TIM MATEMATIKA DASAR I

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Ukuran: px
Mulai penontonan dengan halaman:

Download "TIM MATEMATIKA DASAR I"

Transkripsi

1 MATEMATIKA DASAR I DIKTAT KULIAH DISUSUN OLEH TIM MATEMATIKA DASAR I FAKULTAS SAIN DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS JAMBI 2013

2 KATA PENGANTAR Mata kuliah Matematika Dasar merupakan mata kuliah dasar yang diwajibkan bagi mahasiswa tahun pertama di perguruan tinggi khususnya di Fakultas Sain dan Teknologi Universitas Jambi. Mata kuliah Matematika Dasar ini pada dasarnya sama dengan mata kuliah Kalkulus yang biasanya dipakai pada umumnya. Matakuliah Matematika Dasar ini terdiri dari Matematika Dasar I, Matematika Dasar II, dan Matematika Dasar Lanjut. Matematika Dasar I umumnya mempelajari tentang turunan suatu fungsi yang akan menjadi dasar ataupun pengantar bagi perkuliahan matematika dasar II dan Matematika Dasar Lanjut. Diktat ini dibuat untuk digunakan dalam perkuliahan Matematika Dasar I. Dari segi konsep isi perkuliahan Matematika Dasar I sudah baku, tidak begitu banyak mengalami perubahan. Hanya saja perbaikan dan revisi dalam penyajian yang mungkin harus terus dipertimbangkan demi baiknya pembelajaran mata kulian ini. Salah satu yang menjadi tujuan dalam penyusunan diktat ini adalah untuk membantu mengefektifkan pembelajaran dan menambah referensi mahasiswa. Di samping dengan pertimbangan penyeragaman pengajaran di Fakultas Sain dan teknologi, maka kami berupaya menyusun suatu bahan ajar atau diktat yang berjudul Matematika Dasar I sebagai acuan di lingkungan Fakultas Sain dan Teknologi dengan harapan eksistensi mutu dan hasil belajar dapat dicapai secara optimal. Penulis mengharapkan saran dan kritik guna penyempurnaan baik dari segi isi maupun bahasa dalam bahan ajar ini. Besar harapan penulis bahwa bahan ajar ini bisa bermanfaat. Jambi, September 2013 Tim Matematika Dasar I FST Universitas Jambi i

3 DAFTAR ISI KATA PENGANTAR I DAFTAR ISI II BAB 1 1 PENDAHULUAN SISTEM BILANGAN REAL PERTAKSAMAAN NILAI MUTLAK AKAR KUADRAT SISTEM KOORDINAT DAN GARIS LURUS Sistem Koordinat Persamaan Garis Lurus TEKNIK MENGGAMBAR GRAFIK SUATU PERSAMAAN GARIS LATIHAN SOAL 10 BAB 2 13 FUNGSI DAN LIMIT FUNGSI DAN GRAFIKNYA Definisi Fungsi dan Grafiknya Fungsi Genap dan Fungsi Ganjil Fungsi Nilai Mutlak dan Fungsi Bilangan Bulat Terbesar Beberapa Jenis Fungsi Lainnya di dalam Kalkulus OPERASI FUNGSI Operasi Jumlah, Selisih, Hasil Kali, Hasil Bagi, Pangkat Komposisi Fungsi Invers Fungsi Translasi Fungsi FUNGSI TRIGONOMETRI Definisi Fungsi Trigonometri Empat Fungsi Trigonometri Lainnya Kesamaan Trigonometri KONSEP LIMIT PENGKAJIAN MENDALAM TENTANG LIMIT Definisi Limit 25 ii

4 2.5.2 Definisi Limit Limit Sepihak TEOREMA LIMIT Teorema Limit Utama Teorema Penggantian Teorema Apit Limit Trigonometri KEKONTINUAN FUNGSI Kekontinuan di Satu Titik Kekontinuan Sepihak Kekontinuan pada Interval TEOREMA KEKONTINUAN FUNGSI Teorema A (Kekontinuan pada fungsi polynomial dan fungsi rasional) Teorema B (Kekontinuan pada fungsi nilai mutlak dan fungsi akar ke n) Teorema C (Kekontinuan pada operasi fungsi) Teorema D (Kekontinuan pada limit komposisi) Teorema E ( Teorema Nilai Antara) LATIHAN SOAL 30 BAB 3 33 TURUNAN KONSEP DASAR TURUNAN Permasalahan Garis Singgung Permasalahan Kecepatan Sesaat TURUNAN Definisi Turunan Beberapa Bentuk Setara Turunan Keterdiferensialan dan Kekontinuan Fungsi ATURAN TURUNAN ATURAN TURUNAN FUNGSI TRIGONOMETRI ATURAN RANTAI PENULISAN LEIBNIZ TURUNAN TINGKAT TINGGI PENDIFERENSIALAN IMPLISIT LAJU YANG BERKAITAN DIFERENSIAL DAN HAMPIRAN Turunan dan Diferensial 43 iii

5 Hampiran Penaksiran Galat (Error) SOAL LATIHAN 45 BAB 4 48 APLIKASI TURUNAN MAKSIMUM DAN MINIMUM KEMONOTONAN FUNGSI DAN TITIK EKSTRIM Kemonotonan Fungsi Titik Ekstrim Uji Turunan untuk Kemonotonan dan Titik Ekstrim KECEKUNGAN FUNGSI DAN TITIK BELOK Kecekungan Fungsi Titik Belok Uji Turunan untuk Kecekungan dan Titik Belok BEBERAPA MASALAH MAKSIMUM DAN MINIMUM LIMIT DI TAK HINGGA DAN LIMIT TAK HINGGA Limit Tak Hingga Limit di Tak Hingga Limit Tak Hingga di Tak Hingga MENGGAMBAR GRAFIK CANGGIH Asimtot TEOREMA NILAI RATA RATA LATIHAN SOAL 62 DAFTAR PUSTAKA 65 iv

6 BAB 1 PENDAHULUAN 1.1 Sistem Bilangan Real Kalkulus sangat bergantung pada sistem bilangan real dan sifat sifat yang terkandung di dalamnya. Untuk memahami sistem bilangan real, kita akan memulai dengan beberapa sistem bilangan yang sederhana. Himpunan bilangan asli, 1,2,3,4,5,.... Di dalam himpunan bilangan asli terdapat himpunan bilangan genap 2 dan himpunan bilangan ganjil 2 1. Selain itu terdapat pula himpunan bilangan prima dan komposit. Gabungan antara himpunan bilangan asli, nol, dan himpunan negatif bilangan asli disebut sebagai himpunan bilangan bulat,..., 3, 2, 1,0,1,2,3,.... Himpunan bilangan rasional didefinisikan dengan,, 0. Karena 1 0, maka,. Bilangan yang tidak bisa dituliskan dalam bentuk dengan, dikategorikan dalam himpunan bilangan irasional. Gabungan himpunan bilangan rasional dan bilangan irasional disebut sebagai himpunan bilangan real,. Contoh 1.1: 1., 2, dan π adalah bilangan irasional, sedangkan, 2, π. 2. Buktikan bahwa jika k genap, maka k genap. Bukti: Kontraposisi dari pernyataan tersebut adalah jika bukan merupakan bilangan genap, maka bukan bilangan genap. Hal ini sama artinya dengan mengatakan bahwa jika ganjil, maka ganjil. Kita akan membuktikan kontraposisinya. Misalkan 2 1, maka Terlihat bahwa jika bilangan ganjil, maka adalah bilangan ganjil. Dengan demikian terbukti bahwa jika genap, maka genap.

7 Contoh 1.2: Sistem bilangan real bisa diperluas menjadi sistem bilangan kompleks, yaitu bilangan yang berbentuk a bi, dengan a, b, dan i Pertaksamaan Menyelesaikan suatu persamaan seperti atau adalah suatu hal yang mudah. Namun, dalam kalkulus kita akan lebih sering menemui permasalah menyelesaikan suatu pertaksamaan. Berikut ini akan dibahas mengenai beberapa hal yang terkait dengan penyelesaian suatu pertaksamaan. Perhatikan suatu pertaksamaan. Pertaksamaan tersebut dapat dibagi menjadi dua, yaitu dan yang keduanya menyatakan suatu selang buka yang memuat semua bilangan antara dan namun tidak memuat dan. Dalam hal ini, selang buka dinotasikan sebagai,. Berbeda dengan, pertaksamaan ini menyatakan suatu selang tutup yang memuat semua bilangan dari dan. Pertaksamaan ini dinotasikan dengan,. Terdapat pula selang setengah buka dan yang masing masing dinotasikan oleh, dan,. Notasi selang lainnya dapat dilihat pada Tabel 1. Tabel 1. Notasi selang Bab 1 Pendahuluan 2

8 Menyelesaikan suatu Pertaksamaan Sebagaimana menyelesaikan masalah persamaan, prosedur penyelesaian suatu pertidaksamaan juga memuat suatu transformasi sehingga diperoleh suatu himpunan penyelesaian. Kita bisa mengenakan suatu operasi yang tidak mempengaruhi solusinya, antara lain: 1. Menambahkan suatu bilangan yang sama pada kedua sisi pertaksamaan. 2. Mengalikan kedua sisi pertaksamaan dengan bilangan positif yang sama. 3. Mengalikan kedua sisi pertaksamaan dengan bilangan negatif yang sama, tetapi kita harus membalik arahnya. Contoh 1.3: 1. Selesaikan pertaksamaan dan tunjukkan grafik himpunan penyelesaiannya (menambahkan 2) 10 (menambahkan 6x) 10 (mengalikan 1) Himpunan penyelesaian,, 10 dengan grafik yang ditunjukkan pada Gambar 1.1 a. 2. Selesaikan pertaksamaan dan tunjukkan grafik himpunan penyelesaiannya (menambahkan 8) (mengalikan ) H Himpunan penyelesaian,, dengan grafik yang ditunjukkan pada Gambar 1.1b. Gambar 1.1 Notasi selang sebagai himpunan penyelesaian Bab 1 Pendahuluan 3

9 1.3 Nilai Mutlak Konsep nilai mutlak sangatlah berguna dalam kalkulus. Nilai mutlak dari suatu bilangan, dinotasikan dengan, dan didefinisikan sebagai berikut 0; 0. Berikut adalah sifat sifat nilai mutlak: Ketaksamaan segitiga dan Sifat sifat pertaksamaan yang memuat nilai mutlak: atau Sifat sifat ini berlaku juga untuk tanda pertaksamaan lebih kecil dari atau sama dengan () dan lebih besar dari atau sama dengan (). Contoh 1.4: 1. Tentukan himpunan penyelesaian dari Himpunan penyelesaian,5. 2. Tentukan himpunan penyelesaian dari 8x Bab 1 Pendahuluan 4

10 atau Himpunan penyelesaian:,, 1.4 Akar Kuadrat dari persamaan kuadrat 0 diberikan oleh: 4 2 dengan 4 disebut sebagai diskriminan dari persamaan kuadrat. Suatu persamaan 0 memiliki dua solusi real jika 0, satu solusi real jika 0, dan tidak memiliki solusi real jika 0. Dengan formula kuadrat itu, kita bisa menentukan solusi persamaan kuadrat dengan mudah tanpa harus memfaktorkan atau melengkapkan kuadrat sempurna. Contoh 1.5: Dua buah solusi dari adalah dan Sistem Koordinat dan Garis Lurus Sistem Koordinat Pada suatu bidang datar, kita bisa membuat dua buah garis, yaitu garis horizontal dan garis vertikal yang berpotongan saling tegak lurus. Titik potong dari kedua garis tersebut dinamakan titik asal dan diberi label. Garis horizontal disebut sumbu, Bab 1 Pendahuluan 5

11 sedangkan garis vertikal disebut sumbu. Bagian positif dari sumbu berada di sebelah kanan titik asal, sedangkan bagian positif dari sumbu berada di sebelah atas titik asal. Sumbu koordinat tersebut membagi bidang datar menjadi empat daerah yang disebut kuadran, yaitu kuadaran,,, dan. Lihat Gambar 1.2. Gambar 1.2 Koordinat kartesius Rumus Jarak Pada koordinat kartesius, misalkan titik, dan adalah jarak dari titik asal ke titik. Panjang adalah atau. Persamaan di atas sering kita sebut sebagai rumus Phytagoras. Misalkan pada suatu bidang koordinat terdapat dua titik,, dan,. Jarak antara titik dan adalah, Persamaan di atas disebut rumus jarak antara dua titik. Bab 1 Pendahuluan 6

12 Lingkaran adalah himpunan titik yang berada pada suatu jarak yang tetap terhadap suatu titik pusat. Jarak tetap tersebut dinamakan jari jari(radius). Suatu lingkaran dengan jari jari dan titik pusat, dapat dituliskan dalam sebuah persamaan lingkaran Contoh 1.6: Tunjukkan bahwa merupakan suatu lingkaran. Tentukan pula titik pusat dan jari jarinya. Dengan melengkapkan kuadrat sempurna, kita peroleh Dengan demikian, lingkaran berpusat di titik 1, 3 dengan radius 2. Rumus Titik Tengah Titik tengah dari suatu garis yang menghubungkan, dan, adalah 2, Persamaan Garis Lurus Perhatikan Gambar 1.3. Dari titik, ke titik,, terdapat rise (perubahan arah vertikal) sebesar dan run (perubahan arah horizontal) sebesar. Kita katakan garis memiliki kemiringan sebesar dengan syarat. Kemiringan ini disebut gradien dan dinotasikan dengan yaitu Lebih jauh, persamaan garis antara dua titik, dan, adalah Bab 1 Pendahuluan 7

13 Gambar 1.3 Kemiringan garis Apabila kita telah memperoleh titik potong suatu garis terhadap sumbu pada titik 0,, persamaan garis dapat pula dituliskan sebagai 0 atau Misalkan adalah suatu konstanta. Persamaan garis yang sejajar dengan sumbu dan memotong titik di sumbu y adalah dan memiliki kemiringan. Persamaan garis yang sejajar dengan sumbu dan memotong titik di sumbu adalah dengan kemiringan yang tak terdefinisi. Persamaan garis dapat pula berbentuk 0 dengan dan keduanya tidak bernilai 0. Misalkan dan adalah dua buah garis dengan kemiringan masingmasing dan. Apabila dan sejajar, maka keduanya memiliki kemiringan yang sama, yaitu. Apabila tegak lurus terhadap, maka berlaku. Contoh 1.7: Dapatkan persamaan garis yang melalui titik potong dari dua buah garis dan yang tegak lurus terhadap garis Dengan menggunakan teknik eliminasi dan substitusi, titik potong dari dan adalah 2,. Kemiringan garis adalah. Karena persamaan garis yang kita cari tegak lurus terhadap , maka kemiringannya adalah. Bab 1 Pendahuluan 8

14 Dengan demikian, persamaan garis tersebut memenuhi: Teknik Menggambar Grafik suatu Persamaan Garis Untuk menggambar suatu persamaan garis dengan menggunakan tangan, ikuti langkah langkah berikut: 1. Dapatkan koordinat dari beberapa titik yang memenuhi persamaan garis yang diberikan; 2. Plot titik titik tersebut dalam suatu bidang; 3. Hubungkan titik titik tersebut dengan kurva yang halus. Contoh 1.8: Gambarkan kurva dari 3. Ketiga langkah di atas ditunjukkan pada Gambar 1.4. Gambar 1.4. Plot Grafik Bab 1 Pendahuluan 9

15 Sifat Simetri pada Suatu Grafik Perhatikan sebarang grafik dengan, adalah koordinat yang terdapat pada grafik tersebut. 1. Suatu grafik simetri terhadap sumbu jika disubstitusikan oleh, maka akan diperoleh persamaan garis yang sama. Contoh,. 2. Suatu grafik simetri terhadap sumbu jika disubstitusikan oleh, maka akan diperoleh persamaan garis yang sama. Contoh,. 3. Suatu grafik simetri terhadap titik asal jika disubstitusikan oleh dan disubstitusikan oleh, maka akan diperoleh persamaan garis yang sama. Contoh,. Contoh 1.9: Periksa, apakah 3 7 simetri terhadap titik asal, sumbu, atau sumbu. Dengan mensubstitusikan ke dan ke pada persamaan 3 7, kita peroleh bahwa 3 7 tidak simetri terhadap titik asal, sumbu, maupun sumbu. 1.7 Latihan Soal A. Sistem Bilangan Real 1. Tuliskan dalam bentuk yang paling sederhana: a ; b ; c 2 ; d ; e 5 3 ; f 2x 4x 1; g 3t t1 ; h ; i j ; Bab 1 Pendahuluan 10

16 2. Periksa apakah pernyataan berikut ini benar. "Untuk setiap x, x x1." 3. Buktikan pernyataan berikut: Jika n ganjil, maka n ganjil. (Buktikan dengan kontraposisi) B. Pertaksamaan dan Nilai Mutlak 1. Dapatkan solusi dari pertaksamaan berikut dalam notasi selang. a) 7x 2 9x 3; b) 3 4x 9 11; c) 0; d) 2x 3x 1 x Manakah pernyataan berikut yang benar jika a b. a a ab; b a a b; c a3 b3; d a b 3. Selesaikan pertaksamaan berikut a x ; b 2x 1 \geq x 1 ; c 2 2x 3 10 ; d 3x Gunakan sifat sifat nilai mutlak untuk menunjukkan bahwa setiap pernyataan berikut ini benar. a a b a b ; b) a b a b ; c) a bc a b c 5. Tunjukkan bahwa x 2 x 2x7 x 1 C. Akar Kuadrat dan Sistem Koordinat 1. Hitunglah jarak dari a 3,1, 1,1; b 4,5, 5, 8; c 3,5, 2, 2; d 1,5, 6,3 Bab 1 Pendahuluan 11

17 2. Hitunglah jarak antara 2,3 dengan titik tengah suatu garis yang menghubungkan 2, 2 dan 4,3. 3. Dapatkan titik pusat dari jari jari lingkaran dari: a x 2x10y 6y100; b 4x 16x 15 4y 6y0 4. Tuliskan persamaan garis yang melalui 3, 3 yang a sejajar terhadap garis y 3x 6; b tegak lurus terhadap garis 4y 2x 5; c tegak lurus terhadap garis yang menghubungkan 1,2 dan 3, 1; d sejajar terhadap garis x 8; e tegak lurus terhadap garis x 8 5. Dapatkan nilai c pada garis 3x cy 5 yang a melalui titik 3,1; b sejajar terhadap sumbu y; c sejajar terhadap garis 2x y 1; d memiliki titik potong yang sama pada sumbu x dan sumbu y; e tegak lurus terhadap garis y 2 3x 3 6. Dapatkan nilai k sedemikian sehingga kx 3y 10 a sejajar terhadap garis y 2x 4; b tegak lurus terhadap y 2x 4 D. Menggambar Grafik 1. Plot grafik dari setiap persamaan berikut. Mulailah dengan memeriksa sifat sifat simetrinya a yx 1 b yx 2x c x y 4 d x 9y2 36 e 2x 4x3y 12y 2 Bab 1 Pendahuluan 12

18 BAB 2 FUNGSI DAN LIMIT 2.1 Fungsi dan Grafiknya Subbab 2.1 menjelaskan beberapa hal berkenaan dengan fungsi, antara lain: definisi fungsi dan grafiknya, serta beberapa jenis fungsi yang umum digunakan dalam kalkulus Definisi Fungsi dan Grafiknya Sebuah fungsi f didefinisikan sebagai suatu aturan padanan yang menghubungkan tiap obyek x dalam suatu himpunan, yang disebut daerah asal, dengan sebuah nilai unik f(x) dari himpunan kedua yang disebut daerah nilai. Contoh 2.1: Tabel 2.1 Nilai Fungsi x Gambar 2.1 Deskripsi Fungsi Dari gambar 2.1 dan tabel 2.1 dapat dilihat bahwa fungsi memadankan setiap elemen x di A dengan suatu elemen y di B. Sebagai contoh, fungsi memadankan elemen x = 2 di A dengan elemen y = 4 di B; elemen x = 1 di A dengan elemen y = 1 di B; dst.

19 Daerah Asal (Daerah Definisi/ Wilayah/ Domain) Daerah asal adalah himpunan semua bilangan Riil yang menyebabkan aturan fungsi berlaku/ terdefinisi. Pada contoh 2.1, daerah asal dari f(x), yang dinotasikan dengan adalah himpunan bilangan { 2, 1,0,1,2}. Jika himpunan daerah asal tidak dirinci, maka kita akan selalu menganggap bahwa himpunan daerah asalnya adalah himpunan semua bilangan Riil sedemikian sehingga aturan fungsi memberikan makna/ terdefinisi. Ini disebut daerah asal alamiah. Pada contoh 2.1, daerah asal alamiahnya adalah {R}. Daerah Hasil (Daerah Nilai/ Jelajah/ Range) Daerah hasil adalah himpunan nilai nilai yang diperoleh yang merupakan padanan semua elemen dari daerah asal. Pada contoh 2.1 untuk daerah asal { 2, 1,0,1,2}, maka daerah nilai ( ) adalah himpunan bilangan {0,1,4}. Contoh 2.2: Tentukan daerah asal alamiah, daerah hasil dan gambarkan grafik dari fungsi a 9 b a) Fungsi 9 akan terdefinisi bila nilai 9 0. Hal ini akan tercapai bila 3, sehingga daerah asal alamiahnya adalah [ 3,3]. Grafik fungsi ditunjukkan oleh gambar berikut. Dari grafik dapat diketahui bahwa daerah nilai adalah pada selang [0,3]. Bab 2 Fungsi dan Limit 14

20 b) Fungsi akan terdefinisi bila nilai 1 0, artinya 1. Dengan demikian daerah asal alamiahnya adalah (,1) (1, ). Grafik fungsi ditunjukkan oleh gambar berikut. Dari grafik dapat diketahui bahwa daerah nilai adalah pada selang, Fungsi Genap dan Fungsi Ganjil Fungsi genap dan fungsi ganjil didefinisikan sebagai berikut: 1. Fungsi f dikatakan fungsi genap bila memenuhi f a fa. Grafik fungsi genap simetri terhadap sumbu y. 2. Fungsi f dikatakan fungsi ganjil bila memenuhi f a fa. Grafik fungsi ganjil simetri terhadap titik asal koordinat. f( a) y = f(x) f(a) a y = f(x) a f(a) a a f( a) (a)fungsi Genap (b)fungsi Ganjil Gambar 2.2 Grafik fungsi genap dan fungsi ganjil Bab 2 Fungsi dan Limit 15

21 Contoh 2.3: Tentukan apakah fungsi berikut termasuk fungsi genap, ganjil atau bukan keduanya: a 2; b ; c 21! a) 2 (fungsi genap) Bukti: 2 2 b) (fungsi ganjil) Bukti: 2 x x 2 x c) 2 1 (bukan keduanya) Bukti: 2x 1 2x Fungsi Nilai Mutlak dan Fungsi Bilangan Bulat Terbesar Fungsi Nilai Mutlak dan Fungsi Bilangan Bulat Terbesar didefinisikan sebagai berikut: 1. Fungsi Nilai Mutlak didefinisikan sebagai: 0 0 Bab 2 Fungsi dan Limit 16

22 2. Fungsi Bilangan Bulat Terbesar adalah bilangan bulat terbesar yang lebih kecil atau sama dengan x. Contoh 2.4: Fungsi nilai mutlak dan fungsi bilangan bulat terbesar, termasuk ke dalam fungsi genap, ganjil, atau bukan keduanya? Gambarkan grafiknya! Fungsi nilai mutlak adalah fungsi genap Fungsi bilangan bulat terbesar adalah bukan merupakan fungsi genap atau ganjil Beberapa Jenis Fungsi Lainnya di dalam Kalkulus Beberapa jenis fungsi lainnya yang dikenal di dalam kalkulus antara lain: 1. Fungsi Konstanta 2. Fungsi Identitas 3. Fungsi Polinom 4. Fungsi Linear (fungsi derajat satu) Bab 2 Fungsi dan Limit 17

23 5. Fungsi Kuadat (fungsi derajat dua) 6. Fungsi Rasional 7. Fungsi Aljabar Eksplisit 8. Fungsi Trigonometri 9. Fungsi Balikan Trigonometri 10. Fungsi Eksponen 11. Fungsi Logaritma 2.2 Operasi Fungsi Beberapa operasi fungsi yang dibahas pada subbab ini antara lain: operasi aritmatika fungsi (Jumlah, Selisih, Hasil Kali, Hasil Bagi, Pangkat), komposisi fungsi, invers fungsi, dan translasi fungsi Operasi Jumlah, Selisih, Hasil Kali, Hasil Bagi, Pangkat Misalkan f(x) dan g(x) adalah fungsi fungsi real dengan daerah asal Df dan Dg, maka berlaku aturan operasi fungsi seperti pada Tabel 2.2 Tabel 2.2 Operasi aritmatika fungsi Rumus Operasi Fungsi.. Daerah Asal 0 Contoh 2.5: Andaikan 1dan 9, dengan daerah asal alamiah D f 1, dan Dg 3,3. Cari rumus fg, f g, f.g, f/g, f 5, dan tentukan daerah asal almiahnya! Bab 2 Fungsi dan Limit 18

24 2.2.2 Komposisi Fungsi Andaikan dan 3, maka dapat dibentuk suatu fungsi baru dari kedua fungsi tersebut yang dinamakan fungsi komposisi, yaitu: Perhatikan kedua fungsi komposis di atas. Terlihat bahwa susunan komposisi fungsi tidak komutatif karena. Contoh 2.6: Tentukan daerah asal untuk kedua fungsi komposisi di atas! a) akan terdefinisi jika 3 0 dan 3 0. Dengan demikian daerah asal alamiahnya adalah :3:0, yaitu 0:3. Dalam bentuk selang, daerah asal alamiah adalah [0,3)(3, ). b) 3 akan terdefinisi jika: 1) 90 daerah asal alamiah = : 3 atau, 3 3,3 3, 2) 0 o Pada selang, 3, 0 karena menghasilkan nilai negatif, sehingga tidak terdefinisi pada selang, 3 Bab 2 Fungsi dan Limit 19

25 o Selang 3,3dipecah menjadi 3,0 0,3. Pada selang 3,0, 0 karena menghasilkan nilai positif, sehingga terdefinisi pada selang,. Pada selang 0,3, 0 karena menghasilkan nilai negatif, sehingga tidak terdefinisi pada selang 0,3 o Pada selang 3,, 0 karena menghasilkan nilai positif, sehingga terdefinisi pada selang 3,,. Dengan demikian mempunyai daerah asal alamiah pada selang,,, atau Invers Fungsi Jika f(x) adalah sebuah fungsi, maka f 1 (x) adalah fungsi invers dari f(x) yang memenuhi:. Contoh 2.7: Jika, buktikan bahwa! (subsitusikan x = pada ) (kurangkan ruas kanan dan ruas kiri dengan b) Translasi Fungsi Misalkan sebuah fungsi awal f(x) ditranslasi menjadi f(x+h). Jika h>0, maka grafik fungsi akan bergeser ke kiri sebesar h satuan. Sebaliknya jika h<0, maka grafik fungsi akan bergeser ke kanan sebesar h satuan. Misalkan sebuah fungsi awal f(x) ditranslasi menjadi f(x)+k. Jika k>0, maka grafik fungsi akan bergeser ke atas sebesar h satuan.sebaliknya jika k<0, maka grafik fungsi akan bergeser ke bawah sebesar k satuan. Bab 2 Fungsi dan Limit 20

26 Contoh 2.8: Jika fx x, sketsa grafik fx3, fx 3,fx2,fx 2, dan fx 32! 2.3 Fungsi Trigonometri Subbab 2.3 membahas tentang fungsi trigonometri dan beberapa kesamaan fungsi trigonometri Definisi Fungsi Trigonometri Andaikan lingkaran C pada gambar 2.3 adalah lingkaran satuan, yaitu lingkaran dengan jari jari, r = 1 dan berpusat di titik asal. t positif adalah sudut yang dihitung berdasarkan arah yang berlawanan dengan jarum jam dengan satuan radian (2π rad = 360. Andaikan posisi titik P memiliki sudut t, maka: sin cos Bab 2 Fungsi dan Limit 21

27 r = 1 x P(x,y) t y A(1,0) Gambar 2.3 Ilustrasi fungsi trigonometri (Ingat kembali nilai nilai sudut istimewa pada fungsi trigonometri!) Empat Fungsi Trigonometri Lainnya tan sin cos sec 1 cos cot cos sin csc 1 sin Kesamaan Trigonometri Kesamaan ganjil genap sin sin cos cos tan tan Kesamaan fungsi ko sin cos cos sin tan cot Kesamaan Pythagoras sin cos 1 1 cot csc 1 tan sec Kesamaan Penambahan sinx y sinxcosycosxsiny cosx y cos x cos y sin x sin y tanx y Bab 2 Fungsi dan Limit 22

28 Kesamaan Sudut Ganda sin 2x 2 sin x cos x cos 2x cos xsin x2cos x112sin x Kesamaan Jumlah sinxsiny 2sin cos cos x cos y 2 cos cos sin x Kesamaan Setengah Sudut cos x Kesamaan Hasil Kali sin x sin y 1 cosx y cosx y 2 cos x cos y 1 2 cosxycosxy sin x cos y 1 2 sinxysinxy 2.4 Konsep Limit Misalkan I = (a,b) adalah suatu interval terbuka di R dan c R sehingga limit fungsi f di titik c mempunyai arti bahwa fungsi f(x) terdefinisi di semua titik pada I/{c} dan di c boleh terdefinisi dan boleh juga tidak. Konsep limit digunakan untuk menentukan nilai f(x) pada x mendekati c, tetapi bukan di c. Jika dikatakan, berarti bahwa bila x mendekati c tetapi bukan di c, maka f(x) dekat ke L. Limit Kanan lim berarti bahwa bila x dekat tetapi pada sebelah kanan c, maka f(x) adalah dekat ke L. Limit Kiri lim berarti bahwa bila x dekat tetapi pada sebelah kiri c, maka f(x) adalah dekat ke L. Bab 2 Fungsi dan Limit 23

29 Teorema Limit fungsi mendekati suatu titik dikatakan ada jika nilai limit kiri sama dengan nilai limit kanan, yaitu: lim jika lim dan lim Contoh 2.9: Pada keempat grafik berikut, andaikan fx terdefinisi di semua titik pada interval I, kecuali mungkin di c. Tentukan apakah fx terdefinisi pada xc? Tentukan pula limit fx bila x mendekati c! (a) (b) f(x) f(x) L L a c b a c b (c) (d) f(x) f(x) L M L M a c b a c b a) f(c) = L, limit x mendekati c = L b) f(c) = tidak terdefinisi, limit x mendekati c = L c) f(c) = L, limit kiri x mendekati c = M, limit kanan x mendekati c=l d) f(c) = M, limit kiri x mendekati c = M, limit kanan x mendekati c=l Bab 2 Fungsi dan Limit 24

30 2.5 Pengkajian Mendalam tentang Limit Definisi Limit lim berarti bahwa untuk tiap 0 yang diberikan (betapapun kecilnya), terdapat 0 yang berpadanan sedemikian sehingga asalkan bahwa 0 ; yakni: 0 Contoh 2.10: Dengan menggunakan definisi limit, buktikan bahwa lim 4 5 7! Andaikan untuk sembarang bil positif kecil, bila 3. Padahal , dan diinginkan Karena diketahui 3, maka , sehingga kita dapat memilih Bukti Diberikan sembarang 0, pilih. Sehingga bila 3, maka Karena bila 3, jadi terbukti: lim Definisi Limit Limit Sepihak lim berarti bahwa untuk tiap 0, terdapat 0 yang berpadanan sedemikian sehingga: 0 lim berarti bahwa untuk tiap 0, terdapat 0 yang berpadanan sedemikian sehingga: 0 Bab 2 Fungsi dan Limit 25

31 2.6 Teorema Limit Teorema Limit Utama Andaikan n bilangan bulat positif, k konstanta, dan f dan g adalah fungsi fungsi yang mempunyai limit di c. Maka: 1. lim 2. lim 3. lim lim 4. lim lim lim 5. lim lim lim 6. lim. lim. lim lim lim 7. lim, lim 8. lim lim 0 9. lim lim lim 0 Contoh 2.11: Dengan menggunakan teorema limit utama, tentukan lim 3 2! Bab 2 Fungsi dan Limit 26

32 2.6.2 Teorema Penggantian Jika f suatu fungsi polinom atau fungsi rasional, maka: lim asalkan dalam kasus rasional nilai penyebutnya tidak nol di c Teorema Apit Andaikan f, g, dan h adalah fungsi fungsi yang memenuhi untuk semua x dekat c, kecuali mungkin di c. Jika lim lim maka lim L Limit Trigonometri 1. lim sin sin lim cos x cos sin 2. lim tan 3. lim 1 lim sin 1 1 lim tan 1 Catatan:Bila lim 0 lim Kekontinuan Fungsi Kekontinuan di Satu Titik Misalkan f(x) terdefinisi pada interval terbuka I dan. Fungsi f disebut kontinu di titik c bila: lim lim lim Ini berarti bahwa f kontinu di c bila memenuhi 3 syarat, yaitu: 1) f(c) ada atau terdefinisi 2) lim ada 3) fc lim Bab 2 Fungsi dan Limit 27

33 Contoh 2.12: Perhatikan keempat grafik pada contoh 2.9. Pada grafik yang manakah kurva fx kontinu di c? berikan alasan! Grafik a kontinu Grafik b diskontinu karena f(c) tidak terdefinisi, Grafik c tidak kotinu karena lim tidak ada (limit kiri limit kanan) Grafik d tidak kotinu karena lim tidak ada (limit kiri limit kanan) Kekontinuan Sepihak Fungsi f disebut kontinu kiri di x=c bila lim Fungsi f disebut kontinu kanan di x=c bila lim Contoh 2.12: Pada keempat grafik contoh 2.9, kurva manakah yang menunjukkan fungsi f kontinu sepihak? Grafik c dan d kontinu sepihak Grafik c kontinu kanan di x=c karena lim Grafik d kontinu kiri di x=c karena lim Kekontinuan pada Interval 1. Fungsi f disebut kontinu pada interval terbuka (a,b) bila f kontinu di setiap titik pada (a,b). 2. Fungsi f disebut kontinu pada interval tetutup [a,b] bila f kontinu di setiap titik pada (a,b) dan kontinu kanan di a dan kontinu kiri di b. Bab 2 Fungsi dan Limit 28

34 2.8 Teorema Kekontinuan Fungsi Teorema A (Kekontinuan pada fungsi polynomial dan fungsi rasional) 1. Suatu polinom P(c) kontinu pada setiap bilangan riil c. 2. Suatu fungsi rasional, kontinu pada setiap bilangan riil c dalam daerah asalnya, kecuali pada bilangan riil c dimana penyebutnya (polinom Q(c)) menjadi Teorema B (Kekontinuan pada fungsi nilai mutlak dan fungsi akar ke n) 1. Fungsi nilai mutlak f(c)= c kontinu pada setiap bilangan riil c. 2. Jika n bilangan ganjil, fungsi akar ke n, f(c)= 3. Jika n bilangan ganjil, fungsi akar ke n, f(c)= positif., kontinu di setiap bilangan riil c., kontinu di setiap bilangan riil c Teorema C (Kekontinuan pada operasi fungsi) Jika f dan g kontinu di c, dan k R, maka: ; ; ;. ; ; ; 0 adalah kontinu di c Teorema D (Kekontinuan pada limit komposisi) Jika lim dan jika f kontinu di L, maka : lim lim Dengan kata lain, jika g kontinu pada c dan f kontinu pada g(c), maka kontinu pada c Teorema E ( Teorema Nilai Antara) Jika f kontinu pada [a,b] dan jikanw sebuah bilangan antara f(a) dan f(b), maka terdapat paling tidak sebuah bilangan c di antara a dan b sedemikian sehingga f(c) = W. Bab 2 Fungsi dan Limit 29

35 Contoh 2.13: Tentukan kekontinuan fungsi berikut: a) pada x=2; 2 b) 12 2 pada t=2; a) g(x) tidak kontinu karena g(2) tidak terdefinisi. b) h(2) = 12 lim lim lim h(2) = lim = 12 h(x) kontinu di x=2 lim 24 = Latihan Soal A. Fungsi dan Grafik 1. Mana dari yang berikut menentukan suatu fungsi f dengan rumus y fx? a 4 b 34 c 3 1 d 3 2. Cari daerah asal alamiah untuk masing masing fungsi berikut: a 2 3 b c 4 3. Nyatakan apakah fungsi berikut merupakan fungsi genap, ganjil, atau bukan keduanya! a 4 b 3 21 c Bab 2 Fungsi dan Limit 30

36 B. Operasi fungsi 1. Jika 2 dan 2/ 1, cari rumus untuk masing masing berikut dan nyatakan daerah asalnya! a b) / c) d) 2. Setelah berkecimpung dalam bisnis selama x tahun, seorang pengusaha traktor membuat 100 x 2x buah tiap tahun. Harga penjualan dalam ribuan rupiah tiap buahnya telah meningkat sesuai dengan rumus P 500 6x. Tuliskan rumus untuk pendapatan tahunan pengusaha tersebut Rx setelah x tahun. C. Fungsi Trigonometri 1. Hitung tanpa memakai kalkulator: a tan b sec 2. Periksa kebenaran kesamaan berikut: a 1 sin1 sin b sec 1sec 1 tan c sec sin tan cos D. Kajian Mendalam tentang Limit 1. Berikan suatu bukti ε, δ dari tiap fakta limit berikut: a lim b lim E. Teorema Limit 1. Dengan menggunakan teorema limit, tentukan: a lim b lim Bab 2 Fungsi dan Limit 31

37 F. Kekontinuan Fungsi 1. Tentukan kekontinuan fungsi berikut: a 3, 2 b 1, 2 2. Fungsi berikut tidak terdefinisi di suatu titik tertentu. Bagaimana seharusnya mendefinisikannya agar kontinu pada titik itu? a b Bab 2 Fungsi dan Limit 32

38 BAB 3 TURUNAN 3.1 Konsep Dasar Turunan Dalam sejarah kalkulus, terdapat dua permasalahan terapan kalkulus yang sulit untuk didefinisikan secara jelas, yaitu permasalahan garis singgung (bidang geometri) dan permasalahan kecepatan sesaat (bidang mekanik). Hal ini mengimplikasikan lahirnya konsep dasar turunan (yang berasal dari konsep limit) yang berhasil memberikan uraian matematis terbaik untuk kedua permasalahan tersebut Permasalahan Garis Singgung Perhatikan gambar 3.1. Andaikan P adalah suatu titik tetap pada kurva dengan koordinat (c,f(c)). Garis m1 merupakan tali busur yang menghubungkan titik P dan Q1. Bila titik Q1 kita geser mendekati titik P, maka ketika mencapai posisi Q2 garis singgungnya menjadi m2. Bila titik Q terus kita geser hingga berimpit dengan titik P, maka garis talibusur PQ akan berubah menjadi garis singgung m. Gambar 3.1 Garis Singgung

39 Secara matematis kemiringan garis singgung yang melalui PQ (perhatikan garis singgung m2) adalah: Jika titik Q bergeser dekat ke P, maka h P(c,(f(c)) akan memiliki kemiringan: 0, sehingga garis singgung m pada titik lim lim Permasalahan Kecepatan Sesaat Untuk menguraikan masalah kecepatan sesaat, kita ambil sebuah contoh percobaan benda jatuh bebas di ruang hampa udara. Percobaan menyimpulkan bahwa bila benda bergerak dari posisi diam, maka posisi benda pada t detik adalah S(t) = 16t2. Dengan demikian posisi benda pada detik ke t dapat digambarkan sebagai berikut: (Gambar 3.2: Ilustrasi Jarak Tempuh) Kecepatan rata rata benda dapat dihitung dengan membagi jarak tempuh dengan selang waktu. Hal ini diilustrasikan dalam tabel 3.1: Tabel 3.1 Kecepatan rata rata t1 t2 s(t1) s(t2) Vrata-rata = s(t2)-s(t1)/(t2-t1) Bab 3 Turunan 34

40 Tabel 3.1 telah menunjukkan kecepatan rata rata benda jatuh pada selang waktu antara t1 dan t2 atau t1+ t. Tetapi kita tidak dapat mengetahui kecepatan sesaat benda, misalnya pada t=2. Untuk memperkirakan nilai kecepatan sesaat pada saat t=2, dapat dilakukan dengan menghitung kecepatan rata rata antara pada selang waktu yang sempit di dekat t=2. Hal ini diilustrasikan dalam tabel 3.2. Tabel 3.2 Kecepatan Rata rata t 2 t1 t2 s(t1) s(t2) Vrata-rata = s(t2)-s(t1)/(t2-t1) Dari tabel 3.2 dapat dilihat bahwa kecepatan sesaat pada t2 berada di antara 63,984 dan 64,016. Untuk mendapat nilai yang persis untuk kecepatan sesaat pada t=2, selang waktu perhitungan harus dipersempit hingga t0. Dengan menggunakan konsep limit, nilai keepatan sesaat dapat dihitung sebagai berikut: (Dengan menggunakan konsep limit coba hitung kecepatan sesaat pada t=2) Kesimpulan: Dapat dilihat bahwa permasalahan garis singgung dan kecepatan sesaat memiliki konsep penyelesaian yang sama (Konsep Limit). 3.2 Turunan Pada subbab sebelumnya telah diberikan pemahaman tentang konsep limit untuk turunan. Pada subbab berikutnya akan diberikan pemahaman tentang turunan Definisi Turunan Jika f adalah sebuah fungsi real dengan c є D f, dapat dikatakan bahwa turunan fungsi f adalah fungsi lain f (dibaca f aksen ) yang nilainya pada sebarang bilangan c adalah: lim, asalkan nilai limit ini ada. (Ingat kembali kapan nilai limit dikatakan ada?) Bab 3 Turunan 35

41 3.2.2 Beberapa Bentuk Setara Turunan Beberapa bentuk setara turunan diantaranya adalah: 1 Berdasarkan gambar 3.3, lim tidak ada keharusan menggunakan huruf h dalam mendefinisikan f c, sehingga f c dapat juga dituliskan sebagai: a lim atau b lim 2 Berdasarkan gambar 3.4, lim (Sekali lagi tidak ada keharusan menggunakan huruf tertentu). (c+h,f(c+h)) (x,f(x)) f(c+h) f(c) f(x) f(c) (c,f(c)) h (c,f(c)) x c c c+h x c x x (Gambar 3.3) (Gambar 3.4) Keterdiferensialan dan Kekontinuan Fungsi Teorema keterdiferensialan dan kekontinuan fungsi adalah: Jika f (c) ada (fungsi terdiferensialkan), maka f kontinu di c. Teorema ini menyiratkan 2 hal: Bila fungsi f terdiferesialkan di titik c, maka fungsi f kontinu di c. Bila fungsi f kontinu di titik c, belum tentu fungsi f terdiferensialkan di c. Contoh Apakah fungsi mutlak fx x kontinu dan terdiferensialkan di x 0? Beri alasan! Kontinu di x=0, tetapi tidak terdiferensialkan karena pada limit diferensial, limit kiri tidak sama limit kanan. Bab 3 Turunan 36

42 2 Kurva berikut menunjukkan beberapa kemungkinan kekontinuan dan keterdiferensialan fungsi. Apaka kurva kontinu dan terdiferensialkan di titik a,b,c, dan d? a b c d a Titik a tidak kontinu, oleh karena itu tidak terdiferensialkan. b Titik b kontinu tapi tidak terdiferensialkan karena pada sudut lancip, limit kiri limit untuk pembagian delta y/delta x, sesuai definisi turunan tidak sama limit kanan. c Titik c kontinu tapi tidak terdiferensialkan karena garis singgung tegak lurus menyebabkan nilai pembilang menurut definisi diferensial mendekati tak hingga. d Titik d kontinu dan terdiferensialkan. 3.3 Aturan Turunan Menghitung turunan suatu fungsi menurut definisi turunan (seperti yang dijelaskan pada subbab poin A ) akan memakan waktu dan membosankan. Dengan adanya teorema aturan turunan, kita dapat menentukan turunan suatu fungsi dengan lebih cepat dan mudah. Berikut adalah aturan aturan turunan yang dituliskan dalam bentuk penulisan operator D. 1. Aturan Fungsi Konstanta, 0 ; dimana k adalah suatu konstanta 2. Aturan Fungsi Identitas, 1 3. Aturan Pangkat,, 4. D sebagai sebuah operator linear Bab 3 Turunan 37

43 5. Aturan Penjumlahan dan Pengurangan 6. Aturan Perkalian 7. Aturan Pembagian 3.4 Aturan Turunan Fungsi Trigonometri Berikut ini beberapa aturan penting berkaitan dengan turunan fungsi trigonometri. 1. D sin x cos x 2. D cos x sin x 3. D tan x sec x 4. D csc x csc x cot x 5. D sec x sec x tan x 6. D cot x csc x 3.5 Aturan Rantai Andaikan dan menentukan fungsi komposit, jika g terdiferensialkan di x dan f terdiferensialkan di u = g(x), maka fog terdiferensialkan di x dan Dalam aturan rantai dapat dituliskan D y D y. D u Aturan rantai berguna untuk mencari turunan fungsi komposisi. Agar lebih mudah memahami aturan rantai, perhatikan contoh berikut: Contoh 3.2 Jika 2 41, tentukan! Bab 3 Turunan 38

44 Andaikan y adalah sebuah fungsi komposisi dimana y=f(u) = u 60, dan Jadi, Aturan Rantai Bersusun Andaikan y=f(u) dan u=g(v) dan v=h(x), maka.. Contoh 3.3 jika 4, tentukan! Andaikan ; sin ; dan 4, sehingga... sin. 4 3 cos4 12 cos 12 cos 12 4 cos4 3.6 Penulisan Leibniz Penulisan Leibniz menggunakan notasi dy/dx untuk menyatakan turunan. Leibniz menyebut dy/dx sebagai suatu hasil bagi dari dua bilangan yang sangat kecil, yakni: lim lim Penulisan Leibniz juga berlaku pada aturan rantai. Sebagai contoh, andaikan y = f(u) dan u = g(x), maka: Bab 3 Turunan 39

45 Contoh Tentukan dy/dx jika 3 7! Tentukan dy/dx jika x 2x! Misalkan u x 2x, maka yu dan Turunan Tingkat Tinggi Turunan sebuah fungsi dapat dituliskan dalam beberapa bentuk seperti yang dicontohkan pada Tabel 3.3. Misalkan sebuah fungsi y=f(x), maka turunan pertamanya adalah. Jika turunan pertama ini diturunkan lagi, maka akan menghasilkan turunan kedua, yaitu. Notasi yang sama diberikan untuk turunan ketiga, keempat, dst. Tabel 3.3 Bentuk Penulisan Turunan Derivatif Penulisan f' Penulisan y' Penulisan Operator D Penulisan Leibniz Pertama f'(x) y' Kedua f''(x) y'' Kedua f' '(x) y'' Bab 3 Turunan 40

46 Salah satu penggunaan turunan tingkat tinggi adalah pada masalah gerak partikel. Bila S(t) merupakan posis sebuah partikel, maka kecepatan partikel adalah v(t) = S (t). Sedangkan percepatan gerak partikel adalah a(t) = v (t) = S (t). 3.8 Pendiferensialan Implisit Sebuah fungsi dikatakan berbentuk implisit bila berbentuk F(x,y) = 0. Pada bentuk ini, variabel x dan y tercampur dalam suatu ekspresi. Pendiferensialan implisit adalah mencari dy/dx tanpa terlebih dahulu mengubah bentuk persamaan menjadi y = f(x). Prinsip pendiferensialan implisit adalah sebagai berikut: untuk suatu bentuk fungsi implisit F(x,y) = 0. Untuk mencari dy/dx, kumpulkan semua variable y di ruas sebelah kiri dan variabel x di ruas sebelah kanan. Kemudian turunkan kedua ruas terhadap x dengan mengingat variabel y di sebelah kiri merupakan fungsi dari x. Contoh 3.5 Jika y 3 7y x 3 0, tentukan garis singgung di titik 2,1! Laju yang Berkaitan Berikut ini adalah prosedur sistematis untuk menyelesaikan permasalahan laju laju yang berkaitan: 1. Andaikan t menyatakan waktu. Gambarlah diagram yang berlaku untuk semua t>0. Identifikasi besaran besaran yang nilainya tidak berubah (konstanta) bila t bertambah. Berikan nama huruf untuk peubah peubah (besaran besaran yang Bab 3 Turunan 41

47 berubah terhadap waktu), dan tandai garis garis pada gambar dengan peubah yang sesuai. 2. Nyatakan apa yang diketahui dan informasi yang diinginkan tentang peubahpeubah. Informasi ini akan berbentuk turunan turunan terhadap t. 3. Tulislah sebuah persamaan yang menghubungkan peubah peubah yang sahih untuk semua t>0, bukan hanya pada beberapa saat tertentu. 4. Diferensialkan persamaan yang ditemukan dalam langkah 3 secara implisit terhadap t. Persamaan yang dihasilkan memuat turunan turunan terhadap t dan sahih untuk semua t>0. 5. Gantikan persamaan yang ditemukan dalam langkah 4 untuk semua data yang sahih pada saat tertentu untuk mana jawaban atas masalah yang diisyaratkan. Selesaikan turunan yang diinginkan. Contoh 3.6 Sebuah balon dilepas pada jarak 150 kaki dari seorang pengamat yang berdiri di tanah. Jika balom maik secara lurus ke atas dengan laju 8 kaki/detik, seberapa cepat jarak antara pengamat dan balon bertambah pada waktu balon pada ketinggian 50 kaki? Penyelesaian masalah menurut prosedur sistematis: 1. s h 150 Andaikan t menyatakan detik setelah balon dilepas, h menyatakan ketinggian balon, dan s jarak balon dari pengamat. Peubah h dan s keduanya bergantung pada t. tetapi jarak antara pengamat dan titik pelepasan konstan dan tidak berubah dengan bertambahnya t. kita tekankan bahwa gambar ini sahih untuk semua t0. 2. Diketahui laju balon naik ke atas dh/dt 8 kaki/detik. Ditanya laju perubahan jarak antara pengamat dan balon ds/dt pada saat h50 kaki. 3. Peubah s dan h berubah tehadap waktu mereka adalah fungsi implisit dari t, tetapi selalu dihubungkan dengan persamaan Pythagoras: Bab 3 Turunan 42

48 s h Jika persamaan Pythagoras di atas kita diferensialkan secara implisit terhadap t dan memakai aturan rantai, maka akan diperoleh: Bila h 50 kaki, maka berdasarkan persamaan Pythagoras pada poin 3, s adalah Dengan mengguanakn persamaan turunan pada poin 4, maka diperoleh: ,53 / Diferensial dan Hampiran Turunan dan Diferensial Turunan adalah hasil bagi dua diferensial, biasa dilambangkan dengan f (x) atau dy/dx. Andaikan y=f(x), maka turunan f yaitu: lim lim Andaikan bahwa dx adalah diferensial dari peubah bebas x yang menyatakan pertambahan sebarang dari x. Maka diferensial yang bersesuaian dengan dy dari peubah tak bebas y didefinisikan oleh: Dari definisi di atas dapat diartikan bahwa diferensial dari peubah tak bebas adalah hasil kali turunan dengan diferensial peubah bebas. Diferensial biasa dilambangkan dengan dy. Tabel 3.4 berikut menunjukkan perbandingan beberapa aturan turunan dan diferensial. Ingat kembali bahwa diferensial diperoleh dengan mengalikan f (x) dengan dx. Bab 3 Turunan 43

49 Tabel 3.4 Perbandingan aturan turunan dan aturan diferensial Aturan Turunan Aturan Diferensial Hampiran Andaikan y=f(x) seperti gambar 3.5. Jika x diberi tambahan x, maka y menerima tambahan yang berpadanan y yang dapat dihampiri oleh dy. y f(x+ x) y=f(x) f(x) dy y x Gambar 3.5 Ilustrasi hampiran Dengan demikian f(x+ x) dapat dihampiri oleh: Contoh 3.7: Dengan menggunakan metode hampiran, hitung 4,6! Andaikan fungsi akar adalah, maka. Kita mengetahui bahwa nilai 4,6 berada di antara 4 dan 9. Jika kita ambil nilai x=4 dan x=0,6; Menurut rumus hampiran: 4,6 4 0, Untuk menghitung dy, Bab 3 Turunan 44

50 , , Sehingga 4, ,15 2, Penaksiran Galat (Error) Penaksiran galat merupakan masalah yang khas dalam sains. Prosedur baku untuk menaksir galat adalah dengan memakai sarana diferensial. Untuk memahami cara penaksiran galat, perhatikan contoh berikut. Contoh 3.8 Rusuk kubus memiliki panjang 11,4 cm dengan kemungkinan galat panjang rusuk 0,05 cm. HIiung volume kubus dan berikan suatu taksiran galat untuk nilai volume tersebut! Volume kubus V yang panjang rusuknya x adalah. Jadi 3. Jika x = 11,4 cm dan dx = 0,015 cm, maka 11, dan 311,4 0, Dengan demikian volume kubus adalah dengan taksiran galat volume adalah Soal Latihan A. Konsep Dasar Turunan 1. Tentukan kemiringan garis singgung kurva y = 2 / (x 2) pada titik (0, 1). Tuliskan juga persamaan garis singgungnya! 2. Sebuah benda menjelajahi garis sehingga posisi s nya adalah 2 2 meter setelah t detik. Tentukan: a) Kecepatan rata rata selang 2 t 3? b) Kecepatan sesaat pada t=2 detik? Bab 3 Turunan 45

51 B. Turunan 1. Dengan menggunakan konsep limit, tentukan turunan dari: a) b) 4 C. Aturan Turunan dan Turunan fungsi Trigonometri 1. Tentukan turunan dari: a) b) 2. Tunjukkan kurva y 2 sin x dan y 2 cos x berpotongan tegak lurus pada 0 x π/2!(dua kurva berpotongan tegak lurus bila m1/m2 = 1) 3. Pada saat t detik, pusat sebuah pelampung gabus berada sejauh 2 sin t sentimeter di atas (atau di bawah) permukaan air. Berapa kecepatan pelampung pada saat t = 0, π/2, dan π? D. Aturan Rantai 1. Tentukan Dxy bila: a) b) 2. Hitung Dtsin t tant 1 E. Turunan Tingkat Tinggi 1. Sebuah pelek berpusat di titik asal dan berjari jari 10 sentimeter berputar berlawanan arah perputaran jarum jam pada laju 4 putaran/detik. Sebuah titik P pada pelek berada di 10,0 pada t=0. a) Berapa koordinat P pada saat t detik? b) Pada laju berapa P naik (atau turun) pada saat t=1? 2. Sebuah benda dilempar langsung ke atas pada ketinggian s= 16t2 + 48t kaki setelah t detik. a) Berapa kecepatan awalnya? b) Kapan ia mencapai ketinggian maksimum? c) Berapa ketinggian maksimumnya? d) Kapan ia membentur tanah? Bab 3 Turunan 46

52 e) Dengan laju berapa ia membentur tanah? F. Pendiferensialan Implisit 1. Cari persamaan garis normal (garis tegak lurus terhadap garis singgung) pada kurva 8(x2+y2)2 = 100(x2 y2) di3,1. (Gunakan metode pendiferensialan implisit). G. Laju yang Berkaitan 1. Rusuk kubus yang berubah bertambah panjang dengan laju 3cm/detik. Berapa kecepatan pertambahan volume kubus pada saat panjang rusuk 10 cm? 2. Sebuah cakram baja memuai selama dipanaskan. Jika jari jarinya bertambah dengan laju 0,02 cm/detik, seberapa cepat luas salah satu mukanya bertambah pada saat jari jarinya adalah 8,1 cm? H. Diferensial dan Hampiran 1. Hitung 402 dan 26,91 dengan metode hampiran! 2. Hampiri nilai volume material dalam tempurung bola yang jari jari dalamnya 5 cm dan jari jari luarnya 5,125cm. 3. Garis tengah sebuah bola diukur sebagai 20 0,1 cm. hitung volumenya dengan suatu taksiran untuk galat. Bab 3 Turunan 47

53 BAB 4 APLIKASI TURUNAN Konsep turunan dapat digunakan sebagai alat bantu untuk menyelesaikan banyak masalah, seperti: menyelesaikan masalah maksimum dan minimum serta membuat grafik fungsi secara canggih. Untuk dapat membuat grafik suatu fungsi secara canggih, perlu ditentukan kemonotonan, kecekungan dan garis asimtotik fungsi tersebut. Kemonotonan suatu fungsi dapat ditentukan dari turunan pertama fungsi tersebut, sedangkan kecekungan dapat ditentukan dari turunan keduanya. Selanjutnya pada bab ini akan dibahas aplikasi yang dapat diterapkan menggunakan turunan. 4.1 Maksimum dan Minimum Misalkan diberikan suatu fungsi dan daerah definisi. Maka akan timbul pertanyaan apakah memiliki nilai maksimum atau minimum pada? Jika memiliki nilai maksimum atau minimum, dimana terjadinya? Jika ada, berapa nilainya? Pertanyaan ini adalah tujuan utama dari sub bab ini. Perhatikan gambar 4.1 berikut. Apakah maksimum? Apakah minimum? Gambar 4.1 Kurva maksimum minimum

54 Teorema 1 [Definisi] Misalkan, daerah definisi dari fungsi, memuat. 1. dikatakan mencapai maksimum di bila. disebut nilai maksimum; 2. dikatakan mencapai minimum di bila. disebut nilai minimum; 3. disebut nilai ekstrim dari pada jika merupakan nilai maksimum\minimum. Titik dimana mencapai maksimum\minimum disebut titik ekstrim; 4. fungsi yang akan dimaksimumkan atau diminimumkan disebut fungsi objektif. Teorema 2 [Eksistensi Maksimum Minimum] Jika kontinu dan berupa interval tutup,, maka memiliki titik minimum dan maksimum. Teorema 3 [Titik Kritis] Misalkan terdefinisikan pada interval yang memuat titik. Jika merupakan nilai ekstrim, maka merupakan titik kritis; yaitu, merupakan salah satu dari: 1. Titik stasioner (titik dengan sifat 0); 2. Titik ujung ; atau 3. Titik singular (titik di mana tidak mempunyai turunan). Contoh 4.1: Tentukan nilai maksmimum dan minimum dari pada 2,2. Langkah 1 Tentukan titik kritis dari pada 2,2. 1. Cek titik stasioner 3, yang terdefinisikan pada 2,2 dan 0 hanya jika 0. Jadi, titik stasionernya adalah 0; Bab 4 Aplikasi Turunan 49

55 2. Cek titik ujung Titik ujung dari interval yang diberikan adalah 2 dan Cek titik singulir Karena memiliki turunan, maka titik singulir tidak ada. Jadi, titik kritis nya: 2, 0, 2. Langkah 2 Evalusi tiap titik kritis 2 8, 0 0, dan 2 8. Diperoleh nilai maksimum dari pada 2,2 adalah 8 (dicapai saat 2), sedangkan nilai minimumnya adalah 8 (dicapai saat 2). 4.2 Kemonotonan Fungsi dan Titik Ekstrim Kemonotonan Fungsi Misalkan terdefinisi pada interval (buka, tutup, atau lainnya). 1. disebut monoton naik pada bila: 2. disebut monoton turun pada bila: 3. disebut monoton tak turun pada bila: 4. f disebut monoton tak naik pada I bila: x x fx fx Ilustrasi fungsi monoton dapat dilihat pada Gambar 4.2 berikut: Gambar 4.2 Ilustrasi fungsi monoton Bab 4 Aplikasi Turunan 50

56 4.2.2 Titik Ekstrim Ekstrim Lokal Fungsi yang daerah asalnya mencapai 1. maksimum lokal di jika terdapat interval buka yang memuat sehingga ; 2. minimum lokaldi jika terdapat interval buka yang memuat sehingga. Teorema Jika fungsi mencapai ekstrim lokal di dan ada, maka 0. Bukti Kasus maksimum lokal: (serupa kasus minimum lokal) Jika mencapai maksimum lokal di, maka di sekitar. 0 0 lim lim 0 akibatnya, 0. Ekstrim Global Fungsi yang daerah asalnya mencapai 1. maksimum global di c S jika fx fc x S 2. minimum global di c Sjika fx fc x S. Teorema Jika fungsi f kontinu pada a, b, maka f mencapai ekstrim global pada a, b. Bab 4 Aplikasi Turunan 51

57 Ilustrasi ekstrim lokal dan ekstrim global dapat dilihat pada Gambar 4.3 berikut: Gambar 4.2 Ilustrasi ekstrim lokal dan ekstrim global Uji Turunan untuk Kemonotonan dan Titik Ekstrim Uji Turunan Pertama untuk Kemonotonan Untuk fungsi yang kontinu pada interval terbuka, 1. jika 0 pada, maka fungsi monoton naik pada ; 2. jika 0 pada, maka fungsi monoton naik pada. Uji Turunan Pertama untuk Ekstrim Lokal Untuk fungsi fx yang kontinu pada interval terbuka I dan memuat titik kritis c, 1. jika fx 0 untuk x dan f x 0 untuk x, maka fungsi f mencapai maksimum lokal di c; 2. jika f x 0 untuk x dan fx 0 untuk x, maka fungsi fmencapai minimum lokal di c; 3. jika fx 0 untuk x dan fx 0 untuk x, maka titik c, fc bukan ekstrim lokal; 4. jika f x 0 untuk x dan f x 0 untuk x, maka titik c, fc bukan ekstrim lokal. Bab 4 Aplikasi Turunan 52

58 Uji Turunan Kedua untuk Ekstrim Lokal Untuk fungsi fx yang terdiferensialkan pada interval terbuka I dan memuat titik stasioner c, 1. jika f c 0 maka fungsi mencapai maksimum lokal di c; 2. jika f c 0, maka fungsi mencapai minimum lokal di c. Contoh 4.2: Untuk fungsi 3, tentukan: 1. Semua titik stasionernya; 2. Selang kemonotonannya; 3. Semua titik ekstrim lokal dan jenisnya; 1. Turunan pertama dari fungsi adalah Dari 0 diperoleh 1 dan 1, dengan 1 2 dan 1 2. Jadi titik stasioner dari fungsi adalah 1,2 dan 1, Selang kemonotonan fungsi f ditentukan dari tes tanda fx Dapat dilihat bahwa Fungsi f monoton naik pada selang, 1 dan selang 1,. Fungsi f monoton turun pada selang 1,1. 3. Fungsi f mencapai maksimum di 1 dan minimum di 1, dengan titik maksimum 1,2 dan titik minimum 1, 2. Bab 4 Aplikasi Turunan 53

FUNGSI dan LIMIT. 1.1 Fungsi dan Grafiknya

FUNGSI dan LIMIT. 1.1 Fungsi dan Grafiknya FUNGSI dan LIMIT 1.1 Fungsi dan Grafiknya Fungsi : suatu aturan yang menghubungkan setiap elemen suatu himpunan pertama (daerah asal) tepat kepada satu elemen himpunan kedua (daerah hasil) fungsi Daerah

Lebih terperinci

Catatan Kuliah MA1123 Kalkulus Elementer I

Catatan Kuliah MA1123 Kalkulus Elementer I Catatan Kuliah MA1123 Kalkulus Elementer I Oleh Hendra Gunawan, Ph.D. Departemen Matematika ITB Sasaran Belajar Setelah mempelajari materi Kalkulus Elementer I, mahasiswa diharapkan memiliki (terutama):

Lebih terperinci

KALKULUS BAB II FUNGSI, LIMIT, DAN KEKONTINUAN. DEPARTEMEN TEKNIK KIMIA Universitas Indonesia

KALKULUS BAB II FUNGSI, LIMIT, DAN KEKONTINUAN. DEPARTEMEN TEKNIK KIMIA Universitas Indonesia KALKULUS BAB II FUNGSI, LIMIT, DAN KEKONTINUAN DEPARTEMEN TEKNIK KIMIA Universitas Indonesia BAB II. FUNGSI, LIMIT, DAN KEKONTINUAN Fungsi dan Operasi pada Fungsi Beberapa Fungsi Khusus Limit dan Limit

Lebih terperinci

Catatan Kuliah MA1123 KALKULUS ELEMENTER I BAB III. TURUNAN

Catatan Kuliah MA1123 KALKULUS ELEMENTER I BAB III. TURUNAN BAB III. TURUNAN Kecepatan Sesaat dan Gradien Garis Singgung Turunan dan Hubungannya dengan Kekontinuan Aturan Dasar Turunan Notasi Leibniz dan Turunan Tingkat Tinggi Penurunan Implisit Laju yang Berkaitan

Lebih terperinci

= + atau = - 2. TURUNAN 2.1 Definisi Turunan fungsi f adalah fungsi yang nilainya di setiap bilangan sebarang c di dalam D f diberikan oleh

= + atau = - 2. TURUNAN 2.1 Definisi Turunan fungsi f adalah fungsi yang nilainya di setiap bilangan sebarang c di dalam D f diberikan oleh JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA FPMIPA-UPI BANDUNG HAND OUT TURUNAN DAN DIFERENSIASI OLEH: FIRDAUS-UPI 0716 1. GARIS SINGGUNG 1.1 Definisi Misalkan fungsi f kontinu di c. Garis singgung ( tangent line )

Lebih terperinci

KALKULUS 1 HADI SUTRISNO. Pendidikan Matematika STKIP PGRI Bangkalan. Hadi Sutrisno/P.Matematika/STKIP PGRI Bangkalan

KALKULUS 1 HADI SUTRISNO. Pendidikan Matematika STKIP PGRI Bangkalan. Hadi Sutrisno/P.Matematika/STKIP PGRI Bangkalan KALKULUS 1 HADI SUTRISNO 1 Pendidikan Matematika STKIP PGRI Bangkalan BAB I PENDAHULUAN A. Sistem Bilangan Real Untuk mempelajari kalkulus kita terlebih dahulu perlu memahami bahasan tentang sistem bilangan

Lebih terperinci

MATEMATIKA TURUNAN FUNGSI

MATEMATIKA TURUNAN FUNGSI MATEMATIKA TURUNAN FUNGSI lim h 0 f ( x h) f( x) h KELAS : XI MIA SEMESTER : (DUA) SMA Santa Angela Bandung Tahun Pelajaran 06-07 XI MIA Semester Tahun Pelajaran 06 07 PENGANTAR : TURUNAN FUNGSI Modul

Lebih terperinci

Turunan Fungsi. h asalkan limit ini ada.

Turunan Fungsi. h asalkan limit ini ada. Turunan Fungsi q Definisi Turunan Fungsi Misalkan fungsi f terdefinisi pada selang terbuka I yang memuat a. Turunan pertama fungsi f di =a ditulis f (a) didefinisikan dengan f ( a h) f ( a) f '( a) lim

Lebih terperinci

Ringkasan Materi Kuliah Bab II FUNGSI

Ringkasan Materi Kuliah Bab II FUNGSI Ringkasan Materi Kuliah Bab II FUNGSI. FUNGSI REAL, FUNGSI ALJABAR, DAN FUNGSI TRIGONOMETRI. TOPIK-TOPIK YANG BERKAITAN DENGAN FUNGSI.3 FUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI INVERS. FUNGSI REAL, FUNGSI ALJABAR,

Lebih terperinci

TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS

TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS PREVIEW KALKULUS TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS Mahasiswa mampu: menyebutkan konsep-konsep utama dalam kalkulus dan contoh masalah-masalah yang memotivasi konsep tersebut; menjelaskan menyebutkan konsep-konsep

Lebih terperinci

Memahami konsep dasar turunan fungsi dan mengaplikasikan turunan fungsi pada

Memahami konsep dasar turunan fungsi dan mengaplikasikan turunan fungsi pada 5 TURUNAN JUMLAH PERTEMUAN : 4 PERTEMUAN TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS : Memahami konsep dasar turunan fungsi dan mengaplikasikan turunan fungsi pada permasalahan yang ada Materi : 5.1 Pendahuluan Ide awal

Lebih terperinci

Zulfaneti Yulia Haryono Rina F ebriana. Berbasis Penemuan Terbimbing = = D(sec x)= sec x tan x, ( + ) ( ) ( )=

Zulfaneti Yulia Haryono Rina F ebriana. Berbasis Penemuan Terbimbing = = D(sec x)= sec x tan x, ( + ) ( ) ( )= Zulfaneti Yulia Haryono Rina F ebriana Berbasis Penemuan Terbimbing = = D(sec x)= sec x tan x, ()= (+) () Penyusun Zulfaneti Yulia Haryono Rina Febriana Nama NIm : : Untuk ilmu yang bermanfaat Untuk Harapan

Lebih terperinci

Rencana Pembelajaran

Rencana Pembelajaran Learning Outcome Rencana Pembelajaran Setelah mengikuti proses pembelajaran ini, diharapkan mahasiswa dapat ) Menentukan nilai turunan suatu fungsi di suatu titik ) Menentukan nilai koefisien fungsi sehingga

Lebih terperinci

Kelompok Mata Kuliah : MKU Program Studi/Program : Teknik Tenaga Elektrik/S1 Status Mata Kuliah : Wajib Prasyarat : - : Aip Saripudin, M.T.

Kelompok Mata Kuliah : MKU Program Studi/Program : Teknik Tenaga Elektrik/S1 Status Mata Kuliah : Wajib Prasyarat : - : Aip Saripudin, M.T. DESKRIPSI MATA KULIAH TK-... Matematika Dasar: S1, 3 SKS, Semester I Mata kuliah ini merupakan kuliah dasar. Selesai mengikuti perkuliahan ini mahasiswa diharapkan mampu memahami konsep-konsep matematika

Lebih terperinci

Matematika I: APLIKASI TURUNAN. Dadang Amir Hamzah. Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 70

Matematika I: APLIKASI TURUNAN. Dadang Amir Hamzah. Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 70 Matematika I: APLIKASI TURUNAN Dadang Amir Hamzah 2015 Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 1 / 70 Outline 1 Maksimum dan Minimum Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 2 / 70 Outline

Lebih terperinci

Kelompok Mata Kuliah : MKU Program Studi/Program : Pendidikan Teknik Elektro/S1 Status Mata Kuliah : Wajib Prasyarat : - : Aip Saripudin, M.T.

Kelompok Mata Kuliah : MKU Program Studi/Program : Pendidikan Teknik Elektro/S1 Status Mata Kuliah : Wajib Prasyarat : - : Aip Saripudin, M.T. DESKRIPSI MATA KULIAH TK-301 Matematika: S1, 3 SKS, Semester I Mata kuliah ini merupakan kuliah dasar. Selesai mengikuti perkuliahan ini mahasiswa diharapkan mampu memahami konsep-konsep matematika dan

Lebih terperinci

SISTEM BILANGAN RIIL DAN FUNGSI

SISTEM BILANGAN RIIL DAN FUNGSI SISTEM BILANGAN RIIL DAN FUNGSI Matematika Juni 2016 Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni 2016 1 / 67 Outline 1 Sistem Bilangan Riil Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni 2016 2 / 67 Outline

Lebih terperinci

II. TINJUAN PUSTAKA. lim f(x) = L berarti bahwa bilamana x dekat tetapi sebelah kiri c 0 maka f(x)

II. TINJUAN PUSTAKA. lim f(x) = L berarti bahwa bilamana x dekat tetapi sebelah kiri c 0 maka f(x) II. TINJUAN PUSTAKA 2.1. Limit Definisi lim f(x) = L, dan mengatakan limit f (x) ketika x mendekati a sama dengan L, jika dapat dibuat nilai f (x) sebarang yang dekat dengan L dengan cara mengambil nilai

Lebih terperinci

AFTAR ISI KATA PENGANTAR... i DAFTAR ISI... iii SOAL - SOAL... 2 PEMBAHASAN... 19

AFTAR ISI KATA PENGANTAR... i DAFTAR ISI... iii SOAL - SOAL... 2 PEMBAHASAN... 19 DAFTAR ISI KATA PENGANTAR... i DAFTAR ISI... iii SOAL - SOAL... UTS Genap 009/00... UTS Ganjil 009/00... UTS Genap 008/009... 5 UTS Pendek 008/009... 6 UTS 007/008... 8 UTS 006/007... 9 UTS 005/006...

Lebih terperinci

FUNGSI DAN MODEL. Bogor, Departemen Matematika FMIPA IPB. (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, / 63

FUNGSI DAN MODEL. Bogor, Departemen Matematika FMIPA IPB. (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, / 63 FUNGSI DAN MODEL Departemen Matematika FMIPA IPB Bogor, 2012 (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 1 / 63 Topik Bahasan 1 Fungsi 2 Jenis-jenis Fungsi 3 Fungsi Baru dari Fungsi Lama 4

Lebih terperinci

BAB I SISTEM BILANGAN REAL

BAB I SISTEM BILANGAN REAL BAB I SISTEM BILANGAN REAL A. Sistem Bilangan Real Sistem bilangan real sangat erat kaitannya dengan kalkulus. Sebagian dari kalkulus berdasar pada sifat-sifat sistem bilangan real, sehingga sistem bilangan

Lebih terperinci

Memahami konsep dasar turunan fungsi dan menggunakan turunan fungsi pada

Memahami konsep dasar turunan fungsi dan menggunakan turunan fungsi pada 5 TURUNAN JUMLAH PERTEMUAN : 4 PERTEMUAN TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS : Memahami konsep dasar turunan fungsi dan menggunakan turunan fungsi pada permasalahan yang ada Materi : 5.1 Pendahuluan Ide awal adanya

Lebih terperinci

SRI REDJEKI KALKULUS I

SRI REDJEKI KALKULUS I SRI REDJEKI KALKULUS I KLASIFIKASI BILANGAN RIIL n Bilangan yang paling sederhana adalah bilangan asli : n 1, 2, 3, 4, 5,. n n Bilangan asli membentuk himpunan bagian dari klas himpunan bilangan yang lebih

Lebih terperinci

Matematika I: Turunan. Dadang Amir Hamzah. Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 61

Matematika I: Turunan. Dadang Amir Hamzah. Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 61 Matematika I: Turunan Dadang Amir Hamzah 2015 Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 1 / 61 Outline 1 Garis Singgung Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 2 / 61 Outline 1 Garis Singgung

Lebih terperinci

BAB IV. PENGGUNAAN TURUNAN. Departemen Teknik Kimia Universitas Indonesia

BAB IV. PENGGUNAAN TURUNAN. Departemen Teknik Kimia Universitas Indonesia BAB IV. PENGGUNAAN TURUNAN Departemen Teknik Kimia Universitas Indonesia BAB IV. PENGGUNAAN TURUNAN Maksimum dan Minimum Kemonotonan dan Kecekungan Maksimum dan Minimum Lokal Masalah Maksimum dan Minimum

Lebih terperinci

BAGIAN KEDUA. Fungsi, Limit dan Kekontinuan, Turunan

BAGIAN KEDUA. Fungsi, Limit dan Kekontinuan, Turunan BAGIAN KEDUA Fungsi, Limit dan Kekontinuan, Turunan 51 52 Hendra Gunawan Pengantar Analisis Real 53 6. FUNGSI 6.1 Fungsi dan Grafiknya Konsep fungsi telah dipelajari oleh Gottfried Wilhelm von Leibniz

Lebih terperinci

(A) 3 (B) 5 (B) 1 (C) 8

(A) 3 (B) 5 (B) 1 (C) 8 . Turunan dari f ( ) = + + (E) 7 + +. Turunan dari y = ( ) ( + ) ( ) ( + ) ( ) ( + ) ( + ) ( + ) ( ) ( + ) (E) ( ) ( + ) 7 5 (E) 9 5 9 7 0. Jika f ( ) = maka f () = 8 (E) 8. Jika f () = 5 maka f (0) +

Lebih terperinci

MODUL 1. Teori Bilangan MATERI PENYEGARAN KALKULUS

MODUL 1. Teori Bilangan MATERI PENYEGARAN KALKULUS MODUL 1 Teori Bilangan Bilangan merupakan sebuah alat bantu untuk menghitung, sehingga pengetahuan tentang bilangan, mutlak diperlukan. Pada modul pertama ini akan dibahas mengenai bilangan (terutama bilangan

Lebih terperinci

Matematika Dasar FUNGSI DAN GRAFIK

Matematika Dasar FUNGSI DAN GRAFIK FUNGSI DAN GRAFIK Suatu pengaitan dari himpunan A ke himpunan B disebut fungsi bila mengaitkan setiap anggota dari himpunan A dengan tepat satu anggota dari himpunan B. Notasi : f : A B f() y Himpunan

Lebih terperinci

1 Sistem Bilangan Real

1 Sistem Bilangan Real Learning Outcome Rencana Pembelajaran Setelah mengikuti proses pembelajaran ini, diharapkan mahasiswa dapat ) Menentukan solusi pertidaksamaan aljabar ) Menyelesaikan pertidaksamaan dengan nilai mutlak

Lebih terperinci

MAT 602 DASAR MATEMATIKA II

MAT 602 DASAR MATEMATIKA II MAT 60 DASAR MATEMATIKA II Disusun Oleh: Dr. St. Budi Waluya, M. Sc Jurusan Pendidikan Matematika Program Pascasarjana Unnes 1 HIMPUNAN 1. Notasi Himpunan. Relasi Himpunan 3. Operasi Himpunan A B : A B

Lebih terperinci

MATEMATIKA TURUNAN FUNGSI

MATEMATIKA TURUNAN FUNGSI MATEMATIKA TURUNAN FUNGSI lim h 0 f ( x h) f( x) h KELAS : XII IIS SEMESTER GANJIL SMA Santa Angela Bandung Tahun Pelajaran 017/018 XII IIS Semester 1 Tahun Pelajaran 017/018 PENGANTAR : TURUNAN FUNGSI

Lebih terperinci

TURUNAN. Bogor, Departemen Matematika FMIPA-IPB. (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Turunan Bogor, / 50

TURUNAN. Bogor, Departemen Matematika FMIPA-IPB. (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Turunan Bogor, / 50 TURUNAN Departemen Matematika FMIPA-IPB Bogor, 2012 (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Turunan Bogor, 2012 1 / 50 Topik Bahasan 1 Pendahuluan 2 Turunan Fungsi 3 Tafsiran Lain Turunan 4 Kaitan

Lebih terperinci

BAB II LANDASAN TEORI

BAB II LANDASAN TEORI BAB II LANDASAN TEORI 2.1 Latar Belakang Historis Fondasi dari integral pertama kali dideklarasikan oleh Cavalieri, seorang ahli matematika berkebangsaan Italia pada tahun 1635. Cavalieri menemukan bahwa

Lebih terperinci

TURUNAN DALAM RUANG DIMENSI-n

TURUNAN DALAM RUANG DIMENSI-n TURUNAN DALAM RUANG DIMENSI-n A. Fungsi Dua Variabel atau Lebih Dalam subbab ini, fungsi dua variabel atau lebih dikaji dari tiga sudut pandang: secara verbal (melalui uraian dalam kata-kata) secara aljabar

Lebih terperinci

LIMIT DAN KEKONTINUAN

LIMIT DAN KEKONTINUAN LIMIT DAN KEKONTINUAN Departemen Matematika FMIPA IPB Bogor, 2012 (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 1 / 37 Topik Bahasan 1 Limit Fungsi 2 Hukum Limit 3 Kekontinuan Fungsi (Departemen

Lebih terperinci

APLIKASI TURUNAN ALJABAR. Tujuan Pembelajaran. ) kemudian menyentuh bukit kedua pada titik B(x 2

APLIKASI TURUNAN ALJABAR. Tujuan Pembelajaran. ) kemudian menyentuh bukit kedua pada titik B(x 2 Kurikulum 3/6 matematika K e l a s XI APLIKASI TURUNAN ALJABAR Tujuan Pembelajaran Setelah mempelajari materi ini, kamu diharapkan memiliki kemampuan berikut.. Dapat menerapkan aturan turunan aljabar untuk

Lebih terperinci

I. SISTEM BILANGAN RIIL, PERTIDAKSAMAAN DAN NILAI MUTLAK. 3. Selesaikan pertidaksamaan berikut dan gambarkan solusinya pada garis bilangan.

I. SISTEM BILANGAN RIIL, PERTIDAKSAMAAN DAN NILAI MUTLAK. 3. Selesaikan pertidaksamaan berikut dan gambarkan solusinya pada garis bilangan. I. SISTEM BILANGAN RIIL, PERTIDAKSAMAAN DAN NILAI MUTLAK. Buatlah diagram sistem bilangan riil.. Buktikan bahwa rata-rata dua buah bilangan terletak di antara kedua bilangan itu. a b a b a b. Selesaikan

Lebih terperinci

Bab1. Sistem Bilangan

Bab1. Sistem Bilangan Modul Pra Kalkulus -0. Bab. Sistim Bilangan Bab. Sistem Bilangan. Sistim Bilangan Jenis bilangan berkembang sejalan dengan perkembangan peradaban dan ilmu pengetahuan. Jenis bilangan yang pertama kali

Lebih terperinci

5. Aplikasi Turunan MA1114 KALKULUS I 1

5. Aplikasi Turunan MA1114 KALKULUS I 1 5. Aplikasi Turunan MA4 KALKULUS I 5. Menggambar grafik fungsi Informasi yang dibutuhkan: A. Titik potong dengan sumbu dan sumbu y B. Asimtot fungsi C. Kemonotonan Fungsi D. Ekstrim Fungsi E. Kecekungan

Lebih terperinci

Bagian 2 Matriks dan Determinan

Bagian 2 Matriks dan Determinan Bagian Matriks dan Determinan Materi mengenai fungsi, limit, dan kontinuitas akan kita pelajari dalam Bagian Fungsi dan Limit. Pada bagian Fungsi akan mempelajari tentang jenis-jenis fungsi dalam matematika

Lebih terperinci

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship. Mata Kuliah : Kalkulus Kode : CIV Turunan. Pertemuan 3, 4, 5, 6, 7

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship. Mata Kuliah : Kalkulus Kode : CIV Turunan. Pertemuan 3, 4, 5, 6, 7 Mata Kuliah : Kalkulus Kode : CIV - 101 SKS : 3 SKS Turunan Pertemuan 3, 4, 5, 6, 7 Kemampuan Akhir ang Diharapkan Mahasiswa mampu : - menjelaskan arti turunan ungsi - mencari turunan ungsi - menggunakan

Lebih terperinci

TURUNAN, EKSTRIM, BELOK, MINIMUM DAN MAKSIMUM

TURUNAN, EKSTRIM, BELOK, MINIMUM DAN MAKSIMUM TURUNAN, EKSTRIM, BELOK, MINIMUM DAN MAKSIMUM Fungsi f dikatakan mencapai maksimum mutlak di c jika f c f x untuk setiap x I. Di sini f c dinamakan nilai maksimum mutlak. Dan c, f c dinamakan titik maksimum

Lebih terperinci

Matematika I: Turunan. Dadang Amir Hamzah. Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 75

Matematika I: Turunan. Dadang Amir Hamzah. Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 75 Matematika I: Turunan Dadang Amir Hamzah 2015 Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 1 / 75 Outline 1 Garis Singgung Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 2 / 75 Outline 1 Garis Singgung

Lebih terperinci

Definisi 4.1 Fungsi f dikatakan kontinu di titik a (continuous at a) jika dan hanya jika ketiga syarat berikut dipenuhi: (1) f(a) ada,

Definisi 4.1 Fungsi f dikatakan kontinu di titik a (continuous at a) jika dan hanya jika ketiga syarat berikut dipenuhi: (1) f(a) ada, Lecture 4. Limit B A. Continuity Definisi 4.1 Fungsi f dikatakan kontinu di titik a (continuous at a) jika dan hanya jika ketiga syarat berikut dipenuhi: (1) f(a) ada, (2) lim f(x) ada, (3) lim f(x) =

Lebih terperinci

Bab 16. LIMIT dan TURUNAN. Motivasi. Limit Fungsi. Fungsi Turunan. Matematika SMK, Bab 16: Limit dan Turunan 1/35

Bab 16. LIMIT dan TURUNAN. Motivasi. Limit Fungsi. Fungsi Turunan. Matematika SMK, Bab 16: Limit dan Turunan 1/35 Bab 16 Grafik LIMIT dan TURUNAN Matematika SMK, Bab 16: Limit dan 1/35 Grafik Pada dasarnya, konsep limit dikembangkan untuk mengerjakan perhitungan matematis yang melibatkan: nilai sangat kecil; Matematika

Lebih terperinci

BAB III Diferensial. Departemen Teknik Kimia Universitas Indonesia

BAB III Diferensial. Departemen Teknik Kimia Universitas Indonesia BAB III Diferensial Departemen Teknik Kimia Universitas Indonesia BAB III. TURUNAN Kecepatan Sesaat dan Gradien Garis Singgung Turunan dan Hubungannya dengan Kekontinuan Aturan Dasar Turunan Notasi Leibniz

Lebih terperinci

19, 2. didefinisikan sebagai bilangan yang dapat ditulis dengan b

19, 2. didefinisikan sebagai bilangan yang dapat ditulis dengan b PENDAHULUAN. Sistem Bilangan Real Untuk mempelajari kalkulus perlu memaami baasan tentang system bilangan real karena kalkulus didasarkan pada system bilangan real dan sifatsifatnya. Sistem bilangan yang

Lebih terperinci

Matematika Semester IV

Matematika Semester IV F U N G S I KOMPETENSI DASAR Mendeskripsikan perbedaan konsep relasi dan fungsi Menerapkan konsep fungsi linear Menggambar fungsi kuadrat Menerapkan konsep fungsi kuadrat Menerapkan konsep fungsi trigonometri

Lebih terperinci

Analisis Riil II: Diferensiasi

Analisis Riil II: Diferensiasi Definisi Turunan Definisi dan Teorema Aturan Rantai Fungsi Invers Definisi (Turunan) Misalkan I R sebuah interval, f : I R, dan c I. Bilangan riil L dikatakan turunan dari f di c jika diberikan sebarang

Lebih terperinci

BAB I DERIVATIF (TURUNAN)

BAB I DERIVATIF (TURUNAN) BAB I DERIVATIF (TURUNAN) Pada bab ini akan dipaparkan pengertian derivatif suatu fungsi, beberapa sifat aljabar derivatif, aturan rantai, dan derifativ fungsi invers. A. Pengertian Derivatif Pengertian

Lebih terperinci

Matematika I : Limit. Dadang Amir Hamzah. Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 79

Matematika I : Limit. Dadang Amir Hamzah. Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 79 Matematika I : Limit Dadang Amir Hamzah 2015 Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 1 / 79 Outline 1 limit Introduction to Limit Rigorous Study of Limits Limit Theorem Limit Involving Trigonometric

Lebih terperinci

Turunan Fungsi dan Aplikasinya

Turunan Fungsi dan Aplikasinya Bab 8 Sumber: www.duniacyber.com Turunan Fungsi dan Aplikasinya Setelah mempelajari bab ini, Anda harus mampu menggunakan konsep, sifat, dan aturan dalam perhitungan turunan fungsi; menggunakan turunan

Lebih terperinci

BAB III TURUNAN DALAM RUANG DIMENSI-n

BAB III TURUNAN DALAM RUANG DIMENSI-n BAB III TURUNAN DALAM RUANG DIMENSI-n 1. FUNGSI DUA PEUBAH ATAU LEBIH fungsi bernilai riil dari peubah riil, fungsi bernilai vektor dari peubah riil Fungsi bernilai riil dari dua peubah riil yakni, fungsi

Lebih terperinci

SATUAN ACARA PERKULIAHAN

SATUAN ACARA PERKULIAHAN SATUAN ACARA PERKULIAHAN 1. PROGRAM STUDI : Pendidikan Matematika 2. MATA KULIAH/KODE/SEMESTER : Kalkulus I 3. PRASYARAT : -- 4. JENJANG / SKS : S1/3 SKS 5. LOMPOK MATA KULIAH : MPK / MPB / MKK/ MKB/ MBB

Lebih terperinci

Open Source. Not For Commercial Use

Open Source. Not For Commercial Use Ringkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB 1 Limit dan Kekontinuan Misalkan z = f(, y) fungsi dua peubah dan (a, b) R 2. Seperti pada limit fungsi satu peubah, limit fungsi dua peubah bertujuan untuk mengamati

Lebih terperinci

Bilangan Real. Modul 1 PENDAHULUAN

Bilangan Real. Modul 1 PENDAHULUAN Modul 1 Bilangan Real S PENDAHULUAN Drs. Soemoenar emesta pembicaraan Kalkulus adalah himpunan bilangan real. Jadi jika akan belajar kalkulus harus paham terlebih dahulu tentang bilangan real. Bagaimanakah

Lebih terperinci

Matematika EBTANAS Tahun 1986

Matematika EBTANAS Tahun 1986 Matematika EBTANAS Tahun 986 EBT-SMA-86- Bila diketahui A = { x x bilangan prima < }, B = { x x bilangan ganjil < }, maka eleman A B =.. 3 7 9 EBT-SMA-86- Bila matriks A berordo 3 dan matriks B berordo

Lebih terperinci

Soal dan Pembahasan UN Matematika Program IPA 2008

Soal dan Pembahasan UN Matematika Program IPA 2008 Soal dan Pembahasan UN Matematika Program IPA 2008. Diketahui premis premis : () Jika hari hujan, maka udara dingin. (2) Jika udara dingin, maka ibu memakai baju hangat. (3) Ibu tidak memakai baju hangat

Lebih terperinci

Menurut jenisnya, fungsi dapat dibedakan menjadi (1) Fungsi aljabar (2) Fungsi transenden

Menurut jenisnya, fungsi dapat dibedakan menjadi (1) Fungsi aljabar (2) Fungsi transenden Lecture 3. Function (B) A. Macam-macam Fungsi Menurut jenisnya, fungsi dapat dibedakan menjadi (1) Fungsi aljabar (2) Fungsi transenden Fungsi aljabar dibedakan menjadi (1) Fungsi rasional (a) Fungsi konstan

Lebih terperinci

MATEMATIKA II. Turunan dan Aplikasinya. Rudi Prihandoko. March 9, 2017 ver 0.6

MATEMATIKA II. Turunan dan Aplikasinya. Rudi Prihandoko. March 9, 2017 ver 0.6 MATEMATIKA II Turunan dan Aplikasinya Rudi Prihandoko March 9, 2017 ver 0.6 KUIS I KUIS Misalkan ABCDE adalah NIM Anda. Misalkan pula f(x) = (Ax2 + Bx + C) 2 Ax 2 + Dx + E adalah suatu fungsi rasional.

Lebih terperinci

OSN Guru Matematika SMA (Olimpiade Sains Nasional)

OSN Guru Matematika SMA (Olimpiade Sains Nasional) ocsz Pembahasan Soal OSN Guru 2012 OLIMPIADE SAINS NASIONAL KHUSUS GURU MATEMATIKA SMA OSN Guru Matematika SMA (Olimpiade Sains Nasional) Disusun oleh: Pak Anang Halaman 2 dari 26 PEMBAHASAN SOAL OLIMPIADE

Lebih terperinci

TERAPAN TURUNAN. Bogor, Departemen Matematika FMIPA IPB. (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, / 61

TERAPAN TURUNAN. Bogor, Departemen Matematika FMIPA IPB. (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, / 61 TERAPAN TURUNAN Departemen Matematika FMIPA IPB Bogor, 2012 (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 1 / 61 Topik Bahasan 1 Nilai Maksimum dan Minimum 2 Teorema Nilai Rataan (TNR) 3 Turunan

Lebih terperinci

Aplikasi Turunan. Diadaptasi dengan tambahan dari slide Bu Puji Andayani, S.Si, M.Si, M.Sc

Aplikasi Turunan. Diadaptasi dengan tambahan dari slide Bu Puji Andayani, S.Si, M.Si, M.Sc Aplikasi Turunan Diadaptasi dengan tambahan dari slide Bu Puji Andayani, S.Si, M.Si, M.Sc 1 Menggambar Grafik Fungsi Informasi yang dibutuhkan: A. Titik potong dengan sumbu dan sumbu y B. Asimtot fungsi

Lebih terperinci

3 LIMIT DAN KEKONTINUAN

3 LIMIT DAN KEKONTINUAN Menurut Bartle dan Sherbet (1994), Analisis matematika secara umum dipahami sebagai tubuh matematika yang dibangun oleh berbagai konsep limit. Pada bab sebelumnya kita telah mempelajari limit barisan,

Lebih terperinci

BAB IV HASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASAN

BAB IV HASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASAN BAB IV HASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASAN A. HASIL PENELITIAN 1. Hasil Pengembangan Produk Penelitian ini merupakan penelitian pengembangan yang bertujuan untuk mengembangkan produk berupa Skema Pencapaian

Lebih terperinci

2.1 Soal Matematika Dasar UM UGM c. 1 d d. 3a + b. e. 3a + b. e. b + a b a

2.1 Soal Matematika Dasar UM UGM c. 1 d d. 3a + b. e. 3a + b. e. b + a b a Soal - Soal UM UGM. Soal Matematika Dasar UM UGM 00. Jika x = 3 maka + 3 log 4 x =... a. b. c. d. e.. Jika x+y log = a dan x y log 8 = b dengan 0 < y < x maka 4 log (x y ) =... a. a + 3b ab b. a + b ab

Lebih terperinci

SOAL-SOAL dan PEMBAHASAN UN MATEMATIKA SMA/MA IPA TAHUN PELAJARAN 2011/2012

SOAL-SOAL dan PEMBAHASAN UN MATEMATIKA SMA/MA IPA TAHUN PELAJARAN 2011/2012 SOAL-SOAL dan PEMBAHASAN UN MATEMATIKA SMA/MA IPA TAHUN PELAJARAN 0/0. Akar-akar persamaan kuadrat x +ax - 40 adalah p dan q. Jika p - pq + q 8a, maka nilai a... A. -8 B. -4 C. 4 D. 6 E. 8 BAB III Persamaan

Lebih terperinci

Materi Fungsi Linear Fungsi Variabel, koefisien, dan konstanta Variabel variabel bebas Koefisien Konstanta 1). Pengertian fungsi linier

Materi Fungsi Linear Fungsi Variabel, koefisien, dan konstanta Variabel variabel bebas Koefisien Konstanta 1). Pengertian fungsi linier Materi Fungsi Linear Admin 8:32:00 PM Duhh akhirnya nongol lagi... kali ini saya akan bahas mengenai pelajaran yang paling disukai oleh hampir seluruh warga dunia :v... MATEMATIKA, ya itu namanya. materi

Lebih terperinci

5.1 Menggambar grafik fungsi

5.1 Menggambar grafik fungsi 5. Aplikasi Turunan 5. Menggambar graik ungsi Inormasi yang dibutuhkan: A. Titik potong dengan sumbu dan sumbu y B. Asimtot ungsi Deinisi 5.: Asimtot ungsi adalah garis lurus yang didekati oleh graik ungsi.

Lebih terperinci

BAB I DERIVATIF (TURUNAN)

BAB I DERIVATIF (TURUNAN) BAB I DERIVATIF (TURUNAN) Pada bab ini akan dipaparkan pengertian derivatif suatu fungsi, beberapa sifat aljabar derivatif, aturan rantai, dan derifativ fungsi invers. A. Pengertian Derivatif Pengertian

Lebih terperinci

RENCANA PEMBELAJARAN SEMESTER (RPS)

RENCANA PEMBELAJARAN SEMESTER (RPS) RENCANA PEMBELAJARAN SEMESTER (RPS) MUG1A4 KALKULUS 1 Disusun oleh: Jondri, M.Si. PROGRAM STUDI S1 TEKNIK INFORMATIKA FAKULTAS INFORMATIKA TELKOM UNIVERSITY LEMBAR PENGESAHAN Rencana Semester (RPS) ini

Lebih terperinci

DERIVATIVE Arum Handini primandari

DERIVATIVE Arum Handini primandari DERIVATIVE Arum Handini primandari INTRODUCTION Calculus adalah perubahan matematis, alat utama dalam studi perubahan adalah prosedur yang disebut differentiation (deferensial/turunan) Calculus dikembangkan

Lebih terperinci

Silabus. 1 Sistem Bilangan Real. 2 Fungsi Real. 3 Limit dan Kekontinuan. Kalkulus 1. Arrival Rince Putri. Sistem Bilangan Real.

Silabus. 1 Sistem Bilangan Real. 2 Fungsi Real. 3 Limit dan Kekontinuan. Kalkulus 1. Arrival Rince Putri. Sistem Bilangan Real. Silabus 1 2 3 Referensi E. J. Purcell, D. Varberg, and S. E. Rigdon, Kalkulus, Jilid 1 Edisi Kedelapan, Erlangga, 2003. Penilaian 1 Ujian Tengah Semester (UTS) : 30 2 Ujian Akhir Semester (UAS) : 20 3

Lebih terperinci

5. Aplikasi Turunan 1

5. Aplikasi Turunan 1 5. Aplikasi Turunan 5. Menggambar graik ungsi Inormasi yang dibutuhkan: A. Titik potong dengan sumbu dan sumbu y B. Asimtot ungsi Deinisi 5.: Asimtot ungsi adalah garis lurus yang didekati oleh graik ungsi.

Lebih terperinci

TURUNAN FUNGSI TRIGONOMETRI

TURUNAN FUNGSI TRIGONOMETRI SOAL-JAWAB MATEMATIKA PEMINATAN TURUNAN FUNGSI TRIGONOMETRI Soal Jika f ( ) sin cos tan maka f ( 0) Ingatlah rumus-rumus turunan trigonometri: y sin y cos y cos y sin y tan y sec Karena maka f ( ) sin

Lebih terperinci

Hendra Gunawan. 4 September 2013

Hendra Gunawan. 4 September 2013 MA1101 MATEMATIKA 1A Hendra Gunawan Semester I, 2013/2014 4 September 2013 Latihan (Kuliah yang Lalu) 1. Tentukan daerah asal dan daerah nilai fungsi 2 f(x) = 1 x. sudah dijawab 2. Gambar grafik fungsi

Lebih terperinci

ISTIYANTO.COM. memenuhi persamaan itu adalah B. 4 4 C. 4 1 PERBANDINGAN KISI-KISI UN 2009 DAN 2010 SMA IPA

ISTIYANTO.COM. memenuhi persamaan itu adalah B. 4 4 C. 4 1 PERBANDINGAN KISI-KISI UN 2009 DAN 2010 SMA IPA PERBANDINGAN KISI-KISI UN 009 DAN 00 SMA IPA Materi Logika Matematika Kemampuan yang diuji UN 009 UN 00 Menentukan negasi pernyataan yang diperoleh dari penarikan kesimpulan Menentukan negasi pernyataan

Lebih terperinci

11. FUNGSI MONOTON (DAN FUNGSI KONVEKS)

11. FUNGSI MONOTON (DAN FUNGSI KONVEKS) 11. FUNGSI MONOTON (DAN FUNGSI KONVEKS) 11.1 Definisi dan Limit Fungsi Monoton Misalkan f terdefinisi pada suatu himpunan H. Kita katakan bahwa f naik pada H apabila untuk setiap x, y H dengan x < y berlaku

Lebih terperinci

3 LIMIT DAN KEKONTINUAN

3 LIMIT DAN KEKONTINUAN Menurut Bartle dan Sherbet (1994), Analisis matematika secara umum dipahami sebagai tubuh matematika yang dibangun dari berbagai konsep limit. Pada bab sebelumnya kita telah mempelajari limit barisan,

Lebih terperinci

KALKULUS I MUG1A4 PROGRAM PERKULIAHAN DASAR DAN UMUM (PPDU) TELKOM UNIVERSITY V. APLIKASI TURUNAN

KALKULUS I MUG1A4 PROGRAM PERKULIAHAN DASAR DAN UMUM (PPDU) TELKOM UNIVERSITY V. APLIKASI TURUNAN KALKULUS I MUGA4 PROGRAM PERKULIAHAN DASAR DAN UMUM (PPDU) TELKOM UNIVERSITY V. APLIKASI TURUNAN MENGGAMBAR GRAFIK FUNGSI A. Titik potong dengan sumbu dan sumbu y B. Asimtot ungsi Deinisi : Asimtot ungsi

Lebih terperinci

Fungsi dan Limit Fungsi 23. Contoh 5. lim. Buktikan, jika c > 0, maka

Fungsi dan Limit Fungsi 23. Contoh 5. lim. Buktikan, jika c > 0, maka Contoh 5 Buktikan jika c > 0 maka c c Analisis Pendahuluan Akan dicari bilangan δ > 0 sedemikian sehingga apabila c < ε untuk setiap ε > 0. 0 < c < δ berlaku Perhatikan: c ( c)( c) c c c c c c c Dapat

Lebih terperinci

Bagian 4 Terapan Differensial

Bagian 4 Terapan Differensial Bagian 4 Terapan Differensial Dalam bagian 4 Terapan Differensial, kita akan mempelajari materi bagaimana konsep differensial dapat dipergunakan untuk mengatasi persoalan yang terjadi di sekitar kita.

Lebih terperinci

Pertemuan ke 8. GRAFIK FUNGSI Diketahui fungsi f. Himpunan {(x,y): y = f(x), x D f } disebut grafik fungsi f.

Pertemuan ke 8. GRAFIK FUNGSI Diketahui fungsi f. Himpunan {(x,y): y = f(x), x D f } disebut grafik fungsi f. Pertemuan ke 8 GRAFIK FUNGSI Diketahui fungsi f. Himpunan {(,y): y = f(), D f } disebut grafik fungsi f. Grafik metode yang paling umum untuk menyatakan hubungan antara dua himpunan yaitu dengan menggunakan

Lebih terperinci

CONTOH SOAL DAN PEMBAHASAN PERSIAPAN UN 2014

CONTOH SOAL DAN PEMBAHASAN PERSIAPAN UN 2014 CONTOH SOAL DAN PEMBAHASAN PERSIAPAN UN 04 DISUSUN OLEH AHMAD THOHIR MA FUTUHIYAH JEKETRO GUBUG GROBOGAN JATENG KATA PENGANTAR Tulisan yang sangat sederhana ini berisi kisi-kisi UN 0 disertai contoh soal

Lebih terperinci

Pembahasan Soal SIMAK UI 2012 SELEKSI MASUK UNIVERSITAS INDONESIA. Disertai TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS. Matematika IPA

Pembahasan Soal SIMAK UI 2012 SELEKSI MASUK UNIVERSITAS INDONESIA. Disertai TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS. Matematika IPA Pembahasan Soal SIMAK UI 0 SELEKSI MASUK UNIVERSITAS INDONESIA Disertai TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Matematika IPA Disusun Oleh : Pak Anang Kumpulan SMART SOLUTION dan TRIK SUPERKILAT Pembahasan

Lebih terperinci

Soal UN 2009 Materi KISI UN 2010 Prediksi UN 2010

Soal UN 2009 Materi KISI UN 2010 Prediksi UN 2010 PREDIKSI UN 00 SMA IPA BAG. (Berdasar buku terbitan Istiyanto: Bank Soal Matematika-Gagas Media) Logika Matematika Soal UN 009 Materi KISI UN 00 Prediksi UN 00 Menentukan negasi pernyataan yang diperoleh

Lebih terperinci

3 LIMIT DAN KEKONTINUAN

3 LIMIT DAN KEKONTINUAN Menurut Bartle dan Sherbet (994), Analisis matematika secara umum dipahami sebagai tubuh matematika yang dibangun oleh berbagai konsep limit. Pada bab sebelumnya kita telah mempelajari limit barisan, kekonvergenan

Lebih terperinci

Tinjauan Mata Kuliah

Tinjauan Mata Kuliah i M Tinjauan Mata Kuliah ata kuliah Kalkulus 1 diperuntukkan bagi mahasiswa yang mempelajari matematika baik untuk mengajar bidang matematika di tingkat Sekolah Lanjutan Tingkat Pertama (SLTP), Sekolah

Lebih terperinci

LATIHAN SOAL PROFESIONAL

LATIHAN SOAL PROFESIONAL LATIHAN SOAL PROFESIONAL 1. Jika 7 x = 8; maka 7 +x =. A. 686 B. 512 C. 4 D. 256 E. 178 7 x = 2 (7 x ) = 2 7 x = 2 7 x+ = 7. 7 x = 7. 2 = 4. 2 = 686 2. Panjang sisi miring segitiga siku-siku sama kaki

Lebih terperinci

( ) 2. Nilai x yang memenuhi log 9. Jadi 4x 12 = 3 atau x = 3,75

( ) 2. Nilai x yang memenuhi log 9. Jadi 4x 12 = 3 atau x = 3,75 Here is the Problem and the Answer. Diketahui premis premis berikut! a. Jika sebuah segitiga siku siku maka salah satu sudutnya 9 b. Jika salah satu sudutnya 9 maka berlaku teorema Phytagoras Ingkaran

Lebih terperinci

tanya-tanya.com Turunan Pertama Turunan Fungsi Trigonometri Persamaan Garis Singgung Fungsi Naik Turun Turunan pertama dari suatu fungsi f(x) adalah:

tanya-tanya.com Turunan Pertama Turunan Fungsi Trigonometri Persamaan Garis Singgung Fungsi Naik Turun Turunan pertama dari suatu fungsi f(x) adalah: Turunan Pertama Turunan pertama dari suatu fungsi f(x) adalah: Jika f(x) = x n, maka f (x) = nx n-1, dengan n R Jika f(x) = ax n, maka f (x) = anx n-1, dengan a konstan dan n R Rumus turunan fungsi aljabar:

Lebih terperinci

MA5031 Analisis Real Lanjut Semester I, Tahun 2015/2016. Hendra Gunawan

MA5031 Analisis Real Lanjut Semester I, Tahun 2015/2016. Hendra Gunawan MA5031 Analisis Real Lanjut Semester I, Tahun 2015/2016 Hendra Gunawan 5.3 Kalkulus Turunan Pada bagian ini kita akan membahas sejumlah aturan untuk diferensial dan aturan untuk turunan, yg mempunyai kemiripan

Lebih terperinci

Hendra Gunawan. 2 Oktober 2013

Hendra Gunawan. 2 Oktober 2013 MA1101 MATEMATIKA 1A Hendra Gunawan Semester I, 2013/2014 2 Oktober 2013 Apa yang Telah Dipelajari pada Bab 2 2.1 Dua Masalah Satu Tema 2.2 Turunan 2.3 Aturan Turunan 2.4 Turunan Fungsi Trigonometri 2.5Aturan

Lebih terperinci

PENGGUNAAN TURUNAN. Maksimum dan Minimum. Definisi. Andaikan S, daerah asal f, memuat titik c. Kita katakan bahwa:

PENGGUNAAN TURUNAN. Maksimum dan Minimum. Definisi. Andaikan S, daerah asal f, memuat titik c. Kita katakan bahwa: PENGGUNAAN TURUNAN Maksimum dan Minimum Andaikan S, daerah asal f, memuat titik c. Kita katakan bahwa: 1. f c adalah nilai maksimum f pada S jika f c f x untuk semua x di S;. f c adalah nilai minimum f

Lebih terperinci

Matematika Dasar NILAI EKSTRIM

Matematika Dasar NILAI EKSTRIM NILAI EKSTRIM Misal diberikan kurva f( ) dan titik ( a,b ) merupakan titik puncak ( titik maksimum atau minimum ). Maka garis singgung kurva di titik ( a,b ) akan sejajar sumbu X atau [ ] mempunyai gradien

Lebih terperinci

a home base to excellence Mata Kuliah : Kalkulus Kode : TSP 102 Turunan Pertemuan - 4

a home base to excellence Mata Kuliah : Kalkulus Kode : TSP 102 Turunan Pertemuan - 4 a home base to excellence Mata Kuliah : Kalkulus Kode : TSP 102 SKS : 3 SKS Turunan Pertemuan - 4 a home base to excellence TIU : Mahasiswa dapat memahami turunan fungsi dan aplikasinya TIK : Mahasiswa

Lebih terperinci

Materi UTS. Kalkulus 1. Semester Gasal Pengajar: Hazrul Iswadi

Materi UTS. Kalkulus 1. Semester Gasal Pengajar: Hazrul Iswadi Materi UTS Kalkulus 1 Semester Gasal 2016-2017 Pengajar: Hazrul Iswadi Daftar Isi Pengantar...hal 1 Pertemuan 1...hal 2-5 Pertemuan 2...hal 6-10 Pertemuan 3...hal 11-13 Pertemuan 4...hal 14-21 Pertemuan

Lebih terperinci

KELAS XI PROGRAM KEAHLIAN : BISNIS DAN MANAJEMEN & PARIWISATA SMK NEGERI 1 SURABAYA. BY : Drs. Abd. Salam, MM

KELAS XI PROGRAM KEAHLIAN : BISNIS DAN MANAJEMEN & PARIWISATA SMK NEGERI 1 SURABAYA. BY : Drs. Abd. Salam, MM KELAS XI PROGRAM KEAHLIAN : BISNIS DAN MANAJEMEN & PARIWISATA SMK NEGERI 1 SURABAYA BAHAN AJAR FUNGSI LINIER & KUADRAT SMK NEGERI 1 SURABAYA Halaman 1 BAB FUNGSI A. FUNGSI DAN RELASI Topik penting yang

Lebih terperinci

TURUNAN FUNGSI. turun pada interval 1. x, maka nilai ab... 5

TURUNAN FUNGSI. turun pada interval 1. x, maka nilai ab... 5 TURUNAN FUNGSI. SIMAK UI Matematika Dasar 9, 009 Jika kurva y a b turun pada interval, maka nilai ab... 5 A. B. C. D. E. Solusi: [D] 5 5 5 0 5 5 0 5 0... () y a b y b b a b b 6 6a 0 b 0 b 6a 0 b 5 b a

Lebih terperinci