6. T H E M E T R I C S Y S T E M

Transkripsi

1 8 6. T H E M E T R I C S Y S T E M Dalam pidatonya di Congress tahun 181, John Quincy Adams, presiden ke-6 Ameri ka Serikat, mengatakan: masalah ukuran sudah menjadi keutuhan penting agi tiap orang. Ukuran turut mementu k perekono m i an dan menjadi perhatian tiap keluarga. Ukuran penting agi tiap jenis pekerjaan, untuk keamanan kepemili kan dan setiap transaksi perdaga n g a n. Pada awal jaman Baylonian (Iran dan Irak kuno) dan Egyptian (Mesir), dan tertulis di Kita Suci, telah ada pengukuran menggunakan hasta (forearm), jari (finger) dan perputaran matahari untuk waktu. Untuk mengukur daya tampung suatu wadah, mereka mengisikan ijiijian dan menem u kan volu me. Lama- kelamaan oot dan ukuran menjadi makin komplek. Sistem ukuran yang erlaku di US A erasal dari Inggris. Ukuran- ukuran ini erasal dari udaya yang sangat eragam, misalnya erupa satuan inch, foot, dan yard. Tahun 1790, the French Academ y of Sciences, atas permintaan pemerintah Perancis, menciptakan sistem erat dan ukuran yang sederhana namun scientific (ilmiah). Satuan volu me dan massa diturunkan dari satuan panjang. Kem udian diciptakan satuan esar dan kecil dengan menggunakan pangkat sepuluh. Penul isan satuan ukuran: Prefix (awalan dalam ahasa Greek (Yunani): Bilangan keli patan Prefix (awalan) Simol Misal Khusus untuk memori komputer 10 1 tera T 1 Tm 10 1 meter 1 T (10) yte 10 9 giga G Gg x 10 9 gram 1 G (10) 3 yte 10 6 mega M 5 M m 5 x 10 6 meter 1 M 10 x 10 yte 10 3 kilo k 7 kg 7 x 10 3 gram 1 k 10 yte 10 hecto h 8 hl 8 x 10 liter 10 1 deka dk atau da 6 dam 6 x 10 1 meter 10-1 deci d 10 db 10 deci Bell 10 x 10-1 Bell 10 - centi c 150 cm 150 x 10 - meter 10-3 milli m 17 ml 17 x 10-3 liter 10-6 micro µ 1. µg 1. x 10-6 gram (Yunani: miu ) 10-9 nano n 15 nm 15 x 10-9 meter 10-1 pico p 3 pm 3 x 10-1 meter femto f.5 fm.5 x meter atto a 1 am 1 x meter Konversi satuan ukuran: Konversi ke satuan lain Kealikann ya Panjang 1 in (inch).5 cm (centimeter) 1 cm 0.39 in 1 yd (yard) 0.91 m (meter) 1 m 1.09 yd 1 mi (mile) 1.61 km (kilo m e ter) 1 km 0.61 mi 1 ft (feet) m (meter) 1 m 3.8 ft Volume 1 qt (quart) 0.96 L (liter) 1 L qt 1 pt (pint) 0.5 qt (quart) 1 qt pt 1 gal (galon) L (liter) 1 L gal Massa 1 oz (ounce) 8 g (gram) 1 g oz 1 l (lea) 0.5 kg (kilogram) 1 kg. l Temperatur 1 0 F (Fahrenheit) (1 C) C (Celcius) (1 F 3) K (Kelvin) 1 0 C C (Celcius) 1K

2 9 7. A L J A B A R I Archimedes, Newton, dan Gauss, ketiganya satu kelas dalam kemampuan matematika. KARL FRIEDRICH GAUSS, yang diseut Pangeran Matematika, lahir di Brunswick, Jerman, tahun Ayahnya seorang uruh miskin tetapi jujur dan mau melakukan apa saja agar anaknya menjauh dari matematika. Hanya erkat kecelakaan saja Gauss menjadi ahli matematika. Kapasitas pikirannya yang luar iasa nampaknya diturunkan oleh keluarga iunya. Sepanjang hidupnya Gauss dikenal erkat kemampuannya yang luar iasa dalam matematika. Tak ada satu orangpun dalam sejarah matematika yang isa diandingkan dengannya. Pada usia elum 3 tahun, Gauss mampu melihat kesalahan ayahnya dalam menghitung pemayaran gaji mingguan, dan menjelaskan hasil yang enar dari penghitungan yang panjang dan rumit. Setelah dicek ternyata Gauss Pada usia 10 tahun, kejeniusan Gauss menarik perhatian ahli matematika yang masih muda ernama Bartels, yang kemudian mengajarkan pada Gauss dasar- dasar matematika sampai menarik perhatian Duke of Brunswick. Duke of Brunswick sangat tertarik dan menjadikannya murid yang dilindungi. Pada usia 15 tahun Gauss memasuki kuliah di Caroline College in Brunswick, lalu dalam waktu singkat melakukan penelitian tentang aritmatika tingkat tinggi yang menjadikannya seagai salah satu dari tiga esar ahli matematika dunia, setara dengan Archimedes dan Newton. Ketika lulus kuliah pada tahun 1795 pada usia 18 tahun, dia telah menemukan metode kuadrat terkecil. Dia kemudian memasuki University of Gottingen, dimana selama tiga tahun sangat produktiv dia menyelesaikan Penelitian Pertidaksamaan Aritmatika. Tahun 1798 dia masuk University of Helmstedt, dimana dia meraih Ph. D. dalam satu tahun. Thesis doktornya menjadi ukti pertama teori- teori dasar aljaar. Pada usia 1 / dia menyelesaikan prolem yang sangat terkenal. Tulisannya tentang Pertidak- samaan yang diteritkan tahun 1801, menjadi dasar agi teori ilangan, tapi ini hanya salah satu saja dari sumangan pemikirannya yang sangat anyak. Sepanjang hidupnya ( dia wafat pada 1855 di usia 78), dia memerikan sumangan pemikiran esar untuk idang astronomi, geodesi ( pengukuran umi), geometri, teori fisika ( khususnya elektromagnetisme), ilangan kompleks dan fungsi kompleks. Selain dikenal seagai peneliti teoritis, Gauss juga dikenal aik seagai penemu telegraph elektrik pada tahun CONTOH Misalkan x adalah ilangan- ilangan yang diwakili oleh {,, 6 }. Periksalah untuk x erapa pernyataan x 1 3 menghasilkan kesimpulan Untuk x, didapatkan 1 1, padahal seharusnya 3. Karena 1 3 maka pernyataan tidak Untuk x, didapatkan 1 3, memang seharusnya 3. Karena 3 3 maka pernyataan Untuk x 6, didapatkan 6 1 5, padahal seharusnya 3. Karena 5 3 maka pernyataan tidak Jadi pernyataan x 1 3 enar hanya untuk x. CONTOH Misalkan x adalah ilangan- ilangan yang diwakili oleh {,, 6 }. Periksalah untuk x erapa saja pernyataan x menghasilkan kesimpulan Untuk x, didapatkan 0, 0 memang, jadi pernyataan Untuk x, didapatkan, memang, jadi pernyataan itu juga Untuk x 6, didapatkan 6, adalah pernyataan tidak Jadi pernyataan x enar hanya untuk x dan untuk x.

3 30 CONTOH Misalkan x adalah ilangan- ilangan yang diwakili oleh {,, 6 }. Periksalah untuk x erapa saja pernyataan x 1 3 menghasilkan kesimpulan Untuk x, didapatkan 1 1, 1 ukan 3, maka pernyataan itu tidak Untuk x, didapatkan 1 3, 3 memang 3, maka pernyataan itu Untuk x 6, didapatkan 6 1 5, 5 memang 3, maka pernyataan itu juga Jadi pernyataan x 1 3 enar hanya untuk x dan untuk x 6. CONTOH Misalkan x adalah ilangan- ilangan yang diwakili oleh {,, 6 }. Periksalah untuk x erapa saja pernyataan x + 7 < 9 menghasilkan kesimpulan Untuk x, didapatkan + 7 9, karena 9 ukan < 9, maka pernyataan di atas tidak Untuk x, didapatkan , karena 11 ukan < 9, maka pernyataan di atas tidak Untuk x 6, didapatkan , karena 13 ukan < 9, maka pernyataan di atas tidak juga Jadi tak ada satupun dari x dalam {,, 6} yang isa mewakili sehingga pernyataan x + 7 < 9 Himpunan ilangan- ilangan yang memuat pernyataan teruka menjadi enar diseut himpunan jawaan. Dengan demikian himpunan jawaan untuk No sampai No. 60. adalah { }, {, }, {, 6} dan { } atau Ø. CONTOH Hasil penelitian menunjukkan ahwa huungan antara panjang tulang paha ( os femur, simol f ) dengan tinggi ( height, simol H ) adan wanita dalam satuan cm mengikuti rumus erikut H 1. 95f Seorang polisi menemukan tulang paha wanita sepanjang 0 cm. Jika wanita yang dilaporkan hilang tingginya 10 cm, dapatkah disimpulkan ahwa tulang tadi milik wanita yang dilaporkan hilang? Untuk f 0, didapatkan H 1. 95( 0) Karena maka sulit untuk disimpulkan ahwa tulang tadi milik wanita yang hilang. CONTOH Temukan himpunan jawaan agi pernyataan x + 7 < 9 jika x adalah ilangan ulat ( integer). Dalam kasus ini ilangan yang disepakati oleh mewakili x dalam x + 7 < 9 adalah ilangan ulat, yaitu {..., - 3, -, - 1, 0, 1,, 3,...}. Karena dan 8 < 9, maka nilai x teresar yang oleh mewakili x dalam x + 7 < 9 adalah 1. Oleh sea itu himpunan jawaannya adalah {..., - 3, -, - 1, 0, 1}, yaitu seluruh ilangan ulat yang kurang atau sama dengan 1.

4 31 SOAL Carilah himpunan ilangan ulat ( integer) yang isa mewakili x dalam persamaan / pertidak- samaan erikut: 1. x +. x + 3. x + 7. x 1 < 5 5. x - 7 < x 7. x 5 ½ 8. + x x + Untuk no. 9-1 Jika ilangan yang oleh mewakili x dalam persamaan/ pertidak- samaan erikut adalah ilangan Riil, carilah himpunan jawaannya: 9. x- 1> x + 1 < x + ½ 0 1. x ½ 0 CONTOH 5. 8 Carilah himpunan jawaan dari persamaan 3x x 8 x 16 x atau - Himpunan jawaannya {, - } Pola dasar persamaan kuadratik : ax + x + c 0 a 0 ± ac Rumus persamaan kuadratik s : x a CONTOH Carilah himpunan jawaan untuk persamaan x x 1 0 Untuk mencari nilai- nilai a,, dan c, kita tulis lagi persamaan dalam entuk s: 1 x + (- ) x + ( 1) 0 lalu diandingkan dengan a x + x + c 0 sehingga ditemukan ahwa a 1, -, dan c -1 ( ) ± ( ) (1)( 1) ± ± 6 ± 8 1 x atau (1) 6 atau -. Jadi himpunan jawaan agi persamaan terseut adalah { 6, - }.

5 3 CONTOH ditemukan ahwa : Carilah himpunan jawaan untuk persamaan 3x + x 5 0 Jika diandingkan dengan pola dasar ax + x + c 0 a 3, 1, c - 5 lalu dimasukkan ke dalam rumus x x 1 ± 1 (3)( 5) (3) 1 ± ± 6 61 ± a ac menjadi: maka himpunan jawaan {, } 6 6 Dalam MS- Excell, akar dinyatakan dengan SQRT( ilangannya), sementara memulatkan ke dua digit dinyatakan dengan ROUND( ilangannya, ) ROUND( SQRT( 61), ) menghasilkan ahwa 61 ( aca: mendekati sama dengan ) sedangkan ROUND(( )/ 6, ) menghasilkan 1. 1 sementara ROUND(( )/ 6, ) menghasilkan maka jika dipaksakan penyederhanaan himpunan jawaan menjadi: { 1. 1, 1. 7} dengan catatan ahwa seenarnya { 1. 1, } pada pemulatan dua digit. CONTOH Carilah himpunan jawaan untuk persamaan x x -1 Persamaan dimodifikasi dulu ke entuk standar x x lalu diandingkan dengan pola dasar ax + x + c 0 sehingga ditemukan ahwa : a, -, c 1 lalu dimasukkan ke dalam rumus x x ( ) ± ( ) () ± a ()(1) ac menjadi: ± 8 ± ± ( )( 1) Karena 1adalah ilangan complex, maka dimisalkan seagai i. 1 ± (1)( i) 1 ± i 1 + i Dengan demikian hasilnya jadi himpunan jawaannya { ± ()( 1) 1 i, }