pertidaksamaan iasanya juga dituliskan dalam entuk interval atau selang. Beerapa entuk atau jenis interval disajikan seagai erikut. Notasi Jenis Interval Pertidaksamaan Grafik [a, ] Tertutup a x a (a, ) Teruka a < x < a

10 0 5 Matematika X SMK Kelompok: Penjualan dan Akuntansi [a, ) Setengah Teruka a x < a (a, ] [a, ~) Setengah Tertutup Setengah Teruka a < x x a a a (~, ) Teruka x < Tanda pada atas interval erarti atas terseut termasuk dalam interval. Sedangkan tanda pada atas interval erarti atas terseut tidak termasuk dalam interval. Beerapa hal yang perlu diperhatikan dalam menyelesaikan pertidaksamaan adalah seagai erikut. Tanda pertidaksamaan tidak eruah arah jika pada ruas kiri dan kanan ditamahkan atau dikurangkan dengan ilangan negatif atau ilangan positif yang sama (sifat ). Tanda pertidaksamaan tidak eruah arah jika pada ruas kiri dan kanan dikalikan atau diagi dengan ilangan positif yang sama (sifat ). Tanda pertidaksamaan eruah arah atau dialik jika pada ruas kiri dan kanan dikalikan atau diagi dengan ilangan negatif yang sama (sifat ). Contoh Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan-pertidaksamaan di awah ini. a. 5x > 4x + 9 f. x x < 4. 8x < 7x + 4 g. x + < x + 5 < x + 8 c. 5x + < x + h. < 4x - 5 < d. x 4 > + 4x i. x + 4 < 5x + < x + 0 e. - x < x a. 5x > 4x + 9 5x 4x > 4x + 9 4x (sifat ) x > 9 Jadi, himpunan penyelesaian adalah { x x > 9} dengan garis ilangan. 8x < 7x + 4 8x 7x + < x 7x (sifat ) x < 7 Cara ini kurang efisien, cara lain dengan mengelompokkan variael di satu ruas dan konstanta di ruas lain seperti menyelesaikan persamaan linier 8x < 7x + 4 8x 7x < 4 + x < 7 Jadi, himpunan penyelesaian adalah {x x < 7} dengan garis ilangan

11 BAB II Persamaan dan Pertidaksamaan 5 c. 5x + < x + 5x x < x < 9 x 9 (sifat ) x Jadi, himpunan penyelesaian adalah {x x < } dengan garis ilangannya d. x 4 > + 4x x 4x > + 4 -x > 6 x < 6 (sifat, yaitu arah pertidaksamaan eruah) x < -. Jadi, himpunan penyelesaian adalah {x x < - } dengan garis ilangannya e. - x < x -x x < x < -0 x > 0 ( sifat ) 5 x > 4 Jadi, himpunan penyelesaian adalah { x x > 4} x x + f. + 5 < (dikalikan ) 4 4(x ) + 60 < (x + ) x < 6x x + 6x < x < x < - Jadi, himpunan penyelesaian adalah {x x < - } 8 8 g. x + < x + 5 < x + 8 (kelompokkan variael di tengah dan konstanta di seelah kiri dan kanan dengan cara mengurangkan semua ruas dengan x dan 5 ) x + x 5 < x + 5 x 5 < x + 8 x 5 - < x <, Jadi, himpunan penyelesaian adalah {x - < x < } dengan garis ilangannya h. < 4x 5 < (tamahkan semua ruas dengan 5) diperoleh + 5 < 4x < < 4x < 6 (agi semua ruas dengan 4) diperoleh < x < 4, Jadi, himpunan penyelesaian adalah {x < x < 4} i. x + 4 < 5x + < x + 0 (untuk menyelesaikan pertidaksamaan di atas, pisahkan menjadi dua pertidaksamaan. Setelah itu, cari irisannya dari HP kedua pertidaksamaan terseut). Seenarnya contoh g dan h dapat diselesaikan dengan cara ini.

12 54 Matematika X SMK Kelompok: Penjualan dan Akuntansi x + 4 < 5x + < x + 0 dipisahkan menjadi x + 4 < 5x + dan 5x + < x + 0 x 5x < 4 dan 5x x < 0-4x < - dan x < 7 x > 4 dan x < 7 Grafik irisan Jadi, himpunan penyelesaian adalah { x < x < } 4 5. Soal-Soal Aplikasi Persamaan dan Pertidaksamaan Linier Untuk menyederhanakan soal-soal veral menjadi kalimat matematika dalam entuk persamaan atau pertidaksamaan, ojek yang ditanya dimisalkan dengan x. Contoh Bahlul meminjamkan uangnya kepada Fulan dan Eko seanyak Rp ,00 dengan unga masing-masing 5% dan 7% setahun. Setelah satu tahun Bahlul menerima unga total seesar Rp0.000,00. Tentukan modal yang dipinjam Fulan dan Eko. Misalkan modal yang dipinjam Fulan adalah x Modal yang dipinjam Eko adalah Rp x Bunga yang diperoleh Bahlul Bunga dari Fulan + Bunga dari Eko % x + 7%( x) (kalikan 00) x + 7( x) x x 7x 5x x x Jadi, modal yang dipinjam Fulan adalah Rp ,00 dan dipinjam Eko adalah Rp ,00. Contoh Seorang pedagang apel memeli.000 uah apel dengan harga Rp.00,00 tiap uah. Pedagang terseut kemudian menjual 400 uah dengan laa 0%, erapakah ia harus menjual sisanya yang 600 uah agar seluruhnya mendapatkan laa 5%? Misalkan ia harus menjual sisanya yang 600 uah seharga x Jadi, laa per uah x.00 Harga pemelian 000 uah x Rp.00,00/uah Rp ,00 Laa seluruhnya 5% Rp ,00 Rp ,00 Laa seluruhnya Laa 400 uah + laa 600 uah % (x.00)

13 BAB II Persamaan dan Pertidaksamaan x x 600x x.740 Jadi, ia harus menjual yang 600 uah dengan tiap uahnya seesar Rp.740,00 Contoh 4 CV SEJAHTERA memproduksi mainan anak-anak dengan iaya Rp.500,00 tiap unit dan iaya operasional produksi Rp00.000,00. Jika mainan akan dijual Rp5.000,00, tentukan anyaknya mainan yang harus diproduksi agar untung paling sedikit Rp75.000,00. Misalkan anyaknya mainan yang diproduksi seanyak x Biaya total yang dikeluarkan.500x Pendapatan total yang diperoleh 5.000x Untung Pendapatan total Biaya total 5.000x (.500 x ) 5.000x.500 x x Untung paling sedikit Rp75.000,00 Jadi, untung > x > x > x > x > 6,67 Jadi, supaya untung leih dari Rp75.000,00 harus terjual 7 uah mainan anak-anak. Contoh 5 Suatu perusahaan yang memproduksi arang tertentu dengan harga jual Rp900,00 tiap unit. Biaya tetap yang dikeluarkan Rp00.000,00 dan iaya variael per unit arang adalah Rp400,00. a. Tentukan model persamaan untuk total hasil penjulan dan iaya total.. Tentukan anyaknya unit arang harus dijual ketika terjadi titik pulang pokok. a. Misalkan anyaknya arang terjual adalah x unit Total hasil penjualan x unit yang masing-masing unitnya Rp900,00 arang adalah R 900x Biaya tetap Rp00.000,00 Biaya variael Rp400,00 Biaya total produksi Q x. Syarat terjadi titik pulang pokok, yaitu R Q R Q 900x x 500x x 400 Jadi, anyaknya arang yang harus terjual agar terjadi pulang pokok adalah 400 unit.

14 56 Matematika X SMK Kelompok: Penjualan dan Akuntansi B. Rangkuman Persamaan dan Pertidaksamaan Linier. Kalimat teruka yang memuat tanda diseut Persamaan. Sedangkan kalimat teruka yang memuat tanda <, <, >, > diseut Pertidaksamaan.. Persamaan atau pertidaksamaan linier adalah suatu persamaan atau pertidaksamaan dengan variaelnya erpangkat satu.. Himpunan penyelesaian sistem persamaan linier dua variael dapat dicari dengan menggunakan metode seagai erikut. a. eliminasi yaitu mencari nilai variael dengan melenyapkan variael yang lain dengan cara mengurangkan atau menjumlahkannya,. sustitusi yaitu mengganti atau menyatakan salah satu variael dengan variael lainnya, c. gaungan eliminasi dan sustitusi. 4. Bentuk umum pertidaksamaan linier satu variael dinyatakan dengan ax + (R) 0; a, Riil dan (R) salah satu relasi pertidaksamaan. 5. Beerapa hal yang perlu diperhatikan dalam menyelesaikan pertidaksamaan a. tanda pertidaksamaan tidak eruah arah jika pada ruas kiri dan kanan ditamahkan atau dikurangkan dengan ilangan negatif atau ilangan positif yang sama;. tanda pertidaksamaan tidak eruah jika pada ruas kiri dan kanan dikalikan atau diagi dengan ilangan positif yang sama; c. tanda pertidaksamaan eruah arah atau dialik jika pada ruas kiri dan kanan dikalikan atau diagi dengan ilangan negatif yang sama.. Tentukanlah nilai x dari persamaan-persamaan di awah ini. a. x + 8 x n. x x + 5. (x + ) 7 4 c. 5x + 9 4x 8 x + x o. d. ( x 8) 0 x 5 6 e. -( x ) -( x + 5) p. (6x +9) (x + 4) f. ( x ) -(x ) 4 g. -(4x 4) + 5x x + 8 q. x 4 x + 8 h. ( x + ) -(5 x) 4 i. x + 5(x ) 6 x j. 5(x 4) x 8 r. x 0 + x 5 7 k. + 5(x ) 6 +x l. (5x + 4) 4x 8 (x 5) s. (6x +9) (x 4) 5 m. 5( x ) (x + 6) t. (x 4) x 8 ( 5x)

15 BAB II Persamaan dan Pertidaksamaan 57. Tentukanlah himpunan penyelesaian dari persamaan di awah ini. a. 8x + 6x x + 4 f. 8x x + 6x 8 x + 4. x + + x x + x g c. ( x) 5 + 7(x ) h. ( x) 5 (x + ) d. ( x 9) (x + 5) i. ( x 7) ( x + 5) e. 6( x ) x 8 + (x + ) j. 4( x ) 8x + (x ). Tentukanlah himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan-pertidaksamaan erikut. a. 6x > x - 9 n. 4(p ) > - + 5p. 5x < 7x + 9 o. x + x + c. 5(x ) 6x d. 9 x < 5 p. x > x 5 e. 6x x > x 4 f. x < 7x + q. x + x g. 5(x ) x 0 5 h. 9 x < (x ) 5 x x + 4 r. + 5 < - i. -(5x + 4) x > (6x 5) 5 j. 5 ( x) 0 + 6(x ) s. x > x 7 k. + 4(p ) > - + p 4 l. -(x + 4) x > (8x 6) x + x m. 8 ( x) 8 + (4x ) t Tentukanlah himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan di awah ini dan lukis garis ilangannya. a. 7 x +. x 7 < 5x + x + 0 c. 4x 0 x + 5 4x + 7 f. 4 x + 0 g. x 4 < x + x + h. x 0 5x + 5 x + 7 d. x + 4x + x + 9 i. x + 5 x + x + 8 e. x + 6 5x x + 0 j. x + x x Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linier di awah ini. a. x y d. 5x + y 9 g. 4x + y 0 x + y 4x + y x + 5y x y 4 e. x + y 4 h. 5x y x y 5 x y 5 x + 4y 8 c. x y -7 f. x + y 5 i. x + y x + y x + y -8 x + y - 6. Selesaikanlah soal-soal aplikasi di awah ini. a. Tuan Rente meminjamkan uangnya kepada Jaka dan Joko Rp ,00 dengan unga masing-masing 6% dan 9% setahun. Setelah satu tahun Tuan Rente menerima unga total seesar Rp ,00. Tentukan modal yang dipinjam Jaka dan Joko?. Toko uku memeli 700 uku kuitansi dengan harga Rp.000,00 tiap uah. Toko terseut kemudian menjual 500 uah dengan laa 5%, Berapakah harga jual tiap uku kuitansi sisanya, agar mendapatkan laa 0%?

16 58 Matematika X SMK Kelompok: Penjualan dan Akuntansi c. CV ADIL memproduksi kopiah dengan iaya Rp6.000,00 tiap unit, dan iaya operasional produksi Rp ,00. Kopiah akan dijual Rp0.000,00. Tentukan anyaknya kopiah yang diproduksi agar laa paling sedikit Rp ,00 d. Harga kg apel kali harga kg jeruk. Sedangkan harga kg apel dan kg jeruk Rp4.500,00. Jika dieli 5 kg apel dan 0 kg jeruk, erapa rupiah yang harus diayar? e. Toko grosir uku memeli 800 uku jurnal dengan harga Rp4.000,00 tiap uku. Toko terseut kemudian menjual 700 uah dengan laa %. Berapakah harga jual tiap uku sisanya, agar mendapatkan laa 0%? f. Marliana menerima gaji pokok Rp ,00 per ulan ditamah komisi 0% atas penjualan yang dilakukannya. Marliana rata-rata mampu untuk menjual arang seharga Rp50.000,00 tiap dua jam. Berapa jam ia harus ekerja ratarata tiap ulan, agar ia dapat menerima penghasilan Rp ,00 dalam seulan? 7. Selesaikan soal-soal aplikasi di awah ini. a. Lima meja dan delapan kursi erharga $5 sedangkan tiga meja dan lima kursi erharga $70. Tentukan harga satu meja dan satu kursi.. Harga aju dan kaos adalah Rp80.000,00. Sedangkan harga aju dan kaos adalah Rp0.000,00. Tentukan harga 6 aju dan lima kaos. c. Jumlah dua ilangan ulat adalah 55 dan selisih kedua ilangan itu adalah 5. Tentukan kedua ilangan terseut. d. Seuah pulpen harganya 4 kali harga seuah pensil. Apaila Marliana memeli pulpen dan pensil maka ia harus memayar Rp4.900,00. Berapa yang harus dikemalikan toko terseut kepada Marliana jika memeli pulpen dan 8 pensil dengan menggunakan selemar uang kertas dua puluh riuan. e. Jumlah peserta didik suatu kelas adalah 5 orang, jika anyaknya peserta didik laki-laki adalah 7 orang leihnya daripada dua kali anyak peserta didik wanita, tentukanlah masing-masing jumlah peserta didik terseut. (petunjuk : Jika anyak laki-laki x dan anyak wanita y, maka x y + 7) f. Dalam seuah pesta, anyaknya pengunjung pria dianding dengan pengunjung wanita adalah 5 :. Jika di antara pengunjung pria pergi 5 orang, maka perandingannya menjadi :. Berapakah anyaknya pengunjung pesta terseut. g. Lima tahun yang lalu umur ayah enam kali umur anaknya. Lima tahun yang akan datang jumlah umur ayah dan anaknya adalah 55 tahun, tentukan umur ayah dan anaknya saat sekarang.

17 BAB II Persamaan dan Pertidaksamaan 59 C. Persamaan dan Pertidaksamaan Kuadrat Setelah mempelajari materi pada kompetensi dasar ini, kalian diharapkan dapat menjelaskan pengertian persamaan dan pertidaksamaan kuadrat, menjelaskan akar-akar persamaan kuadrat dan sifat-sifatnya, dan menyelesaikan persamaan dan pertidaksamaan kuadrat. Persamaan Kuadrat Persamaan kuadrat adalah persamaan di mana pangkat tertinggi dari variael (peuah) adalah dua. Bentuk umum adalah ax + x + c 0, a 0 dengan a,, c R Perhatikan jenis-jenis persamaan kuadrat erikut ini. x + 5x 0, dengan a, 5, dan c - (persamaan kuadrat iasa) x + 5x 0, dengan a, 5, dan c 0 (persamaan kuadrat tidak lengkap) x 6 0, dengan a, 0, dan c -6 (persamaan kuadrat murni) Mencari penyelesaian persamaan kuadrat erarti mencari nilai x sedemikian sehingga jika nilai disustitusikan akan memenuhi persamaan terseut. Penyelesaian persamaan kuadrat diseut juga akar-akar persamaan kuadrat. Beerapa cara yang dapat digunakan untuk menyelesaikan persamaan kuadrat, yaitu: dengan faktorisasi, melengkapkan kuadrat sempurna dan dengan rumus kuadrat (iasa dikenal dengan rumus ac). a. Faktorisasi Dengan menggunakan sifat perkalian pada ilangan riil, yaitu jika dua ilangan riil dikalikan hasilnya sama dengan nol. Dengan demikian, salah satu dari ilanganilangan terseut sama dengan nol atau kedua-duanya sama dengan nol. Jika p q 0 maka p 0 atau q 0 Contoh 6 Carilah akar-akar persamaan kuadrat erikut ini. a. x + x 8 0 c. x + 5x 0. x + x 0 d. 5x 0 Untuk menyelesaikan persamaan ax + x + c 0, terleih dahulu dicari dua ilangan memenuhi syarat seagai erikut. Hasil kalinya adalah sama dengan a c Hasil jumlahnya adalah sama dengan Misalkan dua ilangan yang memenuhi syarat terseut adalah α dan β, maka α β a c dan α + β Dengan demikian, entuk faktornya adalah (ax + α)(ax + β) 0 dengan memagi a pada ruas kiri dan kanan, maka akan didapat entuk asal atau mula-mula.

18 60 Matematika X SMK Kelompok: Penjualan dan Akuntansi a. x + x 8 0 Dari persamaan terseut didapat a,, dan c -8. Cari dua ilangan sehingga Hasil kalinya (-8) -8, Hasil penjumlahannya. Bilangan yang memenuhi syarat terseut adalah 4 dan -, sehingga x + x 8 0 (x + 4)(x ) 0 x atau x 0 x -4 x. x + x 0 Dari persamaan terseut didapat a,, dan c 0. Carilah dua ilangan sehingga, Hasil kalinya 0 0, Hasil penjumlahannya Bilangan yang memenuhi syarat terseut adalah 0 dan, sehingga x + x 0 (x + 0)(x + ) 0 Memagi dengan pada ruas kiri dan kanan didapat (x + 0)(x + ) 0 x atau x + 0 x 0 atau x - x Untuk mempersingkat dapat juga digunakan cara memfaktorkan langsung (persamaan dengan nilai c 0). x + x 0 x(x + ) 0 x { (x ) 0 x 0 atau x + 0 x - x c. x + 5x 0 Dari persamaan terseut didapat a, 5, dan c - Cari dua ilangan sehingga Hasil kalinya (-) -6, Hasil penjumlahannya 5 Bilangan yang memenuhi syarat terseut adalah - dan 6, sehingga x + 5x 0 (x )(x + 6) 0 Memagi dengan pada ruas kiri dan kanan didapat (x )(x + ) 0 x 0 atau x + 0 x atau x - x d. 5x 0 Untuk mempersingkat gunakan pemfaktoran cara langsung (persamaan dengan 0), yaitu ( 5x )( 5x + 7) 0 ( 5x ) 0 atau ( 5x + ) 0 5x x 5 atau 5x x 5. Melengkapkan Bentuk Kuadrat Sempurna Persamaan kuadrat ax + x + c 0, diuah menjadi entuk kuadrat dengan cara seagai erikut. Pastikan koefisien dari x adalah, ila tidak agilah dengan ilangan sedemikian sehingga koefisiennya adalah.

19 BAB II Persamaan dan Pertidaksamaan 6 Tamahkan ruas kiri dan kanan dengan setengah koefisien dari x kemudian kuadratkan. Buatlah ruas kiri menjadi entuk kuadrat, sedangkan ruas kanan dimanipulasi, sehingga menjadi entuk yang leih sederhana. Contoh 7 Dengan cara melengkapkan entuk kuadrat sempurna, carilah akar-akarnya. a. x 4x 5 0 c. x 4 0. x x 0 d. x + x 0 a. x 4x 5 0 x 4x 5 x 4x + ( 4) 5 + ( x 4x + (-) 5 + (-) ( x ) 9 x ± 9 x ± x + atau x x x 0 x x 4) x x + ( ) + ( ) ( x ) ( x ) x ± 4 x ± 4 x atau x c. x 4 0 Karena 0 maka menamahkan dengan setengah koefisien dikuadratkan pada kedua ruas tidak memerikan arti pada persamaan terseut. x 4 0 x 4 x ± 4 x ± x - atau x d. x + x 0 x + x + ( ) ( ) x + x + ( ) ( x + ) x + ± x + ± x atau x - 0 c. Rumus Kuadrat Dengan menggunakan aturan melengkapkan kuadrat sempurna yang telah dipelajari seelumnya, dapat dicari rumus untuk menyelesaikan persamaan kuadrat. ax + x + c 0, a 0 c x + x a a

20 6 Matematika X SMK Kelompok: Penjualan dan Akuntansi x x + + a a x + x + ( (x + x + x x x ( ) a a a ) a ) ± a a c a + c + a 4a - ± x 4ac 4a ± ±. ( ) a 4ac 4a 4ac 4a 4ac a 4ac a ± Bentuk di atas diseut rumus kuadrat. a 4ac Contoh 8 Tentukan penyelesaian persamaan erikut dengan menggunakan rumus di atas. a. x 6x x 0 a. Dari persamaan diperoleh a, -6, dan c 9 gunakan rumus kuadrat x. ± (-6) ± a 4ac (-6) ± x atau x Mempunyai dua akar sama. Dari persamaan diperoleh a, 0, dan c - gunakan rumus kuadrat x. ± a 4 a c 0 ± (0) 4 (-) 0 ± 4 ± x atau x Mempunyai dua akar real erlawanan. Pertidaksamaan Kuadrat Pertidaksamaan kuadrat adalah pertidaksamaan dengan pangkat tertinggi dari variael (peuah) adalah dua. Himpunan penyelesaian (HP) pertidaksamaan dapat dituliskan dalam entuk notasi himpunan atau dengan garis ilangan.

21 BAB II Persamaan dan Pertidaksamaan 6 Langkah-langkah untuk mencari himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat adalah seagai erikut. Nyatakan pertidaksamaan dalam entuk persamaan kuadrat (ruas kanan 0). Carilah akar-akar dari persamaan terseut. Buatlah garis ilangan yang memuat akar-akar terseut. Tentukan tanda (positif atau negatif) pada masing-masing interval dengan cara menguji tanda pada masing-masing interval terseut. Himpunan penyelesaian diperoleh dari interval yang memenuhi pertidaksamaan terseut. Contoh 9 Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan erikut ini. a. x x 8 > 0 Nyatakan dalam entuk persamaan. x x 8 0 Carilah akar-akarnya x x 8 0 (x 4)(x + ) 0 x 4 atau x - Buatlah garis ilangan yang memuat akar-akar terseut - 4 Garis ilangan teragi dalam tiga interval yaitu Interval kiri, tengah dan kanan. Tentukan tanda pada tiap intervalnya dengan cara mengamil salah satu ilangan yang terdapat pada masingmasing interval, kemudian ujilah tandanya x x Dari tael didapat - interval yang memuat - ertanda ( ) - interval yang memuat 0 ertanda (+) - interval yang memuat 5 ertanda( ) Karena pada soal tanda pertidaksamaan leih dari (>), maka untuk penyelesaian diamil interval yang ertanda positif (+), yaitu x < - atau x > 4 HP {x x < - atau x > 4, x R } Untuk mempersingkat penentuan tanda pada tiap interval dapat dilakukan dengan cara seagai erikut. Jika koefisien x ertanda positif, maka ruas kanan dari interval dieri tanda positif, ergerak ke kiri (tengah) ertanda negatif dan interval paling kiri kemali ertanda positif. Sealiknya jika koefisien x ertanda negatif, maka ruas kanan dari interval dieri tanda negatif, ergerak ke kiri (tengah) ertanda positif dan interval kiri kemali ertanda negatif.. 4 x 0 4 x 0 4 x 0 ( x)( + x) 0 x 0 atau + x 0 x atau x - Karena koefisien x ertanda ( ), maka interval kanan ertanda ( ) erganti ke kiri (+) kemudian ( ) lagi Karena pada soal tanda pertidaksamaan leih dari sama dengan ( ), maka untuk penyelesaian diamil interval yang ertanda (+). HP {x - x, x R } Contoh 0 Sisi miring seuah segitiga adalah 4 cm. Carilah panjang dari kedua sisi siku-sikunya apaila panjang sisi siku-siku yang pertama leih panjang 4 cm dari yang lain. -

22 64 Matematika X SMK Kelompok: Penjualan dan Akuntansi Amil x dan x + 4 seagai panjang sisi siku-sikunya, maka x + (x+4) 4 (Teorema Pythagoras) x + 4x (x + 0)(x 6) 0 x -0 atau x 6. Jadi, sisi siku-siku terseut adalah 6 dan Selesaikan persamaan kuadrat erikut dengan faktorisasi.. x 7x x + 7x + 0. x x + 0. x + 5x + 0. x 4 0. x + 5x x + x x x x + x x 6x x 4x x x x x + x 8. x + 4x x 0 9. x + x x x + 0. x + x x x 0 Selesaikan persamaan kuadrat erikut dengan melengkapkan kuadrat sempurna.. x x 0 0. x + x 0. 4x x x + 4x 5 0. x + 4x 0. x + 7x x + 4x x + 5x 0 5. x + x 4 5. x 6x x x 0 6. x 5x 0 7. x x + x x + x x 4x x + x x x 0 0. x x x + x + 0 Gunakan rumus kuadrat untuk menyelesaikan soal-soal di awah ini. 4. x 6x x + x 0 4. x 5x x x x 5x x x x + 7x x x 8x x x 0 5. Salah satu akar persaman kuadrat x x + c 0 adalah, tentukan nilai c dan akar yang lainnya. 5. Jika x memenuhi persamaan (k )x +(k )x k, tentukan k dan akar keduanya dari persamaan terseut. 5. Akar 4x 4x m m adalah 4, hitunglah nilai m.

23 BAB II Persamaan dan Pertidaksamaan Seuah kotak teruka akan diuat dari ahan seluas 60 cm. Tinggi kotak adalah cm dan sisi alas kotak erentuk persegi. Tentukan panjang sisi alasnya Susunlah sehingga erentuk persamaan kuadrat, kemudian carilah akar-akarnya pada soal nomor x 6 x x x + x x 5 4x x 58. x + 0 x + Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan di awah ini. 59. x + x < x + x > 7. x 6x 40 < x x 0 > x x x 7. x + x 6. x 8x x + 7x x + x x x > 68. x x 88 > x > x x + x + 6 > x 7x + 44 > x +x 5 < x + x < x > 5x x 0x + 5 > 0. Jenis-jenis Akar Persamaan Kuadrat Jika diperhatikan cara mencari penyelesaian persamaan kuadrat dengan menggunakan rumus, maka jenis-jenis akar-akar terseut akan ergantung pada nilai 4ac. Oleh karena itu, 4ac diseut diskriminan atau pemeda dan iasanya disingkat dengan D dimana D 4ac. Beerapa kemungkinan jenis-jenis akar persamaan kuadrat: a. jika D > 0 tetapi ukan kuadrat murni, maka persamaan kuadrat mempunyai dua akar riil yang ereda;. jika D 0, maka persamaan kuadrat mempunyai dua akar riil yang sama atau sering diseut mempunyai akar kemar; c. jika D < 0, maka persamaan kuadrat, tidak mempunyai akar riil (akar imajiner); d. jika D merupakan kuadrat murni, maka persamaan kuadrat mempunyai akar rasional yang erlainan. Contoh Selidiki jenis akar-akar persamaan kuadrat di awah ini tanpa mencari akarnya terleih dahulu. a. x + 4x x + x + 0 c. x x 0 a. Dari persamaan diperoleh a, 4, dan c 4 D 4ac Dua akar sama atau kemar.. Dari persamaan diperoleh a,, dan c D < 0 Tidak mempunyai akar riil (akar imajiner). c. Dari persamaan diperoleh a, -, dan c - D (-) 4 (-) > 0 D merupakan ilangan kuadrat murni. Persamaan mempunyai dua akar rasional yang ereda.

24 66 Matematika X SMK Kelompok: Penjualan dan Akuntansi Contoh Tentukan harga k agar persamaan kuadrat x + x + k 0 mempunyai akar kemar dan akar persamaan kuadratnya. Dari persamaan a,, dan c k Syarat agar akarnya kemar adalah D 0 D 4ac 4 k 4 4k 0-4k -4 k x + x + 0 (x + )(x + ) 0 x + 0 atau x + 0 x - x - 4. Rumus Jumlah dan Hasil Kali Akar-akar Persamaan Kuadrat Dari rumus kuadrat, diperoleh akar-akar persamaan kuadrat seagai erikut. 4ac + 4ac x atau x a a Jika kedua akar terseut dijumlahkan dan dikalikan maka hasilnya 4ac + x + x + a - - a - dan a 4ac + x x a a 4ac 4a c a ( 4a 4ac) Dengan demikian a 4ac 4ac x + x dan x x a Contoh Jika x dan x akar-akar dari persamaan x + x 0, tentukanlah a. x + x c. x + x. x x d. x x + xx c a

25 BAB II Persamaan dan Pertidaksamaan 67 Dari persamaan diperoleh a,, dan c -. a. x + x c. x + x (x + x ) xx (-) (-) 0 a c. x x d. x x + xx x x (x + x ) -(-) 6 a Contoh 4 Salah satu akar x + x + k 0 adalah dua kali akar yang lain. Hitunglah nilai k. Dari persamaan diperoleh a,, dan c k. Jika akar-akar terseut x dan x, maka x x (salah satu akarnya dua kali akar yang lain). Dengan rumus, maka jumlah akar-akarnya adalah x + x a x + x - x - x - sehingga x x ( ) - Dengan rumus, hasil kali akar-akarnya adalah c k x x k a -.(-) k k Contoh 5 Hitunglah nilai k agar persamaan x + k x + k 0 mempunyai akar-akar erikut. a. Berkealikan. Berlawanan a. Dari persamaan a, k, dan c k. Misalkan akar-akarnya adalah x dan x, maka akar-akar erkealikan x atau x x x c k x x a k k. Akar-akar erlawanan x - x x + x a k -x + x a k 0 k 0 D. Rangkuman Persamaan dan Pertidaksamaan Kuadrat. Persamaan kuadrat adalah persamaan di mana pangkat tertinggi dari variael (peuah) adalah dua. Bentuk umumnya adalah ax + x + c 0, a 0 dengan a,, c R

26 68 Matematika X SMK Kelompok: Penjualan dan Akuntansi. Cara yang dapat digunakan untuk menyelesaikan persamaan kuadrat, yaitu seagai erikut. a. Faktorisasi dengan menggunakan sifat, jika p q 0 maka p 0 atau q 0. Melengkapkan entuk kuadrat sempurna dengan cara seagai erikut. Pastikan koefisien dari x adalah, ila tidak agilah dengan ilangan sedemikian sehingga koefisiennya adalah. Tamahkan ruas kiri dan kanan dengan setengah koefisien dari x kemudian kuadratkan. Buatlah ruas kiri menjadi entuk kuadrat, sedangkan ruas kanan kita manipulasi sehingga menjadi entuk yang leih sederhana. c. Rumus Kuadrat, yaitu x. ± a 4ac. Pertidaksamaan kuadrat adalah pertidaksamaan dengan pangkat tertinggi dari variael (peuah) adalah dua. Langkah-langkah menentukan HP nya adalah seagai erikut. Nyatakan pertidaksamaan dalam entuk persamaan kuadrat dan cari akarnya. Buatlah garis ilangan yang memuat akar-akar terseut dan tentukan tanda (positif atau negatif) pada masing-masing interval dengan cara menguji tanda pada masing-masing interval terseut. HP diperoleh dari interval yang memenuhi pertidaksamaan terseut. 4. Diskriminan dari fungsi kuadrat adalah D dengan D 4ac. 5. Beerapa kemungkinan jenis-jenis akar persamaan kuadrat adalah seagai erikut. a. Jika D > 0 tetapi ukan kuadrat murni, maka persamaan kuadrat mempunyai dua akar riil yang ereda.. Jika D 0, maka persamaan kuadrat mempunyai dua akar riil yang sama atau sering diseut mempunyai akar kemar. c. Jika D<0, maka persamaan kuadrat tidak mempunyai akar riil (akar imajiner). d. Jika D merupakan kuadrat murni, maka persamaan kuadrat mempunyai akar rasional yang erlainan. 6. Jika x dan x akar-akar persamaan kuadrat, maka erlaku rumus erikut. c x + x dan x x a a. Selidikilah sifat-sifat akar persamaan kuadrat erikut ini. a. x x + 0 d. x x 0. x + 4x + 0 e. x 0 0 c. x + x + 0 f. x x Dengan menggunakan pada soal nomor, tentukanlah hasil jumlah dan hasil kali akar-akarnya.

27 BAB II Persamaan dan Pertidaksamaan 69. Jika x dan x adalah akar-akar persamaan x + 4x + 0, tentukanlah a. x + x d. x x + x x. x. x e. x x + x x c. x + x f. + x x Untuk persamaan pada soal nomor 4 6, tentukanlah a. x + x d. x x + x x. x. x e. (x x ) c. x x x + x f. + x x 4. x + x x x 0 6. x 0 E. Penerapan Persamaan dan Pertidaksamaan Kuadrat Setelah mempelajari materi pada kompetensi dasar ini, kalian diharapkan dapat menyusun persamaan kuadrat erdasarkan akar-akar yang diketahui, menyusun persamaan kuadrat erdasarkan akar-akar persamaan kuadrat lain, menyelesaikan masalah program keahlian yang erkaitan dengan persamaan dan pertidaksamaan kuadrat.. Menyusun Persamaan Kuadrat Jika x dan x akar-akar persamaan kuadrat, maka persamaan kuadratnya adalah seagai erikut Rumus perkalian faktor atau Rumus jumlah dan hasil kali akar-akar (x x )(x x ) 0 x (x + x )x + x x 0 Contoh 6 Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya seagai erikut. a. - dan 5 c. dan -. dan + d. - 5 dan a. Menggunakan rumus perkalian faktor Misalkan x - dan x 5 (x (-))(x 5) 0 (x + )(x 5) 0 x 5x + x 0 0 x x 0 0 Menggunakan rumus jumlah dan hasil kali akar Misalkan x - dan x 5 x + x dan x x 5-0 x (x + x )x + x. x 0 x ()x + (-0) 0 x x 0 0

28 70 Matematika X SMK Kelompok: Penjualan dan Akuntansi. x dan x + (gunakan rumus jumlah dan hasil kali) x + x ( ) +( + ) x x ( )( + ) - x (x + x )x + ( x x ) 0 x x + (-) 0, sehingga x x 0 c. x dan x - 6 x + x +(-) x x ( ) - x (x + x ) x + (x. x ) 0 x 4 4 ( ) x + ( ) 0, sehingga x + 4 x 4 0 d. x - dan x 5 x + x x x x (x + x ) x + (x. x ) 0 x x + ( ) 0, sehingga 0x x Menyusun Persamaan Kuadrat Berdasarkan Akar-akar Persamaan Kuadrat Lain Untuk menentukan persamaan kuadrat erdasarkan akar-akar persamaan kuadrat lain, perhatikan contoh-cotoh soal di awah ini. Contoh 7 Susunlah persamaan kuadrat yang akar-akarnya dua kali akar-akar persamaan kuadrat x x 0 0. Misalkan akar-akar persamaan x x 0 0 adalah x dan x, Dari persamaan diperoleh a, - dan c -0, sehingga c x + x x x a a dan 0 0 Misalkan akar-akar persamaan kuadrat aru yang akan dicari adalah α dan β yang akarnya dua kali akar-akar persamaan yang diketahui atau α x dan β x. α + β x + x dan α β x x 4 x x (x + x ) 4 4(-0) -40

29 BAB II Persamaan dan Pertidaksamaan 7 Persamaan kuadrat aru yang mempunyai akar-akar α dan β adalah x (α + β)x + α β 0 x (4)x + (-40) 0 x 4x 40 0 Contoh 8 Tentukan persamaan kuadrat aru yang akar-akarnya x + dan x + dari persamaan kuadrat x x 6 yang mempunyai akar-akar x dan x. x x 6 x x diperoleh a, - dan c 6 c x + x - x a x 6 a misal akar-akar persamaan kuadrat yang aru adalah α dan β, α x + dan β x +, maka α + β x + + x + x + α β ( x + ). ( x + ) x + 4 x x + x + x x x + ( x + x ) x (α + β) x + ( α β ) 0 x 7x Aplikasi Persamaan dan Pertidaksamaan Kuadrat Contoh 9 Seuah parik mainan menjual produknya seharga Rp6.000,00 per unit. Biaya pemuatan x unit produk didapat menurut persamaan B x x. Berapa unit produk harus diproduksi dan dijual agar mendapatkan laa Rp ,00? Laa Art and galery Gamar. Hasil produksi parik pemuatan mainan Pendapatan Biaya pemuatan Harga jual x jumlah yang diproduksi Biaya pemuatan

30 7 Matematika X SMK Kelompok: Penjualan dan Akuntansi x (x x) 0 x x (x.000)(x.000) x atau x x.000 atau x.000 Jadi, untuk mendapatkan laa Rp ,00 harus diproduksi dan terjual seanyak.000 unit atau.000 unit. Contoh 0 Pak Somad memiliki seidang tanah erentuk persegi dengan ukuran (x + 5) meter dan Pak Karta juga memiliki seidang tanah erentuk persegi panjang dengan ukuran panjang (0x 5) meter dan lear x meter. Luas tanah Pak Karta dua kalinya luas tanah pak Somad. Tentukan luas tanah Pak Somad dan Pak Karta. Luas tanah Pak Somad sisi x sisi (x + 5)(x + 5) 4x + 0x + 5 Luas tanah Pak Karta Panjang x lear (0x 5 ) x 0x 0x Luas tanah Pak Karta dua kalinya luas tanah Pak Somad 0x 0x (4x + 0x + 5) 0x 0x 8x + 40x + 50 x 50x x 5x 5 0 (6x + 5)(x 5) 0 6x atau x 5 0 x -, (tidak memenuhi) atau x 5 Jadi, luas tanah Pak Somad ( 5 + 5)( 5 + 5) 5 m luas tanah Pak Karta ( ) m F. Rangkuman Penerapan Persamaan dan Pertidaksamaan Kuadrat. Jika x dan x akar-akar persamaan kuadrat, maka persamaan kuadratnya adalah seagai erikut. Rumus perkalian faktor atau Rumus jumlah dan hasil kali akar-akar (x x )(x x ) 0 x (x + x )x + x x 0. Langkah-langkah menyusun persamaan kuadrat dari akar-akar persamaan kuadrat lain seagai erikut: a. Misalkan akar-akar persamaan yang diketahui adalah x dan x.. Tentukan nilai x + x dan x x c. Misalkan akar-akar persamaan kuadrat aru yang akan dicari adalah α dan β d. Tentukan nilai α + β dan α β e. Persamaan kuadrat aru yang diperoleh adalah : x (α + β)x + α β 0

31 BAB II Persamaan dan Pertidaksamaan 7. Susunlah persamaan kuadrat aru dengan menggunakan rumus perkalian faktor dan rumus jumlah dan hasil kali yang mempunyai akar-akar seagai erikut. a. dan - d. 0 dan 4 g. - dan 4. dan e. 5 dan h. dan 5 4 c. dan f. ± i. 4 + dan 4. Akar-akar x x + 0 adalah x dan x, susunlah persamaan kuadrat aru yang akar-akarnya adalah a. x + 5 dan x + 5 c. x dan x e. x + dan x +. x dan d. -x dan -x f. x + dan x + x. Susunlah persamaan kuadrat aru yang akar-akarnya kealikan dari akar-akar persamaan kuadrat x 4x Susunlah persamaan kuadrat aru yang akar-akarnya lima kali akar-akar persamaan kuadrat x + 5x Susunlah persamaan kuadrat aru yang akar-akarnya kuadrat dari akar-akar persamaan kuadrat x + x Seuah parik menjual produknya seharga Rp7.000,00 per unit. Biaya pemuatan x unit produk didapat menurut persamaan B x x. Berapa unit produk harus diproduksi dan dijual agar mendapatkan laa Rp ,00? 7. Pak Ali memiliki seidang tanah erentuk persegi panjang dengan ukuran panjang (0x + 50) meter dan lear 4x meter. Jika luas tanah Pak Ali 4 kali dari luas tanah Iu Selvi yang memiliki seidang tanah erentuk persegi dengan ukuran (4x + 0) meter. Tentukan ukuran tanah Pak Ali dan Iu Selvi. Gamar.4 Tanah Pak Ali

32 74 Matematika X SMK Kelompok: Penjualan dan Akuntansi 8. Biaya total untuk pemuatan x unit arang tertentu, diperoleh dari entuk C 0x 50x Berapa anyak unit dapat diuat untuk iaya total yang dikeluarkan seesar Rp75.000,00? A. Pilihan Ganda Pilihlah salah satu jawaan a,, c, d dan e yang enar.. Himpunan penyelesaian dari (x ) < 4(x + 6 ) adalah.... a. { x x < - 5 } c. { x x < - } e. { x x > 5 }. { x x > - 5 } d. { x x < 5 }. Himpunan penyelesaian dari (x ) < 6(x +) adalah.... a. { x x < } c. { x x < - } e. { x x > 5 }. { x x > - } d. { x x < - }. Salah satu akar dari x (k +)x + (k ) 0 ialah 5; maka nilai k adalah.... a. -5 c. 0,5 e.. - d. 4. Himpunan penyelesaian dari - < (x ) < adalah.... a. { x - < x < 5 } c. { x - < x < } e. { x < x < 5 }. { x < x < 5 } d. { x < x < 5 } 5. Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan (x ) (5 x) adalah.... a. {x x - atau x 7, x R } d. {x x - atau x - 7, x R }. {x x atau x - 7, x R } e. {x - 7 x, x R } c. {x - x 7, x R } 6. Himpunan penyelesaian dari x x > 90 adalah.... a. { x -9 < x < 0} d. { x -0 < x < 9}. { x x < -0 atau x > 9} e. { x x < 9 atau x > 0} c. { x x < -9 atau x > 0} 7. Jika diskriminan x x m 0 sama dengan nol, maka nilai m.... a. -4,00 c. 0 e ,5 d. 0,5 8. Salah satu akar persamaan kuadrat x + px + p + 0 adalah 6, maka nilai p adalah.... a. -5 c. 0 e.. - d.

33 BAB II Persamaan dan Pertidaksamaan Sepuluh tahun yang lalu umur Neni dua kali umur Bimim. Lima tahun dari sekarang umur Neni menjadi satu setengah kali umur Bimim. Umur Neni sekarang adalah.... a. 0 tahun c. 0 tahun e. 40 tahun. 5 tahun d. 5 tahun 0. Persamaan kuadrat yang akar-akarnya 5 dan 5 adalah.... a. 5x + 6x c. 5x 6x 5 0 e. 5x + 6x x + 6x 4 0 d. 5x 6x Persamaan kuadrat yang akar-akarnya 4 dan -6 adalah.... a. x 0x 4 0 c. x + x e. x + x 4 0. x + 0x d. x x Jika x dan x akar-akar dari x x 9 0, maka nilai dari x + x.... a. -,5 c.,5 e.,5. -6,75 d. 6,75. Jika x dan x akar-akar dari x + x 0, maka nilai dari x x a. -,0 c. 0,5 e.,50. -0,5 d. 0,67 4. Bentuk perkalian 8x + 8x 5 adalah.... a. (4x + 5)(x ) c. (4x )(x 5) e. (4x )(x + 5). (4x )(x 5) d. (4x 5)(x ) 5. Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan - x + x + 6 > 0 adalah.... a. {x x >, x R} c. {x x <, x R} e. {x < x < -, x R}. {x x <, x R} d. {x - < x <, x R} 6. Penyelesaian dari pertidaksamaan - < x + < 7 adalah.... a. - < x < 7 c. - < x < - e. - < x <. - < x < d. < x < 7. Persamaan (m + ) x + 6x + m 0 mempunyai akar riil, maka atas-atas nilai m adalah.... a. m < - atau m > c. m < - atau m > e. - < m <. - < m < d. - < m < - 8. Persamaan kuadrat x + 6x 0 mempunyai akar-akar x dan x. Nilai dari x + x adalah.... a. -4 c. - e d.

34 76 Matematika X SMK Kelompok: Penjualan dan Akuntansi 9. CV SEJAHTERA memproduksi mainan anak-anak dengan iaya Rp5.000,00 per unit dan iaya operasionalnya Rp ,00. Rencana mainan akan dijual seharga Rp9.000,00. Supaya CV mendapat untung Rp , maka anyaknya mainan yang harus terjual adalah.... a..500 unit c unit e unit..000 unit d unit 0. Persamaan kuadrat yang akar-akarnya leihnya dari akar-akar persamaan x 7x + 0 adalah.... a. x 9x c. x 7x e. x 9x x 5x d. x 7x Himpunan penyelesaian dari x +7x > 0 adalah.... a. {x - < x <} 0 0 c. { x - < x < } 0 e. { x - < x < } 0. {x x < - atau x> } 0 d. { x x< - atau x > }. Sifat dari akar-akar persamaan kuadrat x ( x + ) x 5 adalah.... a. Nyata dan ereda c. Nyata dan sama e. tidak nyata. Nyata dan irasional d. Nyata dan erlawanan. Jika x dan x adalah akar-akar dari persamaan kuadrat x x + 6 0, maka x + x.... a. -8 c. e d Sepotong kawat sepanjang x cm hendak dientuk persegi. Agar luasnya leih esar daripada kelilingnya, maka nilai x yang memenuhi adalah.... a. x > 4 c. x < 8 e. x < 6. x > 8 d. x > 6 5. Persamaan x + x + 6 k(x + ) tidak mempunyai akar riil. Nilai k yang memenuhi adalah.... a. k < - 5 atau k > c. -5 < k < e. - < k < 5. k < - atau k > 5 d. < k < 5 6. Agar kedua akar dari x + (m + ) x + m 0 khayal, maka atas-atas m adalah.... a. m < atau m > 5 c. < m < 5 e. m >. m < atau m > 5 d. < m < 5 4x x Nilai x dari 7 adalah.... a. - 9 c. - e d.

35 BAB II Persamaan dan Pertidaksamaan Himpunan penyelesaian dari (x ) < 5 5(x ) adalah.... a. { x x < - } c. { x x < 7 } e. { x x < }. { x x > -7 } d. { x x > 7 } 9. Nilai x dari sistem persamaan x 5y - 5 dan - x + y 7 adalah.... a. - 6 c. - e d. 0. Akar-akar persamaan kuadrat x + x 0 adalah p dan q. Persamaan kuadrat p q yang akar-akarnya dan adalah... q p a. x + x + 0 c. x x 0 e. x + x 0. x + x 0 d. x x + 0 B. Soal Essay Kerjakan soal-soal erikut dengan enar. Tentukan Himpunan penyelesaian dari persamaan erikut ini! a. -(4x ) 0(x ). (x + 7 ) 4 (x + 0). Tentukan persamaan kuadratnya yang memiliki akar-akar a. -5 dan d. 5 dan + 5. dan -7 e. 9 dan -9 c. - dan 4 5 f. dan 4. Tentukanlah nilai diskriminannya dan sifat-sifatnya dari persamaan kuadrat di awah ini. a. x 4x(x + ) x. 4x(x ) x 4. Tentukanlah persamaan kuadrat yang akar-akarnya 5 kali akar-akar x + 0x. 5. Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya 5 kurangnya dari akar-akar x x + 5? 6. Tentukanlah himpunan penyelesaiannya dari a. - x 7x + 44 > 0 d. x > 5x - 6. x +x 5 < 0 e. x 0x + 5 > 0 7. Diketahui (m ) x + (m )x + m 0. Tentukan nilai m a. agar mempunyai dua akar riil erlainan, dan. tidak mempunyai akar riil. Bakat kita akan diperoleh hanya dengan elajar dan ekerja dan nilai kita diperoleh hanya dengan tindakan-tindakan dan ukan dengan kata-kata

36 78 Matematika X SMK Kelompok: Penjualan dan Akuntansi Ruang Pengetahuan KEPUASAN KERJA Kepuasan kerja akhir-akhir ini semakin terasa penting artinya dalam lingkup organisasi. Kepuasan kerja mempunyai pengaruh yang cukup esar terhadap produktivitas organisasi aik secara langsung ataupun tidak langsung. Ketidakpuasan merupakan titik awal dari masalah-masalah yang muncul dalam organisasi, seperti kemangkiran, konflik manager-pekerja, turn-over, serta anyak masalah lainnya yang menyeakan terganggunya proses pencapaian tujuan organisasi. Dari sisi pekerja, ketidakpuasan dapat menyeakan menurunnya motivasi, menurunnya moril kerja, menurunnya tampilan kerja aik secara kualitatif maupun secara kuantitatif. Secara umum dapat dikemukan ahwa pemecahan masalah-masalah organisasi dari segi manusianya dapat dilakukan melalui prinsip-prinsip kepuasan kerja. Dengan adanya kepuasan kerja yang tinggi akan muncul ikatan yang positif antara pekerja dengan pekerjaannya, sehingga dari pekerja ini dapat diharapkan suatu hasil yang optimal. Dari hampir semua perusahaan yang mengalami kemajuan yang pesat ditandai dengan gejala kepuasan kerja yang tinggi di antara para pekerjanya. Pada dasarnya, prinsip-prinsip kepuasan kerja diarahkan kepada pemenuhan keutuhan-keutuhan pekerja. Milton menyatakan ahwa kepuasan kerja merupakan kondisi emosional positif atau menyenangkan yang dihasilkan dari penilaian pekerja erdasarkan pengalamannya (Milton, hal.5). Leih jauh lagi, Milton mangatakan reaksi efektif pekerja terhadap pekerjaannya tergantung kepada taraf pemenuhan keutuhan-keutuhan fisik dan psikologis pekerja terseut oleh pekerjaannya. Kesenjangan antara yang diterima pekerja dari pekerjaannya dengan yang diharapkannya menjadi dasar agi munculnya kepuasan atau ketidakpuasan. Beerapa ahli telah mencoa mengemukakan faktor-faktor yang terliat dalam kepuasan kerja. Herzerg, seperti yang dikutip oleh Gilmer (96), mengemukakan faktor-faktor kemapanan atau keamanan pekerjaan, kesempatan untuk maju, pandangan pekerja mengenai perusahaan dan manajemennya, gaji, aspekaspek intrinsik pekerjaan, kualitas penyeliaan, aspek-aspek sosial dari pekerjaan, komunikasi, serta kondisi kerja fisik dan jam kerja seagai faktorfaktor yang menentukan kepuasan kerja. Dari kenyataan-kenyataan di atas tampak ahwa faktor-faktor relasi sosial yang aik dan penghargaan terhadap prestasi kerja merupakan faktor-faktor yang sangat menetukan kepuasan kerja. Faktor gaji dan imalan lainnya walaupun masih dianggap penting, tidak memperoleh penekanan yang khusus. Dengan demikian, untuk meningkatkan kepuasan kerja kedua hal itu harus terpenuhi terleih dahulu. (USU digital lirary)