BAB VIII. TEKNIK INTEGRASI. Andaikan anda menghadapi suatu integral tak tentu. Jika ini bentuk baku

Transkripsi

1 9 BAB VIII. TEKNIK INTEGRASI 8.. Integral dengan Substitusi Andaikan anda menghadapi suatu integral tak tentu. Jika ini bentuk baku maka cukup tuliskan jawabannya. Jika tidak, cari tahu substitusi yang akan mengubahnya ke dalam bentuk baku. Jika substitusi pertama yang anda coba tidak berhasil, cobalah yang lain. Keterampilan dalam hal ini akan terlatih bila anda banyak latihan. Contoh : Carilah cos ( ) Perhatikan integral tersebut sejenak, karena = sec ( ) maka anda cos ( ) diingatkan pada bentuk baku sec (u) du. Andaikan u = maka du = = cos ( ) sec (u) du = tan( u ) + C = tan( ) + C Dengan Derive: Int_subst(y(),, u()) adalah integrasi substitusi y = f() dengan mensubstitusikan oleh u().. Tulislah: Int_subst( cos ( Klik f, lalu tulis: + C enter.,, ) enter, sama dengan. )

2 9 Contoh : Carilah 5 9 Ingatlah bentuk a du u du Andaikan u = maka du = 5 9 du u = = sin ( ) + C = sin ( ) + C 5 u 5 5 Dengan Derive: Tulislah: Int_subst( 5 9,, ) enter, sama dengan. Klik f, lalu tulis: +C enter

3 9 Contoh : Hitunglah 5 t t Andaikan u = t - maka du = t Perhatikan untuk t = maka u = dan t = 5 maka u = 5 / t t = ( ) (), 8 u du = [ u / ] = = Dengan Derve: Tulislah: t t enter,

4 95 Klik icon integral, aktifkan definite, masukkan lower limitnya dan upper limitnya 5, lalu klik OK. Soal-Soal Latihan Hitunglah integral yang ditunjukkan. 5. ( + ) 5. ( + ) z + z dz y y

5 96 6. t e t e 7. sin( ) sec ( ) + e sec( ) 8. tan( z) cos ( z) sin( t) 9. t. + + sin(ln( )). 6e. e / cos( ). + sin ( ). t. t π / 6 5. cos( ) π / sin( ) cos ( ) e e 7. e + e

6 Beberapa Intergral Trigonometri Bila kita mengkombinasikan metode substitusi dengan pemakaian esamaan trigonometri yang tepat, maka kita dapat mengintegralkan banyak bentuk trigonometri. Tinjaulah jenis integral berikut. n n. sin ( ) dan cos ( ) m n. sin ( ) sin ( ). sin( m) cos( n), sin( m)sin( n), dan cos( m) cos( n) Contoh : Carilah sin 5 () sin 5 () = sin ( )sin( ) = ( cos ( )) sin( ) = ( cos ( ) + cos ( ))sin( ) Misalkan u = cos() maka du = -sin() sin 5 () = ( cos ( ) + cos ( ))sin( ) = u + u ) ( du 5 5 = u + u u + C = cos( ) + cos ( ) cos ( ) + C 5 5 Dengan Derive: Int_subst(sin 5 (),, cos()) enter, lalu klik tanda sama dengan.

7 98 Contoh 5: Carilah sin () sin cos() () = = ( + cos() + cos ()) + ( cos()) 8 = cos( ) cos()) = cos() + = + sin() + sin() + C 8 Dengan Derive: Int_subst(sin (),, cos()) enter, lalu klik tanda sama dengan.

8 99 Contoh 6: Carilah sin ( )cos ( ) sin ( ) cos ( ) = cos() + cos() + = 8 ( + cos() cos () cos ()) = ( + cos( ) ( + cos()) ( sin ())cos()) 8 = cos( ) + sin () cos()) 8 = sin() + sin () + C 8 8 6

9 Dengan Derive:Int(sin ()cos (), ) enter, lalu klik tanda sama dengan. Tunjukkan bahwa 5 5 cos ( ) sin ( ). cos( ) + cos ( ) cos ( ) = cos( ) sin() + sin() = 8 sin( )cos ( ) sin( ) cos( ) sin() + sin () = sin( )cos 6 5 ( ) sin( )cos + ( ) sin( )cos( )

10 Soal-Soal Latihan Dalam soal-soal -8, hitunglah integral yang ditunjukkan.. sin (). sin () π /. cos( θ ) d θ π π. sin( )sin( ) 5 5. sin () cos () 6. cos (θ )sin (θ ) dθ 7. sin( y )cos(5y) dy w w 8. sin ( )cos ( ) dw Dalam soal-soal 9-, Carilah volume benda putar bila, 9. y = + sin(), y =, = π diputar mengelilingi sumbu-. y = sin ( ), y =, = π diputar menglilingi sumbu-y

11 8.. Substitusi yang Merasionalkan Bentuk akar dalam integran selalu menimbulkan kesulitan dan biasanya kita berusaha menghindarinya, seringkali substitusi yang tepat akan merasionalka integran tersebut. Integral yang Melibatkan n Contoh 7: a + b Carilah Misalkan u = maka u = dan u du = u = u u du = ln(u-) + C = ln( + ) + C Dengan Derive: Int(,, c ) enter, lalu klik tanda sama dengan.

12 Integral yang melibatkan a, a +, dan a. jika bentuknya. jika bentuknya. jika bentuknya a maka substitusi = a sin(t) a + maka substitusi = a tan() a maka substitusi = a sec(t) Contoh 8: Carilah Misalkan = sin(t) maka = cos(t) = sin ( t). cos( t) = cos ( t) = ( + cos(t ) = [ t + sin(t)] = [ t + sin( t) cos( t)] Dari pemisalan dipeoleh t = sin - ( ) sehingga cos(t) = cos(sin - ( )) = ( ) = Jadi: = [sin ( ) +. ] = [sin ( ) + ] = sin - () - sin - π π (-) = + = π

13 Dengan Derive: Int(,, -, ) enter, lalu klik tanda sama dengan. Untuk gambar: Plotint(,, -, ) Contoh 9: Carilah 9 + Misalkan = tan(t) maka = sec (t) sec ( ) sec ( ) = sec( t) tan ( t) sec = ( ) = t sec( t) sec( ) = ln(sec(t) + tan(t)) + C

14 5 Dari pemisalan dipeoleh tan(t) =/ sehingga sec(t) = 9 + Jadi, sec ( ) = ln ( sec( t) ) + C = ln ( ) - ln() + C = ln ( ) + K Dengan Derive: Int( 9 +,, c) enter, lalu klik tanda sama dengan.

15 6 Contoh : Carilah Misalkan = sec(t) maka = sec(t)tan(t) Untuk = maka t = dan untuk = maka t = π/ π / tan( t) =.sec( t) tan( t) = t sec( t) tan ( ) = tan ( t) π / π / π / π / = sec ( t) = [tan( t) t = - ] π,7 Dengan Derive: Dengan Derive: Int(,,, ) enter, lalu klik tanda sama dengan. Untuk gambar: Plotint(,,, )

16 7 Soal-Soal Latihan Dalam soal-soal -, hitunglah integral tak-tentu yang ditunjukkan.. + t. t +. t +. t( t + ) / ( + ) / t t z z dz t t Dalam soal-soal -5, hitunglah integral tentu yang ditunjukkan.. t +

17 8 t. t +. t t t. t π π 5. + π

18 9 8.. Integrasi Parsial Jika integrasi menggunakan substitusi gagal, dimungkinkan menggunakan substitusi ganda, yang disebut dengan integral parsial. Metode ini didasarkan pada integrasi rumus untuk turunan hasilkali dua fungsi. Andaikan u = u() dan v = v(), maka D [u().v()] = u().v () + u ().v(), atau u()v () = D [u().v()] - u ().v() dengan mengintegrasikan kedua ruas persamaan diperoleh: ( ). v'( ) u( ). v( ) u = v( ). u' ( ) Karena dv = v () dan du = u (), maka dapat ditulis, dv u v b u =. v du (integral tak tentu) u dv = u. v ] a Contoh : b a b [ v du (integral tertentu) a Carilah cos( ) Misalkan, u =, maka du = dv = cos(), maka v = sin() sehingga, cos( ) =.sin() - sin( ) =.sin() + cos() +C

19 Dengan Derive: Int_parts(u(), v(), ) adalah integrasi parsial u = u() dan v = v() yang mengandung variabel.. Tulislah: Int_parts(, cos(), ) enter, sama dengan.. Klik F, tulis + c enter. Jadi, cos( ) = cos() +.sin() + C Contoh : Carilah sin( ) Misalkan, u =, maka du = dv = sin(), maka v = -cos()

20 sehingga, sin( ) = -.cos() - cos = -.cos() (.sin() +cos() +C) = -.cos().sin() + cos() + K Pengerjaan dengan Derive:. Tulislah: Int_parts(, sin(), ) enter, sama dengan.. Klik F, tulis + c enter. Jadi, sin( ) = ( - ).cos().sin() + K

21 Soal-Soal Latihan Dalam soal-soal -5, Gunakan integrasi parsial untuk menentukan integral berikut.. e. cos( ). t t +. arctan( ) ln( ) 5. Dalam soal-soal 6-8, Hitunglah integral tentu berikut. e 6. t ln( t) π / 7. cos ec ( ) π / 6 π / 8. sec ( ) π / 6 Dalam soal-soal 9-, Gunakanlah integrasi parsial dua kali untuk menghitung integral berikut. 9. e. e t cos( t). sin(ln( )) e. (ln( ))

22 DAFTAR PUSTAKA Dudley, U. (99). Reading for Calculus: Resources for Calculus collection volume 5. USA: MAA Freese, S.F; Stegenga, D.A (999). Calculus Concepts Using Derive for Windows. University of HawaiiL R & D Publishing. Kutzler, B. (). Introduction for Derive 6.. Teas USA: Teas Instruments. Sanchis, G.R. (). A Calculus Laboratory Manual Using Derve. Eric Digest Schiavone, P. (997. Calculus Solutions. Scarborough, Ontario: Prentice Canada Inc. Schoenfeld, A.H. (995). Student Assessment in Calculus: A Report of the NSF orking Group on Assessment in Calculus. USA: MAA Thomas, G.B. (985). Calculus and Analytic Geometri (terjemahan oleh Akhmad Sundjaya). Bandung: MS. Varberg, D; Purcell, E,J; Rigdon, S.E. (). Calculus 8 th Edition (Terjemahan oleh I Nyoman Susila). Erlangga Bandung.